Lí thuyết tấm vỏ mỏng ( cao Hoc)

MỤC LỤC
Trang
MỤC LỤC i
CÁC KÝ HIỆU ĐÃ SỬ SỤNG ii
1. TẤM CHỊU UỐN: 3
2. LÝ THUYẾT VỎ: 46

CÁC KÝ HIỆU ĐÃ SỬ SỤNG
zyx
εεε
,,
Biến dạng dài theo các phương x, y và z
yx
κκ
,
Độ cong của tấm theo phương trục x và trục y.
zxyzxy
τττ
,,
Ứng suất cắt trên các mặt có véctơ pháp tuyến là x, y và z và có chiều trùng
với phương y, z và x
zyx
σσσ
,,
xyyx
SSS ,,
Ứng suất pháp tuyến theo trục x, y và z
γ
Biến dạng trượt của tấm
ν
Hệ số Poisson của vật liệu làm tấm

κ
Độ cong của tấm
τ
Ứng suất cắt
Π
Thế năng
κ
xy
Độ xoắn của tấm
A
Công ngọai lực
a, b
Chiều dài các cạnh theo phương x, y của tấm
d
Độ cứng uốn của tấm
E
Mô đun đàn hồi
F
Diện tích tiết diện
G
Môđun đàn hồi trượt
h
Bề dày tấm
M
Mômen trên mỗi đơn vò chiều dài, mômen tổng
M
x
, M
y
Mômen uốn trên mỗi đơn vò chiều dài theo trục x, y trong mặt phẳng Oxy

M
xy
Mômen xoắn trên mỗi đơn vò chiều dài trong mặt phẳng Oxz
N
xy
Lực trượt trên mỗi đơn vò chiều dài trên mặt phẳng x và có chiều trùng với trục y
P
Lực tập trung
( )
,p x y
Tải trọng mặt tác dụng lên mặt phẳng Oxy
p
mn
Hệ số chuỗi tải trọng
Q
x
, Q
y
Lực cắt trên mỗi đơn vò chiều dài trên mặt phẳng Oxy
r
x
, r
y
Các bán kính cong của tấm trong mặt phẳng Oxz và Oyz
U
Năng lượng biến dạng
u, v
Chuyển vò của tấm theo phương x, y
w
Độ võng của tấm theo phương z

x, y, z
Tên hệ trục tọa độ
3
1. TẤM CHỊU UỐN:
1.1. Các khái niệm và giả thiết:
1.1.1. Khái niệm tấm:
• Tấm là vật thể lăng trụ hoặc hình trụ có chiều cao h nhỏ hơn rất nhiều so với kích
thước của 2 phương còn lại.
Mặt phẳng cách đều 2 mặt bên trên và dưới của tấm được gọi là mặt trung bình của
tấm. Khi chòu uốn mặt trung bình của tấm bò cong đi.
Giao tuyến của mặt trung bình và các mặt biên cạnh tấm được gọi là cạnh biên của
tấm (hay chu vi tấm).
Để tiện nghiên cứu và khảo sát: thường
chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, thường mặt
phẳng Oxy nằm trong mặt trung bình tấm. Trục z
hướng xuống, vò trí của gốc tọa độ O sẽ được chọn
tùy thuộc vào hình dạng chu vi tấm và các đặc
trưng liên kết của biên tấm sao cho cho phù hợp
trong các bài toán cụ thể.
a
x
h
z
b
O
y
h: chiếu dày tấm
• Tấm được sử dụng rộng rãi trong xây dựng: các tấm sàn, panel, tấm lợp nhà công
nghiệp, …
• Phần lớn tấm dùng trong xây dựng tấm mỏng (tấm theo giả thiết Kirchhoff).

+ Tấm được gọi là tấm mỏng nếu:
5
1
80
1
≤≤
b
h
(trong đó: b là kích thước nhỏ nhất của
mặt trung bình) và độ võng
4
max
h
w ≤
(cũng có thể sử dụng lý thuyết tấm mỏng với
3
1
=
b
h
)
+ Trường hợp tấm có
5
1
>
b
h
(hoặc >
3
1

) thì ta có tấm dày.
+ Nếu tấm có độ võng
max
4
h
w >
thì cần tính theo lý thuyết tấm có độ võng lớn hay
tấm mềm (hay lý thuyết màng).
1.1.2. Các giả thiết khi tính toán tấm:
Tấm mỏng được tính toán ứng dụng theo lý thuyết tấm chòu uốn sau đây và dựa trên
các giả thiết sau (còn được gọi là giả thiết Kirchhoff).
1) Giả thiết về các đoạn thẳng pháp tuyến : các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung
bình của tấm sẽ còn thẳng và vuông góc với mặt trung bình khi chòu uốn và độ dài
của chúng là không đổi.
+ Từ giả thiết này dễ thấy rằng các góc vuông tạo bởi các phần tử thẳng vuông góc
với mặt trung bình (và có phương dọc trục z) với các trục x, y vẫn còn là góc vuông trong quá
trình biến dạng, như vậy không có sự trượt trong các mặt phẳng đó.
Hay:



=
=
0
0
xz
yz
γ
γ
(1.1)

+ Vì độ dài của các đoạn thẳng vuông góc này không thay đổi nên dễ thấy rằng biến
dạng dài theo phương z là bằng 0.
Hay:
0=
z
ε
(1.2)
4
2) Giả thiết về mặt trung bình : tại mặt trung bình tấm không hề có biến dạng kéo,
nén hay trượt. Khi bò uốn mặt trung bình là mặt trung hòa. Từ đó dễ thấy trên mặt
trung bình, các chuyển vò:
( ) ( )
0 0
0 0
0 hay 0
z z
u v u v
= =
= = = =
(1.3)
3) Giả thiết về sự tương tác giữa các lớp của tấm : sự tương tác giữa các lớp song song
với mặt trung bình có thể bỏ qua. Tức là ứng suất pháp
z
σ
có thể bỏ qua (vì là nhỏ
so với
x
σ
và
y

σ
)
1.2. Chuyển vò và biến dạng trong tấm (Kinematical Relationships):
Chúng ta sẽ nghiên cứu tấm chòu tải trọng ngang, tức tải trọng vuông góc với mặt
trung bình của tấm. Để xác đònh biến dạng và chuyển vò ta sẽ dựa vào các giả thiết ở 1.1.2:
• Theo giả thiết , vì
0=
z
ε
nên theo công thức Cauchy:
0=
∂
∂
=
z
w
z
ε
⇒ độ võng w
của tấm không phụ thuộc vào z hay:
( )
yxww ,=
. Điều này có nghóa là tất cả các điểm nằm
trên cùng đoạn thẳng vuông góc mặt trung bình tấm sẽ có cùng độ võng.
• Cũng từ giả thiết , từ điều kiện về biến dạng trượt



=
=

0
0
xz
yz
γ
γ
, sử dụng công thức
Cauchy:







=
∂
∂
+
∂
∂
=
=
∂
∂
+
∂
∂
=
0

0
z
u
x
w
y
w
z
v
xz
yz
γ
γ
ta được:







∂
∂
−=
∂
∂
∂
∂
−=
∂

∂
y
w
z
v
x
w
z
u
Bằng cách tích phân, biểu thức vừa nhận được theo z, ta có:
( )
( )
1
2
,
,
w
u z f x y
x
w
v z f x y
y
∂

= − +

∂


∂


= − +
∂


(a)
Các hàm
( )
yxf ,
1
và
( )
yxf ,
2
được xác đònh bằng cách sử dụng giả thiết  về tính
không biến dạng kéo, nén của mặt trung bình.
Theo giả thiết này các chuyển vò
0 0
u vvà
của các điểm trên mặt trung bình là bằng 0
nên:
( )
( )



===
===
=
=

0,|
0,|
200
100
yxfvv
yxfuu
z
z
Vậy tóm lại, theo (a) ta có:







∂
∂
−=
∂
∂
−=
y
w
zv
x
w
zu
(1.4)
Điều này có nghóa là các chuyển vò thành phần của tấm đều biểu diễn được qua hàm

độ võng w của mặt trung bình.
• Các thành phần biến dạng khác được tìm thấy bằng cách sử dụng công thức
Cauchy:
5









∂∂
∂
−=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
−=
∂
∂
=
∂
∂

−=
∂
∂
=
yx
w
x
x
v
y
u
y
w
z
y
v
x
w
z
x
u
xy
y
x
2
2
2
2
2
2

γ
ε
ε
(1.5)
 Như vậy là cũng như là các chuyển vò thành phần, các thành phần biến dạng cũng
được biểu diễn qua hàm độ võng w.
1.3. Ứng suất và nội lực trong tấm (Material law):
• Để tìm ứng suất, ta sử dụng công thức đònh luật Hooke (dạng ngược) với chú ý rằng
0=
z
σ
. Dễ dàng có được bằng cách sử dụng (1.5):
( )
( )
( )











∂∂
∂
+
−=

+
=








∂
∂
+
∂
∂
−
−=+
−
=








∂
∂
+

∂
∂
−
−=+
−
=
yx
w
z
EE
x
w
y
w
z
EE
y
w
x
w
z
EE
xyxy
xyy
yxx
2
2
2
2
2

22
2
2
2
2
22
112
11
11
ν
γ
ν
τ
ν
ν
νεε
ν
σ
ν
ν
νεε
ν
σ
(1.6)
• Với
yz
τ
và
zx
τ

, nếu theo đònh luật Hooke và công thức (1.1) thì sẽ bằng 0. Tuy
nhiên điều này mâu thuẫn với điều kiện cân bằng và thực ra thì
yz
τ
và
zx
τ
là khác 0. Để tìm
chúng, ta sử dụng điều kiện cân bằng:
( )
3,2,10
==+
∂
∂
iX
x
i
j
ij
σ
Từ phương trình vi phân cân bằng thứ nhất, bỏ qua lực khối, ta thấy:
yxz
xy
xxz
∂
∂
−
∂
∂
−=

∂
∂
τ
στ
Thay
và
x xy
σ τ
trong (1.6) và ta có:
w
x
z
E
y
w
x
w
x
z
E
yx
w
z
E
yx
w
x
w
z
E

z
xz
2
22
2
2
2
2
2
3
2
3
3
3
2
11
11
∇
∂
∂
−
=









∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
−
=
∂∂
∂
+
+








∂∂
∂
+
∂
∂
−
=
∂
∂

νν
ν
ν
ν
τ
Tích phân theo biến z, ta có:
( )
( )
yxfw
x
Ez
xz
,
12
1
2
2
2
+∇
∂
∂
−
=
ν
τ
Hàm
( )
yxf ,
1
được xác đònh từ điều kiện mặt trên và mặt dưới tấm không có ứng suất

tiếp (vì không có tải song song bề mặt tấm), tức là:
( )
( )
2
2
1
2
2
0 , 0
8 1
h
xz
z
Eh
w f x y
x
τ
ν
=±
∂
= ⇒ ∇ + =
∂
−
Suy ra:
( )
( )
w
x
Eh
yxf

2
2
2
1
18
, ∇
∂
∂
−
−=
ν
6
: vớitự Tương
Vậy
yz
τ
( )
( )







∇
∂
∂









−
−
−=
∇
∂
∂








−
−
−=
w
y
z
hE
w
x
z

hE
yz
xz
22
2
2
22
2
2
4
12
4
12
ν
τ
ν
τ
(1.7)
• Sự phân bố theo bề dày h của các thành phần ứng suất vừa tìm có thể thấy qua hình
vẽ bên:
x
σ
xz
τ
τ
xy
τ
yx
σ
y

yz
τ
y
x
• Cũng bằng cách khảo sát phương trình vi phân cân bằng thứ 3, dựa vào các điều
kiện biên trên và dưới của tấm, người ta viết được biểu thức tính
z
σ
và thấy rõ răøng
z
σ
có
cùng bậc với cường độ tài trọng phân bố mặt trên và dưới và là không đáng kể so với
x y
σ σ
và
Cụ thể:
q (x,y)
1
q (x,y)
2
z
h
( )
w
zzhE
qq
z
4
32

2
12
34
12
2
∇








−
−
+
−
=
ν
σ
• Cũng tương tự trong sức bền, hợp lực của các ứng suất phân bố theo bề dày tấm
trên 1 đơn vò dài được gọi là các thành phần ứng lực (nội lực) của tấm hay thường gọi là nội
lực tấm:
0
1
.1.
2
2
2

2
2
2
2
2
2
=








∂
∂
+
∂
∂
−
−==
∫∫
−−
h
h
h
h
xx
zdz

y
w
x
wE
dzN
ν
ν
σ
( )
1.dxdF =
Tương tự ta cũng có:
0=
y
N
Gọi M
x
là mômen uốn trên 1 đơn vò dài mặt cắt có pháp tuyến là trục x:
∫∫
−−








∂
∂
+

∂
∂
−
−==
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1

h
h
h
h
xx
dzz
y
w
x
wE
dFzM
ν
ν
σ









∂
∂
+
∂
∂
−=
2
2
2
2
y
w
x
w
DM
x
ν
trong đó:
( )
2
3
112

ν
−
=
Eh
D
(1.8)
được gọi là độ cứng trụ của vì nó là đặc trưng về vật liệu và hình học của tấm chòu uốn.
Cũng trên mặt cắt có pháp tuyến x còn có lực cắt Q
x
:
7
( )
w
x
Ddzz
h
w
x
E
dFQ
h
h
h
h
xzx
2
2
2
2
2

2
2
2
2
.1.
4
12
∇
∂
∂
−=








−∇
∂
∂
−
−==
∫∫
−−
ν
τ
Lực trượt (lực tiếp) N
xy

(là tổng hình chiếu lên phương y của các ứng suất
xy
τ
)
0
1
2
2
2
2
2
=
∂∂
∂
+
−==
∫∫
−−
h
h
h
h
xyxy
zdz
yx
wE
dFN
ν
τ
Mômen xoắn M

xy
(do
xy
τ
) trên mặt cắt này:
( )
yx
w
DzdFM
h
h
xyxy
∂∂
∂
−−==
∫
−
2
2
2
1
ντ
• Tương tự, trên mặt cắt có pháp tuyến là trục y, ta có các thành phần nội lực phân bố
trên 1 đơn vò dài:
Mômen uốn:









∂
∂
+
∂
∂
−=
2
2
2
2
x
w
y
w
DM
y
ν
Lực cắt:
w
y
DQ
y
2
∇
∂
∂
−=

Mômen xoắn:
( )
2
1
yx xy
w
M D M
x y
ν
∂
= − − =
∂ ∂
• Vậy ta đã tìm được các thành
phần nội lực của tấm khi chòu lực ngang.
Hình vẽ bên biểu diễn các giá trò dương
của nội lực thành phần.
M
N
M
N
Q
N
M
M
N
Q
x
x
x
xy

y
xy
xy
yx
y
y
• Ngoài ra, như đã biết: khi biến dạng và chuyển vò là nhỏ có thể xem đạo hàm bậc
hai của hàm độ võng w là các độ cong của mặt võng.
Với hệ trục như hình vẽ thì:
2 2
2 2
1 1
và
x y
x y
w w
x r y r
κ κ
∂ ∂
− = = − = =
∂ ∂

và độ xoắn:
xy
xy
ryx
w
κ
==
∂∂

∂
−
1
2
Từ đó, các mômen có thể được biểu diễn qua các độ cong như sau:
( )
( )
( ) ( )
1 1
1 1
1
1 1
x x y
x y
y y x
y x
xy xy
xy
M D D
r r
M D D
r r
M D D
r
ν κ νκ
ν κ νκ
ν ν κ

 
= + = +


 ÷
 ÷

 

 

= + = +
 ÷

 ÷

 


= − = −


Hay ở dạng ma trận:
8





















−
−
−
=










⇒

























−
=











xy
y
x
xy
y
x
xy
y
x
xy
y
x
M
M
M
Eh
r
r
r
D
M
M
M
ν
ν
ν
κ
κ

κ
ν
ν
ν
100
01
01
12
1
1
1
100
01
01
3
Các phương trình trên là các phương trình vật lý của tấm. Nó cho biết mối liên hệ
giữa nội lực và biến dạng của mặt trung bình.
Tóm lại: Từ các phương trình biến dạng (kinematical) và các phương trình ứng xử vật
liệu (đònh luật Hooke) ta có các phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa nội lực và biến
dạng mặt trung bình như sau:
( )


















∇
∂
∂
−=
∇
∂
∂
−=
∂∂
∂
−−==








∂
∂
+

∂
∂
−=








∂
∂
+
∂
∂
−=
w
y
DQ
w
x
DQ
yx
w
DMM
x
w
y
w

DM
y
w
x
w
DM
y
x
xyyx
y
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
ν
ν
ν
(1.9)
Kết hợp (1.6) và (1.7) ta có các biểu thức tính ứng suất qua nội lực:
3
3

3
2
2
12
12
12
3
1 4
2
3
1 4
2
0
x x
x
y y
y
xy xy
yx xy
x
xz
y
yz
z
M M
z z
h
I
M M
z z

h
I
M M
z z
h
I
Q z
h h
Q
z
h h
σ
σ
τ τ
τ
τ
σ

= =




= =




= = =




 

 
= −
 
 ÷
 
 
 


 
 

= −
 
 ÷

 
 
 


≈

Cũng có thể thấy rằng, tương tự trong dầm chòu uốn, ứng suất tiếp
yzxz
ττ

,
biến thiên
theo luật bậc hai và là nhỏ so với ứng suất
xy
τ
. Ngoài ra, ứng suất đạt giá trò lớn nhất tại mặt
trung bình:
( )
( )
max
max
3 3
;
2 2
y
x
xz yz
Q
Q
h h
τ τ
= =
9
1.4. Phương trình vi phân chủ đạo của tấm chòu uốn:
• Ở trên ta đã thấy rằng: tất cả các thành phần ứng suất hay nội lực, biến dạng của
tấm đều được biểu diễn qua hàm độ võng w(x,y) của mặt trung bình. Do vậy trước hết và đầu
tiên là cần tìm được hàm độ võng w(x,y).
• Khảo sát sự cân bằng của 1 phân tố mặt trung bình có kích thước: dxdy. Đặt các lực
lên phân tố (gồm cả ngoại lực và nội lực) như hình vẽ:
y

x
z
dy
dx
dy
y
Q
Q
y
y
∂
∂
+


dy
y
M
M
yx
yx
∂
∂
+
dy
y
M
M
y
y

∂
∂
+
+
∂
∂
x
x
M
M
x
dx
+
∂
∂
xy
xy
M
M
x
dx
+
∂
∂
x
x
Q
Q
x
dx

M
x
M
xy
yx
M
y
M
Q
y
Q
x
p
z
+ Từ phương trình cân bằng (chiếu lên phương trục z). Ta có:
0=+
∂
∂
+
∂
∂
dxdypdxdy
y
Q
dxdy
x
Q
z
y
x

Hay:
0=+
∂
∂
+
∂
∂
z
y
x
p
y
Q
x
Q
(a)
+ Từ phương trình mômen với trục y, bỏ qua các đại lượng vô cùng bé bậc cao, ta có
0
yx
x
x
M
M
dxdy dxdy Q dxdy
x y
∂
∂
+ − =
∂ ∂
Hay:

yx
x
x
M
M
Q
x y
∂
∂
+ =
∂ ∂
(b)
+ Từ phương trình mômen với trục x, tương tự ta có:
y
yxy
Q
y
M
x
M
=
∂
∂
+
∂
∂
(c)
Thay (b) , (c) vào (a); loại bỏ lực cắt ta nhận được:
2 2
2

2 2
2
xy y
x
z
M M
M
p
x x y y
∂ ∂
∂
+ + = −
∂ ∂ ∂ ∂
Thay các biểu thức tính
yxyx
MMM ,,
theo hàm độ võng w(x,y) từ (1.9) vào ta có:
( )
z
p
yx
w
y
w
yx
w
yx
w
x
w

D −=






∂∂
∂
+
∂
∂
+
∂∂
∂
−+
∂∂
∂
+
∂
∂
−
22
4
4
4
22
4
22
4

4
4
12
ννν
Hay:
z
p
y
w
yx
w
x
w
D =






∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
4
4

22
4
4
4
2
Hay:
z
pwD =∇
4
Hay
D
p
w
z
=∇
4
(1.10)
10
 Phương trình (1.10) là phương trình vi phân của mặt trung bình khi võng. Nó còn
được gọi là phương trình vi phân tấm chòu uốn (Phương trình Cofy German).
Phương trình (1.10) có dạng vi phân cấp 4. Nó là phương trình vi phân chủ đạo của bài
toán tấm mỏng chòu uốn và biểu diễn theo hàm độ võng w của mặt trung bình.
• Đôi lúc phương trình vi phân này được biểu diễn ở dạng vi phân cấp 2 bằng cách
đưa ra hàm mômen M (moment function) hay còn gọi là hàm mômen tổng (moment sum):
wD
y
w
x
w
D

MM
M
yx
2
2
2
2
2
1
∇−=








∂
∂
+
∂
∂
−=
+
+
=
ν
Khi đó các lực cắt sẽ là:
x

M
Q
x
∂
∂
=
và
y
M
Q
y
∂
∂
=
Và cuối cùng dễ dàng nhận thấy rằng phương trình vi phân cấp 4 được thay thế bằng
2 phương trình vi phân cấp 2:
D
M
y
w
x
w
w
p
y
M
x
M
M
z

−=
∂
∂
+
∂
∂
=∇
−=
∂
∂
+
∂
∂
=∇
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(1.11)
1.5. Các điều kiện biên trên chu vi tấm:
Tùy thuộc vào điều kiện liên kết ở mép tấm mà
trong thực tế ta thường gặp các điều kiện biên sau:
x
y

O
a
biên tựa
biên nằm trên dầm
biên tư do
biên ngàm
b
1) Cạnh biên ngàm : (fixed or clamped or built in edge) (x=0): khi đó liên kết ngăn
cản mọi chuyển dòch thẳng và xoay trong mặt phẳng xz, tức là:
Tại x = 0 cần có:





=
∂
∂
=
0
0
x
w
w
(1.12)
2) Biên tựa cố đònh : (simple support, hinge pinted) (y=0): Trên cạnh này sẽ không có
chuyển vò đứng và mômen uốn M
y
.
Hay tại y = 0 có:






=








∂
∂
+
∂
∂
−=
=
0
0
2
2
2
2
x
w
y

w
DM
w
y
ν
(1.13)
Hay tại y = 0 có:





=
∂
∂
+
∂
∂
=
0
0
2
2
2
2
x
w
y
w
w

ν
(1.14a)
Hay độ cong bằng không, (tại y = 0) có:





=
∂
∂
⇒==
=
00
1
0
2
2
y
w
r
w
y
y
κ
(1.14b)
11
3) Biên tự do : (cạnh x = a): Rõ ràng trên cạnh biên tự do, các mômen uốn, lực cắt,
mômen xoắn (M
x

, Q
x
, M
xy
) cần là bằng 0. Tuy nhiên vì phương trình vi phân đạo
hàm riêng của bài toán là cấp 4 nên trên mỗi cạnh chỉ có 2 điều kiện biên cần có.
Do đó cần tìm những điều kiện biên phù hợp và thống nhất với 3 điều kiện nêu
trên. Điều này làm được nếu các yêu cầu về mômen xoắn và lực cắt trên biên là
bằng 0 được thay thế bởi một điều kiện tương đương như dưới đây.
Qua hình vẽ, ta thay mômen xoắn M
xy
phân bố trên đoạn dy bằng cặp lực ngược chiều
dy
dyM
xy
với cách tay đòn dy, và trên các đoạn thẳng có chiều dài dy khác cũng tương tự và do
đó, từ hình vẽ dễ thấy rằng trên cạnh x=a, có lực phân bố thẳng đứng tác dụng với cường độ
bằng
y
M
xy
∂
∂
:
dyM
xy
dydM )(M
xyxy
+
dy dy

xy
M
∂
+
dy
y
M
xy
∂
+
∂
∂
xy
xy
M
M
y
dy
xy
M
M
xy
dy dy
y
z
=
=
M
xy
y

x
a
a
x
y
xy
M
=
=
0
b
∂
∂
xy
M
y
Còn lại các điểm đầu và điểm cuối của biên có các lực tập trung có giá trò M
xy
(a,0) và
M
xy

(a,b).
Và như vậy ta xem rằng trên cạnh x=a có lực cắt Q
x
và lực phân bố
y
M
xy
∂

∂
cùng tác
dụng và hợp lực của chúng gọi là lực quy đổi Kirchhoff.
y
M
QQ
xy
xx
∂
∂
+=
qđ
Sử dụng các công thức tính nội lực đã có, ta nhận được:
( )
( )













∂
∂

−+
∂
∂
∂
∂
−=
∂
∂
+=






∂
∂
−+
∂
∂
∂
∂
−=
∂
∂
+=
2
2
2
2

2
2
2
2
2
2
x
w
y
w
y
D
x
M
QQ
y
w
x
w
x
D
y
M
QQ
yx
yy
xy
xx
ν
ν

qđ
qđ
(1.15)
Và do đó điều kiện biên trên cạnh tự do x=a là:
( )
2 2
2 2
3 3
3 2
0
0
0
2 0
qđ
x
x
w w
M
x y
Q
w w
x x y
ν
ν

∂ ∂
+ =

=


∂ ∂
 
⇒
 
=
∂ ∂



+ − =

∂ ∂ ∂

(1.16)
Việc thay tương đương mômen xoắn và lực cắt bằng lực quy đổi tương đương tónh theo
nguyên lý Saint Venant chỉ ảnh hưởng đến ứng suất cục bộ.
4) Cạnh biên nằm trên dầm : (y = b) khi đó phải xem như cạnh nằm trên gối đàn hồi
và ngàm đàn hồi. Lúc đó, các lực quy đổi Kirchhoff (
qđ
y
Q
) và các mômen uốn (M
y
)
12
xuất hiện trên biên tấm là phản lực do dầm tác dụng lên tấm và ngược lại dầm
cũng chòu các áp lực (như tải trọng) từ tấm truyền xuống qua các lực phân bố và
mômen xoắn phân bố trên dầm. Từ sự đồng thời biến dạng của biên tấm và dầm,
sử dụng các phương trình vi phân dầm như đã biết, ta có:
( )

4 2 2
4 2 2
2 2 2
2 2
2
xoắn
d d
d
d
y b y b
y b y b
w w w
E J D
x y y x
w w w
G J D
x x y x y
ν
ν
= =
= =

   
∂ ∂ ∂ ∂
− = − + −

 ÷
 
∂ ∂ ∂ ∂
   




   
∂ ∂ ∂ ∂

− = +
 ÷  ÷

∂ ∂ ∂ ∂ ∂
   


(1.17)
1.6. Tấm ELIP:
Xét bài toán có hình dạng elip (như hình vẽ) chòu tải
trọng phân bố đều q và ngàm trên biên. Phương trình biên tấm
có dạng:
2 2
2 2
1 0 0và
x y w
a b n
∂
+ − = =
∂
(a)
O
x
y

2b
2a
Ta tìm hàm độ võng w trong dạng:
2
2 2
2 2
1
x y
w C
a b
 
= + −
 ÷
 
(b)
trong đó: C là hằng số.
Để xác đònh C, ta đưa w vào phương trình vi phân chủ đạo của tấm (1.10):
4 2 2 4
24 8 24
2
C C C q
a a b b D
+ + =
Suy ra:
2 2 2 2
24 16 24
q
C
D
a a b b

=
 
+ +
 ÷
 
(c)
Rõ ràng hàm độ võng w như trong công thức b) là thỏa mãn điều kiện ngàm trên biên.
Vì tại mọi điểm trên biên, hàm w đều cho giá trò w=0.
Và vì:
2 2
2 2 2
4
1
w Cx x y
x a a b
 
∂
= + −
 ÷
∂
 
2 2
2 2 2
4
1
w Cy x y
y b a b
 
∂
= + −

 ÷
∂
 
đều cho giá trò 0 trên biên, thỏa mãn điều kiện góc xoay trên biên bằng 0.
Vậy hàm độ võng của tấm mà vừa thỏa mãn phương trình vi phân chủ đạo của tấm,
vừa thỏa mãn điều kiện biên là:
2
2 2
2 2
2 2 2 2
1
24 16 24
q x y
w
a b
D
a a b b
 
= + −
 ÷
 
 
+ +
 ÷
 
Độ võng lớn nhất tại tâm tấm là:
max
2 2 2 2
24 16 24
q

w C
D
a a b b
= =
 
+ +
 ÷
 
Các thành phần nội lực được xác đònh theo công thức (1.9) như sau:
13
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 3 3
4 1 1
x
x y x y
M CD
a a b b a b
ν
 
   
= − + − + + −
 
 ÷  ÷
   
 
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 3 3
4 1 1

y
x y x y
M CD
b a b a a b
ν
 
   
= − + − + + −
 
 ÷  ÷
   
 
( )
2 2
8
1
xy yx
CD
M M xy
a b
ν
= = − −
( )
2 2
4 2
8
3
x
CD
Q a b x

a b
= − +
( )
2 2
2 4
8
3
y
CD
Q a b y
a b
= − +
• Ví dụ hình dưới đây là biểu đồ momen và lực cắt trên 2 trục đối xứng tấm với tỷ lệ
1,5
a
b
=
và hệ số poison
0,3
ν
=
2
5,4
CD
a
a
CD
18,0
2
a

CD
6,7
2
2
10,2
CD
a
+
+
3
93
CD
a
x
M M
y
Q
y
max
w
q
max
w
q
a
CD
8,0
2
2
6,7

CD
a
x
Q
y
M
M
x
a
CD
10,2
2
2
2,4
CD
a
a
CD
42
2
-
+
-
+
2a
2b
O
x
y
14

• Với tấm tròn (cho a=b): dễ
thấy rằng độ võng lớn nhất tại tâm
tấm (x=0 và y=0):
max
64
q
w
D
=

Do tính chất đối xứng tâm của
bài toán, người ta thường dùng M
r
và
M

thay vì M
x
và M
y
, trong đó:
+ M
r
là momen uốn
trên mặt cắt vuông góc với bán kính.
+ M

là momen uốn
trên mặt cắt trùng với bán kính.
max

w
q
y
M
M
x
0,038
+
2
2
0,125
8
qa
qa
=
=
qa
qa
12
0,081
2
2
qa
2
2
0,081qa
≡
r
M
M

θ
≡
2a
y
x
O
1.7. Tấm chữ nhật biên tựa với nghiệm Navier:
1.7.1. Cơ sở lý thuyết:
Xét 1 tấm chữ nhật có các cạnh là gối cố đònh như hình
và tấm chòu tải trọng phân bố
( )
,p x y
.
biên tựa
a
x
O
b
y
Do các cạnh là gối tựa các điều kiện cần ban đầu là:
: b yvà 0 y Tại
: a xvà 0 x Tại
==
==





=

∂
∂
+
∂
∂
=





=
∂
∂
+
∂
∂
=
0
0
0
0
2
2
2
2
2
2
2
2

x
w
y
w
w
y
w
x
w
w
ν
ν
(a)
Ngoài ra, hàm độ võng w(x,y) phải thỏa mãn phương trình vi phân tấm (1.10):
( )
yxp
y
w
yx
w
x
w
D ,2
4
4
22
4
4
4
=







∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
Để thỏa mãn phương trình vi phân tấm (1.10) và các điều kiện biên (a), người ta tìm
hàm độ võng trong dạng chuỗi Fourier kép:
( )
1 1
, sin sin
mn
m n
m x n y
w x y A
a b
π π
∞ ∞
= =
=
∑∑
(c)

15
trong đó: A
mn

là hệ số của chuỗi
( )
*
, , 1, 2,3, m n m n∈ =¥
,
• Rõ ràng dễ nhận thấy rằng hàm độ võng (c) thỏa mãn các điều kiện biên (a).
+ Thật vậy, ví dụ trên biên x = a:
( )
0sinsin,
1 1
==
∑∑
∞
=
∞
=m n
mn
b
yn
mAyxw
π
π
+ Ngoài ra, vì:














−=
∂
∂






−=
∂
∂
∑∑
∑∑
∞
=
∞
=
∞
=

∞
=
1 1
2
2
2
1 1
2
2
2
sinsin
sinsin
m n
mn
m n
mn
b
yn
a
xm
b
n
A
y
w
b
yn
a
xm
a

m
A
x
w
πππ
πππ
(d)
nên
( )
( )
2
2
2
2 2
1 1
2 2
2
2
2
1 1
, sin sin 0
0
, sin sin 0
mn
m n
x a
mn
m n
w m n y
a y A m

x a b
w w
x y
w n n y
a y A m
y b b
π π
π
ν
π π
π
∞ ∞
= =
∞ ∞
=
= =

∂
 
= − =

 ÷
∂
 
∂ ∂
 

⇒ + =

 ÷

∂ ∂
 
∂
 

= − =
 ÷

∂
 

∑∑
∑∑
• Đưa hàm độ võng w(x,y) dạng (c) vào phương trình vi phân tấm
pw =∇
4
, ta có:
( )
∑∑
∞
=
∞
=
=









+
1 1
2
2
2
2
2
4
,sinsin
m n
mn
yxp
b
yn
a
xm
b
n
a
m
AD
ππ
π
(e)
Để xác đònh các hệ số A
mn
, ta tiến hành khai triển hàm tải trọng
( )

,p x y
theo dạng
chuỗi Fourier kép theo sin, ta có:
( )
∑∑
∞
=
∞
=
=
1 1
sinsin,
m n
mn
b
yn
a
xm
pyxp
ππ
(f)
trong đó: p
mn
là hệ số chuỗi tải trọng.
( )
∫ ∫
=
a b
mn
dxdy

b
yn
a
xm
yxp
ab
p
0 0
sinsin,
4
ππ
(g)
Đưa (f) vào phương trình (e), ta nhận được:
mnmn
p
b
n
a
m
AD =








+
2

2
2
2
2
4
π
Sử dụng cả (g), ta có công thức xác đònh A
mn
:
( )
∫ ∫








+
=
a b
mn
dxdy
b
yn
a
xm
yxp
b

n
a
m
abD
A
0 0
2
2
2
2
2
4
sinsin,
4
ππ
π
(h)
Vậy hàm độ võng dạng (c) với các hệ số của chuỗi được xác đònh theo (h) vừa thỏa
mãn phương trình vi phân tấm và cả các điều kiện biên tấm nên là nghiệm của bài toán.
1.7.2. Một số trường hợp tải trọng cụ thể:
1) Tải trọng phân bố đều p :
( )
0
, constp x y p= =
y
x
a
b
p
z

O
0
16
Khi đó:
0
2
0 0
2 2
4
2 2
4
sin sin
a b
mn
p m x n y
A dx dy
a b
m n
D ab
a b
π π
π
=
 
+
 ÷
 
∫ ∫
0
2

2 2
6
2 2
1,3,5,
16
1,3,5,
mn
m
p
A
n
m n
D mn
a b
π
=
 
=
 ÷
=
 
 
+
 ÷
 
Vậy:
( )
0
2
6

2 2
1 1
2 2
sin sin
1,3,5,
16
,
1,3,5,
m n
m x n y
m
p
a b
w x y
n
D
m n
mn
a b
π π
π
∞ ∞
= =
=
 
=
 ÷
=
 
 

+
 ÷
 
∑∑
• Sử dụng (1.9) để tính nội lực, ta được kết quả sau:
2 2
2
2 2
0
2
4
2 2
2 2
16
sin sin
x
m n
m n
p a m x n y
a b
M
a b
m n
mn
a b
ν
π π
π
∞ ∞
+

=
 
+
 ÷
 
∑∑
2 2
2
2 2
0
2
4
2 2
2 2
16
sin sin
y
m n
m n
p a m x n y
a b
M
a b
m n
mn
a b
ν
π π
π
∞ ∞

+
=
 
+
 ÷
 
∑∑
Độ võng ở tâm tấm






==
2
;
2
a
y
a
x
:
( )
( )
( )
1 1
2 2
2
0 0

max
2 2
6 6 3
2 2 2 2
2 2 2 2
1 1
16 192
1
m n m n
m n m n
p p
w
D Eh
m n m n
mn mn
a b a b
ν
π π
+ +
− −
∞ ∞ ∞ ∞
− −
= = −
   
+ +
 ÷  ÷
   
∑∑ ∑∑
Chuỗi này hội tụ nhanh và chỉ cần lấy số hạng đầu cũng cho kết quả đủ chính xác.
Thật vây, ví dụ trường hợp tấm vuông cạnh a, với ν=0.3, nếu chỉ lấy số hạng đầu (m=n=1):

4 4 4
0 0 0
max
6 3
4
0,00416 0,0454
p a p a p a
w
D D Eh
π
= = =
(sai số 2,5%)
Tuy nhiên, đối với nội lực, do phép lấy đạo hàm, chuỗi hội tụ chậm hơn nhiều và phải
lấy nhiều số hạng hơn.
Để tiện tính toán thực hành, người ta thường lập bảng sẵn theo cách như sau:
+ Tính:
4
0
max
3
p a
w
Eh
α
=

với:
( )
( )
( )

1
2
2
2
6
2
2 2
2
192 1
1
, 1,3,5,
m n
m n
m n
a
mn m n
b
ν
α
π
+
−
∞ ∞
−
−
= =
 
+
 ÷
 

∑∑
và
α
chỉ phụ thuộc vào tỉ số giữa 2 cạnh
a
b
+ Cũng tương tự như vậy, người ta cũng lập bảng tính momen uốn lớn nhất tại
tâm bảng trong dạng:
2
max 0
2
max 0
x x
y y
M p a
M p a
β
β

=


=


17
trong đó:
,
x y
β β

là các hệ số chỉ phụ thuộc vào tỉ số
a
b
+ Các lực cắt
,
x y
Q Q
cũng vậy:
0
3
2
2 2
2
cos sin
16
x
m n
m x n y
p a
a b
Q
a
n m n
b
π π
π
∞ ∞
=
 
+

 ÷
 
∑∑
0
3
2
2 2
2
sin cos
16
y
m n
m x n y
p b
a b
Q
b
m m n
a
π π
π
∞ ∞
=
 
+
 ÷
 
∑∑
và lực cắt lớn nhất tại các điểm giữa các cạnh biên tấm.
2) Tấm chòu lực tập trung đặt tải điểm

( )
0 0
,x y
:
Bằng cách thay lực tập trung P
bằng lực phân bố trong phạm vi chữ nhật
có diện tích
x y
.∆ ∆
, lực phân bố này có
cường độ:
x y
P
p =
∆ ∆
thì dễ dàng tính được
hệ số phân bố tải trọng như sau:
y
x
a
b
O
0
x
y
0
P
y
∆
∆

x
( )
0 0
0 0
0 0
2 2
2 2
, sin sin sin sin
x y
x y
x y
x y
m x n ym x n y
p x y dxdy P
a b a b
π ππ π
∆ ∆
+ +
∆ ∆
− −
=
∫ ∫
Sử dụng công thức (h), ta có công thức tính hệ số chuỗi như sau:
0 0
2
2 2
4
2 2
4
sin sin

mn
m x n yP
A
a b
m n
D ab
a b
π π
π
=
 
+
 ÷
 
Và hàm độ võng:
( )
4
0 0
2
2 2
1 1
2 2
4
sin sin
, sin sin
m n
P
D ab
m x n y
m x n y

a b
w x y
a b
m n
a b
π
π π
π π
∞ ∞
= =
 
 ÷
 
=
+
∑∑
 Chuỗi này hội tụ chậm và các chuỗi momen, lực cắt còn hội tụ chậm hơn nữa nên
với bài toán này chỉ dùng để tính độ võng.
1.8. Tấm chữ nhật biên tựa chòu tải phân bố đều với lời giải Levy:
Lévy đưa ra lời giải của bài toán này bằng
cách chọn w có dạng:
hp
www +=
(a)
x
y
b
2
b
2

a
trong đó: w
p
được xem là phương trình độ võng của 1 dải song song chòu tải
trọng phân bố đều và có dạng:
( )
4 3 3
0
2
24
p
p
w x ax a x
D
= − +
(b)
18
Rõ ràng w
p
thỏa mãn phương trình vi phân tấm (1.10):
4 4 4
4
0
4 2 2 4
2
pw w w
w
x x y y D
∂ ∂ ∂
∇ = + + =

∂ ∂ ∂ ∂
(c)
và điều kiện biên tại 2 cạnh tựa đối diện nhau: x = 0 và x = a
• Còn
h
w
cần chọn sao cho thỏa mãn phương trình thuần nhất của (c), tức là:
02
4
4
22
4
4
4
4
=
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
=∇
y
w
yx
w
x

w
w
(d)
Và
hp
www +=
thỏa mãn tất cả điều kiện biên của tấm.
Lévy đưa ra dạng chuỗi sau đối với
h
w
(và vì tính đối xứng nên m = 1, 3, 5 …)
( )
∑
∞
=
=
5,3,1
sin
m
mp
a
xm
yYw
π
(e)
trong đó:
( )
yY
m
chỉ là hàm riêng của biến y

Rõ ràng
hp
www +=
thỏa mãn điều kiện biên
0&0
2
2
=
∂
∂
=
x
w
w
tại 2 cạnh biên đối
diện nhau là x = 0 và x = a.
Thay w
p
vào (d), ta được:
2 2 4 4
2 4
1
2 sin 0
IV
m m m
m
m m m x
Y Y Y
a a a
π π π

∞
=
 
′′
− + =
 ÷
 
∑
Và để thỏa mãn mọi giá trò của x, ta có:
2 2 4 4
2 4
2 0
IV
m m m
m m
Y Y Y
a a
π π
′′
− + =
(f)
Nghiệm tổng quát của (f) được cho trong dạng:






+++=
a

ym
a
ym
D
a
ym
C
a
ym
a
ym
B
a
ym
A
D
ap
Y
mmmmm
ππππππ
coshsinhsinhcosh
4
0
(g)
Vì bài toán đối xứng qua trục x nên trong (g) chỉ giữ lại các hàm chẵn của y hay suy ra
0==
mm
DC
• Vậy hàm độ võng w sẽ là:
p h

w w w= + =
( )
4
4 3 3
0
1
2 cosh sinh sin
24
m m
m
p pa m y m y m y m x
x ax a x A B
D D a a a a
π π π π
∞
=
 
= − + + +
 ÷
 
∑
(h)
• Rõ ràng w dạng (h) đã thỏa mãn phương trình vi phân tấm
( )
D
xp
w =∇
4
và thỏa
mãn điều kiện biên 2 biên tựa đối diện nhau x = 0 và x = a.

Các hằng số tích phân A
m
& B
m
được xác đònh sao cho thỏa mãn điều kiện biên trên 2
biên còn lại là biên
2
b
y ±=
Muốn vậy, trước hết cần khai triển
( )
4 3 3
0
2
24
p
p
w x ax a x
D
= − +
thành chuỗi lượng giác:
( )
∑
∞
=
=
1
sin
m
mp

a
xm
wxw
π
trong đó:
( )
( )
4 3 3
0
0 0
2 2
sin 2 sin
24
a a
m p
pm x m x
w w x dx x ax a x dx
a a a D a
π π
 
= = − +
 
 
∫ ∫

4
0
5 5
1,3,5,
4 1

.
m
m
p a
w
D m
π
∞
=
=
∑
19
⇒
( )
4
4 3 3
0 0
5 5
1,3,5,
4 1
2 . .sin
24
p
m
p p a m x
w x ax a x
D D m a
π
π
∞

=
= − + =
∑
Và khi đó w có dạng:
4
0
5 5
1,3,5
4
cosh sinh sin
m m
m
p a m y m y m y m x
w A B
D m a a a a
π π π π
π
∞
=
 
= + +
 ÷
 
∑
(i)
Tại biên
2
b
y ±=
: từ điều kiện biên:

0&0
2
2
=
∂
∂
=
y
w
w
Ta được 2 phương trình xác đònh A
m
& B
m
; với cách ký hiệu:
m
a
bm
α
π
=
2
Chú ý:
sinh cosh
cosh sinh
x x
x x
′
=



′
=

2
2
tanh 1 tanh
coth 1 coth
x x
x x
′
= −


′
= −


( )
5 5
4
cosh sinh 0
2 cosh sinh 0
với: lẻ
m m m m m
m m m m m m
A B
m
m
A B B

α α α
π
α α α

+ + =



+ + =

Rút ra:
( )
5 5 5 5
2 tanh 2
2
,
cosh cosh
m m
m m
m m
A B
m m
α α
π α π α
+
= − =
Thay vào (i), cuối cùng hàm độ võng có dạng như sau:
4
0
5 5

1,3,5,
4 tanh 2 2 2
1 2
1 cosh sinh sin
2cosh 2cosh
m m m m m
m
m m
p a y y
y m x
w
D m a a a a
α α α α α
π
π α α
∞
=
 
+
= − +
 
 
∑
(j)
Độ võng lớn nhất tại tâm tấm
, 0
2
a
x y
 

= =
 ÷
 
:
( )
1
4
2
0
max
5 5
1,3,5,
1
4 tanh 2
1
2cosh
m
m m
m
m
p a
w
D m
α α
π α
−
∞
=
−
 

+
= −
 ÷
 
∑
(k)
Nhận xét: số hạng thứ I trong dấu ngoặc của (k) tương ứng với độ võng ở giữa dải
chòu tải trọng phân bố đều. Vậy có thể viết lại (k) trong dạng sau:
( )
1
4 4
2
0 0
max
5 5
1,3,5,
1
4 tanh 25
.
384 2cosh
m
m m
m
m
p a p a
w
D D m
α α
π α
−

∞
=
−
+
= −
∑
(l)
Chuỗi ở số hạng thứ II hội tụ rất nhanh nên chỉ lấy số hạng đầu là đủ.
Ví dụ với bài toán tấm hình vuông, dễ thấy:
4 4 4
1 3
0 0 0
max
5
45
0,68562 0,00025 0,00406
384
m m
p a p a p a
w
D D D
π
= =
 
= − − + =
 ÷
 
và số hạng thứ II trong ngoặc là quá nhỏ so với số hạng đầu nên có thể bỏ qua.
Từ công thức (l) người ta cũng có thể tính độ võng lớn nhất tại tâm tấm chữ nhật biên
tựa và chòu tải trọng phân bố đều trong dạng sau:

4
0
max
.
p a
w
D
α
=
với
α
là hệ số phụ thuộc vào tỉ số
b
a
và cho trong bảng lập sẵn.
Tương tự, dựa vào các công thức cơ bản đã có, ta cũng tìm được các thành phần nội lực.
20
1.9. Tấm chữ nhật chòu uốn bởi momen phân bố tại các cạnh:
Xét tấm tựa trên 4 cạnh biên và
bò uốn cong do momen phân bố dọc các
cạnh
2
b
y = ±
. Hàm độ võng w phải
thỏa mãn phương trình vi phân tấm:
4
0w∇ =
(a)
và các điều kiện biên sau:

y
x
O
a
2
f
f
1
b
2
b
2
+ Trên biên x=0 và x=a:
2
2
0
0
w
w
x
=



∂
=

∂

(b)

+ Trên biên
2
b
y = ±
:
( )
( )
2
1
2
2
2
2
2
2
0 ( )
( )
b
y
b
y
w c
w
D f x
y
d
w
D f x
y
=

=−
=


 
∂

− =
 ÷

 ∂
 


 
∂

− =
 ÷

∂
 


với
( ) ( )
1 2
,f x f x
là momen uốn phân bố trên 2 biên
2

b
y = ±
.
Sử dụng nghiệm dạng Levy: (luôn thỏa mãn điều kiện trên x=0, x=a)
1
sin
m
m
m x
w Y
a
π
∞
=
=
∑
(e)
với:
( )
sinh cosh sinh cosh
m m m m m
m y m y m y m y m y m y
Y y A B C D
a a a a a a
π π π π π π
= + + +
(f)
1.9.1. Trường hợp đối xứng f
1
(x) = f

2
(x) = f(x):
Do bài toán là đối xứng nên Y
m
phải là hàm chẵn của y ⇒
0
m m
A D= =
. Khi này, hàm
độ võng có dạng:
1
cosh sinh sin
m m
m
m y m y m y m x
w B C
a a a a
π π π π
∞
=
 
= +
 ÷
 
∑
&
m m
B C
được xác đònh từ điều kiện biên (c) và (d) như sau:
+ Từ (c), trên

2
b
y = ±
thì
0w =
, ta có:
cosh sinh 0
2
với:
m m m m m m
m b
B C
a
π
α α α α
+ = =
Hay
tanh
m m m m
B C
α α
= −
và
1
sinh tanh cosh sin
m m m
m
m y m y m y m x
w C
a a a a

π π π π
α α
∞
=
 
= −
 ÷
 
∑
+ Để tìm C
m
, ta sử dụng điều kiện biên (d):
Trước hết cần khai triển f(x) thành chuỗi lượng giác (theo
sin
m x
a
π
):
( )
1
sin
m
m
m x
f x E
a
π
∞
=
=

∑
Khi momen phân bố là hằng số trên biên thì
( )
0
f x M=
21
Dễ thấy:
( )
0
0
0
42
sin 1,3,5, với
a
m
Mm x
E M dx m
a a m
π
π
= = =
∫
Sử dụng điều kiện biên (d), ta tìm được:
2
2 2
2 cosh
m
m
m
a E

C
Dm
π α
= −
Và cuối cùng ta có hàm độ võng như sau:
( )
2
2 2
1,3,5,
sin
, tanh cosh sinh
2 cosh
m m m
m
m
m x
a m y m y m y
a
w x y E
D m a a a
π
π π π
α α
π α
∞
=
 
= −
 ÷
 

∑
(g)
Khi momen phân bố đều có cường độ M
0
thì hàm độ võng có dạng:
( )
2
0
3 2
1,3,5,
2 1
, tanh cosh sinh sin
cosh
m m
m
m
M a m y m y m y m x
w x y
D m a a a a
π π π π
α α
π α
∞
=
 
= −
 ÷
 
∑
(h)

1.9.2. Trường hợp phản xứng f
1
(x) = –f
2
(x):
( ) ( )
1 2
1
sin
m
m
m x
f x f x E
a
π
∞
=
= − =
∑
(i)
Do tính chất phản xứng, w sẽ là hàm lẻ của y, do đó, trong công thức (f) thì
0
m m
B C= =
. Nên:
1
sin cosh sin
m m
m
m y m y m y m x

w A D
a a a a
π π π π
∞
=
 
= +
 ÷
 
∑
Từ điều kiện biên (c), w = 0 tại
2
b
y = ±
, ta suy ra:
sinh cosh 0
m m m m m
A D
α α α
+ =
Hay
1
tanh
m m m
m
D A
α
α
= −
Và:

1
1
sin tanh cosh sin
m m
m
m
m y m y m y m x
w A
a a a a
π π π π
α
α
∞
=
 
= −
 ÷
 
∑
Sử dụng điều kiện biên (d) để xác đònh A
m
, ta có:
2
2 2
2 sinh tanh
m
m m
m m
a
A E

D m
α
π α α
=
Và:
2
2 2
1
coth sinh cosh sin
2 sinh
m
m m
m
m
Ea m y m y m y m x
w
D m a a a a
π π π π
α α
π α
∞
=
 
= −
 ÷
 
∑
(j)
1.9.3. Trường hợp tổng quát:
2

f
f
1
≠
1
f
f
2
= +
1
2
1
( f + )
2
f
f
2
( f - )
1
2
1
1
2
1
( f - )
2
f
phản xứng
f
2

( f + )
1
2
1
đối xứng
1.9.4. Trường hợp đặt biệt:
Khi momen phân bố chỉ trên 1 cạnh biên
2
b
y =
chẳng hạn thì ta sẽ sử dụng kết quả
tổng quát với
2
0f =
, tức sơ đồ:
22
= +
1
f
f
2
1
1
2
f
1
2
f
f
2

1
và kết quả là:
2
2 2
1
1
tanh cosh sinh
sin
cosh
4
1
coth sinh cosh
sinh
m m
m
m
m
m m
m
m y m y m y
m x
E
a a a
a
a
w
D m
m y m y m y
a a a
π π π

π
α α
α
π
π π π
α α
α
∞
=
 
 
−
 ÷
 
 
 
=
 
 
+ −
 
 ÷
 
 
 
∑
(k)
1.10. Tấm chữ nhật có 2 cạnh tựa cố đònh, còn 2 cạnh kia là ngàm:

y

x
O
a
b
Giả sử 2 cạnh biên tựa là x=0 và x=a. Hai cạnh biên ngàm là
2
b
y = ±
. Để giải bài
toán này, trước hết ta xem tất cả các cạnh biên là tựa, sau đó đặt momen uốn trên các cạnh
2
b
y = ±
sao cho chúng khử được góc xoay do tải trọng ngang gây ra tại các cạnh này và sau
đó có thể sử dụng các kết quả trước.
• Trường hợp tấm chòu tải phân bố đều có cường độ p
0
. Sử dụng lời giải Levy (công
thức (j) trong mục 1.8) khi xem các biên tấm là tựa:
4
0
5 5
1,3,5,
4 tanh 2 2 21
sin 1 cosh sinh
2cosh 2cosh
m m m m m
m
m m
p a y ym x m y

w
D m a a a a
α α α α απ π
π α α
∞
=
 
+
= − +
 
 
∑
(a)
Dễ thấy góc xoay (hay độ dốc) của mặt võng tại cạnh
2
b
y =
là:
( )
3
0
4 4
1,3,5,
2
2 1
sin tanh 1 tanh
m m m m
b
m
y

p aw m x
y D m a
π
α α α α
π
∞
=
=
 
∂
 
= − +
 ÷
 
∂
 
∑
(b)
• Còn trong trường hợp 4 biên tựa này chòu momen phân bố trên 2 biên
y b= ±
thì độ
dốc của mặt võng (hay góc xoay của tấm) tại cạnh
2
b
y =
dễ dàng tìm được từ công thức (g)
trong mục 1.9 như sau:
( )
2
1,3,5,

2
sin
tanh tanh 1
2
m m m m m
m
b
y
m x
w a
a
E
y D m
π
α α α α
π
∞
=
=
 
∂
 
− = − − −
 ÷
 
∂
 
∑
(c)
Như đã nói ở trên, từ điều kiện:

1 2
2 2
b b
y y
w w
y y
= =
   
∂ ∂
= −
 ÷  ÷
∂ ∂
   
(điều kiện khử góc xoay tại
ngàm), ta rút ra hệ số của chuỗi tải trọng momen phân bố trên biên bảo đảm khử góc xoay:
23
( )
( )
2
0
3 3
tanh 1 tanh
4
.
tanh tanh 1
m m m m
m
m m m m
p a
E

m
α α α α
π α α α α
− +
=
− −
(d)
Thay giá trò của E
m
từ (d) vào công thức (g) trong mục 1.9, ta tìm được w
2
, tức là độ
võng do momen phân bố trên biên ngàm gây ra:
( )
( )
4
0
2
5 5
1
sin
tanh 1 tanh
2
. . sinh tanh cosh
cosh tanh tanh 1
m m m m
m m
m
m m m m m
m x

p a m y m y m y
a
w
D m a a a
π
α α α α
π π π
α α
π α α α α α
∞
=
− +
 
= − −
 ÷
− −
 
∑
và độ võng cuối cùng cần tính là:
1 2
w w w= +
1.11. Tấm chữ nhật có 3 cạnh tựa và 1 cạnh ngàm:
Tìm w bằng cách kết hợp các kết quả
đã có trên:
1 2
w w w= +
trong đó: w
1
là độ võng của tấm biên
tựa chòu tải trọng ngang.

w
2
là độ võng của tấm biên
tựa chòu momen phân bố tại 1 cạnh biên tại
y
x
O
a
b
2
b
y =
. Mà momen phân bố này có giá trò được xác đònh từ điều kiện khử góc xoay tại cạnh
biên
2
b
y =
hay cụ thể:
2 1
2 2
b b
y y
w w
y y
= =
   
∂ ∂
= −
 ÷  ÷
∂ ∂

   
trong đó: w
1
sử dụng công thức (j) trong mục 1.8. (khi lực ngang là phân bố đều).
w
2
sử dụng công thức (k) trong mục 1.9.4 (khi lực ngang là phân bố đều).
Từ điều kiện này xác đònh được hệ số E
m
của chuỗi tải trọng momen phân bố trên
biên:
( )
1,3,5,
sin
biên
y m
m
m x
M f E
a
π
∞
=
= =
∑
1.12. Các phương trình cơ bản của tấm tròn chòu uốn:
Với tấm tròn thì rõ ràng sử dụng hệ tọa độ cực là tiện lợi hơn cả. Khi đó, các thành
phần biến dạng, chuyển vò và nội lực được biểu diễn trên hệ trục tọa độ này như sau:
r
M

Q
r
M
θ
Q
θ
r
θ
M
r
x
y
z
x
y
x
y
θ
r
d
θ
r
Trong hệ tọa độ cực, hàm độ võng và tải trọng sẽ là hàm của biến r &
θ
:
( )
( )
,
,
z z

w w r
p p r
θ
θ

=


=


Công thức quan hệ giữa tọa Decac và tọa độ cực:
24
cos
sin
x r
y r
θ
θ
=


=

và
2 2
arctan
r x y
y
x

θ

= +


 
=

 ÷
 

⇒
cos
sin
r
x
r
y
θ
θ
∂

=

∂


∂

=

∂


và
1
sin
1
cos
x r
y r
θ
θ
θ
θ
∂

= −

∂


∂

=
∂


Toán tử ∇
2
trong hệ tọa độ cực là:

2 2
2
2 2 2
1 1
r r r r
θ
∂ ∂ ∂
∇ = + +
∂ ∂ ∂
Để dẫn tới dạng trên, chỉ cần chú ý rằng:
( ) ( )
, , ,w w r x y x y
θ
 
=
 
1
. . cos sin
w w r w w w
x r x x r r
θ
θ θ
θ θ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + = −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
⇒
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2

sin cos sin sin cos sin
cos 2 2
w w w w w w
x r r r r r r r
θ θ θ θ θ θ
θ
θ θ θ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= − + + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Tương tự, ta tìm được:
( )
2
2
,
w
r
y
θ
∂
∂
Rồi thay vào:
2 2
2
2 2
w w
w
x y
∂ ∂
∇ = +

∂ ∂
Vậy, phương trình vi phân chủ đạo của tấm tròn chòu uốn trong hệ tọa độ cực là:
2 2 2 2
4
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
z
p
w w
r r r r r r r r D
θ θ
  
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∇ = + + + + =
 ÷ ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
  
(1.18)
Các thành phần nội lực được biểu diễn qua w trong hệ tọa độ cực là:
( )
2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
2
2 2 2
2 2
2
2 2 2

1 1
1 1
1
1
1 1
1 1 1 1
r
r
w w
M D
r r r r
w w w
M D
r r r r
w
M D
r r
w w w
Q D w D
r r r r r r
w w w
Q D w D
r r r r r r
θ
θ
θ
ν
θ
ν
θ

ν
θ
θ
θ θ θ

 
 
∂ ∂ ∂
= − + +

 
 ÷
∂ ∂ ∂
 

 

 
∂ ∂ ∂

= − + +
 
∂ ∂ ∂
 
∂ ∂
 
= − −

 ÷
∂ ∂

 
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= − ∇ = − + +
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= − ∇ = − + +
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 











(1.19)
Các lực cắt quy đổi:
( )
( )
2
2

2
2
2
1 1 1
1
1 1
1
qđ
qđ
r
r r
r
M
w
Q Q D w
r r r r r
M w
Q Q D w
r r r r r
θ
θ
θ θ
ν
θ θ θ
ν
θ

 
∂
∂ ∂ ∂

 
= + = − ∇ + −

  ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
  

 
∂ ∂ ∂ ∂
 

= + = − ∇ + −
  ÷

∂ ∂ ∂ ∂
 
 

(1.20)
25
1.13. Tấm tròn chòu uốn đối xứng trục:
Bài toán tấm tròn chòu uốn được gọi là đối xứng trục nếu tải trọng cũng như điều kiện
biên ở mép tấm không phụ thuộc góc cực θ. Khi đó độ võng của tấm sẽ không phụ thuộc vào
góc cực θ và sẽ chỉ là hàm theo biến r, tức là
( )
w w r=
. Khi đó, phương trình vi phân của mặt
trung bình tấm sẽ là:
2 2

2 2
1 1
z
d d d w dw
D p
dr r dr dr r dr
  
+ + =
 ÷ ÷
  
Hay
4 3 2
4 3 2 2 3
2 1 1
z
d w d w d w dw
D p
dr r dr r dr r dr
 
+ − + =
 ÷
 
(1.21)
Và các thành phần nội lực cũng vậy:
2
2
2
2
2
2

1
0
1
0
r
r r
r
d w dw
M D
dr r dr
dw d w
M D
r dr dr
M M
d d w dw
Q D
dr dr r dr
Q
θ
θ θ
θ
ν
ν

 
= − +

 ÷
 



 

= − +
 ÷

 


= =


 

= − +
 ÷

 

=




(1.22)
Các lực quy đổi:
0
qđ
qđ
r r

Q Q
Q
θ

=


=


(1.23)
Phương trình (1.21) có thể tìm được nghiệm tổng quát. Đây là phương trình vi phân
không thuần nhất mà nghiệm tổng quát của nó là:
1
w w w= +
trong đó, w
1
là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng (1.21).
4 3 2
1 1 1 1
4 3 2 2 3
2 1 1
0
d w d w d w dw
dr r dr r dr r dr
+ − + =
Có dạng:
2 2
1 1 2 3 4
.ln . . .lnw C C r C r C r r= + + +

(1.24)
Và
w
là 1 nghiệm riêng của phương trình (1.21).
Để tìm
w
, ta viết lại (1.21) trong dạng:
( )
1 1
p r
d d d dw
r r
r dr dr r dr dr D
 
 
 
=
 
 ÷
 
 
 
 
Bằng cách tích phân trực tiếp 4 lần phương trình này, ta sẽ tìm được
w
:
( )
(
)
0 0 0 0

1 1 1
r r r r
w r rp r dr dr dr dr
D r r
 
 
=
 
 
 
 
∫ ∫ ∫ ∫
Ví dụ: Với trường hợp tải trọng phân bố đều thì
4
64
pr
w
D
=
và nghiệm tổng quát của
phương trình (1.21):
4
2 2
1 2 3 4
.ln . . .ln
64
pr
w C C r C r C r r
D
= + + + +