Chuyên đề luyện thi đại học - cao đẳng môn Toán: 6 Chuyên đề ôn thi phần Hình học phẳng

Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng

1


6 Chuyên đề
Hình học phẳng
Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng

2
Dạng 1. Chứng minh các bài toán liên quan đến góc – độ dài đoạn thẳng
1. 1 Phương pháp
1.2 Một số ví dụ
Bài 1. (Đề thi Olympic Belarus) Cho hai đường chéo AC và BD của tứ giác ABCD cắt
nhau tại M. Đường phân giác của góc ACD cắt tia BA ở K. Nếu
. . .
MA MC MACD MB MD
 

thì


BKC CDB

.


Bài 2. (Đề thi Olympic Belarus) Cho tam giác ABC vuông tại C, gọi M là trung điểm
của cạnh huyền AB, H là chân đường cao hạ từ C và P là điểm trong tam giác sao
cho
AP AC


. Hãy chứng minh rằng PM là phân giác góc

BPH
khi và chỉ khi

3
A



Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng

3



Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng

4

Bài 3. (Đề thi Olympic Italia) Cho tứ giác lồi ABCD với





, , , ,
DAB ADB ACB DBC DBA
    

     . Giả thiết rằng
, ,
2 2
 
  
  
2
  
 
. Chứng minh rằng


2
2 2
DB BC AD AC
  




Bài 4. (Đề thi Olympic Mông Cổ) Đường phân giác của các góc A, B, C của tam giác
ABC cắt các cạnh của tam giác tại A
1
, B
1
, C
1
sao cho tứ giác BA
1
B

1
C
1
nội tiếp. Chứng
minh rằng
BC AC AB
AC AB BA BC CA CB
 
  

Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng

5


Bài 5. (Đề thi Olympic Rumani) Cho tam giác nhọn ABC và điểm M là trung điểm của
BC. Tồn tại duy nhất 1 điểm N nằm ở miền trong tam giác ABC sao cho




,
ABN BAM ACN CAM
  . Chứng minh rằng


BAN CAM


Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng

6

Bài 6. (Đề thi Olympic Thổ Nhĩ Kỳ) Cho 1 vòng tròn tâm O, 2 đường tiệm cận xuất
phát từ điểm S nằm bên ngoài đường tròn có tiếp điểm là P, Q. Đường thẳng SO giao
với đường tròn tại A, B với B gần S hơn A. Cho X là một điểm nằm trong cung nhỏ
PB và đường SO giao với các đường QX và PX lần lượt tại C, D. Chứng minh rằng
1 1 2
AC AD AB
 





Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng

7
Bài 7. (Đề thi Olympic Thổ Nhĩ Kỳ) Cho tam giác ABC, các đường phân giác trong và
ngoài của góc A lần lượt cắt đường thẳng BC tại D và E. Cho F là giao điểm thứ hai
(khác A) của AC với đường tròn w có đường kính DE. Vẽ tiếp tuyến tại A với đường
tròn ngoại tiếp của tam giác ABF và giao với đường tròn w tại A và G. Chứng minh
rằng
AF AG

.



Bài 8. (Đề thi Olympic Canada) Cho O là một điểm nằm trong hình bình hành ABCD

sao cho


AOB COD

 
. Chứng minh rằng


OBC ODC

.
Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng

8

Bài 9. (Đề thi Olympic Đức) Một hình vuông S
a
nội tiếp một tam giác nhọn ABC với 2
đỉnh nằm trên cạnh BC và 1 đỉnh nằm trên cạnh AB, 1 đỉnh nằm trên cạnh AC. Các
hình vuông S
b
, S
c
được xây dựng tương tự. Với những trường hợp nào của tam giác
ABC thì các hình vuông S
a
, S
b
, S

c
là bằng nhau.


1.3 Bài tập áp dụng
Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng

9
Bài 10. (China – 1988) (p 48) ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn có tâm O, bán kính
R. Các tia AB, BC, CD, DA cắt đường tròn tâm O bán kinh 2R lần lượt tại A’, B’, C’,
D’. Chứng minh rằng


' ' ' ' ' ' ' ' 2
A B B C C D D A AB BC CD DA
       . Khi nào đẳng
thức được nghiệm đúng?
Bài 11. (China – 1995) (p 78) Cho 2 tia OA, OB trong mặt phẳng và P là điểm nằm
giữa 2 tia này. Hãy xác định điểm X nằm trên tia OA sao cho nếu XP kéo dài cắt OB
tại Y thì tích XP.PY có giá trị nhỏ nhất.
Bài 12. (China – 1996) (p 84) Trong tam giác ABC có


0 0
90 , 30 , 1
C A BC
  
. Tìm giá
trị bé nhất của độ dài cạnh lớn nhất của tam giác nội tiếp trong ABC (tức là tam giác
có 3 đỉnh nằm trên 3 cạnh khác nhau của tam giác ABC.

Bài 13. (China – 2001) (p 91) ABCD là tứ giác nội tiếp. Tâm đường tròn ngoại tiếp
nằm trong ABCD. Cạnh ngắn nhất có độ dài bằng
2
4
t

và cạnh dài nhất có độ dài
bằng t với
2 2
t
 
. Các tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại A’, các tiếp tuyến tại B và
C cắt nhau tại B’, các tiếp tuyến tại C và D cắt nhau tại C’ và các tiếp tuyến tại D và A
cắt nhau tại D’. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất của
' ' ' '
A B C D
ABCD
S
S
.
Bài 14. (Bắc Kinh – 1964)(p105) Trong tam giác ABC có góc A không nhọn, người ta
dựng hình vuông nội tiếp B
1
C
1
DE (cạnh DE nằm trên đoạn BC, còn các đỉnh B
1
, C
1

lần lượt nằm trên đoạn AB và AC). Tiếp theo, từ tam giác AB
1
C
1
, lại dựng hình vuông
B
2
C
2
D
1
E
1
nội tiếp tam giác đó (dựng như hình vuông ban đầu). Quá trình dựng như
trên được thực hiện một vài lần. Chứng minh rằng, tổng diện tích tất cả các hình vuông
nội tiếp trong tam giác bé hơn nửa diện tích tam giác ABC.
Bài 15. (Bắc Kinh – 1966) (P109) Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B
sao cho 2 điểm O và O’ tương ứng nằm trên nửa mặt phẳng bờ AB. Cát tuyến PQ đi
qua A cắt (O) và (O’) lần lượt tại P và Q.
a. Trong trường hợp nào thì A nằm giữa P và Q?
b. Giả sử A nằm giữa P và Q, hãy xác định vị trí cát tuyến PQ để độ dài PQ lớn
nhất.
c. Hãy xác định vị trí của cát tuyến PQ để PA = QA.
Bài 16. (IMO Hong Kong – 2000) (p180) Tam giác ABC vuông có
BC CA AB
 
. Gọi
D là 1 điểm trên cạnh BC, E là 1 điểm trên cạnh BA kéo dài về phía điểm A, sao cho

BD BE CA

 
. Gọi P là điểm trên cạnh AC sao cho E, P, D, P nằm trên 1 đường
Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng

10
tròn, Q là giao điểm thứ 2 của BP với vòng tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh
rằng

AQ CQ BP
 
.
Bài 17. (Malaysia – 2000) Cho tam giác ABC thoả mãn điều kiện:
, ,
AB c BC a AC b
  
và


3
ABC BAC

. Chứng minh rằng
  
2
2
a b a b bc
  

Bài 18. (IMO 1960) (40 – p24) Cho tam giác vuông ABC với cạnh huyền BC có độ
dài a. Chia BC thành n phần bằng nhau, với n là một số nguyên dương lẻ. Khi đó, tam

giác ABC được chia thành n tam giác nhỏ và tam giác nhỏ ở chính giữa có góc tại đỉnh
a bằng α. Gọi H là khoảng cách từ A đến BC. Chứng minh rằng
2
4
tan
nh
an a




