Đề thi vào lớp 10 chuyên toán

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

1
đề thi vào lớp 10 chuyên tỉnh hảI hng
Năm học: 1996 1997
Thời gian: 180 phút

Câu 1: Cho f(x) = x
2
2(k - 1)x + 2k 5.
a) Cho k = 2. Tìm nghiệm của f(x).
b) Với giá trị nào của k thì f(x) có nghiệm ?
c) Tìm k để f(x) có hai nghiệm là hai số đối nhau.
Câu 2: Cho P =
3
2
64
2
2



x
x
xx

a) Chứng minh P dơng với mọi x.
b) Tính P với x = 3; x = -2
c) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P.

Câu 3: Cho hệ phơng trình





21
3
yx
myx

a) GiảI hệ với m = 2.
b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.
Câu 4: Cho đờng tròn tâm O và A ở ngoàI đờng tròn. Từ A kẻ các tiếp tuyến AB, AC
và cát tuyến ADE, gọi F là trung đIểm của dây DE.
a) Chứng minh 5 đIểm A, B, F, O, C cùng nằm trên một đờng tròn.
b) BF cắt đờng tròn tại K. Chứng minh DCKE là hình thang cân.
Câu 5: Tam giác ABC cân tại A có 4S
ABC
= AC
2
. Tính các góc của tam giác.
Câu 6: Cho a, b, c, d dơng. Chng minh bất đẳng thức:
)(
3
1
2222
dcba
c
b

a
d
b
a
d
c
a
d
c
b
d
c
b
a

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

2



đề thi vào lớp 10 chuyên tỉnh hng yên
Năm học: 1997 1998
Thi ngày: 28/7/1997
Thời gian: 180 phút

Câu 1: Cho A =
a
a
a
a
aa
a

3
12
2
3
65
92

a) Rút gọn A.
b) Tìm a để
.1A

c) Tìm các số nguyên a để giá trị của biểu thức A nguyên dơng.
Câu 2:
a) Cho phơng trình bậc hai x
2
(2m + 1)x + m
2
+ 2 = 0 (m

R là tham số). Hãy
xác định m để x
1

2
+ x
2
2
nhỏ nhất ( x
1
, x
2
là nghiệm của phơng trình).
b) Giải phơng trình:
4124 xx
.
c) Xác định các giá trị của tham số m để phơng trình sau có đúng 3 nghiệm:
mxx 2)1(
2

Câu 3: Cho đoạn thẳng AB và điểm I tuỳ ý thuộc đoạn thẳng AB. Trong cùng nửa mặt
phẳng bờ là đờng thẳng AB dựng các hình vuông AIEF và IBMN. Hai đờng thẳng AN
và BE cắt nhau ở J.
a) Chứng minh AN vuông góc với BE, suy ra điểm I nằm trên hai đờng tròn
ngoại tiếp các hình vuông AIEF và IBMN.
b) Chứng minh 3 đIểm F, J, M thẳng hàng và IJ vuông góc với FM tại J.
c) Chứng minh rằng khi Idi động trên đoạn AB thì đờng thẳng IJ đi qua một
điểm cố định.
Câu 4: Cho các số a, b, c, d thoả mãn điều kiện: 1

a

b

c

d

4.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M =
d
c
b
a

.







www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

3

đề thi vào lớp 10 chuyên tỉnh hng yên
Năm học: 1997 1998
Thi ngày: 29/7/1997 (Vòng 2)
Thời gian: 150 phút

Câu I: 1) Cho a + b + c = 0 và abc

0. Tính số trị của biểu thức:
H =
222222222
111
c
b
a
b
a
c
a
c
b

2) Cho a > 0 và
7
1
2
2

a
a
. Chứng minh rằng số:
8
8
1
a
a
là số nguyên. Tìm số
đó.
Câu II:
1)Tìm các giá trị nguyên dơng của m sao cho phơng trình
x38
= 5 - m có
nghiệm nguyên dơng.
2) Giải và biện luận bất phơng trình: mx+ 9 > m
2
+3x ( m là tham số )
Câu III:
Cho tamgiác ABC có góc A bằng hai lần góc C, BC = a, CA = b, AB = c.
1) Chứng mimh b
2
= c
2

+ ac.
2)Tính a, b, c nếu các số đo ấy là 3 số tự nhiên liên tiếp.
Câu IV:
Cho tam giác ABC. Lấy A, B, C lần lợt ở trên các cạnh BC, CA, AB sao cho:
k
B
C
AC
A
B
CB
C
A
BA

