chương 4 giao tuyến của mặt phẳng với các mặt

4.1 Mặt phẳng cắt đa diện
4.1.1.Nhận dạng giao tuyến
4.1.2.Cách vẽ giao tuyến
4.2 Mặt phẳng cắt mặt cong
4.2.1.Nhận dạng giao tuyến
4.2.2.Cách vẽ giao tuyến: Mặt phẳng
cắt mặt nón, trụ, cầu, xuyến.
Chương 4
GIAO TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG
VỚI CÁC MẶT
4.1. Mặt phẳng cắt đa diện
Một cách tổng quát, giao tuyến của một mặt
phẳng với một mặt đa diện là tập hợp các điểm
vừa thuộc mặt phẳng vừa thuộc mặt đó. Tùy theo
từng mặt mà giao tuyến có các dạng khác nhau.
Muốn vẽ được giao tuyến, trước tiên ta phải nhận
dạng được chúng.
* Giao tuyến của một mặt phẳng với một đa diện
thường là một hay nhiều đa giác phẳng có: cạnh là
các giao tuyến của các mặt bên của đa diện với
mặt phẳng cắt và đỉnh là các giao điểm của các
cạnh của đa diện với mặt phẳng cắt.
4.1.1. Nhận dạng giao tuyến (và xét thấy
khuất)
S
R
A
B
C
M
N

P
Q
R
S
M
A
B
C
D
E
M
P
J
H
I
* Cạnh nào thuộc mặt thấy của đa diện là
cạnh thấy, cạnh nào thuộc mặt khuất của đa diện là
cạnh khuất.
4.1.2. Cách vẽ giao tuyến
Để xác định gi ao tuyến của mặt phẳng cắt với đa
diện có 2 cách như sau:
- Xác định các đỉnh của giao tuyến bằng cách tìm
các giao điểm của các cạnh của đa diện với mặt
phẳng cắt và mỗi cặp đỉnh cùng thuộc một mặt của
đa diện ta sẽ được một cạnh của giao tuyến.
- Xác định các cạnh của giao tuyến bằng cách tìm
các giao tuyến của các mặt bên của đa diện với
mặt phẳng cắt.
Như vậy vấn đề vẽ giao tuyến của một mặt phẳng
với mặt đa diện về thực chất chính là vấn đề vẽ

giao tuyến của hai mặt phẳng, hoặc vẽ giao điểm
của một đường thẳng với một mặt phẳng.
4.1.3. Các ví dụ
B
1
S
1
A
1
C
1
C
2
B
2
A
2
S
2
D
1
D
2
v
1
Q
Ví dụ 1: Vẽ giao tuyến của
mặt phẳng chiếu đứng Q
với hình chóp SABCD
Giải: Xác định các đỉnh

của đa giác giao tuyến là
các giao điểm của các
cạnh: BA, BC, SA, SC,
SD với P.
Lưu ý: Hai giao điểm
của các cạnh: BA, BC
với P nằm trên đường
thẳng chiếu đứng. Vì Q
P
1
và (ABCD) P
1
.
Ví dụ 2: Vẽ giao tuyến của mặt phẳng chiếu bằng Q
với hình chóp SABC
B
1
S
1
A
1
C
1
C
2
B
2
A
2
S

2
v
2
Q
Giải: Xác định các
đỉnh của giao tuyến
là các giao điểm của
các cạnh: BA, SB,
BC với Q.
Ví dụ 3: Vẽ giao tuyến của mặt phẳng Q(v
1
Q, v
2
Q)
với lăng trụ chiếu bằng abc.
Giải: Xác định các
đỉnh của đa giác giao
tuyến là các giao điểm
sau: M=aQ, N=bQ,
P=cQ. Các cạnh bên
lăng trụ là các đường
thẳng chiếu bằng nên
dễ dàng tìm được hình
chiếu bằng của giao
điểm.
b
1
c
1
a