Bài 19. (IMO 1961) (40 – p29) Gọi a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có diện
tích là S. Chứng minh rằng
2 2 2
4 3
a b c S
  
. Đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 20. (IMO 1961) (40 – p30) Gọi P là điểm tuỳ ý nằm trong tam giác ABC. PA cắt
BC ở D, PB cắt AC ở E, PC cắt AB ở F. Chứng minh rằng có ít nhất một trong các tỉ
số sau đây không lớn hơn 2:
; ;
AP BP CP
PD PE PF

Bài 21. (IMO 1964) (40 – p43) Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a, b, c. Ta lần
lượt vẽ các tiếp tuyến với đường tròn nội tiếp của tam giác này song song với 3 cạnh
tam giác. Mỗi tiếp tuyến hợp với hai cạnh kia của tam giác để tạo thành một tam giác
mới, như thế ta được 3 tam giác mới tạo thành. Lại vẽ 3 đường tròn nội tiếp ở 3 tam
giác mới đó. Hãy tính tổng diện tích 4 hình tròn nội tiếp nói trên.

Bài 22. (IMO 1966) (40 – p47) Chứng minh rằng tam giác ABC cân nếu
 
tan tan tan
2
C
BC AC BC A AC B
  

Bài 23. (IMO 1966) (40 – p48) Gọi K, L, M lần lượt là các điểm tuỳ ý nằm trên các
cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC. Chứng minh rằng trong các tam giác AML,
BKM, CLK có ít nhất một tam giác có diện tích nhỏ hơn hoặc bằng ¼ diện tích tam
giác ABC.
Bài 24. (IMO 1975) (40 – p66) Cho tam giác ABC bất kỳ. Ta dựng bên ngoài tam giác
đó các tam giác BCP, CAQ, ABR sao cho:


 


0 0 0
45 ; 30 ; 15
PBC CAQ BCP QCA ABR BAR      . Chứng minh rằng

0
90 ,
QRP QR RP
 
Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng

11

Bài 25. (IMO 1982) (40 – p80) Trên các đường chéo AC và CE của lục giác đều
ABCDEF ta lấy 2 điểm M và N sao cho
AM CN
k
MC CE
 
. Biết B, M, N thẳng hàng, hãy
tìm k.
Bài 26. (IMO 1984) (40 – p81) Giả sử ABCD là tứ giác lồi sao cho đường thẳng CD là
tiếp tuyến với đường tròn đường kính AB. Chứng minh rằng, điều kiện cần và đủ để
đường thẳng AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD là hai đường thẳng BC
và AD song song nhau.
Bài 27. (IMO 1987) (40 – p85) Cho tam giác ABC nhọn, đường phân giác trong góc A
cắt BC tại L và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại N. Từ L ta hạ các đường vuông
góc LK và LM theo thứ tự xuống các cạnh AB và AC. Chứng minh rằng diện tích tứ
giác AKMN bằng diện tích tam giác ABC.
Bài 28. (IMO 1989) (40 – p89) Cho tứ giác lồi ABCD có tính chất như sau:
+ Các cạnh AB, AD và BC thoả mãn AB = AD + BC
+ Có một điểm P bên trong tứ giác cách các đường thẳng CD một khoảng cách h sao
cho AP = h + AD, BP = h + BC.
Chứng minh rằng
1 1 1
h AD BC
 

Bài 29. (IMO 1991) (40 – p91) Cho tam giác ABC và điểm I là tâm đường tròn nội
tiếp tam giác. Các đường phân giác trong của các góc A, B, C lần lượt cắt các cạnh đối
diện tại A’, B’, C’. Chứng minh rằng
1 . . 8
4 '. '. ' 27

AI BI CI
AA BB CC
 

Bài 30. (IMO 1991) (40 – p92) Cho tam giác ABC và một điểm P nằm trong tam giác.
Chứng minh rằng có ít nhất một trong ba góc



, ,
PAB PBC PCA
nhỏ hơn hoặc bằng 30
0
.
Bài 31. (IMO 2000) (40 – p108) Cho 2 đường tròn cắt nhau tại M và N; C và A là 2
điểm trên đường tròn thứ nhất và B, D là 2 điểm trên đường tròn thứ 2 sao cho AB là
tiếp tuyến của cả hai đường tròn. Điểm M nằm giữa C và D, trên đường thẳng CD, và
AB // CD. Các dây cung NA và CM, NB và MD cắt nhau tại P, Q tương ứng. Hai tia
CA và DB gặp nhau tại E. Chứng minh rằng PE = QE.

Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng

12
Dạng 2. Chứng minh 2 đường thẳng vuông góc – song song
2.1 Phương pháp
2.2 Một số ví dụ
Bài 1. Gọi P là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của tứ giác lồi ABCD trong
đó AB = AC = BD. Gọi O và I là tâm đường tròn ngoại và nội tiếp của ta

Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng

13
Bài 2. Cho O là tâm đường tròn w ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. Đường tròn w
1
với
tâm K đi qua các điểm A, O, C mà cắt các cạnh bên AB và BC tại M và N. Đặt L là
điểm đối xứng với K qua đường thẳng MN. Chứng minh rằng
BL AC

.


Bài 3. (Đề thi Olympic Đài Loan) Cho tam giác nhọn ABC, AC > BC và M là trung
điểm AB. Các đường cao AP và BQ gặp nhau ở H, đường thẳng AB và BQ cắt nhau ở
R. Chứng minh rằng
RH CM

.

Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng

14
Bài 4. (Đề thi Olympic IrLand) Cho tam giác ABC, M là điểm nằm trong tam giác.
Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của M xuống BC, CA, AD. Tìm tập hợp tất cả các
điểm M thoả mãn

2
FDE



.

Bài 5. (IMO 1985) Cho tam giác ABC. Một đường tròn tâm O đi qua các điểm A và C
và lại cắt đoạn AB và BC theo thứ tự tại 2 điểm phân biệt K và N. Giả sử các đường
tròn ngoại tiếp của các tam giác ABC và KBN cắt nhau tại đúng hai điểm phân biệt B
và M. Chứng minh rằng góc OMB vuông.
Bài 6. (IMO 1993) Cho D là điểm nằm trong tam giác nhọn ABC sao cho


0
90 , . .
ADB ACB AC BD AD BC
  
a. Tính tỉ số
.
.
AB CD
AC BD

b. Chứng minh rằng hai tiếp tuyến tại điểm C của đường tròn ngoại tiếp các tam
giác ACD và BCD vuông góc với nhau.
2.3 Bài tập áp dụng
Bài 5. (China – 1990) ABCD là tứ giác lồi có AB không song song với CD. Một
đường tròn qua A và B tiếp xúc với CD tại X; một đường tròn qua C và D tiếp xúc với
AB tại Y. Hai đường tròn này cắt nhau tịa U, V. Chứng minh rằng UV cắt XY tại
trung điểm của XY khi và chỉ khi BC song song DA.
Bài 6. (Hồng Kông – 1999) Gọi I và O lần lượt là tâm của các vòng tròn nội tiếp và
ngoại tiếp tam giác ABC. Giả sử tam giác ABC không đều (do đó I khác O). Chứng

minh rằng

0
90 2
AIO BC AB CA
   

Bài 7. (IMO – Hồng Kong – 1997) Từ một điểm P nằm ở ngoài đường tròn tâm O, kẻ
2 tiếp tuyến với đường tròn tại A và B. Gọi M là điểm nằm trên đoạn AB và cho C, D
là các điểm trên đường tròn sao cho M là trung điểm của CD. Giả sử các tiếp tuyến của
đường tròn tại C, D cắt nhau tại Q. Chứng minh rằng
OQ PQ


Bài 8. Cho tam giác ABC, M là trung điểm BC, P là điểm nằm trên cạnh AM sao cho
PM = BM, H là chân đường vuông góc hạ từ P xuống BC. Đường thẳng qua H vuông
góc với PB gặp đoạn AB tại Q. Đường thẳng qua H vuông góc với PC gặp đoạn AC
Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng

15
tại R. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác QHR tiếp xúc với cạnh BC tại
H.
Bài 9. Từ đỉnh A của hình vuông ABCD, ta vẽ hai tia Ax, Ay đi qua miền trong của
hình vuông đó. Giả sử các điểm M, K là hình chiếu của các điểm B, D lên Ax; L, N
tương ứng là hình chiếu của B và D lên Ay. Chứng minh rằng các đoạn thẳng KL, MN
vuông góc với nhau và bằng nhau.
Bài 10. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, D là
trung điểm cạnh AB, E là trọng tâm tam giác ACD. Chứng minh rằng IE vuông góc
với CD.
Bài 11. Cho tứ giác lồi ABCD thoả điều kiện


0
90
BAD 
. Gọi M, N lần lượt là 2 điểm
nằm trên BC và CD sao cho


0
90
MAD NAB 
. Chứng tỏ rằng nếu MN và BD cắt nhau
tại I thì IA vuông góc với AC.
Dạng 3. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng – 3 đường thẳng đồng quy
3.1 Phương pháp
- Áp dụng định lý Cê – va, Menelaus, Pascal, …
- Áp dụng định lý về phương tích – trục đẳng phương.
3.2 Một số ví dụ
3.2.1 Ứng dụng các đinh lý hh phẳng (Cê – va, Menelaus, Pascal, …)
Bài 1. (Đề thi Olympic ChiLê – 2000) Cho ABCD là một tứ giác nội tiếp. Các đường
thẳng AB và CD cắt nhau tại P. Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại Q. Gọi E và F
là giao điểm của tiếp tuyến từ Q với đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD. Chứng minh
rằng P, E, F thẳng hàng.
Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng

16



Bài 2. (Đề thi HSG QG 2011) Cho đường tròn (O), đường kính AB. P là một điểm trên

tiếp tuyến của (O) tại B (P khác B). Đường thẳng AP cắt (O) lần thứ hai tại C. D là
điểm đối xứng của C qua O. Đường thẳng DP cắt (O) lần thứ hai tại E.
a. Chứng minh rằng AE, BC, PO đồng quy tại M
b. Tìm vị trí của P để diện tích tam giác AMB lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó
theo R là bán kính của (O).

Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng

17


Bài 3. (IMO – Hong kong – 1998) Cho tam giác ABC. Các tam giác ABX, BCY và
CAZ cân và đồng dạng nhau, chúng ở ngoài tam giác ABC và thoả mãn
Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng

18
, ,
XA XB YB YC ZC ZA
  
. Chứng minh rằng các đường thẳng AY, BZ, CX đồng
quy.
3.2.2 Trục đẳng phương – Tâm đẳng phương
Bài 1. Cho tam giác ABC, bên ngoài tam giác này, vẽ các tam giác cân BCD, CAE,
ABF có các cạnh đáy tương ứng là BC, CA, AB. Chứng minh rằng ba đường thẳng
vuông góc kẻ từ A, B, C xuống EF, FD, DE đồng quy.
Bài 2. Cho 4 điểm A, B, C, D theo thứ tự đó nằm trên đường thẳng. Gọi E, F là các
giao điểm của 2 đường tròn: đường tròn (O1) đường kính AC, đường tròn (O2) đường
kính BD. Lấy điểm P là điểm bất kỳ trên đường thẳng EF. CP cắt (O1) tại M và BP cắt
(O2) tại N. Chứng minh AM, DN, EF đồng quy.
Bài 3. Cho tam giác ABC có trực tâm H và D, E là các điểm tuỳ ý trên các cạnh AB,

