Luận văn thạc sĩ khai thác mối quan hệ hình học đại số vào giải một số bài toán dành cho học sinh giỏi

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

NGUYỄN THÀNH CÔNG

KHAI THÁC MỐI QUAN HỆ
HÌNH HỌC - ĐẠI SỐ VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN
DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019

c


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

NGUYỄN THÀNH CÔNG

KHAI THÁC MỐI QUAN HỆ
HÌNH HỌC - ĐẠI SỐ VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN
DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. Trịnh Thanh Hải

THÁI NGUYÊN - 2019

c


i

Mửc lửc
Lới cÊm ỡn
1
Lới nõi Ưu
1
1 Khai thĂc kián thực Ôi số  giÊi mởt số bi toĂn Hẳnh
hồc
3
1.1. ị t÷ðng chung . . . . . . . . . .
1.2. Mët sè v½ dư minh håa . . . . . .
1.2.1. B i to¡n cüc trà H¼nh håc
1.2.2. B i to¡n quÿ t½ch . . . . .

.
.
.
.

.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

.
.

. 3
. 3
. 3
. 14

2 Khai thĂc kián thực Hẳnh hồc  giÊi mởt số bi toĂn Ôi
số
19
2.1. ị tững chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Mët sè v½ dư minh håa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1. B i to¡n chùng minh b§t ¯ng thùc . . . . . . . . .
2.2.2. Bi toĂn biằn luên phữỡng trẳnh v bĐt phữỡng trẳnh
cõ tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3. B i to¡n chùng minh b§t ¯ng thùc . . . . . . . . .
2.2.4. B i to¡n cüc trà Ôi số . . . . . . . . . . . . . . . .

Kát luên
TI LIU THAM KHƒO

. 19
. 19
. 19

. 37
. 43
. 50

58
59

c


1

Lới cÊm ỡn
Trong suốt quĂ trẳnh lm luên vôn, tổi luổn nhên ữủc sỹ ừng hở, hữợng
dăn v giúp ù cừa PGS. TS. Trnh Thanh HÊi. ThƯy luổn quan tƠm, theo dãi
s¡t sao, d nh nhi·u thíi gian ch¿ b£o tªn tẳnh, hữợng dăn v giÊi Ăp cĂc thưc
mưc cừa tổi. Tổi xin by tọ lỏng biát ỡn chƠn thnh v sƠu sưc nhĐt án ThƯy.
Tổi xin gỷi lới cÊm ỡn án cĂc ThƯy, Cổ khoa ToĂn  Tin v phỏng o TÔo
cừa trữớng Ôi Hồc Khoa hồc - Ôi hồc ThĂi Nguyản cụng nhữ cĂc ThƯy Cổ
tham gia giÊng dÔy khõa hồc cao hồc 2017  2019 Â tên tẳnh ch bÊo truyÃn
Ôt kián thực trong suốt thới gian theo hồc, thỹc hiằn v hon thnh luên vôn.
Cuối cũng, tổi xin gỷi lới cĂm ỡn tợi gia ẳnh, bÔn b, ỗng nghiằp  luổn
ởng viản, giúp ù, l chộ dỹa vỳng chưc và vêt chĐt v tinh thƯn cho tổi
trong suốt quĂ trẳnh hồc têp v hon thiằn luên vôn thÔc s.

