Chuyên đề luyện thi đại học - cao đẳng môn Toán: Chuyên đề ôn thi Đại học về số phức

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI
ĐẠI HỌC VỀ SỐ PHỨC
Chuyên đề luyện thi đại học về số phức
Nguyễn Đức Toàn Thịnh – GV trường THPT Trung Giã “Khó hôm nay, dễ ngày mai”
Trang 1
Tính giá trị biểu thức:
1. Gọi z
1
, z
2
là hai nghiệm phức của phương trình: z
2
+ 4z + 13 = 0. Tính giá trị của biểu thức:
A = z
1
.z
2
+ |z
1

|
2
+ |z
2
|
2

( )( )
2
2
2
121
11 zzzzB ++−−=

2. Gọi z
1
, z
2
là nghiệm phức của phương trình: z
2
– 4z + 5 = 0. Tính: A = (z
1
– 1)
2011
+ (z
2
– 1)
2011.

3. Cho z

1
, z
2
là các nghiệm phức của phương trình: 2z
2
– 4z + 11 = 0. Tính giá trị:
( )
2
21
2
2
2
1
zz
zz
A
+
+
=
.
4. Cho phương trình: z
3
– 5z
2
+ 16z – 30 = 0 (1). Gọi z
1
, z
2
và z
3

lần lượt là 3 nghiệm của phương trình
(1) trên tập số phức. Tính giá trị biểu thức:
2
3
2
2
2
1
zzzA ++=
.
5. Cho hai số phức z, z’ thoả mãn: |z| = |z’| = 1 và
3' =+ zz
. Tính giá trị biểu thức: A = |z – z’|.
Trong mặt phẳng Oxy, tập hợp các điểm biểu diễn số phức:
6. Trong mp Oxy, tìm quỹ tích các điểm biểu diễn số phức w = z – 1 + i thoả mãn:
121
2
+=−+ ziz

7. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thoả mãn: a) |z + 1 + i| = |z(1 – i)|. b)
0
2
=+ zz

8. Cho số phức z
1
thoả mãn:
( )
( )
2

3
1
1
21
i
i
z
+
+
=
. Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn: |z + z
1
| = 4
9. Tìm tập hợp điểm M trong mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức
( )
231
1
++= ziz
, biết rằng: |z - 1| = 2.
10. Trong mặt phẳng phức Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w=(1 + i)z+1 biết
11z −≤

11. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = (z + i)(2 + i), trong đó z là số phức thỏa |z - 2| = 3.
Môđun của số phức nhỏ nhất hoặc lớn nhất:
12. Tìm số phức z thoả mãn đồng thời hai điều kiện:
izz 34 −+=
và biểu thức A = |z + 1 – i| + |z –2+3i|
có giá trị nhỏ nhất.
13. Trong các số phức z thoả mãn điều kiện:
( )

12
1
1
=+
−
+
i
zi
. Tìm số phức z có mô đun nhỏ nhất, lớn nhất.
14. Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất thoả mãn điều kiện: a) |iz – 3| = |z – 2 – i| b) |z + 1 + 2i| = 1
15. Tìm số phức z thoả mãn
( )
( )
izz 21 +−
là số thực và |z| nhỏ nhất.
16. Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất thoả mãn điều kiện: a)
izzz 212 +−=−
b)
1
3
51
=
−+
−+
iz
iz
.
17. Trong tất cả các số phức z thoả mãn: |z – 2 + 2i| = 1, hãy tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.
Tìm phần thực, phần ảo:
18. Tìm phần thực, phần ảo của số phức z = (1 + i)

n
, trong đó n ∈ N và thoả mãn: log
4
(n-3) + log
5
(n+6) =4
19. Tìm phần thực, phần ảo, môđun và số phức liên hợp:
1)
( )
( )
12
16
1
3
i
i
z
+
+
=
2) z =
( )
( )
5
10
10
(1 ) 3
13
ii
i

−+
−−
3)
( )
( )
2011
2012
3
1
i
i
z
+
+
=
4)
( )
6
31 iz −=
5) z=
( )
10
3
i−

Tìm số phức z thoả mãn điều kiện cho trước:
20. Tìm số phức z thoả mãn: a)
ziiz −=
− 13
và

2
9
−z
là số thuần ảo. b)
1
3
1
=
−
−
z
z
và
2
2
=
+
−
iz
iz
.
21. Tìm số phức z thoả mãn: a)
i
z
z
z
71
200
2
4

−
−=+
b)
3
5
8
12
=
−
−
iz
z
và
1
8
4
=
−
−
z
z
c)
( )
2
1
31
z
i
ziiz
=

+
+−

22. Tìm số phức z thoả mãn điều kiện: |z – 2 + i| = 2, biết z có phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị.
23. Tìm số phức z thoả mãn: a)
izziz 22 +−=−
và
4)(
22
=− zz
. b)
8.2
2
2
=++ zzzz
và
2
=+
zz

24. Tìm số phức z thoả mãn điều kiện:
iziz +−=+ 12
và
iz
iz
2
1
+
−+
là một số thuần ảo.

25. Tìm số phức z thoả mãn điều kiện: 1)
( )
2621 =+− iz
và
25. =zz
. 2)
( )
izzzz 413. −=−+

Chuyên đề luyện thi đại học về số phức
Nguyễn Đức Toàn Thịnh – GV trường THPT Trung Giã “Khó hôm nay, dễ ngày mai”
Trang 2
26. Cho các số phức: z
1
= 1 + 2i, z
2
= 3 – 4i. Xác định số phức z ≠ 0 thoả mãn: z
1
.z là số thực và
1
2
=
z
z
.
27. Tìm số phức z thoả mãn: a)
( )
( )
izz 21 +−
là số thực và

22=z
. b)
13. =zz
và |z – 4| + |z + 4| = 10
28. Tìm số phức z thoả mãn:
iziz 43|21| ++=−+
và
iz
iz
+
− 2
là một số thuần ảo.
29. Tìm số phức z thỏa mãn: 1)
( )
1 2 5 . 34z i va z z+− = =
2)
15z −=
và
17( ) 5 0z z zz+− =
3)
3
zz
=

Hai số phức bằng nhau:
30. Tìm các số thực x, y thoả mãn: 1) x(3 + 5i) + y(1 – 2i)
3
= 7 + 32i. 2)
( )
( )

iiy
i
ix
41121
32
23
3
+=−+
+
−

31. Tìm môđun của số phức z, biết: 1)
( )
iziz 2125314 +=++
. 2)
( )
i
z
zi
z
i
−+
−
=
−
2
.321
2
.
32. Giải phương trình trên tập số phức: 1) (z

2
+ z)
2
+ 4(z
2
+ z) – 12 = 0 2)
( )
( )
0
22
=−+ zziz

3) |z| - iz = 1 – 2i 4) z
3
+ 2z – 4i = 0 5) (z
2
– z)(z + 3)(z + 2) = 10 6)
( )
52
2
4
−= zzz

7) z
4
– z
3
+ 6z
2
– 8z – 16 = 0 a)

8
35
542
2
=−+ zzz
b)
i
z
z 68
25
−=+

33. Giải phương trình trên tập số phức, biết phương trình có nghiệm thực: 2z
3
– 5z
2
+ (3 + 2i)z + 3 + i = 0.
34. Chứng minh rằng phương trình z
4
- 4z
3
+ 14z
2
- 36z + 45 = 0 có 2 nghiện thuần ảo. Tìm tất cả nghiệm.
35. Tìm phần thực, phần ảo của số phức: z = 1 + (1 + i) + (1 + i)
2
+ (1 + i)
3
+ … + (1 + i)
20

.
36. Tìm phần thực, phần ảo của số phức z thoả mãn: z = 1 + 2i + 3i
2
+ 4i
3
+ … + 2009i
2008
.
37. Cho số phức z thoả mãn: |z| = 1 và
2=+
z
i
z
. Tính tổng: S = 1 + z
2
+ z
4
+ … + z
2010
.
38. Tìm phần thực, phần ảo của số phức:
( ) ( ) ( ) ( )
3000963
3 333 iiiiz −++−+−+−=

39. Chứng minh số phức sau là số thực:
i
i
i
i

z
32
323
32
323
−
+−
+
+
+
−=

40. Tìm các số thực x, y thỏa mãn: (x + i)(1 – yi) + (x – i)(y + i) = 6 – 2i.
41. Tìm phần thực của số phức z = (1 + i)
n
, với n ∈ N
*
và n là nghiệm của:
( ) ( )
39log3log
44
=++− nn

42. Tìm số phức z có mô đun lớn nhất, biết z thỏa mãn điều kiện:
2
2
3
=
+−
+−

iz
iz

43. Tìm phần thực, phần ảo của số phức z = 1+ (1 + i) + (1 + i)
2
+ (1 + i)
3
+ … + (1 + i)
20
.
44. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: z + 1 = i
2011
+ i
2012
. Tìm môđun của số phức:
ziz +

45. Tìm phần thực, phần ảo của số phức z, biết rằng:
32 +=− ziz
và |4z – 8 – 9i| nhỏ nhất.
46. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện:
2
18
1
−
−
=−
z
z
z

. Tính:
iz
iz
2
4
−
+

47. Cho z là số phức thỏa mãn:
( )
( )
iziziz 2=++
. Tính: |z + i|
48. Tìm các số phức z
1
, z
2
thỏa mãn:
24
211
−=− zzz
và
( )
i
ziz
i
z −=
−
−









+ 1
1
2
1
11
2

49. Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = z + 2i, biết rằng: |z – i| = |z(1 - i)|
50. Tìm phần thực, phần ảo của số phức z
3
, biết: z(1 + i) = 2(1 + 2i).
51. Tìm số thực m để phương trình: z
3
– 5z
2
+ (m – 6)z + m = 0 có 3 nghiệm phức phân biệt z
1
, z
2
, z
3
thỏa
mãn điều kiện: |z

1
|
2
+ |z
2
|
2
+ |z
3
|
2
= 21.
52. Cho hai số phức z
1
, z
2
thỏa mãn: |z
1
– z
2
| = |z
1
| = |z
2
| > 0. Tính giá trị của biểu thức:
4
1
2
4
2

1








+








=
z
z
z
z
A

Chuyên đề luyện thi đại học về số phức
Nguyễn Đức Toàn Thịnh – GV trường THPT Trung Giã
Trang 1
Dạng 1: Tìm phần thực, phần ảo, môđun và số phức liên hợp của mỗi số phức:
Bài 1. Tìm phần thực, phần ảo, môđun và số phức liên hợp của mỗi số phức sau:

1) z =
23
(2 )(3 ) (1 2 )ii i− − −−
2) z = (2 + i)
3
– (3 - i)
3
. 3) z =
5(4 2 ) 7 (8 5 )ii i−+ −

4) z =
25
(1 3 )( 2 )(1 )
i
i ii
−+
+−−+
5) z =
7
7
11
2
i
ii

−


6) z =
1 31 3

1 21 2
ii
ii
+−
+
−+

7) z =
23
( 3 2 )(1 ) (1 2 ) (3 )ii i i−+ − + − +
8) z =
22
(4 ) (1 3 )
ii
− −−
9) z =
22
( 2 5) (4 8)
ii
−+ +

11) z =
(2 ) (1 )(4 3 )
32
i ii
i
+++ −
−
12) z =
32

1
ii
ii
−+
−
+
13) z =
2
3
( 3 2 )(1 )
(1 2 ) (3 )
ii
ii
−+ −
−+

15) z =
(3 4 )(1 2 )
43
12
ii
i
i
−+
+−
−
16)
(3 )(2 6 )
1
ii

i
++
−
17)
( ) ( )
( ) ( )
22
22
223
121
ii
ii
z
+−+
−−+
=

18) z =
44
(2 7 ) [(1 2 )(3 )]i ii+ −− +
19) z =
7
5 (1 )ii−
20) z =
34
(2 ) (2 )
ii+−

Bài 2. Cho số phức z = 2 - 5i. Tìm phần thực, phần ảo và môđun: 1) z
2

– 2z + 4i. 2)
1
zi
iz
+
−
.
Bài 3. Cho số phức z thỏa mãn
2
(1 3 )
1
i
z
i
−
=
−
. Tìm môđun của số phức
z iz+
.
Bài 4. Cho các số phức z
1
= 1 + 2i, z
2
= -2 + 3i, z
3
= 1 – i. Hãy tính và sau đó tìm phần thực, phần ảo,
môđun và số phức liên hợp của mỗi số phức sau:
1)
22

12
22
23
zz
zz
+
+
2)
12 23 31
zz zz zz++
3)
123
zzz
4)
222
123
zzz++
5)
3
12
231
z
zz
zzz
++

Bài 5. Tìm các số thực x, y sao cho:
1) (1 – 2i)x + (1 + 2y)i = 1 + i 2)
i
i

y
i
x
=
−
−
+
+
−
3
3
3
3
3)
( ) ( )
( )
iyxyxyxyixi
2222
23
2
1
42343 −+−=++−

Bài 6. Cho ba số phức
12 3
14; 15; 33z iz iz i=+ =−+ =−−
có các điểm biểu diễn lần lượt là A, B, C. Hãy tìm
số phức z có điểm biểu diễn là:
1) trọng tâm G của tam giác ABC. 2) D là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCD.
3) trực tâm H của tam giác ABC. 4) tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC.

Bài 7. Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức biểu diễn các số:
1
4
−i
i
; (1 – i)(1 + 2i) ;
i
i
−
+
3
62
.
1) CMR: ∆ABC vuông cân. 2) Tìm số phức biểu diễn điểm D, sao cho ABCD là hình vuông
Tính toán:
1) Cho số phức
i
i
z
−
+
=
1
1
. Tính z
2009
. 2) Tính:
2004
1
1







+ i
;
21
321
335








−
+
i
i
;
( )
( )
11
5
31
3

i
i
−
+

3) Tính giá trị biểu thức:
816
1
1
1
1






+
−
+






−
+
=
i

i
i
i
A

66
2
31
2
31








+
+








+−
=

ii
B

Dạng 2: Tìm số phức z thoả mãn điều kiện:
Bài 1. Tìm số phức z thoả mãn điều kiện:
1)
2 13
12
ii
z
ii
+ −+
=
−+
2)
4
1
zi
zi
+

=

−

. 3)
(9 3 ) (11 6 )
57
ii
i

z
−−+
= −
4)
8
3
=






−
+
iz
iz

5) (1 + i)z
2
= -1 + 7i 6)
( )
1
23 0
2
i z i iz
i


+ ++ + =




7)
35 12
(1 )(4 3 )
13 2
ii
z ii
ii
++
+ =−+
−

8)
3
(1 2) (3 4) 2 3iz i i+ − − =−+
9)
(2 ) 3 4iz i
−=+
10)
2
( 2 5 ) ( 2 7 ) (1 )(1 2 )iz i i i+ =−+ − − −

10) (i+1)
2
(2– i)z = 8 +i+(1+2i)z (CĐ’09) 11)
5
(1 ) (3 2 )(1 3 )iz i i−=+ +
12)

( 2 7 ) (14 ) (1 2 )iz i iz−+ = − + −

Bài 2. Tìm nghiệm phức của mỗi phương trình sau:
1)
2 34zz i−=−
. 2)
2
2
0zz+=
3) 2z + 3
z
=2+3i 4) z
2
=
z
+ 2 5)
2
0zz+=
.
6)
(2 ) 10zi−+=
và
. 25zz=
(ĐH.B’09) 7) 2i
( )
( )
12z zi−+
là số thực và
15
z −=

Chuyên đề luyện thi đại học về số phức
Nguyễn Đức Toàn Thịnh – GV trường THPT Trung Giã
Trang 2
8)
1z =
và phần thực bằng 2 lần phần ảo. 9)



−=−
=−
|||1|
|||2|
izz
ziz
11)
1
1
z
zi
−
=
−
và
3
1
zi
zi
−

=
+

Dạng 3: Giải phương trình bậc hai - tìm số phức z.
Bài 1. Giải phương trình trên tập số phức:
1) z
2
– z + 1 = 0. 2) x
2
– 6x + 25 = 0 3)
( )
( )
2
2
2
1 30zz+ ++ =
4) z
2
+ 2z +5 = 0
5)
2
50xx− +−=
6) z
2
– 3z + 3 + i = 0 7) x
4
+ 7x
2
+ 10 = 0 8)
42

5 40xx+ +=

Bài 2. Giải các phương trình sau:
1)
( ) ( )
2
3 6 3 13 0zi zi+− − +− + =
2)
( ) ( )
2
22
4 12 0zz zz+ + +−=
3)
2
33
3. 4 0
22
iz iz
zi zi
++

− −=

−−


Bài 3. (ĐH.A’09) Cho z
2
+ 2z + 10 = 0 có hai nghiệm phức z
1

và z
2
là nghiệm. Tính giá trị
22
12
Az z= +
.
Bài 4. Giải phương trình sau trên tập số phức:
1)
2
43
10
2
z
zz z− + ++=
2)
01
23
=+
+
−
+






+
−

+






+
−
iz
iz
iz
iz
iz
iz
3)
10)2)(3)((
2
=++− zzzz

4) z
4
+ 2z
3
– z
2
+ 2z + 1 = 0 5) z
4
– 4z
3

+ 6z
2
– 4z – 15 = 0. 6)
42 2
3 (1 ) 4(1 ) 0zz z z− +− + =

7) (z
2
+ 3z + 6)
2
+ 2z(z
2
+ 3z + 6) - 3z
2
= 0 8) z
6
+ z
5
– 13z
4
– 14z
3
– 13z
2
+ z + 1 = 0
Bài 5. Giải các phương trình sau, biết chúng có một nghiệm thuần ảo:
1) z
3
+ (2 – 2i)z
2

+ (5 – 4i)z – 10i = 0 2) z
3
+ (1 + i)z
2
+ (i – 1)z – i = 0
Dạng 4: Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước.
Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mãn các điều kiện:
1)
34zz++ =
2)
12zz i− +− =
3)
(3 4 ) 2zi−− =
. (ĐH.D’09) 4) |z – 2| + |z + 2| = 10
5)
22
() 4zz
−=
6)
32 1zi−+ =
7)
(1 3 ) 3 2z iz i+ − = +−
8)
22
zi zz i−= −+

9) |2i.z – 1| = 2|z+3| 10)
9. =zz
11)
(3 2 )(1 ) 1z ii−+ −=

12) |z + i| = |z – 2 – 3i|
13) |z + 2| = |i – z| 14)
3
(1 ) 1zi−− =
15)
2
()
zi−
là một số thực dương 16)
1222 −=− zzi

17)
1
3
=
+
−
iz
iz
18)
4
zi
zi
−
=
+
19)
1
1
zi

=
+
20)
iz
z
+
− 2
là số thực 21)
zi
zi
+
−
là một số thực dương
22)
2
( 1)zi−+
là một số thuần ảo. 23)
( )
2 ()ziz−+
là số thực tùy ý, 24)
1
1z −
là một số thuần ảo.
Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn:
23zi z i−= −−
.
Trong các số phức thỏa mãn điều kiện trên, tìm số phức có mô đun nhỏ nhất.
Dạng 5: Dạng lượng giác và Acgumen của số phức.
Dạng lượng giác của số phức:
( )

ϕϕ
sincos irz +=
; r ≥ 0. ϕ được gọi là agumen. r là môđun của z.
Bài 1. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
1)
31 i−
2) 1 + i 3)
)1)(31( ii +−
4)
i
i
+
−
1
31
5)
i22
1
+
6)
)3(2 ii −

Bài 2. Viết dạng lượng giác của số phức z và của các căn bậc hai của z cho mỗi trường hợp sau:
1) |z| = 3 và một acgumen của iz là
4
5
π
2)
3
1

=z
và một acgumen của
i
z
+1
là
4
3
π
−

Bài 3. Gọi z
1
và z
2
là 2 nghiệm phức của phương trình:
0432
2
=−− izz
.Viết dạng lượng giác của z
1
và z
2

Một số bài tập:
1. Tìm căn bậc hai của số phức: -8 + 6i; 3 + 4i ;
i221−

2. Xác định phần thực của số phức
1

1
−
+
z
z
, biết rằng |z| = 1 và z ≠ 1.
3. Chứng minh rằng: nếu
1
1
−
+
z
z
là số ảo thì |z| = 1.
1

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC
Biên soạn: NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088

I) DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC
Dạng 1) Bài toán liên quan ñến biến ñổi số phức
Ví dụ 1) Tìm số nguyên x, y sao cho số phức z=x+yi thoả mãn
3
18 26
z i
= +

Giải:
3
18 26

z i
= +
( )
( ) ( )
3 2
3
2 3 3 2
2 3
3 18
18 26 18 3 26 3
3 26
x xy
x yi i x y y x xy
x y y

− =

⇔ + = + ⇔ ⇔ − = −

− =



Gi
ả
i ph
ươ
ng trình b
ằ
ng cách

ñặ
t y=tx ta
ñượ
c
1
3, 1
3
t x y
= ⇒ = =
. Vậy z=3+i
Ví dụ 2) Cho hai số phức
1 2
;
z z
thoả mãn
1 2 1 2
; 3
z z z z= + = Tính
1 2
z z
−

Giải:
Đặ
t
1 1 1 2 2 2
;
z a bi z a b i
= + = +
. Từ giả thiết ta có

( ) ( )
2 2 2 2
1 1 2 2
2 2
1 2 1 2
1
3
a b a b
a a b b

+ = + =


+ + + =



( ) ( ) ( )
2 2
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
2 1 1 1
a b a b a a b b z z
⇒ + = ⇒ − + − = ⇒ − =

Dạng 2) Bài toán liên quan ñến nghiệm phức
Ví dụ 1) Giải phương trình sau:
2
8(1 ) 63 16 0
z i z i
− − + − =

Giải:
Ta có
( )
2
2
' 16(1 ) (63 16 ) 63 16 1 8
i i i i
∆ = − − − = − − = − Từ ñó tìm ra 2 nghiệm là
1 2
5 12 , 3 4
z i z i
= − = +

Ví dụ 2) Giải phương trình sau:
2
2(1 ) 4(2 ) 5 3 0
i z i z i
+ − − − − =

Giải:
Ta có
∆
’ = 4(2 – i)
2
+ 2(1 + i)(5 + 3i) = 16. Vậy phương trình cho hai nghiệm là:
z
1
=
i

ii
i
i
i
i
2
5
2
3
2
)1)(4(
1
4
)1(2
4)2(2
−=
−
−
=
+
−
=
+
+
−

z
2
=
i

ii
i
i
i
i
2
1
2
1
2
)1)((
1)1(2
4)2(2
−−=
−
−
=
+
−
=
+
−
−

Ví dụ 3) Giải phương trình
3 2
9 14 5 0
z z z
− + − =

Giải:
Ta có ph
ươ
ng trình t
ươ
ng
ñươ
ng v
ớ
i
(
)
(
)
2
2 1 4 5 0
z z z
− − + =
. T
ừ

ñ
ó ta suy ra
ph
ươ
ng trình có 3 nghi
ệ
m là
1 2 3
1

; 2 ; 2
2
z z i z i
= = − = +

Ví dụ 4) Giải phương trình:
3 2
2 5 3 3 (2 1) 0
z z z z i
− + + + + =
biết phương trình có
nghiệm thực
Giải:
Vì ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m th
ự
c nên
3 2
2 5 3 3 0
2 1 0
z z z
z

− + + =

+ =


1
2
z
−
⇒ =
tho
ả mãn cả
hai ph
ương trình của hệ:Phương trình ñã cho tương ñương với
(
)
(
)
2
2 1 3 3 0
z z z i
+ − + + =
. Giải phương trình ta tìm ñược
1
; 2 ; 1
2
z z i z i
= − = − = +

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
2

Ví dụ 5) Giải phương trình:
3 2

(1 2 ) (1 ) 2 0
z i z i z i
+ − + − − =
biết phương trình có
nghiệm thuần ảo:
Giải: Giả sử nghiệm thuần ảo của phương trình là z=bi thay vào phương trình ta có
( ) ( )
3 2
2 3 2
(1 2 ) (1 )( ) 2 0 ( ) ( 2 2) 0
bi i bi i bi i b b b b b i
+ − + − − = ⇔ − + − + + − =

2
3 2
0
1
2 2 0
b b
b z i
b b b

− =

⇔ ⇒ = ⇒ =

− + + − =


là nghi

ệ
m, t
ừ

ñ
ó ta có ph
ươ
ng trình t
ươ
ng
ñươ
ng v
ớ
i
(
)
(
)
2
(1 ) 2 0
z i z i z
− + − + =
. Giải pt này ta sẽ tìm ñược các nghiệm
Ví dụ 6) Tìm nghiệm của phương trình sau:
2
z z
=
.
Giải:
Giả sử phương trình có nghiệm: z=a+bi thay vào ta có

( )
2
a bi a bi
+ = +

2 2
2
a b a
ab b

− =
⇔

= −

Gi
ải hệ trên ta tìm ñược
1 3
( , ) (0;0),(1;0),( ; )
2 2
a b = − ±
. V
ậy phương
trình có 4 nghi
ệm là
1 3
0; 1;
2 2
z z z i
= = = − ±

Dạng 3) Các bài toán liên quan ñến modun của số phức:
Ví dụ 1) Tìm các số phức z thoả mãn ñồng thời các ñiều kiện sau:
1 2 2
z i z i
+ − = − +
và
5
z i− =
Giải:
Giả sử z=x+yi (x,y là số thực) .Từ giả thiết ta có
1 ( 2) 2 (1 )
( 1) | 5
x y i x y i
x y i
 + + − = − + −


+ − =



( )
( )
2
2 2 2
2
2
1 ( 2) ( 2) (1 )
1 5
x y x y

x y

+ + − = − + −

⇔

+ − =


2
3
10 6 4 0
y x
x x
=

⇔

− − =

1, 3
x y
⇔ = =
hoặc
2 6
,
5 5
x y
= − = −
. Vậy có 2 số phức thoả mãn ñiều kiện.

Ví dụ 2) Xét số phức z thoả mãn
;
1 ( 2 )
i m
z m R
m m i
−
= ∈
− −

a) Tìm m ñể
1
.
2
z z
=

b)Tìm m ñể
1
4
z i
− ≤

c) Tìm số phức z có modun lớn nhất.
Giải:
a) Ta có
(
)
(
)

( )( )
( )
2
2 2 2
2
2
2 2
2 2
1 2
(1 ) 2 (1 2 )
1 2
1 2 1 2
1 4
i m m mi
i m m m m m m
z
m mi
m mi m mi
m m
− − −
− − − + + − +
= = =
− +
− + − −
− +

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
3

( )
2 2
2
2 2 2 2
2
(1 ) (1 ) 1 1
1 1 1 1
1
m m i m m m
i z i
m m m m
m
+ + +
= = + ⇒ = −
+ + + +
+

( )
2
2
2
2
1 1 1
. 1 2 1
2 2
1
m
z z m m
m
+

⇒ = ⇔ = ⇔ + = ⇔ = ±
+

b) Ta có
2
2 2 2 2
1 1 1 1
1
4 1 1 4 1 1 4
m m m
z i i i
m m m m
 
− ≤ ⇔ + − ≤ ⇔ − ≤
 
+ + + +
 
⇔

2 4 2
2 2
2 2 2 2 2
1 1 1 1
16 1
(1 ) (1 ) 16 1 6
15 15
m m m
m m m
m m m
⇔ + ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ + ⇔ − ≤ ≤

+ + +

c) Ta có
( )
2
max
2
2
2
1 1
1 | | 1 0
1
1
m
z z m
m
m
+
= = ≤ ⇒ = ⇔ =
+
+

Ví dụ 3) Trong các số phức z thoả mãn ñiều kiện
2 4 5
z i− − = Tìm số phức z có
modun lớn nhất, nhỏ nhất.
Giải:
Xét số phức z = x+yi . Từ giả thiết suy ra
( ) ( )
2 2

2 4 5
x y
− + − =
Suy ra tập hợp
ñiểm M(x;y) biểu diễn số phức z là ñường tròn tâm I(2;4) bán kính
5
R =

D
ễ dàng có ñược
(2 5 sin ;4 5 cos )
M
α α
+ +
. Modun s
ố phức z chính là ñộ dài véc tơ
OM.
Ta có |z|
2
=
2 2 2
(2 5 sin ) (4 5 cos ) 25 4 5(sin 2cos )
OM
α α α α
= + + + = + +

Theo BDT Bunhiacopxki ta có
(
)
2 2 2

(sin 2cos ) (1 4) sin cos 5
α α α α
+ ≤ + + =

5 sin 2cos 5
α α
⇒ − ≤ + ≤
5 3 5
z⇒ ≤ ≤ . Vậy
min
1 2
| | 5 sin 2cos 5 sin ;cos 1, 2 1 2
5 5
z x y z i
α α α α
− −
= ⇒ + = − ⇔ = = ⇔ = = ⇒ = +
max
1 2
| | 3 5 sin 2cos 5 sin ;cos 3, 6 3 6
5 5
z x y z i
α α α α
= ⇔ + = ⇔ = = ⇔ = = ⇒ = +

Ví dụ 4) Trong các số phức thoả mãn ñiều kiện
2 4 2
z i z i
− − = −
.Tìm số phức z có

moodun nhỏ nhất.
Giải:
Xét số phức z = x+yi . Từ giả thiết suy ra
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
2 4 2 4 0
x y x y x y
− + − = + − ⇔ + − =
Suy ra tập hợp ñiểm M(x;y) biểu diễn
s
ố phức z là ñường thẳng y=-x+4
Ta có
2 2 2 2 2 2
(4 ) 2 8 16 2( 2) 8 2 2
z x y x x x x x= + = + − = − + = − + ≥ . Từ ñó suy
min
2 2 2 2 2 2
z x y z i
= ⇔ = ⇒ = ⇒ = +

Dạng 4) Tìm tập hợp ñiểm biểu diễn số phức
Ví dụ 1) Tìm tập hợp các ñiểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z biết:
a)
3
z
z i
=
−
b)

3 4
z z i
= − +
c)
4
z i z i
− + + =

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
4

Giải:
Gọi z=x+yi
a) Từ giả thiết ta có
2 2 2 2 2 2
9 9
3 9( ( 1) ) ( )
8 64
z z i x y x y x y= − ⇔ + = + − ⇔ + − =
V
ậy tập hợp ñiểm M là ñường tròn tâm
9 3
(0; ),
8 8
I R
=

b) T
ừ giả thiết ta có

( )
2
2 2 2
3 (4 ) 6 8 25
x y x y x y
+ = − + − ⇔ + =
. Vậy tập hợp các ñiểm
M là
ñường thẳng 6x+8y-25=0
c) Gi
ả sử z =x+yi thì
4
z i z i
− + + =
( )
( )
2 2
2 2
1 1 4
x y x y
⇔ + − + + + = ⇔

( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2
2
2

2
2
2 2 2
2
2 2 2
1 16
1 4
2 1 4
1 16 8 1 1
x y
x y
x y y
x y x y x y


+ + ≤
+ + ≤
 
⇔ ⇔
 
+ − = +
 
+ − = − + + + + +



( )
( )
2
2

2
2
2 2
2 2 2
1 16(1)
1 16
4 4 8 4 8 16 1(2)
3 4
4
4(3)
x y
x y
x y
x y y y y
y
y

+ + ≤

+ + ≤




⇔ + + + = + + ⇔ + =
 
 
≥ −
≥ −
 




Ta th
ấ
y các
ñ
i
ể
m n
ằ
m trong hình tròn (1) và Elip (2) và tung
ñộ
các
ñ
i
ể
m n
ằ
m trên (Elip)
luôn tho
ả
mãn
ñ
i
ề
u ki
ệ
n y >-4. V
ậ

y t
ậ
p h
ợ
p
ñ
i
ể
m M là Elip có pt
2 2
1
3 4
x y
+ =
.

Ví dụ 2) Tìm tập hợp các ñiểm biểu diễn trong mặt phẳng phức số
phức
(
)
1 3 2
i z
ω
= + +
biết rằng số phức z thoả mãn:
1
z
− ≤
2.
Giải:

Đặ
t
(
)
,
z a bi a b R
= + ∈

Ta có
1
z
− ≤
2
( )
2
2
1 4
a b
⇔ − + ≤
(1)
T
ừ
( )
( )
( )
3 2 3 1 3
1 3 2 1 3 2
3 3 3( 1)
x a b x a b

i z x yi i a bi
y a b y a b
ω
 
= − + − = − +
 
= + + ⇒ + = + + + ⇔ ⇔
 
= + − = − +
 
 
T
ừ ñó
( )
(
)
( )
2
2 2
2
3 3 4 1 16
x y a b
 
− + − ≤ − + ≤
 
do (1)
V
ậy tập hợp các ñiểm cần tìm là hình tròn
( )
(

)
2
2
3 3 16
x y
− + − ≤
; tâm
(
)
3; 3
I
, bán
kính R=4.
Ví dụ 3) Xác ñịnh tập hợp các ñiểm M(z) trong mặt phẳng phức biểu diễn các số
phức z sao cho số
2
2
z
z
−
+
có acgumen bằng
3
π
.
Giải:
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
5

Giả sử z=x+yi, thì
(
)
( )
(
)
(
)
( )
2
2
2 2
2
2
2 2
2
x yi x yi
x yi
z
z x yi
x y
− + + +
   
− +
−
   
= =
+ + +
+ +

(
)
( )
( )
( )
2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
4 2 2
4 4
2 2 2
x y yi x x
x y y
i
x y x y x y
− + + + − +
+ −
= = +
+ + − + − +
(1)
Vì s
ố
ph
ứ
c
2
2
z
z

−
+
có acgumen bằng
3
π
, nên ta có:
( )
( )
2 2
2 2
2 2
4 4
cos sin
3 3
2 2
x y y
i i
x y x y
π π
τ
+ −
 
+ = +
 
 
− + − +
v
ớ
i
0

τ
>

( )
( )
2 2
2
2
2
2
4
2
2
4 3
2
2
x y
x y
y
x y
τ
τ

+ −
=

− +

⇒



=

− +



T
ừ ñó suy ra y>0 (1) và
2 2
2 2 2
2 2
4 4 2 4
3 4 (2)
4
3 3 3
y y
x y x y
x y
   
= ⇔ + − = ⇔ + − =
   
+ −
   
.T
ừ (1) và (2) suy ra
t
ập hợp các ñiểm M là ñường tròn tâm nằm phía trên trục thực(Trên trục Ox).
Dạng 5) Chứng minh bất ñẳng thức:
Ví dụ 1) Chứng minh rằng nếu

1
z
≤
thì
2 1
1
2
z
iz
−
≤
+

Giải:
Gi
ả
s
ử
z =a+bi (a, b
∈
R) thì
2 2 2 2
1 1
z a b a b
= + ≤ ⇔ + ≤
. Ta có
2 2
2 2
4 (2 1)
2 1 2 (2 1)

2 (2 )
(2 )
a b
z a b i
iz b ai
b a
+ −
− + −
= =
+ − +
− +
.Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương
v
ới
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
4 (2 1)
1 4 (2 1) (2 ) 1
(2 )
a b
a b b a a b dpcm
b a
+ −
≤ ⇔ + − ≤ − + ⇔ + ≤ ⇒
− +

Ví dụ 2) Cho số phức z khác không thoả mãn ñiều kiện
3
3

1
2
z
z
+ ≤
. Chứng minh
rằng:
1
2
z
z
+ ≤

Giải:
Dễ dàng chứng minh ñược với 2 số phức
1 2
,
z z
bất kỳ ta có
1 2 1 2
z z z z
+ ≤ +
Ta có
3 3
3 3
3 3
1 1 1 1 1 1 1
3 3 2 3z z z z z z z
z z z z z z z
   

+ = + + + ⇒ + ≤ + + + ≤ + +
   
   

Đặt
1
z
z
+
=a ta có
( )( )
2
3
3 2 0 2 1 0
a a a a dpcm
− − ≤ ⇔ − + ≤ ⇒

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
6

II) DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC
Dạng 1: VIẾT DẠNG LƯỢNG GIÁC
Ví dụ 1) Viết dưới dạng lượng giác của các số phức:
a)
(
)
1 cos sin
1 cos sin
i

i
ϕ ϕ
ϕ ϕ
− +
+ +
b)
(
)
(
)
1 cos sin 1 cos sin
i i
ϕ ϕ ϕ ϕ
− + + +
 
 

Giải:

a)
(
)
(
)
( )
1 cos sin 1 cos sin
1 cos sin 1 cos sin
i i
i i
ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ
− + − −
=
+ + + +

2
2
2sin 2 sin cos sin cos
2 2 2 2 2
tan tan
2 2
2cos 2 sin cos cos sin
2 2 2 2 2
i i
i
i i
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
− −
= = = −
+ +

- Khi
tan 0
2
ϕ
>
d
ạng lượng giác là:

tan cos sin
2 2 2
i
ϕ π π
 
   
− + −
   
 
   
 

- Khi
tan 0
2
ϕ
<
dạng lượng giác là:
tan cos sin
2 2 2
i
ϕ π π
 
   
− +
   
 
   
 

- Khi
tan 0
2
ϕ
=
thì không có dạng lượng giác.

