Về số học và đối đồng điều Galois của nhóm luỹ đơn trên trường hàm địa phương và toàn cục

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN






NGUYỄN DUY TÂN


VỀ SỐ HỌC VÀ ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU GALOIS
CỦA NHÓM LŨY ĐƠN
TRÊN TRƯỜNG HÀM ĐỊA PHƯƠNG VÀ TOÀN CỤC

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số : 62.46.05.01



TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC







HÀ NỘI – 2007
Công trình được hoàn thành tại:
Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội.

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Nguyễn Quốc Thắng


Phản biện 1:
……………………………………………………………………………
Phản biện 2:
……………………………………………………………………………
Phản biện 3:
……………………………………………………………………………


Luận án sẽ được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án cấp nhà nước họp tại:
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
Vào hồi … giờ … ngày … tháng … năm …



Có thể tìm hi
ểu về luận án tại:
- Thư viện Quốc gia Việt Nam
- Trung tâm Thông tin - Thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội
Danh mục công trình của tác giả liên quan
đến luận án
1. N. Q. Thang, N. D. Tan (2004), “On the surjectivity of the localization
maps for Galois cohomology of algebraic groups over fields”,
Commun. Algebra 32, pp. 3169-3177.
2. N. Q. Thang, N. D. Tan (2005), “On the Galois and flat cohomology of

unipotent algebraic groups over non-perfect fields”, Proc. Japan Acad.
81(6), Ser. A, pp. 121-123.
3. N. Q. Thang, N. D. Tan (2007), “On an analog of Serre's conjectures,
Galois cohomology and defining equation of unipotent algebraic
groups”, Proc. Japan Acad. 83(7), Ser. A, pp. 93-98.
4. N. Q. Thang, N. D. Tan (2008), “On the Galois and flat cohomology of
unipotent algebraic groups over local and global function fields, I",
Journal of Algebra 319(10), pp. 4288-4324.
5. N. Q. Thang, N. D. Tan (2007), “On the Galois and flat cohomology of
unipotent algebraic groups over local and global function fields, II”,
preprint.
6. N. Q. Thang, N. D. Tan (2007), “On an analog of Serre's conjectures,
Galois cohomology and defining equation of unipotent algebraic
groups”, preprint.

Các kết quả trong luận án đã được báo cáo và
thảo luận tại:
-Hôi nghị Đại số-Hình học-Tôpô, Đà Lạt (2003).
-Hội nghị quốc tế về Lý thuyết số và các vấn đề liên quan, Hà Nội (2006).
-Seminar Lý thuyết số, Viện Toán học.
-Seminar Esnault-Viehweg, Đại học Essen, Đức (2006).
-Colloquium Đại học Eichstatt, Đức (2006).
G k
G
k G
k
k G
k G
G =
G

0
> G
1
> · · · > G
n
= 1 G
i
/G
i+1
k
G
a
G(k) k
G
G
G
k
k
G
n
a
≤ 2
k
k
k k G
G
p
≤ 1
p
≤ 1

k p > 0 < p − 1
k
p − 1
p p
k
k G
a
k k
G
2
a
p
F (x, y) := y
p
n
− (x + a
1
x
p
+ · · · + a
r
x
p
r
),
a
i
∈ k
p
n

G {i : a
i
∈ k
p
}
k G
GL
n
k
k G k S
k v ∈ S k
v
k v k

/k
k

s
k

¯
k

k

H
1
(k

, G) := H

1
(Gal(k

s
/k

), G(k

s
))
G ϕ
v
: H
1
(k, G) → H
1
(k
v
, G)
ϕ
S
:=

v∈S
ϕ
v
ϕ
S
: H
1

(k, G) →

v∈S
H
1
(k
v
, G).
k
ϕ
S
k ϕ
S
k
G k
ϕ
S
k
p > 0 k
Γ
Gal(k
s
/k)
G k 1 →
K → G → G/K → 1 k K k
G b = (b
s
)
s∈Γ
G(k

s
) c = (c
s
)
s∈Γ
(G/K)(k
s
)
b
K K b L/k
H
2
(L,
b
K) = 0
b
K
c
(G/K) G
k
k p
H
1
(k, G) H
1
(k
v
, G) v
k
k = F

q
(t) p > 2
G k y
p
= x + tx
p
H
1
(k, G)
p > 0
k S
k G k k
H γ : H
1
(k, G) →

v∈S
H
1
(k
v
, G)
η : H
1
(k, H) →

v∈S
H
1
(k

v
, H) H
S H/G S
k k
G
G
G
ϕ
S
: H
1
fl
(k, G) →

v∈S
H
1
fl
(k
v
, G)
k = F
q
(t) q = p
n
k
v
= F
q
((t)) k v

t
t α
p
k k[T ]/(T
p
)
ϕ
v
: H
1
fl
(k, α
p
) → H
1
fl
(k
v
, α
p
)
k
k
G
k
G k U
k G
H
1
fl