ThĂi Nguyản, thĂng 10 nôm 2019
TĂc giÊ

Nguyạn Thnh Cổng

c


1

Lới nõi Ưu
1. Lỵ do chồn à ti
Hẳnh hồc v Ôi số l hai nởi dung quan trồng xuyản suốt chữỡng trẳnh
toĂn THCS - THPT gõp phƯn cĐu thnh nản bë mỉn To¡n håc. Do â, vi»c
nghi¶n cùu khai th¡c mối quan hằ giỳa Hẳnh hồc v Ôi số l mởt vĐn à rĐt
Ăng  quan tƠm. ỗng thới thổng qua õ, cho ta cĂi nhẳn tờng th hỡn,
gõp phƯn gióp chóng ta hiºu rã hìn v· To¡n håc cơng nhữ giúp ẵch cho viằc
dÔy v hồc bở mổn ToĂn hồc.
Hiằn nay, nÃn giĂo dửc tiản tián cừa cĂc nữợc phĂt trin trản thá giợi rĐt
quan tƠm chú trồng viằc dÔy v hồc liản mổn: giỳa cĂc mổn vợi nhau v  giúa
c¡c ph¥n mỉn trong cịng mët mỉn håc. N·n giĂo dửc cừa Viằt Nam khổng
nơm ngoi xu hữợng cừa thới Ôi, Â v ang dƯn chuyn mẳnh tiáp cên hồc
họi, sĂng tÔo v ựng dửng xu hữợng dÔy hồc ny.
Chữỡng trẳnh ToĂn trong trữớng THCS - THPT hiằn nay, bë mỉn To¡n
chùa hai m£ng rã r»t: ph¦n 1 l  Ôi số, phƯn 2 l Hẳnh hồc. iÃu ny cõ mt
tẵch cỹc l giúp hồc sinh nhên biát ngay ữủc cĐu trúc chữỡng trẳnh v tiáp
thu kián thực mởt cĂch cõ hằ thống. Những ngữủc lÔi, nõ lm cho hồc sinh
hiu rơng Ơy l hai phƠn mổn ởc lêp vợi nhau, khổng cõ mối quan hằ tữỡng
trủ qua lÔi, cụng nhữ viằc gưn kát hai phƠn mổn ny trong sĂch giĂo khoa
THCS- THPT l chữa ữủc à cêp ró rng Ưy ừ.
Thỹc tá quĂ trẳnh dÔy v hồc  chựng minh rơng, hồc sinh hiu biát vÃ
mối quan hằ Hẳnh hồc v Ôi số khĂ mỡ hỗ v gƯn nhữ hiu Ơy l 2 phƠn
mổn riảng biằt, gõp phƯn tÔo nản mổn ToĂn hồc. CĂc em hồc phƠn mổn no
thẳ hồc v lm bi têp phƠn mổn õ, cụng nhữ giĂo viản dÔy hồc theo tiát
mổn Hẳnh hồc thẳ chuyản lm bi và Hẳnh hồc, Ôi số thẳ chuyản lm bi vÃ
Ôi số, ẵt hoc khổng hoc chữa chú trồng à cêp án sỹ liản kát giỳa Hẳnh
hồc v Ôi số trong giÊng dÔy cụng nhữ giÊi bi têp.

c

2

Thổng qua tẳm hiu thỹc tá, tổi thĐy rơng viằc khai thĂc mối quan hằ giỳa
hai phƠn mổn Hẳnh hồc v Ôi số s gõp phƯn quan trồng giúp cĂc em hiu
biát hỡn và bở mổn ToĂn hồc, cụng nhữ trđ gióp c¡c em ỉn thi v  thi håc
sinh häi cĐp THCS - THPT cõ cĂi nhẳn mợi, hữợng i mợi, cĂch tiáp cên lới
giÊi mợi, phong phú hỡn trong quĂ trẳnh ổn luyằn v thi mổn ToĂn.
Vẳ nhỳng lỵ do trản, tổi quyát nh chồn à ti: "Khai thĂc mối quan hằ
Hẳnh hồc - Ôi số vo giÊi mởt sè b i to¡n d nh cho håc sinh giäi". Thỉng
qua nghi¶n cựu nhọ ny, tổi mong rơng mẳnh s gõp phƯn lm ró hỡn mối
quan hằ giỳa hai phƠn mổn Hẳnh hồc v Ôi số, mối quan hằ tữỡng trủ lăn
nhau trong quĂ trẳnh giÊng dÔy v hồc ToĂn cừa bÊn thƠn THCS.

2. Mửc ẵch, nhiằm vử cừa luên vôn
Mửc ẵch cừa luên vôn ny l khai thĂc mối quan hằ giỳa Hẳnh hồc v Ôi
số gõp phƯn tiáp cên hữợng giÊi toĂn mợi cừa bi toĂn bơng con ữớng vên
dửng tẵnh chĐt Ôi số  giÊi bi toĂn Hẳnh hồc v ngữủc lÔi giÊi cĂc bi toĂn
Hẳnh hồc vợi cổng cử Ôi số thổng qua viằc giÊi mởt số b i to¡n d nh cho
håc sinh giäi, l  · thi chån håc sinh giäi c¡c t¿nh, to n quèc v  khu vüc.
Luªn vôn têp trung vo hon thnh cĂc nhiằm vử chẵnh sau:

ã ị tững khai thĂc cĂc tẵnh chĐt, cổng cử cừa Ôi số  giÊi bi toĂn Hẳnh
hồc v ngữủc lÔi
ã Sữu tƯm mởt bi toĂn, à thi và Ôi số, Hẳnh hồc dnh cho hồc sinh giọi.
ã ữa ra lới giÊi bơng cĂch vên dửng tẵnh chĐt, cổng cử cừa Ôi số  giÊi
mởt số bi toĂn Hẳnh hồc v ngữủc lÔi khai thĂc cĂc tẵnh chĐt, phữỡng
phĂp Hẳnh hồc  giÊi cĂc bi toĂn Ôi số dnh cho hồc sinh giọi.

