bài giảng định thức

CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC
TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại họ c Bách Khoa T P HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
TP. HCM — 2011.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 1 / 44
Khái niệm định thức Định nghĩa định thức
Định nghĩa định thức
Định nghĩa
Cho A = (a
ij
) ∈ M
n
(K ) là ma trận vuông cấp n. Định thức của ma trận
A = (a
ij
) là một số, được ký hiệu là detA hoặc |A|.
Vậy
det : M
n
(K ) → K
A → detA.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 2 / 44
Khái niệm định thức Định nghĩa định thức
Định nghĩa định thức
Định nghĩa
Cho A = (a
ij
) ∈ M
n
(K ) là ma trận vuông cấp n. Định thức của ma trận

A = (a
ij
) là một số, được ký hiệu là detA hoặc |A|.
Vậy
det : M
n
(K ) → K
A → detA.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 2 / 44
Khái niệm định thức Định nghĩa định thức
Định nghĩa
Cho A = (a
ij
) ∈ M
n
(K ) là ma trận vuông cấp n. Ta gọi M
ij
là định thức
con phụ của phần tử a
ij
. Định thức M
ij
là định thức cấp (n − 1) thu được
bằng cách gạch bỏ hàng thứ i và cột thứ j của định thức |A|
|A| =

















a
11
. . . a
1(j−1)
a
1j
a
1(j+1)
. . . a
1n
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
(i−1)1
. . . a
(i−1)(j−1)
a
(i−1)j
a
(i−1)(j+1)
. . . a
(i−1)n
a
i1
. . . a
i(j−1)
a
ij
a
i(j+1)

. . . a
in
a
(i+1)1
. . . a
(i+1)(j−1)
a
(i+1)j
a
(i+1)(j+1)
. . . a
(i+1)n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
a
n1
. . . a
n)(j−1)
a
nj
a
n(j+1)
. . . a
nn
















n×n

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 3 / 44
Khái niệm định thức Định nghĩa định thức
Định nghĩa
Cho A = (a
ij
) ∈ M
n
(K ) là ma trận vuông cấp n. Ta gọi M
ij
là định thức
con phụ của phần tử a
ij
. Định thức M
ij
là định thức cấp (n − 1) thu được
bằng cách gạch bỏ hàng thứ i và cột thứ j của định thức |A|
|A| =

















a
11
. . . a
1(j−1)
a
1j
a
1(j+1)
. . . a
1n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
a
(i−1)1
. . . a
(i−1)(j−1)
a
(i−1)j
a
(i−1)(j+1)
. . . a
(i−1)n
a
i1
. . . a
i(j−1)
a
ij
a
i(j+1)
. . . a
in
a
(i+1)1
. . . a
(i+1)(j−1)
a
(i+1)j

a
(i+1)(j+1)
. . . a
(i+1)n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
. . . a
n)(j−1)
a

nj
a
n(j+1)
. . . a
nn
















n×n
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 3 / 44
Khái niệm định thức Định nghĩa định thức
Định nghĩa
Cho A = (a
ij
) ∈ M
n
(K ) là ma trận vuông cấp n. Ta gọi M

ij
là định thức
con phụ của phần tử a
ij
. Định thức M
ij
là định thức cấp (n − 1) thu được
bằng cách gạch bỏ hàng thứ i và cột thứ j của định thức |A|
|A| =
















a
11
. . . a
1(j−1)
a

1j
a
1(j+1)
. . . a
1n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
(i−1)1
. . . a
(i−1)(j−1)

a
(i−1)j
a
(i−1)(j+1)
. . . a
(i−1)n
a
i1
. . . a
i(j−1)
a
ij
a
i(j+1)
. . . a
in
a
(i+1)1
. . . a
(i+1)(j−1)
a
(i+1)j
a
(i+1)(j+1)
. . . a
(i+1)n
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
. . . a
n)(j−1)
a
nj
a
n(j+1)
. . . a
nn

















n×n
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 3 / 44
Khái niệm định thức Định nghĩa định thức
M
ij
=















a
11
. . . a
1(j−1)
a
1(j+1)
. . . a
1n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a

(i−1)1
. . . a
(i−1)(j−1)
a
(i−1)(j+1)
. . . a
(i−1)n
a
(i+1)1
. . . a
(i+1)(j−1)
a
(i+1)(j+1)
. . . a
(i+1)n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
a
n1
. . . a
n(j−1)
a
n(j+1)
. . . a
nn














