Đề thi đại số tuyến tính: Đề 5 potx

ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2010-2011
Môn học: Đại số tuyến tính.
Thời gian làm bài: 90 phút. Đề thi gồm 8 câu.
Sinh viên không được sử dụng tài liệu.
HÌNH THỨC THI: TỰ LUẬN. CA 2
Câu 1 : Cho z thỏa phương trình (
√
3 + 2 i) z +
2 + 6 i
1 + i
= 3 iz + ( 3 + i) ( 2 −i) . Tính
10
√
z.
Câu 2 : Cho hai ma trận A =



1 1 1
1 2 1
1 1 2



và B =



−2 1 2
3 0 1
1 4 2




.
Tìm ma trận X thỏa 3 B + AX = I, trong đó I là ma trận đơn vò cấp 3.
Câu 3 : Trong IR
3
, cho tích vô hướng
( x, y) = ( ( x
1
, x
2
, x
3
) , ( y
1
, y
2
, y
3
) ) = 4 x
1
y
1
+ 5 x
2
y
2
+ 2 x
2

y
3
+ 2 x
3
y
2
+ 2 x
3
y
3
.
Tìm khoảng cách giữa hai vécto u = ( 1 , 2 , −1 ) và v = ( 2 , 1 , 3 ) .
Câu 4 : Tìm cơ sở và số chiều của không gian nghiệm của hệ









x
1
+ x
2
− x
3
− 2 x
4

= 0
2 x
1
+ x
2
− 3 x
3
− 5 x
4
= 0
7 x
1
+ 4 x
2
− 8 x
3
− 1 3 x
4
= 0
5 x
1
+ 3 x
2
− 7 x
3
− 1 2 x
4
= 0
Câu 5 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR
3

−→ IR
3
, biết ma trận của f trong cơ sở
E = {( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 1 , 0 ) ; ( 1 , 0 , 1 ) } là A =



1 −1 2
2 3 5
3 7 8



.
Tìm ma trận của f trong cơ sơ E
1
= {( 1 , 2 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) } .
Câu 6 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR
3
−→ IR
3
, biết nhân của f sinh ra bởi hai vécto ( 1 , 1 , 2 ) , ( 1 , 2 , 1 )
và f( 1 , 1 , 0 ) = ( −1 , −1 , 0 ) . Tìm tất cả các trò riêng và vécto riêng của ánh xạ f.
Câu 7 : Đưa dạng toàn phương f( x
1
, x
2
, x
3
) = 2 x

2
1
+ 8 x
2
2
+ 2 x
2
3
−2 x
1
x
2
+ 4 x
1
x
3
+ 6 x
2
x
3
về dạng chính
tắc bằng biến đổi Lagrange (biến đổi sơ cấp). Nêu rõ phép đổi biến.
Câu 8 : Cho ma trận vuông thực A cấp 2, X
1
, X
2
∈ IR
2
là hai vécto cột, độc lập tuyến tính. Biết
A · X

1
= X
2
, A · X
2
= X
1
. Tìm tất cả trò riêng và vécto riêng của A
100
.
CHỦ NHIỆM BỘ MÔN
1