Đề thi thử Toán ĐH năm 2013 Đề số 4 pdf
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (16.74 MB, 6 trang )
TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYÊN TẤT THÀNH
TỔ: TOÁN
ĐỀ THI THỬ CAO ĐẲNG NĂM 2013
Môn thi: TOÁN – Khối A
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
ĐỀ SỐ 7
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y =
1
4
(x
2
– m)(x
2
+ 1) (1) (m là tham số)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 3.
2. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A và B sao
cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại A và B vuông góc với nhau.
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình
3
sinx - 3cosx - 2 =
cos2x
-
3
sin2x
2. Giải hệ phương trình
2 2
2 2
3 2
1
1
4
22
y
x y x
x
x y
y
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I =
e
3
1
lnx 1
dx
x
.
Câu IV (1,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABC có AB = BC = a;
·
ABC
=
90
o
. Mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SAC) cùng vuông
góc với mặt phẳng (ABC). Biết góc giữa hai mặt (SAC) và mặt phẳng (SBC) bằng
60
. Tính thể tích của khối chóp
S.ABC theo a.
Câu V (1,0 điểm)
Cho a,b,c là ba số thực dương tuỳ ý thoả mãn a+ b+ c = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2 2 2
ab bc ca
P
c ab a bc b ca
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1.Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(3; 0), B(-1; 8) và đường thẳng d có phương trình x - y -3 = 0.
Viết phương trình đường thẳng đi qua B và cắt đường thẳng d tại điểm C sao cho tam giác ABC cân tại C.
2. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; 1; 1), đường thẳng d:
x 1 y z
2 1 1
và mặt phẳng
(P): x + 3y + z – 1 = 0. Viết phương trình đường thẳng đi qua M, cắt d và song song (P).
Câu VII.a (1,0 điểm)
Tìm tập hợp điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện
2 | z i | | z z 2i |
.
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1.Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(1; 1). Viết phương trình đường thẳng đi qua M và cắt chiều
dương của trục Ox, Oy theo thứ tự tại A và B sao cho độ dài đoạn AB nhỏ nhất.
2. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; 1; -1), B(-1; 2; 0) và đường thẳng
x 1 t
: y 0
z t
. Viết
phương trình đường thẳng d đi qua B, cắt
sao cho khoảng cách từ A đến d bằng
3
.
Câu VI.b (2,0 điểm) Cho số phức z = 1 +
3
i. Tính z
7
.
Hết
Câu
N
ội dung
Đi
ểm
PH
ẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH
(7,0 điểm)
I
(2,0 điểm)
1
. (1,0
đi
ểm)
Với m = 3, ta có hàm số y =
1
4
(x
2
– 3)(x
2
+ 1)
* Tập xác định: D =
.
* Sự biến thiên
+ Giới hạn:
x x
lim y ; lim y
0,25
+ B
ảng biến thi
ên
- y’ = x(x
2
– 1) ; y’ = 0
x = 0 hoặc x =
±
1.
0,25
-
Hàm số nghịch biến trên các khoảng
; 1 µ 0;1
v
và đồng biến trên khoảng
-1;0
và
( )
1;
+ ¥
.
Hàm số đạt cực đại tại
0
x
và giá trị cực đại
3
0
4
y
, hàm số đạt cực tiểu tại
1
x
và
giá trị cực tiểu
1 1
y
.
0,25
-
Đ
ồ thị:
0,25
2
.
(1,0
đi
ểm)
Phương trình hoành độ giao điểm:
1
4
(x
2
– m)(x
2
+ 1) = 0
Û
x
2
– m = 0 (2)
Đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi phương trình (2) có
hai nghiệm phân biệt
Û
m > 0.
Khi đó A(-
m
;0), B(
m
;0)
0,25
Ta có y’ =
1
2
x(2x
2
+1 –m). Tiếp tuyến của đồ thị tại A, B có hệ số góc lần lượt là y’(-
m
) =
m
2
-
(m + 1) và y’(
m
) =
m
2
(m + 1)
0,25
Tiếp tuyến của đồ thị tại A, B vuông góc với nhau khi và chỉ khi y’(-
m
).y’(
m
) = -1
0,25
Û
m
2
-
(m + 1).
m
2
(m + 1) = - 1
Û
m =1.
