Giáo trình kỹ thuật xung phần 1 trường đh công nghiệp quảng ninh

BỘ CÔNG THƢƠNG
TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP QUẢNG NINH

NGUYỄN THẾ VĨNH

GIÁO TRÌNH

KỸ THUẬT XUNG
D NG CHO TR NH Đ

ĐẠI HỌC

QUẢNG NINH – 2020



LỜI NÓI ĐẦU
Kỹ thuật xung là kiến thức cơ sở của ngành Điện – Điện tử nhằm cung cấp
các kiến thức liên quan đến các phƣơng pháp cơ bản để tạo tín hiệu xung và biến
đổi dạng tín hiệu xung.
Quyển sách mong muốn giúp cho sinh viên, học viên học Điện tử có kiến
thức cơ bản về tín hiệu xung và hiểu đƣợc các nguyên lý cơ bản của các mạch tạo
xung, biến đổi dạng xung với nhiều linh kiện khác nhau.
Qua kinh nghiệm giảng dạy nhiều năm cho sinh viên chuyên ngành Điện tử,
tác giả thấy rằng trong lĩnh vực chun mơn nếu chỉ nắm vững lý thuyết thì chƣa đủ
mà phải đạt đƣợc kỹ năng tính tốn, thực hành, vận dụng, do đó hầu hết các chƣơng
trong quyển sách này đều có các ví dụ và bài tập ứng với từng phần. Từ những kiến
thức cơ bản này, bạn đọc có thể tự thiết kế các mạch tạo xung với những thông số
yêu cầu cho những mạch ứng dụng cụ thể.
Hy vọng rằng cuốn sách sẽ cung cấp cho bạn đọc, sinh viên ngành điện, các
kỹ sƣ điện, các cán bộ kỹ thuật, những thông tin cần thiết, giúp các bạn đạt đƣợc

hiệu quả cao trong học tập và nghiên cứu.
Mặc dù có cố gắng nhƣng do nguồn thơng tin và thời gian hạn chế, do vậy có
thể cịn có những vấn đề bạn đọc quan tâm chƣa đƣợc đề cập tới hoặc chƣa đầy đủ,
mong bạn đọc thông cảm. Tác giả chân thành cám ơn các ý kiến đóng góp cho
quyển sách này hồn thiện hơn trong những lần tái bản sau.
Mọi ý kiến góp ý xin liên hệ theo địa chỉ:
TS. Nguyễn Thế Vĩnh, Bộ môn Kỹ thuật điện – Điện tử, Khoa Điện,
trƣờng Đại học Công nghiệp Quảng Ninh, xã Yên Thọ, Thị xã Đông Triều, Tỉnh
Quảng Ninh.
Địa chỉ email:
Xin trân trọng cảm ơn Nhà xuất bản Giáo dục đã tạo điều kiện và hết
sức giúp đỡ để cuốn sách hoàn thành và sớm đến tay bạn đọc.

1


Chƣơng 1
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1. Một số định nghĩa về xung điện
1.1.1. Xung điện
Xung điện là tín hiệu đƣợc tạo nên do sự thay đổi mức của điện thế hoặc
dòng điện trong một khoảng thời gian rất nhỏ. Từ mức thấp sang mức cao và ngƣợc
lại [1-5].
Khi có một dãy xung tác dụng lên mạch điện ta phân biệt ra hai trƣờng hợp:
- Nếu khoảng thời gian giữa các xung kế tiếp nhau đủ lớn so với thời gian
quá độ của mạch thì tác dụng của dãy xung đƣợc nghiên cứu nhƣ tác dụng của một
xung đơn.
- Nếu khoảng thời gian giữa các xung kế tiếp nhau không đủ lớn so với thời
gian quá độ của mạch thì tác dụng của dãy xung đƣợc nghiên cứu nhƣ tác dụng của
một tín hiệu có dạng phức tạp.

1.1.2. Các thơng số của một xung điện
Mỗi xung điện có một số các thơng số đặc trƣng cho nó nhƣ: hình dạng, biên
độ, độ rộng xung, độ rộng sƣờn, độ sụt đỉnh…
a. Hình dạng
Hình dạng của xung là quy luật biến đổi giá trị của điện thế hoặc dòng điện
theo thời gian. Vài dạng xung thƣờng gặp nhƣ: xung hình nấc, xung hình chữ nhật,
hình tam giác (răng cƣa), hàm mũ… (Hình 1-1).