AC. Giả sử các đường tròn đường kính BE và CD cắt nhau tại hai điểm F, G. Chứng
minh F, G, H thẳng hàng.
Bài 4. Cho tam giác ABC không cân có O là tâm đường tròn ngoại tiếp, D, E, F là
chân các đường phân giác trong góc A, B, C. Gọi K là trực tâm của tam giác DEF.
Chứng minh rằng đường thẳng OK là trục đẳng phương chung của các đường tròn
Apollonius của tam giác ABC.
3.2.3 Dạng khác
Bài 1. Cho tam giác ABC. Các tam giác ABX, BCY, CAZ cân và đồng dạng nhau,
chúng nằm ở ngoài tam giác ABC và thoả mãn XA = XB, YB = YC, ZC = ZA. Chứng
minh rằng các đường thẳng AY, BZ, CX đồng quy.
Bài 2. Cho tam giác ABC không vuông, không cân, nội tiếp đường tròn (O). Gọi A
1
,
B
1
, C
1
lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Trên tia OA
1
láyA
2
sao cho tam
giác OAA
1
đồng dạng với tam giác OA
2
A. Trên các tia OB
1
, OC
1

tương tự cho các
điểm B
2
, C
2
. Chứng tỏ rằng các đường thẳng AA
2
, BB
2
, CC
2
đồng quy tại 1 điểm.
Bài 3. Cho A, B, C, D là 4 điểm phân biệt trên 1 đường thẳng và được sắp theo thứ tự
đó. Các đường tròn đường kính AC và BD cắt nhau tại X và Y. Đường thẳng XY cắt
BC tại Z. Đường thẳng CP cắt đường tròn đường kính AC tại C và M, đường thẳng BP
cắt đường tròn đường kính BD tại B và N. Chứng minh rằng các đường thẳng AM, DN
và XY đồng quy.

Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng

19
Dạng 4. Tìm quỹ tích điểm
4.1 Phương pháp
4.2 Một số ví dụ
Bài 1. Cho hình bình hành ABCD mà ABD là tam giác nhọn và

4
BAD



. Trên các
cạnh của hình bình hành, lấy các điểm K thuộc AB, L thuộc BC, M thuộc CD, N thuộc
DA sao cho KLMN là tứ giác nội tiếp có bán kính bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp
các tam giác ANK và CLM. Tìm quỹ tích các giao điểm của đường chéo của tứ giác
KLMN.

Bài 2. (Đài Loan – 1997) Gọi AB là đoạn thẳng cho trước. Tìm tất cả các điểm C trong
mặt phẳng (chứa AB) sao cho trong tam giác ABC, đường cao kẻ từ A và đường trung
tuyến kẻ từ B có độ dài bằng nhau.
Bài 3. (IMO 1965) Cho tam giác OAB có góc O nhọn, M là điểm tuỳ ý trên cạnh AB,
P và Q lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ M xuống OA và OB tương ứng.
Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác OPQ. Quỹ tích H sẽ là gì nếu M di động trong
miền trong của tam giác OAB.
Bài 4. Cho đường tròn (C) có tâ I, bán kính R và điểm O cố định sao cho OI = 2R. Gọi
(C
1
) và (C
2
) là hai đường tròn thay đổi qua O, tiếp xúc với (C) và trực giao với nhau,
M là giao điểm thứ hai của (C
1
) và (C
2
). Tìm tập hợp điểm M.
Bài 5. Cho điểm A cố định ở miền trong của hình tròn tâm O bán kính R. Gọi EF là
dây cung thay đổi luôn đi qua A của đường tròn (O). Tìm tập hợp các giao điểm M của
hai tiếp tuyến với đường tròn kẻ từ E và F.
Bài 6. Gọi B, C là hai điểm cố định nằm trên một vòng tròn cho trước, A là điểm
chuyển động trên đường tròn đó. Điểm I trên đoạn AB sao cho
 

0
IA
k k
IB
 
. Tìm tập
hợp các điểm M, hình chiếu của điểm I lên đường thẳng AC.
Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng

20
Dạng 5. Chứng minh tứ giác nội tiếp
5.1 Phương pháp
5.2 Một số ví dụ
Bài 1. (Đề thi Olympic Hàn Quốc) Cho tứ giác lồi ABCD là tứ giác nội tiếp. Gọi P, Q,
R, S lần lượt là các giao điểm của hai đường phân giác ngoài các góc

ABD
và

ADB
,

DAB
và

DBA
,

ACD
và


ADC
,

DAC
và

DCA
tương ứng. Chứng minh rằng bốn điểm
P, Q, R, S cùng nằm trên 1 đường tròn.

Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng

21

Bài 2. Gọi AA
1
, CC
1
là các đường cao của tam giác nhọn ABC. Đường phân giác của
góc nhọn giữa hai đường thẳng AA
1
, CC
1
cắt các cạnh AB và BC tại P, Q tương ứng.
Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và M là trung điểm cạnh AC, đường phân giác
của góc

ABC
cắt đoạn HM tại R. Chứng minh rằng tứ giác PBQR nội tiếp một đường

tròn.

Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng

22


Bài 3. (VMO 2001) Cho tam giác ABC không cân có góc ABC và góc ACB nhọn. D
di chuyển trên cạnh BC sao cho AD không vuông góc với BC. Đường thẳng qua D
vuông góc với BC cắt đường thẳng AB, AC tại E và F. Gọi M, N, P là tâm đường tròn
nội tiếp các tam giác AEF, BDE và CDF. Chứng minh rằng A, M, N, P cùng thuộc 1
đường tròn khi và chỉ khi d đi qua tâm đường tròn nội tiếp của tam giác
ABC.
Bước 1. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng

23

Bài 4. (VĐ 12 – p9) Chứng minh rằng tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường tròn
khi và chỉ khi các đường thẳng, mỗi đường đi qua trung điểm mỗi cạnh và vuông góc
với cạnh đối diện đồng quy.
Dạng 6. Đường thẳng – đường tròn qua điểm cố định
6.1 Phương pháp
Bài toán: Cho điều kiện X. Xét đường thẳng d thay đổi thoả mãn điều kiện X. Chứng
minh rằng d đi qua một điểm cố định.
Điều kiện X rất đa dạng. Ta có một số phương pháp tìm điểm cố định mà d đi qua như
sau:
+ Đoán nhận điểm cố định bằng một số điểm đặc biệt, chẳng hạn: trực tâm, trọng tâm,
tâm đường tròn nội – ngoại tiếp có tính chất cố định, trung điểm của đoạn thẳng cố
định, ….

+ Xét một số vị trí đặc biệt của d để tìm điểm cố định.
+ Liên hệ giữa bài toán này với bài toán chứng minh 3 điểm thẳng hàng hoặc 3 đường
thẳng đồng quy.
+ Sử dụng phép biến hình để chỉ ra rằng nếu ảnh của đường thẳng d đi qua một điểm
cố định thì d đi qua một điểm cố định.
Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng

24
+ Dùng phương pháp toạ độ
+ Dùng điều kiện cùng phương của hai vec tơ: “Cho 3 điểm A, B, C không thẳng
hàng. Điều kiện cần và đủ để điểm M nằm trên BC là tồn tại các số thực x, y sao
cho
1
x y
 
và
OM xOA yOB
 
  
”
6.2 Ví dụ
Ví dụ 1. Cho góc

xOy
và các độ dài a, b. Trên hai cạnh của góc ta lấy các điểm A, B
thoả mãn điều kiện
1
a b
OA OB
 

. Chứng minh rằng khi các điểm A, B thay đổi thì
đường thẳng AB luôn qua một điểm cố định.
Ví dụ 2. Cho hình vuông ABCD. Xét các điểm M và N lần lượt trên các đường thẳng
AB và AD sao cho các đường thẳng DM và BN cắt nhau tại P khác A; dựng hình chữ
nhật AMQN. Chứng minh rằng khi các điểm M, N thay đổi thì đường thẳng PQ luôn
qua một điểm cố định.
Ví dụ 3. Cho góc