(
)
(
)
) 1 cos sin 1 cos sin
2sin sin cos .cos cos sin
2 2 2 2 2 2
b i i
i i
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
− + + + 
 
   
= − +
   
   

2sin cos isin
2 2
π π
ϕ ϕ ϕ
 

   
= − + −
   
 
   
 

-
Khi
sin 0
ϕ
=
thì d
ạ
ng l
ượ
ng giác không xác
ñị
nh.
- Khi
sin 0
ϕ
>
thì d
ạ
ng l
ượ
ng giác là:
2sin cos sin
2 2

i
π π
ϕ ϕ ϕ
 
   
− + −
   
 
   
 

- Khi
sin 0
ϕ
<
thì d
ạ
ng l
ượ
ng giác là:
( 2sin ) cos sin
2 2
i
π π
ϕ ϕ ϕ
 
   
− + + +
   
 

   
 

Ví dụ 2): Viết dưới dạng lượng giác của các số phức:
a)
(
)
1 cos sin
1 cos sin
i
i
ϕ ϕ
ϕ ϕ
− +
+ +
b)
[
]
[
]
1 (cos sin ) 1 cos sin
i i
ϕ ϕ ϕ ϕ
− + + +
Giải:
a)
( )
2
sin cos
1 cos sin

1 cos sin
2 2
tan tan
1 cos sin 2 2
2cos 2 sin .cos cos sin
2 2 2 2 2
i
i
i
i
i
i i
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
−
− +
− −
= = = −
+ +
+ −

Khi
tan
2
ϕ
>0 thì dạng lượng giác là
tan

2
ϕ
cos sin
2 2
i
π π
 
   
− + −
   
 
   
 

TEL:0988844088
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
7

Khi
tan
2
ϕ
<0 thì dạng lượng giác là -
tan
2
ϕ
cos sin
2 2
i

π π
 
   
+
   
 
   
 

Khi
tan
2
ϕ
=0 thì không tồn tại dạng lượng giác.
b)
[
]
[
]
1 (cos sin ) 1 cos sin
i i
ϕ ϕ ϕ ϕ
− + + +

2sin sin cos .2cos cos sin
2 2 2 2 2 2
2sin cos sin
2 2
i i
i

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
π π
ϕ ϕ ϕ
   
= − +
   
   
 
   
= − + −
   
 
   
 

-
Khi
sin 0
ϕ
=
thì d
ạ
ng l
ượ
ng giác không xác
ñị
nh
- Khi
sin 0
ϕ

>
thì d
ạ
ng l
ượ
ng giác là:
2sin cos sin
2 2
i
π π
ϕ ϕ ϕ
 
   
− + −
   
 
   
 

- Khi
sin 0
ϕ
<
thì d
ạ
ng l
ượ
ng giác là:
( )
2sin cos sin

2 2
i
π π
ϕ ϕ ϕ
 
   
− + + +
   
 
   
 

Dạng 2: MÔĐUN VÀ ACGUMEN
Ví dụ 1) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z, biết
2
2 2 3
z i
= − +

Giải:
Ta có:

2 2
2 2
2 2 3 4 cos sin
3 3
z i z i
π π
 
= − + ⇔ = +

 
 

Do
ñ
ó:
2 2
2 2
2 2 3 4 cos sin
3 3
z i z i
π π
 
= − + ⇔ = +
 
 

2 2
2 cos sin
1 3
3 3
1 3
2 cos sin
3 3
z i
z i
z i
z i
π π
π π


 
= +
 


= +
 

⇔ ⇔


 
= − −


= − +

 
 


T
ừ

ñ
ó suy ra ph
ầ
n th
ự

c và ph
ầ
n
ả
o c
ủ
a z t
ươ
ng
ứ
ng là 1 và
3
ho
ặ
c -1 và
3
−

Ví dụ 2) Tìm một acgumen của số phức:
(
)
1 3
z i− +
biết một acgumen của z
bằng
3
π

Giải:
z có m

ộ
t acgumen b
ằ
ng
3
π

nên
1 3
2 2
z z i
 
= +
 
 
 

Do
ñ
ó:

(
)
1 3
z i− +
=
1 3
( 2)
2 2
z i

 
− +
 
 
 

- Khi
2
z
>
, m
ộ
t aacgumen c
ủ
a
(
)
1 3
z i− +
là
3
π

- Khi
0 2
z
< <
, một acgumen của
(
)

1 3
z i− +
là
4
3
π

TEL:0988844088
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
8

- Khi
2
z
=
thì
(
)
1 3
z i− +
=0 nên acgumen không xác ñịnh.
Ví dụ 3) Cho số phức z có môñun bằng 1. Biết một acgumen của z là
ϕ
, tìm một
acgumen của:
a)
2
2
z

b)
1
2
z
−
c)
z z
+
d)
2
z z
+

Giải:

1
z
=
, z có m
ộ
t acgumen là
ϕ
. Do
ñ
ó
cos sin
z i
ϕ ϕ
= +

a)
(
)
(
)
2 2
cos2 sin 2 2 2 cos2 sin 2 2 2 cos sin
z i z i z i
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
= + ⇒ = + ⇒ = −

V
ậy 2z
2
có một acgumen là
2
ϕ

b)
(
)
cos sin cos sin 2 2 cos sin
z i z i z i
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
= + ⇒ = − ⇒ = −
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )

( )
1 1 1
cos sin cos sin
2 2
2
1 1 1
cos sin cos sin
2 2
2
i i
z
i i
z
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ π ϕ ϕ π
⇒ = − − − = +
⇒ − = − − = + + +

V
ậ
y
1
2
z
−
có m
ộ
t acgumen là
ϕ π
+

c) Ta có:
2cos
z z
ϕ
+ =

N
ếu
cos 0
ϕ
>
thì có một acgumen là 0
N
ếu
cos 0
ϕ
<
thì có một acgumen là
π

N
ếu
cos 0
ϕ
=
thì acgumen không xác ñịnh.
d)
2
cos2 sin2 , cos sin

z z i z i
ϕ ϕ ϕ ϕ
+ = + = −

( )
2
3 3
cos2 cos sin 2 sin 2cos cos .2cos sin
2 2 2 2
3
2cos cos sin
2 2 2
z z i i
i
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
⇒ + = + + − = +
 
= +
 
 

V
ậy acgumen
2
z z
+
là
2

ϕ
nếu
3
cos 0
2
ϕ
>
, là
2
ϕ
π
+
nếu
3
cos 0
2
ϕ
<
và không xác ñịnh
n
ếu
3
cos 0
2
ϕ
=

Ví dụ 4) Cho số phức
1 cos sin
7 7

z i
π π
= − −
. Tính môñun, acgumen và viết z dưới
dạng lượng giác.
Giải:
Ta có:
2
2
8 4
1 cos sin 2 1 cos 2 1 cos 2cos
7 7 7 7 7
z
π π π π π
     
= − + = − = + =
     
     

Đặt
(
)
arg
z
ϕ
= thì
2
8
sin sin
4

7 7
tan cot tan
4
7 14
1 cos 2sin
7 7
π π
π π
ϕ
π π
−
 
= = = = −
 
 
−

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
9

Suy ra:
,
14
k k z
π
ϕ π
= − + ∈

Vì ph

ần thực
1 cos 0
7
π
− >
, phần ảo
sin 0
7
π
− <
nên chọn một acgumen là
14
π
−

V
ậy
4
2cos cos isin
7 14 14
z
π π π
 
   
= − + −
   
 
   
 

Ví dụ 5) Viết dưới dạng lượng giác của một số phức z sao cho
1
3
z
=
và một
acgumen của
1
z
i
+
là
3
4
π
−

Giải:
Theo giả thiết
1
3
z
=
thì
( )
1
cos sin
3
z i
ϕ ϕ

= +

( )
( ) ( )
( )
1 1
cos sin cos sin
3 3
z i i
ϕ ϕ ϕ ϕ
⇒ = − = − + −

Vì
1 2
1 2 2 cos sin
2 2 4 4
i i i
π π
 
 
+ = + = +
 
 
 
 
 

Nên
1
os sin

1 4 4
3 2
z
c i
i
π π
ϕ ϕ
 
   
= − − + − −
   
 
+
   
 

Do
ñ
ó:
3
2 2 , .
4 4 2
k k k
π π π
ϕ π ϕ π
− − = − + ⇔ = + ∈Ζ
v
ậ
y
1

os sin .
3 2 2
z c i
π π
 
= +
 
 

Ví dụ 6) Tìm số phức z sao cho:
3
1
z i
z i
+
=
+
và z+1 có một ácgumen là
6
π
−

Giải:
T
ừ
gi
ả
thi
ế
t

3
1
z i
z i
+
=
+
( ) ( )
2 2
2 2
3 ( 3) ( 1) 3 1
2
z i z i x y i x y i x y x y
y
⇒
+ = + ⇔ + + = + + ⇔ + + = + +
⇒
= −

z+1 có 1 acgumen b
ằ
ng
6
π
−

t
ứ
c là
( )

1 [ os sin ] 3
6 6 2
z c i i
π π τ
τ
   
+ = − + − = −
   
   
v
ớ
i r>0.
Ta có z+1=x+1-2i suy ra
3
1
4
2
2 3 1 2
2 3 1
2
2
x
z i
x
τ
τ
τ

+ =


=

 
⇔ ⇒ = − −
 
= −



− = −



Dạng 3) ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG BÀI TOÁN TỔ HỢP
Ví dụ 1) Tính các tổng sau khi n=4k+1
a)
0 2 4 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

n n
n n n n n
S C C C C C
−
+ + + + +
= − + − + −

b)
1 3 5 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

n n
n n n n n
S C C C C C
− +
+ + + + +
= − + − + −
Giải:
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
10

Xét
( )
2 1
0 1 2 2 2 1 2 1 0 2 2 1 3 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
1 ( )
n
n n n n
n n n n n n n n n n
i C iC i C i C C C C i C C C
+
+ + +
+ + + + + + + + + +
+ = + + + + = − + − + − + −
M
ặt khác ta lại có:
( )
2 1
2 1

(2 1) (2 1)
1 2 cos sin 1 2 cos sin
4 4 4 4
n
n
n n
i i i i
π π π π
+
+
+ +
   
+ = + ⇒ + = +
 
 
   