3. Nởi dung cừa à ti luên vôn
Nởi dung luên vôn ngoi phƯn m Ưu, kát luên, ti liằu tham khÊo s gỗm
2 chữỡng:
Chữỡng 1: Trẳnh by phữỡng phĂp khai thĂc kián thực Ôi số  giÊi mởt
số bi toĂn Hẳnh hồc
Chữỡng 2: Trẳnh by phữỡng phĂp khai thĂc kián thực Hẳnh hồc  giÊi
mởt số bi toĂn Ôi số

c


3

Chữỡng 1

Khai thĂc kián thực Ôi số  giÊi
mởt số bi toĂn Hẳnh hồc
1.1. ị tững chung
Nởi dung chữỡng 1 minh hồa ỵ tững vên dửng cĂc tẵnh chĐt, nh lỵ, cổng
cử trong Ôi số trong quĂ trẳnh tẳm ra lới giÊi cho mởt số bi toĂn Hẳnh hồc
bơng cĂch ữa ra mởt số vẵ dử sỷ dửng kián thực Ôi số  ữa ra lới giÊi cho
mởt số bi to¡n chån låc d nh cho håc sinh giäi, l  · thi chån håc sinh giäi
c¡c àa ph÷ìng, to n qc cơng nhữ à thi chồn hồc sinh giọi khu vỹc ChƠu
- ThĂi Bẳnh Dữỡng v mởt số nữợc khu vỹc ổng u.
Mởt trong nhỳng khƠu quan trồng ân trong nhỳng vẵ dử l viằc bián ối
bi toĂn ban Ưu  chóng bëc lë nhúng iºm câ thº vªn dưng c¡c tẵnh chĐt
cừa Ôi số  giÊi quyát vĐn Ã, cõ th tÔm gồi Ơy l quĂ trẳnh "Ôi số hõa
bi to¡n h¼nh håc" , sau â l  qu¡ tr¼nh sû dửng cổng cử Ôi số  phĂt biu
bi toĂn Hẳnh hồc ban Ưu.

1.2. Mởt số vẵ dử minh hồa
1.2.1. Bi toĂn cỹc tr Hẳnh hồc
XuĐt phĂt tứ 2 bĐt ng thực (BT) Ôi số rĐt quen thuởc sau Ơy.

BT 1. Vợi cĂc số dữỡng a, b, c cõ



1 1 1
+ +
(a + b + c)
a b c

c


≥ 9.


4

¯ng thùc x£y ra khi v  ch¿ khi a = b = c.

Líi gi£i



1 1 1
(a + b + c)
+ +

a b c



a a b
b c c
−9=1+ + + +1+ + + +1−9
b c a
c a b

 
 

a b
b c
c a
=
+ −2 +
+ −2 +
+ −2
b a
c b
a c
2
2
2
(a − b)
(b − c)
(c − a)
=

+
+
≥ 0.
ab
bc
ac

¯ng thùc x£y ra khi v  ch¿ khi a − b = b − c = c − a = 0 ⇔ a = b = c.

BT 2. Vợi cĂc số dữỡng a, b, c câ

b
c
3
a
+
+
≥ .
b+c c+a a+b
2
¯ng thùc x£y ra khi v  ch¿ khi a = b = c.

Líi gi£i

p dưng BT 1 ta câ

 
 

a

b
c
+1 +
+1 +
+1 −3
b+c
c+a
a+b


1
1
1
= (a + b + c)
+
+
−3
b+c c+a a+b


1
1
1
1
+
+
−3
= [(b + c) + (c + a) + (a + b)]
2
b+c c+a a+b

9
3
≥ −3= .
2
2

b
c
a
+
+
=
b+c c+a a+b



¯ng thùc x£y ra khi b + c = c + a = a + b ⇔ a = b = c.
Cõ th vên dửng hai bĐt ng thực trản vo giÊi v sĂng tÔo cĂc bi toĂn
chựa bĐt ¯ng thùc H¼nh håc ho°c t¼m cüc trà H¼nh håc.

Sau Ơy l mởt số vẵ dử minh hồa ữủc trẵch dăn tứ TÔp chẵ ToĂn Hồc v
Tuời Tr v cĂc t i li»u tham kh£o

B i to¡n 1.2.1.1. Cho tam gi¡c ·u ABC cõ cÔnh bơng a. Gồi ữớng

vuổng gõc tứ im M nơm trong tam giĂc án cĂc cÔnh BC, CA, AB lƯn lữủt
l M D, M E, M F . XĂc nh v trẵ cừa M :
1
1
1

a)
+
+
Ôt giĂ tr nhọ nhĐt. Tẵnh giĂ tr õ.
MD ME MF
1
1
1
b)
+
+
Ôt giĂ tr nhọ nhĐt. Tẵnh giĂ
MD + ME ME + MF MF + MD
trà â.

c


5

Lới giÊi

Hẳnh 1


a 3
Gồi h =
l ở di ữớng cao cõa tam gi¡c ·u ABC v  °t M D = x,
2
M E = y, M F = z . Ta câ

SABC = SM BC + SM AC + SM AB
⇔ ah = ax + ay + az ⇔ x + y + z = h khỉng êi.
a) p dưng BT 1 ta câ


1 1 1
+ +
(x + y + z)
x y z



√
9
6 3
1 1 1
.
≥9⇒ + + ≥ =
x y z
h
a

b) p döng BT 2 ta câ




1
1
1

(x + y + y + z + z + x)
+
+
≥9
x+y y+z z+x
√
1
1
1
9
3 3
⇔
+
+
≥
=
.
x+y y+z z+x
2h
a
Trong c£ hai tr÷íng hđp ¯ng thùc x£y ra khi v  ch¿ khi x = y = z , lúc õ
M l tƠm ữớng trỏn nởi tiáp ABC .

