Giáo trình lý thuyết gia công kim loại bằng áp lực

Mục lục
Trang
Lời nói đầu 4
Ch-ơng 1.
Các ph-ơng pháp giải tích xác định 5
lực và công biến dạng

1.1. Những vấn đề chung 5
1.2. Giải kết hợp ph-ơng trình vi phân cân bằng 6
và điều kiện dẻo
1.3. Ph-ơng pháp giải các ph-ơng trình cân bằng 7
và điều kiện dẻo gần đúng
1.4. Ph-ơng pháp l-ới đ-ờng tr-ợt 10
1.4.1. Những khái niệm cơ bản về đ-ờng tr-ợt 10
1.4.2. Các tính chất của đ-ờng tr-ợt 14
1.4.3. Một số ví dụ về sử dụng ph-ơng pháp l-ới đ-ờng tr-ợt 17
1.5. Ph-ơng pháp định trị trên 20
1.5.1. Khái niệm về sơ đồ cứng dẻo 20
1.5.2. Gián đoạn ứng suất và tốc độ 21
1.5.3. Ph-ơng pháp định trị trên 23
1.6. Ph-ơng pháp cân bằng công 26
1.7. Ph-ơng pháp trở lực biến dạng 28
1.8. Ph-ơng pháp biến phân 30
1.9. So sánh các ph-ơng pháp tính lực và công biến dạng 35
Ch-ơng 2.
Các ph-ơng pháp thực nghiệm
36

xác định lực và công biến dạng
2.1. Xác định lực dập toàn phần 36
2.2. Đo biến dạng bằng Tenzomet 37

2.3. Ph-ơng pháp quang học để xác định trạng thái ứng suất 41
biến dạng
2.4. Xác định biến dạng và ứng suất trong vật thể biến dạng 46
2.5. Ph-ơng pháp vật t-ơng tự 47
2.6. Cơ sở mô hình hóa quá trình gia công áp lực. 49
Định luật đồng dạng
Ch-ơng 3.
Các nguyên công rèn và dập thể tích
53
3.1. Chồn kim loại 53
3.1.1. Chồn phôi dài không hạn chế có tiết diện chữ nhật 53
3.1.2. Chồn phôi lăng trụ đều và phôi trụ 61
3.1.3. Chồn phôi dài hạn chế 62
3.1.4. Sự biến dạng không đồng nhất khi chồn 64
3.1.5. Công biến dạng khi chồn 67
3.2. Vuốt kim loại 69
3.2.1. Vuốt phôi có tiết diện hình chữ nhật d-ới đe phẳng 69
3.2.2. Vuốt phôi có tiết diện tròn 71
3.3.
é
p chảy kim loại 76
3.3.1. Những vấn đề chung 76
3.3.2. Xác định áp lực riêng khi ép chảy 77
3.4. Đột lỗ 81
3.4.1. Khái niệm chung 81
3.4.2.
áp lực riêng khi chày nén vào bán không gian 82
3.4.3.
á
p lực riêng khi đột hở 82

3.4.4.
á
p lực biến dạng khi đột kín 85
3.5. Dập thể tích trong khuôn hở 91
3.5.1. Khái niệm chung 91
3.5.2.
á
p lực riêng để biến dạng bavia 92
3.5.3.
á
p lực riêng để biến dạng kim loại trong khuôn 95
3.5.4. Lực dập toàn phần 97
3.6. Dập trong khuôn kín 98
Ch-ơng 4. Các nguyên công dập tấm 101
4.1. Khái niệm chung 101
4.2. Cắt hình và đột lỗ 104
4.3. Uốn tấm kim loại 105
4.3.1. Uốn tấm rộng 105
4.3.2. Uốn có lực dọc 110
4.3.3. Uốn kim loại bằng lực ngang 112
4.3.4. Sự đàn hồi của chi tiết sau khi uốn 113
4.4. Dập vuốt 115
4.5. Tóp miệng 130
4.6. Nong lỗ 135
Tài liệu tham khảo 138
Ch-ơng 1
Các ph-ơng pháp giải tích xác định lực
và công biến dạng

1.1. Những vấn đề chung

ở hầu hết các thiết bị dùng cho nguyên công rèn - dập, bộ phận công tác
(đầu tr-ợt) và dụng cụ đ-ợc gá trên nó, trong giai đoạn biến dạng thực hiện
chuyển động thẳng tịnh tiến. Lực tích cực mà thiết bị tác động lên vật biến dạng
thông qua dụng cụ ở từng thời điểm luôn để thắng trở lực biến dạng của vật liệu
và ma sát trên bề mặt tiếp xúc giữa dụng cụ và vật thể. Lực đó đ-ợc gọi là lực
biến dạng và cần phải đ-ợc xác định làm cơ sở cho việc thiết kế hoặc lựa chọn
máy. Lực biến dạng đ-ợc truyền cho vật biến dạng có thể theo hai hình thức: trực
tiếp qua bề mặt tiếp xúc với dụng cụ (ở các nguyên công chồn, vuốt, ép chảy,dập
khối ) hoặc gián tiếp thông qua các vùng biến dạng đàn hồi của vật thể (các
nguyên công dập vuốt, uốn, kéo ).
Đối với hình thức truyền thứ nhất, lực biến dạng có thể đ-ợc xác định nếu
biết giá trị của ứng suất pháp, ứng suất tiếp tuyến ở từng điểm trên bề mặt tiếp
xúc và hình dáng, kích th-ớc của bề mặt này.
Đối với hình thức truyền thứ hai, lực biến dạng sẽ đ-ợc xác định nếu biết giá
trị và h-ớng của ứng suất trên gianh giới giữa vùng biến dạng dẻo và biến dạng
đàn hồi. Trong cả hai tr-ờng hợp, khi chiếu các thành phần ứng suất lên toàn bộ
bề mặt tiếp xúc hoặc toàn bộ bề mặt gianh giới theo h-ớng chuyển động của dụng
cụ sẽ xác định đ-ợc lực toàn phần.
Để thuận tiện cho việc tính lực biến dạng, khi các vật thể có hình dạng khác
nhau, song có kích th-ớc, trở lực biến dạng và hệ số ma sát giống nhau, ng-ời ta
sử dụng áp lực đơn vị.
á
p lực đơn vị (p) là tỷ số giữa lực toàn phần và diện tích
hình chiếu của bề mặt tiếp xúc lên mặt phẳng vuông góc với h-ớng tác dụng của
lực toàn phần. p =
F
P
(H/mm
2
) (1.1)

á
p lực đơn vị, tính toán cho một quá trình cụ thể đ-ợc xác định phụ thuộc
vào trở lực biến dạng, hệ số ma sát và kích th-ớc của vật biến dạng.
Về phần mình, trở lực biến dạng phụ thuộc vào vật liệu, nhiệt độ, tốc độ và
mức độ biến dạng.
Tóm lại để xác định đ-ợc lực biến dạng, tr-ớc tiên cần xác định đ-ợc giá trị
và sự phân bố ứng suất trên bề mặt tiếp xúc. Các ph-ơng pháp xác định chúng sẽ
đ-ợc trình bày cụ thể trong ch-ơng 1.
1.2. Giải kết hợp ph-ơng trình vi phân cân bằng
và điều kiện dẻo
Nội dung của ph-ơng pháp này bao gồm việc giải kết hợp các ph-ơng trình
vi phân cân bằng (
ptvpcb
) đ-ợc viết cho từng trạng thái ứng suất trong các hệ
trục toạ độ Đềcác, trụ, cầu ứng với các điều kiện cụ thể của bài toán với ph-ơng
trình biểu diễn điều kiện dẻo. Các hằng số tự do xuất hiện khi giải các
ptvpcb

đ-ợc xác định từ các điều kiện biên.
Trong tr-ờng hợp có ma sát, cần phải coi ma sát là yếu tố gây nên ứng suất
tiếp tuyến trên bề mặt tiếp xúc. Điều kiện ma sát sẽ đ-ợc chấp nhận d-ới hai
dạng: hoặc ứng suất tiếp đ-ợc coi là không phụ thuộc vào toạ độ mà nó h-ớng
theo, nghĩa là ứng suất tiếp không đổi, hoặc coi ứng suất tiếp luôn tỷ lệ với ứng
suất pháp trên bề mặt tiếp xúc. Nếu nh- bài toán là ch-a xác định, cần phải sử
dụng thêm các ph-ơng trình biểu diễn mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng,
ph-ơng trình liên tục. Về mặt lý thuyết, ph-ơng pháp này sẽ cho lời giải chính
xác, có khả năng cho chúng ta biết không chỉ sự phân bố ứng suất trên bề mặt
tiếp xúc mà cả bên trong vật thể biến dạng. Tuy nhiên ph-ơng pháp này gặp rất
nhiều khó khăn về mặt toán học khi giải các
ptvpcb

. Nó chỉ cho những lời giải
khép kín ở một vài tr-ờng hợp đơn giản khi điều kiện ma sát đ-ợc giả thiết là
không có trên bề mặt tiếp xúc. Chúng ta sẽ tìm hiểu kĩ hơn những khó khăn này
trong những tr-ờng hợp cụ thể d-ới đây.
a. Đối với trạng thái ứng suất khối
Chúng ta có 3 ptvpcb với một ph-ơng trình dẻo chứa 6 ẩn số (3 ứng suất
pháp, 3 ứng suất tiếp). Nh- vậy bài toán trở thành hai lần bất định. Các ph-ơng
trình có thể sử dụng thêm gồm: 6 ph-ơng trình biểu diễn mối quan hệ giữa ứng
suất biến dạng, 3 ph-ơng trình biến dạng liên tục. Các ph-ơng trình này chứa
thêm 7 ẩn số (6 đại l-ợng biến dạng và môđun dẻo).
Nh- vậy đối với bài toán trạng thái ứng suất khối sẽ có 13 ph-ơng trình với
13 ẩn số. Giải một hệ gồm nhiều ph-ơng trình d-ới dạng đạo hàm riêng nh- vậy
trên thực tế là hết sức khó khăn .
b. Đối với trạng thái ứng suất đối xứng trục
Chúng ta có 2
ptvpcb
và ph-ơng trình dẻo chứa tất cả 4 ẩn số. Các ph-ơng
trình sử dụng thêm gồm: 4 ph-ơng trình mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng,
1 ph-ơng trình biến dạng liên tục. Các ph-ơng trình này chứa thêm 4 ẩn. Nh- vậy
ta có một hệ gồm 8 ph-ơng trình với 8 ẩn số.
c. Đối với bài toán phẳng
Có 2
ptvpcb
và 1 ph-ơng trình dẻo. Mặc dầu với 3 ph-ơng trình chứa 3 ẩn
số, song việc giải khép kín chỉ đạt đ-ợc khi ứng suất tiếp trên bề mặt tiếp xúc
chấp nhận hoặc bằng không, hoặc không phụ thuộc vào một trong hai tọa độ.
Để minh họa cho ph-ơng pháp giải trên chúng ta xét ví dụ: xác định giá trị áp
lực tác dụng bên trong ống, có bán kính trong là r, bán kính ngoài là R sao cho
toàn bộ tiết diện ống nằm trong trạng thái biến dạng dẻo.
Biến dạng dọc theo trục ống coi bằng không. Trạng thái ứng suất ở bài toán

này vừa là đối xứng trục, vừa là phẳng. PTVPCB đ-ợc viết nh- sau:

0







d
d

Ph-ơng trình điều kiện dẻo:


-


=

S
*

Giải kết hợp hệ trên, có l-u ý tới điều kiện khi

= R;


= 0 ta sẽ thu đ-ợc

=

S
*
ln

R
, khi = r thì:

= p =

S
*
ln
r
R
(1.2)
1.3. Ph-ơng pháp giải các ph-ơng trình vi phân cân
bằng và điều kiện dẻo gần đúng
Do những khó khăn khi giải chính xác các
ptvpcb
và điều kiện dẻo, nên đã
hình thành ph-ơng pháp giải các ph-ơng trình cân bằng và điều kiện dẻo gần
đúng. Ph-ơng pháp này dựa trên những cơ sở sau:
1. Bài toán đ-ợc đ-a về dạng đối xứng trục hoặc phẳng. Trong tr-ờng hợp
hình dáng vật biến dạng phức tạp, cần phải phân chúng ra những khối đơn giản để
có thể đặt điều kiện đối xứng trục hoặc phẳng. Bằng cách làm này có thể giảm
đáng kể số l-ợng các

ptvpcb.

