02 ham so p1 bgiang in 20 ban

LUYỆN THI ĐẠI HỌC CẤP TỐC 2013 – MoonTV

Thầy Đặng Việt Hùng

02. CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VỀ HÀM SỐ - P1
(Tài liệu bài giảng)
I. MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ CỰC TRỊ VÀ TIẾP TUYẾN
DẠNG 1. TIẾP TUYẾN TẠI MỘT ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ

Bài 1: Cho hàm số y = x3 − (m − 1) x 2 + (3m + 1) x + m − 2
Tìm m để tiếp tuyến tại điểm có hồnh độ bằng 1 đi qua điểm A(2; −1)
Đ/s : m = −2
Bài 2: Cho hàm số y = x3 − (2m + 1) x 2 + (m + 3) x − 2
Gọi d là tiếp tuyến tại điểm x0 = 2. Tìm m để d (O; d ) =

Đ/s : m = 1; m =

7
.
17

2153
1313

Bài 3: Cho hàm số y =

3− x
. Viết pttt biết tt cách đều hai điểm A(−1; −2), B (1;0)
x+2

Đ/s : y = −5 x − 1

Bài 4: Cho hàm số y = x3 − 6 x 2 + 9 x − 1. Viết pttt biết tt cách đều hai điểm A(2; 7), B (−2; 7)
Đ/s : y = −1; y = 3; y = 24 x + 7; y = −3 x + 7
1
2
Bài 5: Cho hàm số y = x3 − x + .
3
3
1
2
Tìm điểm M trên đồ thị sao cho tt tại M vng góc với đường thẳng d : y = − x +
3
3

 4
Đ/s : M (−2; 0), M  2; 
 3
Bài 6: Cho hàm số y = − x 4 − x 2 + 6
Viết pttt với đồ thị, biết tt vng góc với đường thẳng d : y =

1
x −1
6

Đ/s : y = −6 x + 10
Bài 7: Cho hàm số y = x3 − 6 x 2 + 9 x − 2 . Viết pttt tại đểm M thuộc đồ thị, biết rằng M và các điểm cực trị
tạo thành một tam giác có diện tích bằng 6.

Đ/s : M (0; −2), M (4; 2)
Bài 8: Cho hàm số y =

x+3
, (C ) và đường thẳng d : y = 2 x + m
x−2

Tìm m để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tâm I của đồ thị các đều các tt với đồ thị tại A, B.

Đ/s : m = −3
Bài 9: Cho hàm số y =

x3 3x 2
+
− x . Viết pttt biết tt song song với đường thẳng d : x + y − 8 = 0
3
4

Trung tâm Luyện thi Đại học Moon.vn – 25B/66 Thái Thịnh 2

www.moon.vn


LUYỆN THI ĐẠI HỌC CẤP TỐC 2013 – MoonTV
9
Đ/s : y = − x; y = x − +
16
Bài 10: Cho hàm số y =

Thầy Đặng Việt Hùng

x4 x2
+ + 2.

4 2

Viết pttt với đô thị biết khoảng cách từ điểm A(0;3) đến tt bằng

9
4 5

.

Đ/s : x0 = ±1
Bài 11: Cho hàm số y =

x −1
.
2( x + 1)

Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyên tại M cắt các trục tọa độ tại A, B đồng thời trọng tâm
của tam giác OAB thuộc đường thẳng d : 4 x + y = 0
1
3
Đ/s : x0 = − ; x0 = −
2
2

Bài 12: Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 + m.
Tìm m để tiếp tuyến tại điểm có hồnh độ bằng 1 cắt các trục tọa độ tại A, B sao cho đường trịn ngoại tiếp
tam giác OAB có chu vi bằng 2π

5
.

8

Đ/s : m = 0; m = −2
Bài 13: Cho hàm số y = x3 − mx + m − 1.
Tìm m để tiếp tuyến tại điểm có hồnh độ bằng 1 cắt đường tròn (T ) : ( x − 2)2 + ( y − 3) 2 =

1
theo dây cung
5

nhỏ nhất ?

Đ/s : m = 1; m = −

5
(trường hợp tiếp xúc)
2

Bài 14: Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 + m.
Tìm m để tiếp tuyến tại điểm có hồnh độ bằng 1 cắt các trục tọa độ tại A, B sao cho SOAB =

3
2

Đ/s : m = 2; m = −5
m−x
có đồ thị là ( H m ) , với m là tham số thực. Tìm m để đường thẳng
x+2
3
d : 2 x + 2 y − 1 = 0 cắt ( H m ) tại hai điểm cùng với gốc tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích là S = .