Bi to¡n 1.2.1.2. Gåi H l  trüc t¥m tam gi¡c ABC cõ ba gõc nhồn vợi

ba ữớng cao AA1 ; BB1 ; CC1 . Chùng minh r¬ng
a)

AA1
BB1

CC1
+
+
≥9
HA1 HB1 HC1

c


6

b)

HA1 HB1 HC1
3
+
+
≥
HA
HB
HC
2
¯ng thùc x£y ra khi n o?

Líi gi£i

H¼nh 2

Gåi diằn tẵch tam giĂc ABC, HBC, HAC, HAB lƯn lữủt l  S, S1 , S2 , S3 th¼

S = S1 + S2 + S3 .
a) Dạ thĐy

S1 HB1
S2 HC1
S3
HA1
= ;
= ;
= .
AA1
S BB1
S CC1
S

Do â

HA1 HB1 HC1
+
+
= 1.
AA1
BB1
CC1

p döng BT 1 ÷đc

AA1
BB1
CC1

+
+
≥ 9.
HA1 HB1 HC1
¯ng thùc x£y ra khi v  ch¿ khi

HA1
HB1
HC1
1
=
=
=
AA1
BB1
CC1
3
S
,
3
lóc â H vøa l  trüc t¥m, vøa l  trồng tƠm cừa tam giĂc ABC nản ABC l
tam giĂc ·u.
⇔ S1 = S2 = S3 =

c


7

b) Tø

HA1
S1
=
câ
AA1
S
HA1
HA1
S1
S1
=
=
=
.
HA
AA1 − HA1
S − S1
S2 + S3

T÷ìng tü

HB1
S2
HC1
S3
=
;
=
.

HB
S1 + S3 HC
S1 + S2

p döng BT 2 ta câ

HA1 HB1 HC1
3
+
+
.
HA
HB
HC
2
Lêp luên tữỡng tỹ nhữ trản ng thực xÊy ra khi v  ch¿ khi ∆ABC ·u.

B i to¡n 1.2.1.3. X²t tam giĂc ABC cõ ba gõc nhồn nởi tiáp ữớng trỏn

(O) vợi ba ữớng cao AA1 ; BB1 ; CC1 lƯn lữủt cưt (O) lƯn nỳa tÔi D; E; F .
XĂc nh dÔng cừa tam giĂc ABC sao cho:
a)

AA1 BB1 CC1
+
+
Ôt giĂ tr nhọ nhĐt. Tẵnh giĂ tr õ.
DA1 EB1 F C1

b)

AA1 BB1 CC1
+
+
Ôt giĂ tr nhọ nhĐt. Tẵnh giĂ tr õ.
AD
BE
CF

Lới giÊi

Hẳnh 3

Gồi H l trỹc tƠm cừa ABC . Dạ dng chựng minh ữủc HA1 = DA1 ; HB1 =

EB1 ; HC1 = F C1 .

c


8

a) Gåi di»n t½ch tam gi¡c ABC, HBC, HAC, HAB lƯn lữủt l S, S1 , S2 , S3
thẳ

S = S1 + S2 + S3 .
Dạ thĐy

HA1
S1 EB1

HB1
S2 F C1
HC1
S3
DA1
=
= ;
=
= ;
=
= .
AA1
AA1
S BB1
BB1
S CC1
CC1
S
Do â

DA1 EB1 F C1
+
+
= 1.
AA1 BB1 CC1

p dưng BT 1 ÷đc

AA1 BB1 CC1
+

+
≥ 9.
DA1 EB1 F C1
¯ng thùc x£y ra khi v  ch¿ khi

EB1
F C1
1
DA1
=
=
=
AA1
BB1
CC1
3
S
,
3
lóc â H vøa l  trüc t¥m, vøa l  trång t¥m cõa tam gi¡c ABC n¶n ABC l 
tam gi¡c ·u.
⇔ S1 = S2 = S3 =

b)

AD
BE
CF
HA1
HB1

HC1
+
+
=1+
+1+
+1+
=4
AA1 BB1 CC1
AA1
BB1
CC1
Suy ra

9
AA1 BB1 CC1
+
+
≥ .
AD
BE
CF
4
¯ng thùc x£y ra khi ∆ABC l  tam gi¡c ·u.

B i toĂn 1.2.1.4. Trong cĂc tam giĂc ngoÔi tiáp ữớng trỏn tƠm O bĂn

kẵnh r, hÂy xĂc nh dÔng cừa tam giĂc sao cho tờng ở di ba ữớng cao Ôt
giĂ tr nhọ nhĐt. Tẵnh giĂ tr õ.

