Phương trình hàm

Giỏo viờn: Nguyn Tn t
1

PHNG TRèNH HM


Ti liu ging dy lp 10 Toỏn 2011-2012

I. nh ngha
Phng trỡnh hm l phng trỡnh m n l cỏc hm s, gii phng trỡnh hm tc l tỡm
cỏc hm s cha bit ú.
Cu trỳc c bn ca mt phng trỡnh hm gm ba phn chớnh:
* Min xỏc nh v min giỏ tr.
* Phng trỡnh hoc h phng trỡnh hm.
* Mt s iu kin b sung (tng, gim, n iu, b chn, liờn tc, kh vi,).
Ngi ta phõn loi phng trỡnh hm theo hai yu t chớnh: min giỏ tr v s bin t do.

II. Phõn loi v phng phỏp gii phng trỡnh hm
1) Phõn loi
Cú th chia thnh cỏc loi phng trỡnh hm nh sau:
* Phng trỡnh hm trờn
, , ,
Ơ Â Ô Ă
,
* Phng trỡnh hm mt bin t do, hai bin t do,
* Phng trỡnh hm trờn lp hm n iu, lp hm liờn tc, lp hm a thc,

2) Phng phỏp
Trong cỏc trng hp n gin, phng trỡnh hm cú th gii bng phộp th thu c thụng
tin hoc phng trỡnh b sung.
Vi cỏc phng trỡnh hm xỏc nh trờn

Ơ Â Ô Ă
, , ,
, ta cn hiu rừ cu trỳc ca cỏc tp ny
tỡm cỏch tip cn. u tiờn, ta tớnh cỏc giỏ tr c bit nh
(
)
(
)
0 1
f , f
, sau ú dựng qui np tớnh
( )
Ơ
f n ,n
ẻ
, v tip theo l
1
f
n
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
. Sau ú dựng cu trỳc ca
Ô
tỡm

( )
f x
nu cn.

Vớ d 1. Tỡm tt c cỏc hm
Ă Ă
f :
đ
tha
( )
(
)
( )
(
)
1
f x f y xy f x f y , x, y
- = + - "

Gii

Gi s tn ti cỏc hm s
( )
f x
tha phng trỡnh ó cho. t
y x
=
, ta c:
( )
[ ]

( ) ( )
[ ]
( )
( )
2 2
2
1
2 1 0 1 0
1
f x x
f x f x x f x
f x x
ộ
= +
ờ
- + - = - =
ờ
= -
ờ
ở

Th li thy c hai hm s trờn u tha.

Vớ d 2. Tỡm tt c cỏc hm
Ơ Ơ
* *
f :
đ
tha
(

)
2 2
f
=

( ) ( ) ( )
Ơ
*
f mn f m .f n , m,n
= " ẻ

( ) ( )
f m f n , m n
< " <

Gii

Mt trong nhng cụng c quan trng ta thng s dng khi gii cỏc bi toỏn trờn
Ơ
*
l nguyờn
lớ qui np.
(
)
(
)
(
)
(
)

(
)
1 1 1 1 1 1 1
f f . f .f f
= = ị =

(
)
(
)
(
)
(
)
4 2 2 2 2 2 2 4
f f . f .f .
= = = =
. Ta cú
(
)
(
)
(
)
2 2 3 4 4
f f f
= < < =
. Do
(
)

3
f
l s
nguyờn dng nờn
(
)
3 3
f
=

Giỏo viờn: Nguyn Tn t
2

Tng t
(
)
6 6
f
=
suy ra
(
)
5 5
f
=
.
Ta chng minh
( )
f n n
=

bng qui np. Gi s ng thc ỳng vi
n k :
=
(
)
f k k
=
. Xột
1
n k
= +
. Nu n chn thỡ
( )
( )
1 1
1 2 2 1
2 2
k k
f k f .f . k
ổ ử ổ ử
+ +
ữ ữ
ỗ ỗ
+ = = = +
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
. Nu n l thỡ

1
n
+

chn v
( )
( )
2 2
2 2 2 2
2 2
k k
f k f f k
ổ ử ổ ử
+ +
ữ ữ
ỗ ỗ
+ = = = +
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
.
M
(
)
(
)
(
)

(
)
1 2 2 1 1
k f k f k f k k f k k
= Ê + Ê + = + ị + = +

Theo nguyờn lớ qui np ta cú
( )
Ơ
*
f n n, n
= " ẻ
.
Trong li gii trờn ta s dng hai tớnh cht quan trng l th t trờn
Ơ
*
v phng phỏp qui np
toỏn hc. Tớnh cht
(
)
(
)
1 1
k f k k f k k
- < < + ị =
l mt tớnh cht rt quan trng ó c
s dng.

II. Mt s phng phỏp gii cỏc phng trỡnh hm
1. Phng phỏp t n ph

Xột phng trỡnh hm s dng: f(
j
(x)) = g(x), trong ú
j
(x), g(x) l nhng hm s
bin s thc ó bit.
Trong mt s trng hp nu t
j
(x) = t, ta cú th gii ra x =
y
(t). Khi ú th vo
phng trỡnh ó cho ta cú ta cú f(t) = g(
y
(t)), t ú ta cú hm s f(x) = g(
y
(x)).
Tuy nhiờn nhiu khi vn khụng hon ton n gin. Trong trng hp ú cn s
dng cỏc phộp bin i thớch hp , c gng a phng trỡnh ó cho v dng:
f(
j
(x)) = h(
j
(x)). Khi ú hm s cn tỡm s cú dng: f(x) = h(x).
Hm f(x) sau khi tỡm c ta cn phi tin hnh th li ri a ra kt lun nghim ca phng
trỡnh.


Dng 1: Phng trỡnh cú dng
( ) ( )

f( x ) =g x
(1)



Cỏch gii: t
(
)

t = x
(2)
Nu phng trỡnh (2) d gii v cho biu thc nghim n gin
(
)
1
x t
j
-
= , ri th vo (1) ta
cú:
( )
( )
(
)

f t g x
-
=
1
.

Nu phng trỡnh (2) khú gii v cho biu thc nghim phc tp thỡ ta tỡm cỏch bin i a (1)
v dng
( ) ( )
(
)
( ) ( )

f( x ) =g x f x g x
ị =
.
Chỳ ý:
Cỏc phng phỏp núi trờn thng s dng gii cỏc bi toỏn n gin nht v phng trỡnh
hm s.
Vỡ cỏch gii l iu kin cn, nờn sau khi gii xong ta phi th li xem hm s tỡm c cú tha
cỏc yờu cu khụng.

Vớ d 3. Tỡm hm s f(x) bit
1
3, 1.
1
x
f x x
x
+
ổ ử
= + ạ
ỗ ữ
-
ố ứ

Gii
t
1
1
x
t
x
+
=
-

1
1
t
x
t
+
ị =
-
,
1
x
" ạ
.
Giỏo viờn: Nguyn Tn t
3

T (1) ta suy ra f(t) =
1
1

t
t
+
-
+ 3 =
4 2
1
t
t
-
-

ị
f(x) =
4 2
1
x
x
-
-

Th li ta thy f(x) tho yờu cu bi toỏn.
Vy hm s cn tỡm l
( )
4 2
, 1
1
x
f x x
x

-
= ạ
-
.
Vớ d 4. Tỡm f(x) bit
0
3
3
1 1
f(x + ) = x + ,x .
x
x
ạ

Gii
Vỡ t
1
t = x +
x
cho biu thc nghim x theo t phc tp nờn ta bin i gi thit v dng:
f(x +
1
x
) = (x +
1
x
)
3
3(x +
1

x
) (*)
T (*)
(
)
3
3
f x x x
ị = -
,
x

2. Th li thy f(x) tho yờu cu bi.
Vy hm s cn tỡm l
(
)
3
3 , 2
f x x x x
= -
.
Vớ d 5. Tỡm hm
{
}
Ă Ă
2
f : \
đ
tha
2

2 1
2 1
1
x
f x x, x .
x
ổ + ử
ữ
ỗ
= + ạ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
-

Gii
t
2 1
1
x
t
x
+
=
-
. Do tp xỏc nh ca hm f nờn
{
}

Ă
2
t \
ẻ
. Ta c
( )
(
)
2
2
2
2
1 1 1 3 3
2 2 2
2 2 2
2
t t t t
x f t x x , t .
t t t
t
+ ổ + ử ổ + ử -
ữ ữ
ỗ ỗ
= ị = + = + = ạ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
- - -

-

Th li thy ỳng. Vy
( )
(
)
2
2
3 3
2
2
x
f x , x .
x
-
= ạ
-

Nhn xột: Khi t t phi chỳ ý min giỏ tr
x
f
x D
t D
ẻ
è
. Trong vớ d trờn, nu hm
Ă Ă
f :
đ

thỡ cú vụ s hm f dng
( )
( )
2
2
3 3
2
2
2
x
, x
x
f x
a, x
ỡ
ù
-
ù
ạ
ù
ù
-
=
ớ
ù
ù
=
ù
ù
ợ

.
Vớ d 6. Tỡm hm
(
]
(
]
Ă
1 0 1
f : ; ;
-Ơ - ẩ đ
tha
(
)
2 2
1 1 1
f x x x x , x .
- - = + -

Gii
t
( )
2 2
2
2
0
1 1
1
x t
t x x x x t
x x t

ỡ
-
ù
ù
ù
= - - - = -
ớ
ù
- = -
ù
ù
ợ

2
1
2
x t
t
x
t

ỡ
ù
ù
ù
ù

ớ
+
ù

=
ù
ù
ù
ợ
. H cú nghim x
2
1
1
0 1
2
t
t
t
t
t
ộ Ê -
+
ờ

ờ
< Ê
ờ
ở

(
]
(
]
1 0 1

t ; ;
ị ẻ -Ơ - ẩ
. Vy
min giỏ tr
(
]
(
]
1
1 0 1
f
x
t D ; ;

= = -Ơ - ẩ
.
Vi
( )
2 2
1 1
1 1t x x x x f t
t t
= - - ị + - = ị =
. Th li thy ỳng.
Vy
( )
1
f x .
x
=

Giỏo viờn: Nguyn Tn t
4

Vớ d 7. Cho hm s
(
)
Ă
0
f : ;
+Ơ đ
tha
( )

4
4
1
2 0
4
f tan x tan x , x ; .
tan x
ổ ử
ữ
ỗ
= + " ẻ
ữ
ỗ
ữ
ố ứ

Chng minh
( )
( )

f sin x f cos x , x ;
ổ ử
ữ
ỗ
+ " ẻ
ữ
ỗ
ữ
ố ứ
196 0
2

Gii
t
2 0
t tan x, t
= >

2
2 2 1
1
tan x
t tan x
t tan x
tan x
ị = ị = -

-

2
2 4
2 2 2 4
4 1 4 1
2 2 2
tan x tan x
t tan x t tan x
ổ ử
ữ
ỗ
ị = + - ị + = + +
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ

Khi ú:
4
4 2 4
16 16 1
2
tan x
t t tan x
+ + = +
Hm s tr thnh
( )
4 2

16 16
2 0
f t , t .
t t
= + + >

Nh vy
( )
( )
4 4 2 2
16 16 16 16
4
f sin x f cosx
sin x co s x sin x co s x
+ = + + + +

( )
( )
2 2 2
2 2 8 4
16 16 4 16 16 4
2
2
16 8 16 4 4 196
f sin x f cosx .
sin x cos x sin x
sin x cos x sin x
. .
ị + + + = + +
+ + =

ng thc xy ra khi

4
x .
=
Vớ d 8. Tỡm hm s
(
)
f x
tha

(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
2 cos , , 1
0 1 2
2
f x y f x y f x y x y
f f
p
ỡ
+ + - = "
ù

ớ
ổ ử
= =
ỗ ữ
ù
ố ứ
ợ

Gii
Trong (1) cho 0,
x y t
= =
, ta cú:
(
)
(
)
2cos
f t f t t
+ - = (3)
Trong (1) cho ,
2 2
x t y
p p
= + =
, ta cú:
(
)
(
)

0
f t f t
p
+ + =
(4)
Trong (1) cho ,
2 2
x y t
p p
= = +
, ta cú:
(
)
(
)
2sin
f t f t t
p
+ + - = - (5)
Cng hai v ca (3) v (4) ri tr cho (5), ta c:
(
)
cos sin
f t t t
= + (6)
Th li ta thy hm s xỏc nh (6) tha iu kin.

Vớ d 9. Tỡm hm s
(
)

f x
xỏc nh vi mi x tha

( ) ( ) ( ) ( )
(
)
( )
( ) ( )
2 2
4 , , 1
1 2 2
x y f x y x y f x y xy x y x y
f
ỡ
- + - + - = - "
ù
ớ
=
ù
ợ

Gii
Trong (1) thay 1,
x t y t
= + =
:
( ) ( )
(
)
( ) ( ) ( )

(
)
2
2
2 1 2 1 4 4 2 2 1 2 1 2 1 1
f t t t t f t t t
+ = + + + + = + + +

T ú suy ra:
(
)
(
)
(
)
2 3
1 3
f x x x x x= + = +
Giỏo viờn: Nguyn Tn t
5

Th li ta thy hm s xỏc nh (3) tha yờu cu.

Vớ d 10. Tỡm :
đ
Ă Ă
f sao cho:
2 2
( ) ( ) ( ) ( ) 4 .( ), ,x y f x y x y f x y xy x y x y
- + - + - = - " ẻ

Ă

Gii
t
2
2
u v
x
u x y
v x y u v
y
+
ỡ
=
ù
= +
ỡ
ù
ị
ớ ớ
= - -
ợ
ù
=
ù
ợ

2 2 2 2
( ) ( )
( ) ( ) ( ) , , 0

f u f v
vf u uf v u v uv u v u v
u v
ị - = - ị - = - " ạ

Cho v = 1 ta cú:
2 2
( ) (1)
1 , 0
1
f u f
u u
u
- = - " ạ

3
( ) , 0
f u u au u
ị = + " ạ
(a = f(1) 1)
Cho x = y = 0 ta cú 2f(0) = 0 do ú f(0) = 0
Kt lun
3
( ) ,f x x ax x
= + " ẻ
Ă


Vớ d 11. Tỡm hm
(

)
(
)
0 0
f : ; ;
+Ơ đ +Ơ
tha
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0
xf xf y f f y , x; y ; .
= " ẻ +Ơ

Gii
Cho
1
y
=
, ta cú
(
)
(

)
(
)
(
)
1 1
xf xf f f
=
. Cho
(
)
( )
( )
1
1 1
1
x f f
f
= ị =
.
( )
( )
( )
( )
1
1 1 1xf xf f xf
x
ị = ị =
. t
(

)
1
t x.f
=

( )
(
)
( )
1
1
f a
f t ,a f
t t
ị = = = . Vỡ
(
)
(
)
1 0
f ;
ẻ +Ơ
nờn min giỏ tr
( )
(
)
0
0
x ;
t ;

ẻ +Ơ
ẻ +Ơ
.
Vy
( )
a
f x
x
=
. Th li tha yờu cu.
BI TP

Bi 1. Tỡm hm s f(x) bit
Ă
2
f(x + 1) = x + 2x + 3, x .
ẻ

Gii
t t = x + 1. Gii ra x = t 1 ri th vo phng trỡnh ó cho ta c:
2 2 2
f(t) = g(t - 1) = (t -1) + 2(t - 1) + 3
= t + 2 f(x) = x + 2
ị

Th li ta thy f(x) tho yờu cu bi toỏn. Vy hm s cn tỡm l: f(x) = x
2
+ 2.
Bi 2. Xỏc nh f(x) khi bit:
a)

3 1 1
2 2
x x
f
x x
+ +
ổ ử
=
ỗ ữ
+ +
ố ứ
(
1, 2
x x
" ạ ạ -
)
b)
(
)
sin 3
f x x
= -

Gii

a) t
3 1 2 1
( 3)
2 3
x t

t x t
x t
+ -
= ị = ạ
+ -
1 2
2 3 4
x t
x t
+ +
ị =
+ -
( )
2
3 4
t
f t
t
+
ị =
-

Vy f(x) =
2
3 4
x
x
+
-
.

