Các mô hình tương tranh pot

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
HOÀNG CHÍ THÀNH
CÁC MÔ HÌNH
TƯƠNG TRANH
Hà Nội
2
MỞ ĐẦU
Mô tả, thiết kế và điều khiển hệ thống là các vấn đề chính cần đặt ra khi
chúng ta xây dựng một hệ thống nào đó và sử dụng nó trong thực tiễn. Lý thuyết
mạng là lý thuyết tổ chức hệ thống được C.A. Petri khởi xướng vào đầu thập
niên sáu mươi của thế kỷ trước trong Luận án Tiến sĩ của ông. Từ đó đến nay
các nhà tin học trên thế giới đã nghiên cứu phát triển nhiều mô hình mạng khác
nhau và ứng dụng chúng vào nhiều lĩnh vực khoa học khác nhau. Ưu điểm chính
của lý thuyết mạng là khả năng nhận biết và biểu diễn sự tương tranh, an toàn,
xung đột, sống, tắc nghẽn , cung cấp kỹ thuật phân tích và thiết kế hệ thống và
cảnh báo sự hữu hạn của các tài nguyên của hệ thống.
Bên cạnh lý thuyết mạng nhiều mô hình biểu diễn tương tranh khác đã ra
đời. Một số mô hình dựa trên ngôn ngữ hình thức như: ngôn ngữ vết của A.
Mazurkiewicz, ngôn ngữ CSP của C.A.R. Hoare, ngôn ngữ CCS của R. Milner,
ngôn ngữ COSY của P. Lauer, ngôn ngữ nửa vết của H.C. Thành Công cụ đại
số cũng được sử dụng để biểu diễn tương tranh. Từ đó ra đời: đại số các quá
trình của V.E. Kotov và của J.A. Bergstra, cấu trúc biến cố của G. Winskel
Do khuôn khổ của chuyên đề, chúng tôi chỉ chọn lựa một số mô hình tiêu
biểu nhất để đưa vào các bài giảng với mục tiêu giúp người học nắm bắt được
các khái niệm mới, kỹ thuật cơ bản và ứng dụng chúng vào các vấn đề thực tiễn
như: hệ thống thông tin, cơ sở dữ liệu, thiết kế mạch lôgic, kiến trúc máy tính,
lập trình song song, công nghệ phần mềm, điều khiển hệ thống
Cuốn sách là nội dung chuyên đề dành cho học viên cao học và nghiên
cứu sinh chuyên ngành Tin học, Công nghệ Thông tin, Đảm bảo Toán học cho
Máy tính và Các hệ thống tính toán mà tác giả đã giảng dạy nhiều năm tại

ĐHQG Hà Nội và một số trường đại học khác. Nhiều thảo luận lý thú giữa tác
giả với đồng nghiệp và học viên đã góp phần phát triển nội dung và nâng cao
chất lượng của cuốn sách.
Chúng tôi hy vọng rằng cuốn sách nhỏ này sẽ thật sự cần thiết cho những
ai muốn nghiên cứu, khám phá những vấn đề kỳ diệu và hóc búa trong các hệ
thống tương tranh.
Tác giả
3
Chương 1
HỆ TƯƠNG TRANH VÀ CÁC MÔ HÌNH BIỂU DIỄN
1.1 Khái niệm về tương tranh
Trong đời sống hàng ngày, chúng ta thường thấy các sự kiện mà các hành
động trong nó xảy ra một cách tuần tự hoặc không tuần tự. Tương ứng với các
sự kiện trên ta có các quá trình và chúng cũng được phân thành hai loại: các quá
trình tuần tự và các quá trình không tuần tự.
Một số quá trình được kết hợp lại với nhau tạo thành một hệ thống. Hệ
thống tuần tự được tạo bởi các quá trình tuần tự. Các quá trình không tuần tự tạo
nên hệ thống không tuần tự. Trong một hệ thống tuần tự tại mỗi thời điểm chỉ có
một hành động xuất hiện (được thực hiện). Hành động sau xảy ra khi hành động
trước đó đã kết thúc. Chúng chỉ có thể kế thừa kết quả của nhau. Chẳng hạn:
- Khách xếp hàng mua hàng khi chỉ có một nhân viên bán hàng
- Các thuật toán tính toán tuần tự
- Các otomat hữu hạn…
Còn trong hệ thống không tuần tự, tại một thời điểm có thể xảy ra đồng
thời nhiều hành động. Các hành động này có thể cạnh tranh lẫn nhau trong việc
sử dụng tài nguyên.
Trước khi đưa ra định nghĩa hệ tương tranh chúng ta xét một số ví dụ cụ
thể sau đây.
Ví dụ 1.1: Quá trình sản xuất công nghiệp
Giả sử một thiết bị nào đó được tạo ra từ việc chế tạo và lắp ráp ba chi

tiết. Việc chế tạo từng chi tiết không phụ thuộc vào nhau. Việc lắp ráp thì thực
hiện tuần tự: trước tiên lắp ráp hai chi tiết đầu sau đó lắp thêm chi tiết thứ ba.
Hình 1.1. Quy trình tổ chức chế tạo và lắp ráp song song một thiết bị
4
Ta có thể đưa quá trình sản xuất thiết bị trên về một hệ thống tương tranh như
sau: chế tạo đồng thời hai chi tiết 1 và 2, việc lắp ráp hai chi tiết 1 và 2 đồng thời
với việc chế tạo chi tiết thứ ba, cuối cùng lắp ráp thêm chi tiết 3.
Như vậy, trong hệ thống sản xuất này việc chế tạo chi tiết 1 và việc chế
tạo chi tiết 2 là tương tranh với nhau. Chúng chỉ có thể được thực hiện đồng thời
nếu không tranh chấp các máy móc
Quá trình sản xuất một sản phẩm có thể biểu diễn ngắn gọn bằng sơ đồ sau:
1  2 ; 3  4 ; 5
Với việc tổ chức sản xuất như trên, ta thấy ngay các lợi ích sau đây:
1) Các chi tiết kỹ thuật được chế tạo trên các máy khác nhau, việc chế tạo
đồng thời có thể xoá bỏ thời gian chết của các máy.
2) Giảm thời gian chế tạo ra một sản phẩm.
Ví dụ 1.2: Tính giá trị của một biểu thức toán học
Giả sử ta cần phải tính giá trị của biểu thức sau đây:
A * B - (C + D) / (E - F)
Hình 1.2. Tổ chức tính toán song song một biểu thức
Sơ đồ tính toán giá trị biểu thức như trên giống như sơ đồ quá trình sản
xuất trong Ví dụ 1.1. Nếu máy tính có ít nhất hai bộ xử lý thì quá trình tính giá
trị biểu thức sẽ nhanh hơn nhiều.
Ví dụ 1.3: Chu trình xử lý
Xét chu trình tính toán được viết trên ngôn ngữ lập trình Pascal sau đây:
for i := 1 to 100 do
if A[i] > 0 then A[i] := A[i] + 1
else A[i] := 0 ;
5
100 lệnh if trên có thể được thực hiện đồng thời nếu máy tính có trên 100