2. Các
ptvpcb để cho bài toán phẳng, hoặc đối xứng trục sẽ đ-ợc đơn giản
hóa bằng cách chấp nhận: ứng suất pháp chỉ phụ thuộc vào một tọa độ, nhờ đó chỉ
còn lại một
ptvpcb trong đó đạo hàm riêng đ-ợc thay bằng đạo hàm th-ờng.
3. Điều kiện dẻo thông th-ờng cũng đ-ợc viết gần đúng.
Ph-ơng pháp giải trên sử dụng chỉ để xác định ứng suất trên bề mặt tiếp xúc
để tính lực biến dạng mà không cần xác định ứng suất bên trong vật biến dạng.
Chúng ta hãy xét những khả năng viết các ph-ơng trình dẻo gần đúng. Khi phân
tích các nguyên công rèn - dập, hầu hết các
ptvpcb
đ-ợc thành lập từ các thành
phần tenxơ ứng suất, nghĩa là các ứng suất đ-ợc viết không phải ở trong các mặt
tọa độ chính. Do vậy điều kiện dẻo cũng đ-ợc thành lập từ các thành phần tenxơ
ứng suất. Với cách viết đó sẽ làm cho các ph-ơng trình hết sức phức tạp và không
tuyến tính. Để đơn giản hóa, cần phải biến ph-ơng trình dẻo trở thành tuyến tính
gần đúng bằng cách sử dụng hệ số Lôđê

. Khi đó ph-ơng trình có dạng:


max
-
min
=
S
(1.3)
Hệ số

= 1 khi hai trong ba ứng suất chính bằng nhau = 1,155 và trong
tr-ờng hợp trạng thái biến dạng phẳng.
Trong tr-ờng hợp ứng suất tiếp
nhỏ, các ph-ơng trình dẻo gần đúng có thể
nhận đ-ợc bằng cách thay các ứng suất chính của (1.3) bằng các thành phần
tenxơ ứng suất. Cụ thể các ph-ơng trình dẻo gần đúng cho một số các tr-ờng hợp
đ-ợc viết nh- sau:
a, Trạng thái ứng suất đối xứng trục, khi





z
.



-

=
S

hoặc

-
z
=
S
(1.4)

b, Trạng thái ứng suất đối xứng trục, khi


=






-
z
=
S
(1.5)
c, Trạng thái biến dạng phẳng, khi

y
là ứng suất trung gian


x
-

z
=



*

S
(1.6)
d, Trạng thái ứng suất phẳng:

x
-
z
=
S
(khi
x
.
z
<0 )


x
=



S
(khi

x
.

z
>0 và
zx

)


z
=
S
(khi
x
.
z
>0 và
xz

) (1.7)
Trong các ph-ơng trình trên, nếu chấp nhận

= 1 chúng ta sẽ chuyển từ điều
kiện dẻo năng l-ợng sang điều kiện dẻo ứng suất tiếp chính không đổi. Khi ứng
suất tiếp có giá trị gần cực đại (
k), nếu sử dụng các ph-ơng trình
(1.4)

(1.7) sẽ gây nên sai số rất lớn. Trong tr-ờng hợp này E.

. YHKCOB đ-a
ra điều kiện dẻo gần đúng sau:
Đối với trạng thái ứng suất đối xứng trục:

2

2
z
S
2
z
2
z
2
k
1
.2
)()()(






(1.8)
và đối với trạng thái biến dạng phẳng:

2
2
xz
*
S
zx
k
1

(1.9)
Từ (1.8) và (1.9) cho thấy: nếu

= 0 dễ dàng nhận đ-ợc các ph-ơng trình
(1.4); (1.5) và (1.6).
Nếu
= k sẽ thu đ-ợc:



=

=
z
(1.8a)


x
=

z
=

y
(1.9a)
Nh- vậy (1.8a) và (1.9a) sẽ là ph-ơng trình chính xác khi
= k và gần đúng

khi

gần tới k.
Tóm lại theo E.
. YHKCOB, khi o
k
0,7k với sai số cho phép có thể sử
dụng các ph-ơng trình (1.8); (1.9). Rất th-ờng xuyên khi giải các bài toán thực tế,
ng-ời ta cần phải biểu diễn đạo hàm của một ứng suất theo tọa độ cho tr-ớc qua
đạo hàm của ứng suất khác cũng theo tọa độ đó. Nội dung của cách biểu diễn đó
nh- sau: Ta có ph-ơng trình dẻo cho trạng thái ứng suất đối xứng trục (khi



=

) và cho trạng thái biến dạng phẳng :
(


-
z
)
2
+ 3
2
S
2
z

(1.10)
(
x
-
z
)
2
+ 4
2
xz

= 4k
2
(1.11)
Giả sử lấy đạo hàm ph-ơng trình (1.10) theo
và (1.11) theo x, ta sẽ nhận
đ-ợc:

z
z
z
z
3



x
4
xx
z
xz
zx
zx

Nếu

không phụ thuộc vào tọa độ

hoặc x chúng ta sẽ thu đ-ợc:







z
hay

=

z
(1.12a)
và:
x
x
zx





hay
x
=
z
(1.12b)
T-ơng tự nh- vậy các ph-ơng trình (1.10) và (1.11) cũng có thể đạo hàm theo
các tọa độ khác.
Các ph-ơng trình (1.12a); (1.12b) có thể coi là biểu thức của điều kiện dẻo ở
d-ới dạng vi phân và nó sẽ là điều kiện dẻo đúng nếu
không phụ thuộc vào tọa
độ cho tr-ớc, còn trong tr-ờng hợp ng-ợc lại nó đ-ợc coi là điều kiện dẻo gần
đúng. Việc sử dụng ph-ơng pháp này chúng ta sẽ đề cập tỷ mỷ ở các ch-ơng sau.
1.4. Ph-ơng pháp l-ới đ-ờng tr-ợt
1.4.1. Những khái niệm cơ bản về đ-ờng tr-ợt
Khi chúng ta kéo một mẫu trụ, ở giai đoạn đầu của biến dạng dẻo, trên bề

mặt của nó phát hiện thấy l-ới các đ-ờng cắt nhau d-ới một góc vuông và chúng
nghiêng 45
0
so với trục mẫu. Các đ-ờng này chính là vết cắt nhau giữa mặt mẫu
và mặt ứng suất tiếp lớn nhất và chúng đ-ợc gọi là đ-ờng tr-ợt. Các thí nghiệm
khác cũng cho thấy đ-ờng tr-ợt trùng với quỹ đạo của ứng suất tiếp lớn nhất.
Đ-ờng tr-ợt có một số tính chất quan trọng, mà nếu sử dụng chúng cho phép xác
định đ-ợc ứng suất theo thể tích vật thể chịu biến dạng phẳng và đối xứng trục.
Bởi đ-ờng tr-ợt là quỹ đạo của ứng suất tiếp lớn nhất và khi biến dạng phẳng
tồn tại hai mặt ứng suất đó, do vậy sẽ có hai họ đ-ờng tr-ợt trực giao nhau và cắt
với quỹ đạo của ứng suất pháp chính d-ới góc 45
0
. (hình 1.1)










Hình 1.1
. Đ-ờng tr-ợt

,

và quỹ đạo của ứng suất pháp chính
Từ hình 1.1 có thể viết ph-ơng trình vi phân của hai họ đ-ờng tr-ợt nh- sau:

để cho họ
:
tg
dx
dz

để cho họ
:
ctg
dx
dz
(1.13)
Trong đó

=

+

/4 (

,

đ-ợc biểu diễn nh- trên hình vẽ).
Chúng ta biểu diễn ứng suất

x
,

Z
,

xz
khi biến dạng phẳng qua ứng suất
pháp chính và góc

giữa trục x và trục chính 1 nh- sau :







2cos
31TB
z
x



xz
=

31
. sin2


Nếu thay

qua

và l-u ý tới: khi biến dạng phẳng

31
= k, ta sẽ thu đ-ợc:


4


=

+
4



+
2



-
4


' = +
2

1

3

a





1

3

z

x

0








2sin.k
TB

z
x



xz
= - k . cos2 (1.14)
Trong các công thức trên:



TB


1 3
2

Cần l-u ý rằng (1.14) hoàn toàn thỏa mãn điều kiện dẻo khi biến dạng là
phẳng:



22
xz
2
zx
k44

Điều kiện dễ dàng kiểm chứng nếu thay các giá trị ứng suất từ (1.14) vào
ph-ơng trình trên.

Lấy đạo hàm riêng của các ứng suất xác định theo (1.14) rồi thay vào
ptvpcb
sau:
0
z
x
;0
z
x
zxzxzx













Ta sẽ nhận đ-ợc:

0
z
2sin
x
2cosk2

x
TB

















0222

x
sin
z
cosk
z
TB
(1.15)
Các ph-ơng trình (1.15) đ-ợc xác định trong hệ tọa độ x, z và chúng có thể
biểu diễn trong hệ tọa độ cong của hai họ đ-ờng tr-ợt bằng cách chuyển gốc tọa
độ về một điểm a nào đó - là điểm giao nhau của hai họ đ-ờng tr-ợt. Các trục tọa
độ, đ-ợc h-ớng theo ph-ơng tiếp tuyến tới các đ-ờng tr-ợt họ

,

(hình 1.2).
Trong một lân cận vô cùng nhỏ của điểm a có thể coi các cung của họ
,
trùng với tiếp tuyến x
'
, z
'
. Khi đó có thể chấp nhận:
dx = d

; dz = d

;










z
;
x

Mặc dù bây giờ góc

= 0 (do các trục trùng với tiếp tuyến của đ-ờng tr-ợt)
song




; 0
bởi luôn thay đổi dọc theo đ-ờng cong. Nếu tính đến các yếu
tố kể trên vào (1.15) ta sẽ thu đ-ợc:


02

k
TB



02


k
TB
(1.16)
Sau khi tích phân (1.16) theo
, ta thu đ-ợc:


TB
+ 2k

= C
1



TB
- 2k

= C
2
(1.17)

Hình 1.2.
Sơ đồ chuyển trục toạ độ
Bởi (1.16) là ph-ơng trình đạo hàm riêng, nên các hằng số tự do trong (1.17)
sẽ có chứa một phần nào đó của các hàm
, . Giả sử ta chọn các hằng số tự do
đó là 2k

(

) và 2k

(

), khi đó (1.17) đ-ợc viết lại là:


TB
+ 2k = 2k () (dọc theo ).


TB
- 2k = 2k () (dọc theo ) (1.18)
(1.18) còn có tên gọi là tích phân Henki.
Các giá trị 2k
(), 2k() có giá trị không đổi, khi điểm dịch chuyển dọc
theo các đ-ờng t-ơng ứng của họ
, và sẽ thay đổi nếu chuyển sang đ-ờng khác
cùng họ.
Giả sử tại một điểm A nào đó của đ-ờng tr-ợt có

TB
=
TBA
và =
A
. Tại
một điểm B khác của đ-ờng tr-ợt cùng họ có:

TB
=
TBB
và =
B
. Khi đó nếu
thay vào (1.18) ta sẽ thu đ-ợc:


TBA
+ 2k

A
= 2k

(

)


TBB
+ 2k

B
= 2k()
Do vậy sau khi so sánh và biến đổi hai ph-ơng trình trên ta thu đ-ợc:


TBA
-

TBB
=

2k(

A
-

B
).
Đặt

A
-
B
=
AB
- góc quay của đ-ờng tr-ợt khi dịch chuyển từ điểm A tới
B, do đó:

TBA
-

TBB
=

2k

AB
(1.19)
Công thức (1.19) cho thấy: sự thay đổi của ứng suất trung bình tỷ lệ với góc
quay của đ-ờng tr-ợt và hệ số tỷ lệ là 2k.
Phân tích (1.19) cho chúng ta rút ra một số vấn đề sau:
- Nếu biết đ-ợc đ-ờng tr-ợt và giá trị ứng suất trung bình của một điểm nào
đó trên nó, thì có thể biết đ-ợc ứng suất trung bình trên toàn bộ đ-ờng tr-ợt.
- Nếu biết đ-ợc l-ới đ-ờng tr-ợt và ứng suất trung bình tại một điểm nút thì
có thể xác định đ-ợc ứng suất trung bình của toàn l-ới.
- Nếu biết đ-ợc ứng suất trung bình và góc quay thì có thể sử dụng hệ (1.14)
để xác định các ứng suất thành phần.
- Nếu một đoạn đ-ờng tr-ợt nào đó là thẳng thì trạng thái ứng suất sẽ không
thay đổi dọc theo đoạn thẳng đó.
- Nếu một vùng nào đó có hai họ đ-ờng tr-ợt là thẳng thì trạng thái ứng suất
trong vùng đó là đồng nhất và ng-ợc lại.
1.4.2. Các tính chất của đ-ờng tr-ợt
Định lý thứ nhất của Henki
Góc giữa tiếp tuyến tới hai đ-ờng tr-ợt của một họ tại những điểm cắt nhau
với mỗi đ-ờng tr-ợt họ khác là không đổi.
Để chứng minh định lý trên, ta tách ra từ l-ới đ-ờng tr-ợt một tứ giác cong
bất kì MNPQ giới hạn bởi đ-ờng MN, PQ họ

và MP, NQ họ

(h.1.3).
Trên cơ sở của (1.18) ta có thể viết:

