Bài giảng Vi tích phân 1C: Chương 5 - Cao Nghi Thục

VI TÍCH PHÂN 1C
GV: CAO NGHI THỤC
EMAIL:


Nội dung
Chương 1 Dãy số thực
Chương 2 Hàm số một biến: Giới hạn và sự
liên tục của hàm số
Chương 3 Phép tính vi phân hàm một biến
Chương 4 Phép tính tích phân hàm một biến
liên tục
Chương 5 Chuỗi số
Page  § 2


Tài liệu tham khảo
[1] Giáo trình Vi tích phân 1C, Bộ mơn Giải
tích, Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp HCM,
2018
[2] Stewart, Calculus 7th Edition, Brooks –
Cole Pub, 2012
[3] Ngô Thành Phong, Giáo trình giản yếu Giải
tích tốn học, Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp
HCM, 2004
Page  § 3


Chuỗi  số

Page  § 4

Chuỗi  số
Khái  niệm  

lim Sn = S
Nếu                                            hữu  hạn  
thì  S  là  tổng  của  chuỗi  và  
n→∞

chuỗi  hội  tụ  .  Ngược  lại  chuỗi  phân  kỳ.

Rn = S − Sn = un+1 + un+2 + ... gọi  là  phần  dư  của  chuỗi

Page  § 5


Chuỗi  số
VD4
Xét  chuỗi  

∞

∑ aq
n =1

n −1

2

n −1

= a + aq + aq + ... + aq + ... ( a ≠ 0, q ≠ 1)
n

1− q
Sn = a
1− q

n

a
aq
=
−
1− q 1− q
n

⎛ a aq ⎞ a
q < 1,lim q = 0 ⇒ lim Sn = lim ⎜
−
=
⎟
n→∞
n→∞
n→∞ 1 − q 1 − q
⎝
⎠ 1 − q
n

Page  § 6


Chuỗi  số
VD5

1
Chuỗi                                  phân  
kỳ
∑
n =1 n

Page  § 7

∞


Chuỗi  số

Page  § 8


Các  tiêu  chuẩn  hội  tụ  của chuỗi  số
Điều  kiện  cần  của  chuỗi  hội  tụ  
Nếu  chuỗi  (1)  hội  tụ  thì  

lim un = 0
n →∞

Hệ  quả  Nếu  số  hạng  tổng  quát  của  chuỗi  không  tiến  tới  

0  khi                                thì  chuỗi  phân  
kỳ  
n→∞
VD7

n 1 2
n
= + + ... +
+ ...
∑
2 3
n +1
n =1 n + 1
∞

Phân  kỳ  vì                                                                      

Page  § 9

n
lim
=1≠ 0
n →∞ n + 1


Các  tiêu  chuẩn  hội  tụ  của chuỗi  số
Tính  chất  chuỗi  hội  tụ  

∞

∞

Nếu                        hội  tụ  và  tổng  là  S  thì                                hội  tụ  và  
cu n
∑ un

∑

n =1

n =1

tổng  cS  
∞

∞

∞

un ,
vn
Nếu                                                      hội  tụ  thì                                              hội  tụ  và      
(un + vn )

∑

∑

n =1

n =1

∞

∑ (u
n =1

Page  § 10

∑

n

n =1

∞

∞

n =1

n =1

+ vn ) = ∑ un + ∑ vn


Các  tiêu  chuẩn  hội  tụ  của chuỗi  số

Page  § 11

Các  tiêu  chuẩn  hội  tụ  của chuỗi  số
Tiêu  chuẩn  so  sánh  đối  với  chuỗi  số  dương  
Tiêu  chuẩn  so  sánh  1  

∞

∞

∑

∑

Cho  2  chuỗi  số  dương                                                          và          
un ,
vn un ≤ vn
n =1

∞

(n = 1,2,3,...)

n =1

∞

Nếu                            hội  tụ  thì                        hội  tụ
un
vn

∑
n =1

∑
n =1

∞

∞

∑

∑

Nếu                          phân  kỳ  thì                        phân  kỳ                                  
un
vn
n =1

Page  § 12

n =1


Các  tiêu  chuẩn  hội  tụ  của chuỗi  số
VD9

1
1
1

∑
Chuỗi                                      hội  tụ  vì                                                                    
< n , ∀n > 1
n
n
n
2
n =1
n2
2
∞

1
Mà                              hội  tụ                      
∑
n
2
n =1
∞

Page  § 13


Các  tiêu  chuẩn  hội  tụ  của chuỗi  số
Tiêu  chuẩn  so  sánh  đối  với  chuỗi  số  dương  
Tiêu  chuẩn  so  sánh  2  

∞

∞

∑

∑

Cho  2  chuỗi  số  dương                                                                    
un ,
vn
n =1

n =1

un
lim
=k
Nếu  tồn  tại                                                trong  
đó  k  hữu  hạn  và  khác  0  
n →∞ v
n
thì  cả  hai  chuỗi  cùng  hội  tụ  hoặc  phân  kỳ

Page  § 14


Các  tiêu  chuẩn  hội  tụ  của chuỗi  số
VD10

∞

π

sin
Khảo  sát  sự  hội  tụ  của  chuỗi                                                                                                

∑
n =1

Page  § 15

n


Các  tiêu  chuẩn  hội  tụ  của chuỗi  số
Tiêu  chuẩn  d’Alembert,  Cauchy  đối  với  chuỗi  số  dương  
Tiêu  chuẩn  d’Alembert  

un +1
lim
=k
Cho    chuỗi  số  dương                        với          
un
∑
n →∞ u
n =1
n
∞

∞

un

Nếu    k<1    thì                              hội  tụ

∑
n =1

∞

un
Nếu    k>1    thì                              phân  
kỳ      

∑
n =1

Nếu  k=1  khơng  có  kết  luận                            
Page  § 16


Các  tiêu  chuẩn  hội  tụ  của chuỗi  số
Tiêu  chuẩn  d’Alembert,  Cauchy  đối  với  chuỗi  số  dương  
VD11

10n
Khảo  sát  sự  hội  tụ  của  chuỗi   ∑
n =1 n !
un +1
10n +1 n !
10
lim
= lim

. n = lim
= 0 <1
n →∞ u
n →∞ ( n + 1)! 10
n →∞ n + 1
n
Vậy  chuỗi  hội  tụ                
Page  § 17

∞


Các  tiêu  chuẩn  hội  tụ  của chuỗi  số
Tiêu  chuẩn  d’Alembert,  Cauchy  đối  với  chuỗi  số  dương  
VD12

3n
Khảo  sát  sự  hội  tụ  của  chuỗi   ∑
n =1 n

Page  § 18

∞


Các  tiêu  chuẩn  hội  tụ  của chuỗi  số
Tiêu  chuẩn  d’Alembert,  Cauchy  đối  với  chuỗi  số  dương  
Tiêu  chuẩn  Cauchy

∞

un
Cho    chuỗi  số  dương                        với          
lim n

∑
n =1

∞

un
Nếu    k<1    thì                              hội  tụ

∑
n =1

∞

un
Nếu    k>1    thì                              phân  
kỳ      

∑
n =1

Page  § 19

n →∞

un = k

Các  tiêu  chuẩn  hội  tụ  của chuỗi  số
Tiêu  chuẩn  d’Alembert,  Cauchy  đối  với  chuỗi  số  dương  
VD13

⎛ n ⎞
Khảo  sát  sự  hội  tụ  của  chuỗi   ∑ ⎜
⎟
n =1 ⎝ 3n + 1 ⎠
∞

n

n

n
n
1
⎛
⎞
lim un = lim n ⎜
= lim
= <1
⎟
n→∞
n →∞
⎝ 3n + 1 ⎠ n→∞ 3n + 1 3
n

Vậy  chuỗi  hội  tụ                
Page  § 20


Các  tiêu  chuẩn  hội  tụ  của chuỗi  số
Tiêu  chuẩn  d’Alembert,  Cauchy  đối  với  chuỗi  số  dương  
VD14

1
Khảo  sát  sự  hội  tụ  của  chuỗi   ∑ n
n =1 n
Chuỗi  hội  tụ                

Page  § 21

∞


Chuỗi  đan  dấu
Chuỗi  đan  dấu  
Chuỗi  đan  dấu  có  dạng   u1 − u2
là  những  số  dương  

Page  § 22

+ u3 − u4 + ..., u1 , u2 , u3 , u4 ,...


Chuỗi  đan  dấu
Định  lý  Leibnitz  

Cho  chuỗi  đan  dấu  có  dạng  u1 − u2 + u3 − u4 + ..., u1 , u2 , u3 , u4 ,...
là  những  số  dương  
Nếu  các  số  hạng  giảm  

u1 > u2 > u3 > ....

lim un = 0
Và                                                thì  chuỗi  hội  tụ.  Khi  đó  tổng  của  chuỗi  là  
n→∞

số  dương  và  khơng  vượt  q  số  hạng  đầu  tiên

Page  § 23


Chuỗi  đan  dấu
VD15

1 1 1
Cho  chuỗi  đan  dấu 1 − 2 + 3 − 4 + ... =
Chuỗi  hội  tụ  theo  tiêu  chuẩn  Leibnitz

1 1 1
Vì  các  số  hạng  giảm   1 > > > > ...
2 3 4

1
Và                                                                            
lim un = lim = 0
n →∞

n →∞ n

Page  § 24

∞

∑ (−1)
n =1

n +1

1
n


Sự  hội  tụ  tuyệt  đối  của  chuỗi
Chuỗi  có  dấu  bất  kỳ.  Hội  tụ  tuyệt  đối  và  nửa  
h
ội  tụ  
∞

Chuỗi  có  dấu  bất  kỳ                                                                được  gọi  là  hội  tụ  
un
(2)

∑
n =1

∞

tuyệt  đối  nếu                                                              hội  tụ    
un
(3)

∑
n =1

Page  § 25