bộ xử lý.
Tuy nhiên, không phải chu trình nào cũng có thể thực hiện đồng thời
được. Chẳng hạn, xét chu trình sau đây:
S := 0 ;
for i := 1 to 100 do
S := S + A[i] ;
Đây là các lệnh lặp phụ thuộc. Trong trường hợp này có nhiều cách giải quyết.
Chẳng hạn, ta tính toán đồng thời theo sơ đồ sau đây:
Hình 1.3. Một sơ đồ tính toán song song
Ví dụ 1.4: Tương tranh trong máy tính
Tương tranh trong máy tính được thể hiện ở các máy tính có nhiều bộ xử
lý (multi-processor). Đó là các máy tính có thể xử lý đồng thời nhiều quá trình
tại cùng một thời điểm.
Hình 1.4. Sơ đồ máy tính song song
Với kỹ thuật này nảy sinh các vấn đề sau đây mà ta cần phải giải quyết:
6
- Sự chung sống của các bộ xử lý thuộc nhiều chủng loại khác nhau
- Số lượng tối đa của các bộ xử lý trong một máy tính
- Phần mềm để tự động hoá các quá trình tương tranh trên máy tính
nhiều bộ xử lý…
1.2 Định nghĩa hệ tương tranh
Một hệ thống được gọi là hệ tương tranh (concurrent system) nếu nó được
hợp thành từ một số hệ con (tuần tự) và có các biến cố được xảy ra một cách
đồng thời.
Hệ tương tranh là đồng bộ nếu các hệ con của nó có chung một số biến cố
và trong quá trình hoạt động của hệ chúng xuất hiện trùng hợp trong tất cả các
hệ con có chung các biến cố này. Điều này chỉ ra rằng, mỗi biến cố chung xuất
hiện ở bước nào đó thì nó phải có khả năng xuất hiện ở bước đó trong tất cả các
hệ con có chung biến cố này. Số lần xuất hiện và thứ tự xuất hiện của biến cố
chung trong các hệ con phải giống nhau.

1.3 Sơ lược về các mô hình biểu diễn tương tranh
1) Mô hình đầu tiên để biểu diễn hệ tương tranh được đề xuất bởi C.A.
Petri (Đức) vào năm 1962 trong Luận án Tiến sĩ của ông. Đó là mạng Petri.
Nếu otomat hữu hạn chỉ mô tả được các hệ thống tuần tự thì mạng Petri,
một công cụ toán học được phát triển trên cơ sở của otomat hữu hạn, mô tả được
các hệ thống không tuần tự mà trong đó có các hệ thống tương tranh.
Hiện nay mạng Petri vẫn được nghiên cứu phát triển mạnh mẽ cả về lý
thuyết lẫn ứng dụng [5,7,10,11]. Đã có hơn mười loại mạng khác nhau và được
áp dụng vào rất nhiều lĩnh vực.
2. Ngôn ngữ vết (trace language) do A. Mazurkiewicz (Ba Lan) đưa ra
vào năm 1977. Đây là một ngôn ngữ được phát triển từ ngôn ngữ hình thức để
mô tả hành vi của các hệ tương tranh [1].
3. CSP (Communicating Sequential Processes) là một ngôn ngữ để biểu
diễn các hệ tương tranh [3] do C.A.R. Hoare (Anh) đưa ra vào năm 1978.
4. CCS (Calculus of Communicating Systems) được R. Milner (Anh) xây
dựng vào năm 1980 như một công cụ toán học rõ ràng và tổng quát về tương
tranh và được thể hiện như một ngôn ngữ lập trình [4].
Ngoài những mô hình kể trên, các hệ tương tranh còn được mô tả bằng
các mô hình sau đây:
- Đại số các quá trình (Algebra of Processes) của J.A. Bergstra (Hà Lan)
7
- COSY (COncurent SYstem) do P. Lauer (Canada) đề xuất
- Cấu trúc biến cố (Event Structure) của G. Winskel (Đức),
và nhiều mô hình khác.
Một số nhóm nghiên cứu các hệ tương tranh trên thế giới:
Hệ tương tranh được nhiều nhà khoa học trên thế giới nghiên cứu và phát
triển tại các trường đại học và các viện nghiên cứu.
- Tại Đại học Bonn (Đức), nơi ra đời của mạng Petri, có một nhóm các
nhà khoa học có tên tuổi như: C.A. Petri, E. Best, W. Reisig, W.
Brauer, U. Goltz… phát triển nhiều mô hình khác nhau của mạng

Petri.
- Đại học Aarhus (Đan Mạch) xây dựng các mô hình mạng Petri màu và
ứng dụng trong thiết kế.
- Đại học Amsterdam (Hà Lan) với tên tuổi của G. Rozenberg và J.W.
de Baker chủ trì dự án REX (Research and Education in Concurrent
Systems)
- Đại học Oxfort (Anh) là nơi C.A.R. Hoare và R. Milner xây dựng
trường phái mô hình các hệ tương tranh bằng ngôn ngữ trừu tượng.
- Trường phái dùng monoid của đại số để phát triển lý thuyết tương
tranh được nghiên cứu tại Đại học Milan (Italia) với tên tuổi các nhà
khoa học như: U. Montarari, F. de Cindio, C. Simone…
- A. Mazurkiewicz và J. Winkowski chủ trì nhóm nghiên cứu tương
tranh tại Viện Công nghệ Thông tin, Viện Hàn lâm Khoa học Ba Lan.
- Đại học Tổng hợp Novosibierk (Nga) có một nhóm các nhà khoa học
trẻ nghiên cứu về tương tranh bằng các công cụ đại số như: V.E.
Kotov, L. Cherkasova…
- P.S. Thiagarajan đã xây dựng một nhóm nghiên cứu mạnh về tương
tranh tại Viện Toán học Chennai (Ấn độ).
- Dự án châu Âu ESPRIT có trụ sở tại Đại học Newcastle (Anh) dưới sự
điều hành của R.P. Hopkin với 44 nhà khoa học tham gia trực tiếp
trong 10 nhóm làm việc (WG) sau đây:
1. WG.1: Các lớp modul mạng
2. WG.2: Mô phỏng tương đương
3. WG.3: Các kỹ thuật chứng minh
4. WG.4-5: Các mô hình trừu tượng
5. WG.6: Các nghiên cứu thời sự
6. WG.7: Đặc tả
8
7. WG.8: Lập trình
8. WG.9-10: Công bố kết quả

Hội thảo khoa học hàng năm toàn thế giới về tương tranh (CONCUR)
được tổ chức tại nhiều trung tâm nghiên cứu trên khắp các châu lục đã thu hút sự
chú ý của nhiều người về Lý thuyết Tương tranh. Nhiều kết quả nghiên cứu lý
thuyết và ứng dụng của hệ tương tranh đã được trình bày tại hội thảo này.
9
Chương 2
MẠNG PETRI
2.1 Ví dụ về mạng Petri
Chúng ta nghiên cứu việc tổ chức cho mượn sách và nhận trả lại sách ở
một thư viện.
Hình 2.1. Cấu trúc đơn giản của một thư viện
Đây là cấu trúc đơn giản của một thư viện. Bạn đọc có thể truy nhập vào thư
viện thông qua ba bàn: bàn yêu cầu, bàn nhận sách và bàn trả sách. Trong thư
viện tất cả các sách đều được để trên giá và mỗi cuốn sách có một thẻ mục.
a) Bạn đọc yêu cầu: Nếu cuốn sách có trong thư viện thì thủ thư lấy sách,
thẻ mục của cuốn sách đó được cập nhật và bạn đọc nhận sách tại bàn
nhận sách.
b) Bạn đọc trả sách: Thẻ mục của sách được cập nhật và sách được đặt trở
lại giá.
Làm mịn sơ đồ thư viện trên bằng cách thêm vào hai bộ phận làm việc là:
“cho mượn sách” và “nhận lại sách” và hai thành phần thụ động là “kho sách”
và “hộp thẻ mục sách đã mượn”. Khi đó ta có sơ đồ mới chi tiết hơn của một
thư viện như dưới đây:
Hình 2.2. Sơ đồ tổ chức đầy đủ của một thư viện
10
Đây là một ví dụ về mạng Petri.
2.2 Các khái niệm cơ sở
2.2.1 Mạng Petri
Định nghĩa 2.1:
Bộ ba N = (S, T; F) được gọi là một mạng Petri nếu:

1) S và T là hai tập hợp không giao nhau. Các phần tử của tập S được gọi là
S-phần tử, còn các phần tử của tập T được gọi là T-phần tử.
2) F  (S  T)  (T  S) là một quan hệ nhị nguyên và được gọi là lưu đồ
của mạng N.
Người ta thường biểu diễn đồ thị định hướng cho mạng Petri bằng cách
coi mỗi phần tử của tập S  T là một đỉnh của đồ thị. Các S-phần tử được biểu
diễn bằng các hình tròn, còn các T-phần tử được biểu diễn bằng các hình vuông.
Quan hệ lưu đồ F chính là các cung nối giữa các đỉnh tương ứng. Mỗi cung của
quan hệ lưu đồ F chỉ nối hai đỉnh khác loại. Do vậy, đồ thị biểu diễn một mạng
Petri là một đồ thị định hướng hai phần.
Giả sử N là một mạng Petri. Nếu không nhầm lẫn đôi khi ta viết N thay
cho S  T. Đó chính là tập các phần tử của mạng N.
i) Với mỗi phần tử x  N thì:

x = { y  N  (y, x)  F } - được gọi là tập vào của x,
x

= { y  N  (x, y)  F } - được gọi là tập ra của x.
với mỗi tập con X  N thì:

X =

Xx

x và X

=

Xx
x


Chú ý rằng, với cặp phần tử x, y  N ta có:
x 

y  y  x

ii) Cặp (s, t)  S  T được gọi là một nút (self-loop) nếu (s, t)  F và (t, s)  F.
Mạng N được gọi là tinh khiết (pure) nếu quan hệ lưu đồ F không chứa
một nút nào.
iii) Phần tử x  N được gọi là cô lập nếu

x  x

= .
iv) Mạng N được gọi là đơn giản (simple) nếu và chỉ nếu các phần tử khác nhau
không có chung tập vào và tập ra, nghĩa là:
x, y  N : (

x =

y )  ( x

= y

)  x = y.
11
Ví dụ 2.2: Xét mạng Petri được cho dưới dạng đồ thị dưới đây.
Hình 2.3. Biểu diễn đồ thị của một mạng Petri
Mạng ở ví dụ trên là đơn giản, không tinh khiết và không có phần tử cô lập.
2.2.2 Các mạng Petri đẳng cấu

Giả sử N và N' là hai mạng Petri.
1) Cho một song ánh  : N  N'. Ta nói hai mạng N và N' là -đẳng cấu nếu và
chỉ nếu:
s  S
N
 (s)  S
N’
và (x, y)  F
N
 ((x), (y))  F
N’
Điều này cũng suy ra rằng: t  T
N
 (t)  T
N’
.
2) Hai mạng N và N' được gọi là đẳng cấu nếu chúng là -đẳng cấu với một
song ánh  nào đó.
Hiển nhiên, hai mạng đẳng cấu với nhau thì đồ thị biểu diễn của chúng
cũng đẳng cấu với nhau và ngược lại. Do vậy, các mạng đẳng cấu với nhau
được xem là “giống nhau”.
12
Chương 3
HỆ MẠNG ĐIỀU KIỆN - BIẾN CỐ
3.1 Các trường hợp và các bước
Chúng ta xét hệ thống được tạo bởi các điều kiện (condition) và các biến
cố (event). Các điều kiện được biểu diễn bởi các S-phần tử còn các biến cố được
biểu diễn bởi các T-phần tử của một mạng Petri. Ta biết rằng, các điều kiện hoặc
là thoả mãn hoặc là không và sự xuất hiện của các biến cố sẽ làm thay đổi sự
thoả mãn của các điều kiện. Trong mỗi một hình trạng của hệ, một số điều kiện

nào đó thoả mãn, số còn lại thì không.
Tập các điều kiện được thoả mãn trong một hình trạng được gọi là một
trường hợp (case). Biến cố e có thể xuất hiện trong trường hợp c nếu và chỉ nếu
các điều kiện vào của e thoả mãn trong c còn các điều kiện ra thì không. Khi biến
cố e xuất hiện, các điều kiện vào của e không thoả mãn nữa còn các điều kiện ra
của e bắt đầu thoả mãn.
Vì các S-phần tử và T-phần tử được thể hiện như các điều kiện và các biến
cố nên ta ký hiệu mạng Petri là (B, E; F) thay cho (S, T; F).
Định nghĩa 3.1: Giả sử N = (B, E; F) là một mạng Petri.
1) Tập con c  B được gọi là một trường hợp hay một trạng thái.
2) Giả sử e  E và c  B. Ta nói rằng e là kích hoạt được trong c (hay e là c-
kích hoạt) nếu và chỉ nếu

e  c và e

 c = .
3) Giả sử e  E , c  B và e là kích hoạt được trong c. Khi đó, c' = (c \

e) 
e

được gọi là trường hợp kế tiếp của c (c’ là kết quả của sự xuất hiện của
biến cố e trong trường hợp c).
Và ta viết: c [ e > c'.
Một biến cố của hệ mạng có thể xảy ra nếu trong hệ có trạng thái làm thoả
mãn các điều kiện trước (tập vào) của biến cố đó và khi ấy các điều kiện sau (tập
ra) của biến cố này chưa thoả mãn. Khi biến cố xảy ra, các điều kiện trước không
thoả mãn nữa và các điều kiện sau được thoả mãn. Trạng thái kế tiếp nhận được
sau khi biến cố trên xảy ra phải thuộc không gian các trạng thái để có thể kích
hoạt các biến cố khác. Không gian các trạng thái của hệ thống là môi trường để

dãy các bước có thể xảy ra trên hệ, tạo nên các quá trình trên hệ.
Nếu có điều kiện sau nào đó làm cản trở sự xuất hiện của biến cố e, nghĩa
là

e  c nhưng e

 c ≠  thì ta gọi hiện tượng này là tình trạng không an toàn.
Tập con các biến cố G  E mà các tập vào và các tập ra của các biến cố
trong G là rời nhau thì G được gọi là tách được (detached). Các biến cố trong
13
một tập tách được G có thể xuất hiện đồng thời trong một bước nếu mọi biến cố
trong G đều được kích hoạt bởi cùng một trường hợp.
Định nghĩa 3.2: Giả sử N = (B, E; F) là một mạng Petri.
1) Tập con các biến cố G  E được gọi là tách được nếu:
e
1
, e
2
 G : e
1
≠ e
2


e
1


e
2

=

e
1
 e

2
= e

1


e
2
= e

1
 e

2
= .
2) Giả sử c và c' là các trường hợp của mạng N và tập con các biến cố G là
tách được. G được gọi là một bước từ c tới c' nếu và chỉ nếu mỗi biến cố e
trong G là c-kích hoạt và c' = (c \

G)  G

.
Khi đó, ta cũng ký hiệu là: c [ G > c'.
Bước G đã dẫn từ trường hợp c tới trường hợp c'. Hiển nhiên, nếu G chỉ

chứa một biến cố e thì:
c [ G > c'  c [ e > c'.
Bổ đề 3.1: Giả sử N = (B, E; F) là một mạng Petri, tập con các biến cố G  E là
tách được và c, c' là các trường hợp của N. Khi đó thì:
c [ G > c'  c \ c' =

G  c' \ c = G

.
Chứng minh:
1) Nếu c [ G > c' thì mọi e  G là c-kích hoạt và c' = (c \

G)  G

. Từ đó suy
ra:

G  c và G

 c' = . Hơn nữa:
c \ c' = c \ ((c \

G)  G

)
= (c \ (c \

G))  (c \ G

) – theo lý thuyết tập hợp

= (c 

G)  (c \ G

)
= c 

G vì c \ G

= c
=

G vì

G  c.
c' \ c = ((c \

G)  G

) \ c
= ((c \

G) \ c)  (G

\ c)
=   (G

\ c)
= G


vì G

 c = .
2) Ngược lại, nếu c \ c' =

G thì

G  c. Đồng thời, nếu c' \ c = G

thì G

 c
= . Vậy mỗi biến cố e trong G là c-kích hoạt. Hơn nữa:
(c \

G)  G

= (c \ (c \ c'))  (c' \ c)
= (c  c')  (c' \ c)
= c'.
Vậy thì: c [ G > c'. Bổ đề được chứng minh.
14
Nói chung có một số khả năng để ghép các biến cố thành một bước.
Ví dụ 3.3: Xét hệ mạng Petri được cho như đồ thị dưới đây. Chọn trường hợp
đầu tiên c
0
= {b
1
}.
Hình 3.1. Các bước trên mạng