'
'
'
'
'
'

Xác định k để tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu V:
Các số nguyên không âm a, b, c, d thoả mãn điều kiện:

622
36432
222
2222
dba
dcba

Xác định a, b, c, d để biểu thức P = a
2
+ b
2
+ c
2
+d
2
đạt giá trị nhỏ nhất.


www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

4

đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên
Năm học: 2003 2004
Lớp: Toán 1, Toán 2
Thời gian: 150

Câu 1: (2 đIểm)
Cho A =
2
)1(
1
133



x
x
xxxx

B =
1
1
22


xxxx

xxxx

a) Rút gọn A và B.
b) So sánh Avà B.
Câu 2: (2 điểm)
Cho hệ





12
2
ayx
ayax

a) GiảI hệ phơng trình khi a =
2
.
b) Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất sao cho x - y = 1
Câu3: ( 2 điểm )
Trên quãng đờng AB dài 60 km, ngời I đi từ A đến B, ngời II đi từ B đến A.
Họ khởi hành cùng một lúc và gặp nhău tại C sau khi khởi hành 1 giờ 22 phút. Từ C
ngời I đi tiếp đến B với vận tốc giảm hơn trớc 6 km/h, ngời II đi tiếp đến A với vận
tốc nh cũ. Kết quả ngời I đến nơi sớm hơn ngời II là 48 phút. Tính vận tốc mỗi
ngời.

Câu 4: ( 3 điểm )
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = c và AC = b. Gọi I là trung điểm của BC.
Điểm D di động trên cạnh BC. Trung trực của AD cắt trung trực của AB , AC theo thứ tự

tại E, F.
a)Chứng minh rằng năm điểm A, E, I, D, F cùng thuộc một đờng tròn.
www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

5
b)Tam giác AEF và tam giác ABC đồng dạng.
c)Xác định vị trí của D để tam giác AEF có diện tích bé nhất? Tìm giá trị bé nhất
đó theo b và c.
Câu 5: ( 1 điểm )
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi M là trung điểm đờng cao SO của hình
chóp, E là trung điểm của BC. Gọi H,K thứ tự là hình chiếu của M trên SE,SC. Tính
cạnh của hình vuông đáy và thể tích hình chóp biết MH = 4cm, MK = 5 cm.






đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên
Năm học: 2003 2004
Lớp: Toán 1, Toán 2, Hoá
Thời gian: 150


Câu 1: ( 2 điểm )
Xét biểu thức: M = (
yx
xyyx

yx
yx
yx
yx







233
)(
:)

a) Rút gọn M.
b) Chứng minh M

0.
c) So sánh M với
M
.
Câu 2: (2 điểm) Giải các phơng trình sau:
a) (5 -
2
)x
2
10x + 5 +
2
= 0

b) (x
2
5x + 7)
2
4x
2
+ 20x 25 = 0.
Câu 3: (2 điểm)
Nếu hai tổ học sinh cùng làm vệ sinh một sân trờng thì sau 12 giờ 30 phút sẽ
xong. Nếu để tổ thứ nhất làm trong 20 phút và tổ thứ hai làm trong 15 phút thì đợc
5
1

sân trờng. Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì phải bao lâu mới xong?
Câu 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC (AB < AC) nhọn nội tiếp đờng tròn (O ; R) và trực tâm là H.
M là một điểm chuyển động trên cung BC không chứa điểm A. Gọi A , B , C lần lợt
là hình chiếu của M trên BC, AC, AB.
a) Chứng minh rằng tứ giác MCBA và MABC nội tiếp đợc.
b) Xác định vị trí của M để tứ giác BHCM là hình bình hành.
www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

6
c) Gọi N và E lần lợt là các điểm đối xứng của điểm M qua các đờng thẳng
AB và AC. Chứng minh 3 đIểm N, H, E thẳng hàng.
d) Xác định vị trí của M để NE có độ dài lớn nhất.
Câu 5: (1 điểm)
Cho tam giác ABC (AB = BC = CA = a ), đờng thẳng d vuông góc với mặt phẳng

(ABC) tại trọng tâm G của tam giác ABC. Trên d lấy điểm S sao cho SG = 2a.
a) Chứng minh SA = SB = SC.
b) Tính tổng diện tích các mặt của tứ diện.








đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên hng yên
Năm học: 2003 2004
Dành cho lớp: Lý, Sinh
Thời gian: 150 phút

Câu 1: (2 điểm)
Cho biểu thức: Q =
.
3
12
2
3
65
92
x
x
x
x
xx

x









a) Rút gọn Q.
b) Tìm các giá trị của x để Q < 1.
c) Tìm các giá trị x

Z sao cho Q

Z.
Câu 2: (2 điểm)
Cho phơng trình x
2
10x m
2
= 0 (1)
a) Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi giá trị
của m

0.
b) Chứng minh rằng các nghiệm của phơng trình (1) là nghịch đảo các nghiệm
của phơng trình của phơng trình m
2

x
2
+ 10x 1 = 0 (2) trong trờng hợp
m

0.
c) Với các giá trị nào của m phơng trình (1) có các nghiệm thoả mãn điều kiện
6x
1
+ x
2
= 5.
Câu 3: (2 điểm)
Hai tỉnh A và B cách nhau 180 km. Cùng một lúc, một ôtô đi từ A đến B và một
xe máy đi từ B về A. Hai xe gặp nhau tại thị trấn C. Từ C đến B ôtô đi hết 2 giờ, còn từ
www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

7
C về A xe máy đi hết 4 giờ 30 phút. Tính vận tốc của xe ôtô và xe máy biết rằng trên
đờng AB hai xe chạy với vân tốc không đổi.
Câu 4: (4 điểm)
Cho tam giác ABC (AB > AC) nội tiếp đờng tròn tâm O, tia phân giác trong của
góc A cắt cạnh BC tại E và cắt đờng tròn tại M.
a) Chứng minh rằng OM vuông góc với BC.
b) Dựng tia phân giác ngoàI Ax của góc A, cắt đờng tròn tại N. Chứng minh ba
điểm O, M, N thẳng hàng.
c) Kéo dài Ax cắt CB kéo dài tại F, chứng minh rằng FB. EC = FC. EB.
d) Gọi giao điểm của OM và BC là I. Chứng minh rằng góc AMI bằng góc CFA

và góc AIO bằng góc MFA.




đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên hng yên
Năm học: 2003 2004
Dành cho lớp: Văn, Sử, Địa, Ngoại ngữ
Thời gian: 150 phút

Câu 1: (2 điểm)
a) Tính: A = 10:)450320055015(
b) Rút gọn biểu thức: B =
)
1
1)(
1
1(






a
aa
a
aa
, với a > 0 và a

1.
Câu 2: (2 điểm)
Hai đội công nhân cùng làm một công việc thì làm xong trong 4 giờ. Nếu mỗi đội
làm một mình để làm xong công việc ấy, thì đội thứ nhất cần thời gian ít hơn so với đội
thứ hai là 6 giờ. Hỏi mỗi đội làm một mình công việc ây trong bao lâu?
Câu 3: (2 điểm)
Cho hàm số
4
2
x
y (P) và hàm số y = x + m (D).
a) Vẽ đồ thị của hàm số (P).
b) Với giá trị nào của m thì đờng thẳng (D) không cắt Parabol (P), cắt (P) tại hai
điểm phân biệt, tiếp xúc với (P).
Câu 4: (4 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, cân tại đỉnh A và nội tiếp đờng tròn (O; R) .
Hai đờng cao BD và CE gặp nhau tại H. Vẽ đờng kính AI.
a) Chứng minh rằng H nằm trên AI.
b) Chứng minh rằng tứ giác BHCI là hình thoi.
c) Dựng tam giác ABC nói trên biết R = 2,5 cm và trực tâm H cách A là 3 cm.
www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

8
d) Tính diện tích tam giác cân ABC vừa dựng đợc.

đề thi vào lớp 10 chuyên tỉnh hng yên
năm học: 2001-2002
Môn thi: toán ( lớp toán vòng 2)
Thời gian :150 phút

Câu1: ( 2đ )
Giải phơng trình:
2
1
2
3


x
x
=
5
2

Câu 2: ( 2đ )
Tìm tất cả các số có ba chữ số chia hết cho 11 sao cho thơng số bằng tổng các
bình phơng các chữ số của số ấy.
Câu3: ( 3 đ )
Cho a, b, x, y là các số thực dơng thoả mãn điều kiện:
A + b = 1; ax + by = 2; ax
2
+ by
2
= 3.
Chứng minh rằng: 4 < ax
33
by
< 4,5.
Câu 4: ( 3đ )
Cho tam giác ABC, kẻ các đờng cao AH, BI, CK. Vẽ đờng tròn tâm A bán kính
AH. Gọi B, C là hai điểm nằm trên đờng tròn sao cho HC

