Luận văn thạc sĩ toán học một số phương pháp giải số phương trình và hệ phương trình vi phân cấp cao

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

Ngô Thị Thu Hương

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI SỐ
PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN CẤP CAO

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Thái Ngun - 2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

Ngô Thị Thu Hương

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI SỐ
PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN CẤP CAO

Chun ngành: Tốn ứng dụng
Mã số: 60.46.01.12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. Vũ Vinh Quang

Thái Nguyên - 2017


i

Mục lục
Bảng ký hiệu

1

Danh sách bảng

2

Danh sách hình vẽ

3

Mở đầu

4

1 Một số kiến thức cơ bản
1.1 Một số khái niệm cơ bản của Giải tích hàm . .
1.1.1 Khơng gian metric . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Ánh xạ co . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Nguyên lí ánh xạ co . . . . . . . . . . .
1.2 Phương pháp sai phân . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Lưới sai phân . . . . . . . . . . . . . .

1.2.2 Hàm lưới . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Công thức Taylor . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Một số công thức xấp xỉ đạo hàm . . .
1.3 Thuật toán truy đuổi 3 đường chéo . . . . . . .
1.4 Phương pháp lưới giải bài toán biên cho phương

. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
trình

. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
cấp 2

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

6
6
6
6
7
7

7
7
7
8
10
12

2 Phương pháp số giải phương trình vi phân phi tuyến cấp cao
và hệ phương trình vi phân với hệ điều kiện đầu
16
2.1 Cơ sở lý thuyết về phương pháp Runge-Kutta . . . . . . . . . . 16
2.1.1 Phương pháp Euler 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.2 Phương pháp Euler 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.3 Thuật toán RK4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Phương pháp Runge-Kutta đối với hệ phương trình vi phân phi
tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Phương pháp Runge-Kutta đối với phương trình vi phân cấp cao 21
2.4 Giới thiệu thư viện QH_2015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23


ii

3

Phương pháp lặp giải mơ hình các bài
cấp 4
3.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Nghiên cứu các tính chất của nghiệm . .
3.3 Phương pháp xây dựng sơ đồ lặp . . . .
3.3.1 Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . .

3.3.2 Sơ đồ lặp tìm nghiệm số . . . . .
3.3.3 Một số kết quả thực nghiệm . . .

toán biên phi tuyến
26
. . . . . . . . . . . . . 26
. . . . . . . . . . . . . 27
. . . . . . . . . . . . . 30
. . . . . . . . . . . . . 30
. . . . . . . . . . . . . 33
. . . . . . . . . . . . . 36

Kết luận

44

Tài liệu tham khảo chính

45


iii

Lời cảm ơn
Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy tôi TS. Vũ Vinh Quang, người
đã trực tiếp hướng dẫn luận văn, đã tận tình chỉ bảo và hướng dẫn tơi tìm
ra hướng nghiên cứu, tìm kiếm tài liệu, giải quyết vấn đề... nhờ đó tơi mới có
thể hồn thành luận văn cao học của mình. Từ tận đáy lịng, tơi xin bày tỏ
lịng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới Thầy của tôi và tôi sẽ cố gắng
hơn nữa để xứng đáng với công lao của Thầy.

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Đào tạo trường Đại học
Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tôi trong suốt thời
gian học tập tại trường. Tôi xin cảm ơn q thầy cơ Khoa Tốn - Tin và đặc
biệt là PGS.TS. Nguyễn Thị Thu Thủy, trưởng Khoa Toán - Tin, đã ln
quan tâm, động viên, trao đổi và đóng góp những ý kiến q báu trong suốt
q trình học tập, nghiên cứu và hồn thành luận văn.
Cuối cùng, tơi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới những người thân trong
gia đình, đặc biệt là bố mẹ. Những người ln động viên, chia sẻ mọi khó
khăn cùng tơi trong suốt thời gian qua và đặc biệt là trong thời gian tơi theo
học khóa thạc sỹ tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên.
Thái Nguyên, tháng 10 năm 2017
Tác giả luận văn

Ngô Thị Thu Hương


1

Bảng ký hiệu
R
R+
R ∪ {±∞}
Rn
Ωh
C 1 [0; L]
A∪B
A∩B
hx, yi
[x, y]
l2

f (n)
∆a

Trường số thực.
tập số thực không âm
tập số thực mở rộng
Khơng gian Euclide n-chiều.
Khơng gian lưới.
Khơng gian của hàm có đạo hàm liên tục.
hợp của hai tập A và B
giao của hai tập A và B
tích vơ hướng của hai véc-tơ x, y ∈ H
đoạn thẳng nối x và y
không gian các dãy số vô hạn
đạo hàm cấp n
sai số tuyệt đối của a


2

Danh sách bảng
2.1
2.2

Kết quả kiểm tra sai số đối với lược đồ QH_m . . . . . . . . . . 24
Kết quả kiểm tra sai số đối với lược đồ QH_m . . . . . . . . . . 25

3.1
3.2
3.3

3.4
3.5

Trường
Trường
Trường
Trường
Trường

hợp
hợp
hợp
hợp
hợp

biết trước nghiệm đúng (Tofuma_moi.m) . . . . . .
biết trước nghiệm đúng (Tofuma_moi.m) . . . . . .
không biết trước nghiệm đúng (Tofuma_moi_xx.m)
biết trước nghiệm đúng (Tofuma_tq.m) . . . . . . .
không biết trước nghiệm đúng (Tofuma_tp_xx.m)

37
38
39
40
42


3

Danh sách hình vẽ
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5

Đồ
Đồ
Đồ
Đồ
Đồ

thị
thị
thị
thị
thị

sai
sai
sai
sai
sai

số
số
số
số
số

giữa
giữa
giữa
giữa
giữa

nghiệm
nghiệm
nghiệm
nghiệm
nghiệm

đúng
đúng
đúng
đúng
đúng

và
và
và
và
và

nghiệm
nghiệm
nghiệm
nghiệm
nghiệm

gần
gần
gần
gần
gần

đúng
đúng
đúng
đúng
đúng

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

37
38
39
41
43

4

Mở đầu
Phương trình vi phân dạng tuyến tính và phi tuyến tính là một lớp phương
trình cơ bản trong lý thuyết phương trình vi phân có ứng dụng quan trọng
đối với các bài toán thực tế đặc biệt là lý thuyết điều khiển ổn định. Về mặt lý
thuyết tổng quát của lớp phương trình này đã được các nhà tốn học nghiên
cứu từ rất lâu, tuy nhiên vấn đề tìm nghiệm giải tích của các phương trình
này chỉ thực hiện được đối với các phương trình dạng đặc biệt cịn chủ yếu là
phải xác định nghiệm xấp xỉ qua các phương pháp gần đúng. Đối với phương
trình vi phân cấp 2, với các bài toán điều kiện đầu, người ta đã xây dựng các
phương pháp giải số dựa trên công thức Runge-Kutta với độ chính xác bậc 4,
đối với bài toán biên với hệ điều kiện biên hỗn hợp, sử dụng phương pháp sai
phân, chúng ta có thể đưa về hệ phương trình đại số dạng 3 đường chéo và hệ
giải được bằng thuật toán truy đuổi. Đối với phương trình vi phân tuyến tính
bậc 4, bằng phương pháp phân rã, chúng ta có thể đưa về 2 bài tốn cấp hai
để xác định nghiệm thơng qua các thuật tốn đã biết. Tuy nhiên khi phương
trình là dạng phi tuyến hoặc điều kiện biên là phi tuyến thì để tìm nghiệm
xấp xỉ, chúng ta cần phải xây dựng các sơ đồ lặp tùy từng dạng bài toán để
xác định nghiệm xấp xỉ của bài toán.
Nội dung của luận văn là tìm hiểu một số phương pháp giải số phương trình
vi phân cấp cao và hệ phương trình vi phân với hệ điều kiện đầu, phương pháp
lặp đối với một số dạng bài tốn cho phương trình cấp 4 với hệ điều kiện biên
dạng phi tuyến, nghiên cứu tính chất hội tụ của các sơ đồ lặp và kiểm tra
tính đúng đắn của các sơ đồ lặp trên máy tính điện tử.
Nội dung luận văn chia làm 3 chương
Chương 1: Một số kiến thức cơ bản.

5

Chương 2: Phương pháp số giải phương trình vi phân phi tuyến cấp cao và
hệ phương trình vi phân với hệ điều kiện đầu.
Chương 3: Phương pháp lặp giải mô hình các bài tốn biên phi tuyến
cấp 4.


6

Chương 1

Một số kiến thức cơ bản
Trong chương này chúng tơi trình bày một số kết quả lý thuyết về các sơ
đồ lặp, phương pháp sai phân đối với phương trình vi phân cấp 2 và thuật
tốn truy đuổi 3 đường chéo. Những kết quả này là những kiến thức bổ trợ
cho việc trình bày các kết quả chính trong chương 2 và chương 3. Các kết quả
lý thuyết được tham khảo trong các tài liệu [1, 2, 3].
1.1
1.1.1

Một số khái niệm cơ bản của Giải tích hàm
Khơng gian metric

Định nghĩa 1.1.1 Tập X của các phần tử x, y, z . . . được gọi là không gian
metric nếu như với mọi phần x, y bất kì đều tương ứng với với 1 số không âm
d(x,y) thỏa mãn các điều kiện sau:
+ d(x,y)>0, d(x,y)=0 khi và chỉ khi x=y
+ d(x,y)=d(y,x)

+ d(x,y) ≤d(x,z)+d(z,y).
Số d(x, y) được gọi là khoảng cách giữa 2 phần tử x và y hay thường gọi là
metric.
Định nghĩa 1.1.2 Dãy {xn }được gọi là 1 dãy cơ bản nếu ∀ε > 0, đều tồn tại
số N > 0 sao cho với mọi m,n>N ta đều có d(xn , xm ) ≤ ε.
Nếu bất kì một dãy cơ bản nào trong không gian X đều hội tụ đến phần
tử thuộc X thì X được gọi là khơng gian đủ.
1.1.2

Ánh xạ co

Định nghĩa 1.1.3 Một ánh xạ A từ khơng gian metric (X,d) vào chính nó
được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại hằng số q ∈ (0, 1) sao cho với mọi x, y ∈ X,


7

d(A(x), A(y)) < qd(x, y).
Khi đó hằng số q được gọi là hệ số co của ánh xạ A.
1.1.3

Nguyên lí ánh xạ co

Cho A là ánh xạ co trong không gian metric đủ (X, d). Khi đó:
• Tồn tại duy nhất x∗ ∈ X sao cho A(x∗ ) = x∗ . Phần tử x∗ ∈ X gọi là
điểm bất động của ánh xạ A.
• Mọi dãy lặp xn+1 = A(xn ), (n ≥ 0) xuất phát từ x0 bất kì đều hội tụ.
Ngồi ra ta có ước lượng sau
d(xn , x∗ ) ≤ q n (1 − q)−1 d(x0 , x1 )
d(xn , x∗ ) ≤ q(1 − q)−1 d(xn−1 , xn )

1.2
1.2.1

(n ≥ 1),
(n ≥ 1).

Phương pháp sai phân
Lưới sai phân

Ta chia đoạn [a, b] thành N đoạn con bằng nhau, mỗi đoạn con dài
b−a
h=
bởi các điểm xi = a + ih, i = 0, 1, ..., N . Khi đó tập các điểm xi gọi
N
là một lưới sai phân trên [a, b] ký hiệu là Ωh , mỗi điểm xi gọi là một nút của
lưới, h gọi là bước đi của lưới.
1.2.2

Hàm lưới

Xét hàm số u(x) xác định trên đoạn [a,b], khi đó tập giá trị của hàm trên
các điểm lưới được gọi là hàm lưới ui = u (xi ).
1.2.3

Công thức Taylor

Giả sử u(x) là một hàm số xác định và có đạo hàm đến cấp m + 1 trong
một khoảng (α, β) chứa x và x + ∆x, ∆x có thể âm hay dương. Khi đó ta có
cơng thức khai triển:
(∆x)2 00

u(x + ∆x) = u(x) + ∆xu (x) +
u (x) + ...
2!
(∆x)m (m)
(∆x)m+1 (m+1)
... +
u (x) +
u
(c).
m!
(m + 1)!
0

trong đó c là một điểm ở trong khoảng từ x đến x+∆x. Có thể viết c = x+θ∆x
với 0 < θ < 1. Ta giả thiết thêm:





(m+1)

(x)
≤ M = const, x ∈ [α, β] .

u


8

(∆x)(m+1) (m+1)
Khi đó
u
(c) là một vơ cùng bé khi ∆x → 0. Tức là tồn tại
(m + 1)!
hằng số K > 0 không phụ thuộc vào ∆x sao cho:





(∆x)(m+1)






(m+1)
u
(c)