Bài giảng tổng giao không gian véc tơ con

KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA
CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON
TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
Email:
TP. HCM — 2013.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. HCM — 2013. 1 / 53
Nội dung
1
Không gian véc-tơ con: bao tuyến tính, không
gian nghiệm của hệ thuần nhất
2
Tổng và giao của các không gian véc-tơ con
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. HCM — 2013. 2 / 53
Số véctơ trong bất kỳ 2 cơ sở nào cũng bằng nhau= n.
∀ tập có số véctơ lớn hơn n
đều PTTT
1 tập ĐLTT thì số véctơ  n
∀ tập có số véctơ nhỏ hơn n
đều không là tập sinh của E .
1 tập là tập sinh của E thì
số véctơ  n.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. HCM — 2013. 3 / 53
1 tập gồm n véctơ độc lập tuyến tính đều là cơ sở của E .
1 tập gồm n véctơ sinh ra E đều là cơ sở của E .
M = {x
1
, x
2
, . . . , x

k
} (k < n) ĐLTT, x không là THTT
của k véctơ của M khi đó M ∪ {x} ĐLTT
Nếu M = {x
1
, x
2
, . . . , x
m
} (m > n) là tập sinh của E , x
i
là THTT của những véctơ còn lại của M thì khi bỏ x
i
ta
được M

= M\{x
i
} là tập sinh của E .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. HCM — 2013. 4 / 53
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Định nghĩa không gian véctơ con
Định nghĩa
Giả sử E là một K −kgv, F ⊂ E. Ta nói F là một
không gian véctơ con của E khi và chỉ khi
1
F = ∅
2
∀x, y ∈ F , x + y ∈ F
3
∀λ ∈ K , ∀x ∈ F , λx ∈ F .

Ký hiệu F là một K -kgvc của E.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. HCM — 2013. 5 / 53
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Định nghĩa không gian véctơ con
Định lý
Giả sử E là một K -kgv, F ⊂ E. Nếu F là một
K -kgvc của E thì F là một K −kgv với luật
1
+ : F × F → F
(x, y ) −→ x + y
2
• : K × F → F
(λ, x) −→ λ.x
cảm sinh bởi các luật của E .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. HCM — 2013. 6 / 53
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ
Ví dụ
F = R × {0} = {(x
1
, x
2
) : x
1
∈ R, x
2
= 0} là 1
không gian véctơ con của R−kgv R
2
.
Ta có F ⊂ R
2

, (0, 0) ∈ F ⇒ F = ∅. Với mọi
x = (x
1
, 0), y = (y
1
, 0) ∈ F thì
x+y = (x
1
+y
1
, 0) ∈ F , ∀λ ∈ R, λx = (λx
1
, 0) ∈ F .
Vậy F là không gian véctơ con của R
2
.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. HCM — 2013. 7 / 53
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ
Ví dụ
F = {(x
1
, x
2
, x
3
) ∈ R
3
: 2x
1
− 2x

2
+ x
3
= 0} là 1
không gian véctơ con của R−kgv R
3
.
Ta có F ⊂ R
3
, (0, 0, 0) ∈ F ⇒ F = ∅.
∀x = (x
1
, x
2
, x
3
), y = (y
1
, y
2
, y
3
) ∈ F ⇒
2x
1
− 2x
2
+ x
3
= 0 và 2y

1
− 2y
2
+ y
3
= 0. Từ đó,
suy ra x + y = (x
1
+ y
1
, x
2
+ y
2
, x
3
+ y
3
),
2(x
1
+ y
1
) − 2(x
2
+ y
2
) + (x
3
+ y

3
) =
(2x
1
−2x
2
+x
3
)+(2y
1
−2y
2
+y
3
) = 0 ⇒ x +y ∈ F ,
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. HCM — 2013. 8 / 53
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ
∀λ ∈ R, λx = (λx
1
, λx
2
, λx
3
), khi đó
2λx
1
− 2λx
2
+ λx
3

= λ(2x
1
− 2x
2
+ x
3
) = 0
⇒ λx ∈ F.
Vậy F là không gian véctơ con của R
3
.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. HCM — 2013. 9 / 53
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ
Ví dụ
F = {(x
1
, x
2
, x
3
) : x
1
, x
2
, x
3
∈ R, x
1
+2x
2

+x
3
= 1}
không là 1 không gian véctơ con của R−kgv R
3
.
Thật vậy, với x = (x
1
, x
2
, x
3
), y = (y
1
, y
2
, y
3
) ∈ F
thì x + y = (x
1
+ y
1
, x
2
+ y
2
, x
3
+ y

3
) và
(x
1
+ y
1
) + 2(x
2
+ y
2
) + (x
3
+ y
3
) =
(x
1
+ 2x
2
+ x
3
) + (y
1
+ 2y
2
+ y
3
) = 1 + 1 = 2. Do
đó x + y /∈ F .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. HCM — 2013. 10 / 53

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Bao tuyến tính
Bao tuyến tính
Định lý
Cho S = {x
1
, x
2
, . . . , x
n
} ⊂ E , E − là một K -kgv.
Khi đó W =< x
1
, x
2
, . . . , x
n
>= {x ∈ E, x =
n

i=1
λ
i
x
i
, ∀λ
i
∈ K , i = 1, 2, . . . , n} là một không
gian véctơ con của E . Ta gọi W là một bao tuyến
tính của tập {x
1

, x
2
, . . . , x
n
}. Kí hiệu
W = span(S)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. HCM — 2013. 11 / 53
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Bao tuyến tính
Chứng minh
1
0 = 0.x
1
+ 0.x
2
+ . . . + 0.x
n
⇒ 0 ∈ W
⇒ W = ∅.
2
∀x, y ∈ W ⇒ x + y =
n

i=1
λ
i
x
i
+
n


i=1
γ
i
x
i
=
n

i=1
(λ
i
+ γ
i
)x
i
⇒ x + y ∈ W .
3
∀λ ∈ K , ∀x ∈ W ⇒ λx = λ
n

i=1
λ
i
x
i
=
n

i=1
(λ.λ

i
)x
i
⇒ λx ∈ W .
Vậy W là một không gian véctơ con của E .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. HCM — 2013. 12 / 53
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ
Ví dụ
Trong R − kgv R
3
cho
M = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}. Xác định
< M > .
Giải.
< M >= {x ∈ R
3
, x = λ
1
(1, 1, 1) + λ
2
(0, 1, 1) +
λ
3
(0, 0, 1), ∀λ
i
∈ R, i = 1, 2, 3} = {x ∈ R
3
, x =
(λ
1

, λ
1
+ λ
2
, λ
1
+ λ
2
+ λ
3
), ∀λ
i
∈ R, i = 1, 2, 3}
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. HCM — 2013. 13 / 53
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ
Ví dụ
Trong R − kgv P
2
(x) cho
M = {(x − 2), (x − 2)
2
}. Xác định < M > .
Giải.
< M >= {λ
1
(x −2)+λ
2
(x −2)
2
, ∀λ

1
, λ
2
∈ R} =
{λ
2
x
2
+(λ
1
−4λ
2
)x +(−2λ
1
+4λ
2
), ∀λ
1
, λ
2
∈ R}
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. HCM — 2013. 14 / 53
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con
Hệ quả
Cho E là một K -kgv, dim(E ) = n, F là không
gian véctơ con của E thì dim(F )  n.
Chứng minh.
Do F ⊂ E nên mọi tập con độc lập tuyến tính
của F đều có số phần tử  n.
Gọi B = {x

1
, x
2
, . . . , x
k
}(k  n) là 1 tập con
độc lập tuyến tính của F có số phần tử lớn
nhất. Để chứng minh B là cơ sở của F ta chỉ
cần chứng minh B là tập sinh của F .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. HCM — 2013. 15 / 53
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con
Chứng minh B là tập sinh của F.
Phản chứng. Với mọi ∀x ∈ F
B = {x
1
, x
2
, . . . , x
k
} (k < n) ĐLTT, x không là
THTT của k véctơ của B khi đó B ∪ {x} ĐLTT
Vậy, B ∪ {x} ⊂ F độc lập tuyến tính và số phần
tử của nó là k + 1 > k. (trái với giả thiết k lớn
nhất).
Do đó, ∀x ∈ F đều là tổ hợp tuyến tính của
những véctơ của B ⇒ B là tập sinh của F 
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. HCM — 2013. 16 / 53
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ
Ví dụ
Trong R−kgv P

2
(x) cho không gian con
F = {p(x) ∈ P
2
(x) : p(1) = 0, p(−1) = 0}. Tìm
một cơ sở và số chiều của không gian con F .
∀p(x) = ax
2
+ bx + c ∈ F , ta có
p(1) = a + b + c = 0 và
p(−1) = a − b + c = 0. Giải hệ phương trình

a + b + c = 0
a − b + c = 0
⇔

a = −c
b = 0
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. HCM — 2013. 17 / 53
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ
Vậy p(x) = c(−x
2
+ 1). Do đó {−x
2
+ 1} là tập
sinh của F .
−x
2
+ 1 = 0 nên luôn độc lập tuyến tính.
Như vậy, −x