0,25
II
(2,0 điểm)
1. (1,0 điểm) Giải phương trình
3
sinx - 3cosx - 2 =
cos2x
-
3
sin2x (1)
(1)
3
sinx(2cosx + 1) = 2cos
2
x + 3cosx + 1
0,25
(2cosx + 1)(cosx -
3
sinx + 1) = 0
cosx = -
1
2
hoặc cosx -
3
sinx + 1 = 0 (1’)
0,25
* cosx = -
1
2
x =
±
2
3
+ k2
p
0,25
TRƯ
ỜNG THPT CHUY
ÊN NGUYÊN T
ẤT TH
ÀNH
TỔ: TOÁN
ĐÁP ÁN
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 7.
+
-
0
+
+
-
+
y
0
0
y'
1
-
1
+
-
x
0
-
3/4
-
1
-
1
(1’)
cos(x +
3
) = -
1
2
x =
3
+ k2
p
hoặc x = -
p
+ k2
p
0,25
2. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
2 2
2 2
3 2
1
1
4
22
y
x y x
x
x y
y
(I)
Đi
ều kiện: x
0, y
0. và x
2
+ y
2
-
1
0.
Đặt u = x
2
+ y
2
- 1 và v =
x
y
0,25
Hệ phương trình (I) trở thành
3 2
1
21 4
u v
u v
Û
2
2 13 21 0
21 4
v v
u v
Û
9
3
u
v
hoặc
7
7
2
u
v
+
9
3
u
v
Û
3
1
x
y
hoặc
3
1
x
y
0,25
7
7
2
u
v
Û
2
14
53
2
4
53
x
y
hoặc
2
14
53
2
4
53
x
y
Vậy hệ có nghiệm (3;1), (-3;-1),
2 2
14 ;4
53 53
æ ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
÷
ç
è ø
và
2 2
14 ; 4
53 53
æ ö
÷
ç
÷
- -
ç
÷
ç
÷
÷
ç
è ø
0,25
III
(1,0 điểm)
Tính tích phân
e
3
1
lnx 1
dx
x
I =
e
3
1
dx
x
-
e
3
1
ln xdx
x
( lnx – 1
£
0,
"
x
Î
[
]
1;e
)
0,25
I
1
=
e
3
1
dx
x
=
e
2
1
1
2x
æ ö
÷
ç
-
÷
ç
÷
ç
è ø
= -
2
1
2e
+
1
2
0,25
Đặt
3
u lnx
dx
dv
x
2
dx
du
x
1
v
2x
Þ
I
2
=
e
3
1
ln xdx
x
=
e
2
1
ln x
2x
æ ö
÷
ç
-
÷
ç
÷
ç
è ø
+
1
2
e
3
1
dx
x
= -
2
1
2e
+
1
2
(-
2
1
2e
+
1
2
) =
1
4
-
2
3
4e
Vậy I =
e
3
1
lnx 1
dx
x
=
2
2
e 1
4e
+
0,5
IV
(1,0 điểm)
a
a
S
A
B
C
K
H
60
0
Vì (SAB)
(ABC) và (SAC)
(ABC) nên SA
(ABC)
Do đó chiều cao của khối chóp S.ABC là h = SA
0,25
Gọi H là trung điểm của cạnh AC, suy ra BH
AC
Do đó BH
(SAC)
Trong mặt phẳng (SAC) dựng HK
SC (H
Î
SC), suy ra BK
SC
Do đó góc giữa (SAC) và (SBC) là
BKH 60
.
0,25
D
BHK vuông tại H
Ta có BK =
·
BH
sin HKB
=
a 2
2
sin60
o
=
a 6
3
.
D
SBC vuông tại B có BK là đường cao, ta có
2
1
BK
=
2
1
SB
+
2
1
BC
Þ
2
1
SB
=
2
9
6a
-
2
1
a
=
2
1
2a
Þ
SB = a
2
Þ
SA = a
0,25
Thể tích của khối chóp S.ABC:
SABC
V =
1
3
SA.
ABC
S
=
1
6
. SA. AB.BC =
3
a
6
.
0,25
V
(1,0 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2 2 2
ab bc ca
P
c ab a bc b ca
Với a,b,c là ba số thực dương thoả mãn a+ b+ c = 2 , suy ra 0 < a, b, c < 2
2c + ab = 4 – 2(a + b) + ab = (2 - a)(2- b)
Ta có
2
ab
c ab
= ab
1 1
.
2 a 2 b
- -
£
1 1 1 1
. ( ) ( )
2 2 2 2
ab ab
ab
a b b c c a
0,25
Tương tự
1
( )
2
2
bc bc bc
a b c a
a bc
và
1
( )
2
2
ca ca ca
b a c b
b ca
0,25
Þ
1 1
( ) ( ) ( ) ( ) 1
2 2
ab ca bc ab bc ca
P a b c
b c b c c a c a a b a b
0,25
Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 1 khi và chi khi a = b = c =
2
3
.
0,25
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
A. Theo chương tr
ình Chu
ẩn
VI.a
(2,0 điểm)
1. (1,0 đi
ểm)
G
ọi d’ l
à đư
ờng trung trực của đoạn thẳng AB v
à I là trung đi
ểm của đoạn thẳng AB.
Ta có: I(1; 4),
AB
= (-4; 8).
0,25
Đường thẳng d’ đi qua I và nhận vectơ
AB
= (-4; 8) làm vtpt nên có pt:
-4( x -1) + 8(y – 4) = 0 hay x – 2y + 7 = 0.
0,25
Vì tam giác ABC cân t
ại C n
ên C thu
ộc đ
ư
ờng thẳng d’.Theo y
êu c
ầu b
ài toán, C
thu
ộc đ
ư
ờng
thẳng d.
Suy ra, tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình
x 2y 7 0
x y 3 = 0
0,25
x 13
y 10
.
Vậy C(13; 10).
0,25
2. (1,0 đi
ểm)
Phương trình tham số của d:
x 1 2t
y t
z t
.
0,25
G
ọi d’ l
à đư
ờng thẳng
đi qua M, c
ắt d tại điểm N v
à song song v
ới mp(P).
Điểm N thuộc d nên tọa độ điểm N có dạng N(-1 + 2t; t; -t).
MN (2t 2;t 1; t 1)
; vtpt của (P):
n (1;3;1)
.
Vì d’ song song (P) nên
MN.n 0
2t – 2 + 3t – 3 – t – 1 = 0
3
t
2
.
Suy ra
1 5
MN (1; ; )
2 2
.
0,5
Đường thẳng d’ đi qua M và nhận
MN
làm vtcp nên có pt
x 1 t
1
y 1 t
2
5
z 1 t
2
.
0,25
VII.a
(1,0 điểm)
Tìm tập hợp điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện
2 | z i | | z z 2i |
.
G
ọi M(x; y) l
à đi
ểm biểu diễn số phức z = x + yi.
Khi đó:
2 | z i | | z z 2i |
2|x + (y – 1)i| = |2(y + 1)i|
0,25
2 2 2
x (y 1) (y 1)
2
x
y
4
.
0,5
Vậy tập hợp điểm M là parapol(P)
2
x
y
4
0,25
B. Theo chương tr
ình Nâng cao
VI.b
(2,0 điểm)
1. (1,0 đi
ểm)
G
ọi d l
à đư
ờng thẳn
g đi qua M và c
ắt trục Ox, Oy theo thứ tự tại A(m; 0), B(n; 0) với m> 0, n >
0.
Khi đó phương trình đường thẳng d có dạng
x y
1.
m n
0,25
Vì d đi qua M nên
1 1
1
m n
.
0,25
Ta có:
1 1 1
1 2 mn 4
m n mn
, (1).
Ta lại có: AB
2
= OA
2
+ OB
2
= m
2
+ n
2
2mn, (2)
Từ (1) và (2), suy ra
AB 2 2
, đẳng thức xảy ra khi m = n = 1
0,25
V
ậy ph
ương tr
ình
đư
ờng thẳng d l
à x + y
-
1 = 0.
0,25
2. (1,0 đi
ểm)
Gọi d là đường thẳng đi qua B, cắt
tại M và khoảng cách từ A đến d bằng
3
.
Điểm M thuộc
nên tọa độ điểm M có dạng M(1 + t; 0; -t).
Ta có:
BM (2 t; 2; t),BA (3; 1; 1)
,
BM,BA (2 t;2 2t;4 t).
0,25
2
2
3t 10t 12
d(A,d) 3 3 t 0
t 2t 4
.
0,25
Với t = 0, ta có
BM (2; 2;0)
.
Đường thẳng d đi qua B và nhận
BM (2; 2;0)
làm vtcp nên có phương trình tham số
x 1 2t
y 2 2t
z 0
.
0,5
VII.b
Cho số phức z = 1 +
3
i. Tính z
7
.
(1,0 đi
ểm)
Ta có: z = 1 +
3
i =
1 3
2 i
2 2
0,25
= 2 cos isin
3 3
.
Suy ra: z
7
= 128
7 7
cos isin
3 3
0,25
= 128 cos isin
3 3
0,25
= 64 + 64
3
i
0,25
Hết