1
v
1
Q
v
2
Q
c
2
b
2
x
a
2
b
1
c
1
a
1
v
1
Q
v
2
Q
M
2
a
2

P
2
c
2
N
2
b
2
K
1
K
2
I
1
I
2
J
1
J
2
N
1
P
1
M
1
x
- Vì MP  Q
nên từ M
2

P
2
ta dễ
dàng tìm được
M
1
P
1
thông qua
vết của MP.
- Vì MN  Q
nên từ M
2
N
2
ta dễ
dàng tìm được
vết bằng của nó
là J. và có được
JM, và N
1
=
M
1
J
1
b
1
.
Ví dụ 4: Vẽ giao tuyến của mặt phẳng P với mặt

chóp SABC.
1
vP
2
v P
Giải: Tìm giao điểm
các cạnh của đa diện
với mặt phẳng cắt P
bằng cách dùng các
mặt phẳng phụ trợ
chứa các cạnh của đa
diện.
4.2. Mặt phẳng cắt mặt cong
* Dạng giao tuyến:
Nói chung, giao tuyến của một mặt phẳng với một
mặt cong là một đường cong phẳng. Nếu mặt
cong là mặt đại số bậc n thì giao tuyến là đường
cong đại số bậc n. Nếu mặt cong là mặt kẻ thì
giao tuyến có thể là các đường thẳng (đó là các
đường sinh của mặt cong) hoặc là một đường
cong.
*Cách xác định giao tuyến (Tổng quát):
Muốn vẽ giao tuyến e của mặt phẳng Q với
một mặt cong , người ta làm như sau:
2. Xác định các điểm
đặc biệt của giao tuyến e
như: điểm giới hạn phần
thấy, khuất trên các hình
chiếu; điểm cao nhất; điểm
thấp nhất; điểm gần nhất;

điểm xa nhất;…
1. Xác định dạng của giao tuyến e và đi tìm các
yếu tố xác định e ( tâm, bán kính đường tròn; trục
ngắn, trục dài của elíp;… ).
Để tìm các điểm thuộc giao tuyến e, ta
thường làm như sau:
1.Cắt  và Q bằng một mặt phẳng phụ trợ R.
2.Tìm các giao tuyến phụ: g = R , m = R Q.
3.Tìm các giao
điểm của hai giao
tuyến phụ: A, B,…=
gm.
Ta sẽ có các điểm:
A, B,… e.
Mặt cong 
Mặt phẳng Q
Mặt phẳng R
Chọn mặt phẳng phụ trợ thế nào?
Ta chọn Mặt phẳng phụ trợ R sao cho giao
tuyến phụ g = R

dễ vẽ, các giao điểm của
hai giao tuyến phụ m và g có thể xác định
chính xác
* Trường hợp đặc biệt:
- Khi mặt cắt Q là mặt phẳng chiếu thì
một hình chiếu của giao tuyến e suy biến
thành đoạn thẳng, để tìm hình chiếu còn lại
ta gắn các điểm cần tìm của e vào các
đường đặc biệt của mặt cong.

- Khi mặt trụ là mặt chiếu thì một hình
chiếu của giao tuyến e suy biến và trùng với
hình chiếu suy biến của mặt trụ, để tìm hình
chiếu còn lại ta gắn các điểm cần tìm của e
vào các đường thẳng đặc biệt của mặt
phẳng Q ( ví dụ: đường dốc nhất, đường
bằng, đường mặt ).
Mặt khác, ta cũng có thể thực hiện như sau:
Chọn trên mặt mặt cong  những đường dễ vẽ
và tìm các giao điểm của chúng với mặt phẳng
cắt đã cho.
Mặt cong 
Mặt phẳng Q
Ví dụ: trên mặt mặt
cong  ta chọn những
đường tròn có mặt phẳng
vuông góc với trục quay
hoặc các đường cong nẳm
trong mặt phẳng chiếu,
tìm các giao điểm của
những đường cong này
với MPQ chính là điểm
thuộc giao tuyến e.
4.2.1. Mặt phẳng cắt mặt trụ
1.Nhận dạng giao tuyến
Giao tuyến của một mặt phẳng với mặt trụ có
đường chuẩn là một đường tròn có thể là một
trong ba dạng như sau:
- Là một đường thẳng nếu
mặt phẳng tiếp xúc với mặt

trụ.
- Hai đường thẳng nếu mặt
phẳng cắt đường chuẩn tại
hai điểm và song song với
đường sinh của trụ.
m
m
n
- Giao tuyến là một elip
hoặc một đường tròn nếu
mặt cắt không song song
với đường sinh của mặt trụ.
e
2. Các ví dụ về xác định giao tuyến:
Ví dụ 1 : Tìm giao tuyến
của mặt phẳng Q(v
1
Q, v
2
Q)
với hình trụ tròn xoay,
trục là đường thẳng chiếu
bằng
v
1
Q
v
2
Q
x