(k, G) → H
1
fl
(k, G/U)
G k S
k
ϕ
S
: H
1
fl
(k, G) →

v∈S
H
1
fl
(k
v
, G)
≤ 1
p
≤ 1
p > 0
x
p
0
+ tx
p
1

+ · · · + t
p−1
x
p
p−1
− x
p−1
= 0.
p = 2 p = 3
k k
G H
1
(k
v
, G)
k
v
= F
q
((t)) q = 2
n
G F
p
(t)
G
2
a
y
2
= x + tx

2
| H
1
(k
v
, G)| = 2
k t k \ k
2
G G
2
a
v
k k
v
k v
| H
1
(k
v
, G)| = 2 H
1
(k, G)
p > 2
k = F
q
(t) v t
k
v
= F
q

((t)), q = p
n
, p > 2 G F
p
(t) G
p
a
x
p
0
+ tx
p
1
+ · · · + t
p−1
x
p
p−1
= x
p−1
. | H
1
(k
v
, G)| = p
k p > 2 t
k \ k
p
G G
p

a
v k H
1
(k
v
, G) = {1} H
1
(k, G)
k
v
= F
q
((t)) q = p
n
, p > 2 G F
p
(t) G
p
a
x
p
0
+ tx
p
1
+ · · · + t
p−1
x
p
p−1

+ x
p−1
= 0.
| H
1
(k
v
, G)| = 1 p) n
k
P p r T
1
, . . . , T
r
P =

1≤i≤r

0≤j≤m
i
c
ij
T
p
j
i
, c
im
i
= 0, ∀i,
P

ch
P P
ch
=

1≤i≤r
c
im
i
T
p
m
i
i
.
k p v
k P p r
k P
ch
=
r

i=1
c
i
T
p
m
i
i

P
(a
1
, . . . , a
r
) ∈ k
r
v(c
i
) + p
m
i
v(a
i
)
C
0
P
a = P (a
1
, . . . , a
r
) v(a) ≤ C
0
v(a) = v(c
i
) + p
m
i
v(a

i
)
i
k p v
k G
p P r
P
ch
=
r

i=1
c
i
T
p
m
i
i
c
i
∈ k
∗
m = min{m
1
, . . . , m
r
}
v(c
1

), . . . , v(c
r
) p
m
r < p
m
H
1
(k, G)
”r < p
m
” ”r ≤ p
m
”
v(c
i
) p
m
≤ 1
≤ 1
k p > 0
α
n
k k[T ]/(T
n
)
r ≥ 1 G k α
p
r
(F

p
)
r
H
1
fl
(k, G)
G k G = (1)
H
1
fl
(k, G)
k p
G k
G
◦
G k
G
a
k
p = 2 G
◦
k
G
a
H
1
fl
(k, G)
k

k G ≤ 1 G
◦
k G
a
k
H
1
fl
(k, G)
p ≥ 2 k = F
p
(t), k
v
=
F
p
((t)) G k
G = Ker(P ) P = a
1
x
p
1
+ · · · + a
n−1
x
p
n−1
+ y
p
∈ k[x

1
, , x
n−1
, y]
{1, a
1
, , a
n−1
} k k
p
, P : G
p
a
→ G
a
G p − 1
p = 2 dim(G) = 1 [k : k
p
] = p
k ≥ 1
k G
(G
a
)
p−1
G
G

F
q

(t)
F
q
((t)) q = p
n
n G
F
q
((t))
a) k
v
= F
q
((t)) q = 3
n
G F
p
(t) G
3
a
G

= {(x
1
, x
2
, x
3
)|x
3

1
+ tx
3
2
+ t
−1
x
3
3
+ x
3
= 0}.
H
1
(k
v
, G

) = 0
b)
k p > 2 a
k 1, a, a
2
k
p
Γ = {(c
1
, c
2
) ∈ G

2
a
|c
p
1
+ ac
p
2
+ ac
1
= 0},
G
1
= {(x, y) ∈ G
2
a
|y
p
− y = ax
p
},
G
2
= {(x
1
, x
2
, x
3
) ∈ G

3
a
|x
p
1
+ ax
p
2
+ a
−1
x
p
3
+ x
3
= 0}.
γ = (c
1
, c
2
) ∈ Γ
ϕ
γ
(x, y) = ϕ
(c
1
,c
2
)
(x, y) = (c

1
x − c
2
y, c
2
x, −c
1
y).
ϕ : Γ → Hom(G
1
, G
2
) γ → ϕ
γ
G := Γ × G
1
× G
2
(γ, g
1
, g
2
)(γ

, g

1
, g

2

) = (γ + γ

, g
1
+ g

1
, g
2
+ g

2
+ ϕ
γ
(g

1
)).
G
G
2
G 1 → G
2
→ G →
G/G
2
→ 1
H
1
(k, G

2
) → H
1
(k, G) → H
1
(k, Γ × G
1
) → 1.
k = F
q
((t)) q = 3
n
a = t a) H
1
(k, G
2
) = 0
H
1
(k, G)  H
1
(k, Γ × G
1
) H
1
(k, G)
H
1
(k, G
1

)
p > 2 H
1
(k, G)
< p − 1
G
a
G
m
k G
k
k G
a
G
m
H
1
(k, G) := H
1
(Gal(k
s
/k), G(k
s
))
p > 0 p − 1
G
H
1
(k, G)
G k

G
K p > 0
< p − 1
G K
H
1
(K, G)
H
1
(K, G)
p − 1
k p
< p − 1
p k < p
G
K p > 0 < p − 1
G K
H
1
(K, G)
H
1
(K, G)
(a) ⇒ (b) H
1
(K, G
a
) = 0
(b) ⇒ (c) (c) ⇒ (b)
G

K H
1
(K, G)
G
K p > 0 < p − 1 G
K H
1
(K, G)
¨u K = F
q
((t)) q = p
l
P = f
1
(T
1
)+
· · · + f
r
(T
r
) p r T
1
, . . . , T
r
K
r
\ {0} S = im P = f
1
(K) + · · · + f

r
(K).
g
1
, . . . , g
s
∈ K[X]
S = g
1
(K) + · · · + g
s
(K)
g
i
d = p
ν
ν
b
1
, . . . , b
s
g
1
, . . . , g
s
v(b
1
), . . . , v(b
s
) {0, 1, . . . , d − 1}

K p > 0
G K
p P r
P
ch
=
r

i=1
c
i
T
p
m
i
i
K
r
\ {0} r < p
m
m = min
i
m
i
H
1
(K, G)
K G K
p
K = F

q
((t)), q = p
ν
K K p − 1
H
1
(K, G) p − 1
K
G
K p > 0 < p − 1
G K
H
1
(K, G)
H
1
(K, G)
K K p
G
K p > 0 G
K p n < p − 1 H
1
(K, G)
K p > 0 G
K < p − 1 F
K n < p
H
1
(K, G) H
1

(K
v
, G)
v K
F K F K
v
v
K F
F
K F
p F a ∈ K
F (T
1
, . . . , T
n
) = a K
n
v
v K
K
p
p > 0
G
k
H
1
(k, G) := H
1
(Gal(k
s

/k), G(k
s
)) Gal(k
s
/k)
k
k
cd(k) ≤ 1 H
1
(k, G) = 0
k G
k
k
cd(k) ≤ 2 H
1
(k, G) = 0
k G
k k
G G = G
0
> G
1
> · · · > G
n
= (1)
k G G
i+1
G
i
i ≥ 0

k
k
p
p k
k G n
k G
n
= G ⊃ G
n−1
⊃ · · · ⊃ G
1
dim G
i
= i
k
G k
≥ k G

G G
G

G k n
k G =
G
n
⊃ G
n−1
⊃ · · · ⊃ G
1
dim G

i
= i G
k
G
i
k
k p
k p
p
H
1
(k, G) = 0 k G
G p
p G cd
p
(G)
n G A q > n
p H
q
(G, A)
cd
p
(G) = 0
G p
k
p G = Gal(k
s
/k)
p
k p > 0 cd

p
(k) :=
cd
p
(Gal(k
s
/k)) p k
cd
p
(k) = 0 H
1
(k, G) = 0 k
G
k cd
p
(k) = 0 H
1
fl
(k, G) = 0
k G
k
k k G H
1
(k, G) = 0
k p > 0
k p
k p
k p
k p
k p

k p
p
p
H
1
(k, G) = 0 k G
1) ⇒ 3) ⇒ 5)
⇑ ⇑ ⇑
2) ⇔ 4) ⇒ 6)
 
8) ⇒ 7) ⇔ 9)
1) ⇐ 3) ⇐ 5)
⇓ ⇓ ⇓
2) ⇔ 4) ⇐ 6)
 
8) ⇐ 7) ⇔ 9)
k p > 0
G
1
, G
2
k
{(x, y) ∈ G
2
a
|y
p
m
= x + a
1

x
p
+ · · · + a
r
x
p
r
, ∃i, a
i
∈ k
p
},
{(x, y) ∈ G
2
a
|y
p
n
= x + b
1
x
p
+ · · · + b
s
x
p
s
, ∃j, b
j
∈ k

p
}.
Hom
k−gr
(G
1
, G
2
) Hom
k−gr
(G
2
, G
1
)
m = n
{i|a
i
∈ k
p
} ≡ {i|b
i
∈ k
p
}.