Không chỉ {e
1
,e
2
} mà {e
2
,e
3
} cũng tạo nên một bước.
Khi thay thế các trường hợp, bước tiếp theo bước sinh ra các quá trình.
Nếu bước hữu hạn thì nó có thể được thể hiện bởi sự xuất hiện của các biến cố
của nó theo thứ tự tuỳ ý. Do vậy, các biến cố trong một bước hữu hạn có thể thực
hiện đồng thời với nhau.
Bổ đề 3.2: Giả sử N = (B, E; F) là một mạng Petri, c
1
, c
2
là các trường hợp của
mạng N và G là một bước hữu hạn dẫn c tới c'. Giả sử G = {e
1
, e
2
, … , e
k
} và
< e
1
, e
2
, … , e

k
> là một dãy nào đó của các biến cố trong G. Vậy thì có các
trường hợp c
0
, c
1
, … , c
k
mà c = c
0
, c' = c
k
và c
i-1
[ e
i
> c
i
với i = 1, 2, …, k.
Chứng minh:
Giả sử e
i
, e
j
là hai biến cố nào đó trong G và c là trường hợp kích hoạt
được hai biến cố này. Thế thì:

e
i



e
j
= e

i
 e

j
= e

i


e
j
=

e
i
 e

j
= .
Khi đó nếu c [ e
i
> c' thì

e
j

 c'.
Tương tự có thể chỉ ra rằng e

j
 c' = . Điều này có nghĩa là e
j
kích hoat được
trong c'.
Với i = 1, 2, …, k ta có e
i
vẫn bảo toàn tính kích hoạt được khi xuất hiện lần lượt
của e
1
, e
2
, … , e
i-1
và dẫn c
i-1
tới c
i
.
Có thể xảy ra trường hợp là hai biến cố đều được một trường hợp kích
hoạt nhưng chỉ có thể xuất hiện trong các bước đơn thôi. Đó là trường hợp mà
hai biến cố này có chung điều kiện vào hoặc điều kiện ra. Khi đó sự xuất hiện
của chúng loại trừ lẫn nhau. Tình trạng như thế được gọi là xung đột lẫn nhau
(conflict). Không phải lúc nào cũng có thể nhận biết một cách rõ ràng rằng xung
đột có xảy ra hay không.
15
Ví dụ 3.4: Xét mạng Petri sau đây.

Hình 3.2. Tình trạng xung đột
Trong mạng trên với trường hợp được chỉ ra (các điều kiện tô màu) nếu e
1
xuất hiện trước e
2
thì không có xung đột giữa e
1
và e
3
, còn nếu e
2
xuất hiện trước
e
1
thì xảy ra xung đột. Do không có thứ tự xác định trước giữa e
1
và e
2
nên tình
trạng này được gọi là mập mờ.
3.2 Hệ mạng điều kiện - biến cố
Một mạng Petri bao gồm các điều kiện và các biến cố chưa đủ để mô tả hệ
thống. Vì vậy ngoài mạng ta phải thêm vào các trường hợp mà ta muốn xét.
Tập các trường hợp C này phải thoả các tính chất sau đây:
1. Nếu tập G  E là một bước được kích hoạt bởi trường hợp c  C thì G
dẫn tới một trường hợp khác cũng thuộc C. Như vậy, các bước không
được dẫn ra ngoài C.
2. Ngược lại, nếu trường hợp c  C là kết quả của bước G  E thì tình
huống mà ta đi từ đó cũng phải là một trường hợp thuộc C. Hay nói một
cách khác, nếu ta quay trở lại tìm trường hợp trước thì ta chỉ cần tìm

trong C.
3. Mỗi trường hợp trong C đều có thể biến đổi (tiến hoặc lùi sau một số
lần) thành các trường hợp còn lại trong C.
4. C phải đủ rộng để mà:
- Mỗi điều kiện b  B phải thuộc vào ít nhất một trường hợp trong C
nhưng không thuộc vào mọi trường hợp trong C. Điều này giúp loại trừ
điều kiện cô lập và chu trình hẹp.
- Mỗi biến cố e  E phải có ít nhất một trường hợp trong C kích hoạt
được nó.
Ta cũng loại trừ các biến cố cô lập vì sự xuất hiện của các biến cố phải
quan sát được. Hơn nữa, ta cũng không cho phép hai điều kiện hay hai biến cố
khác nhau có chung tập vào và tập ra vì không phân biệt được chúng.
16
Định nghĩa 3.5: Bộ bốn  = (B, E; F, c
0
) được gọi là một hệ mạng điều kiện -
biến cố (C/E-system) nếu:
1) Bộ ba (B, E; F) là một mạng Petri đơn giản, không có phần tử cô lập và
B  E ≠ .
2) c
0
 B, là trường hợp đầu tiên của hệ mạng . Tập C = [c
0
]
R
là một lớp
tương đương của quan hệ đạt được R

= (r


 r

-1
)
*
, trong đó quan hệ r


P(B)  P(B) được định nghĩa như sau:
(c
1
, c
2
)  r

 G  E : c
1
[ G > c
2
.
C được gọi là không gian các trường hợp của hệ .
3) e  E , c  C để e kích hoạt được trong c.
Ví dụ 3.6: Cho mạng Petri:
Hình 3.3. Cấu trúc tĩnh của một hệ mạng điều kiện - biến cố
Lấy c
0
= {b
1
}. Khi đó không gian C = {{b
1

}, {b
2
, b
3
}, {b
3
, b
4
}, {b
4
}, {b
5
}}
và ta có một hệ mạng điều kiện - biến cố.
Định lý 3.3: Giả sử  là một hệ mạng điều kiện - biến cố. Thế thì:
1) B ≠   E ≠   F ≠ .
2) Với c  C , c'  B và G  E :
- c [ G > c'  c'  C
- c' [ G > c  c  C
3) b  B , c, c'  C mà b  c  b  c'.
4) Hệ  là tinh khiết.
Chứng minh:
1) Vì B  E ≠  và các phần tử cô lập đã bị loại trừ nên phải có các phần tử x, y
của  sao cho (x, y)  F.
2) Suy từ định nghĩa của hệ mạng điều kiện - biến cố.
17
3) Vì b không cô lập nên có biến cố e trong

b  b


và theo định nghiã thì phải
có c, c'  C mà c [ e > c' và vì b  c  c'.
4) Biến cố trong chu trình hẹp không bao giờ được kích hoạt.
Ví dụ 3.7: Bài toán sắp đặt lại các tập hợp.
Cho hai tập không rỗng, hữu hạn, rời nhau A và B. Sắp đặt lại các phần tử
trong tập A  B thành hai tập A' và B' sao cho |A'| = |A|, |B'| = |B| và max (A) <
min (B).
Chương trình tương tranh giải bài toán trên được biểu diễn bởi hệ mạng
điều kiện - biến cố sau đây:
Hình 3.4. Chương trình tương tranh cho bài toán sắp đặt lại các tập hợp
Định lý 3.4: Giả sử  là một hệ mạng điều kiện - biến cố.
Giả sử quan hệ
r
 P(B)  P(B) được định nghĩa như sau:
(c
1
, c
2
) 
r
 e  E : c
1
[ e > c
2
.
Nếu tập các biến cố E hữu hạn thì R

= (
r


r
-1
)
*
.
Chứng minh:
Vì
R
= (
r

r
-1
)
*
nên hiển nhiên ta có:
R
 R

.
Tập E hữu hạn nên mỗi bước trong E cũng hữu hạn. Do vậy, ta có r


r
*
và
r

-1
 (

r
-1
)
*
. Từ đây suy ra: R


R
.
18
Giả sử  = (B, E; F, c
0
) là một hệ mạng điều kiện - biến cố. Các trường
hợp trong không gian các trường hợp kích hoạt liên tiếp các biến cố cho ta một
dãy hành động xảy ra trên hệ. Chẳng hạn,
c
1
[e
1
> c
2
[e
2
> c
3
[e
3
> c
4
c

i
[e
i
> c
i+1
c
n
[e
n
> c
n+1
,
với c
1
, c
2
, c
n+1
 C

và e
1
, e
2
, e
n
 E

.
Khi đó,  = e

1
e
2
e
n
được gọi là từ sinh bởi hệ mạng . Ngôn ngữ sinh bởi
hệ mạng điều kiện - biến cố , ký hiệu bởi L(), là tập tất cả các từ sinh bởi hệ
mạng này.
L() = { = e
1
e
2
e
n
|  c
1
, c
2
, c
n+1
 C

,  e
1
, e
2
, e
n
 E


:
c
1
[e
1
> c
2
[e
2
> c
3
[e
3
> c
4
c
i
[e
i
> c
i+1
c
n
[e
n
> c
n+1
}.
Ngôn ngữ này thể hiện hành vi tuần tự của hệ mạng. Nó chỉ cho ta tất cả
các dãy các hành động có thể xảy ra tuần tự trên hệ.

3.3 Hệ chu trình và hệ sống
Những yêu cầu đặt ra cho không gian các trường hợp C của hệ mạng điều
kiện - biến cố  sẽ rõ ràng hơn bằng cách thể hiện được rằng C là tập tất cả các
trường hợp kế tiếp của một trường hợp ban đầu nào đó. Nếu mọi trường hợp của
 đều được tái sản xuất thì mỗi một không gian các trường hợp như thế sẽ trùng
với tập C.
Định nghĩa 3.8:
Hệ mạng điều kiện - biến cố  được gọi là chu trình nếu và chỉ nếu:
c
1
, c
2
 C : (c
1
, c
2
)  r

*
.
Định lý 3.5: Giả sử  là một hệ mạng điều kiện - biến cố chu trình và c là một
trường hợp nào đó trong không gian C. Thế thì: C = {c'  (c, c')  r

*
} .
Chứng minh:
Vì hệ  là chu trình nên r

-1
 r


. Suy ra R

 r

*
.
Trong một hệ chu trình mỗi một biến cố luôn luôn được xuất hiện trở lại.
Định nghĩa 3.9:
Hệ mạng điều kiện - biến cố  được gọi là sống nếu và chỉ nếu:
c  C , e  E : c'  C để cho (c, c')  r

*
và e là c'-kích hoạt.
19
Định lý 3.6: Mọi hệ mạng điều kiện - biến cố chu trình là sống.
Chứng minh:
Giả sử c  C và e  E.
Theo định nghĩa của hệ mạng điều kiện - biến cố phải có trường hợp c' trong C
để nó kích hoạt được e. Theo tính chu trình thì (c, c')  r

*
.
Điều ngược lại thì không phải khi nào cũng đúng. Ta hãy xét phản ví dụ
sau đây.
Ví dụ 3.10: Hệ mạng điều kiện - biến cố sống nhưng không là chu trình.
Hình 3.5. Hệ sống nhưng không là chu trình
3.4 Các hệ mạng điều kện - biến cố tương đương
Ta nói rằng hai hệ mạng điều kiện - biến cố đã cho là tương đương nếu các
trường hợp và các bước của chúng tương ứng với nhau theo cách sau đây.

Định nghĩa 3.11: Giả sử  và ' là hai hệ mạng điều kiện - biến cố.
1) Giả sử có hai song ánh  : C

 C
’
và  : E

 E
’
.
- Hai hệ  và ' được gọi là (,)-tương đương nếu và chỉ nếu:
c
1
, c
2
 C

, G  E

: c
1
[ G > c
2
 (c
1
) [ (G) > (c
2
).
- Hai hệ  và ' được gọi là tương đương nếu và chỉ nếu chúng là (,)-
tương đương đối với cặp song ánh (,) nào đó và ta ký hiệu:   '.

2) Hai hệ  và ' được gọi là đẳng cấu nếu và chỉ nếu hai mạng (B

, E

, F

) và
(B
'
, E
'
, F
’
) là -đẳng cấu với song ánh  nào đó và:
c  C

 {(b)  b  c}  C
’
.
Định lý 3.7: Sự đẳng cấu mạnh hơn sự tương đương. Quan hệ  là một quan hệ
tương đương.
20
Định lý 3.8: Các hệ mạng điều kiện - biến cố tương đương có số các trường hợp,
số các biến cố và số các bước như nhau nhưng số các điều kiện của chúng có thể
khác nhau.
Ví dụ 3.12: Hai hệ mạng điều kiện - biến cố tương đương biểu diễn các mùa
trong năm.
Hình 3.6. Hai hệ mạng điều kiện - biến cố tương đương
Tập các điều kiện B' : s
1

– xuân hoặc hạ
s
2
– xuân hoặc thu
s
3
– hạ hoặc thu.
Tập các trường hợp C' : {s
1
, s
2
} = xuân , {s
1
, s
3
} = hạ ,
{s
2
, s
3
} = thu ,  = đông.
Định lý 3.9: Giả sử  và ' là hai hệ mạng điều kiện - biến cố tương đương.
1. Hệ  là chu trình  hệ ' là chu trình.
2. Hệ  là sống  hệ ' là sống.
Hệ mạng điều kiện - biến cố tuần tự với các trường hợp bao gồm chỉ một
điều kiện tương ứng với các otomat hữu hạn. Với hai hệ như thế sự tương đương
trùng với sự đẳng cấu.
Bổ đề 3.10: Giả sử  và ' là hai hệ mạng điều kiện - biến cố mà: c  C



C
’
, |c| = 1. Khi đó thì:   ' khi và chỉ khi chúng là đẳng cấu.
Chứng minh:
Giả sử  là (,)-tương đương với '. Vì mỗi trường hợp của chúng chỉ
chứa đúng một điều kiện nên mỗi điều kiện b tạo nên trường hợp {b}. Song ánh
 : C

 C
’
sinh ra song ánh ' : B

 B
’
như sau:
21
'(b) = b'  ({b}) = {b'}.
Ánh xạ ' :   ' được định nghĩa như sau: '(b) = '(b) nếu b  B

và '(e) =
(e) nếu e  E

. Hiển nhiên ' là một song ánh.
Mọi biến cố đều phải có khả năng xuất hiện. Do vậy, với mọi biến cố e trong E

thì 0 < |

e| + |e

|  2.

Giả sử (b, e)  F

. Thế thì biến cố e là {b} -kích hoạt. Vậy (e) là ({b})
-kích hoạt và ('(b), '(e))  F
’
.
Chứng minh một cách tương tự thì từ (e, b)  F

suy ra ('(e), '(b))  F
'
.
Điều ngược lại là hiển nhiên.
3.5 Hệ mạng điều kiện - biến cố an toàn
Trong phần 3.1 chúng ta đã chỉ ra rằng biến cố sẽ không được kích hoạt
trong tình trạng không an toàn. Tình trạng như thế có thể loại trừ được nhờ một
phép biến đổi tương đương trên các hệ mạng điều kiện - biến cố. Để làm việc
này, ta thêm cho mỗi điều kiện b một điều kiện bù

b
của nó sao cho trong mỗi
trường hợp của hệ thì hoặc b hoặc

b
được thoả mãn.
Định nghĩa 3.13: Giả sử  là hệ mạng điều kiện - biến cố và b, b' là các điều
kiện trong B

.
1. Điều kiện b' được gọi là bù của điều kiện b khi và chỉ khi


b = b'

và b

=

b'.
2. Hệ  là đầy đủ nếu mỗi điều kiện b trong B

đều có điều kiện bù b' cũng
trong B

.
Bổ đề 3.11:
Giả sử  là hệ mạng điều kiện - biến cố và b là một điều kiện trong B

.
1) b có nhiều nhất một bù, được ký hiệu là
b
.
2) Nếu b có bù là
b
thì
b
cũng có bù và

b
= b.
3) c  C


: hoặc b  c hoặc
b
 c.
Nếu hệ  là đầy đủ thì:
4) e  E

: |

e| = |e

|.
5) c  C

: |c| =
2
1
|B

|.
Chứng minh:
1) Suy từ tính đơn giản của hệ .
2) Suy từ định nghĩa của điều kiện bù.
22
3) Điều này đúng vì trong trường hợp ngược lại thì các biến cố liên quan không
thể được kích hoạt trong bất kỳ một trường hợp nào và mâu thuẫn với định nghĩa
của hệ mạng điều kiện - biến cố.
4) Suy từ định nghĩa của điều kiện bù.
5) Suy từ 3).
Ví dụ 3.14: Cách xây dựng điều kiện bù.
Hỉnh 3.7. Điều kiện b và bù của nó

b
Định nghĩa 3.15: Giả sử  là hệ mạng điều kiện - biến cố.
Ký hiệu B là tập các điều kiện trong B

không có bù. Với mỗi điều kiện b
trong B ta thêm vào điều kiện bù
b
. Đặt quan hệ:
F = { (e,
b
) b  B  (b, e)  F

}  { (
b
, e) b  B  (e, b)  F

}.
Với c  C

đặt (c) = c  {
b
b  B  b  c}.
Khi đó hệ mạng điều kiện - biến cố


= ( B

 {
b
b  B}, E


; F

 F, (C

))
được gọi là đầy đủ của hệ .
Hiển nhiên, mỗi điều kiện b trước đây không có bù trong hệ  thì nay đã
có bù trong hệ


.
Định lý 3.12: Giả sử  là hệ mạng điều kiện - biến cố và trường hợp c  C

.
1.