Giỏo viờn: Nguyn Tn t
6

b) t
sin arcsin
t x x t
= ị =

Do ú: f(t) = arcsin t 3

f(x) = arcsinx 3.
Bi 3. Tỡm hm
{
}
Ă Ă
2
3
3
f : \ ; đ tha
3 1 1
2 1
2 1
x x
f , x ; x .
x x
ổ ử
- +
ữ
ỗ
= ạ - ạ

ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
+ -

Gii
t
3 1
2
x
t
x
-
=
+
. Min giỏ tr
{
}
Ă
2 1
2
3
3
x ;
t \ ;
ạ-
=
2 1

3
t
x
t
+
ị =
-
. Khi ú
( )
4
3 2
t
f t
t
+
=
-
. Th li tha yờu cu bi. Vy
( )
4
3 2
x
f x .
x
+
=
-

Bi 4. Tỡm hm f(x) nu bit:
a)

2
2
2
, 0.
a a
f x x x
x x
ổ ử
+ = + " ạ
ỗ ữ
ố ứ

b)
(
)
2
1 1 , 1.
f x x x
+ = + " -

c)
2
1
1 1
f x
x
ổ ử
+ = -
ỗ ữ
ố ứ

Gii
a) t
2
2 2
2
2
a a
t x x t a
x x
= + ị + = -
,
0
x
" ạ

Do ú:
(
)
2
2
f t t a
= -
. Vy:
(
)
2
2
f x x a
= -

.
b) t
(
)
2
2 2 2
1 1 1 , 1
t x x t x t x
= + ị = - ị = - -

Do ú:
( )
( )
2
2 2 4 2
1 1 1 2 2
f t x t t t
= + = + - = - +

Vy
( )
4 2
2 2
f x x x
= - +

c) t
1
, 0
t x x

x
= + ạ
1
, 1.
1
x t
t
ị = ạ
-

Do ú
( )
( ) ( )
2
2 2
1 2
1
1 1
t t
f t
t t
- +
= - =
- -
. Vy
( )
( )
2
2
2

1
x x
f x
x
- +
=
-
.
Bi 5. Tỡm hm s f(x) bit
2
f(cosx) = sin x + 2
. (1)
Gii
Nu t t = cosx gii phng trỡnh ny vi n x s cho ta nghim phc tp vỡ vy ta bin i:
sin
2
x = 1 cos
2
x .

Ta a (1) v dng f(cosx) = 3 cos
2
x
ị
f(x) = 3 x
2
; x
ẻ
[-1;1].
Th li thy f(x) tho yờu cu bi toỏn.

Vy f(x) = f(x) = 3 x
2

l hm s cn tỡm.
Bi 6. Tỡm tt c cỏc hm s
(
)
f x
ly giỏ tr nguyờn v xỏc nh trờn tp hp cỏc s nguyờn
sao cho
(
)
(
)
(
)
3 2
f x f f x x
- =
vi mi s nguyờn
x
.
Gii
Hm s
(
)
f x x
=
tha món iu kin ca bi toỏn.
Giỏo viờn: Nguyn Tn t

7

Cho
(
)
f x
l mt hm s tha iu kin bi. t
(
)
(
)
g x f x x
= -

Khi ú
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(

)
(
)
(
)
3 2 2 2 2
f x f f x x f x f f x f x x g f x g x
- = - = - =
T ú ta c:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2 2 2
n
n
g x g f x g f f x g f f f x
ổ ử
ỗ ữ
= = = =
ỗ ữ
ố ứ
1442443

Vỡ

( )
( )
( )

n
g f f f x
ổ ử
ỗ ữ
ẻ
ỗ ữ
ố ứ
Â
1442443
nờn
(
)
2 , ,
n
g x n x
" " ẻ
M Â
. iu ny ch xy ra khi
(
)
0
g x
=
.
Vy
(

)
f x x
=
l nghim duy nht ca bi toỏn.
Bi 7. Tỡm hm f(x) bit:
a/
3 2
2, 1.
1
x
f x x
x
-
ổ ử
= + ạ
ỗ ữ
-
ố ứ

b/
(
)
cos cos3 , .
f x x x
Ă
= ẻ

c/
3
3

1 1
, 0.
f x x x
x x
ổ ử
- = - ạ
ỗ ữ
ố ứ

d/
2
1
1
f x x .
x
ổ ử
ữ
ỗ
= + +
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ

Bi 8. Tỡm
1
0
x
f ,x

x
ổ + ử
ữ
ỗ
ạ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
bit
2
2
1
1
f x .
x
ổ ử
ữ
ỗ
= -
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
+

Bi 9. Tỡm hm f(x) bit
4

2 2
1
.
1
x x
f
x x
+
ổ ử
=
ỗ ữ
+
ố ứ



DNG 2:
( ) ( )
(
)
( ) ( )
(
)
( )
(
)
1
a x f u x b x f v x w x
+ =

T phng trỡnh (1), t n ph
(
)
(
)
=
u x v t
thu thờm mt phng trỡnh
( ) ( )
(
)
( ) ( )
(
)
( )
(
)
2
a x f u x b x f v x w x
  Â
+ =

Kt hp (1) v (2), ta gii h tỡm
( )
(
)
f u x
hoc

( )
(
)
f v x
ri tr li dng trờn.
Vớ d 1. Tỡm hm s f(x) bit
1 1
2 , 0,1.
-
ổ ử ổ ử
+ = ạ
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
x
f f x x
x x
(1)
Gii
t
1 1
1
-
= ị =
-
x t
x
x t t
, ( t
ạ
0,1)

Thỡ (1)

1 1
2
1
t t
f f
t t t
-
ổ ử ổ ử
+ =
ỗ ữ ỗ ữ
-
ố ứ ố ứ
, t
ạ
0,1 (2)
T (1) v (2) ta c h:
1 1
2
1
1 1
2
x x
f f
x x x
x
f f x
x x
ỡ -

ổ ử ổ ử
+ =
ỗ ữ ỗ ữ
ù
-
ù ố ứ ố ứ
ớ
-
ổ ử ổ ử
ù
+ =
ỗ ữ ỗ ữ
ù
ố ứ ố ứ
ợ

Gii h trờn ta c
( )
( )
2
1 2 3 2 3
3( 1) 3 1
x x x
f f x
x x x x
- -
ổ ử
= ị =
ỗ ữ
- -

ố ứ

Giáo viên: Nguyễn Tấn Đạt
8

Thử lại thấy f(x) thoả yêu cầu đề bài. Vậy hàm số cần tìm là
( )
( )
2 3
3 1
x
f x
x x
-
=
-
.

Ví dụ 2. Tìm tất cả các hàm f(x) thoả:
a)
x x
f f x, x , x
x x
æ ö
æ + ö -
÷
÷
ç
ç
+ = ¹ ¹ -

÷
÷
ç
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
è ø
- +
1 2
2 2 1
2 1
.
b)
( )
x
f x f x, x
x
æ - ö
÷
ç
- + = - ¹
÷
ç
÷
ç
è ø
-

1 1
1 3 1 2
1 2 2
.
Giải
a)
( )
1 2
2 2 1 1
2 1
x x
f f x, x , x
x x
æ ö
æ + ö -
÷
÷
ç
ç
+ = ¹ ¹ -
÷
÷
ç
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
è ø

- +

Cách 1:
Đặt
1 2 2 1
1 1 1 2
2 1 1 2
x t x t
x t, t , t , t
x t x t
+ - - +
= Þ = - ¹ - Þ = ¹ - ¹
- + + -

( )
2 1 2 1
2 1 2 1 1 2 2
1 2 1 2
t t x x
f f t f f x, x , x
t t x x
æ ö æ ö
- æ + ö - æ + ö
÷ ÷
÷ ÷
ç ç
ç ç
Þ + = - Þ + = - ¹ - ¹
÷ ÷
÷ ÷

ç ç
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
è ø è ø
+ - + -

Từ (1) và (2):
( )
( )
1 2
2
2 1
2 1 4 5
1 3 3 1
1 2
2 1
2 1
x x
f f x
x x
x x
f x f x
x x
x x
f f x
x x

ì
æ ö
æ + ö -
ï
÷
÷
ï
ç
ç
+ =
÷
÷
ï ç
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
è øï
æ ö
- +
- +
ï
÷
ç
Þ = - Þ =
í
÷
ç

÷
ç
ï
è ø
æ ö
+ -
æ + ö -
ï
÷
÷
ç
ç
+ = -
ï
÷
÷
ç
ç
÷
ç
÷
ç
ï
è ø
è ø
- +
ï
î

Cách 2:
Đặt
( ) ( )
1 2 1
2 1
2 1
x t
t x x t
x t
+ +
= ¹ Þ = ¹
- -
( )
( )
1 2 1
2 1
1
t
f t f t
t t
æ ö +
÷
ç
Þ + = ¹
÷
ç
÷
ç
è ø
-

.
Đặt
( ) ( )
( )
2
1
1 1 1 2
0 0 2
1
1
1
u
u
u t t u f f u
t u u u
u
+
æ ö +
÷
ç
= ¹ Þ = ¹ Þ + = =
÷
ç
÷
ç
è ø
-
-

Ta có hệ:

( )
( )
( )
1 2 1
2
4 5
1
1 2
3 3
2
1
x
f x f
x
x x
f x
x
x
f f x
x x
ì
æ ö +
ï
÷
ï
ç
+ =
÷
ï ç
÷

ç
è ø
ï +
-
ï
Þ =
í
ï
æ ö +
- +
ï
÷
ç
+ =
ï
÷
ç
÷
ç
ï
è ø
-
ï
î

b)
( )
x
f x f x
x

æ - ö
÷
ç
- + = -
÷
ç
÷
ç
è ø
-
1
1 3 1 2
1 2
(1)
Đặt
1 1
1 1
1 2 2 1 2 1
x y y
y x x
x y y
- -
= - Þ = Þ - =
- - -
1 1
1 1
1 2 2 1 2 1
x y y
y x x
x y y

- -
Þ = - Þ = Þ - =
- - -

1 1 1 1 1 1
3 ( 1) , 3 ( 1) ,
2 1 2 1 2 1 2 2 1 2
y x
f f y y f f x x
y y x x
æ ö
- - - -
æ ö
Þ - - = " ¹ Þ - - = " ¹
ç ÷
ç ÷
- - - -
è ø
è ø

Giáo viên: Nguyễn Tấn Đạt
9

1 1
( 1) 3 1 2 ,
1 2 2
3
8 ( 1) 1 2
1 2
1 1 1

3 ( 1) ,
1 2 2 1 2
1 3 1 1 3 1
( 1) 1 2 , ( ) 1 2 ,
8 2 1 2 8 2 1 2
x
f x f x x
x
f x x
x
x
f f x x
x x
f x x x f x x x
x x
ì
-
æ ö
- - = - " ¹
ç ÷
ï
-
ï è ø
Þ Þ - - = - +
í
-
- -
æ ö
ï
Þ - - = " ¹

ç ÷
ï
- -
è ø
î
æ ö æ ö
Þ - = - + + " ¹ Þ = + + " ¹
ç ÷ ç ÷
- +
è ø è ø


Ví dụ 3. Tìm tất cả các hàm f(x) thoả mãn điều kiện:
( )
3 3
, 1. 1
1 1
x x
f f x x
x x
- +
æ ö æ ö
+ = ¹
ç ÷ ç ÷
+ -
è ø è ø

Giải
Cách 1:
Đặt

3 3 3 3
, 1
1 1 1 1
+ - + -
= Þ = Þ = ¹ ±
- + - +
x t t x
x t t
x t t x

( ) ( ) ( )
3 3
1 , 1 2
1 1
t t
f t f t
t t
- +
æ ö
Þ + = ¹
ç ÷
+ -
è ø

Đặt
3 3 3 3
, 1
1 1 1 1
- + + -
= Þ = Þ = ¹ ±

+ - - +
t u t u
u t u
t u t u

( ) ( ) ( )
3 3
2 , 1 3
1 1
u u
f f u u
u u
+ -
æ ö
Þ + = ¹
ç ÷
- +
è ø

Từ (2) và (3):
2
2
3 3 3 3 2 6
1 1 1 1 1
x x x x x
f f
x x x x x
- + + - +
æ ö æ ö
- = - =

ç ÷ ç ÷
+ - - + -
è ø è ø
(4)
Từ (1) và (4), ta có:

2
2
2
2
3 3 2 6
1 1 1
3 3
1 1 2
3 3
1 1
x x x
f f
x x x
x x x
f
x x
x x
f f x
x x
ì
- + +
æ ö æ ö
- =
ç ÷ ç ÷

ï
+ - -
- +
ï
è ø è ø æ ö
Þ = +
í
ç ÷
+ -
- +
è ø
æ ö æ ö
ï
+ =
ç ÷ ç ÷
ï
+ -
è ø è ø
î

Giải hệ trên ta được:
( )
2
4
1 2
x x
f x
x
= -
-

Cách 2:
Đặt
3
1
x
t
x
-
=
+

3
1
t
x
t
+
Þ =
-

3 3
1 1
x t
x t
+ -
Þ =
- +

(1)

( )
3 3
1 1
t t
f t f
t t
- +
æ ö
Û + =
ç ÷
+ -
è ø
(2)
Đặt
3
1
t
u
t
-
=
+

3
1
u
t
u
+
Þ =

-
3 3
1 1
t u
t u
+ -
Þ =
- +

(2)
Û

( )
3 3
1 1
u u
f f u
u u
+ -
æ ö
+ =
ç ÷
- +
è ø
(3)
Kết hợp (2) và (3) ta có hệ:

( )
( )
( )

2
2
3 3
1 1
3 3 3 3 2 6
4
1 1 1 1 1
3 3
1 1
x x
f x f
x x
x x x x x
f f
x x x x x
x x
f f x
x x
ì - +
æ ö
+ =
ç ÷
ï
+ -
- + + - +
ï è ø
æ ö æ ö
Þ - = - =
í
ç ÷ ç ÷

+ - - + -
+ -
è ø è ø
æ ö
ï
+ =
ç ÷
ï
- +
è ø
î

Từ (1) và (4), ta có:
Giỏo viờn: Nguyn Tn t
10


2
2
2
2
3 3 2 6
1 1 1
3 3
1 1 2
3 3
1 1
x x x
f f
x x x

x x x
f
x x
x x
f f x
x x
ỡ
- + +
ổ ử ổ ử
- =
ỗ ữ ỗ ữ
ù
+ - -
- +
ù
ố ứ ố ứ ổ ử
ị = +
ớ
ỗ ữ
+ -
- +
ố ứ
ổ ử ổ ử
ù
+ =
ỗ ữ ỗ ữ
ù
+ -
ố ứ ố ứ
ợ

Gii h trờn ta c:
( )
2
4
1 2
x x
f x
x
= -
-
. Th li thy f(x) tho yờu cu bi toỏn.
Vy hm s cn tỡm l
( )
2
4
1 2
x x
f x
x
= -
-
.
Vớ d 4. Tỡm tt c cỏc hm f(x) tho:
( )
1 1
1 , 0.
1
f x f x x
x x

ổ ử
+ = + - ạ
ỗ ữ
-
ố ứ

Gii
t
1 1
1
-
= ị =
-
t
t x
x t
. Theo bi:
( )
( )
2
1 1 3 1
1
1 1
t t t t t
f f t
t t t t t
- - - +
ổ ử
+ = + - =
ỗ ữ

- -
ố ứ

( )
( )
2
1 3 1
1
x x x
f f x
x x x
- - +
ổ ử
ị + =
ỗ ữ
-
ố ứ

Ly phng trỡnh ó cho tr phng trỡnh ny, ta c:
1 1 1
.
1 1
x
f f x
x x x
-
ổ ử ổ ử
- = -
ỗ ữ ỗ ữ
- -

ố ứ ố ứ

t
1 1 1 1 1 1
1
1 1
1
1 1
t x
t x
x
x t x t
x x
- -
= ị = ị = = =
- -
-
- -
.
Th vo phng trỡnh trờn, ta c:
( )
1 1
1
1
f t f t
t t
ổ ử
- = - + -
ỗ ữ
-

ố ứ

Ta cú h:
( )
( )
1 1
1
1
1 1
1
1
f x f x
x x
f x f x
x x
ỡ
ổ ử
+ = + -
ỗ ữ
ù
-
ù ố ứ
ớ
ổ ử
ù
- = - + -
ỗ ữ
ù
-
ố ứ

ợ
. Gii h:
( )
1
.
x
f x
x
-
=

BI TP
Bi 1. Tỡm tt c cỏc hm f(x) tho món iu kin:
( )
1
2 , 0.
f x f x x
x
ổ ử
+ = ạ
ỗ ữ
ố ứ

Gii
t
1 1
= ị =
t x
x t
, ta c:

( )
1 1
2f f t
t t
ổ ử
+ =
ỗ ữ
ố ứ
. Ta cú h
( )
( )
1
2
1 1
2
f x f x
x
f x f
x x
ỡ
ổ ử
+ =
ỗ ữ
ù
ù ố ứ
ớ
ổ ử
ù
+ =
ỗ ữ

ù
ố ứ
ợ

Gii h, ta c:
( )
2
2
.
3
x
f x
x
-
=
Bi 2. Tỡm hm s :f
đ
Ă Ă
tha
(
)
(
)
2
,f x x f x x
= + - " ẻ
Ă
.
Gii
Khụng tn ti vỡ

(
)
(
)
2
f x f x x
- - =
. V trỏi l hm chn, v phi l hm s l.
Bi 3. Tỡm tt c cỏc hm f v g tho món cỏc phng trỡnh:

(
)
(
)
2 1 2 2 1 2
f x g x x
+ + + =
v
1 1
x x
f g x
x x
ổ ử ổ ử
+ =
ỗ ữ ỗ ữ
- -
ố ứ ố ứ

Giỏo viờn: Nguyn Tn t
11

Bi 4. Tỡm hm s f(x) bit rng
( )
1
2, ;1.
2 1 2
x
f x xf x
x
ổ ử
+ = ạ
ỗ ữ
-
ố ứ


H PHNG TRèNH


H cú dng
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

( )
( )
( )
( )
( )
af u x bg v x w x
a f u x b g v x w x
ỡ
+ =
ù
ớ
    Â
+ =
ù
ợ

i bin sao cho
(
)
u x
thnh
(
)
u x
Â
, gii h a v dng:
(
)
(
)

(
)
(
)
(
)
Af u x Bf v x w x
ÂÂ
+ =

Vớ d 1. Tỡm cỏc hm s
( ) ( )
f x , g x
tha h sau:
(
)
(
)
(
)
( )
f x xg x x, x
x x
f g x , x
x x
ỡ
+ + + = ạ
ù
ù
ù

ù
ớ
ổ + ử ổ + ử
ù
ữ ữ
ỗ ỗ
+ = - ạ
ữ ữ
ù
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
ù
- -
ù
ợ
1 1 2 0 1
1 1
1 1 2
1 1

Gii
t
x v
u x x u and v x
x v
+ +
= + ị = - = ị =
- -

1 1
1 1
1 1

H trờn tr thnh:
( )
(
)
( )
(
)
( ) ( )
f u u g u u ,u
f v g v , v
v
ỡ
+ - = - ạ
ù
ù
ù
ù
ớ
ù
+ = ạ
ù
ù
-
ù
ợ
1 2 1 0

2
1
1

( )
(
)
( )
(
)
(
)
( ) ( )
( )
( )
f u u g u u
t
g t t
t
f u g u
u
ỡ
+ - = -
ù
ù
ù
ù
ị ị = ạ
ớ
ù

-
+ =
ù
ù
-
ù
ợ
1 2 1 3
2
2
2
1
1

Thay
( )
t
g t
t
=
-
2
1
thay vo (3), ta c:
(
)
f t , t
= - ạ
2 2
.

Mt khỏc thay
x
=
1
vo (1) v
x
=
3
vo (2), ta c
(
)
(
)
f g
+ =
2 2 2
.
( )
( )
( ) ( )
f x , x , x
x
g x , x , x , f g
x
ỡ
= - ạ ạ
ù
ù
ù
ị

ớ
ù
= ạ ạ + =
ù
ù
-
ợ
2 1 2
2
1 2 2 2 2
1

Th li vo (1), (2), ta thy nghim ỳng. Vy nghim ca h l:
( )
, x , x
f x
a, x
ỡ- ạ ạ
ù
ù
=
ớ
ù =
ù
ợ
2 1 2
2

( )
x

, x , x
x
g x
a, x
ỡ
ù
ù
ạ ạ
ù
-
=
ớ
ù
ù
- =
ù
ợ
2
1 2
1
2 2
vi a l hng s tựy ý.
Chỳ ý:
T (*) nu suy ra ngay
(
)
2 1 2
g t t
+ =
l phm sai lm. Khi lm bi hc sinh cn chỳ ý iu ny.

Vớ d 2. Tỡm cỏc hm s
(
)
(
)
,
f x g x
xỏc nh vi mi x tha:

(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
2
3 1 6 1 3 , 1
1 2 3 2 2
f x g x x
f x xg x x x
ỡ
- - - =
ù
ớ
+ + + = +
ù
ợ

Gii

Trong (1) thay
3 1
t x
= -
:
(
)
(
)
2 1 1
f t g t t
+ + = +
(3)
Trong (2) thay
1
t x
= +
:
(
)
(
)
(
)
2
1 2 1 2 3 1
f t t g t t t
+ - + = - +
(4)
Giáo viên: Nguyễn Tấn Đạt

12

Lấy (4) trừ (3):
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 1 2 2 2 1 2 , 2 1, 2
t g t t t g t t t g x x x
- + = - Þ + = " ¹ Þ = - " ¹
(*)
Thay lại vào (3) ta có:
(
)
1 , 2
f x x x
= - " ¹
.
Thay
1
x
=
vào (1), (2) ta có:
(

)
(
)
2 5 3
f g
+ =
. Do
(
)
(
)
5 4 2 1
g f
= Þ = -

Trong (1) cho
1
2
x
=
ta có:
( )
1 3
2
2 2
f g
æ ö
+ =
ç ÷
è ø

Trong (2) cho
1
2
x
= -
ta có:
( ) ( )
1 1
2 0 2 1
2 2
f g g
æ ö
- = Þ =
ç ÷
è ø

Từ
( ) ( )
1, 2
1,
1, 2
x x
g x g x x x
x
- ¹
ì
= Û = - "
í
=

î
và
( ) ( )
1 , 2
1 ,
1, 2
x x
f x f x x x
x
- ¹
ì
= Û = - "
í
- =
î

Thử lại ta thấy thỏa điều kiện.

Ví dụ 3. Tìm các hàm số
(
)
(
)
,
f x g x
xác định với mọi x thỏa:

( ) ( ) ( )
( ) ( )
2

6 2 2 15 , 1
2
2
5 4 2
2
x
f x g x
x
f g x x
+
ì
+ + + =
ï
ï
í
+
æ ö
ï
+ + = +
ç ÷
ï
è ø
î

Giải
Đặt
2
6 2 10
2
x

t x t
+
= + Þ = +
. Từ (2) suy ra
(
)
(
)
6 2 15 2 14
f t g t t
+ + + = +

Ta có hệ:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
7
2
6
6 2 2 15
2
2
3 7
6 2 15 2 14
4
x
x
f x
f x g x

x
f x g x x
g x
ì
+
ì
= +
ï
+ + + =
ï ï
Û
í í
+
ï ï
+ + + = +
= -
î
ï
î

Thử lại ta thấy thỏa điều kiện.

Ví dụ 4. Tìm các hàm số
(
)
(
)
,
f x g x
xác định với mọi x thỏa:

(
)
(
)
(
)
( )
2 1 1 1, 1
1
2 3 2
1 2 2
f x g x x
x
f g
x x
ì
- + - = +
ï
í
æ ö æ ö
+ =
ç ÷ ç ÷
ï
+ +
è ø è ø
î

Giải
Đặt

( ) ( )
2 1
2 1 1 1
1 2 2
x t
t x x t
x t
-
= - " ¹ - Þ = ¹ -
+ +
. Từ (2) suy ra
(
)
(
)
(
)
2 1 2 1 3 3
f t g t- + + =
Ta có hệ:
(
)
(
)
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
2 1 1 1
*
2 1 2 1 3

1 2 1 2 4
f x g x x
f x g x
g x g x x
ì
- + - = +
ï
í
- + + =
ï
î
Þ - - + = -

Đặt
t x
= -
từ (4) ta được:
(
)
(
)
(
)
1 2 1 2 5
g t g t t+ - - = - -
Kết hợp (4) và (5):
( ) ( )
6 7
1
3 3

x x
g x g x
- -
+ = Þ =
Thay
( )
6
1
3
x
g x
-
+ = vào (*) ta được:
( ) ( )
2 3 2
2 1
3 3
x x
f x f x
- -
- = Þ =
Vậy
( ) ( )
2 7
,
3 3
x x
f x g x
- -
= = . Thử lại ta thấy thỏa điều kiện.

Giáo viên: Nguyễn Tấn Đạt
13

Bài tập

Bài 1. Tìm các hàm số
(
)
(
)
,
f x g x
xác định với mọi x thỏa:

(
)
(
)
(
)
( )
2 1 1 1, 1
1 1
2 3 2
1 2 2
f x g x x
f g
x x
ì

- + - = +
ï
í
æ ö æ ö
+ =
ç ÷ ç ÷
ï
+ +
è ø è ø
î

Bài 2. Tìm các hàm số
(
)
(
)
,
f x g x
xác định với mọi x thỏa:

(
)
(
)
( ) ( )
2 2
3 1 6 1 3
1 2 3 2
f x g x x
f x x g x x x

ì
- + - =
ï
í
+ + + = +
ï
î

Bài 3. Tìm các hàm số
(
)
(
)
,
f x g x
xác định với mọi x thỏa:
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
2
2 2 2 1 2 8 2
2 1 4 7 3 2
xf x g x x x
f x g x
ì
- + + = - +
ï
í

+ + + = -
ï
î