Lới giÊi

Gồi ha , hb , hc l  ë d i c¡c ÷íng cao ùng vợi cĂc cÔnh a, b, c cừa tam giĂc

ABC ngoÔi tiáp ữớng trỏn (O).
Gồi diằn tẵch tam giĂc ABC, OBC, OAC, OAB lƯn lữủt l S, S1 , S2 , S3 th¼
S = S1 + S2 + S3 .

c


9

Hẳnh 4

Dạ thĐy

OK
r
S1
=
= ;
AA1
ha
S

Tữỡng tỹ

r
S2 r
S3

= ;
=
hb
S hc
S

Do õ:

r
r
r
+
+
=1
ha hb hc

.
p döng BT 1 câ



1
1
1
ha + hb + hc = (ha + hb + hc )
+
+
ha hb hc



r ≥ 9r.

¯ng thùc x£y ra khi ha = hb = hc = 3r, ha + hb + hc = 9r, lóc â ∆ABC
l  tam gi¡c ·u.

B i to¡n 1.2.1.5. Cho tam gi¡c ABC v  M l  iºm n¬m trong tam gi¡c.

K´ AM, BM, CM cưt cĂc cÔnh BC, CA, AB lƯn lữủt tÔi A1 , B1 , C1 . X¡c ành
và tr½ cõa im M 
AA1
BB1
CC1
a)
+
+
Ôt giĂ tr nhọ nhĐt. Tẵnh giĂ tr â.
M A1 M B1 M C1

c


10

b)

MA MB MC
.
.
Ôt giĂ tr nhọ nhĐt. Tẵnh giĂ tr â.
M A1 M B1 M C1

Líi gi£i

H¼nh 5

C¡ch 1. (Sû dửng tẵnh chĐt Ôi số)

Gồi diằn tẵch cĂc tam giĂc ABC, M BC, M AC, M AB lƯn lữủt l S, S1 , S2 , S3
th¼ S = S1 + S2 + S3 .
a) Sỷ dửng hằ quÊ nh lỵ Thales ta dạ dng chựng minh ữủc

M A1
d(M ; BC)
=
AA1
d(A; BC)
LÔi cõ

d(M ; BC)
S1
=
d(A; BC)
S

Vợi d(M ; BC); d(A; BC) lƯn lữủt l khoÊng cĂch tứ M v A án BC .
Suy ra
T÷ìng tü

Do â

M A1
S1
=
AA1
S
M B1
S2 M C 1
S3
= ;
=
BB1
S CC1
S
M A1 M B1 M C1
+
+
= 1.
AA1
BB1
CC1

p döng BT 1 câ

AA1
BB1
CC1
+
+
≥ 9.
M A1 M B1 M C1

c


11

S
¯ng thùc x£y ra khi S1 = S2 = S3 = , lóc â M l  trång t¥m ∆ABC .
3
AA1
b) °t
= x th¼
M A1
AA1
MA
=
− 1 = x − 1.
M A1
M A1
T÷ìng tü
MB
BB1
=
− 1 = y − 1,
M B1
M B1
MC
CC1
=
− 1 = z − 1.

M C1
M C1
Ta câ
1 1 1
+ + = 1 ⇔ xy + yz + zx = xyz.
x y z
Tø â
AA1 M B M C
.
.
= (x − 1)(y − 1)(z − 1)
M A1 M B1 M C1
= xyz − (xy + yz + zx) + x + y + z − 1 = x + y + z − 1


1 1 1
= (x + y + z)
+ +
− 1 ≥ 9 − 1 = 8.
x y z
¯ng thùc x£y ra khi x = y = z , lóc â M l  trång t¥m cõa ∆ABC .
Ta câ thº giÊi ỵ b theo cĂch sau:

CĂch 2. (Sỷ dửng t sè di»n t½ch v  BT Cauchy)

Gåi S1 ; S2 ; S3 lƯn lữủt l diằn tẵch tam giĂc ABM, ACM, BCM . Chú ỵ
rơng hai tam giĂc cõ cũng ữớng cao thẳ t số diằn tẵch cừa chúng bơng t số
hai cÔnh Ăy.
Ta cõ

SACM
SABM + SACM
S1 + S2
MA
SABM
=
=
=
=
M A1
SBM A1
SCM A1
SBM A1 + SCM A1
S3
T÷ìng tü câ

MB
S1 + S3 M C
S2 + S3
=
;
=
.
M B1
S2
M C1
S1
Tø â, ¡p dưng b§t ¯ng thùc Cauchy ta ÷đc
S1 + S2 S1 + S3 S2 + S3
MA MB MB