(n−1)×(n−1)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 4 / 44
Khái niệm định thức Định nghĩa định thức
Định nghĩa
Cho A = (a

ij
) ∈ M
n
(K ) là ma trận vuông cấp n. Ta gọi A
ij
= (−1)
i+j
M
ij
là phần bù đại số của phần tử a
ij
.
Định nghĩa
(Khai triển theo hàng.) Định thức của ma trận vuông cấp n A = (a
ij
) là
một số bằng
n

j=1
a
1j
A
1j
= a
11
A
11
+ a
12

A
12
+ . . . + a
1n
A
1n
.
detA =












a
11
. . . a
1j
. . . a
1n
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
i1
. . . a
ij
. . . a
in
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
a
n1
. . . a
nj
. . . a
nn












=
n

j=1
a
1j
A
1j
=
n


j=1
(−1)
1+j
a
1j
M
1j
.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 5 / 44
Khái niệm định thức Định nghĩa định thức
Định nghĩa
Cho A = (a
ij
) ∈ M
n
(K ) là ma trận vuông cấp n. Ta gọi A
ij
= (−1)
i+j
M
ij
là phần bù đại số của phần tử a
ij
.
Định nghĩa
(Khai triển theo hàng.) Định thức của ma trận vuông cấp n A = (a
ij
) là
một số bằng

n

j=1
a
1j
A
1j
= a
11
A
11
+ a
12
A
12
+ . . . + a
1n
A
1n
.
detA =













a
11
. . . a
1j
. . . a
1n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
i1
. . . a
ij
. . . a
in

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
. . . a
nj
. . . a
nn













=
n

j=1
a
1j
A
1j
=
n

j=1
(−1)
1+j
a
1j
M
1j
.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 5 / 44
Khái niệm định thức Định nghĩa định thức
1
n = 1, A = (a
11
) ⇒ |A| = a
11
.

2
n = 2, A =

a
11
a
12
a
21
a
22

⇒ |A| =
(−1)
1+1
a
11
M
11
+ (−1)
1+2
a
12
M
12
= a
11
a
22
− a

12
a
21
.
3
n = 3, A =


a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33


⇒ |A| =
(−1)

1+1
a
11
M
11
+ (−1)
1+2
a
12
M
12
+ (−1)
1+3
a
13
M
13
= (−1)
1+1
a
11




a
22
a
23
a

32
a
33




+ (−1)
1+2
a
12




a
21
a
23
a
31
a
33




+
(−1)
1+3

a
13




a
21
a
22
a
31
a
32




.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 6 / 44
Khái niệm định thức Định nghĩa định thức
1
n = 1, A = (a
11
) ⇒ |A| = a
11
.
2
n = 2, A =


a
11
a
12
a
21
a
22

⇒ |A| =
(−1)
1+1
a
11
M
11
+ (−1)
1+2
a
12
M
12
= a
11
a
22
− a
12
a
21

.
3
n = 3, A =


a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33


⇒ |A| =
(−1)
1+1
a
11

M
11
+ (−1)
1+2
a
12
M
12
+ (−1)
1+3
a
13
M
13
= (−1)
1+1
a
11




a
22
a
23
a
32
a
33





+ (−1)
1+2
a
12




a
21
a
23
a
31
a
33




+
(−1)
1+3
a
13





a
21
a
22
a
31
a
32




.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 6 / 44
Khái niệm định thức Định nghĩa định thức
1
n = 1, A = (a
11
) ⇒ |A| = a
11
.
2
n = 2, A =

a
11
a

12
a
21
a
22

⇒ |A| =
(−1)
1+1
a
11
M
11
+ (−1)
1+2
a
12
M
12
= a
11
a
22
− a
12
a
21
.
3
n = 3, A =



a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33


⇒ |A| =
(−1)
1+1
a
11
M
11
+ (−1)

1+2
a
12
M
12
+ (−1)
1+3
a
13
M
13
= (−1)
1+1
a
11




a
22
a
23
a
32
a
33





+ (−1)
1+2
a
12




a
21
a
23
a
31
a
33




+
(−1)
1+3
a
13





a
21
a
22
a
31
a
32




.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 6 / 44
Khái niệm định thức Định nghĩa định thức
1
n = 1, A = (a
11
) ⇒ |A| = a
11
.
2
n = 2, A =

a
11
a
12
a
21

a
22

⇒ |A| =
(−1)
1+1
a
11
M
11
+ (−1)
1+2
a
12
M
12
= a
11
a
22
− a
12
a
21
.
3
n = 3, A =


a

11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33


⇒ |A| =
(−1)
1+1
a
11
M
11
+ (−1)
1+2
a
12

M
12
+ (−1)
1+3
a
13
M
13
= (−1)
1+1
a
11




a
22
a
23
a
32
a
33




+ (−1)
1+2

a
12




a
21
a
23
a
31
a
33




+
(−1)
1+3
a
13




a
21
a

22
a
31
a
32




.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 6 / 44
Khái niệm định thức Định nghĩa định thức
Ví dụ
Tính định thức detA với A =


1 2 3
4 2 1
3 1 5


Giải. Khai triển theo hàng 1 ta được |A| = 1.A
11
+ 2.A
12
+ 3.A
13
.
A
11

= (−1)
1+1




2 1
1 5




= 2.5 − 1.1 = 9,
A
12
= (−1)
1+2




4 1
3 5




= −(4.5 − 1.3) = −17,
A
13

= (−1)
1+3




4 2
3 1




= 4.1 − 2.3 = −2.
Vậy |A| = 1.9 + 2.(−17) + 3.(−2) = −31.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 7 / 44
Khái niệm định thức Định nghĩa định thức
Ví dụ
Tính định thức detA với A =


1 2 3
4 2 1
3 1 5


Giải. Khai triển theo hàng 1 ta được |A| = 1.A
11
+ 2.A
12
+ 3.A

13
.
A
11
= (−1)
1+1




2 1
1 5




= 2.5 − 1.1 = 9,
A
12
= (−1)
1+2




4 1
3 5





= −(4.5 − 1.3) = −17,
A
13
= (−1)
1+3




4 2
3 1




= 4.1 − 2.3 = −2.
Vậy |A| = 1.9 + 2.(−17) + 3.(−2) = −31.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 7 / 44
Khái niệm định thức Định nghĩa định thức
Ví dụ
Tính định thức detA với A =


1 2 3
4 2 1
3 1 5


Giải. Khai triển theo hàng 1 ta được |A| = 1.A

11
+ 2.A
12
+ 3.A
13
.
A
11
= (−1)
1+1




2 1
1 5




= 2.5 − 1.1 = 9,
A
12
= (−1)
1+2




4 1

3 5




= −(4.5 − 1.3) = −17,
A
13
= (−1)
1+3




4 2
3 1




= 4.1 − 2.3 = −2.
Vậy |A| = 1.9 + 2.(−17) + 3.(−2) = −31.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 7 / 44
Khái niệm định thức Tính chất của định thức
Tính chất của định thức
Có thể tính định thức bằng cách khai triển theo 1 hàng hoặc 1 cột bất kỳ.
detA =













a
11
. . . a
1j
. . . a
1n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

a
i1
. . . a
ij
. . . a
in
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
. . . a
nj
. . . a
nn













=
n

j=1
a
ij
A
ij
detA =













a
11
. . . a
1j
. . . a
1n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
i1
. . . a
ij
. . . a
in
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
. . . a
nj
. . . a
nn













=
n

i=1
a
ij
A
ij
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 8 / 44
Khái niệm định thức Tính chất của định thức
Tính chất của định thức
Có thể tính định thức bằng cách khai triển theo 1 hàng hoặc 1 cột bất kỳ.
detA =












a
11
. . . a
1j
. . . a

1n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
i1
. . . a
ij
. . . a
in
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
a
n1
. . . a
nj
. . . a
nn












=
n

j=1
a

ij
A
ij
detA =












a
11
. . . a
1j
. . . a
1n
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
a
i1
. . . a
ij
. . . a
in
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1

. . . a
nj
. . . a
nn












=
n

i=1
a
ij
A
ij
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 8 / 44
Khái niệm định thức Tính chất của định thức
Tính chất của định thức
Có thể tính định thức bằng cách khai triển theo 1 hàng hoặc 1 cột bất kỳ.
detA =













a
11
. . . a
1j
. . . a
1n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
a
i1
. . . a
ij
. . . a
in
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
. . . a
nj
. . . a
nn













=
n

j=1
a
ij
A
ij
detA =













a
11
. . . a
1j
. . . a
1n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
i1
. . . a
ij
. . . a
in
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
. . . a
nj
. . . a
nn













=
n

i=1
a
ij
A
ij
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 8 / 44
Khái niệm định thức Tính chất của định thức
Chú ý. Để việc tính toán định thức đơn giản thì ta nên khai triển theo
hàng hoặc cột có càng nhiều số 0 càng tốt.
Ví dụ
Tính định thức detA với A =


1 2 3
0 2 0
3 1 5


Giải. Khai triển theo hàng 2 ta được
|A| = 0.A
21
+ 2.A
22
+ 0.A
23

= 2.(−1)
2+2




1 3
3 5




= 2(1.5 − 3.3) = −8.
Tính định thức detA với A =


1 2 3
2 1 0
3 1 0


Giải. Khai triển theo cột 3 ta được
|A| = 3.A
13
+ 0.A
23
+ 0.A
33
= 3.(−1)
1+3





2 1
3 1




= 3(2.1 − 1.3) = −3.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 9 / 44
Khái niệm định thức Tính chất của định thức
Chú ý. Để việc tính toán định thức đơn giản thì ta nên khai triển theo
hàng hoặc cột có càng nhiều số 0 càng tốt.
Ví dụ
Tính định thức detA với A =


1 2 3
0 2 0
3 1 5


Giải. Khai triển theo hàng 2 ta được
|A| = 0.A
21
+ 2.A
22
+ 0.A

23
= 2.(−1)
2+2




1 3
3 5




= 2(1.5 − 3.3) = −8.
Tính định thức detA với A =


1 2 3
2 1 0
3 1 0


Giải. Khai triển theo cột 3 ta được
|A| = 3.A
13
+ 0.A
23
+ 0.A
33
= 3.(−1)

1+3




2 1
3 1




= 3(2.1 − 1.3) = −3.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 9 / 44
Khái niệm định thức Tính chất của định thức
Chú ý. Để việc tính toán định thức đơn giản thì ta nên khai triển theo
hàng hoặc cột có càng nhiều số 0 càng tốt.
Ví dụ
Tính định thức detA với A =


1 2 3
0 2 0
3 1 5


Giải. Khai triển theo hàng 2 ta được
|A| = 0.A
21
+ 2.A
22

+ 0.A
23
= 2.(−1)
2+2




1 3
3 5




= 2(1.5 − 3.3) = −8.
Tính định thức detA với A =


1 2 3
2 1 0
3 1 0


Giải. Khai triển theo cột 3 ta được
|A| = 3.A
13
+ 0.A
23
+ 0.A
33

= 3.(−1)
1+3




2 1
3 1




= 3(2.1 − 1.3) = −3.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 9 / 44
Khái niệm định thức Tính chất của định thức
Chú ý. Để việc tính toán định thức đơn giản thì ta nên khai triển theo
hàng hoặc cột có càng nhiều số 0 càng tốt.
Ví dụ
Tính định thức detA với A =


1 2 3
0 2 0
3 1 5


Giải. Khai triển theo hàng 2 ta được
|A| = 0.A
21
+ 2.A

22
+ 0.A
23
= 2.(−1)
2+2




1 3
3 5




= 2(1.5 − 3.3) = −8.
Tính định thức detA với A =


1 2 3
2 1 0
3 1 0


Giải. Khai triển theo cột 3 ta được
|A| = 3.A
13
+ 0.A
23
+ 0.A

33
= 3.(−1)
1+3




2 1
3 1




= 3(2.1 − 1.3) = −3.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 9 / 44
Khái niệm định thức Tính chất của định thức
Chú ý. Để việc tính toán định thức đơn giản thì ta nên khai triển theo
hàng hoặc cột có càng nhiều số 0 càng tốt.
Ví dụ
Tính định thức detA với A =


1 2 3
0 2 0
3 1 5


Giải. Khai triển theo hàng 2 ta được
|A| = 0.A
21

+ 2.A
22
+ 0.A
23
= 2.(−1)
2+2




1 3
3 5




= 2(1.5 − 3.3) = −8.
Tính định thức detA với A =


1 2 3
2 1 0
3 1 0


Giải. Khai triển theo cột 3 ta được
|A| = 3.A
13
+ 0.A
23

+ 0.A
33
= 3.(−1)
1+3




2 1
3 1




= 3(2.1 − 1.3) = −3.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 9 / 44
Khái niệm định thức Tính chất của định thức
Chú ý. Để việc tính toán định thức đơn giản thì ta nên khai triển theo
hàng hoặc cột có càng nhiều số 0 càng tốt.
Ví dụ
Tính định thức detA với A =


1 2 3
0 2 0
3 1 5


Giải. Khai triển theo hàng 2 ta được
|A| = 0.A

21
+ 2.A
22
+ 0.A
23
= 2.(−1)
2+2




1 3
3 5




= 2(1.5 − 3.3) = −8.
Tính định thức detA với A =


1 2 3
2 1 0
3 1 0


Giải. Khai triển theo cột 3 ta được
|A| = 3.A
13
+ 0.A

23
+ 0.A
33
= 3.(−1)
1+3




2 1
3 1




= 3(2.1 − 1.3) = −3.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 9 / 44