=
(2 1) (2 1) (8 3) (8 3)
2 2 cos sin 2 2 cos sin
4 4 4 4
n n
n n k k
i i
π π π π
+ + + +
   
+ = +
   
   

3 3
2 2 cos sin 2 2
4 4
n n n
i i
π π
 
= + = − +
 
 

T
ừ ñó ta có
a) S=-2
n

b) S=2
n

Ví dụ 2) Tính các tổng hữu hạn sau:
a)
2 4 6
1
n n n
S C C C= − + − +

b)
1 3 5 7

n n n n
S C C C C= − + − +
Giải:
Xét
( )
0 1 2 2 2 4 1 3 5 7
1 1 ( )
n
n n
n n n n n n n n n n
i C iC i C i C C C i C C C C+ = + + + + = − + − + − + − +
( )
1 2 cos sin 1 2 cos sin
4 4 4 4
n
n
n n
i i i i
π π π π
   
+ = + ⇒ + = +
 
 
   

T
ừ ñó ta có kết quả
a)
2 cos
4

n
n
S
π
=
b)
2 sin
4
n
n
S
π
=

Ví dụ 3) Chứng minh rằng:
3 6
1
1 2 2cos
3 3
n
n n
n
C C
π
 
+ + + = +
 
 

Giải:

Ta có
0 1 2 3
2
n n
n n n n n
C C C C C
= + + + + (1)
Xét
3
2 2
cos sin 1
3 3
i
π π
ε ε
= + ⇒ =

Ta có
( )
0 1 2 2 0 1 2 2 3 4
1
n
n n
n n n n n n n n n
C C C C C C C C C
ε ε ε ε ε ε ε
+ = + + + = + + + + + (2)
(
)
2 0 2 1 4 2 2 0 2 1 2 3 2 4

1 (3)
n
n n
n n n n n n n n n
C C C C C C C C C
ε ε ε ε ε ε ε
+ = + + + = + + + + +

Ta có
2 2
1 0;1 os sin ;1 os sin
3 3 3 3
c i c i
π π π π
ε ε ε ε
+ + = + = − + = +

C
ộ
ng (1) (2) (3) theo v
ế
ta có
( )
( ) ( )
( )
2 0 3 6 0 3 6
2 1 1 3 2 2cos 3
3
n
n

n n
n n n n n n
n
C C C C C C
π
ε ε
+ + + + = + + + ⇔ + = + + +

3 6
1
1 2 2cos
3 3
n
n n
n
C C
π
 
⇔ + + + = +
 
 


TEL:0988844088
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
11

MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1) Giải phương trình sau trên tập số phức:

3
)
a z z
=

) 3 4
b z z i
+ = +

( )
2
2
) 4 3
c z z i
− =
2
) 2 1 0
d z z i
+ + − =

2
) 4 5 0
e z z
+ + =

2
)(1 ) 2 11 0
f i z i
+ + + =

2
) 2( ) 4 0
g z z z
− + + =

2) Tìm số thực x thoả mãn bất phương trình:
) 1 4 2 5
x
a i
−
+ − ≤

2
1 7
) log 1
4
i
b x
+
− ≤

2
1 2 2
)1 log 0
2 1
x i
c
 + + − 
− ≥
 

−
 

3) Tìm số phức z sao cho
( 2)( )
A z z i
= − +
là số thực
4) Tìm số phức z thoả mãn ñiều kiện
7
5;
1
z i
z
z
+
=
+
là số thực
5) Tìm tập hợp các ñiểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thoả mãn
ñiều kiện
( )
2
2
) 9
a z z
− =

2
) 4

2
z i
b
z i
−
=
+

)3 3
c z i z z i
+ = + −

) 3 4 2
d z i
+ − =

) 1
e z z i
+ ≥ +

) 4 3
f z z i
= + −

2
) 1
2
z i
g
z i

−
>
+

)2 2
h z i z z i
− = − +

1
3
2 2
)log ( ) 1
4 2 1
z
k
z
− +
>
− −

6) Trong các số phức thoả mãn ñiều kiện
3
2 3
2
z i
− + =
. Tìm số phức z có modun lớn
nhất,nhỏ nhất.
7) Tìm số phức z thoả mãn ñiều kiện
(

)
(
)
1 2
z z i
− + là số thực và
z
nhỏ nhất.
8) Tìm một acgumen của số phức z khác 0 biết
z z i z
+ =

9) Tìm số phức z thoả mãn
2
2
z z
+ =
và
2
z
=

10) Giải hệ pt sau trong tập số phức:
2 2
2 2
)
4
z i z z i
a
z z

 − = − +


− =



1 2
1 2
3
)
1 1 3
5
z z i
b
i
z z
+ = −


+

+ =



2
1 2
2
2 1

1 0
)
1 0
z z
c
z z

− + =


− + =



12 5
8 3
)
4
1
8
z
z i
d
z
z

−
=

−



−

=

−


3 2
2010 2011
2 2 1 0
)
1 0
z z z
e
z z

+ + + =


+ + =



11) Cho phương trình
3 2
2 (2 1) (9 1) 5 0
z i z i z i
− + + − + =

có nghiệm
thực. Hãy tìm tất cả các nghiệm của phương trình.
12) Tìm phần thực phần ảo của
2011
2011
1
w
w
z = +
biết
1
w 1
w
+ =

13) Tìm n nguyên dương ñể các số phức sau là số thực, số ảo:
2 6
)
3 3
n
i
a z
i
 
− +
=
 
 
+
 

4 6
)
1 5
n
i
b z
i
+
 
=
 
− +
 

7 4
)
4 3
n
i
c z
i
+
 
=
 
−
 

3 3

)
3 3
i
d z
i
 
−
=
 
 
−
 

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
12

14) Cho n nguyên dương, chứng minh rằng
( )
0 2 4 6 2 2
2 2 2 2 2
2
3 9 27 3 2 cos
3
n
n n
n n n n n
n
C C C C C
π

− + − + + − =
15) Tìm số phức z sao cho
2
z z
= −
và một acgumen của z-2 bằng một acgumen
của z+2 cộng với
2
π

16) Giải phương trình
a)
2 2 0
0
2
tan 10 4 2
os10
z
z i
c
= + + −
b)
2 2 0
0
2
cot 12 6 7
sin12
z
z i
= + + −

Mọi thắc mắc xin vui lòng liên hệ thầy Nguyễn Trung Kiên 0988844088
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Số phức Trần Só Tùng
Trang 102




1. Khái niệm số phức
· Tập hợp số phức: C
· Số phức (dạng đại số) :
zabi
=+

(a, b
R
Ỵ
, a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vò ảo, i
2
= –1)
· z là số thực Û phần ảo của z bằng 0 (b = 0)
z là thuần ảo Û phần thực của z bằng 0 (a = 0)
Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.
· Hai số phức bằng nhau:
'
’’(,,',')
'

aa
abiabiababR
bb
ì
=
+=+ÛỴ
í
=
ỵ

2. Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b
)
R
Ỵ
được biểu diễn bởi điểm M(a; b) hay
bởi
(;)
uab
=
r
trong mp(Oxy) (mp phức)

3. Cộng và trừ số phức:
·
(
)
(
)
(
)

(
)
’’’’
abiabiaabbi
+++=+++ ·
(
)
(
)
(
)
(
)
’’’’
abiabiaabbi
+-+=-+-
· Số đối của z = a + bi là –z = –a – bi
·
u
r
biểu diễn z,
'
u
r
biểu diễn z' thì
'
uu
+
rr
biểu diễn z + z’ và

'
uu
-
rr
biểu diễn z – z’.
4. Nhân hai số phức :
·
(
)
(
)
(
)
(
)
'' ’–’’ ’
abiabiaabbabbai
++=++
·
()()
kabikakbikR
+=+Ỵ

5. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là
zabi
=-

·
11
22

;'';.'.';
zz
zzzzzzzzzz
zz
ỉư
=±=±==
ç÷
èø
;
22
.
zzab
=+

· z là số thực Û
zz
=
; z là số ảo Û
zz
=-


6. Môđun của số phức : z = a + bi
·
22
zabzzOM
=+==
uuuur

·

0,,00
zzCzz
³"Ỵ=Û=

·
.'.'
zzzz
= ·
'
'
zz
z
z
= ·
'''
zzzzzz
-£±£+

7. Chia hai số phức:
·
1
2
1
zz
z
-
= (z
¹
0) ·
1

2
''.'.
'
.
zzzzz
zz
zzz
z
-
=== ·
'
'
z
wzwz
z
=Û=

I. SỐ PHỨC
CHƯƠNG
IV

SỐ PHỨC

Trần Só Tùng Số phức
Trang 103
8. Căn bậc hai của số phức:

·

zxyi

=+
là căn bậc hai của số phức
wabi
=+
Û
2
zw
=
Û
22
2
xya
xyb
ì
-=
í
=
ỵ

· w = 0 có đúng 1 căn bậc hai là z = 0
· w
0
¹
có đúng hai căn bậc hai đối nhau
· Hai căn bậc hai của a > 0 là
a
±
· Hai căn bậc hai của a < 0 là
.
ai

±-

9. Phương trình bậc hai Az
2
+ Bz + C = 0 (*) (A, B, C là các số phức cho trước, A
0
¹
).

2
4
BAC
D=-

·
0
D¹
: (*) có hai nghiệm phân biệt
1,2
2
B
z
A
-±d
= , (
d
là 1 căn bậc hai của D)
·
0
D=

: (*) có 1 nghiệm kép:
12
2
B
zz
A
==-
Chú ý: Nếu z
0

Ỵ
C là một nghiệm của (*) thì
0
z
cũng là một nghiệm của (*).
10. Dạng lượng giác của số phức:
·
(cossin)
zri
=j+j
(r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (z
¹
0)

22
cos
sin
rab
a
r

b
r
ì
ï
=+
ï
ï
Ûj=
í
ï
ï
j=
ï
ỵ

·
j
là một acgumen của z,
(,)
OxOM
j=

·
1cossin()
zziR
=Û=+Ỵ
jjj

11. Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác
Cho

(cossin),''(cos'sin')
zrizri
=j+j=j+j
:
·
[
]
.''.cos(')sin(')
zzrri
=j+j+j+j
·
[ ]
cos(')sin(')
''
zr
i
zr
=j-j+j-j

12. Công thức Moa–vrơ:
·
[ ]
(cossin)(cossin)
n
n
rirnin
j+j=j+j
, (
*
nN

Ỵ
)
·
( )
cossincossin
n
inin
j+j=j+j

13. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác:
· Số phức
(cos sin)
zri
=+
jj
(r > 0) có hai căn bậc hai là:

cossin
22
cossincossin
2222
ri
vàriri
ỉư
jj
+
ç÷
èø
éù
ỉưỉưỉư

jjjj
-+=+p++p
ç÷ç÷ç÷
êú
èøèøèø
ëû

· Mở rộng: Số phức
(cos sin)
zri
=+
jj
(r > 0) có n căn bậc n là:

22
cossin,0,1, ,1
n
kk
rikn
nn
ỉư
++
+=-
ç÷
èø
jpjp



Số phức Trần Só Tùng

Trang 104
VẤN ĐỀ 1: Thực hiện các phép toán cộng – trừ – nhân – chia
Áp dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia hai số phức, căn bậc hai của số phức.
Chú ý các tính chất giao hoán, kết hợp đối với các phép toán cộng và nhân.

Bài 1. Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau:
a)
(
)
(
)
(
)
4–23–5
iii
+++
b)
1
22
3
ii
ỉư
-+-
ç÷
èø
c)
( )
25
23
34

ii
ỉư

ç÷
èø

d)
131
32
322
iii
ỉưỉư
-+-+-
ç÷ç÷
èøèø
e)
3153
4545
ii
ỉưỉư
+ +
ç÷ç÷
èøèø
f)
(
)
(
)
233
ii

-+

g)
i
i
i
i -
-
+
- 2
1
3
h)
i
2
1
3
+
i)
i
i
-
+
1
1

k)
mi
m
l)

aia
aia
-
+
m)
)1)(21(
3
ii
i
+-
+

o)
1
2
i
i
+
-
p)
ai
bia +
q)
23
45
i
i
-
+

Bài 2. Thực hiện các phép toán sau:
a)
( ) ( )
22
11–
ii
+- b)
( ) ( )
33
23
ii
+
c)
( )
2
34
i
+
d)
3
1
3
2
i
ỉư
-
ç÷
èø
e)
22

22
)2()23(
)1()21(
ii
ii
+-+
+
f)
( )
6
2
i
-

g)
33
(1)(2)
ii
-+- h)
100
(1)
i
- i)
5
(33)
i
+
Bài 3. Cho số phức
zxyi
=+

. Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau:
a)
2
24
zzi
-+
b)
1
-
+
iz
iz

Bài 4. Phân tích thành nhân tử, với a, b, c
Ỵ
R:
a)
2
1
a
+
b)
2
23
a
+
c)
42
49
ab

+
d)
22
35
ab
+

e)
4
16
a
+
f)
3
27
a
-
g)
3
8
a
+
h)
42
1
aa
++

Bài 5. Tìm căn bậc hai của số phức:
a)

143
i
-+
b)
465
i
+
c)
126
i

d)
512
i
-+

e)
45
32
i

f)
724
i
-
g)
4042
i
-+
h)

1143.
i
+

i)
12
42
i
+ k)
512
i
-+
l)
86
i
+
m)
3356
i
-



VẤN ĐỀ 2: Giải phương trình trên tập số phức
Giả sử z = x + yi. Giải các phương trình ẩn z là tìm x, y thoả mãn phương trình.

Bài 1. Giải các phương trình sau (ẩn z):
a) 0
2
=+ zz b) 0

2
2
=+ zz
c)
izz 422 -=+
d)
0
2
=- zz

e)
218
zzi
-=
f)
(
)
452
izi
-=+

Trần Só Tùng Số phức
Trang 105
g) 1
4
=
÷
ø
ư
ç

è
ỉ
-
+
iz
iz
h)
i
i
z
i
i
+
+
-
=
-
+
2
31
1
2

i)
23112
zzi
-=- k)
( )( )
2
323

izii
-+=

l) 0)
2
1
](3)2[( =+++-
i
izizi m)
11
33
22
zii
ỉư
-=+
ç÷
èø

o)
35
24
i
i
z
+
=-
p)
(
)
(

)
2
3250
zizz
+-+=

q)
(
)
(
)
22
910
zzz
+-+=
r)
32
235330
zzzi
-++-=

Bài 2. Giải các phương trình sau (ẩn x):
a) 01.3
2
=+- xx b) 02.32.23
2
=+- xx
c)
(
)

2
3430
xixi
+-=
d)
2
3.240
ixxi
+=

e)
2
320
xx
-+=
f)
2
.2.40
+-=
ixix
g)
3
3240
x
-=
h)
4
2160
x
+=

i)
5
(2)10
x
++=
k)
2
7 0
x
+=

l)
(
)
2
21420
xixi
++++=
m)
(
)
2
221840
xixi
++=

o)
2
440

ixxi
++-=
p)
(
)
2
230
xix
+-=

Bài 3. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng lần lượt là:
a)
2313
ivài
+-+
b)
244
ivài
-+

Bài 4. Tìm phương trình bậc hai với hệ số thực nhận a làm nghiệm:
a)
34
i
=+
a
b)
73
i
a=-

c)
25
i
=-
a

d)
23
i
a=
e)
32
i
a=-
f)
i
=-
a

g)
(2)(3)
ii
=+-
a
h)
51804538
234
iiii
=+++
a

i)
5
2
i
i
+
=
-
a

Bài 5. Tìm tham số m để mỗi phương trình sau đây có hai nghiệm z
1
, z
2
thoả mãn điều kiện
đã chỉ ra:
a)
222
1212
10,:1
zmzmđkzzzz
-++=+=+
b)
233
12
350,:18
zmziđkzz
-+=+=

c)

222
12
30,:8
xmxiđkzz
++=+=

Bài 6. Cho
12
,
zz
là hai nghiệm của phương trình
(
)
(
)
2
123210
izizi
+-++-=
. Tính giá
trò của các biểu thức sau:
a)
22
12
Azz
=+
b)
22
1212
Bzzzz

=+ c)
12
21
zz
C
zz
=+

Bài 7. Giải các hệ phương trình sau:
a)
ỵ
í
ì
-=+
+=+
izz
izz
25
4
2
2
2
1
21
b)
ỵ
í
ì
+-=+
=

izz
izz
.25
.55.
2
2
2
1
21
c)
35
12
24
12
0
.()1
zz
zz
ì
+=
ï
í
=
ï
ỵ

d)
123
123
123

1
1
1
zzz
zzz
zzz
ì
++=
ï
++=
í
ï
=
ỵ
e)
125
83
4
1
8
z
zi
z
z
ì
-
=
ï
-
ï

í
-
ï
=
ï
-
ỵ
f)
1
1
3
1
z
zi
zi
zi
ì
-
=
ï
-
ï
í
-
ï
=
ï
+
ỵ

Số phức Trần Só Tùng
Trang 106
g)
22
12
12
52
4
zzi
zzi
ì
ï
+=+
í
+=-
ï
ỵ
h)
2
1
ziz
ziz
ì
-=
ï
í
-=-
ï
ỵ
i)

22
1212
12
40
2
zzzz
zzi
ì
ï
++=
í
+=
ï
ỵ

Bài 8. Giải các hệ phương trình sau:
a)
212
3
xyi
xyi
ì
+=-
í
+=-
ỵ
b)
22
5
88

xyi
xyi
ì
+=-
í
+=-
ỵ
c)
4
74
xy
xyi
ì
+=
í
=+
ỵ

d)
22
1111
22
12
i
xy
xyi
ì
+=-
ï
í

ï
+=-
ỵ
e)
22
6
112
5
xy
xy
ì
+=-
ï
í
+=
ï
ỵ
f)
32
11171
2626
xyi
i
xy
ì
+=+
ï
í
+=+
ï

ỵ

g)
22
5
12
xyi
xyi
ì
+=-
í
+=+
ỵ
h)
33
1
23
xy
xyi
ì
+=
í
+=
ỵ



VẤN ĐỀ 3: Tập hợp điểm
Giả sử số phức z = x + yi được biểu diển điểm M(x; y). Tìm tập hợp các điểm M là tìm
hệ thức giữa x và y.

Bài 1. Xác đònh tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn
mỗi điều kiện sau:
a)
34
zz
++=
b)
12
zzi
-+-=
c) 22
zzizi
-+=-

d)
2.123
-=+
izz e)
2221
izz
-=-
f)
31
z
+=

g)
23
zizi

+=
h)
3
1
zi
zi
-
=
+
i)
12
zi
-+=

k) 2
ziz
+=-
l)
11
z
+<
m)
12
zi
<-<

Bài 2. Xác đònh tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn
mỗi điều kiện sau:
a)
2

zi
+
là số thực b)
2
zi
-+
là số thuần ảo c)
.9
zz
=



VẤN ĐỀ 4: Dạng lượng giác của số phức
Sử dụng các phép toán số phức ở dạng lượng giác.