.
.
=
.
.
M A1 M B1 M B1
S3
S2
S1
√
√
√
2 S1 .S2 .2 S1 .S3 .2 S2 .S3
≥
= 8.
S3 .S2 .S1

c


12

1
DĐu bơng xÊy ra khi v ch khi S1 = S2 = S3 = .SABC
3
MA
MB
⇒
=2=
lóc â M l  trång t¥m ABC .

M A1
M B1

CĂch 3. (Sỷ dửng nh lỵ Thales v  BT Cauchy)

Qua M k´ M D//AB v  c­t BC tÔi D. Qua M k M E//AC v cưt BC
tÔi E . p dửng nh lỵ Thales ta cõ:

MA
BD
EC
BD + EC
BD + EC
=
=
=
=
.
M A1
DA1
EA1
DA1 + EA1
DE
M°t kh¡c

MB
BD
BD + DE
=
=

M B1
EC
EC
DC
DE + EC
MC
=
=
.
M C1
BD
BD

Tø â, ¡p dưng b§t ¯ng thùc Cauchy ÷đc

MA MB MC
BD + EC BD + DE DE + EC
.
.
=
.
.
M A1 M B1 M C1
DE
EC
BD
√
√
√
2 BD.EC.2 BD.DE.2 DE.EC

≥
≥ 8.
DE.EC.BD
D§u b¬ng x£y ra khi BD = DE = EC ⇒ M C = 2M C1 , M B = 2M B1 .
Lóc â, M l  trång t¥m cõa ∆ABC .

B i toĂn 1.2.1.6. Cho ữớng trỏn tƠm O bĂn kẵnh R. M l im no õ

trản ữớng kẵnh AB . XĂc ành và tr½ cõa M º têng di»n t½ch c¡c hẳnh trỏn
cõ ữớng kẵnh M A v M B l nhä nh§t.

Líi gi£i

°t M A = 2x, M B = 2y vợi x + y 0 thọa mÂn x + y = R (khỉng êi) (xem
h¼nh v³). Gåi S1 v S2 theo thự tỹ l diằn tẵch hẳnh trỏn cõ ữớng kẵnh M A
v M B .
Dạ thĐy S = S1 + S2 nhä nh§t ⇔ P = πx2 + πy 2 = π(x2 + y 2 ) nhä nhĐt.
R2
Lêp luên tữỡng tỹ nhữ trản suy ra GTNN cừa S bơng
, lúc õ M trũng
2
vợi tƠm O.

c


13

Hẳnh 6

Bi toĂn 1.2.1.7. Cho hẳnh vuổng ABCD cÔnh a. M l im no õ trản

cÔnh AB . Dỹng cĂc hẳnh vuổng cõ cÔnh M A, M B và bản trong ABCD. X¡c
ành và tr½ cõa M º di»n t½ch phƯn cỏn lÔi S cừa hẳnh vuổng ABCD l lợn
nhĐt.

Lới gi£i

H¼nh 7

°t M A = x, M B = y vợi x 0; y 0 thọa mÂn x + y = a (xem h¼nh v³)
Gåi S1 , S2 theo thự tỹ l diằn tẵch hẳnh vuổng cÔnh M A v  M B th¼ S1 = x2
v  S2 = y 2 .
Dạ thĐy S lợn nhĐt S1 + S2 nhä nh§t ⇔ P = x2 + y 2 nhä nh§t. Tø b§t
¯ng thùc 2(x2 + y 2 ) ≥ (x + y)2 hay 2(x2 + y 2 ) ≥ a2 suy ra gi¡ trà nhä nh§t
a2
(GTNN) cõa S1 + S2 b¬ng , lóc â M l  trung iºm cõa AB .
2

c


14

1.2.2. B i to¡n quÿ t½ch
B i to¡n quÿ t½ch l  mët dÔng toĂn thữớng xuĐt hiằn trong nởi dung
Hẳnh hồc v phờ thổng bi toĂn qu tẵch thữớng gỗm cĂc bữợc: dỹ oĂn
qu tẵch, chựng minh qu tẵch, giợi hÔn qu tẵch. Tuy nhiản cõ mởt số bi
toĂn qu tẵch lÔi ữủc xuĐt phĂt tứ mởt bi toĂn giÊi tẵch, bi toĂn Ôi số.
Nhỳng bi toĂn ny thữớng phÊi dũng kián thực giÊi tẵch, Ôi số  bián ời

án bi toĂn trung gian, sau õ sỷ dửng kián thực Hẳnh hồc  giÊi quyát
ữa ra qu tẵch. Vợi quan im sỷ dửng kián thực Ôi số giÊi mởt số bi toĂn
Hẳnh hồc(v ngữủc lÔi) l sỷ dửng trong quĂ trẳnh ữa án lới giÊi, nhữ vêy
kián thực Ôi số(Hẳnh hồc) ữủc sỷ dửng mởt số bữợc.
Bi toĂn qu tẵch "Trản mt phng tồa ở tẳm qu tẵch im M (x; y) thọa
mÂn tẵnh chĐt T " ta gồi l bi toĂn qu tẵch Ôi số v khi giÊi bi toĂn qu
tẵch ny ta thữớng xt ba vĐn Ã:
1) im chÔy M (x; y) cõ phử thuởc vo tham số m khổng?
2) Tẵnh chĐt T (iÃu kiằn qu tẵch) m im chÔy M (x; y) phÊi thọa mÂn
cƯn biu th qua phữỡng trẳnh (hay bĐt phữỡng trẳnh) cừa x, y nhữ thá no?
3) Giợi hÔn qu tẵch Q cừa M (phƯn Êo cừa bi toĂn qu tẵch): Q cõ th
l mët ÷íng, mët mi·n n o â cõa m°t ph¯ng tåa ở hoc ch gỗm mởt số
miÃn rới rÔc.

. Náu Q l mởt ữớng thẳ giỳa cĂc tồa ở (x; y) cõa c¡c iºm thuëc Q ph£i

l  mët h» thùc n o õ F (x; y) = 0, hằ thực Đy chẵnh l phữỡng trẳnh cừa
ữớng Q v gồi l phữỡng trẳnh qu tẵch.

. Náu Q l mởt miÃn trản R2 thẳ giúa c¡c tåa ë (x; y) cõa c¡c iºm thuëc

Q thữớng cõ liản hằ dữợi dÔng bĐt phữỡng trẳnh.  ch ra miÃn Q, ta phÊi
viát ữủc phữỡng trẳnh cĂc ữớng biản cừa Q.
Khi dũng phữỡng phĂp giÊi bi toĂn qu tẵch Ôi số ta cõ hai trữớng sau:
Trữớng hủp 1. im chÔy M (x; y) phử thuởc vo tham số m.
Bữợc 1. Biu diạn cĂc tồa ở cừa im chÔy qua tham số m dỹa vo iÃu
kiằn T , ta cõ hằ:

(
x = x(m) (1)

y = y(m) (2)
Bữợc 2. Khû m tø h» (1) v  (2) ÷đc h» thùc liản hằ giỳa x, y l phữỡng
trẳnh qu tẵch

c


15

F (x, y) = 0

(3)

Bữợc 3. Giợi hÔn qu tẵch.

. Náu tham số m bián thiản tũy ỵ thẳ qu tẵch l ton bở ữớng cong cho

bi phữỡng trẳnh (3). Kỵ hiằu ữớng cong õ l (d1 ).

. Náu tham số m ch bián thiản trong miÃn () thẳ tứ (1) suy ra x ch bián

thiản trong miÃn (1 ).

Ta x²t minx(m),maxx(m) º ch¿ ra quÿ t½ch ch¿ l  mët phƯn cừa ữớng
thng (d1 ) v trong (1 ).

Trữớng hủp 2. im chÔy M (x; y) khổng phử thuởc tham số m.
Bữợc 1. Chuyn tứ iÃu kiằn qu tẵch T ối vợi im chÔy M (x; y) và iÃu
kiằn ối vợi cĂc tồa ở (x; y) cừa nõ.

Bữợc 2. GiÊi iÃu kiằn Đy  tẳm ra hằ thực hoc bĐt ng thực liản hằ
trỹc tiáp giỳa x, y .

Chú ỵ. Qu tẵch trong trữớng hủp ny thữớng l miÃn.
Sau Ơy l mởt số vẵ dử minh hồa ữủc trẵch dăn tứ TÔp chẵ ToĂn Hồc v
Tuời Tr v cĂc ti li»u tham kh£o

B i to¡n 1.2.2.1. Cho hå ÷íng cong y = f (x) = x − 2 + mx

(4). T¼m

quÿ tẵch im cỹc Ôi, cỹc tiu cừa ỗ th hm sè.

Líi gi£i

Mi·n x¡c ành l  måi x 6= 0.
m
x2 − m
0
Ta cõ f (x) = 1 2 =
.
x
x2
 tỗn tÔi giĂ tr cỹc Ôi, cỹc tiu, phữỡng trẳnh f 0 (x) = 0 ph£i câ 2
nghi»m ph¥n bi»t: x2 − m = 0 câ hai nghi»m ph¥n bi»t (nghi»m ph£i kh¡c 0)

⇔ m > 0 (α).
Khi â y 0 = 0 ⇔ x =

√

√
m ho°c x = − m.

B£ng bián thiản:

Qu tẵch im cỹc Ôi: Tứ bÊng ta thĐy im cỹc Ôi cõ honh ở

c


16


x= m

(

x<0
(1 )
m = x2

Do im cỹc Ôi nơm trản ỗ th hm số (4) nản ta cõ phữỡng trẳnh qu
tẵch l

x2
= 2x 2.
x
Do x phÊi thọa mÂn (1 ) nản qu tẵch im cỹc Ôi l mởt phƯn cõa ÷íng
th¯ng y = 2x − 2 câ ho nh ë x < 0.