TBQ
-
TBM
= (
TBQ
-
TBN
) + (
TBN
-
TBM
)
= 2k (

Q
+

M
- 2

N
)

Hình 1.3. Phần tử tách từ l-ới đ-ờng tr-ợt
Nếu đi từ điểm Q tới M theo h-ớng khác, ta sẽ có:

TBQ
-
TBM
= (
TBQ
-
TBP
) + (
TBP
-
TBM
)
= 2k (2

P
+
Q
-
M
)
Từ hai ph-ơng trình trên ta có thể rút ra là:


Q
-
N
=
P
-
M

= (1.20)
Từ định lý trên có thể rút ra hệ quả sau:
Nếu nh- một đoạn đ-ờng tr-ợt nào đó của một họ cho tr-ớc là thẳng, thì tất
cả các đoạn đ-ờng tr-ợt của họ đó cắt cùng bằng những đ-ờng tr-ợt họ khác
cũng là đ-ờng thẳng (h1.3).
Định lý thứ hai của Henki
Khi dịch chuyển một điểm dọc theo đ-ờng tr-ợt cho tr-ớc của một họ, bán
kính cong của đ-ờng tr-ợt họ khác thay đổi một l-ợng bằng khoảng cách dịch
chuyển.
Để chứng minh định lý, ta lấy trong l-ới đ-ờng tr-ợt một tứ giác cong vô
cùng nhỏ tạo bởi cặp ab, cd, của đ-ờng tr-ợt họ
và ac, bd của họ (h1.4)
Vì tứ giác đ-ợc coi là nhỏ, nên cạnh của nó có thể coi là cung tròn.
Độ dài cung ab = dS

1
= R

d



Độ dài cung cd = dS

2
= (R

+ dS

) d

Mặt khác, do độ cong của cung họ giảm khi chuyển từ
1
tới
2
nên bán
kính của cung cd lớn hơn bán kính cung ab một số gia dR

. Nghĩa là:













Hình 1.4.
Phần tử tách từ l-ới đ-ờng tr-ợt



cO
'

(R

+ dR

) d


. So sánh với biểu thức trên ta nhận đ-ợc:
dR

= dS

.T-ơng tự nh- thế: dR

= dS

(1.21)
Qua những vấn đề nêu ra ở trên, có thể tóm tắt một số tính chất cơ bản của
đ-ờng tr-ợt nh- sau:
1. L-ới đ-ờng tr-ợt gồm hai họ trực giao nhau và cắt quỹ đạo ứng suất chính
d-ới một góc 45
0
.
2. Sự thay đổi ứng suất pháp trung bình khi dịch chuyển dọc theo đ-ờng tr-ợt
tỷ lệ với góc quay của nó và hệ số tỷ lệ là 2k.
3. Góc giữa tiếp tuyến tới hai đ-ờng tr-ợt của một họ tại những điểm giao
nhau với đ-ờng tr-ợt họ khác là không đổi.
4. Bán kính cong của đ-ờng tr-ợt thay đổi bằng khoảng cách đi qua của
đ-ờng tr-ợt họ khác.
ds

2

ds

1

ds



2


c

a

b



1
R

+dR


R

d



d



O'


O


O

O
1
O
2
O
4
O
3
A'

B'

B

A



d
2
d
1
d

5. Góc nghiêng của đ-ờng tr-ợt khi thoát ra biên phụ thuộc vào ứng suất tiếp
trên biên, nó dao động từ 0

90
0
. Khi biên là mặt tự do hoặc mặt tiếp xúc không
có ma sát (

xZ
= 0), đ-ờng tr-ợt sẽ nghiêng d-ới một góc 45
0
. Trong tr-ờng hợp
mặt tiếp xúc có ma sát cực đại
)k(
xZ

khi đó cos2

= 1 hay

= 0 hoặc

=
90
0
, nghĩa là : Một họ đ-ờng tr-ợt thoát ra trên bề mặt tiếp xúc d-ới một góc 90
0
,
còn họ kia tiếp tuyến với mặt tiếp xúc.
1.4.3. Một số ví dụ về sử dụng ph-ơng pháp l-ới đ-ờng tr-ợt
Ví dụ 1:
Xác định lực nén chày vào khối kim loại có kích th-ớc không hạn
chế và không có ma sát tiếp xúc.(h1.5).







Hình 1.5
. L-ới đ-ờng tr-ợt khi nén chày vào vật có kích th-ớc không hạn chế

Theo chiều vuông góc với hình vẽ, chày có kích th-ớc không hạn chế nên
biến dạng đ-ợc coi là phẳng. Do không có ma sát trên bề mặt tiếp xúc nên đ-ờng
tr-ợt nghiêng 45
0
với bề mặt công tác BE của chày. L-ới đ-ờng tr-ợt nằm d-ới
các mặt đó là những tam giác vuông ABC, BDE, EFG.

ở
các vùng chuyển tiếp
BCD, EDF, l-ới đ-ờng tr-ợt gồm một họ là những đ-ờng thẳng xuất phát từ B, E,
họ kia là các cung tròn. Nh- vậy, ACDFG là gianh giới của l-ới đ-ờng tr-ợt.
Do đ-ờng tr-ợt nghiêng với mặt chày và mặt tự do một góc 45
0
, nên góc quay
của đ-ờng tr-ợt khi đi dọc từ điểm a (trên bề mặt tự do) tới điểm m (trên mặt
chày)

am
= /2.
Tại điểm a có:

za
= 0;
xa
- ứng suất nén.
Điều kiện dẻo tại đây đ-ợc viết: 0 -

xa
= 2k;

xa
= -2k
ứ
ng suất trung bình:
TBa
=
2

0
xa


= -k
Khi đi từ a tới m, ứng suất trung bình thay đổi nh- sau:
p

b

A

B

C

D

F

E

m


TBa
-
TBm
= 2k .
am

= k .
Do vậy:

TBm
=

TBa
- k .