xOy
và điểm A cố định trên tia Ox. Với mỗi điểm B thuộc tia Oy ta
dựng đường tròn nội tiếp tam giác OAB tiếp xúc với cạnh OB tại N và tiếp xúc với
cạnh AB tại M. Chứng minh rằng khi B thay đổi trên tia Oy thì đường thẳng MN đi
qua một điểm cố định.
Ví dụ 4. Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B. Trên tia đối Ax của tia
AB lấy điểm M. Từ M kẻ tới đường tròn (O’) hai tiếp tuyến MC và MD (C, D là các
tiếp điểm và D nằm trong (O)). Đường thẳng AC cắt (O) lần thứ hai tại P và AD căt
(O) lần thứ hai tại Q. Chứng minh rằng đường thẳng PQ đi qua một điểm cố định khi
M thay đổi trên tia Ax.
6.3 Bài tập áp dụng
Bài 1. Cho góc xOy và điểm A cố định trên tia Ox. Với mỗi điểm B thuộc Oy ta dựng
đường tròn bàng tiếp tam giác OAB tiếp xúc với OB tại N và đường thẳng AB tại M.
Chứng minh rằng khi B thay đổi trên tia Oy thì đường thẳng MN luôn đi qua một điểm
cố định.
Bài 2. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho các đường tròn
nội tiếp hai tam giác ABD và ACD cắt nhau tại hai điểm phân biệt P và Q. Chứng
minh rằng đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi.
Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng

25
Bài 3. Cho góc xOy và độ dài a. Trên hai cạnh của góc ta lấy các điểm A, B thoả mãn

điều kiện OA + OB = a. Chứng minh rằng khi các điểm A, B thay đổi đường trung
trực của đoạn thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 4. Cho góc xOy và độ dài a. Trên các cạnh của góc ta lấy các điểm A, B thoả mãn
điều kiện OA – OB = a. Chứng minh rằng khi các điểm A, B thay đổi sao cho
2
a OA a
 
thì đường trung trực của đoạn thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 5. Cho tam giác ABC. Từ 1 điểm P thay đổi nằm trên 1 mặt phẳng của tam giác ta
kẻ các đường thẳng song song với CA, CB lần lượt cắt CB, CA tại Q và R. Đường
thẳng d nối Q với trung điểm I của CA cắt đường thẳng d’ nối R với trung điểm J của
CB tại S. Chứng minh rằng đường thẳng PS luôn luôn qua 1 điểm cố định. (hệ afin)
Bài 6. Cho (O) và đường thẳng d cố định nằm ngoài (O).H là hình chiếu của O trên
d.M thuộc d. C và D lần lượt là hình chiếu của H trên 2 tiếp tuyến từ M tới (O). Chứng
minh CD đi qua 1điểm cố định.
Bài 7. Cho tam giác ABC có góc A^=45o nội tiếp trong đường tròn (O). Đường thẳng
qua B // AC cắt (O) tại M, đường thẳng qua C// AB cắt (O) tại N. Gọi E,F lần lượt là
trung điểm của BM,CN. Chứng minh: Khi A di chuyển trên cung BC với B,C cố định
thì đường thẳng qua A vuông góc với EF luôn qua 1 điểm cố định.
Bài 8. Cho , điểm và chuyển động trên các tia và sao cho
( là độ dài cho trước). Gọi là trọng tâm của . Chứng minh
rằng: đường thẳng qua và vuông góc với luôn luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 9. Cho (O), dây cung AB cố định. M là điểm di động trên đường tròn, I là trung
điểm của BM. Qua I kẻ đường thẳng d vuông góc với AM.
Chứng minh: Khi M thay đổi thì đường thẳng d luôn đi qua một điẻm cố định.
Bài 10. Từ điểm A nằm ngoài (O) vẽ cát tuyến ABC với (O). Chứng minh rằng: Khi
cát tuyến thay đổi thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC luôn thuộc một đường
thẳng cố định.
Bài 11. (QG 2008 – 2009) Trong mặt phẳng cho 2 điểm cố định A, B (A khác B). Một
điểm C di động trên mặt phẳng sao cho


ACB


không đổi


0 0
0 180

  . Đường
tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với AB, BC, CA lần lượt tại D, E, F. Các
đường thẳng AI, BI cắt đường thẳng EF lần lượt tại M và N.
a. Chứng minh rằng đoạn thẳng MN có độ dài không đổi.
b. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN luôn đi qua một điểm
cố định.