Quÿ t½ch iºm cüc tiºu: Tø b£ng ta th§y iºm cüc tiºu câ ho nh ë
(
√
x>0
(α2 )
x= m⇔
m = x2
y =x2+

Do im cỹc tiu nơm trản ỗ th hm số (4) nản ta cõ phữỡng trẳnh qu
tẵch l

x2
= 2x 2.
x
Do x phÊi thọa mÂn (2 ) nản qu tẵch im cỹc tiu l mởt phƯn cừa ữớng
y =x2+

thng y = 2x − 2 câ ho nh ë x > 0.

B i to¡n 1.2.2.2. Cho Parabol y = x2. T¼m m  ữớng thng y = mxm

cưt parabol tÔi hai im A, B v tẳm qu tẵch trung im I cừa oÔn thng

AB .

Lới giÊi

ữớng thng y = mx m cưt y = x2 tÔi hai im

Phữỡng trẳnh x2 − mx + m = 0 câ hai nghi»m
⇔ ∆ = m2 − 4m ≥ 0 ⇔ m ≤ 0 ho°c 4 ≤ m
(α)
Gåi I(x; y) l  iºm thuëc quÿ tẵch cƯn tẳm vợi iÃu kiằn () ta cõ:
1
x = (x1 + x2 )
2
trong â x1 ; x2 l  nghi»m cừa phữỡng trẳnh x2 mx + m = 0
1
m
x = (x1 + x2 ) =
( theo nh lỵ Vite) m = 2x.
2
2
Do I(x; y) nơm trản ỗ thà h m sè y = mx − m n¶n ta quy ữủc qu tẵch
im I(x; y) l

y = 2x(2x 1) = 2x2 2x.
Do m thọa mÂn () nản 2x ≤ 0 ho°c 4 ≤ 2x suy ra x 0 hoc x 2

(1 ).
Vêy qu tẵch cƯn tẳm l phƯn parabol cõ phữỡng trẳnh y = 2x2 − 2x v³

c


17

trong (1 ).

Bi toĂn 1.2.2.3. Tẳm qu tẵch giao im cõa hå ÷íng cong
y=

x2 + (2m − 1)x + m2 + m + 1
x2 + m2 − m + 1

vỵi Ox, Oy .

Líi gi£i

Gåi A(0; y) l  giao iºm cõa ỗ th  cho vợi Oy . Khi õ phữỡng trẳnh
m2 + m + 1
(vợi x = 0) dÔng y = 2
(ân m) cõ nghiằm phữỡng trẳnh (m2
m −m+1
m + 1)y = m2 + m + 1 câ nghi»m.
3
1
(V¼ m2 − m + 1 = (m − )2 + > 0 vợi mồi m)
2
4
2
(
phữỡng trẳnh (y 1)m

(y + 1)m + y − 1 = 0 câ nghi»m
(
y−1=0
y − 1 6= 0
⇔

ho°c
y + 1 6= 0
∆ = (y + 1)2 − 4(y − 1)2 ≥ 0
(
y 6= 1
⇔ y = 1 ho°c
(y − 3)(3y − 1) ≤ 0

 y 6= 1
(α)
⇔ y = 1 ho°c
1
 ≤ y ≤ 3.
3
Vêy qu tẵch giao im cừa hồ ữớng cong vợi Oy l mởt oÔn trản trửc

Oy cõ tung ở thọa mÂn ().
Gồi B(x; 0) l giao im cừa ỗ th  cho vợi Ox. Khi õ phữỡng trẳnh
x2 + (2m − 1)x + m2 + m + 1
= 0 câ nghiằm
x 2 + m2 m + 1
phữỡng trẳnh x2 + (2m − 1)x + m2 + m + 1 = 0 câ nghi»m

2
1
3
2
2
2
(v¼ x + m − m + 1 = x + m −

+ > 0 vỵi mồi x, m)
2
4
2
2
phữỡng trẳnh m + (2x + 1)m + x − x + 1 = 0 câ nghi»m
⇔ ∆ = (2x + 1)2 − 4(x2 − x + 1) ≥ 0
3
⇔ 8x − 3 ≥ 0 ⇔ x .
(1 )
8
Vêy qu tẵch giao im cừa hồ ữớng cong vợi Ox l mởt khoÊng trản trửc
Ox cõ honh ở thọa mÂn (1 ).

Bi toĂn 1.2.2.4. Tẳm qu tẵch nhỳng im trản mt phng tồa ở cõ
khoÊng cĂch án ữớng thng y =

c

1
1
v án im (0; ) l b¬ng nhau.
4
4


18

Líi gi£i

Gåi A(x; y) l  iºm thc q t½ch.

s


2