AB; HB

AC. Chứng
minh rằng B, I, K, C thẳng hàng.



www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

9




















Đề THI VàO LớP 10 chuyên tỉnh hng yên
Năm học 2004-2005
Môn : Toán ( dành cho lớp chuyên Toán Tin )
Thời gian: 150 phút
Bài 1: ( 2đ )
Rút gọn biểu thức:
1) A =
20042200522003.5122935

2)
1252.549
4
aa


Bài 3: ( 2đ )
1) Cho
2
111

b
a
, chứng minh ít nhất một trong hai phơng trình sau phải có
nghiệm x
2
+ ax + b = 0 (1) và x
2
+ bx +c = 0 (2)
2) Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức:
7
12
22



yx
yx

Bài 3: ( 2đ )

1) Giải phơng trình:
2005.200420052005
2244
xxxx

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

10
2) Giải hệ phơng trình:







01554848)32(4
93
24
2
xyyxy
yx

Bài 4: ( 3đ )
Cho đờng tròn tâm I, bán kính r nội tiếp tam giác ABC vuông tại A và P, E, F lần
lợt là các tiếp điểm của đờng tròn này với các cạnh AB, AC, BC. Đờng thẳng AI cắt
EF ở D và BC ở K.
1) Chứng minh tứ giác BFDP nội tiếp.

2) M là một điểm nằm giữa hai điểm B và C, Gọi P và Q tơng ứng là
hình chiếu của M trên AB và AC Đặt S
SABC


. Hãy xác định vị trí
của M trên BC để tứ giác APMQ có diện tích lớn nhất. Tìm giá trị lớn
nhất đó theo S.
3) Cho AB = c, AC = b, AK = d. Chứng minh
c
b
d
112


Bài 5: ( 1đ )
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD với các đờng chéo đáy và các cạnh bên cùng
bằng 3a. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SDC ).


đề thi vào lớp 10 chuyên tỉnh hng yên
năm học: 2004-2005
Môn thi: Toán ( dành cho các lớp tự nhiên)
Thời gian: 150 phút

Bài 1: ( 2đ )
1) Tính số trị của biểu thức:
A =
2
2

1
12
xx
xa


với x =
)(
2
1
a
b
b
a

và a > 0, b > 0.
2) Phân tích thành nhân tử: ab ( a+b ) + bc ( b+c ) + ca ( c + a ) + 2abc
Bài 2: ( 2đ )
1) So sánh A =
20052003
và B = 2
2004

2)Tìm số d cuối cùng của phép chia đa thức:
)1(:)1(
22005200420032002
xxxxx

Bài 3: ( 2đ )
Cho phơng trình bậc hai có ẩn x:

x
2
mx + m 1 (*) ( m là tham số )
1) Chứng tỏ phơng trình (*) có nghiệm x
1
, x
2
với mọi m: tính nghiệm kép ( nếu
có ) của phơng trình và giá trị m tơng ứng.
www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

11
2) Đặt A = x
1
2
+ x
2
2
6 x
1.
. x
2

a) Chứng minh A = m
2
8m + 8.
b) Tìm m sao cho A =8.
c) Tính giá trị nhỏ nhất của A và giá trị tơng ứng của m.

Bài 4: ( 3 đ )
Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB = AC = a, trung tuyến AD, M là một
điểm di động trên AD. Gọi N và P lần lợt là hình chiếu vuông góc của M trên các cạnh
AB, AC; PD cắt tia Bx vuông góc với AB ở điểm E. Gọi H là hình chiếu của đIểm N
trên PD.
1) Chứng minh ba điểm P, M, H thẳng hàng.
2) Xác định vị trí điểm M để cho tam giác AHB có diện tích lớn nhất. Tính giá trị
lớn nhất đó theo a.
3) Chứng tỏ rằng khi M di động, đờng thẳng HN luôn đi qua một điểm cố định.
Xác định vị trí của M để độ dài đoạn thảng HN dài nhất.
Bài 5: ( 1đ )
Cho tứ diện S.ABC, chân đờng cao hạ từ S xuống mặt phẳng ( ABC ) trùng với
tâm O của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
a) Chứng minh SA = SB = SC.
b) Trong trờng hợp ABC là tam giác đều có cạnh bằng 18 cm và SO = 14cm.
Hãy tính diện tích toàn phần và thể tích của hình tứ diện.