8
Lời giải:
−x+m
1
PT hoành độ giao điểm:
= − x + ⇔ 2 x 2 + x + 2( m − 1) = 0, x ≠ −2
(1)
x+2
2
17

∆ = 17 − 16m > 0
m <
Pt (1) có 2 nghiệm x1 , x2 phân biệt khác − 2 ⇔ 
⇔
16 .
2
2.(−2) − 2 + 2(m − 1) ≠ 0
m ≠ −2

Bài 15: Cho hàm số y =

Trung tâm Luyện thi Đại học Moon.vn – 25B/66 Thái Thịnh 2

www.moon.vn


LUYỆN THI ĐẠI HỌC CẤP TỐC 2013 – MoonTV

Thầy Đặng Việt Hùng

Ta có AB = ( x2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 = 2 . ( x2 − x1 ) 2 = 2 . ( x2 + x1 ) 2 − 4 x1 x2 =
Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến d là h =

1
2 2

2
. 17 − 16m .
2

.

3
1
1
1 1
2
Suy ra S ∆OAB = .h. AB = .
.
. 17 − 16m = ⇔ m = , thỏa mãn.
2
2 2 2 2
8
2

Bài 16: Cho hàm số y = x 3 − mx + m − 1 (Cm). Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (Cm) tại điểm M có hồnh
độ x = −1 cắt đường trịn (C) có phương trình ( x − 2)2 + ( y − 3)2 = 4 theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất.
Lời giải:
Ta có: y′ = 3 x 2 − m ⇒ y′(−1) = 3 − m ; y(−1) = 2m − 2 . (C) có tâm I(2;3) , R = 2.

PTTT d tại M (−1;2m − 2) : y = (3 − m) x + m + 1 ⇔ (3 − m) x − y + m + 1 = 0
Ta có d ( I , d ) =

4−m
2

(3 − m) + 1

=

1 + (3 − m)
2

(3 − m) + 1

≤

2. (3 − m)2 + 1
2

(3 − m) + 1

= 2
Dấu "=" xảy ra ⇔ m = 2. Do đó d ( I , d ) đạt lớn nhất ⇔
Tiếp tuyến d cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho AB ngắn nhất ⇔ d ( I , d ) đạt lớn nhất ⇔ m = 2
Khi đó: PTTT d: y = x + 3 .

Bài 17*: Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 + 1.
Tìm các điểm A, B thuộc đồ thị sao cho tt với đồ thị tại A, B song song với nhau và d (O; AB ) =

10
5

DẠNG 2. TIẾP TUYẾN ĐI QUA MỘT ĐIỂM

 19 
Bài 1: Cho hàm số y = 2 x3 − 3 x 2 + 5. Viết ptt kẻ từ A  ; 4  đến đồ thị hàm số đã cho.
 12 

Đ/s : y = 4; y = 12 x − 15; y = −

21
645
x+
32
128

Bài 2*: Cho hàm số y = − x 3 + 3 x − 2. Tìm các điểm trên đường y = −4 mà kẻ được 2 tt đến đồ thị
 2

Đ/s : M (−1; −4), M (2; −4), M  − ; −4 
 3


Bài 3*: Cho hàm số y = 3 x − x3 Tìm các điểm trên đường y = − x mà kẻ được 2 tt đến đồ thị
Đ/s : M (−2; 2), M (2; −2)
Bài 4*: Cho hàm số y = −

x3 x 2

7
5 x 61
− + 2 x + Tìm các điểm trên đường y =
+
sao qua từ điểm đó có
3 2
3
4 24

thể kẻ được 3 tt đến đồ thị có các tiếp tiếp tương ứng là x1 ; x2 ; x3 thỏa mãn x1 < x2 < 0 < x3

Đ/s :

1
5
5
< m < ;m < −
6
18
2

Bài 5*: Cho hàm số y = x 3 − 3 x + 2 .
Tìm trên đường thẳng d : y = 4 các điểm mà từ đó kẻ được đúng 2 tiếp tuyến với (C).
Lời giải:
Gọi M (m;4) ∈ d . PT đường thẳng ∆ qua M có dạng: y = k ( x − m) + 4
Trung tâm Luyện thi Đại học Moon.vn – 25B/66 Thái Thịnh 2

www.moon.vn

LUYỆN THI ĐẠI HỌC CẤP TỐC 2013 – MoonTV

Thầy Đặng Việt Hùng

 3
∆ là tiếp tuyến của (C) ⇔ hệ PT sau có nghiệm:  x 2− 3 x + 2 = k ( x − m) + 4
3 x − 3 = k

Thay (2) vào (1) ta được: ( x + 1) 2 x 2 − (3m + 2) x + 3m + 2  = 0

(1)
(2)

(*)

(3)

 x = −1

⇔  2
2 x − (3m + 2) x + 3m + 2 = 0

(4)

YCBT ⇔ (3) có đúng 2 nghiệm phân biệt
+ TH1: (4) có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm bằng –1 ⇔ m = −1
2
+ TH2: (4) có nghiệm kép khác –1 ⇔ m = − ; m = 2
3
 2 

Vậy các điểm cần tìm là: (−1; 4) ;  − ; 4  ; (2; 4) .
 3 

Trung tâm Luyện thi Đại học Moon.vn – 25B/66 Thái Thịnh 2

www.moon.vn