Chuyên đề lượng giác ôn thi đại học cao đẳng potx
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.01 MB, 55 trang )
WWW.ToanCapBa.Net
Chuyên đề phương trình lượng giác 1 LTĐH Năm 2012-2013
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình WWW.ToanCapBa.Net
CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
1:Các điều kiện biểu thức có nghĩa:
*
A có nghĩa khi 0A .
*
A
1
có nghĩa khi 0A .
*
A
1
có nghĩa khi 0A
Đặt biệt:
*
2
2
1sin kxx *
kxx
0sin
*
2
2
1sin kxx
*
21cos kxx
*
kxx
2
0cos
*
21cos kxx .
*Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối
xứng. Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ O làm
tâm đối xứng.
2:Công thức của phương trình lượng giác cơ bản:
*
2
2
sinsin
kx
kx
x
*
2arcsin
2arcsin
sin
kax
kax
ax
( với 1a và a
không phải là giá trị đặt biệt)
*
000
00
0
360180
360
sinsin
kx
kx
x
*
2
2
coscos
kx
kx
x
*
2arccos
2arccos
cos
kax
kax
ax
( với 1a và a
không phải là giá trị đặt biệt)
*
00
00
0
360
360
coscos
kx
kx
x
*
kxx tantan
*
kaxax arctantan
(với a không phải là giá
trị đặt biệt)
*
000
180tantan kxx
*
kxx
cotcot
*
kaarcxax
cotcot (với a không
phải là giá trị đặt biệt)
*
000
180cotcot kxx
3: Công thức lượng giác cơ bản:
*
1cossin
22
*
2
2
cos
1
tan1
*
2
2
sin
1
cot1
* 1cot.tan
4: Công thức đối:
*
cos)cos(
*
sin)sin(
*
tan)tan(
*
cot)cot(
5: Công thức bù:
*
sin)sin(
*
cos)cos(
*
tan)tan(
*
cot)cot(
6:Công thức phụ:
*
cos)
2
sin(
*
sin)
2
cos(
*
cot)
2
tan( *
tan)
2
cot(
7:Công thức hơn kém
:
*
sin)sin(
*
cos)cos(
*
tan)tan(
*
cot)cot(
8:Công thức cộng:
*
bababa sin.sincos.cos)cos(
*
bababa sin.sincos.cos)cos(
*
bababa sin.coscos.sin)sin(
*
bababa sin.coscos.sin)sin(
*
ba
ba
ba
tan.tan1
tantan
)tan(
*
ba
ba
ba
tan.tan1
tantan
)tan(
9:Công thức nhân đôi:
*
22 2
cos 2 cos sin 2cos 1aaa a
a
2
sin21
.
*
aaa cos.sin22sin
*
2
tan1
tan2
2tan
WWW.ToanCapBa.Net
Chuyên đề phương trình lượng giác 2 LTĐH Năm 2012-2013
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình WWW.ToanCapBa.Net
10. Công thức nhân ba:
*
3
sin4sin33sin
*
cos3cos43cos
3
11:Công thức hạ bậc:
*
2
2cos1
cos
2
a
a
2
2cos1
sin
2
a
a
*
2cos1
2cos1
tan
2
12:Công thức biến đổi tích thành tổng:
*
)cos()cos(
2
1
cos.cos bababa
)cos()cos(
2
1
sin.sin bababa
)sin()sin(
2
1
cos.sin bababa
13:Công thức biến đổi tổng thành tích:
*
2
cos
2
cos2coscos
baba
ba
2
sin
2
sin2coscos
baba
ba
2
cos
2
sin2sinsin
baba
ba
2
sin
2
cos2sinsin
baba
ba
ba
ba
ba
cos.cos
)sin(
tantan
0
6
4
3
2
sin 0
2
1
2
2
2
3
1
cos 1
2
3
2
2
2
1
0
tan 0
3
1
1
3
KXĐ
cot KXĐ
3
1
3
1
0
Các phương trình lượng giác thường gặp:
1. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số
lượng giác:
*
0
b
aX b X
a
Trong đó là một hàm số lượng giác
2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số
lượng giác:
* Dạng
0sinsin
2
cxbxa
Đặt
sin , 1 1tx t
.
* Dạng
0coscos
2
cxbxa
Đặt
cos , 1 1tx t
.
* Dạng
0tantan
2
cxbxa Đặt
x
t tan
.
* Dạng
0cotcot
2
cxbxa Đặt
x
t co
t
.
3. Phương trình dạng
cxbxa
cossin (1):
*Cách giải:
+ Chia hai vế của phương trình (1) cho
22
ba ta được:
222222
cossin
ba
c
x
ba
b
x
ba
a
22
cossinsincos
ba
c
xx
22
)sin(
ba
c
x
4. Phương trình dạng:
dxcxxbxa
22
coscossinsin
(1)
Cách giải:
+ Thay
2
cos 0( sin 1)
2
xxk x
vào (1) để kiểm tra có phải là nghiệm không?
Nếu thỏa thì kết luận
2
x
k
là nghiệm
của phương trình.
+ Với
cos 0 ( )
2
x
xk
, chia hai
vế của (1) cho
x
2
cos ta được phương trình:
WWW.ToanCapBa.Net
Chuyên đề phương trình lượng giác 3 LTĐH Năm 2012-2013
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình WWW.ToanCapBa.Net
5: Phương trình :
* Dạng
cxxbxxa cossin)cos(sin
Đặt
2,))
4
sin(2(cossin txxxt
Ta có :
2
1
cossin
2
t
xx
.
Thay vào phương trình ta được phuơng trình theo
biến t.
* Dạng
cxxbxxa cossin)cos(sin
Đặt
2,))
4
sin(2(cossin txxxt
Ta có :
2
1
cossin
2
t
xx
.
Thay vào phương trình ta được phương trình theo
biến t.
MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG
TỪ NĂM 2002 ĐẾN 2012
Giải các phương trình sau:
1.
