Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Bắc Ninh 2014

UBND TỈNH BẮC NINH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2013 – 2014
Môn thi: Toán – Lớp 9
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 28 tháng 3 năm 2014
Câu 1. (4 điểm). Cho biểu thức: P =
2
x - x 2x + x 2(x - 1)
- + (x > 0, x 1).
x + x + 1 x x - 1
≠
1. Rút gọn P.
2. Tìm giá trị của x để P = 3.
Câu 2. (4 điểm). Cho phương trình
2
x + (4m + 1)x + 2(m - 4) = 0
(1)
(x là ẩn số, m là tham số).
1. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
2. Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của (1). Tìm m để
1 2
x x 17− =
.
Câu 3. (4 điểm)
1.Giải hệ phương trình 4x

2
+ y
4
- 4xy
3
= 1
2x
2
+ y
2
-2xy = 1
2. Cho các số thực m, n, p thoả mãn: n
2
+ np + p
2
= 1 -
2
3m
2
. Tìm giá trị lớn nhất và
nhỏ nhất của biểu thức S = m + n + p.
Câu 4 (5 điểm). Cho đường tròn tâm O đường kính AB cố định. Ax và Ay là hai tia thay đổi
luôn tạo với nhau góc 60
0
, nằm về hai phía của AB, cắt đường tròn (O) lần lượt tại M và N.
Đường thẳng BN cắt Ax tại E, đường thẳng BM cắt Ay tại F. Gọi K là trung điểm của đoạn
thẳng EF.
1. Chứng minh rằng
EF
3

AB
=
.
2. Chứng minh OMKN là tứ giác nội tiếp.
3. Khi tam giác AMN đều, gọi C là điểm di động trên cung nhỏ AN
(C A, C N).≠ ≠
Đường thẳng qua M và vuông góc với AC cắt NC tại D. Xác định vị trí
của điểm C để diện tích tam giác MCD là lớn nhất.
Câu 5 (3 điểm).
1. Cho 2014 số nguyên dương không lớn hơn 2014 và có tổng bằng 4028. Chứng minh
rằng từ 2014 số đó luôn chọn được các số mà tổng của chúng bằng 2014.
2. Cho tam giác ABC có các điểm D,E,F lần lượt nằm trên các cạnh AB,BC,CA. Gọi giao
điểm của AE với BF và CD lần lượt là Q,R, giao điểm của CD và BF là P. Biết diện tích bốn tam
giác ADR, BEQ, CFP, PQR cùng bằng 1. Chứng minh các tứ giác AFPR, BDRQ, CEQP có diện
tích bằng nhau.
HẾT
Họ và tên thí sinh : Số báo danh
Họ và tên, chữ ký: Giám thị 1: Giám thị 2:
ĐỀ CHÍNH THỨC