v
1
Q
v
2
Q
K
1
K
2
I
1
I
2
x
b
2
A
2
D
2
C
2
F
2
E
2
G
2
m

2
B
2
n
2
k
2
k
1
m
1
b
1
O
2
E
1
A
1
D
1
F
1
B
1
C
1
G
1
O

1
Giải: - Nhận dạng giao
tuyến: Vì Q không // trục
hình trụ (t) nên giao
tuyến e là một elip.
- Hình chiếu bằng e
2
của
giao tuyến suy biến thành
đường tròn trùng với
đường chuẩn của trụ.
-Tâm O của giao tuyến:
O=tQ; O
2
 t
2
.
* Tìm các điểm đặc trưng
của giao tuyến bằng cách
tìm các giao điểm của
đường thẳng đặc biệt
thuộc mặt phẳng với
mặt trụ.
v
1
Q
v
2
Q
K

1
K
2
I
1
I
2
x
b
2
A
2
D
2
C
2
F
2
E
2
G
2
m
2
B
2
n
2
k
2

k
1
m
1
b
1
O
2
E
1
A
1
D
1
F
1
B
1
C
1
G
1
O
1
- Đường thẳng n(O)v
2
Q
là đường dốc nhất của
mặt phẳng Q và chứa trục
dài AB của e, do đó điểm

A là điểm cao nhất, B là
điểm thấp nhất của e.
- Đường bằng b chứa trục
ngắn CD của e lip.
- Đường mặt m chứa trục
EF, hai điểm E, F là hai
điểm giới hạn thấy khuất
trên hình chiếu đứng của
e.
Khi đó hình chiếu đứng e
1
của giao tuyến là một elip
có hai đường kính liên
hợp là A
1
B
1
và C
1
D
1
.
4.2.2. Mặt phẳng cắt mặt nón
1.Nhận dạng giao tuyến
Giao tuyến của một mặt phẳng với mặt nón có
đường chuẩn là một đường tròn có thể là một
trong các dạng sau:
- Hai đường thẳng
nếu mặt phẳng đi
qua đỉnh nón và cắt

đường chuẩn
- Một đường thẳng nếu
mặt phẳng tiếp xúc với mặt
nón.
- Một đường elip nếu mặt
phẳng không đi qua đỉnh và
cắt tất cả các đường sinh.
- Một đường tròn nếu mặt
phẳng đã cho song song với
mặt phẳng đáy nón.
- Một Parabol nếu mặt
phẳng cắt chỉ song song với
một đường sinh duy nhất.
- Một hypebol nếu mặt
phẳng cắt song song với hai
đường sinh của nón.
Q
1
v
1
Q
S
1
B
2
S
2
B
1
A

1
C
1
 D
1
C
2
D
2
A
2
2.Cách vẽ giao tuyến
Ví dụ 1: Vẽ giao tuyến của mặt
phẳng chiếu đứng Q với mặt nón
tròn xoay đỉnh S có trục là
đường thẳng chiếu bằng.
Giải:
- Nhận dạng: Giao tuyến là một
elip vì mặt phẳng Q cắt tất cả các
đường sinh.
- Hình chiếu đứng của elip này
là đoạn thẳng A
1
B
1
.
- Hình chiếu bằng là elip có trục
là: A
2
B

2
và C
2
D
2
. C
2
, D
2
được xác
định nhờ gắn C, D vào đường sinh
hoặc đường tròn có mặt phẳng //
đáy của mặt nón.
Ví dụ 2: Vẽ giao tuyến của mặt
phẳng chiếu đứng Q với mặt nón
tròn xoay đỉnh S có trục là đường
thẳng chiếu bằng, với Q song song
với một đường sinh SJ.
Giải:
- Nhận dạng: Giao tuyến là
một Parabol vì mặt phẳng Q//SJ.
- Hình chiếu đứng suy biến,
là đoạn thẳng A
1
G
1
.
- Hình chiếu bằng là Parabol.
Q
1

v
1
Q
S
1
B
2
J
2
A
1
C
1
B
1
G
2
D
2
A
2
D
1
E
1
G
1
H
1
E

2
C
2
H
2
S
2
J
1