(1 2 sin x ) cos x
3
(1 2 sin x )(1 sin x )
( ĐH KHỐI A-2009 )
2.
3
sin x cos x sin 2x 3 cos3x 2(cos 4x sin x)
( ĐH KHỐI B-2009 )
3.
3cos5x 2sin3xcos2x sinx 0
(ĐH KHỐI D-2009 )
4.
x
x
x
4
7
sin4
)
2
3
sin(
1
sin
1
( ĐH KHỐI A-2008 )
5. xxxxxx cossin3cossincos3sin
2233
( CĐ KHỐI B -2008 )
x
dcxbxa
2
2
cos
1
.tantan
)tan1.(tantan
22
xdcxbxa
6.
xxxx cos212sin)2cos1(sin2
( ĐH KHỐI D-2008 )
7.
xxx 2sin23cos33sin
( CĐ KHỐI A, B, D-2008 )
8.
xxxxx 2sin1sin)cos1(cos)sin1(
22
( ĐH KHỐI A-2007 )
9.
xxx sin17sin72sin2
2
( ĐH KHỐI B-2007 )
10.
2cos3
2
cos
2
sin
2
x
xx
( ĐH KHỐI D-2007 )
11.
0
sin22
cossinsincos2
66
x
xxxx
( ĐH KHỐI A-2006)
12.
4)
2
tantan1(sincot
x
xxx
( ĐH KHỐI B-2006 )
13.
01cos2cos3cos
xxx
( ĐH KHỐI D-2006 )
14.
0cos2cos3cos
22
xxx
( ĐH KHỐI A-2005 )
15.
02cos2sincossin1
xxxx
( ĐH KHỐI B-2005 )
WWW.ToanCapBa.Net
Chuyên đề phương trình lượng giác 4 LTĐH Năm 2012-2013
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình WWW.ToanCapBa.Net
17.
xxx
2
tan)sin1(32sin5
( ĐH KHỐI B-2004 )
18.
xx
x
x
x 2sin
2
1
sin
tan1
2cos
1cot
2
( ĐH KHỐI A-2003)
19.
x
xxx
2sin
2
2sin4tancot
( ĐH KHỐI B-2003 )
20.
0
2
costan
42
sin
222
x
x
x
( ĐH KHỐI D-2003 )
21. Tìm nghiệm thuộc khoảng
2;0
của phương
trình:
32cos
2sin21
3sin3cos
sin5
x
x
xx
x
( ĐH KHỐI A-2002 )
22.
xxxx 6cos5sin4cos3sin
2222
( ĐH KHỐI B-2002 )
23. Tìm x thuộc đoạn
14;0 nghiệm đúng phương
trình:
04cos32cos43cos xxx
( ĐH KHỐI D-2002 )
24.
xxxx cos3
2
3cos
2
2cos
2
cos
222
( CĐ KT-KTCN I KHỐI A-2006 )
25.
1)cos(sin2cossin
33
xxxx
( CĐ KT-KTCN II KHỐI A-2006 )
16.
0
2
3
4
3sin
4
cossincos
44
xxx
( ĐH KHỐI D-2005 )
26.
024sin)cos(sin4
44
xxx
( CĐ XD số 2 -2006 )
27.
4
sin2
2sin1
2sin
2
sin
2
cos
2
44
x
x
x
xx
( CĐ XD số 3 - Khối A -2006 )
28.
3
1sincos2
2sincos
2
xx
xx
( CĐ GTVT III - Khối A -2006 )
29.
xxxx sin3coscossin4
33
( CĐ SP Hưng Yên - Khối A -2006 )
30.
xxxx cossin3sincos
23
( CĐ SP Hưng Yên - Khối B -2006 )
31.
xx
22
sin
2
1
2sin
( CĐ SP Hưng Yên - Khối D
1
, M -2006 )
32.
07cos2sin
2
5
cos
2
sin
2
3
cos
2
7
sin
xx
xxxx
( CĐ BC Hoa Sen -2006 )
33.
x
x
x
sin
sin1
2
2
tan3
2
( CĐ Sài Gòn -2007 )
34.
xx 2cos
2
1
4
sin
2
WWW.ToanCapBa.Net
Chuyên đề phương trình lượng giác 5 LTĐH Năm 2012-2013
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình WWW.ToanCapBa.Net
35.
xxxxx sin2sincossin21cos2
( ĐH KHỐI D-2004 )
WWW.ToanCapBa.Net
Chuyên đề phương trình lượng giác 6 LTĐH Năm 2012-2013
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình WWW.ToanCapBa.Net
I. Phương trình lượng giác cơ bản:
Ví dụ 1: Giải phương trình:
a.
sin 2 sinxx b. sin 2 2cos
x
x c. os3 sinxcx
d.
osx=-sin
2
x
c
e.
2
3
24
x
sin
f. sin4x 2sin . os4x
3
c
g.
3
os
42
x
c
Giải:
a.
2
22
sin 2 sinx sin2x=sin(-x)
3
22
2
xxk
xk
x
xxk
x
k
b.
2cos 0
2sin .cos 2cos 0 2cos sinx 1 0
sinx 1 0
x
pt x x x x
cos 0
2
sinx 1
2
2
2
xk
x
x
k
xk
c.
3242
22
os3 sinx cos3 os
2
3222
22
xxk xk
cx xc x
x
xk x k
82
4
x
k
x
k
d.
2
2
osx=-sin osx sin osx cos
22 2
2
2
x
xk
xx x
cc c
x
x
k
24
2
2
24
3
2
33
2
x
xk
k
x
xk
k
e.
2
31cos 3 1 2
2 2 cos 3 2cos 1 cos cos os
24 2 4 2 3
xx
sin x x x x c
2
2
3
2
2
3
xk
x
k
WWW.ToanCapBa.Net
Chuyên đề phương trình lượng giác 7 LTĐH Năm 2012-2013
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình WWW.ToanCapBa.Net
f.
3sin4
sin4x 2sin . os4x sin4x=2. . os4 sin 4 3 os4 3
32 os4
x
ccxxcx
cx
tan 4 3 tan 4 tan 4
33 124
x
xxkxk
g.
510
28
35
46 3
os os os
510
42 4 6
28
46 3
x
kxk
xx
ccc
x
kx k
Ví dụ 2: Giải phương trình
33
sin .sin 3 os .cos3 1
8
tan .tan
63
xxcx x
xx
Giải:
Điều kiện:
62
k
x
Ta có
tan .tan tan .cot tan .cot 1
63 66 66
xx x x xx
Phương trình tương đương với:
33
sin .sin 3 os .cos 3 1
18
xxcx x
33 2 2
11
sin .sin 3 os .cos3 sin .sinx.sin 3 os .cos . os3
88
xxcx x x xcxxcx
1 os2 os2 os4 1 os2 os2 os4 1
22 228
1
2 os2 os2 . os4
2
cxcxcx cxcxcx
cxcxcx
3
11
os os2
82
cx c x
ai
6
,
6
xklo
kZ
xk
.
Vậy :
6
x
k
WWW.ToanCapBa.Net
Chuyên đề phương trình lượng giác 8 LTĐH Năm 2012-2013
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình WWW.ToanCapBa.Net
Ví dụ 3: Giải phương trình:
x
xx
xx
2
32
2
cos
1coscos
tan2cos
Giải:
Điều kiện: cosx ≠ 0
222
cos 1
cos 2 tan 1 cos (1 tan ) 2cos cos -1 0
1
cos
2
2()
2
2()
3
x
pt x x x x x x
x
xk n
xkn
Ví dụ 4: Tìm các nghiệm trên
0; 2
của phương trình :
sin 3x sin x
sin 2x cos2x
1cos2x
Giải:
ĐK :
22
1 cos2x 0 2sin x 0 sin x 0 sinx 0 x
pt
2cos2x.sin x
2cos 2x
4
2sinx
Khi
x0;thì sinx > 0 nên :
(1)
2
cos2x =
2
cos 2x
4
x
16 2
Do
x0;
nên
9
xhayx
16 16
Khi
x;2
thì sinx < 0 nên :
(1)
2 cos2x = 2 cos 2x
4
cos -2x = cos 2x-
4
5
x
16 2
Do
x;2 nên
21 29
xhayx
16 16
Ví dụ 5: Giải phương trình :
5
22os sin 1
12
cxx
Giải:
WWW.ToanCapBa.Net
Chun đề phương trình lượng giác 9 LTĐH Năm 2012-2013
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình WWW.ToanCapBa.Net
5
22os sin 1
12
cxx
55
2 sin 2 sin 1
12 12
x
551 5 5
sin 2 sin sin sin 2 sin sin
12 12 4 12 4 12
2
2cos sin sin
312 12
xx
5
22
5
6
12 12
sin 2 sin
513
3
12 12
22
12 12
4
xk
xk
xk
xk
xk
Ví dụ 6: Giải phương trình:
12(cossin)
tan cot 2 cot 1
x
x
xx x
Giải:
Điều kiện:sinx.cosx
0 và cotx 1
Phương trình đã cho tương đương với
12(cossin)
sin cos 2 cos
1
cos sin 2 sin
x
x
xx x
xx x
1 2(cos s inx) 1
2sinx
sin 2 sin os2 cos cos s inx cos
cos sin 2 sinx cos sin 2
sinx 0 ( )
sin 2 2 sinx 0 2sin cos 2 s inx 0
2
cos
2
x
xxcx x x x
xx xx
loai
xxx
x
cosx =
2
2
x =
2
4
k
Đối chiếu điều kiện pt có 1 họ nghiệm x =
2
4
k
II. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lương giác:
Phương trình dạng : a.f
2
(x) + b.f(x) + c = 0 , trong đó f(x) là hàm số lượng giác.
Và a, b, c là các hệ số a 0.
Cách giải
: Đặtë t = f(x) ( nếu f(x) là sinx hoặc cosx thì
1t
)
+ Giải phương trình at
2
+ bt + c = 0 và chọn t thoả mãn điều kiện.
WWW.ToanCapBa.Net
Chuyên đề phương trình lượng giác 10 LTĐH Năm 2012-2013
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình WWW.ToanCapBa.Net
+ Giaûi phöông trình f(x) = t.
Ví dụ 1: Giải phương trình sau:
a.
22
sin 3cos 2cos 3cos 2 2xx x x b.
22
5sin 2cos 3sin 10 2cos 2
x
xx x
c.
os3 .cos 1cx x
Giải:
a. pt
222
1 os 3cos 2cos 3(2 cos 1) 2cx x x x
2
cos 1
5cos 3cos 2 0
2
cos
5
x
xx
x
2
2
arccos 2
5
2
arccos 2
5
xk
xk
x
k
b.
22 2
5sin 2(1 sin ) 3sin 10 2(1 2sin )
p
tx xx x
2
sinx 1
11sin 3sin 14
11
sinx ( )
4
xx
VN
2
2
x
k
c.
2
1
os4 os2 1 os4 os2 2 2cos 2 1 os2 2
2
pt cxcx cxcx x cx
2
os2 1
2cos 2 os2 3 0 os2 1 2 2
3
os2 ( )
2
cx
x
cx cx xk
cx VN
x
k
Ví dụ 2. Giaûi các phương trình sau:
a.
2
2cos4 6 s 1 3cos2
0
cos
xcox x
x
(1) b. 1
cos1
sin2)1cos2(cos1
x
xxx
(2)
c.
2
323(1).cotcosx cosx x (3) d.
66 2
sin 2 1
x
cos x cos x
(4)
Giải:
a. Đk
mx
2
.
Ta có (1)
02cos312cos1(312cos22
2
xxx
WWW.ToanCapBa.Net
Chuyờn phng trỡnh lng giỏc 11 LTH Nm 2012-2013
Nguyn Anh Tun -Trng THPT Nguyn Thỏi Bỡnh WWW.ToanCapBa.Net
kx
k
x
x
x
xx
6
2
2
1
2cos
12cos
012cos32cos2
2
i chiu vi iu kin ta c
Zkhkxhx ,;
6
;
.
b. K :
21cos mxx
Ta cú: (2)
0sin2)sin1(2cos1sin2coscos21
22
xxxxxx
2
2
sin
2sin 2sin 2 0
2
sin 2 ( )
x
xx
xVN
2
4
5
2
4
4
sin
2
2
sin
kx
kx
x
( Tha iu kin)
c. K :
m
x
Ta cú (3)
x
x
xx
2
2
sin
cos
)cos1(322cos3
x
x
xx
2
2
cos1
cos
)cos1(322cos3
02coscos6
cos1
cos3
2cos3
2
2
xx
x
x
x
2)
3
2
arccos(
2
3
3
2
cos
2
1
cos
kx
kx
x
x
(Tha K)
d. Ta cú:
4
1
2cos
4
3
2sin
4
3
1)cos(sincossin3)cos(sin
)(cossincossin
2
22222322
32
3
266
x
xxxxxxx
xxxx
Khi ú: (4)
012cos42cos32cos
4
1
2cos
4
3
22
xxxx
2
3
1
arccos
2
1
3
1
2cos
12cos
kx
kx
x
x
Vớ d 3: Tỡm caực nghieọm treõn khoaỷng
0;
cuỷa phửụng trỡnh :
WWW.ToanCapBa.Net
Chuyên đề phương trình lượng giác 12 LTĐH Năm 2012-2013
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình WWW.ToanCapBa.Net
sin 3 cos3
74cos2
2sin2 1
xx
cosx x
x
(5)
Giải:
ĐK : sinx
2
12
2
12
5
2
1
mx
mx
Ta có
33
sin 3 cos 3 3sin 4sin 4 cos 3cos
3(sin cos ) 4(sin cos )(1 sin cos )
x
xx x xx
xx xx xx
)12sin2)(cos(sin)1cossin4)(cos(sin
xxxxxxx
xx
x
xx
cossin
12sin2
3cos3sin
Ta có (5)
)sin21(4sin72cos4)coscos(sin7
2
xxxxxx
2
sin 3 ( )
2sin 7sin 3 0
1
sin
2
x
VN
xx
x
2
1
6
sin
5
2
2
6
xk
x
x
k
*Chọn nghiệm thuộc khoảng
;0 ta được hai nghiệm của phương trình là:
6
5
;
6
xx
Ví dụ 4: Giải phöông trình :
cos 2 5sin 3 0 (*)xx
.
Giải:
(*)
2
1 2sin 5sin 3 0xx
2
2sin 5sin 2 0xx
1
sinx
2
sinx 2 ( )VN
2
1
6
sin
5
2
2
6
xk
x
x
k
Ví dụ 5. Giải phương trình
2
17
sin(2 ) 16 2 3.sin cos 20sin ( )
2212
x
xxx
Giải:
13
os2 3 sin 2 10 os( ) 6 0 os2 sin 2 5 os( ) 3 0
622 6
pt c x x c x c x x c x
WWW.ToanCapBa.Net
Chuyên đề phương trình lượng giác 13 LTĐH Năm 2012-2013
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình WWW.ToanCapBa.Net
os(2 ) 5 os( ) 3 0
36
cx cx
2
2os( ) 5os( ) 2 0
66
cx cx
1
os( )
2
62
2
5
2
os( ) 2 ( )
6
6
cx
xk
xk
cx VN
Ví dụ 6. Giải phöông trình
44
4
sin 2 os 2
os 4
tan( ).tan( )
44
xc x
cx
xx
.
Giải:
Điều kiện:
,
42
x
llZ
Ta có :
tan( ) tan( ) tan( ) cot( ) 1
44 44
xx xx
44 2 2
111
sin 2 os 2 1 sin 4 os 4
222
x
cx x cx
2
42
2
os 4 1
2cos 4 os 4 1 0
1
os 4 ( )
2
cx
pt x c x
cx VN
22
1os40sin40sin404
4
cx x x xk xk
Kết hợp ĐK ta được nghiệm của phương trình là
,
2
x
kkZ
Ví dụ 7. Giải phöông trình
22
23sinx
sin x sin x
332
Giải:
Pt
22
1 cos 2x 1 cos 2x
3sinx
33
222
22
1sinx cos2x cos 2x 0
33
1
1sinx 2cos2x 0
2
1 – cos2x – sinx = 0 2sin
2
x – sinx = 0
WWW.ToanCapBa.Net
Chuyên đề phương trình lượng giác 14 LTĐH Năm 2012-2013
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình WWW.ToanCapBa.Net
sin x 0
1
sin x
2
xk
xk2
6
5
xk2
6
(k Z)
Ví dụ 8. Giải phương trình:
sin 2 cos 2
tan cot
cos sin
xx
x
x
xx
(1)
Giải:
Điều kiện:
cos 0
sin 2 0
sinx 0
2
x
x
xk
(1)
xsin
xcos
xcos
xsin
xcosxsin
xsinx2sinxcosx2cos
22
22
cos 2
sin cos
cos sin os
sin cos sin cos
xx
xx
x
xc x
xx xx
2
2()
cos 1
2cos cos 1 0
2
1
2()
cos
3
2
xkl
x
xx
x
kn
x
Ví dụ 9. Giải phương trình :
01cossin2sinsin2
2
xxxx
Giải:
Ta có:
01cossin)1cos2(sin201cossin2sinsin2
22
xxxxxxxx .
22
)3cos2()1(cos8)1cos2( xxx .
Suy ra
5,0sin x
hoặc 1cossin
xx .
Với 5,0sin x ta có
kx 2
6
hoặc
kx 2
6
5
Với
1cossin xx ta có
4
sin
2
2
4
sin1cossin
xxx
Vậy nghiệm của phương trình là
kx 2
hoặc
kx 2
2
3
Ví dụ 10. Giải phương trình:
2cos5 .cos3 sin cos8
x
xx x
Giải:
PT cos2x + cos8x + sinx = cos8x
1- 2sin
2
x + sinx = 0
sinx = 1 hoặc
1
sin
2
x
WWW.ToanCapBa.Net
Chun đề phương trình lượng giác 15 LTĐH Năm 2012-2013
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình WWW.ToanCapBa.Net
7
2; 2; 2,( )
266
x
kx kx k kZ
Ví dụ 11. Giải phương trình:
2
342sin2
23 2(cot 1)
sin 2
cos
x
x
x
x
.
Giải:
Đk:
2
x
k
Phương trình đã cho tương đương với:
2
4
31 tan 2 3 2cot
sin 2
x
x
x
22
2
2
2(sin cos )
3tan 3 2cot
sin cos
3tan 2tan 3 0
xx
x
x
xx
xx
tan 3
3
1
tan
3
6
x
k
x
x
x
k
So sánh với điều kiện phương trình có nghiệm :
62
x
k
;
kZ
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ :
1. Giải phương trình :
a.
22
4sin 2 6sin 9 3cos2
0
cos
xx x
x
b.
2
cos 2 3 2 2 1
1
1sin2
xsinx cosx
x
c.
2
523(1).tansinx sinx x d.
88 2
17
sin 2
16
x
cos x cos x
2. Tìm các nghiệm trên khoảng
0; 2
của phương trình :
cos 3 sin 3
53cos2
12sin2
xx
sinx x
x
III. Phương trình bậc nhất theo sin và côsin cùng một cung:
Phương trình dạng
: asinx + bcosx = c , với a.b
0
WWW.ToanCapBa.Net
Chun đề phương trình lượng giác 16 LTĐH Năm 2012-2013
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình WWW.ToanCapBa.Net
+ Điều kiện phương trình có nghiệm : a
2
+ b
2
c
2
.
+ Cách giải
:
- Chia 2 vế phương trình cho
22
ab
ta được :
22 22 22
cosasinx b x c
ab ab ab
- Đặt
22 22
sin
ab
cos
ab ab
và đặt
22
sin
c
ab
ta có phương trình:
sin( ) sinx
Ví dụ 1.
Giải các phương trình sau
a.
3sin2 os2 2xc x b. sinx 3 cos 2sin 3
x
x
c.
cos 3 sin 3 os3 3 sin
x
xc x x d.
22
3sin os 3 sinx cos
x
cx x
Giải:
a. pt
31
sin 2 os2 1 os sin 2 sin os2 1
22 6 6
x
cx c x cx
sin 2 1 2 2
662
x
xk
6
x
k
b.
13
sinx cos sin 3 os s inx sin cos sin3x
22 3 3
pt x x c x
32
3
sin sin( 3 )
3
32
3
xxk
xx
x
xk
12 2
2
3
xk
x
k
31 31
. 3 sin 3 os3 3 sin cos sin3 os3 sinx cos
22 22
os sin 3 sin os3 os sinx sin os
66 66
32
66
sin 3 sin
66
32
32
66
cpt x c x x x x c x x
cxcxc cx
xk
xxk
xx
xk
xxk
WWW.ToanCapBa.Net
Chuyên đề phương trình lượng giác 17 LTĐH Năm 2012-2013
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình WWW.ToanCapBa.Net
d.
2
2
3sinx os ( 3sinx cos ) 0
( 3sinx cos )( 3 sinx cos ) ( 3 sinx cos ) 0 ( 3 s inx cos )( 3 sinx cos 1) 0
31
os sinx sin cos 0
sinx cos 0
3 s inx cos 0
66
22
3sinx cos 1 3 1 1
os sinx-si
sinx- cos
6
22 2
pt c x x
xx x xx
cx
x
x
x
c
x
sin 0
6
1
ncos
sin sin
62
66
66
22
66 3
2
2
66
x
x
x
xk x k
xk xk
xk
xk
Ví dụ 2: Giaûi phöông trình :
a.
xxxx 2cos34cos26sin32cos4
3
(1) b.
31
8sinx
cosx sinx
(2)
c.
0sincos2cos2sin xxxx (3) d. 82cos2sin3cos3sin9
xxxx (4)
e.
3
2cos2 0cos x x sinx (5) f.
33
sin
x
cos x sinx cosx (6)
g. 4
44
(sin ) 3 sin 4 2xcosx x
(7) h.
xxxx sin3cos)cos3(sin3
(8)
Giải:
a. (1)
xxxx 4cos26sin32cos32cos4
3
xxxxxx 4cos6sin
2
3
6cos
2
1
4cos26sin36cos
xx 4cos
3
6cos
.
b.
ĐK :
Zm
m
xx
x
x
2
02sin
0cos
0sin
Ta c
ó (2) xxxxxxxx cossin3)3cos(cos2cossin3sin2sin4
xxxxx 3cos
3
cos3cossin
2
3
cos
2
1
c. Ta c
ó (3)
01coscos2)sincossin2(
2
xxxxx
0)1cos)(sin1cos2(
0)1)(cos1cos2()1cos2(sin
xxx
xxxx
WWW.ToanCapBa.Net
Chuyên đề phương trình lượng giác 18 LTĐH Năm 2012-2013
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình WWW.ToanCapBa.Net
1)
4
sin(2
2
1
cos
xx
d. Ta c
ó (4)
09cos2cos3cossin6sin9
2
xxxxx
0)3)(cos3cos2()cos23(sin3
xxxx
03sin3cos0)3sin3)(cos3cos2(
xxxxx
sinsinsincoscos
10
3
sin
10
3
cos
10
1
xxxx
Đặt
13
cos à sin
10 10
v
Ph
ương trình cos( ) cos cos( ) cos
22
xx
e. Ta c
ó (5) 0)sin1()1(coscos20sin1cos2cos2
223
xxxxxx
0)sin1()1)(cossin1)(sin1(2
xxxx
0)12sincos2sin2)(sin1(
01)cos1)(sin1(2)sin1(
xxxx
xxx
0)cos(sin)cos(sin2)sin1(
2
xxxxx
0cossin
0sin1
0)2cos)(sincos)(sinsin1(
xx
x
xxxxx
f. Ta c
ó (6) xxxxxx cossin)cossin1)(cos(sin
xxxxxxxx cossin)cos(sincossincossin
0)cossinsin2(cos0)cos(sincossincos2
2
xxxxxxxxx
0)2sin2cos3(cos0)2sin
2
1
2
2cos1
2(cos
xxxx
x
x
0cos x
g. Ta có xxxxx 4cos
4
1
4
3
)4cos1(
4
1
12sin
2
1
1cossin
244
Nên (7)
2
1
4sin
2
3
4cos
2
1
24sin34cos3
xxxx
3
2
cos
3
4cos
x
h. Ta c
ó (8) xxxxxxxx cos
2
3
sin
2
1
3cos
2
1
3sin
2
3
cos3sin3cos3sin3
3
sin
6
3sin
xx
WWW.ToanCapBa.Net
Chun đề phương trình lượng giác 19 LTĐH Năm 2012-2013
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình WWW.ToanCapBa.Net
Ví dụ 3.
Giải phương trình :
2
2 os3x.cosx+ 3(1 s in2x)=2 3 os (2 )
4
ccx
Giải:
os4x+cos2x+ 3(1 sin 2 ) 3 1 os(4x+ )
2
os4x+ 3sin 4 os2x+ 3 sin 2 0
PT c x c
cxcx
sin(4 ) sin(2 ) 0
66
18 3
2sin(3 ). osx=0
6
x=
2
xx
x
k
xc
k
Vậy PT có hai nghiệm
2
x
k
và
18 3
x
k
.
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
:
1) Giải phương trình :
xxxx 3sin43cos29cos33sin3
3
2) Giải phương trình :
31
8
sin
cosx
x
cosx
3) Giải phương trình :
2
sin 2 2sin 1 4 2 2sin cos 2
x
x sin xcosx cos x x x
4) Giải phương trình :
4cos sin 2 2 cos 2 1sinx x x x
5) Giải phương trình :
3
2sin cos2 0xxcosx
6) Giải phương trình :
33
sin
x
cos x sinx cosx
7) Giải phương trình :
24sin33cossin8
66
xxx
8) Gi
ải phương trình : xxxx cos3sin)sin3(cos3
IV. Phương trình đẳng cấp thuần nhất theo sin và côsin cùng một cung:
1) Phương trình đẳng cấp thuần nhất bậc hai theo sin và côsin cùng một cung:
*Phương trình có dạng
: asin
2
x + bsinxcosx + ccos
2
x + d = 0. (1)
*Cách giải 1
: (Dùng cơng thức hạ bậc và cơng thức nhân đơi đưa về PT bậc nhất theo
sin2x và cos2x )
(1)
1cos2 1cos2
sin 2 0
22 2
xb x
axcd
WWW.ToanCapBa.Net
Chun đề phương trình lượng giác 20 LTĐH Năm 2012-2013
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình WWW.ToanCapBa.Net
sin 2 ( ) cos 2 (2 )bxca x dac .
* Cách giải 2
: (Đưa về PT bậc hai đối với tanx )
Xét hai trường hợp :
+ Nếu x =
;
2
kkZ
có là nghiệm phương trình hay không.
+ Nếu x
;
2
kkZ
, chia hai vế phương trình cho cos
2
x ta được:
atan
2
x + btanx + c + d(1 + tan
2
x) = 0
(a + d)tan
2
x + btanx + c + d = 0.
Ví dụ 1
: Giải các phương trình sau
a. cos
2
x - 3 sin2x = 1 + sin
2
x (1) b. 4sin
2
x – 3sinxcosx +
34 cos
2
x = 4 (2)
c. 10cos
2
x – 5sinxcosx + 3sin
2
x = 4 (3) d. cos
2
x + sinxcosx + 3sin
2
x = 3. (4)
Giải
a. (1)
12sin32cos12sin3sincos
22
xxxxx
3
cos
3
2cos
2
1
2sin
2
3
2cos
2
1
xxx
b. +
Xét cosx = 0 thì 1sin
2
x nghiệm đúng phương trình (2).
V
ậy (2) có nghiệm
kx
2
.
+
Xét 0cos x . Chia hai vế PT(2) cho x
2
cos ta được
22
4 t anx 3 t anx 3 4 4(1 tan )
x
tan tan
66
x
xk
Vậy PT (2) có nghiệm là :
kx
2
; Zkkx ;
6
c. (3)
3)2cos1(
2
3
2sin
2
5
)2cos1(5
xxx
72sin52cos7
xx
d.
Xét cosx = 0 thì 1sin
2
x nghiệm đúng phương trình (2).
Vậy (2) có nghiệm
kx
2
.
+Xét
0cos x . Chia hai vế PT(2) cho x
2
cos ta được
22
1 t anx 3tan 3(1 tan ) tan 2 arctan 2
x
xxx k
WWW.ToanCapBa.Net
Chun đề phương trình lượng giác 21 LTĐH Năm 2012-2013
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình WWW.ToanCapBa.Net
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
:
1) Giải phương trình : 3sin
2
x - 5 3 sinxcosx – 6cos
2
x = 0
2) Giải phương trình : sin
2
x +
2
(1 3 ) sin cos 3 0xx cosx
3) Giải phương trình : 2sin
2
x + sinxcosx – 5cos
2
x = 1
4) Giải phương trình : cos
2
x – 3sin
2
x – 4sinxcosx = 0
2) Phương trình đẳng cấp thuần nhất bậc cao theo sin và côsin cùng một cung:
Đây là loại phương trình được mở rộng từ PT đẳng cấp bậc hai dựa trên cơ sở sau:
+ Một biểu thức theo sinx hoặc cosx có bậc k có thể biến đổi thành một biểu thức theo
sinx và cosx có bậc k + 2n nhờ đẳng thức :
1cossin
22
xx
. ),( Nnk
Chẳng hạn : sinx (bậc 1) = sinx. xxxxx
2322
cossinsin)cos(sin (bậc 3).
Hoặc sinx = sinx. xxxxxxx
4235222
cossincossin2sin)cos(sin (bậc 5).
+ Chú ý : i) Số 0 khơng có bậc. Một hằng số khác 0 có bậc là 0.
ii) Xác định bậc của mỗi hạng tử trong PTLG chứa sin và cơsin là khi chúng
đã cùng một cung ( ví dụ với cung 3x thì sin3x có bậc 1, với cung 1x thì sin3x có bậc 3)
Từ những ý tưởng trên ta có thể nêu định nghĩa về PTLG đẳng cấp bậc n theo sin và
cơsin của cùng một cung như sau:
“ PT đẳng cấp bậc n theo sinx và cosx là PT có bậc các hạng tử hơn, kém nhau 2k,
k
N ”
Cách giải 1
: ( tương tự đẳng cấp bậc 2)
(Cách giải này thường phát hiện được cách giải ngay từ ban đầu và có thuật tốn,
nhưng nhược điểm dài hơn cách giải thứ hai)
+Bước 1: Xét cosx = 0 có nghiệm đúng PT khơng. (nếu đúng ghi nhận kết quả)
+Bước 2: -Xét cosx
0. Chia hai vế PT cho
x
n
cos
và thay
k
k
x
x
2
2
tan1
cos
1
.
-Đặt ẩn phụ t = tanx và thu gọn thì được PT đa thức bậc n theo t.
-Giải tìm nghiệm t = t
0
rồi giải PT tanx = t
0
để tìm x.
Cách giải 2
: (Biến đổi về PT tích theo sin và cơsin)
( Cách giải này thường ngắn gọn nhưng khơng định hướng được kết quả biến đổi. Đòi
hỏi kỷ năng phân tích đa thức thành nhân tử của mỗi học sinh).Khơng có thuật tốn như
cách 1. Sau đây là một số ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình: xxxx
2
coscossintan (1)
Giải cách 1:
+ĐK:
mx
2
.
WWW.ToanCapBa.Net
Chuyên đề phương trình lượng giác 22 LTĐH Năm 2012-2013
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình WWW.ToanCapBa.Net
+(1) xxxx
32
coscossinsin (*) (đẳng cấp bậc 3).
+cosx = 0 không nghiệm đúng PT. (vì
01
; vô lý)
+cosx
0, chia hai vế (*) cho cos
3
x được :
kxxttxxx
4
1tan111tan)tan1(tan
32
(t = tanx)
Giải cách 2:
(*) xxxxx
3332
cossincos)cos1(sin (**)
kxxx
4
1tan1tan
3
Chú ý
:Theo cách giải 2 đã nêu là biến đổi về PT tích nên tôi minh họa lại như sau:
(**)
0)2sin2)(cos(sin0)cossin1)(cos(sin0cossin
33
xxxxxxxxx
kxxxx
4
1tan0cossin .
Ví dụ 2: Giải phương trình: xxx cossincos
3
(2) (đẳng cấp bậc 3)
Giải cách 1:
+ cosx = 0 không nghiệm đúng (2)
+ cosx
0, chia hai vế (2) cho cos
3
x được : )tan1()tan1(tan1
2
xxx
kxxtttt 0tan00)1(
2
(với t = tanx )
Giải cách 2
:
(2)
0)1cos(sinsin0sinsincossin)1(coscos
22
xxxxxxxxx
kxxxx
0sin0)22(sinsin
Ví dụ 3: Giải phương trình: 0cos2cossincos2sin3
233
xxxxx (3)
(đẳng cấp bậc 3)
Giải cách 1:
+ cosx = 0 không nghiệm đúng (3)
+ cosx
0, chia hai vế (3) cho cos
3
x được :
0)3(3033)tan1(2tan2tan3
223223
ttttxxx
kx
kx
x
x
t
t
3
3tan
0tan
3
0
Giải cách 2:
(3)
0)cos1(cos2cossinsin3
223
xxxxx
0cos3sin3sin0sincos2)cossin3(sin
222
xxxxxxxx
kx
kx
x
kx
xx
x
3
3tan0cos3sin
0sin
WWW.ToanCapBa.Net
Chuyờn phng trỡnh lng giỏc 23 LTH Nm 2012-2013
Nguyn Anh Tun -Trng THPT Nguyn Thỏi Bỡnh WWW.ToanCapBa.Net
Vớ d 4
: Giaỷi phửụng trỡnh 3cos
4
x 4sin
2
xcos
2
x + sin
4
x = 0 (4) (ng cp bc 4)
Gii cỏch 1:
+ cosx = 0 thỡ sinx =
1 khụng nghim ỳng ptrỡnh . Vy cosx 0
+ Chia hai v (2) cho cos
4
x ri t n ph t = tan
2
x thỡ c:
31034
2
tttt
Gii cỏch 2:
(4) 0)sincos(sin)cossin3cos3(
422224
xxxxxx
0)sin(cossin)sin(coscos3
222222
xxxxxx
3tan
02cos
0)sincos3(2cos
22
x
x
xxx
Vớ d 5: Gii phng trỡnh :
xxxxx cossin2coscossin
266
(5)
Gii cỏch 1:
Nu bin i : )cossincos)(sincos(sincossin
22442266
xxxxxxxx =
=
xxxx
2244
cossincossin
V bin i :
xxxxxxx
22442222
cossin2sincos)sin(cos2cos
Thỡ PT (5)
0cossincossin
22
xxxx (*)
Khi ú PT (*) gii tip theo cỏch gii 1 hoc cỏch gii 2 ó nờu trờn l n gin
+ Nu t PT:
xxxxxx cossin)sin(coscossin
22266
(ng cp bc 6)
Lm theo cỏch gii (1) sau bc 2 ó thu gn ta c phng trỡnh: (Vi t = tanx )
)1.5(012
0
02
234
2345
tttt
t
ttttt
Khi ú PT (5.1)
02
11
0
11
2
2
2
2
2
t
t
t
t
t
t
tt
(5.2)
PT (5.2) t n ph
t
tu
1
thỡ c PT bc hai
100
2
uuuu
.
Tr li vi n t thỡ cỏc PT ny vụ nghim.
+ Vi t = 0
kxx
0tan
.
Chỳ ý: Khi xột cosx = 0 thỡ nú nghim ỳng PT ng cp bc 6 nờn:
kx
2
cng l nghim PT. Kt hp nghim thỡ c x =
2
k
. Phự hp vi mi cỏch
gii.
BAỉI TAP TệễNG Tệẽ: Cú th gii li cỏc bi trong cỏc vớ d v bi tp tng t phõn
PT a v PT bc nht theo sin v cụsin cựng mt cung nh :
1) Giaỷi phửụng trỡnh sinxsin2x + sin3x = 6cos
3
x (ng cp bc 3)
2) Giaỷi phửụng trỡnh sin3x + cos3x + 2cosx = 0 (
ng cp bc 3)
WWW.ToanCapBa.Net
Chuyên đề phương trình lượng giác 24 LTĐH Năm 2012-2013
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình WWW.ToanCapBa.Net
3) Giaûi phöông trình sinx – 4sin
3
x + cosx = 0 (đẳng cấp bậc 3)
4) Giaûi phöông trình :
33
sin
x
cos x sinx cosx (đẳng cấp bậc 3)
5) Giaûi phöông trình :
24sin33cossin8
66
xxx (đẳng cấp bậc 6)
6) Gi
ải phương trình : xxxx cos3sin)sin3(cos3 (đẳng cấp bậc 3)
7) Giaûi phöông trình :
33
sin
x
cos x sinx cosx (đẳng cấp bậc 3)
8) Giaûi phöông trình : 4
44
(sin ) 3 sin 4 2xcosx x
(đẳng cấp bậc 4)
9) Gi
ải phương trình :
xxxx sin3cos)cos3(sin3
(đẳng cấp bậc 3)
10) Giaûi phöông trình :
88 2
17
sin 2
16
x
cos x cos x (đẳng cấp bậc 8)
11) Giaûi phöông trình :
66 2
sin 2 1
x
cos x cos x
(đẳng cấp bậc 6)
V. Phương trình chứa tổng (hoặc hiệu) và tích của sin và côssin cùng một
cung:
1) Phương trình chứa tổng và tích (còn gọi là phương trình đối xứng theo sin và
côsin)
Dạng phương trình
: a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b,c )R (1)
Cách giải : Đặt t = sinx + cosx = 2
4
sin2
tx
(*)
2
1
cossincossin21
2
2
t
xxxxt
(1)
)1.1(0220
2
1
.
2
2
bcatbtc
t
bat .
Giải phương trình (1.1) chọn nghiệm t = t
0
thỏa mãn 2
0
t .
Thay giá trị t
0
vào PT (*) và giải PT sin2x = 1
2
0
t để tìm x.
2) Phương trình chứa hiệu và tích ( còn gọi là phương trình phản xứng)
Dạng phương trình
: a(sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b,c )R (2)
Cách giải : Đặt t = sinx - cosx = 2
4
sin2
tx
(**)
2
1
cossincossin21
2
2
t
xxxxt
(1)
)1.2(0220
2
1
.
2
2
bcatbtc
t
bat .
Giải phương trình (2.1) chọn nghiệm t = t
0
thỏa mãn 2
0
t .
Thay giá trị t
0
vào PT (**) và giải PT sin2x = 1-
2
0
t để tìm x.
WWW.ToanCapBa.Net
Chuyên đề phương trình lượng giác 25 LTĐH Năm 2012-2013
Nguyễn Anh Tuấn -Trường THPT Nguyễn Thái Bình WWW.ToanCapBa.Net
sin cos 2 sin 2 cos
44
sin cos 2 sin 2 cos
44
xx x x
xx x x
Ví dụ 1: Giải phương trình
02cos12)sin(cos122sincossin
xxxxxx
(1)
Ví dụ 2: Giải phương trình
4
sin27cos2sin3sin2sin32cos8
xxxxxx
(2)
Ví dụ 3: Giải phương trình 02cos2sinsin
23
xxx (3)
Ví dụ 4: Giải phương trình 12cossin)2sincos(sin12cossin
22
xxxxxxx (4)
Ví dụ 5: Giải phương trình 1)1(sin2sin2coscossinsin
2
xxxxxx (5)
Ví dụ 6: Giải phương trình 0sincos2cos)1cos(sin
xxxxx (6)
Giải:
Ví dụ 1
: (1)
012)cos(sin122sincossin
xxxxx
)1(0122sin)cos(sin12
)1(0cossin
bxxx
axx
(1a)
sin 0
44 4
x
xkxk
(1b)
xxtt
t
t
tt cossin1
13
1
01312
2
1
1 2 sin 1 sin sin sin
44 44
2
tx x x
2
2
44
2
2
2
44
xk
x
k
xk
xk
+ Vậy (1) có nghiệm là
)(
2
;
4
Zk
k
xkx
Ví dụ 2
: (2)
072sin3)sin(cos8sincos
xxxxx
)2(072sin3)sin(cos8
)2(0cossin
bxxx
axx
(2a)
kx
4