= - k (1+

)
Mặt khác:

TBm
=
2
zmxm


Điều kiện dẻo tại m:

xm
-
zm
= 2k
Giải kết hợp các yếu tố trên sẽ thu đ-ợc kết quả:


zm

= - k(2 + ) = - 5,14k.
với k =
3
S

nên
zm
- 2,97
S

Nh- vậy áp lực riêng cần thiết để nén chày vào vật thể có kích th-ớc không
hạn chế sẽ là: p = 2,97

S

*
S
, 62

Và lực toàn phần trên một đơn vị chiều dày chày là: P = p . BE
Ví dụ 2:
Xác định giá trị áp lực tác dụng bên trong ống để toàn bộ tiết diện ống nằm
trong trạng thái biến dạng dẻo (ví dụ của 1.2).

Hình 1.6.
Sơ đồ xác định áp lực tác dụng bên trong để biến dạng dẻo ống
R

r





a

b


ab

ab
0

p

a

Biến dạng đ-ợc coi là phẳng theo h-ớng trục z. Do không có ứng suất tiếp ở
mặt trong nên


,


là ứng suất pháp chính. Quỹ đạo của chúng là những vòng
tròn đồng tâm và các bán kính trực giao với nhau. Nh- đã biết, đ-ờng tr-ợt
nghiêng với quỹ đạo ứng suất pháp chính một góc 45
0
nên từ lý thuyết đ-ờng
cong nhận thấy: đ-ờng cong cắt các tia xuất phát từ một điểm d-ới một góc

không đổi sẽ là đ-ờng xoắn lôgarit và ph-ơng trình đ-ờng cong đó sẽ là:

= r . exp A
Trong đó: A = ctg

.
Trong tr-ờng hợp của bài toán A = ctg45
0
= 1 do vậy = r .e


Trên hình, phía bên trái là một phần của l-ới đ-ờng tr-ợt. Tại điểm b (ở mặt
ngoài ống) có


b

= 0.
Điều kiện dẻo tại đây nh- sau:



b
-

b
= 2k

b
= 2k


TBb
=
2
bb



= k
Đ-ờng tr-ợt khi dịch chuyển từ b tới a đã quay một góc

ab
. Từ mối quan hệ
hình học nh- trên hình vẽ, có thể chứng minh đ-ợc:

ab
=
ab
do vậy
ab
= ln
r
R

Ta có:

TBa
-
TBb
= 2kln
r
R

Do ứng suất nén h-ớng kính


tăng theo giá trị tuyệt đối từ 0 tại điểm b tới
giá trị max tại a, còn ứng suất kéo h-ớng tiếp tuyến giảm theo chiều từ b tới a. Do
vậy

TBa
<

TBb

Và ta có:

TBa
-

TBb
= -2kln
r
R


TBa
=
TBb
- 2kln
r
R
= k - 2kln
r
R

Tại điểm a ta có:

TBa
=
2
aa


Theo điều kiện dẻo:

a
-

a
= 2k do vậy

a
=

a
+ 2k
Và nh- vậy

TBa
=
2
2
k
aa





=

a
+ k

Kết hợp với các ph-ơng trình trên ta thu đ-ợc:



a
+ k = k - 2k ln
r
R



a
= - 2kln
r
R

Hay p =

S
*
ln
r
R

Kết quả giải theo ph-ơng pháp này cũng trùng với biểu thức (1.2) .
1.5. Ph-ơng pháp định trị trên
Bài toán xây dựng tr-ờng đ-ờng tr-ợt nói chung không có lời giải duy nhất.
Việc xây dựng đúng tr-ờng đ-ờng tr-ợt có thể chỉ đáp ứng điều kiện cân bằng,
điều kiện biên, ph-ơng trình liên hệ ứng suất và biến dạng mà có thể không đáp
ứng đ-ợc điều kiện động học. Lý thuyết biến dạng dẻo đã chứng minh, tr-ờng

đ-ờng tr-ợt nếu chỉ thỏa mãn điều kiện tĩnh mà không thoả mãn điều kiện động
thì chỉ cho phép xác định lực biến dạng ở giới hạn d-ới. Để xác định lực biến
dạng thực, tr-ờng đ-ờng tr-ợt cần phải thoả mãn cả điều kiện động. Đó là lập
luận để hình thành ph-ơng pháp định trị trên.
Để nắm đ-ợc nội dung của ph-ơng pháp, chúng ta cần hiểu rõ một số khái
niệm sau:
1.5.1 Khái niệm về sơ đồ cứng dẻo
Nếu so sánh l-ới đ-ờng tr-ợt trên hình 1.5 và 1.6 có thể thấy sự khác nhau
giữa chúng thể hiện:
ở tr-ờng hợp thứ nhất (h1.5) l-ới đ-ờng tr-ợt không chiếm
toàn bộ thể tích vật dập. Do vậy có thể coi thể tích kim loại đ-ợc chia thành hai
vùng: vùng dẻo chứa toàn bộ đ-ờng tr-ợt và vùng kia đ-ợc coi là vùng cứng. Tại
gianh giới giữa hai vùng, kim loại chuyển đột biến sang trạng thái dẻo. Sơ đồ nh-
thế đ-ợc gọi là sơ đồ cứng dẻo. Gianh giới phân chia vùng dẻo và vùng cứng
chính là các đ-ờng tr-ợt và thông th-ờng nó không cho tr-ớc việc xác định nó là
một phần lời giải của ph-ơng pháp l-ới đ-ờng tr-ợt. Cần phải thấy rằng khái
niệm sơ đồ cứng dẻo chỉ mang tính chất toán học thuần tuý, còn về ph-ơng diện
vật lý thì không tồn tại một gianh giới cứng dẻo cụ thể nào.
1.5.2. Gián đoạn ứng suất và tốc độ
Khi uốn dẻo thuần tuý, biểu đồ ứng suất có dạng nh- hình 1.7. Nh- vậy sẽ
tồn tại một bề mặt mà ở đó ứng suất thay đổi đột ngột từ

S
*
tới -

S
*
. Ta gọi tại
đó có gián đoạn ứng suất.