Bài 1. Tìm một acgumen của mỗi số phức sau:
a) i.322 +- b) 4 – 4i c)
13.
i
-

d)
4
sin.
4
cos
p
p
i- e)

8
cos.
8
sin
p
p
i f) )1)(3.1( ii +-
Bài 2. Thực hiện các phép tính sau:
a)
(
)
(
)
3cos20 sin20cos25 sin25
oooo
ii++ b)
5cos.sin.3cos.sin
6644
ii
ỉưỉư
pppp
++
ç÷ç÷
èøèø

c)
(
)
(
)

3cos120sin120cos45sin45
++
oooo
ii d) 5cossin3cossin
6644
ỉưỉư
++
ç÷
ç÷
èø
èø
pppp
ii
Trần Só Tùng Số phức
Trang 107
e)
(
)
(
)
2cos18sin18cos72sin72
++
oooo
ii f)
cos85sin85
cos40sin40
i
i
+
+

oo
oo

g)
)15sin.15(cos3
)45sin.45(cos2
00
00
i
i
+
+
h)
2(cos45sin45)
3(cos15sin15)
i
i
+
+
oo
oo

i)
)
2
sin.
2
(cos2
)
3

2
sin.
3
2
(cos2
pp
pp
i
i
+
+
k)
22
2cossin
33
2cossin
22
ỉư
+
ç÷
èø
ỉư
+
ç÷
èø
pp
pp
i
i

Bài 3. Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau:
a) 31 i- b)
1
i
+
c) )1)(31( ii +- d) )3.(.2 ii -
e)
i
i
+
-
1
31
f)
i
2
2
1
+
g)
j
j
cos.sin i
+
h)
22
i
+

i)

13
i
+ k)
3
i
-
l)
30
i
+
m)
5
tan
8
i
p
+

Bài 4. Viết dưới dạng đại số các số phức sau:
a)
cos45sin45
oo
i+ b) 2cossin
66
ỉư
+
ç÷
èø
pp
i c)

(
)
3cos120sin120
oo
i+
d)
6
(2)
i
+
e)
3
(1)(12)
i
ii
+
+-
f)
1
i

g)
1
21
i
i
+
+
h)
( )

60
13
i-+ i)
40
7
13
(22).
1
i
i
i
ỉư
+
-
ç÷
-
èø

k)
133
cossin
44
2
i
ỉư
+
ç÷
èø
pp
l)

100
1
cossin
144
i
i
i
ỉưỉư
+
+
ç÷
ç÷
-èø
èø
pp
m)
( )
17
1
3
i
-

Bài 5. Tính:
a)
( )
5
cos12 sin12
oo
i+ b)

( )
16
1
i
+ c)
6
)3( i-
d)
( )
7
00
2cos30sin30i
éù
+
ëû
e)
5
(cos15sin15)
oo
i+ f)
20082008
(1)(1)ii++-
g)
21
321
335
÷
÷
ø
ư

ç
ç
è
ỉ
-
+
i
i
h)
12
2
3
2
1
÷
÷
ø
ư
ç
ç
è
ỉ
+ i i)
2008
1
÷
ø
ư
ç
è

ỉ
+
i
i

k)
57
(cossin).(13)
33
iii
pp
-+ l)
2008
2008
11
,1
zbiếtz
z
z
++=

Bài 6. Chứng minh:
a)
53
sin516sin20sin5sin
tttt
=-+
b)
53
cos516cos20cos5cos

tttt
=-+

c)
23
sin33cossin
ttt
=-
d)
3
cos34cos3cos
ttt
=-








Số phức Trần Só Tùng
Trang 108


Bài 1. Thực hiện các phép tính sau:
a)
(2)(32)(54)
iii
+-

b)
66
1317
22
ii
ỉưỉư
-+-
+
ç÷ç÷
èøèø

c)
168
11
11
ii
ii
ỉưỉư
+-
+
ç÷ç÷
-+
èøèø
d)
3758
2323
ii
ii
+-
+

+-

e)
(24)(52)(34)(6)
iiii
-+++
f)
232009
1
iiii
+++++

g)
200019992018247
iiiii
++++
h)
2
1 ,(1)
n
iiin
++++³

i)
232000
iiii
k)
571310094
()()()
iiiii

-+-++-
Bài 2. Cho các số phức
123
12,23,1
zizizi
=+=-+=-
. Tính:
a)
123
zzz
++
b)
122331
zzzzzz
++ c)
123
zzz

d)
222
123
zzz
++ e)
123
231
zzz
zzz
++
f)

22
12
22
23
zz
zz
+
+

Bài 3. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
432
(12)313,23
Azizizzivớizi
=+-++++=+

b)
232
1
(2)(2),(3)
2
Bzzzzzvớizi
=-+-+=-

Bài 4. Tìm các số thực x, y sao cho:
a)
(12)(12)1
ixyii
-++=+
b)

33
33
xy
i
ii

+=
+-

c)
2222
1
(43)(32)4(32)
2
ixixyyxxyyi
-++=-+-
Bài 5. Tìm các căn bậc hai của các số phức sau:
a)
86
i
+
b)
34
i
+
c)
1
i
+
d)

724
i
-

e)
2
1
1
i
i
ỉư
+
ç÷
-
èø
f)
2
13
3
i
i
ỉư
-
ç÷
ç÷
-
èø
g)
12
22

i
- h) i, –i
i)
3
13
i
i
-
+
k)
11
22
i
+
l)
(
)
213
i-+ m)
11
11
ii
+
+-

Bài 6. Tìm các căn bậc ba của các số phức sau:
a)
i
-
b) –27 c)

22
i
+
d)
186
i
+

Bài 7. Tìm các căn bậc bốn của các số phức sau:
a)
212
i-
b)
3
i
+
c)
2
i
-
d)
724
i
-+

Bài 8. Giải các phương trình sau:
a)
3
1250
z

-=
b)
4
160
z
+=
c)
3
640
zi
+=
d)
3
270
zi
-=

e)
743
220
ziziz
=
f)
63
10
zizi
++-=
g)
105
(2)20

zizi
+-+-=

Bài 9. Gọi
12
;
uu
là hai căn bậc hai của
1
34
zi
=+
và
12
;
vv
là hai căn bậc hai của
2
34
zi
=-
. Tính
12
uu
+
12
vv
++
?
II. ÔN TẬP SỐ PHỨC

Trần Só Tùng Số phức
Trang 109
Bài 10. Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a)
2
5 0
z
+=
b)
2
2 2 0
zz
++=
c)
2
4 10 0
zz
++=

d)
2
5 9 0
zz
-+=
e)
2
2 3 1 0
zz

-+-=
f)
2
3 2 3 0
zz
-+=

g)
()()0
zzzz
+-=
h)
2
20
zz
++=
i)
2
2
zz
=+

k)
2323
zzi
+=+
l)
( ) ( )
2
2+2230

zizi
++-=
m)
3
zz
=

n)
2
2
488
zz
+=
o)
2
(12)10
iziz
+++=
p)
2
(1)2110
izi
+++=

Bài 11. Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a)
2
44
560
zizi

zizi
ỉư
++
-+=
ç÷

èø
b)
( )( )
(
)
2
5330
zizzz
+-++=

c)
(
)
(
)
22
26 2160
zzzz
+-+-=
d)
( ) ( )
32
1330
zizizi

-+++-=

e)
( )
(
)
2
2 2 0
zizz
+-+=
f)
2
2210
zizi
-+-=

g)
(
)
(
)
2
51421250
zizi
+=
h)
2
8040991000
zzi
-+-=

i)
( ) ( )
2
363130
zizi
+ +-+=
k)
(
)
2
cossincossin0
zizi
-j+j+jj=

Bài 12. Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a)
(
)
2
34510
xixi
-++-=
b)
(
)
2
120
xixi
++ =

c)
2
320
xx
++=

d)
2
10
xx
++=
e)
3
10
x
-=

Bài 13. Giải các phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo:
a)
32
220
ziziz
=
b)
(
)
(
)
32
344440

zizizi
+-+ +=

Bài 14. Tìm m để phương trình sau:
( )
(
)
22
220
zizmzmm
+-+-=

a) Chỉ có đúng 1 nghiệm phức b) Chỉ có đúng 1 nghiệm thực
c) Có ba nghiệm phức
Bài 15. Tìm m để phương trình sau:
32
(3)3()0
zizzmi
++ +=
có ít nhất một nghiệm thực
Bài 16. Tìm tất cả các số phức z sao cho
(2)()
zzi
-+
là số thực.
Bài 17. Giải các phương trình trùng phương:
a)
(
)
42

8163160
zizi
+-=
b)
(
)
42
2413081440
zizi
+-=

c)
42
6(1)560
zizi
++++=

Bài 18. Cho
12
,
zz
là hai nghiệm của phương trình:
(
)
2
12230
zizi
-++-=
. Tính giá trò
của các biểu thức sau:

a)
22
12
zz
+
b)
22
1212
zzzz
+ c)
33
12
zz
+

d)
12
2112
1212
zz
zzzz
ỉưỉư
+++
ç÷ç÷
ç÷ç÷
èøèø
e)
33
2112
zzzz

+ f)
12
21
zz
zz
+

Bài 19. Cho
12
,
zz
là hai nghiệm của phương trình:
2
10
xx
-+=
. Tính giá trò của các biểu
thức sau:
a)
20002000
12
xx+ b)
19991999
12
xx+ c)
12
,
nn
xxnN
+Ỵ

Bài 20. Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thoả mãn hệ
thức sau: