luân văn Thuyết động học chất khí

Học phần: Nhiệt động lực học và Vật lí thống kê GVHD: Th. s Lê Thị Thu Phương
Đề tài: Thuyết động học chất khí
1
MỤC LỤC
PHẦN A: PHẦN MỞ ĐẦU 2
I. Lý do chọn đề tài 2
II. Mục đích nghiên cứu 2
III. Đối tượng nghiên cứu 3
IV. Nhiệm vụ nghiên cứu 3
V. Phương pháp nghiên cứu 3
VI. Bố cục của bài tập lớn 3
PHẦN B: PHẦN NỘI DUNG 4
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ THUYẾT 4
1.1. Khí lí tưởng 4
1.2. Phân bố vận tốc của các phân tử trong chất khí ở trạng thái cân bằng nhiệt 4
1.2.1. Phân bố về hướng của các phân tử 4
1.2.2. Phân bố về độ lớn của vận tốc phân tử 5
1.3. Mối liên hệ giữa thông số

của phân bố vận tốc Mắcxoen với nhiệt độ
tuyệt đối 10
1.4. Các vận tốc đặc trưng của phân bố Mắcxoen 13
1.5. Phân bố quãng đường tự do của các phân tử khí 16
CHƯƠNG II: BÀI TẬP MINH HỌA 19
PHẦN C: PHẦN KẾT LUẬN 25
PHẦN D: TÀI LIỆU THAM KHẢO 26

Học phần: Nhiệt động lực học và Vật lí thống kê GVHD: Th. s Lê Thị Thu Phương
Đề tài: Thuyết động học chất khí
2
PHẦN A: PHẦN MỞ ĐẦU

I. Lý do chọn đề tài
Nhiệt động lực học và Vật lí thống kê đều nghiên cứu những hệ bao gồm một
số rất lớn các hạt như nguyên tử, phân tử, ion, các hạt khác mà ta gọi là hạt vi mô
hay hệ nhiều hạt, nhưng bằng các phương pháp khác nhau.
Như vậy khi nghiên cứu về Thuyết động học chất khí sẽ cũng cố kiến thức đã
học ở phần Nhiệt học và Vật lí phân tử đồng thời tiếp tục đi sâu khảo sát một số
vấn đề quan trọng của thuyết này mà mà trong phạm vi Nhiệt học và Vật lí phân tử
chưa có điều kiện để giải quyết một cách đầy đủ, đặc biệt là một số vấn đề liên
quan tới phân bố vận tốc Mắcxoen. Mặt khác thuyết động học chất khí có thể coi là
một ví dụ đầu tiên và đơn giản nhất của việc áp dụng phương pháp thống kê (tức là
dựa vào lí thuyết xác suất) vào hệ nhiều hạt. Chính vì thế việc nghiên cứu đó sẽ tạo
điều kiện để nghiên cứu các vấn đề tiếp theo một cách thuận lợi của Vật lí thống
kê.
Xuất phát từ nhận thức và suy nghĩ đó, và mong muốn góp phần làm phong phú
hơn nữa các tài liệu môn học này để các sinh viên chuyên nghành Vật lí và mọi
người quan tâm xem đây như một tài liệu tham đó là lí do để tôi chọn đề tài
“Thuyết động học chất khí”.
Trong khuôn khổ giới hạn của một bài tập lớn, đề tài chỉ dừng lại ở việc nêu ra
khái quát cơ sở lí thuyết và các dạng bài tập liên quan đến đề tài nghiên cứu.
II. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu xây dựng một hệ thống lý thuyết và bài tập minh họa về Thuyết
động học chất khí đồng thời làm phong phú thêm tư liệu học tập.
Học phần: Nhiệt động lực học và Vật lí thống kê GVHD: Th. s Lê Thị Thu Phương
Đề tài: Thuyết động học chất khí
3
III. Đối tượng nghiên cứu
Thuyết động học chất khí.
IV. Nhiệm vụ nghiên cứu
Sưu tầm và chọn tài liệu tham khảo thích hợp.
Nghiên cứu và nêu bật được các vấn đề của Thuyết động học chất khí.

V. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu và phân tích các tài liệu giáo khoa, các lý thuyết có liên quan.
Phương pháp nghiên cứu lý luận.
Phương pháp tổng hợp thu thập tài liệu.
VI. Bố cục của bài tập lớn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, các tài liệu tham khảo bài tập lớn gồm 2 phần:
Phần 1: Cơ sở lí thuyết
Phần 2: Bài tập minh họa







Học phần: Nhiệt động lực học và Vật lí thống kê GVHD: Th. s Lê Thị Thu Phương
Đề tài: Thuyết động học chất khí
4
PHẦN B: PHẦN NỘI DUNG
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ THUYẾT
1.1. Khí lí tưởng
Khí lí tưởng là một hệ thống kê đơn giản nhất. Những đặc điểm cơ bản nhất của
khí lí tưởng là:

Trong một thể tích vĩ mô của khí lí tưởng có chứa một số rất lớn phân tử.

Kích thước phân tử rất nhỏ so với khoảng cách giữa chúng, do đó trong phần
lớn phép tính toán ta có thể bỏ qua kích thước của các phân tử và coi phân tử như
chất điểm.


Các phân tử chuyển động hỗn đỗn không ngừng, chúng luôn luôn va chạm
với nhau và thành bình chất khí.

Lực tương tác giữa các phân tử chỉ xuất hiện khi va chạm; vì vậy hai va
chạm liên tiếp mỗi phân tử chuyển động tự do nghĩa là là chuyển động thẳng đều.
Sự va chạm giữa các phân tử với nhau và với thành bình xảy ra theo quy luật va
chạm đàn hồi.
Dưới đây ta chỉ xét khí lí tưởng ở trạng thái cân bằng nhiệt nghĩa là coi nhiệt độ
và áp suất ở mọi chỗ trong chất khí đều bằng nhau và không đổi.
1.2. Phân bố vận tốc của các phân tử trong chất khí ở trạng thái cân bằng
nhiệt
1.2.1. Phân bố về hướng của các phân tử
Theo giả thiết về sự hỗn đỗn sơ cấp thì trong trạng thái cân bằng nhiệt của chất
khí, tất cả các hướng vận tốc của các phân tử khí có xác suất như nhau. Như vậy là,
Học phần: Nhiệt động lực học và Vật lí thống kê GVHD: Th. s Lê Thị Thu Phương
Đề tài: Thuyết động học chất khí
5
trong trạng thái cân bằng nhiệt của chất khí, hướng vận tốc của các phân tử tuân
theo một định luật phân bố đơn giản: tất cả các hướng chuyển động đều có thể gặp
thấy một cách phổ biến như nhau ở các phân tử. Tính đồng xác suất của các phân
tử cho phép ta có thể thay chuyển động của các phân tử khí bằng chuyển động
trung bình.
1.2.2. Phân bố về độ lớn của vận tốc phân tử
Phân bố này do Mắcxoen tìm ra lần đầu tiên vào năm 1867, vì vậy nó còn mang
tên là phân bố vận tốc Mắcxoen. Do đơn giản hóa vấn đề, nên lập luận ban đầu của
Mắcxoen chưa thực sự chặt chẽ. Tuy nhiên, những chứng minh chặt chẽ khác cũng
cho ta kết quả giống như Mắcxoen. Và nó đã được thực nghiệm xác nhận là đúng.
Do tính đẳng hướng của chuyển động phân tử, ta có thể tìm hoặc là sự phân bố
của hình chiếu vận tốc của các phân tử theo một phương nào đó, hoặc là sự phân
bố phân tử theo modun vận tốc. Độ lớn tuyệt đối của vận tốc phân tử cũng như

hình chiếu vận tốc lên một trục tùy ý có thể có các trị số liên tục từ không cho đến
vô cực. Điều đó có nghĩa ta sẽ thu được một hàm phân bố vận tốc liên tục f. Do ta
khảo sát trạng thái cân bằng của chất khí, nên hàm phân bố sẽ không phụ thuộc vào
thời gian.
a) Để thu được hàm phân bố đó ta chuyển sang chuyển động không gian của
chuyển động ngẫu nhiên tức là không gian vận tốc của một phân tử. Trên ba trục
độc lập x, y, z ta đặt các hình chiếu
x y z
v , v , v
của vận tốc phân tử. Trong không
gian đó mỗi một vectơ vận tốc ngẫu nhiên nào đó của phân tử sẽ tương ứng với
một điểm trùng với đầu mút vectơ đó, các hình chiếu khả hữu của vận tốc phân tử
được biểu diễn trên các trục x, y và z từ


cho đến


.
Học phần: Nhiệt động lực học và Vật lí thống kê GVHD: Th. s Lê Thị Thu Phương
Đề tài: Thuyết động học chất khí
6
Hình 1

Xác suất để phân tử có hình chiếu vận tốc trên Ox trong khoảng
x
v
đến
x x
v dv


sẽ là hàm của
x
v
.
Thực vậy số phân tử chất khí có những thành phần
x
v
khác nhau. Mặt khác,
hiển nhiên là xác suất đó lại tỉ lệ với chiều rộng của khoảng
x
dv
, bởi vì khoảng
x
dv
càng lớn thì khả năng để phân tử có thành phần vận tốc
x
v
nằm trong khoản
đó càng lớn.
Vậy xác suất để phân tử có hình
chiếu vận tốc trên trục Ox trong
khoảng
x
v
đến
x x
v dv

là bằng:





2
x x x
dW v v dv .
f
(1)
Sở dĩ hàm phân bố f phụ thuộc vào
2
x
v
, bởi vì khi chiều Ox biến đổi thành
chiều ngược lại, xác suất của hình
chiếu vận tốc không thay đổi. Một
cách tương tự ta có thể viết:





2
y y y
dW v v dv ,
f
và





2
z z z
dW v v dv .
f

Bởi vì không có hướng nào ưu tiên hơn, cho nên các hàm


2
x
v
f
,


2
y
v
f
,


2
z
v
f
có dạng như nhau và có thừa số hằng số xác định bởi điều kiện chuẩn hóa
như nhau. Mắcxoen cho rằng hình chiếu của vận tốc các phân tử là đại lượng ngẫu

nhiên độc lập. Do đó xác suất để phân tử khi có đồng thời ba hình chiếu vận tốc
x y z
v , v , v
trong các khoảng
x
dv
,
y
dv
và
z
dv
sẽ được xác định bởi tích ba xác
suất, nghĩa là:
Học phần: Nhiệt động lực học và Vật lí thống kê GVHD: Th. s Lê Thị Thu Phương
Đề tài: Thuyết động học chất khí
7









2 2 2
x y z x y z x y z
dW v , v , v v v v dv dv dv .
f f f

(2)
Đẳng thức (2) xác định xác suất sao cho đầu mút của vectơ vận tốc của phân tử
nằm trong hình hộp nguyên tố
x
dv
y
dv
z
dv
của không gian vận tốc (xem hình 1).
Ta có thể viết (2) dưới dạng khác:





x y z x y z x y z
dW v , v , v v , v , v dv dv dv .
f

Hàm phân bố là hàm của mođun vận tốc, nghĩa là:





2 2 2
x y z x x y z
dW v , v , v v v v dv dv dv .
y z

f  
(3)
Bằng cách so sánh biểu thức các xác suất (2) và (3) ta thu được phương trình
sau đây:









2 2 2 2 2 2
x y z x
v v v v v v .
y z
f f f f  
(4)
Từ phương trình đó ta có thể tìm được dạng của hàm phân bố vận tốc:







2
2 2
y

x z
v
v v
2 1/3 2 1/3 2 1/3
x y z
v A , v A , v A ,
f e f e f e

 
  
và:








2 2 2 2 2 2
x y z x
v v v A v v v ,
y z
f f f e

  

với trị số bất kì của thông số

. Bằng cách giả thiết rằng hình chiếu của vận tốc,

như
x
v
chẳng hạn ta có thể có các trị từ

 
đến

 
, chúng ta viết điều kiện
chuẩn hóa như sau:

 
2 1/3 2
x x x x
v dv A v dv 1
f e

 
 
 
 

Học phần: Nhiệt động lực học và Vật lí thống kê GVHD: Th. s Lê Thị Thu Phương
Đề tài: Thuyết động học chất khí
8

Hình 2

Tích phân này chỉ hội tụ khi số mũ là âm. Nếu coi thông số chưa xác định


là
dương, ta sẽ viết hàm phân bố dưới dạng:



2
x
v
2 1/3
x
v A
f e


 , và


2
2 v
v A
f e


 (5)
Hằng số
1/3
A
được xác định từ điều kiện chuẩn hóa:

2
x
1/3
v
x
1
A
dve






 

, do đó
3/2
A


 

 
 
.
Thay cho hình chiếu lên trục Ox ta có thể xét hình chiếu vận tốc của phân tử lên
một phương l tùy ý. Khi đó sự phân bố của hình chiếu
v
l

của vận tốc một phương l
tùy ý sẽ có dạng:

 
2
v
2
v
l
l
f e




 . (6)
Đó là phân bố vận tốc Mắcxoen có dạng biểu diễn trên hình 2 (đường cong 1).
Hàm (6) xác định xác suất sao cho phân tử có
hình chiếu vận tốc
v
l
lên phương l nào đó
khoảng từ
v
l
đến
v
l
+d
v

l
.
b) Tuy nhiên , để phân tích chuyển động
của phân tử trong chất khí ta có thể xét đến
xác suất để phân tử khí có một mođun vận tốc
nào đó không phụ thuộc vào phương chuyển
động. Ta có thể viết lại (3) như sau:



2
-αv 2
dW v,
φ,θ A v dv.sinφ.dφ.dθ.
e
Học phần: Nhiệt động lực học và Vật lí thống kê GVHD: Th. s Lê Thị Thu Phương
Đề tài: Thuyết động học chất khí
9
Bởi vì chuyển động của các phân tử là đẳng hướng, bằng cách lấy tích phân
theo góc ta có thể tìm được hàm phân bố mođun vận tốc v:

 
2 2
2
-αv 2 -αv 2
0 0
dW v A v dv sin
φ.dφ.dθ 4 A v dv
e e
 


 

. (7)
Hàm phân bố vận tốc của phân tử theo mođun v sẽ có dạng:



2
2 v
v 4 Av
f e



 , (8)
và
 
2
3
2 v
v 4 v
f e




 (9)
Phân bố đó cũng gọi là phân bố Mắcxoen và có dạng biểu diễn bằng đường
cong II trên hình 2.

c) Nếu trong hệ có N phân tử thì số hạt có hình chiếu vận tốc
v
l
trong khoản từ
v
l
đến
v dv
l l

hay là mođun v đến v + dv sẽ được xác định theo công thức:





dn v NdW v ,

trong đó


dW v
là xác suất tương ứng đối với một hạt. Ta có thể viết lại:
Đối với hình chiếu của vận tốc:

 
2
1
αv
1 1

dn v N dv
e



 . (10)
Đối với mođun vận tốc:

 
2
1
3
αv2
dn v N.4 v dv
e




. (11)
Một cách tương ứng hàm phân bố số hạt sẽ được chuẩn hóa không phải bằng
đơn vị mà bằng số hạt toàn phần N. Giữa


v
f và


n v
có mối liên hệ:

Học phần: Nhiệt động lực học và Vật lí thống kê GVHD: Th. s Lê Thị Thu Phương
Đề tài: Thuyết động học chất khí
10
Hình 3


 




v v
v .
dn n
f
Ndv N
 

1.3. Mối liên hệ giữa thông số

của phân bố vận tốc Mắcxoen với nhiệt độ
tuyệt đối
Ta nhắc lại rằng, các va chạm thường xuyên nối với nhau của các phân tử khí
vào thành sẽ tạo nên một cách trung bình một áp lực không đổi. Giả sư thành bình
đặt vuông góc với trục Oz. Khi một phân tử va chạm đàn hồi vào thành bình thì
phần giáp tuyến của động lượng
z
v
m
, sẽ biến đổi thành

z
v
m

, còn các phần tử
y
v
m
và
x
v
m
vẫn giữ nguyên không thay đổi. Vì vậy khi va chạm vào thành bình,
độ biến thiên động lượng của phân tử là bằng 2
z
v
m
.
Tổng các xung của các lực của
các phân tử tác dụng lên thành
bình trong một đơn vị thời gian
chính là áp lực tác dụng lên thành,
và lực ứng với một đơn vị diện
tích chính là áp suất p lên thành.
Áp suất p có thể xem là tổng các
áp suất


z
dp v

do các phân tử có
các hình chiếu vận tốc
z
v
khác
nhau tác dụng lên thành. Để tính
áp suất


z
dp v
ta hãy tìm số phân tử


z
dn v
, có hình chiếu vận tốc từ
z
v
đến
z z
v dv

tới va chạm với một đơn vị diện tích của thành bình trong một đơn vị thời
gian.
Học phần: Nhiệt động lực học và Vật lí thống kê GVHD: Th. s Lê Thị Thu Phương
Đề tài: Thuyết động học chất khí
11
Hình 4

Giả sư trong một
3
1cm
chất khí có chứa
o
n
phân tử. Khi đó số phân tử trong
3
1cm
có hình chiếu vận tốc
z
v
trong khoảng từ
z
v

đến
z z
v dv

được xác định
theo công thức (10):

 
2
v
o z o z
dn v n dv .
z
e





 (12)
Trong một đơn vị thời gian số phân tử có vận tốc
z
v
và chạm lên một đơn vị
diện tích của thành bình chính là số phân tử trong thể tích hình trụ có đáy bằng
2
1cm
và có độ cao là
z
v
(xem hình 4) nghĩa là:

   
2
v
z z o z z o z
dn v v dn v v n dv .
z
e




  (13)
Tất cả các phân tử đó tác dụng lên thành bình với áp suất:





z z z
dp v 2mv dn v
 . (14)
Để tính áp suất toàn phần p ta cần
phải lấy tích phân:



z z
p dp 2mv dn v .
 
 

Chú ý rằng ta chỉ xét đến các phân
tử va chạm với thành có
z
v
biến thiên
từ 0 đến vô cùng, do đó ta có:

2 2
v v2 2
o
o z o z
0 0
mn

p 2mv n dv 2mn v dv .
2
z z
z z
e e
 
 
  
 
 
  
 
(15)
Ta hãy so sánh áp suất đó với áp suất khí lí tưởng tính theo phương trình
Claypeyron – Medenlep cho một mol khí:
Học phần: Nhiệt động lực học và Vật lí thống kê GVHD: Th. s Lê Thị Thu Phương
Đề tài: Thuyết động học chất khí
12

RT
p
V
 .
Trong trường hợp đó
o
o
N
n
V
 và

o
R kN

trong đó
o
N
là số Avôgađrô, V là
thể tích của hệ, k là hằng số Bônxơman và R là hằng số phổ biến của chất khí.
Cuối cùng ta thu được:

o o
o
mn kN T
kTn .
2
α V
 
Từ đó suy ra được thông số

của phân bố Mắcxoen liên hệ với nhiệt độ tuyệt
đối theo công thức:

m
.
2kT


(16)
Thay trị số của


ta có:

 
2
1
m
2
2kT
1
m
.
2 kT
v
f v e


 (17)
Và:
 
2
1
3
m
2
2kT
m
4 .
2kT
v
f v v e



 

 
 
(18)
Bằng cách đưa xung lượng với các hình chiếu
p mv
x x

,
p mv
y y

,
p mv
z z

ta
có thể viết lại phân bố Mắcxoen dưới dạng:

   
 
2
x
2
x
p
2mkT

x x
3
p
2
2mkT
1
dW p d p ,
2πmkT
1
dW p 4 p dp.
2πmkT
e
e



 

 
 

Từ đó các hàm phân bố của hình chiếu và của mođun xung lượng sẽ có dạng
tương ứng:
Học phần: Nhiệt động lực học và Vật lí thống kê GVHD: Th. s Lê Thị Thu Phương
Đề tài: Thuyết động học chất khí
13

 
2
p

2
2mkT
1
p ,
2πmkT
l
l
f e

 (19)
và:
 
23
p
2
2mkT
1
p p .
2πmkT
f e

 

 
 
(20)
Nếu trong phân bố (18), thay cho vận tốc ta đưa động năng
2
đ
mv

E
2
 , ta có:

 
 
 
đ
E
đ
kT
3
đ đ đ đ
2E
dW E 4 dE E dE .
2 kT
e f



 

Và do đó:

 
 
đ
E
kT
đ

đ
3
2 E
E .
kT
e
f



(21)
1.4. Các vận tốc đặc trưng của phân bố Mắcxoen
Vận tốc tương ứng với cực đại của đường cong phân bố được gọi là vận tốc cái
nhiên nhất (hay vận tốc có xác suất lớn nhất). Vận tốc đó được xác định từ điều
kiện:



df
0
dt
v

.
Và có trị số:
c
2kT
.
m
v 

(22)
Đôi khi để thuận lợi người ta biểu thị phân bố vận tốc Mắcxoen dưới dạng rút
gọn bằng cách đưa biến số mới
c
v
c
v

, khi đó ta có:

 
2
2 c
4N
dn c c dc
e


 . (23)
Học phần: Nhiệt động lực học và Vật lí thống kê GVHD: Th. s Lê Thị Thu Phương
Đề tài: Thuyết động học chất khí
14
Ta có (dựa vào công thứ tích phân Poátxông): đối với trị số trung bình của
mođun vận tốc.

 
0
8kT
vf v .dv .
m

v


 

(24)
Đối với trị trung bình của hình chiếu vận tốc lên một phương l bất kì:

 
+
2
v f v .dv 0.
l l l l
v


 

(25)
Đôi khi người ta cũng chú ý tới vận tốc chuyển động trung bình của các phân tử
theo một chiều đã cho. Các hình chiếu vận tốc của các hạt chuyển động theo chiều
đã cho sẽ luôn luôn dương vì vậy:

2
2kT
0
2kT
v 2 v dv .
2 kT
l

mv
l l l
m
e
m
 


 

(26)
Như vậy vận tốc trung bình theo một chiều đã cho
v
l
nhỏ hơn mođun vận tốc
trung bình
v
hai lần.
Ngoài ra đối với vận tốc toàn phương trung bình ta có:

 
2 2
0
3kT
v f v .dv .
m
v

 


(27)
Và:
 
2 2 2
kT
v f v .dv .
m
l l l l
v


 

(28)
Đại lượng đầu
2
v
xác định trị toàn phương trung bình của mođun vận tốc, còn
đại lượng thứ hai
2
l
v
là trị toàn phương trung bình của hình chiếu vận tốc.

2
2 2 2
kT
.
3
x y z

v
v v v
m
    (29)
Học phần: Nhiệt động lực học và Vật lí thống kê GVHD: Th. s Lê Thị Thu Phương
Đề tài: Thuyết động học chất khí
15
Hình 5

Và vận tốc quân phương bằng:

2
3kT
v
m
 . (30)
Giữa các vận tốc đặc trưng của phân bố Mácxoen có hệ thức sau đây:

2
c
: : 1:1,13:1,22.
v v v  (31)
Các trị số vận tốc đó biểu diễn trên đồ thị (hình 5).
Mật độ năng lượng trung bình tức là năng
lượng trung bình của
3
1cm
chất khí có chứa
n
o

phân tử:

2 2
2
d
1
2 2 2
o
n
i o
i
mv mn v
v



  

(32)
Dựa vào (28) ta có thể viết lại biểu thức (15)
của áp suất như sau:

2 2
2
d
2 2
2 3 3 2 3
o o
o z

mn mn v v
p mn v



     . (33)
Như vậy áp suất của khí lí tưởng tỉ lệ với mật độ động năng trung bình của một
phân tử khí ta có:

2
đ
3
E kT.
2 2
mv
  (34)
Như vậy là, động năng trung bình của chuyển động tịnh tiến của phân tử sẽ
không phụ thuộc vào bản chất của phân tử và tỉ lệ với nhiệt độ tuyệt đối T của chất
khí. Từ đó suy ra rằng, nhiệt độ tuyệt đối là thước đo động năng trung bình của
phân tử.
Học phần: Nhiệt động lực học và Vật lí thống kê GVHD: Th. s Lê Thị Thu Phương
Đề tài: Thuyết động học chất khí
16
1.5. Phân bố quãng đường tự do của các phân tử khí
Ta kí hiệu P(x) là xác suất để phân tử đi hết quãng đường x mà chưa bị va chạm
và là xác suất để phân tử đi hết quãng đường
x dx

mà chưa bị va chạm. Việc
phân tử phân tử đi hết quãng đường

x dx

mà chưa bị va chạm được gọi như là
một biến cố phức tạp gồm hai biến cố độc lập. Gọi P(dx) là xác suất để phân tử đi
quãng đường dx chưa bị va chạm ta có:







P x dx P x P dx .
  (35)
Ta có thể viết P(dx) dưới dạng khác. Ta kí hiệu Q(dx) là xác suất để phân tử đi
quãng đường dx hết sức nhỏ và bị va chạm. Ta coi rằng Q(dx) tỉ lệ thuận với dx,
nghĩa là:



Q dx adx,
 (36)
trong đó a là hệ số tỉ lệ.








P x dx P x 1 adx ,
  
hay:
 


  
dP x
P x dx P x 1 adx ,
dx
  

từ đó:


dP x
adx
dx
 
. (37)
Lấy tích phân, ta tìm được:





P x Aexp ax .
  (38)
Để xác định hằng số A ta chú ý rằng, xác suất



P 0
để trên quãng đường
0
x


phân tử không bị va chạm với phân tử khác là một biến cố chắc chắn, tức là


P 0 1

. Do đó
A 1

. Cuối cùng ta được:
Học phần: Nhiệt động lực học và Vật lí thống kê GVHD: Th. s Lê Thị Thu Phương
Đề tài: Thuyết động học chất khí
17
Hình 6






P x exp ax .
  (39)
Bây giờ ta xác định hằng số a. Gọi dW(x) là xác suất để phân tử đi hết quãng
đường x mà chưa bị va chạm nhưng sau đó phân tử đi hết quãng đường dx thì bị va

chạm, ta có:











dW x P x Q dx P x adx aexp ax dx.
    (40)
Xét về ý nghĩa thì trong trường hợp này quãng đường x chính là quãng đường
tự do, nghĩa là
x


, do đó:





dW
λ a exp a d .
 
  (41)
Từ công thức (41) ta suy ra hàm phân bố

của quãng đường tự do:

 
1 1
λ exp .
f
 
 
 
 
 
 
 
 
(42)
Trên hình 6 đồ thị của hàm phân bố


λ
f
. Từ (42) ta tìm được quãng đường tự do trung bình

:

   
0 0
1
aexp a .d a exp a .d .
a
      

 
    
 

Nghĩa là:
1
a .


(43)
Thay vào (41) và (42) ta được:

 
1 1
dW
λ exp d .

 
 
 
 
 
(44)

 
1 1
λ exp .
f
 
 

 
 
 
 
 
 
(45)
Học phần: Nhiệt động lực học và Vật lí thống kê GVHD: Th. s Lê Thị Thu Phương
Đề tài: Thuyết động học chất khí
18
Từ đó ta suy ra rằng, xác suất để phân tử có quãng đường tự do trung bình hoặc
hớn hơn là bằng:

 
1 1
dW
λ exp d 0,3679.
 

 
 
 
  
 
 
 

Như vậy phân bố của quãng đường tự do về căn bản khác với phân bố vận tốc
Mắcxoen. Định luật phân bố của quãng đường tự do đã được thực nghiệm xác
nhận.

Học phần: Nhiệt động lực học và Vật lí thống kê GVHD: Th. s Lê Thị Thu Phương
Đề tài: Thuyết động học chất khí
19
CHƯƠNG II: BÀI TẬP MINH HỌA
Câu 1: Xuất phát từ phương trình động học Bônxơman hãy rút ra phân bố
Mắcxoen theo vận tốc của các phân tử khí cân bằng khi không có trường ngoài.
Lời giải:
Khi không có trường ngoài


U r

. Đối với khi cân bằng hàm phân bố không
phụ thuộc tường minh vào thời gian nên ta có:

0

f
t



.
Mặt khác do không có trường ngoài f cũng không phụ thuộc tọa độ nên cung có
thể đặt:

0
r
f
 

.
Thành thử ra ta sẽ có phương trình:









1 2 1 2
.
f v f v f v f v
 


   

Lấy lôgarit của phương trình này và kết hợp với các điều kiện va chạm đàn hồi,
ta có:









1 2 1 2
ln ln ln ln ,
f v f v f v f v
 
  
   


1 2 1 2
,
v v v v
 
  
   











2 2 2 2
1 2 1 2
.
v v v v
 
  
   

Ta dễ thấy rằng hàm:




2
ln b A,
o
f v v v
  
  

trong đó b, A và
o
v


là các hằng số.
Như vậy nhiệm của phương trình Bônxơman trong trường hợp này là:
Học phần: Nhiệt động lực học và Vật lí thống kê GVHD: Th. s Lê Thị Thu Phương
Đề tài: Thuyết động học chất khí
20





b
B .
o
v v
f v e


 


Đó là phân bố Mắcxoen.
Câu 2: Trong quả cầu bán kính a có chứa N hạt khí lí tưởng cân bằng ở nhiệt
độ T. Ở thời điểm ban đầu
t 0

, khí bắt đầu giãn nở tự do vào chân không. Xác
định mật độ hạt



,
r t


nếu bỏ qua va chạm.
Lời giải:
Khi vắng mặt trường ngoài và không có va chạm, phương trình Bônxơman có
dạng:

0
r
f
v f
t

  




.
Ở thời điểm
t 0

:








, ,0 ,
o o o o o
f r v r f v


   

trong đó


o o
r


là mật độ hạt tại
t 0

còn


o
f v

là phân bố Mắcxoen.
Bởi vì các hạt chuyển động theo quán tính ở thời điểm t, vị trí của hạt:
o
r r vt
 

  
, từ đó:
o
r r vt
 
  
và






, ,
o o
f r v t r vt f v

 
    
hiển nhiên là


, ,
f r v t
 

thỏa mãn phương trình Bônxơman và điều kiện ban đầu. Mật độ ở thời điểm t được
tìm theo phương trình:

         

3
1
, , , .
o
o o o o o o
r r
r t f r v t dv r vt f v dv r f dr
t t
  

 
   
 
 
  
 
         

Ta thay vào công thức này:

3/2 2
exp
2 2
o o
o
r r m m r r
f
t t
 
 

 
     
 
 
     
     
 
 
.
Học phần: Nhiệt động lực học và Vật lí thống kê GVHD: Th. s Lê Thị Thu Phương
Đề tài: Thuyết động học chất khí
21
Và coi


o o
r


là đối xứng cầu, tích phân theo

và

giữa
r

và
o
r


, ta có:

 
   
 
2 2
2 2
2 2
1
1
, .
2
o o
m m
r r r r
t t
o o o
m
r t e e r rdr
r
 
 

   
 
 
 
 

   



Chú ý là:

 
khi 0 r a,
0 khi r a.
o
o o
r


 






Ta có:

     
, .
2
o
m
r t J r J r
t r




  
 
 

Trong đó:

 
 
2
2
2
0
.
o
a
m
r r
t
o o
J r e r dr

 


 

Tiếp tục tính



J r
và thay vào ta có:

 
   
   
2 2
1
, er er .
2
o
r t e e f a f a
   

  
 
   
 
 
     
 
 
 

Trong đó:

 
3
2
2

0
.
2
2
2
er .
x
x
m m
r a
t
t
f x e dx
 




 



Học phần: Nhiệt động lực học và Vật lí thống kê GVHD: Th. s Lê Thị Thu Phương
Đề tài: Thuyết động học chất khí
22
Câu 3: Nếu xem không khí trong một căn phòng là đứng yên trên phương diện
vĩ mô, có áp suất và nhiệt độ hoàn toàn đồng nhất, hãy ước tính khoảng thời gian
để một phân tử khí trong phòng đi được khoảng cách 5m.
Lời giải:
Vì sự khuyếch tán phân tử là một quá trình ngẫu nhiên, nên ta có:

2 2
,
L nl


L là độ dịch chuyển toàn phần của phân tử, l là quãng đường tự do trung bình, n là
số va chạm nó gặp phải trên suốt khoảng dịch chuyển L. Do đó thời gian cần thiết
là:

2
4
10 ,
l L
t n s
v lv
  
ở đây lấy
6
5.10 m
l

 và
2
5.10 m/s
v

 .
Câu 4: Một thể tích 2V chia thành hai nửa nhờ một vách ngăn mỏng. Nửa bên
trái chứa khí lí tưởng ở áp suất

o
n
còn nửa phải lúc đầu là chân không. Một lỗ nhỏ
A được khoét trên vách ngăn. Áp suất
1
p
ở nửa bên trái phụ thuộc vào thời gian
như thế nào? Giả thiết nhiệt độ ở cả hai bên là không thay đổi. Hãy biểu diễn đáp
số theo vận tốc trung bình v.
Lời giải:
Vì lỗ nhỏ nên ta có thể giả thiết ở hai bên vách ngăn bình là cân bằng nhiệt ở
mọi thời điểm. Nêu số hạt ở phía bên trái trong một đơn vị thể tích ở thời điểm
t 0

là
o
n
, thì mật độ số hạt ở ngăn bên trái và bên phải ở thời điểm t lần lượt là


1
n t
và


1o
n n t
 .
Học phần: Nhiệt động lực học và Vật lí thống kê GVHD: Th. s Lê Thị Thu Phương
Đề tài: Thuyết động học chất khí

23



 
1
1 1
,
4 4
o
dn t
A A
V n v n n v
dt
   

trong đó
8
kT
v
m

 là vận tốc trung bình của các hạt. Số hạng thứ nhất là tốc độ
giảm số hạt trong nửa bình bên trái cũng chính là số hạt chuyển sang nửa bình bên
phải, số hạng thứ hai là tốc độ tăng số hạt trong nửa bình trái do số hạt chuyển từ
nửa bên phải sang. Phương trình được đơn giản thành:



1

1
.
2 4
o
dn t
A A
n v n v
dt V V
 

Với điều kiện ban đầu:


1
0
o
n n

, ta có:

 
 
2
1
2
1
1 ,
2
1 .
2

Avt
o
V
Avt
o
V
n
n t e
p
p t e


 
 
 
 
 
 
 
 

Câu 5: Khi nghiên cứu các hiện tượng nhiệt điệ trong kim loại và bán dẫn, ta
thường chọn dòng
j

, dòng nhiệt điện Q
o
j




 



(trong đó


là mật độ dòng
năng lượng,

là thế điện hóa của các hạt mang) là các dòng nhiệt điện. Hãy tìm
lực liên hiệp với dòng với điều kiện là nguyên lí đối xứng của hệ số động học của
Oxage được thỏa mãn.
Lời giải:
Mật độ Entrôpi S của dòng tải là hàm của mật độ điện tích

và năng lượng tải

, do đó:

.
S S S S
t t t



 
 
    

 
 
 
 
    
 
 

Học phần: Nhiệt động lực học và Vật lí thống kê GVHD: Th. s Lê Thị Thu Phương
Đề tài: Thuyết động học chất khí
24
Nếu sử dụng định luật bảo toàn điện tích và năng lượng:

div 0,
div 0.
j
t
t




 


 




Và kể đến các biểu thứ liên quan đến các đạo hàm:

1
; ,
1 1
div .
o
o
o o
S S
T T
j
S
j j
t T T T



  


 

 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 

 
   

 
     
   

 
   
 
 


 


Tích phân biểu thứ này theo thể tích V của hệ kín ta nhận được:

1 1
,
V V
o
S
j dV Q dV
t T T



 

 
   
 
 

 
 
 



Q
o
j



 



.
Ở đây đã sử dụng điều kiện
0
n n
j


 
trên mặt giới hạn thể tích V. Ta thấy các
lực liên hiệp với các dòng nhiệt động
j

và
Q

tương ứng.






Học phần: Nhiệt động lực học và Vật lí thống kê GVHD: Th. s Lê Thị Thu Phương
Đề tài: Thuyết động học chất khí
25
PHẦN C: PHẦN KẾT LUẬN
Qua bài tập lớn này, giúp chúng ta có thể tiếp cận với việc tham khảo nhiều tài
liệu khác nhau của môn Nhiệt động lực học và Vật lí thống kê. Đặc biệt là phần
Thuyết động học chất khí, từ đó tìm hiêu sâu hơn về phần này và các giải các bài
toán liên quan.
Nó giúp em hiểu được và định hình về việc giải những bài tập và lí thuyết có
liên quan, mặt khác qua đó nắm một các tổng quát các dạng toán của Thuyết động
học chất khí.
Do thời gian nghiên cứu và bản thân kiến thức còn hạn chế nên chỉ mới đề cập
khái quát một cách cơ bản mà chưa đi sâu và việc trình bày chưa được đầy đủ,
không tránh khỏi những thiếu sót, mong các bạn và quý thầy cô giúp đỡ.

Xin chân thành cảm ơn cô giáo hướng dẫn Th. s Lê Thị Thu Phương đã giúp đỡ
tận tình để em có thể hoàn thành bài tập lớn này.