Hình 1.7.
Biểu đồ ứng suất khi uốn dẻo thuần tuý
Đ-ờng gián đoạn ứng suất có thể coi nh- một tr-ờng hợp tới hạn mà ở đó có
một màng mỏng đàn hồi chia vật thành hai vùng dẻo. Lí thuyết dẻo đã chứng
minh một loạt đặc tr-ng của gián đoạn ứng suất.
+

S
*
-

S
*
-

S
*
-

S

+

S
*
+

S

a
b

Trên đ-ờng gián đoạn, sự gián đoạn xảy ra đối với ứng suất pháp h-ớng dọc
theo đ-ờng tr-ợt, còn ứng suất pháp vuông góc với đ-ờng tr-ợt và ứng suất tiếp
thay đổi liên tục. Nếu trên đ-ờng gián đoạn L, ta tách ra một phần tử nhỏ và kí
hiệu các ứng suất ở về các phía khác nhau bằng dấu +; - thì:


t
+

t
-
;
n
+
=
n

-
=
n



n
+
=
n
-
=
n

Đ-ờng gián đoạn ứng suất là phân giác của góc tạo bởi các đ-ờng tr-ợt cùng
họ
và
'
; và
'
. Độ cong của đ-ờng tr-ợt khi v-ợt qua đ-ờng gián đoạn thay
đổi đột biến.







Hình 1.8

. Sơ đồ gián đoạn ứng suất
Nếu một chất điểm dịch chuyển, thì tốc độ và h-ớng dịch chuyển của nó hoàn
toàn xác định nếu biết các thành phần tốc độ
.
x
U
;
.
y
U trong hệ tọa độ Đề Các,
GâyRinger đã xây dựng các ph-ơng trình biểu diễn tốc độ dịch chuyển của chất
điểm dọc theo đ-ờng tr-ợt.
d
.
U

-
.
U

d

= 0 (dọc theo

).
d
.
U

-

.
U

d = 0 (dọc theo ) (1.22)
(1.22) cho thấy: Nếu tr-ờng đ-ờng tr-ợt là đơn giản (d

= 0) thì thành phần
tốc độ dọc theo từng đ-ờng tr-ợt đó là không đổi. Bây giờ chúng ta giả sử chất
điểm cắt đ-ờng tr-ợt tại P và tốc độ dịch chuyển của nó tr-ớc khi cắt là
.
U
, sau
khi cắt là
.
'
U
. Các thành phần tốc độ của
.
U
và
.
'
U
biểu diễn nh- hình 1.9 Để
z

x
n

+

n


+
n

-
n


-
n

0


+
t

-
t
/2


/2



'

'
l



thỏa mãn điều kiện liên tục đòi hỏi thành phần pháp tuyến của tốc độ khi cắt
đ-ờng tr-ợt ở cả hai phía phải có giá trị nh- nhau.








Hình 1.9. Gián đoạn tốc độ

Trong tr-ờng hợp ng-ợc lại tính liên tục bị phá vỡ. Nh- vậy
.
U

=
.
'
U

.Trên
cơ sở của (1.22) có thể viết d
.
U

=
.
U

d; d
.
'
U

=
.
'
U

d do đó dọc theo đ-ờng
tr-ợt họ

đang xét có thể viết: d
.
U

= d
.
'
U

hay
.
U

-
.
'
U

= const
T-ơng tự nh- vậy:
.
U

-
.
'
U

= const (1.23)
(1.23) cho thấy: trong tr-ờng hợp dọc theo đ-ờng tr-ợt xuất hiện gián đoạn
tốc độ thì l-ợng gián đoạn là không thay đổi.
1.5.3. Ph-ơng pháp định trị trên
Ph-ơng pháp định trị trên sử dụng cho bài toán biến dạng phẳng do Jonson và
Kudo khởi x-ớng. Nội dung của ph-ơng pháp nh- sau: Thể tích ổ biến dạng đ-ợc
coi nh- gồm những khối cứng và giả thiết các khối này tr-ợt t-ơng đối với nhau
hoặc t-ơng đối theo gianh giới với vùng cứng. Nh- vậy tr-ờng đ-ờng tr-ợt đ-ợc
thay bằng tr-ờng gồm hệ thống các đoạn thẳng tạo nên các khối (hình tam giác).
Dọc theo gianh giới của các khối - cạnh các tam giác, các thành phần tốc độ dịch
chuyển chịu gián đoạn, bên trong mỗi khối tr-ờng tốc độ là đồng nhất, nghĩa là
chỉ cần một véc tơ tốc độ để biểu diễn tốc độ cho tất cả các điểm. Nh- vậy từ
tr-ờng đ-ờng tr-ợt sẽ xây dựng tr-ờng vận tốc. Số l-ợng và kích th-ớc các khối
tam giác ban đầu lựa chọn tuỳ ý. Khi giả thiết các khối tr-ợt, thì dọc theo gianh

Đ-ờng tr-ợt


.
u
.
u

.
u

'
.
u

'
.
u
.
u
Gián đoạn
'
.
u

giới giữa các khối xuất hiện ứng suất tiếp và đạt giá trị cực đại
n
= k. Trên bề mặt
tự do

n
= 0, còn trên bề mặt tiếp xúc
n
= .
S
. Do các khối đ-ợc coi là cứng
nên công suất tức thời của nội lực, kể cả của ma sát tiếp xúc có thể biểu diễn bằng
ph-ơng trình:
W =


nn
.
nn
blU
(1.24)
Trong đó:
.
n
U
- tốc độ dịch chuyển dọc theo các cạnh tam giác.
l
n
- chiều dài các cạnh tam giác.
b
n
- chiều dài hình chiếu của mặt tiếp xúc.
Công suất do lực P gây ra:
W
A

= P .
.
0
U
(1.25)
Trong đó:
.
0
U
- tốc độ chuyển động của bộ phận công tác
Từ (1.24) và (1.25) có thể xác định đ-ợc lực biến dạng:
P =
.
0
nn
.
nn
U
blU



Nếu chiều rộng hình chiếu của diện tích tiếp xúc (dọc theo x) kí hiệu là a thì
áp lực riêng p có thể biểu diễn:
p =
.
0
n
.
nn

U.a
lU


(1.26)
Để minh họa cho ph-ơng pháp trên, ta trở lại với bài toán nhấn chày phẳng
vào bán không gian (xem 1.4.3). Nếu tr-ờng đ-ờng tr-ợt đ-ợc xây dựng theo
cách mô tả của HILL (hình 1.10a) và nếu thay các đ-ờng cong thành các đoạn
thẳng, ta sẽ có tr-ờng các khối cứng tam giác (h.1.10b)
Do tính đối xứng của bài toán so với trục z nên chỉ cần biểu diễn nửa bên
phải. Các số trên hình vẽ có ý nghĩa sau:
0 - vùng cứng đứng yên.
1, 2, 3 - các khối tr-ợt
4 - không gian tự do.
5 - chày ép.
Gianh giới giữa các vùng và các khối đ-ợc biểu diễn bằng hai chữ số.
12 - gianh giới giữa khối 1 và 2.
34 - mặt tự do
15- mặt tiếp xúc.