Xung hình
nấc

Xung vng
Xung tam giác
Hình 1-1. Các dạng xung

Xung răng
cưa

b. Biên độ xung
Biên độ xung là giá trị cực đại của xung.
c. Độ rộng xung tx
Là khoảng thời gian tồn tại của xung.
d. Độ rộng sƣờn xung
Ngƣời ta phân biệt hai loại độ rộng sƣờn xung:
Độ rộng sƣờn xung trƣớc Tm1: còn gọi là thời gian tăng, là khoảng thời gian
xung tăng giá trị từ 0 đến giá trị cực đại.
Độ rộng sƣờn xung sau Tm2: còn gọi là thời gian giảm, là khoảng thời gian
xung giảm giá trị từ trị cực đại về 0.
e. Độ dốc sƣờn xung

2


Đôi khi thay cho các thông số về độ rộng sƣờn, ngƣời ta thƣờng dùng thông
số độ dốc sƣờn xung để diễn tả độ dốc tăng hoặc giảm của xung.
Ứng với độ rộng sƣờn xung trƣớc và độ rộng sƣờn xung sau, ta có độ dốc
sƣờn trƣớc và độ dốc sƣờn sau đƣợc định nghĩa nhƣ sau:
Sm1 

UM
Tm1

(1.1)

Sm 2 

UM
U tm 2

(1.2)

f. Độ sụt đỉnh
Là độ giảm biên độ của xung so với giá trị cực đại.
Ta thƣờng quan tâm đến độ sụt đỉnh tƣơng đối, đƣợc định nghĩa nhƣ sau:
U  U

(1.3)

UM

Các đại lƣợng định nghĩa trên đƣợc biểu diễn ở hình 1-2

u
UM

U

Tm1

Tm2
TX

Hình 1-2. Các đại lượng đặc trưng của một xung
Trên thực tế những xung lý tƣởng đƣợc thể hiện nhƣ hình 1-3.
Thơng thƣờng ngƣời ta khó xác định đƣợc điểm bắt đầu và điểm kết thúc của
một sƣờn xung. Vì vậy ngƣời ta quy ƣớc:
Độ rộng xung đƣợc tính bằng khoảng thời gian xung có giá trị lớn
hơn  .U M .
Độ rộng sƣờn xung đƣợc tính bằng khoảng thời gian xung tăng từ  .U M đến
(1   ).U M hoặc khoảng thời gian xung giảm từ (1   ).U M đến  .U M .
Trong đó  đƣợc chọn tuỳ ý, thơng thƣờng ngƣời ta chọn:
  0.01 hay   0.05

Hoặc

  0.1

3

u
UM
(1 – β)UM

βUM

0
tm1

tm2

t

UNGƯỢC

tm1
tm1
tx
tm1
Hình 1-3. Dạng xung thực tế
1.1.3. Các thơng số của một dãy xung
Thông thƣờng xung xuất hiện dƣới dạng một dãy xung có tính tuần hồn.
Dãy xung đƣợc đặc trƣng bởi các thông số sau:
tm1

a. Chu kỳ xung
Là khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp xung lập lại nhƣ cũ.
b. Tần số xung
Là số xung tuần hoàn xuất hiện trong một giây:
fx 

1
TX

(1.4)

c. Độ rỗng Qx:
Đƣợc định nghĩa là tỉ số giữa chu kỳ TX và độ rộng xung tX.
QX 

TX
tX

(1.5)

d. Hệ số đầy của xung
Đƣợc định nghĩa là nghịch đảo của độ rỗng QX.


1

Qx



tX
TX

(1.6)

Từ công thức (1.4) và (1.6) suy ra:
fx 

1

T


X

(1.7)

1

Qt
X

X

1.2. Các dạng xung cơ bản
1.2.1. Xung đột biến
Xung đột biến còn đƣợc gọi là xung hàm nấc (step function). Có thể phân
loại và định nghĩa các xung này nhƣ sau:

4


a. Xung hàm nấc đơn vị (unit step funtion)
Xung hàm nấc đơn vị xuất hiện tại thời điểm t=0 nhƣ hình 1-4

u
1
0

t

Hình 1-4. Xung hàm nấc đơn vị
Ta ký hiệu U0(t) để biểu diễn loại hàm đặc biệt này
0 : khi t  t0
U 0 (t )  
1: khi t  t0

(1.8)

b. Xung hàm nấc đơn vị có thời gian trễ
Xung hàm nấc đơn vị xuất hiện tại thời điểm t = t0 nhƣ hình 1-5

u
1

0

t0

t
Hình 1-5

0 : khi t  t0
U 0 (t  t0 )  
1: khi t  t0

(1.9)

c. Xung hàm nấc có biên độ E
Xung hàm nấc có biên độ E xuất hiện tại thời điểm t0 nhƣ hình 1-6.

u
E

0

t0

t
Hình 1-6

U (t )  E.U 0 .(t  t0 )

(1.10)

5


1.2.2. Xung dốc tuyến tính
Xung hàm dốc (ramp function) mơ tả hình 1-7 có dạng nửa đƣờng thẳng
đƣợc định nghĩa nhƣ sau:

u

arctg K

0

t

Hình 1-7. Xung hàm dốc
U (t )  K .t.U 0 (t )

(1.11)

Trong đó K là độ dốc, đƣợc tính bằng:

K  tg

(1.12)

u

arctg K
0
t0
t
Hình 1-8. Xung hàm dốc tổng quát

0 : khi t  t o
U (t )  K .(t  t0 ).U 0 .(t  t0 )  

k (t  t0 ) : khi t  t0

(1.13)

1.2.3. Xung có dạng hàm mũ tăng
Tuỳ theo thời điểm xuất hiện xung, ta có hai loại sau đây:

U
E

0

t

Hình 1-9. Dạng xung hàm mũ tăng
U (t )  E.(1  e t ).U 0 (t )

(1.14)

Trong đó:
e  2.71828 là hằng số Neper

 là số thực dƣơng.
t   : U  E
Khi t = 0: U 0  0 ;
Khi  có giá trị càng lớn thì hàm càng tiến nhanh đến E.

6


U
E

0

t0

t

Hình 1-10. Dạng xung hàm mũ tăng với thời gian dịch chuyển t=t0



u (t )  E. 1  e

  t t0 

.u (t )

(1.15)

0

1.2.4. Xung hàm mũ giảm
Tƣơng tự nhƣ xung hàm mũ tăng, ta có hai loại sau:

U
E

0

t

Hình 1-11. Dạng xung hàm mũ giảm

U (t )  E.(1  e t ).U 0 (t )

Khi:

(1.16)

t  0 : U  0    0

 

t  0 : U 0   E

t   : U   0

 là số thực dƣơng. Khi  càng lớn thì hàm càng suy giảm nhanh về 0.

u
E

0

t0

t

Hình 1-12. Dạng xung hàm mũ giảm với thời gian dịch chuyển t=t0
U (t )  E.e (t t0 ) .U 0 (t  t0 )

(1.17)

Lƣu ý: Các hàm mũ tăng và hàm mũ giảm có biên độ âm để khơng nhầm lẫn
với trƣờng hợp có biên độ dƣơng.
Khi:

 
: U t   E

t  t0 : U t0  0
t  t0

0

7


u
0

t

-E
Hình 1-13. Dạng xung hàm mũ tăng theo biên độ âm
Hình 1-13 biểu diễn dạng hàm mũ tăng với biên độ âm.
U (t )   E.(1  et ).U 0 (t )

(1.18)

u
0

t

-E
Hình 1-14. Dạng xung hàm mũ giảm theo biên độ âm
Hình 1-14 là dạng hàm mũ giảm với biên độ âm.
U (t )   E.et .U 0 (t )

(1.19)

1.3. Mô tả các xung đơn giản bằng tổ hợp các xung cơ bản
Theo nguyên lý chồng chất, đáp ứng của một mạch thì có nhiều tín hiệu kích
thích đồng thời sẽ bằng tổng hợp các đáp ứng do từng tín hiệu riêng lẻ sinh ra.
Một tín hiệu xung có dạng đơn giản nhƣ hình chữ nhật, hình thang, hình răng
cƣa,… có thể đƣợc phân tích thành một tổng hữu hạn các xung cơ bản. Khi tín hiệu
xung đó tác dụng vào mạch điện thì ta có thể xem nhƣ mạch điện chịu kích thích
đồng thời của các xung cơ bản hợp thành. Nếu biết đƣợc đáp ứng của mạch đối với
từng loại xung cơ bản, ta nhanh chóng tìm đƣợc đáp ứng của mạch đối với các loại
xung đơn giản khác nhau. Vì vậy việc phân tích một xung nào đó thành một tổ hợp
các xung cơ bản là hữu ích. Sau đây là các ví dụ:
Ví dụ 1.1: Xung hình chữ nhật.

u
E
0

t1

t2

t

t1

t2

t

u
E
0
-E

Hình 1-15. Xung chữ nhật

8


U (t )  E.U 0 (t  t1 )  E.U 0 (t  t2 )

(1.20)

Xung hình chữ nhật đƣợc xem nhƣ tổng của hai xung hình nấc xuất hiện ở
hai thời điểm khác nhau.
Ví dụ 1.2: Xung hình thang

u

0

t1

1

2
t3

t2

t4

t

u
1
0

t1

t2

t3

1

2

t4

2
t

Hình 1-16. Dạng tín hiệu xung hình thang
Với K1  tg1; K 2  tg 2
Ta có:
U (t )  K1 (t  t1 ).U 0 (t  t1 )  K 2 (t  t2 ).U 0 (t  t2 )  K 3 (t  t3 ).U 0 (t  t3 ) 
 K 4 (t  t4 ).U 0 (t  t4 )

(1.21)

Ví dụ 1.3: Hàm mũ gim
u
K(t 1-t 2 )
0

Hàm mũ giảm

t1

t2

t

u

0

t

Hỡnh 1-17. Tớn hiu xung hàm mũ
Với K  tg

Ta có:





U (t )  K (t  t1 ).U 0 (t  t1 )  K (t  t2 ).U 0 (t  t2 )  K (t2  t1 ) 1  e  (t t2 ) .U 0 (t  t2 )

Ví dụ 1.4:

9

(1.22)


U (t )  E. 1  e1 (t t1 )  .U 0 (t  t1 )  E. 1  e 2 (t t2 )  .U 0 (t  t2 ) 





 K (t2  t1 ) 1  e (t t2 ) .U 0 (t  t2 )
u Hàm mũ tăng
E
0

Hàm mũ giảm

t2

t1

(1.23)

t

u
E
0

t2

t1

t

-E

Hỡnh 1-18. Tớn hiu xung hàm mũ tăng và giảm
Kết luận:
Trong chƣơng 1 đã trình bày khái niệm cơ bản về các thơng số trong tín hiệu
xung. Các dạng xung điện đƣợc mơ tả bằng các phƣơng trình tốn học làm cơ sở
phân tích các bài tốn cụ thể khi có kích thích là các dạng xung khi đƣa vào trong
mạch điện và điện tử sẽ đƣợc trình bày ở chƣơng 2 tiếp theo.
BÀI TẬP
Bài 1: Hãy tìm các hàm của các tín hiệu cho sau đây
0

a, v1 (t )  4
 4



khi

t 1

khi

2t 4

khi

t4

0

b, a, v2 (t )  4
 2t  12


khi

t2

khi

2t 4

khi

t4

t

c, v3 (t )   v1 ( x)dx


d, v4 (t ) 

dv2 (t )
dt

Bài 2
a, Hãy tìm phƣơng trình của xung hình chữ nhật có biên độ 15V tại t = -5s
và kết thúc tại t=10s.
b, Tìm biểu thức bằng cách lấy đạo hàm của các hàm vừa tìm đƣợc ở câu (a).
c, Tìm biểu thức bằng cách lấy tích phân của các hàm vừa tìm đƣợc ở câu
(a).
10


B 3
a, Một hàm mũ có v(0) = 1,2V và v(3) = 0,5V. Hãy tìm giá trị VA và Tc của
tín hiệu này.
b, Một hàm mũ có v(0) = 5V và v(2) = 1,25V. Hãy tìm giá trị v(t) tại t=1 và
t=4.
c, Một hàm mũ có v(0) = 5V và độ dốc bắt đầu tại (t=0) là -25 V/s. Hãy tìm
VA và Tc của hàm mũ này.
d, Một hàm mũ có độ suy giảm 10%giá trị ban đầu của nó trong khoảng thời
gian 3ms. Hãy tìm Tc của hàm mũ này.

e, Một hàm có v(2) = 4V, v(6) = 1V và v(10) = 0,5V. Vậy hàm này có phải
là hàm mũ hay khơng?
Bài 4: Hãy tìm biên độ và thời hằng của các hàm mũ sau đây.
a, v1 (t )   15e 1000t u(t )(V )
 10t 
b, v2 (t )  12e u (t )(mV )



c, i3 (t )  15e 500t u(t )(mA)

d, i4 (t )  4e 200(t 100) u(t  100)( A)

11


Chƣơng 2
ĐÁP ỨNG XUNG CỦA CÁC MẠCH RC – RL – RLC
Các hệ thống điện tử cần cung cấp những chuỗi xung có tần số cao hoặc tần
số thấp, khi đó chúng ta dùng mạch phát xung và biến đổi dạng xung theo yêu cầu
của hệ thống. Dạng mạch biến đổi dạng xung cơ bản là dụng cac mạch RC - RL RLC, các phần tử này có thể mắc nối tiếp hoặc song song với nhau. Tùy theo tín
hiệu ngõ ra lấy trên phần tử nào mà hình thành các mạch biến đổi tín hiệu với các
đáp ứng khác nhau.
2.1. Đáp ứng xung với mạch RC
2.1.1. Xung hàm nấc
Cho một xung hình nấc biên độ E xuất hiện tại thời điểm t = 0 vào ngõ vào
của một mạch RC nhƣ hình 2-1, hình 2-2.

Hình 2-1. Mạch RC
Hình 2-2

Để đơn giản, giả sử ban đầu tụ chƣa nạp điện: U c (0)  0
Phƣơng trình biểu diễn mạch có dạng:
U v (t )  U R (t )  U c (t )

(2.1)

t

E.U 0 (t )  Ri 

1
idt
C 0

(2.2)

a. Đáp ứng của mạch
Áp dụng công thức biến đổi Laplace 2 vế của phƣơng trình (2.2), ta đƣợc:
E I (S )

 RI ( S )
S
SC
Với I ( S ) là biến đổi Laplace của i(t ) và S là biến phức trong phép biến đổi

Laplace.
E
1
.
S S  1/ SC

1
1
Đặt   RC ;   
 RC

Suy ra: I ( S ) 

(2.3)

 đƣợc gọi là hằng số thời gian của mạch RC.
Phƣơng trình (2.3) có thể viết lại:

12


I (S ) 

E 1
R S 

(2.4)

Áp dụng phép biến đổi Laplace ngƣợc cho (2.4) ta đƣợc biểu thức của i
theo thời gian:
E  t
e U 0 (t )
R
Từ (1.28) ta suy ra U R (t ) và U C (t )
I (t ) 

(2.5)

U R (t )  U R (t )  R.i  E.e tU 0 (t )

(2.6)

U c (t )  U v (t )  U R (t )

U c (t )  E.(1  et )U 0 (t )

(2.7)

b. Nhận xét
Biểu thức (2.5), (2.6) và (2.7) cho ta thấy i(t ) và U R (t ) có dạng hàm mũ giảm
và U c (t ) có dạng hàm mũ tăng nhƣ mơ tả trong các hình 2-3 và hình 2-4.

i
E/R

0
t
Hình 2-3. Dạng tín hiệu đáp ứng dịng điện mạch RC với xung nấc

uc
E
E
E
0
uR

t

E
E
E
0 t1



t2

t

Hình 2-4. Dạng tín hiệu đáp ứng điện áp mạch RC với xung nấc
Tại:

t  0 : i(0 ) 

E
R

U R (0 )  E
U c (0 )  0

13


Tại thời điểm bắt đầu có tác dụng của xung, tụ C nhƣ bị nối tắt, toàn bộ điện
thế của tín hiệu đƣợc đặt lên hai đầu điện trở R và dòng điện đạt giá trị cực đại đƣợc
xác định bởi điện trở R.

Theo thời gian U c (t ) tăng dần, ta nói tụ nạp điện: U R (t ) và i(t ) giảm xuống.
Khi t   : i()  0; UR ()  0; Uc ()  E
Ở trạng thái thƣờng trực, mạch nhƣ bị hở, toàn bộ điện thế của tín hiệu đƣợc
đặt lên tụ C hay nói cách khác tụ đã nạp xong.
c. Độ rộng sƣờn xung
Vì U c (t ) và U R (t ) đều có dạng hàm mũ nên độ rộng sƣờn đƣợc tính bằng
khoảng thời gian U c (t ) tăng từ  E đến (1   )E , hoặc U R (t ) giảm từ (1   )E
đến  E .
Khi U c (t ) đạt giá trị (1   )E ta xem nhƣ tụ đã nạp xong và mạch đã đạt
trạng thái thƣờng trực.
Tại t  t1 : Uc (t1 )  E.(1  et )   .E
(2.8)
1

t  t2 : Uc (t2 )  E.(1  et2 )  1    .E

(2.9)

Từ (2.8) suy ra: et  1  

(2.10)

Từ (2.9) suy ra: e t  

(2.11)

1

2

Chia (2.10) cho (2.11) ta đƣợc:
e  t2 t1  
tm  t2  t1   ln

Vậy:

1 



hay   t2  t1   ln

1 



1 

(2.12)



Bảng 1-1 sau đây cho ta độ rộng sƣờn với vài giá trị của  .

tS

0,01
4,6.

Bảng 1

0,05
3.

0,1
2,2.

Khi chọn   0.05 thì tm  3 . Điều này có nghĩa là sau khoảng thời gian 3
trạng thái thƣợng trực của đáp ứng sẽ đƣợc xác lập. Từ đó ta thấy thời gian hằng 
của mạch là một đại lƣợng quan trọng, cho phép ta đánh giá đƣợc quán tính của
mạch.
d. Độ dốc của tiếp tuyến đối với tín hiệu
Từ các biểu thức của U R (t ) (2.6) hoặc của U c (t ) (2.7), ta có thể tính đƣợc độ
dốc của các tiếp tuyến tại thời điểm t= 0+. Chẳng hạn từ (2.7), độ dốc của tiếp tuyến
đối với U c (t ) tại t= 0+ là:
K

dU c (t )
 E. e t
dt t 0

t  0

 E.

14

(2.13)


Phƣơng trình của tiếp tuyến là: u  K.t  E. .t

(2.14)
Tiếp tuyến này cắt đƣờng u = E tại: E. .t  E
(2.15)
At   1  
Tƣơng tự, ta cũng có thể tính đƣợc tiếp tuyến của đƣờng U R (t ) tại thời điểm t
+
= 0 cắt trục hoành tại: t   .
2.1.2. Xung điện thế dốc tuyến tính
Giả sử tại thời điểm t=0 ta cho một xung dốc tuyến tính (hình 2-5) vào mạch
RC (hình 2-1).
uv(t)

 =arctg K
0
t
Hình 2-5. Xung hàm dốc tuyến tính
Phƣơng trình biểu diễn là phƣơng trình (2.1) với:
U v (t )  K .t.U 0 (t ).U v (t )

(2.16)

Ta có:
t

K .t.U 0 (t ) 

1
i.dt  R.i
C 0

(2.17)

a. Đáp ứng của mạch
Giả sử ban đầu tụ chƣa nạp điện: U c (0)  0 . Áp dụng phép biến đổi Laplace
vào hai vế của (2.17), ta có:
K I (S )

 RI ( S )
S2
SC
K
1
I (S ) 
R S ( S  1/ RC )

(2.18)
(2.19)

Gọi  là hằng số thời gian của mạch:   RC
Đặt:  

1





1
RC

 I (S ) 

Phân tích

K
1
R S (S   )

(2.20)

1
thành hai phân thức đơn giản, có dạng:
S (S   )

1
A
B
 
S (S   ) S (S   )

(2.21)

Nhân hai vế của (2.21) với S, sau đó cho S= 0, ta đƣợc:

15


A

1


Nhân hai vế của (2.21) với ( S   ) , sau đó cho S   , ta đƣợc:
B

(2.22)

1

( 2.23)

Thay (2.22) và ( 2.23) vào (2.21), sau đó thay vào (2.20), ta đƣợc:
I (S ) 

K 1
1
( 
)
R S S  

(2.24)

Áp dụng phép biến đổi Laplace ngƣợc vào (2.24), suy ra:
i(t ) 

Hay:

K
(1  e t )U 0 (t )
R

i(t )  KC (1  et )U 0 (t )

(2.25)

U R (t )  Ri  K (1  et ).U 0 (t )

(2.26)

U c (t )  U v (t )  U R (t )

U c (t )  K[t   (1  et )]U 0 (t )

(2.27)

b. Nhận xét đáp ứng
Từ (2.25) và (2.26) cho thấy i(t ) và U R (t ) là các hàm mũ tăng nhƣ mơ tả
trong hình 2-6.

Hình 2-6. Dạng tín hiệu điện áp đáp ứng của mạch RC
Tại:

t  0 : i(0 )  0

U R (0 )  0
U c (0 )  0

dU R
dt
dU c

dt

 K .e t
t  0

t  0

K

 K .(1  e t )
t  0

t  0

0

16

(2.28)


Sau một khoảng thời gian t  3 , trạng thái thƣờng trực xem nhƣ đã đƣợc
xác lập.
Khi: t   :
(2.29)
i()  KC
U R ()  K

(2.30)

U c ()  K (t   )

(2.31)

Sau thời gian chuyển tiếp thì:
- Dịng điện đạt đến giá trị khơng đổi, tỉ lệ với giá trị điện dung C.
- Hiệu điện thế giữa hai đầu điện trở R đạt đến giá trị không đổi, tỉ lệ với
hằng số thời gian của mạch.
- Hiệu điện thế giữa hai đầu tụ trở thành dạng hàm dốc giống hệt nhƣ tín
hiệu vào nhƣng bị chậm đi một khoảng thời gian bằng với hằng số thời gian của
mạch.
2.1.3. Xung điện thế dạng hàm mũ
Tại thời điểm t =0, cho xung điện thế dạng hàm mũ tăng ( hình 2-7) vào ngõ
vào của mạch RC (hình 2-1)
(2.32)
U v (t )  E (1  et )U 0 (t )

Hình 2-7. Tín hiệu xung hàm mũ tăng dần
a. Đáp ứng của mạch
Phƣơng trình biểu diễn mạch là phƣơng trình (2.1):
U v (t )  U R (t )  U c (t )

Giả sử ban đầu tụ chƣa nạp điện sẵn:
Ta có: E (1  e t )U 0 (t ) 

t

1
idt  Ri
C 0

(2.33)

Áp dụng phép biến đổi Laplace cho (2.33), ta có:
E
E
I (s)


 RI ( S )
S S  a SC

(2.34)

Suy ra:
I (S ) 

aE
R

1
1 

( S  a)  S 

RC 


17

(2.35)


Đặt   RC là hằng số thời gian của mạch, và  

1





1
, khi đó (2.35) trở
RC

thành:
I (S ) 

aE
1
R ( S  a)( S   )

(2.36)

1
A
B


( S  a)( S   ) S  a S  

Đặt:

(2.37)

1
a  
1
B
  a
A

Suy ra:

(2.38)
(2.39)

Kết hợp (2.36), (2.37), (2.38), (2.39) ta đƣợc:
I S  

E a
1
1
.
(

)
R a  S  S  a

(2.40)

Biến đổi ngƣợc (2.40), ta đƣợc :
E a
(e t  e at )U 0 (t )
R a 
U R (t )  R.i(t )
i(t ) 

(2.41)

a
(e t  e at ).U 0 (t )
a 
U c (t )  U v (t )  U R (t )
U R (t )  E.

U c (t )  [ E (1  e t )  E



(2.42)



a
e t  e at ].U 0 (t )
a 

(2.43)

Xem a nhƣ liên kết với một hằng số thời gian đặc trƣng cho hàm mũ của tín
hiệu vào  1 .


Đặt :

m

a





1



1
a

(2.44)

1/ 1 

1/   1

(2.45)

Từ biểu thức (2.42) và (2.43) có dạng:

m  t
e (1  e ( m1) t )U 0 (t )
m 1
m  t
U c (t )  [ E (1  e m t )  E
e (1  e ( m1) t )]U 0 (t )
m 1

U R (t )  E

(2.46)
(2.47)

Hình 2-8 và hình 2-9 vẽ lại đáp ứng trong các trƣờng hợp m có giá trị khác
nhau.
Nếu xung điện thế ở ngõ vào có dạng hàm mũ giảm:
U v (t )  Ee tU 0 (t )

(2.48)

thì đáp ứng có dạng sau:
18