ĐỀ THI ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012-2013 LẦN 1 ĐỀ THI MÔN: TOÁN - KHỐI D docx
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (144.03 KB, 8 trang )
1
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
KỲ KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012-2013 LẦN 1
ĐỀ THI MÔN: TOÁN - KHỐI D
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I ( 2,0 điểm). Cho hàm số
4 2
2 4
y x mx
= − + −
có đồ thị
(
)
m
C
. (
m
là tham số thực)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m =2.
2. Tìm tất cả các giá trị của m để các điểm cực trị của đồ thị
(
)
m
C
nằm trên các trục tọa độ.
Câu II (2,0 điểm).
1. Giải phương trình:
(
)
sin tan2 3 sin 3 tan2 3 3
x x x x+ − = .
2. Giải bất phương trình:
1
3
3
<
−
+
+
x
x
x
.
Câu III (1,0 điểm). Giải hệ phương trình:
( ) ( )
2 2
2 3 8 1 0
8 3 13 0
x y y x
x x y y
+ − + − =
+ + + − =
Câu IV (1,0 điểm). Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có đoạn thẳng nối hai tâm của hai mặt bên
kề nhau có độ dài bằng a. Tính theo a thể tích khối lập phương ABCD.A'B'C'D' và khoảng cách giữa
hai đường thẳng AC' và B'D'.
Câu V (1,0 điểm). Cho ba số thực dương
, ,
x y z
thay đổ
i. Tìm giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c:
2 2 2
2 2 2
3 3 3
x y z
P x y z
yz zx xy
= + + + + +
.
II.PHẦN RIÊNG (3,0 điểm):
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A.Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (1,0 điểm).
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
tr
ụ
c t
ọ
a
độ
Oxy, cho
đườ
ng th
ẳ
ng (d) có ph
ươ
ng trình
0
x y
− =
và
đ
i
ể
m M(2;1). L
ậ
p ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng
(
)
∆
c
ắ
t tr
ụ
c hoành t
ạ
i A, c
ắ
t
đườ
ng th
ẳ
ng
(d) t
ạ
i B sao cho tam giác AMB vuông cân t
ạ
i M.
Câu VII.a (1,0 điểm).
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
tr
ụ
c t
ọ
a
độ
Oxy, cho
đườ
ng tròn (C
1
) có ph
ươ
ng trình
2 2
25
x y
+ =
,
đ
i
ể
m M(1; -2).
Đườ
ng tròn (C
2
) có bán kính b
ằ
ng
2 10
. Tìm t
ọ
a
độ
tâm c
ủ
a (C
2
) sao
cho (C
2
) c
ắ
t (C
1
) theo m
ộ
t dây cung qua M có
độ
dài nh
ỏ
nh
ấ
t.
Câu VIII.a (1,0 điểm).
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình:
3 2 2
2
12 1
3 81.
2
x x x
C A A
x
− ≥ − (
*
x N
∈
)
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (1,0 điểm).
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
tr
ụ
c t
ọ
a
độ
Oxy,
cho
đ
i
ể
m
P(-7;8)
và hai
đườ
ng
th
ẳ
ng
(
)
1
:2 5 3 0,
d x y
+ + =
(
)
2
:5 2 7 0
d x y
− − =
c
ắ
t nhau t
ạ
i A. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng (d)
đ
i
qua P và t
ạ
o v
ớ
i
1 2
( ),( )
d d
m
ộ
t tam giác cân t
ạ
i A và có di
ệ
n tích b
ằ
ng
29
2
.
Câu VII.b (1,0 điểm).
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
tr
ụ
c to
ạ
độ
Oxy, cho
đườ
ng th
ẳ
ng (d) có ph
ươ
ng trình
2 0
x y
+ + =
và đường tròn
(C
1
)
có phương trình:
2 2
4 2 4 0
x y x y
+ − + + =
. Đường tròn
(C
2
)
có tâm
thuộc (
d), (C
2
)
tiếp xúc ngoài với
(C
1
)
và có bán kính gấp đôi bán kính của
(C
1
).
Viết phương trình của
đường tròn
(C
2
).
Câu VIII.b (1,0 điểm). Cho hàm số
2
3
1
x mx
y
x
+ +
=
+
.Tìm t
ấ
t c
ả
các giá tr
ị
c
ủ
a m
để
hàm s
ố
có c
ự
c
đạ
i,
c
ự
c ti
ể
u
đồ
ng th
ờ
i hai
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u c
ủ
a
đồ
th
ị
n
ằ
m v
ề
hai phía c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng (d): 2x+y-
1=0.
Hết
Chú ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên Thí sinh: ………………………………; Số báo danh: ……………………
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
2
HƯỚNG DẪN CHẤM KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM 2012-2013 LẦN 1
MÔN TOÁN -KHỐI D
( Đáp án có 06 trang: từ trang 1 đến trang 6 )
Câu Đáp án Điểm
1. Khảo sát hàm số với m = 2. 1,00
Với m = 2, hàm số trở thành:
4 2
y x 4x 4
= − + −
* TXĐ:
R
0,25
* Sự biến thiên của hàm số:
Giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:
lim ; lim
x x
y y
→+∞ →−∞
= −∞ = −∞
0,25
- Bảng biến thiên:
+ Ta có:
=
= − + = ⇔
= ±
3
0
' 4 8 ; ' 0
2
x
y x x y
x
+ Bảng biến thiên:
x
- ∞
−
2
0
2
+ ∞
y’ + 0 - 0 + 0 -
y
0
-∞
0
-4 -∞
- Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
(
)
−∞
; - 2
và
(
)
0; 2
- Hàm số nghịch biến trên khoảng
(
)
−
2;0
và
(
)
+∞
2;
- Điểm cực đại của đồ thị là
(
)
−
2;0
,
(
)
2;0
điểm cực tiểu của đồ thị B(0;-4)
* Đồ thị:
+ Đồ thị cắt trục tung tại
(
)
0; 4
−
và cắt trục hoành tại điểm
(
)
2;0
−
và
(
)
2;0
+ Nhận xét: Đồ thị (C) nhận trục tung làm trục đối xứng.
2
-
2
-
4
-
6
-
8
-
5
5 10
f x
( )
= -x
4
+4
⋅
x
2
( )
-4
0,25
0,25
2. Tìm m để tất cả các cực trị của hàm số
(
)
m
C
nằm trên các trục tọa độ.
1,00
I
Ta có:
( )
3 2
2
0
' 4 4 4 ; ' 0
x
y x mx x x m y
x m
=
= − + = − + = ⇔
=
Nếu
0
m
≤
thì
(
)
m
C
chỉ có một điểm cực trị và đó là điểm cực đại nằm trên trục
tung.
Nếu
0
m
>
thì
(
)
m
C
có 3 điểm cực trị . Một cực tiểu nằm trên trục tung và hai
điểm cực đại có tọa độ
2
( ; 4)
m m
− −
,
2
( ; 4)
m m
−
.
Để hai điểm này nằm trên trục hoành thì
2
4 0 2
m m
− = ⇔ = ±
. Vì
0
m
>
nên chọn m = 2.
Vậy
{
}
( ;0] 2
m∈ −∞ ∪
là những giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán.
0,25
0,25
0,25
0,25
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
3
1. Giải phương trình lượng giác 1,00
- Đk.
cos2x 0 x m ,m Z.
4 2
π π
≠ ⇔ ≠ + ∈
Ta có:
sin tan 2 3(sin 3 tan 2 ) 3 3
+ − =x x x x
(sin tan 2 3sin ) (3tan2 3 3) 0
⇔ + − + =
x x x x
sin (tan 2 3) 3(tan 2 3) 0 (tan 2 3)(sin 3) 0
x x x x x
⇔ + − + = ⇔ + − =
tan 2 3 2 ( ).
3 6 2
k
x x k x k Z
π π π
π
− −
⇔ = − ⇔ = + ⇔ = + ∈
(thỏa mãn)
Vậy pt có một họ nghiệm :
, .
6 2
= − + ∈
π π
x k k Z
0,25
0,25
0,25
0,25
2. Giải bất phương trình 1,00
II
+ Đk:
x 0; x 3.
≥ ≠
Bất phương trình
3 x
x 1
3 x
+
⇔ < −
−
2
2
2x
0
3 x
2x 4x
x x
3 x (3 x)
x 0
−
>
−
−
⇔ < ⇔ <
− −
≥
2
x (3; )
x 10x 9 0
∈ +∞
⇔
− + <
x (3; )
x (3;9)
x (1;9)
∈ +∞
⇔ ⇔ ∈
∈
(Thỏa mãn điều kiện)
Vậy tập nghiệm của bpt là : (3;9)
0,25
0,25
0,25
0,25
Giải hệ phương trình 1,00
III
+ Điều kiện:
2 2
3 0, 8 0
x y y x
+ ≥ + ≥
Đặt
( )
2 2
3 , 8 , 0
u x y v y x u v
= + = + ≥
+ Ta được:
2 2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1
13 13 (2 1) 13
− = = − = −
⇔ ⇔
+ = + = + − =
u v v u v u
u v u v u u
2
2 1
2 1
2
2
3
5 4 12 0
6
( )
5
= −
= −
=
=
⇔ ⇔ ⇔
=
− − =
−
=
v u
v u
u
u
v
u u
u loai
+ Khi đó
2
2
2
2
2
2
2
4
3
3 2
3 4
4
8 9
8 3
8 9
3
−
=
+ =
+ =
⇔ ⇔
−
+ =
+ =
+ =
x
y
x y
x y
x
y x
y x
x
0,25
0,25
0,25
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
4
2
4 2
4
3
8 72 65 0
−
=
⇔
− + − =
x
y
x x x
2
2
2
1
4
4
1
3
3
1
5
( 1)( 5)( 4 13) 0
5
7
x
x
y
x
y
y
x
x
x x x x
x
y
=
−
=
−
=
=
⇔ ⇔ ⇔
=
= −
− + − + =
= −
= −
Kết hợp với điều kiện ban đầu ta thu được tập hợp nghiệm của hệ phương trình
là:
{
}
(1;1),( 5; 7)
S
= − −
0,25
Tính thể tích …. 1,00
IV
B C
A D
M K
N
B' C'
I
A' D'
+ Gọi M,N lần lượt là 2 tâm của 2 hình vuông ABB'A'; ADD'A'
1
MN B'D' B'D' 2a A'B' a 2
2
⇒ = ⇒ = ⇒ =
''''''''
'.
DCBADCBABCDA
SAAV
=
(
)
3
2
2222 aaa == (đvtt)
+ Gọi I là giao của B'D' và A'C'
Trong (AA'C') kẻ
'
;
'
AC
K
AC
IK
∈
⊥
Vì '''')'(
''''
'''
DBIKDBCAA
DBCA
DBAA
⊥⇒⊥⇒
⊥
⊥
Vậy:
IK
D
B
AC
d
=
)
'
'
,
'
(
IK
C
'
∆
đồng dạng với
C'AA'
∆
.
IK C'I AA'.C'I a 2.a a
IK
AA' C'A C'A
a 2. 3 3
⇒ = ⇒ = = =
Kết luận: Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC’ và B’D’ bằng
3
a
.
0,25
0,25
0,25
0,25
Tìm GTNN c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c…. 1,00
V
Ta có:
xyz
zyxzyx
P
222333
2
3
++
+
++
=
Áp d
ụ
ng b
đ
t:
zxyzxyzyxbaabba ++≥++⇒∀≥+
22222
,,2 .
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z.
0,25
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
5
++
++
+≥⇒
++
+
++
≥⇒
z
z
y
y
x
x
P
xyz
zxyzxyzyx
P
2
3
2
3
2
3
2
3
333333
+ Xét hàm s
ố
t
t
tf
2
3
)(
3
+= với
0
>
t
;
2
4
2
2
22
)('
t
t
t
ttf
−
=−= ;
4
20)(' =⇔= ttf
+ BBT
t
0
4
2
+∞
( )
/
f t
−
0
+
(
)
f t
+∞
+∞
4
8
3 2
Vậy
4
84≥P Đẳng thức xảy ra khi
4
2=== zyx . Hay
4
min
84=P
0,25
0,25
0,25
Chương trình chuẩn
a. Viết phương trình đường thẳng…. 1,00 VI
Ox ( ;0), ( ; )
A A a B d B b b
∈ ⇒ ∈ ⇒
,
(2;1) ( 2; 1), ( 2; 1)
M MA a MB b b
⇒ = − − = − −
.
Tam giác ABM vuông cân tại M nên:
2 2 2
( 2)( 2) ( 1) 0
. 0
( 2) 1 ( 2) ( 1)
a b b
MA MB
MA MB
a b b
− − − − =
=
⇔
=
− + = − + −
Nhận xét b=2 không thỏa mãn hệ phương trình này.
Ta có :
2
2 2 2
2 2
1
2
1
2
2
2
1
( 2) 1 ( 2) ( 1)
1 ( 2) ( 1)
2
−
− =
−
− =
−
⇔
−
−
− + = − + −
+ = − + −
−
b
a
b
a
b
b
b
a b b
b b
b
2 2
2
2
1
2
1
2
1
4
( 2) ( 1) . 1 0
( 2)
3
=
−
− =
=
−
⇔ ⇔
=
− + − − =
−
=
a
b
a
b
b
a
b b
b
b
Với
2
1
a
b
=
=
đường thẳng
∆
qua A,B có phương trình
2 0
x y
+ − =
Với
4
3
a
b
=
=
đường thẳng
∆
qua A,B có phương trình
3 12 0
x y
+ − =
Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn:
2 0
x y
+ − =
và
3 12 0
x y
+ − =
.
0,25
0,25
0,25
0,25
a. Tìm tọa độ tâm đường tròn… 1,00 VII
(C
1
) A (C
2
)
O M I
B
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
6
+(C
1
) có tâm O(0;0), bán kính R=5
(
)
⇒<⇒=⇒− ROMOMOM 52;1 M nằm trong đường tròn (C
1
)
+ Giả sử (C
2
) cắt (C
1
) tại A và B. Gọi H là trung điểm đoạn AB.
222
25222 OHOHOAAHAB −=−== . Mà OH lớn nhất khi H trùng
với M.
Vậy AB nhỏ nhất khi M là trung điểm của AB. AB qua M và vuông góc
với OM.
+ Phương trình của AB: x – 2y – 5 = 0. Tọa độ của A,B là nghiệm hệ:
=+
=−−
25
052
22
yx
yx
. Giải hệ được hai nghiệm(5;0);(-3;-4).
+ Giả sử A(5;0); B(-3;-4). Phương trình của OM: 2x + y = 0.
Gọi I là tâm của (C
2
); Do
)
2
;
(
t
t
I
OM
I
−
⇒
∈
.
Mà IA = 102 => 404)5(
22
=+− tt .Giải ra: t = -1 hoặc t = 3.
t 1 I( 1,2)
= − ⇒ −
;
)
6
,
3
(
3
−
⇒
=
I
t
Vậy tâm của (C
2
) có tọa độ (-1 ; 2) hoặc (3, -6).
0,25
0,25
0,25
0,25
a. Tìm nghiệm của BPT…. 1,00
VIII
+ Đk :
3
;
≥
∈
x
N
x
81
)!22(
)!2(
.
2
1
)!2(
!.3
)!3(!3
!
.
12
−
−
≥
−
−
−
⇔
x
x
x
x
x
x
x
bpt
5
3
17
08523
81
)
1
2
(
)
1
(
3
)
1
)(
2
(
2
2
≤≤
−
⇔≤−+⇔
−
−
≥
−
−
−
−
⇔
xxx
x
x
x
x
x
x
+ K
ế
t h
ợ
p
đ
i
ề
u ki
ệ
n ta
đượ
c
{
}
.5;4;3
∈
x
V
ậ
y t
ậ
p nghi
ệ
m c
ủ
a pt là
{
}
5;4;3
0,25
0,25
0,25
0,25
Chương trình nâng cao
b. Viết phương trình…. 1,00
VI
d1
d
d2
H
C
B
A
P
Ta có
1 2
A d d
= ∩ ⇒
tọa độ của A là nghiệm của hệ
( )
2 5 3 0 1
1; 1
5 2 7 0 1
x y x
A
x y y
+ + = =
⇔ ⇒ −
− − = = −
Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi
1 2
,
d d
là
(
)
(
)
1 2
:7 3 4 0, :3 7 10 0
x y x y
∆ + − = ∆ − − =
.
Vì d tạo với
1 2
,
d d
một tam giác cân tại A nên
1 1
2 2
3 7 0
7 3 0
⊥ ∆ − + =
⇒
⊥ ∆ + + =
d x y C
d x y C
. Mặt khác
( 7;8) ( )
− ∈
P d
nên
1 2
77, 25
C C
= =
.
0,25
0,25
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
7
Suy ra:
:3 7 77 0
:7 3 25 0
d x y
d x y
− + =
+ + =
Gọi
1 2
,
B d d C d d
= ∩ = ∩
. Thấy
1 2
(d ) (d )
⊥ ⇒
tam giác ABC vuông cân tại A
nên:
2
1 1 29
. 29
2 2 2
ABC
S AB AC AB AB
∆
= = = ⇒ =
và
2 58
BC AB= =
Suy ra:
29
2
2
58
2
2
58
ABC
S
AH
BC
∆
= = =
Với
:3 7 77 0
d x y
− + =
, ta có
2 2
3.1 7( 1) 77
87 58
( ; )
2
58
3 ( 7)
d A d AH
− − +
= = ≠ =
+ −
(loại)
Với
:7 3 25 0
d x y
+ + =
ta có
2 2
7.1 3( 1) 25
29 58
( ; )
2
58
7 3
d A d AH
+ − +
= = = =
+
(t/mãn).
Vậy
:7 3 25 0
d x y
+ + =
0,25
0,25
b. Viết phương trình … 1,00
VII
(C
1
) có tâm I(2 ;-1); bán kính R
1
= 1.Vậy (C
2
) có bán kính R
2
= 2
Gọi J là tâm của (C
2
). Do
(
)
2;
−
−
⇒
∈
ttJdJ
(C
1
) tiếp xúc ngoài với (C
2
) nên IJ = R
1
+ R
2
= 3 hay IJ
2
= 9.
( )
−=
=
⇔=−−⇔=−−+−⇔
1
2
0291)2(
2
2
2
t
t
tttt
+
(
)
4)1()1(:)(1;11
22
2
=+++⇒−−⇒−= yxCJt
+
(
)
4)4()2(:)(4;22
22
2
=++−⇒−⇒= yxCJt
Vậy có 2 đường tròn (C
2
) thỏa mãn là:
4)1()1(
22
=+++ yx
và
4)4()2(
22
=++− yx
0,25
0,25
0,25
0,25
b. Tìm m để… 1,00
VIII
Ta có
( )
2
2
2 3
'
1
x x m
y
x
+ + −
=
+
Hàm số có CĐ, CT khi pt y'=0 có 2 nghiệm phân biệt khác -1.
2
2 3 0
x x m
⇔ + + − =
có hai nghiệm phân biệt khác – 1
' 4 0
4
4 0
m
m
m
∆ = − >
⇔ ⇔ <
− ≠
Giả sử đồ thị có điểm CĐ,CT là
(
)
(
)
1 1 2 2
; , ;
A x y B x y
. Khi đó pt đường thẳng đi
qua 2 điểm CĐ,CT là y = 2x+m. Suy ra
1 1 2 2
2 ; 2
y x m y x m
= + = +
.
Hai điểm A, B nằm về hai phía của đường thẳng (d) khi
(
)
(
)
(
)
(
)
( )( ) ( )
1 1 2 2 1 2
2
1 2 1 2
2 1 2 1 0 4 1 4 1 0
16 4 1 1 0
x y x y x m x m
x x m x x m
+ − + − < ⇔ + − + − <
⇔ + − + + − <
Theo định lý Vi-et
1 2
1 2
2
3
x x
x x m
+ = −
= −
. Thay vào bpt trên, ta được:
2
6 39 0 3 4 3 3 4 3
+ − < ⇔ − − < < − +m m m
.
Vậy
3 4 3 3 4 3
− − < < − +m
0,25
0,25
0,25
0,25
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
8
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