2
+ 1 là 1 cơ sở của F và số chiều
dim(F ) = 1.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. HCM — 2013. 18 / 53
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ
Ví dụ
Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con W
của R
3
cho bởi
W = {(x
1
, x
2
, x
3
) : x
1
+ x
2
+ x
3
= 0}
Để tìm cơ sở của W ta giải phương trình
x
1
+ x
2
+ x
3

= 0 ⇔ x
1
= −x
2
− x
3
.
Nghiệm cơ sở là (−1, 1, 0) và (−1, 0, 1).
Ta sẽ chứng minh (−1, 1, 0) và (−1, 0, 1) là cơ sở
của W .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. HCM — 2013. 19 / 53
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ
Hai véctơ (−1, 1, 0) và (−1, 0, 1) độc lập
tuyến tính.
Ta chứng minh (−1, 1, 0) và (−1, 0, 1) sinh ra
W . Thật vậy, ∀x = (x
1
, x
2
, x
3
) ∈ W thì
x = x
2
(−1, 1, 0) + x
3
(−1, 0, 1).
Như vậy, (−1, 1, 0) và (−1, 0, 1) là 1 cơ sở của W
và số chiều dim(W ) = 2.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. HCM — 2013. 20 / 53

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
Không gian nghiệm của hệ thuần nhất
Định lý
Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất gồm
m phương trình và n ẩn A
m ×n
X
n ×1
= 0
m ×1
. Khi
đó các nghiệm của hệ phương trình này tạo thành
không gian véctơ con của không gian K
n
.
Định lý
Không gian véctơ nghiệm của hệ phương trình
tuyến tính thuần nhất tổng quát có số chiều bằng
n − r trong đó r = rank(A) và n là số ẩn.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. HCM — 2013. 21 / 53
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ
Ví dụ
Giải hệ tìm nghiệm của không gian nghiệm



x
1
+ 2x
2

− x
3
+ x
4
= 0
2x
1
+ 4x
2
− 3x
3
= 0
x
1
+ 2x
2
+ x
3
+ 5x
4
= 0


1 2 −1 1
2 4 −3 0
1 2 1 5


h
2

→h
2
−2h
1
h
3
→h
3
−h
1
−−−−−−→


1 2 −1 1
0 0 −1 −2
0 0 2 4


TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. HCM — 2013. 22 / 53
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ
h
3
→h
3
+2h
2
−−−−−−→


1 2 −1 1

0 0 −1 −2
0 0 0 0


⇒ x
1
, x
3
là biến cơ
sở, x
2
, x
4
là biến tự do. Đặt x
2
= α, x
4
= β




x
1
x
2
x
3
x
4





=




−2α − 3β
α
−2β
β




= α




−2
1
0
0





+ β




−3
0
−2
1




Vậy X
1
= (−2, 1, 0, 0)
T
và X
2
= (−3, 0, −2, 1)
T
là cơ sở
của không gian nghiệm. Số chiều của không gian nghiệm
của hệ này là 2.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. HCM — 2013. 23 / 53
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Cơ sở và số chiều của bao tuyến tính
Số chiều của bao tuyến tính < M > và hạng của hệ véctơ
Định lý
Giả sử M = {x
1

, x
2
, . . . , x
p
} ⊂ E có hạng r và
W =< M > là không gian véctơ con sinh bởi M.
Khi đó dim(W ) = r.
Chứng minh.
Giả sử M
r
= {x
i
1
, x
i
2
, . . . x
i
r
} là 1 tập con độc
lập tuyến tính tối đại của M.
Chứng minh M
r
sinh ra W .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. HCM — 2013. 24 / 53
Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Cơ sở và số chiều của bao tuyến tính
Vì M
r
độc lập tuyến tính tối đại nên mỗi véctơ
thuộc M đều là tổ hợp tuyến tính của các véctơ

của M
r
⇒ mọi véctơ của W là tổ hợp tuyến tính
của các véctơ của M thì cũng là tổ hợp tuyến tính
của các véctơ của M
r
. Có nghĩa là
W =< M >⇒ W =< M
r
> .
M
r
độc lập tuyến tính.
M
r
là tập sinh của W .
⇒ M
r
là cơ sở của W
⇒ dim(W ) = r = rank(M).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CONTP. HCM — 2013. 25 / 53