Hình 1.10. Sơ đồ bài toán nén chày phẳng

Chiều dài các đ-ờng gianh giới t-ơng ứng là l
12
, l
23
Kim loại trong các khối
1, 2, 3 chuyển động nh- một vật cứng tuyệt đối. Trên các đoạn thẳng gianh giới
12, 23 có gián đoạn thành phần tốc độ theo ph-ơng tiếp tuyến còn thành phần tốc
độ pháp tuyến phải liên tục. Do vậy thành phần tốc độ pháp tuyến của các khối
dọc theo gianh giới cứng dẻo (t-ơng ứng với các đ-ờng 10, 20, 30) bằng không.
Hình 1.10b là họa đồ tốc độ của tr-ờng đ-ờng tr-ợt. Lấy một điểm gốc O, từ gốc
đặt thẳng đứng một vectơ 05 ứng với tốc độ chày
.
05
U
. Chiều dài vectơ lấy là một
đơn vị. Từ điểm cuối của vectơ kẻ đoạn thẳng song song 15 và từ 0 kẻ song song
với 10. Giao của hai đ-ờng xác định đ-ợc điểm 1 - điểm biểu diễn tốc độ của
khối 1. T-ơng tự ta có thể xác định vectơ tốc độ của các khối 2; 3 nh- trên hình
vẽ. Bây giờ chúng ta xác định giá trị lực biến dạng. Bài toán sẽ đ-ợc giải t-ơng
ứng với tham số

.
Dựa vào biểu thức (1.26) có thể viết:

z

x

1

a.

4

0
3

2



0

0,5
a



3

4

5

2

1
z

b.

p . 0,5a .
.
05
U
= (l
01
.
.
01
U
+ l
02
.
.
02
U
+ l
03
.
.
03
U
+ l
12
.
.
12
U
+ l

23
.
.
23
U
).
n

chấp nhận

n
= k = 0,5

S
*
và nếu biểu diễn các thành phần
U
.
qua
.
05
U
,
góc

. Các chiều dài l biểu diễn qua a và

, sau khi biến đổi ta thu đ-ợc:
p =

cos
cos
1
sin
*
S

Tr-ờng đ-ờng tr-ợt xây dựng theo HILL có góc
= 45
0
nên p = 3

S
*

Giá trị này nếu so với kết quả giải bằng ph-ơng pháp l-ới đ-ờng tr-ợt,thì lớn
hơn khoảng 10%.
1.6. Ph-ơng pháp cân bằng công
Ph-ơng pháp cân bằng công dựa trên định luật bảo toàn năng l-ợng mà nội
dung của nó là: khi biến dạng dẻo công của ngoại lực bằng công nội lực.
A
NG

= A
NL
= A
BD
(1.27)
A
NG
- công ngoại lực, bao gồm công của lực tích cực (A
TC
) và công của lực
ma sát (A
ms
)
A
NG
= A
TC
- A
ms
(1.28)
A
NL
- công nội lực, thực chất là công biến dạng dẻo. ở đây chấp nhận điều
kiện thể tích không đổi và nếu bỏ qua biến dạng đàn hồi thì A
BD
chính là công
thay đổi hình dáng.
Khi biến dạng dẻo, ứng suất ban đầu khác không và ở một giai đoạn ngắn có
thể coi ứng suất đó không đổi nên số gia của công biến dạng dẻo bằng tích vô
h-ớng của thành phần ứng suất và biến dạng t-ơng ứng.

dA
BD
= (

1

1
+

2

2
+

3

3
)dV (1.29)
Nếu thay

bằng

và có l-u ý:
i
i
'
E

ta thu đ-ợc
dA
BD
=


133221
2
3
2
2
2
1
i
i



dV
dA
BD
=


2
13
2
32
2
21

i
i
)()()(
2
1



dV
dA
BD
=
i

i
dV;
Do vậy: A
BD
=
dV
i
V
i



A
BD
=

S

dV
i
V


(1.30)
Công của ngoại lực có thể viết d-ới dạng:
A
NG
=




F
zyx
dFZUYUXU
(1.31)
X, Y, Z - hình chiếu của lực tác dụng trên dF theo các trục tọa độ
U
x
, U
y
, U
z
- l-ợng dịch chuyển t-ơng ứng theo các h-ớng trên
Công của lực ma sát tiếp xúc có thể xác định:
A

ms
=


F
2
z
2
y
2
xk
dFUUU
(1.32)
Nếu thay các giá trị trên vào (1.28) ta thu đ-ợc:
A
TC
=
dFUUUdv
V F
2
z
2
y
2
xkiS


(1.33)
Trong nhiều tr-ờng hợp lực tích cực có thể xác định đơn giản nh- sau:
A

TC
= P . h Do vậy:
P =









dFUUUdv
h
1
V F
2
z
2
y
2
xkiS
(1.34)
Để minh họa cho ph-ơng pháp trên, chúng ta xét ví dụ:
Xác định lực cần thiết đề chồn phôi có chiều rộng 2b, chiều cao 2h, chiều dài
l >> 2b.với một l-ợng chồn là
h.
Bài toán thuộc loại biến dạng phẳng (biến dạng theo chiều dài phôi bằng
không).
ứ

ng suất tiếp do ma sát (

k
) trên bề mặt tiếp xúc chấp nhận không đổi và
không phụ thuộc vào tọa độ x .

x
,

y
là ứng suất pháp chính trong tr-ờng hợp
này. Chúng ta hãy xác định các đại l-ợng biến dạng:


Z
=

3
= -
h
2
h

(

h - l-ợng chồn)


y
=

2
= 0