=


2. b  B

, c  C

: b  (c) 
b
 (c).
3. c = (c)  B


.
Bổ đề 3.13: Hàm  : C

 C
’
như trong Định nghĩa 3.15 là một song ánh.
23
Chú ý: Giả sử  là hệ mạng điều kiện - biến cố và biến cố e  E

. Để đơn giản
ký hiệu ta viết
–
e và e
–
chỉ tập vào và tập ra tương ứng của e trong hệ đầy đủ


.
Định lý 3.14: Giả sử  là hệ mạng điều kiện - biến cố và tập G  E

. Ký hiệu B
là tập các điều kiện không có bù trong B

.
a)
–
G =

G  {
b

 b  B  b  G

} và
G
–
= G

 {
b
b  B  b 

G }
b)

G =
–
G  B

, G

= G
–
 B

.
Bây giờ ta chỉ ra rằng việc làm đầy đủ một hệ mạng điều kiện - biến cố sẽ
cho ta một hệ mạng điều kiện - biến cố an toàn tương đương.
Định lý 3.15: Nếu hệ



là đầy đủ của hệ  thì


tương đương với  .
Chứng minh:
Vì  : C

 C


là một song ánh nên ta chỉ cần chỉ ra rằng:
c
1
, c
2
 C

, G  E

: c
1
[ G > c
2
 (c
1
) [ G > (c
2
).
Theo Bổ đề 3.13 ta cần chỉ ra rằng:
( c

1
\ c
2
=

G  c
2
\ c
1
= G

)  ((c
1
) \ (c
2
) =
–
G  (c
2
) \ (c
1
) = G
–
).
Chứng minh mệnh đề  :
Theo Định lý 3.12 và 3.14 ta có:
c
1
= (c
1

)  B

, c
2
= (c
2
)  B

,

G =
–
G  B

và G

= G
–
 B

.
Vậy thì:
c
1
\ c
2
= ((c
1
)  B


) \ ((c
2
)  B

) = ((c
1
) \ ((c
2
))  B

) =
–
G  B

=

G.
Tương tự ta có: c
2
\ c
1
= G

.
Chứng minh mệnh đề ngược lại  :
Giả sử tập B là tập các điều kiện không có bù của hệ  và:

B
1
= {

b
b  B \ c
1
} và

B
2
= {
b
b  B \ c
2
}.
Vậy thì: (c
1
) = c
1


B
1
và (c
2
) = c
2


B
2
.
(c

1
) \ (c
2
) = (c
1


B
1
) \ (c
2


B
2
)
= (c
1
\ (c
2


B
2
))  (

B
1
\ (c
2



B
2
)
24
= (c
1
\ c
2
)  (

B
1
\

B
2
) vì c
1


B
2
=

B
1
 c
2

= 
=

G  ({
b
b  B \ c
1
} \ {
b
b  B \ c
2
})
=

G  {
b
b  (B \ c
1
)  b  (B \ c
2
)}
=

G  {
b
b  B  b  c
1
 b  c
2
}

=

G  {
b
b  B  b  (c
2
\ c
1
)}
=

G  {
b
b  B  b  G

}
=
–
G (theo Định lý 3.12).
Chứng minh tương tự ta cũng có: (c
2
) \ (c
1
) = G
–
.
Định nghĩa 3.16: Giả sử  là hệ mạng điều kiện - biến cố.
Hệ  được gọi là an toàn (safe) nếu với mỗi biến cố e  E

và mỗi trường

hợp c  C

:
1.

e  c  e

 B

\ c , nghĩa là e

 c = .
2. e

 c 

e  B

\ c , nghĩa là

e  c = .
Chú ý rằng, trong định nghĩa trên mệnh đề 2. không phải bao giờ cũng suy
được từ mệnh đề 1. Chẳng hạn, xét hệ đơn giản sau đây:
Hình 3.8. Một hệ mạng đơn giản
Định lý 3.16:
1) Mọi hệ mạng điều kiện - biến cố đầy đủ là an toàn.
2) Mỗi hệ mạng điều kiện - biến cố đều có một hệ mạng an toàn tương đương.
3) Nếu hệ  là an toàn thì: e  E

:


e    e

 .
Chứng minh:
1) Giả sử hệ  là đầy đủ, b  B

, e  E

và c  C

.
Nếu b 

e  c thì
b
 e

 (B

\ c). Do vậy: e

 c. Còn nếu b  e

 c thì
b


e  (B


\ c). Do vậy:

e  c.
2) Hệ


chính là hệ đầy đủ, an toàn tương đương cần tìm.
3) Giả sử rằng e

= . Thế thì

e   vì e không cô lập. Khi đó, c  C

mà

e  c. Vì e

 B

\ c nên mâu thuẫn với giả thiết e

= .
Chứng minh tương tự cho trường hợp

e = .
Hiển nhiên, không phải mọi hệ mạng điều kiện - biến cố an toàn nào cũng
đầy đủ.
25
3.6 Đồ thị các trường hợp
Để có cái nhìn đầy đủ tất cả các bước của một hệ mạng điều kiện - biến

cố, ta xây dựng đồ thị các trường hợp của hệ này. Các đỉnh của đồ thị chính là
các trường hợp còn các cung là các bước xảy ra trên hệ mạng.
Định nghĩa 3.17:
Giả sử  là một hệ mạng điều kiện - biến cố. Ký hiệu  là tập tất cả các
bước của hệ này.
Đặt:
P = { (c
1
, G, c
2
)  C

   C

 c
1
[ G > c
2
}.
Đồ thị 

= (C

, P) được gọi là đồ thị các trường hợp của .
Định lý 3.17: Hệ mạng điều kiện - biến cố  là chu trình nếu và chỉ nếu đồ thị
các trường hợp của nó là liên thông mạnh.
Chứng minh:
Giả sử hệ mạng điều kiện - biến cố  với tập các bước . Khi đó:
 là chu trình  c, c'  C


: (c, c')  r

*
 c, c'  C

, G
1
, G
2
, … G
n
  , c
0
, c
1
, … c
n
 C

:
c = c
0
[G
1
> c
1
[G
2
> c
2

…. c
n-1
[G
n
> c
n
= c'
 

là liên thông mạnh.
Định lý 3.18: Hệ mạng điều kiện - biến cố  là sống khi và chỉ khi với mỗi
trường hợp c  C

và với mỗi biến cố e  E

đều có một đường đi < c G
1
c
1
…
G
n
c
n
> trong đồ thị 

mà nhãn G
n
= {e}.
Chứng minh:

Hệ mạng điều kiện - biến cố  là sống 
c  C

, e  E

, c', c"  C

: (c, c')  r

*
 c' [e > c" 
Tồn tại đường đi < c G
1
c
1
… c
n-1
G
n
c
n
> mà c
n-1
= c' , G
n
= {e} và c
n
= c".
Đó chính là điều phải chứng minh.
Ví dụ 3.18: