143 đề hsg toán 8 nguyễn tất thành 22 23

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN

PHỊNG GD&ĐT CƯM’GAR

LỚP 8

TRƯỜNG THCS NGUYỄN TẤT THÀNH

NĂM HỌC: 2022-2023
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1: (4,0 điểm)

 ( x  1) 2
1  2x2  4x
1  x2  x
A 


:
3 x  ( x  1) 2
x3  1
x  1 x 3  x

Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức A .
b) Tìm giá trị của x để A   1
Bài 2: (6,0 điểm)
2

2

a) Cho 4a  b 5ab và 2a  b  0 .Tính:

P

ab
4a  b 2
2

1
1
1
1
1
 2
 2
 2

b) Giải phương trình x  3 x  2 x  5 x  6 x  7 x  12 x  9 x  20 8
2

4
3
2
2
c) Xác định a và b để đa thức f ( x)  x  9 x  21x  ax  b chia hết cho đa thức x  x  2

Bài 3:(5,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ABC bằng 60 , phân giác BD . Gọi M , N , I theo thứ
tự là trung điểm của BD, BC , CD .
a) Tứ giác AMNI là hình gi? Chứng minh.

b) Cho AB 4cm . Tính các cạnh của tứ giác AMNI .
Bài 4 (5,0 điểm):

Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA ' , BB , CC ' , H là trực tâm.

HA HB  HC 





a) Tính tổng AA BB CC
b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC ; Gọi IM , IN thứ tự là phân giác của góc AIC và AIB
. Chứng minh rằng: AN .BI .CM BN .IC . AM

= = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =


HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Bài 1: (4,0 điểm)

 ( x  1) 2
1  2 x2  4 x
1  x2  x
A 


:
3 x  ( x  1) 2
x3  1

x  1  x 3  x

Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức A .
b) Tìm giá trị của x để A   1
Lời giải
ĐXXĐ: x 0, x 1, x  1
a) Rút gọn được:

A

x 2 1
x 1

x2 1
x2  x  2
  1
0
x 1
b) Để A   1 thì x  1
2

1 7

x  x  2  x     0
2
2 4

Do đó x  x  2 và x  1 phải cùng dấu mà
2

nên x  1  0  x   1
Kết hợp với điều kiện xác định ta có: x   1, x 0, x 1 thì A   1
Bài 2: (6,0 điểm)
2

2

a) Cho 4a  b 5ab và 2a  b  0 .Tính:

P

ab
4a  b 2
2

1
1
1
1
1
 2
 2
 2

b) Giải phương trình x  3x  2 x  5 x  6 x  7 x  12 x  9 x  20 8
2

4
3

2
2
c) Xác định a và b để đa thức f ( x)  x  9 x  21x  ax  b chia hết cho đa thức x  x  2

Lời giải
2

2

a) Cho 4a  b 5ab với 2a  b  0 . Tính:

P

ab
4a  b 2
2

4a 2  b 2 5ab  (4a  b)(a  b) 0
 b 4a hoặc b a

- Mà 2a  b  0  4a  2b  b nên a b

a2
1
P 2

2
4a  a
3
Ta có :

2

2

Vậy 4a  b 5ab và 2a  b  0 thì

P

1
3

1
1
1
1
1
 2
 2
 2
 (1)
b) x  3 x  2 x  5 x  6 x  7 x  12 x  9 x  20 8
2

ĐKXĐ: x  1, x  2, x  3, x  4, x  5


(1)

1
1

1
1
1




( x  1)( x  2) ( x  2)( x  3) ( x  3)( x  4) ( x  4)( x  5) 8




1
1
1
1
1
1
1
1








( x  1) ( x  2) ( x  2) ( x  3) ( x  3) ( x  4) ( x  4) ( x  5)



1
1
1


( x  1) ( x  5) 8

 8( x  5)  8( x  1) ( x  1)( x  5)
 8 x  40  8 x  8 x 2  6 x  5
 x 2  6 x  27 0

  x  3  x  9  0
 x 3 (thỏa mãn) hoặc x  9 (thỏa mãn)

Vậy tập nghiệm của phương trình là

S  3;  9

4
3
2
2
c) Xác định a và b để đa thức f ( x)  x  9 x  21x  ax  b chia hết cho đa thức x  x  2

Gọi thương của phép chia đa thức
Để đa thức

f  x

f  x

2
P  x
cho đa thức x  x  2 là

2
chia hết cho đa thức x  x  2 ta có

x 4  9 x3  21x 2  ax  b  x 2  x  2  .P ( x)
Hay

x 4  9 x 3  21x 2  ax  b  x  2   x  1 .P( x)  1

Vì đẳng thức (1) đúng với mọi
Với

đúng với mọi x

x 2

đúng với mọi x

x

ta có

24  9.23  21.22  2a  b 0
 2a  b  28 (2)

Với

x  1

  1

4

ta có
3

2

 9.   1  21.   1  a  b 0

 b a  31 (3)
Thay

 3

vào

 2

ta được :

2a  a  31  28
 a 1
 b 1  31  30

Vậy với

a 1

b  30

thì

f  x

chia hết cho đa thức

x2  x  2

Bài 3: (5,0 điểm)
Cho tam giác ABC vng tại A có góc ABC bằng 60 , phân giác BD . Gọi M , N , I theo thứ
tự là trung điểm của BD, BC , CD .
a) Tứ giác AMNI là hình gì ? Chứng minh.
b) Cho AB 4cm . Tính các cạnh của tứ giác AMNI .


Lời giải

B
N

M
D

A

I

C

AMNI là hình thang

a) Chứng minh tứ giác
Chứng minh được AN MI , từ đó suy ra tứ giác AMNI là hình thang cân.
AD 

4 3
3

b)Tính được
BD 2 AD 

8 3
cm
3

1
4 3
AM  BD 
cm
2
3
Tính được

NI  AM 

DC BC 

4 3
cm
3

8 3
1
4 3
cm, MN  DC 
cm
3
2
3

AI 

8 3
cm
3

Tính được
Bài 4 (5,0 điểm):

Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA ' , BB , CC ' , H là trực tâm.

HA HB  HC 






a) Tính tổng AA BB CC
b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC ; Gọi IM , IN thứ tự là phân giác của góc AIC và AIB
. Chứng minh rằng: AN .BI .CM BN .IC .AM
Lời giải


A
C'
M
B'
C

N
H
A' I

B

1

S HBC 2 HA BC HA


S ABC 1 AABC AA
2
a) Ta có
;

S HAB HC  S HAC HB 

;
 
'
S
CC
S
BB
ABC
Tương tự: ABC
HA HB  HC  S HBC S HAB S HAC





1
AA BB  CC  S ABC S ABC S ABC
b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC , ABI , ACI
BI AB AN AI CM IC

;
 ;

IC AC NB BI MA AI
BI AN CM AB AI IC AB IC




  
 1
IC NB MA AC BI AI AC BI

 BI .AN.CM  BN .IC.AM

= = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =