Bài tập tính tương đối của chuyển động

Bài tập tính tương đối của chuyển
động
1
CÔNG THỨC CỘNG VẬN TỐC
Vận dụng công thức :
231213
VVV +=
* Bài tập đơn giản vận dụng công thức cộng vận tốc trong chuyển động
thẳng cùng phương
Câu 1: Trên một đường thẳng có ba người chuyển động, một người đi xe
máy, một người đi xe đạp và một người đi bộ giữa hai người kia. Ở thời
điểm ban đầu, khoảng cách giữa người đi bộ và người đi xe đạp nhỏ hơn
khoảng cách giữa người đi bộ và người đi xe máy hai lần. Người đi xe máy
và người đi xe đạp đi lại gặp nhau với vận tốc lần lượt là 60km/h và 20km/h.
Biết rằng cả ba người gặp nhau tại cùng một thời điểm. Xác định vận tốc và
hướng chuyển động của người đi bộ.
Giải:
- Gọi vị trí người đi xe máy, người đi bộ
Và người đi xe đạplúc ban đầu lần lượt là A,
B và C
S là chiều dài quảng đường AC. Vậy AB = 2S/3,
BC = S/3.
- Chọn trục tọa độ trùng với đường thẳng chuyển động,
chiều dương là chiều chuyển động của người đi xe máy. Mốc thời gian là
lúc bắt đầu chuyển động: v
1
= 60km/h, v
3
= - 20km/h

- Người đi bộ đi với vận tốc v
2
. Vận tốc của người đi xe máy đối với người đi
bộ là v
12
.
Ta có:
2121
vvv +=

2112
vvv −=⇒
=> v
12
= v
1
– v
2
(đk: v
12
>0 (1): để người đi
xe máy gặp người đi bộ)
- Vận tốc của người đi bộ đối với người đi xe đạp là v
23
.
Ta có:
3232
vvv +=

3223

vvv −=⇒
=> v
23
= v
2
– v
3
(đk : v
23
>0 (2): để người
đi bộ gặp người đi xe đạp).
- Kể từ lúc xuất phát, thời gian người đi xe máy gặp người đi bộ và người đi
bộ gặp người đi xe đạp lần lượt là:
+ t
1
= AB/v
12
= 2S/3(v
1
– v
2
)
+ t
2
= BC/v
23
= S/3(v
2
– v
3

)
Vì ba người gặp nhau cùng lúc nên: t
1
= t
2

⇔
2S/3(v
1
– v
2
) = S/3(v
2
– v
3
)
⇔
2( v
2
– v
3
) = v
1
– v
2

⇔
v
2
= (v

1
+ 2v
3
)/3 = (60 – 2.20)/3
≈
6,67 (km/h)
- Vậy vận tốc của người đi bộ là 6,67 km/h theo hướng từ B đến C
2
x
C
B
A
* Bài tập đơn giản vận dụng công thức cộng vận tốc trong chuyển động
thẳng đều có phương vuông góc
Câu 2: Hai vật nhỏ chuyển động trên hai trục tọa độ vuông góc Ox, Oy và
qua O cùng một lúc. Vật thứ nhất chuyển động trên trục Ox theo chiều
dương với gia tốc 1m/s
2
và vận tốc khi qua O là 6m/s. Vật thứ hai chuyển
động chậm dần đều theo chiều âm trên trục Oy với gia tốc 2m/s
2
và vận tốc
khi qua O là 8m/s. Xác định vận tốc nhỏ nhất của vật thứ nhất đối với vật
thứ hai trong khoảng thời gian từ lúc qua O cho đến khi vật thứ hai dừng lại.
Giải:
Chọn mốc thời gian lúc 2 vật qua O
- Phương trình vận tốc của vật thứ nhất trên trục Ox:
v
1
= v

01
+ a
1
t = 6 + t
- Phường trình vận tốc của vật thứ hai trên trục Oy:
v
2
= v
02
+ a
2
t = - 8 + 2t
- Khoảng thời gian vật thứ hai dừng lại: v
2
= 0 => t = 4s
- Vận tốc của vật thứ nhất đối với vật thứ hai là:

2112
vvv −=
. Do
1
v
vuông góc với
2
v
.
=> v
12
=
2

2
2
1
vv +
=
22
)28()6( tt +−++
=> v
12
=
100205
2
+− tt
.
Biểu thức trong căn của v
12
đạt giá trị nhỏ nhất khi
t =
=
−−
5.2
)20(
2 (s) < 4 (s).
Vậy v
12
có giá trị nhỏ nhất khi t = 2s.
=> (v
12
)
min

=
≈+− 1002.202.5
2
8,94 (m/s)
Khi đó v
1
= 8m/s,
α
=),(
121
vv
. với Cos
α
= v
1
/v
12
= 8/8,94
≈
0,895
=>
α
= 26,5
0
- Vậy v
12
đạt giá trị nhỏ nhất là 8,94m/s tại thời điểm t = 2s và hợp với Ox
góc 26,5
0
* Bài tập về chuyển động thẳng đều và ném xiên vận dụng công thức

cộng vận tốc trên một phương
Câu 3: Tại điểm O phóng một vật nhỏ với vật tốc ban đầu
01
v
( Hướng đến
điểm M ) nghiêng một góc
α
= 45
0
so với phương nằm ngang. Đồng thời tại
điểm M cách O một khoảng l = 20m theo đường nằm ngang một vật nhỏ
khác chuyển động thẳng đều trên đường thẳng OM theo chiều từ O đến M
3
O
y
x
1
v
2
v
12
v
với vận tốc v
2
= 7,1m/s. Sau một lúc hai vật va chạm vào nhau tại một điểm
trên đường thẳng OM. Cho gia tốc rơi tự do g = 10m/s
2
. Xác định v
01
.

Giải:
- Chọn trục tọa độ như hình vẽ:
Mốc thời gian là lúc các vật bắt đầu chuyển động.
- Vận tốc của vật 1 trên trục Ox là:
- Vận tốc của vật 1 đối với vật 2 trên trục Ox là:
2112
vvv −=
=> v
12x
= v
1x
– v
2
= v
01
cos
α
- v
2
: Điều kiện để vật 1 va chạm với vật
2 là v
12x
> 0

v
01
cos
α
- v
2

> 0 =>
0cos
2
2
2
>− v
α
(1)
- Khoảng thời gian từ lúc hai vật chuyển động đến lúc va chạm là:
t =
x
v
OM
12
=
201
cos vv
l
−
α
(2)
- Phương trình tọa độ của vật 1 trên trục Oy là:
y = (v
01
sin
α
)t – gt
2
/2.
- Thời gian vật 1 ném xiên từ O đến khi chạm với vật 2 ( trên trục Ox ) thỏa

mãn phương trình y = 0
⇔
(v
01
sin
α
)t – gt
2
/2 = 0 => t =
g
v
α
sin2
01
(3)
( t = 0 loại )
- Từ (2) và (3) suy ra:
201
cos vv
l
−
α
=
g
v
α
sin2
01
. Thay số vào ta có:
10

2
2
2
1,7
2
2
20
01
01
v
v
=
−

⇔

020021,7
01
2
01
=−− vv

⇔
v
01 =
0
2
82,90021,7
<
−

(loại) hoặc v
01 =
)/(20
2
82,90021,7
sm≈
+
(thỏa
mản (1)).Vậy v
0 1
= 20(m/s).
* Các bài tập chuyển động thẳng đều khác phương
Câu 4: Một ô tô chuyển động thẳng đều với vận tốc v
1
= 54km/h. Một hành
khách cách ô tô đoạn a = 400m và cách đường đoạn d = 80m, muốn đón ô
tô. Hỏi người ấy phải chạy theo hướng nào, với vận tốc nhỏ nhất là bao
nhiêu để đón được ô tô?
Giải:
4
O
x
M
y
01
v
2
v
α
B

A
CH
13
v
23
v
21
v
E
M
N
α
β
13
v
α
cos
011
vv
x
=
- Gọi ô tô là vật 1, hành khách là 2, mặt đất là vật 3
Muốn cho hành khách đuổi kịp ô tô thì trước hết
véc tơ vận tốc
21
v
của người ấy đối với ô tô
phải luôn hướng về phía ô tô và tại thời điểm
ban đầu véc tơ
21

v
hướng từ A đến B
- Theo công thức cộng vận tốc:
231213
vvv +=

2113121323
vvvvv +=−=⇔
- Xét hai tam giác ∆AMN và ∆ABC,
có chung góc A và MN//AE//BC => góc AMN bằng góc ABC.
Vậy ∆AMN đồng dạng với ∆ABC =>
AC
AN
BC
MN
=

⇔
AC
AN
BC
AE
=
hay
AC
v
BC
v
2313
=

=> v
23
=
113
.
BC
. v
AC
v
BC
AC
=

)(
113
vv =
- Trong tam giác ABC luôn có
βα
sinsin
BCAC
=

⇔

β
α
sin
sin
=
BC

AC
. Vậy v
23
=
1
.
sin
sin
v
β
α
=> v
23
nhỏ nhất khi sin
β
= 1, tức là
β
= 90
0
=> (v
23
)
min
= sin
α
.v
1
=
1
v

a
d
=
)/(8,1054
400
80
hkm=
- Vậy, người đó phải chạy với vận tốc 10,8km/h theo hướng vuông góc với
AB về phía đường.
Câu 5: Hai tàu A và B ban đầu cách nhau một khoảng l. Chúng chuyển động
cùng một lúc với các vận tốc có độ lớn lần lượt là v
1
, v
2
. Tàu A chuyển động
theo hướng AC tạo với AB góc
α
(hình vẽ).
a. Hỏi tàu B phải đi theo hướng nào để có thể gặp tàu A. Sau bao lâu kể
từ lúc chúng ở các vị trí A và B thì hai tàu gặp nhau?
b. Muốn hai tàu gặp nhau ở H (BH vuông góc với
1
v
) thì các độ lớn vận
tốc v
1,
v
2
phải thỏa mản điều kiện gì?

Giải:
a. Tàu B chuyển động với vận tốc
2
v
hợp với
BA
góc
β
.
- Hai tàu gặp nhau tại M. Ta có AM = v
1.
t, BM = v
2.
t
- Trong tam giác ABM:
+
αβ
sinsin
BMAM
=

⇔

αβ
sinsin
21
tvtv
=
⇔
sin

β
=
α
sin
2
1
v
v
(1)
- Tàu B phải chạy theo hướng hợp với
BA
một góc
β
thỏa mản (1)
- Cos
θ
= cos[180
0
– (
)
βα
+
] = - cos(
)
βα
+
=
βαβα
cos.cossin.sin −
5

β
α
θ
A
M
B
H
1
v
1
v
2
v
21
v
- Gọi vận tốc của tàu B đối với tàu A là
21
v
. Tại thời điểm ban đầu
21
v
cùng
phương chiều với
BA
. Theo công thức cộng vận tốc:
12132321
vvvvv −=−=
=>
θ
cos2

12
2
1
2
2
2
21
vvvvv −+=
=>
)cos.cossin.(sin2)cos(sin)cos(sin
21
222
1
222
2
2
21
βαβαααββ
−−+++= vvvvv
=(
2
1
2
21
2
2
2
.sin.sinsin2.sin vvvv
αβαβ
+−

)+
(
2
1
2
21
2
2
2
.cos.coscos2.cos vvvv
αβαβ
++
)
= (
2
12
).sin.sin vv
αβ
−
+(
2
12
).cos.cos vv
αβ
+
= 0 + (
2
12
).cos.cos vv
αβ

+

( theo (1) )
=> v
21
=
βα
coscos.
21
vv +

Vậy thời gian để tàu B chuyển động đến gặp tàu A là:
t =
βα
coscos
2121
vv
l
v
AB
+
=
b. Để 2 tàu gặp nhau ở H thì
ααβαβαβ
cos)90sin(sin9090
000
=−=⇒−=⇒=+
Theo (1) ta có:
1
2

2
1
tansincos
v
v
v
v
=⇔=
ααα
Câu 6: Hai chiếc tàu chuyển động với cùng vận tốc đều v, hướng đến
O theo các quỹ đạo là những đường thẳng hợp với nhau góc
α
= 60
0
. Xác
định khoảng cách nhỏ nhất giữa các tàu. Cho biết ban đầu chúng cách O
những khoảng l
1
= 20km và l
2
= 30km.
Giải:
- Chọn các truc tọa độ Ox
1
, Ox
2
như hình vẽ.
- Mốc thời gian là lúc các tàu ở M
01
, M

02

( OM
01
= l
1
, OM
02
= l
2
)
- Phương trình chuyển động của các tàu là:
+ Tàu thứ nhất trên trục tọa độ Ox
1
:
x
1
=
1
OM
= x
01
+ v
1
t = - l
1
+ vt
+ Tàu thứ hai trên trục tọa độ Ox
2
:

x
2
=
2
OM
= x
02
+ v
2
t = - l
2
+ vt
- Khoảng cách giữa hai tàu là M
1
M
2
. ta có:
1221
OMOMMM −=
=>(M
1
M
2
)
2
=OM
1
2
+ OM
2

2
– 2OM
1
OM
2
.cos(
21
,OMOM
)
- Đặt M
1
M
2
2
= f(vt) = (vt – l
1
)
2
+ (vt – l
2
)
2
– 2
))((
21
lvtlvt −−
cos(
21
,OMOM
)

1. Xét vt
≤
l
1
hoặc vt
≥
l
2
: (D
1
) (1)
6
O
M
01
M
02
M
1
M
2
x
1
x
2
α
- Khi vt
≤
l
1

thì x
1

≤
0 và x
2
< 0 => M
1
nằm giữa M
01
và O, M
2
nằm giữa
M
02
và O
=> (
21
,OMOM
) =
α
- Khi vt
≥
l
2
thì x
1
> 0 và x
2

≥
0 => (
21
,OMOM
) =
α
- Vậy khi vt thỏa mản (D
1
) thì:
f(vt) = (vt – l
1
)
2
+ (vt – l
2
)
2
– 2(vt – l
1
)(vt – l
2
)cos
α
= 2(1-cos
α
)(vt)
2
– 2(l
1
+l

2
)(1- cos
α
)vt + l
1
2
– 2l
1
l
2
cos
α
+ l
2
2
+ Nếu xét t
≥
0 thì f(vt) đạt giá trị nhỏ nhất tại vt = -
2
'
21
ll
a
b +
=
không
thỏa mản (1).
+ f(vt) là tam thức bặc hai có hệ số a > 0. Vậy trên (D
1
) thì f(vt) đạt

giá trị nhỏ nhất tại vt = l
1
hoặc vt = l
2
+ f(l
1
) = (l
1
– l
2
)
2
(2)
+ f(l
2
) = (l
1
– l
2
)
2
(3)
2. Xét khi l
1
< vt < l
2
: (D
2
) (4). Khi đó x
1

> 0 và x
2
< 0 tức là M
1
nằm
ngoài OM
01
, M
2
nằm trên đoạn OM
02
=> (
21
,OMOM
) = 180
0
-
α
=> f(vt) =
(vt – l
1
)
2
+ (vt – l
2
)
2
– 2(vt – l
1
)(l

2
– vt )cos(180
0
-
α
)
=
(vt – l
1
)
2
+ (vt – l
2
)
2
- 2(vt – l
1
)(vt – l
2
)cos
α
= 2(1-cos
α
)(vt)
2
– 2(l
1
+l
2
)(1- cos

α
)vt + l
1
2
– 2l
1
l
2
cos
α
+ l
2
2
+ f(vt) đạt giá trị nhỏ nhất tại vt = -
2
'
21
ll
a
b +
=

∈
(D
2
)
+ V
ậy f(vt)
min
= f(

2
21
ll +
) =
α
cos
22
2
22
2
21
1
21
2
2
21
2
1
21






−
+







−
+
−






−
+
+






−
+
l
ll
l
ll
l
ll
l

ll
=
2
12
)(
2
cos1
ll −
+
α
(5)
- Do
1
2
cos1
<
+
α
. So sánh các trường hợp (2), (3), (5)
=> (M
1
M
2
)
2
min
= f(vt)
min
=
2

12
)(
2
cos1
ll −
+
α
=> (M
1
M
2
)
min
=
)(7,8
2
2
1
1
2030
2
cos1
12
kmll ≈
+
−=
+
−
α
* Các bài toán về chuyển động tròn

7
Câu 7: Hai chất điểm chuyển động tròn đều đồng tâm, đồng phẳng,
cùng chiều. Với bán kính và tốc độ góc lần lượt là R
1
, R
2
và
1
ω
,
2
ω
. Cho R
1
> R
2,
,
21
ωω
>
.Chọn mốc thời gian là lúc các chất điểm và tâm thẳng hàng.
Viết biểu thức vận tốc của chất điểm thứ nhất đối với chất điểm thứ hai theo
thời gian t. Từ đó xác định giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của vận tốc này.
Giải.
Sau khoảng thời gian t
Bán kính nối chất điểm
thứ nhất và tâm quét một
góc
t
11

ωα
=
.Bán kính
nối chất điểm thứ hai và
tâm quét một góc
t
22
ωα
=
. Vì
21
ωω
>

⇒
M
1
OM
2
= M
1
OM
01
–
M
2
OM
02
=
21

αα
−
=
t)(
21
αα
−
Do v
1
vuông góc với OM
1
Và v
2
vuông g óc với OM
2

Vậy
2121
21
),(),( OMMOMOMvv ==
=
t)(
21
ωω
−
Vận tốc của chất điểm thứ nhất đối với chất điểm thứ hai là:
231213
vvv +=
hay
2121

vvv +=

2112
vvv −=⇔
),cos(2
21
21
2
2
2
1
2
12
vvvvvvv −+=
tvvvvv )cos(2
2121
2
2
2
1
2
12
ωω
−−+=⇔
tRRRRv )cos(2)()(
212121
2
22
2
11

2
12
ωωωωωω
−−+=⇔
tRRRRv )cos(2)()(
212121
2
22
2
1112
ωωωωωω
−−+=⇒
Vậy v
12
đạt giá trị nhỏ nhất khi
1)cos(
21
=− t
ωω
=> (v
12
)
min
=
22112211
2
22
2
11
2)()( RRRRRR

ωωωωωω
−=−+
v
12
đạt giá trị lớn nhất khi
1)cos(
21
−=− t
ωω
=> (v
12
)
max
=
22112211
2
22
2
11
2)()( RRRRRR
ωωωωωω
+=++
8
O
M
02
M
01
M
2

M
1
2
v
2
v
12
v
1
v
Câu 8: Chất điểm chuyển động theo đường tròn bán kính R với vận tốc góc
ω
trên mặt bàn phẳng (P). Mặt bàn chuyển động tịnh tiến thẳng đều với vận
tốc
0
v
đối với mặt đất. chọn mốc thời gian là lúc véc tơ vận tốc của chất
điểm trong hệ quy chiếu gắn với (P) vuông góc với
0
v
.
Xác định vận tốc của chất điểm đối với mặt đất tại thời điểm t =
ω
π
4
.
Giải:
- Do véc tơ vận tốc trong chuyển động tròn đều có phương tiếp tuyến
với đường tròn quỹ đạo. Vậy tại thời điểm ban đầu chất điểm ở A
Sau thời điểm t chất điểm ở B, bán kính quỹ đạo quét được góc

44
π
ω
π
ωωϕ
=== t
=>
42
),(
0
π
ϕ
π
=−=vv

- Vận tốc chất điểm đối với mặt đất:
013
vvv +=
=>
),cos(2
00
2
0
2
13
vvvvvvv ++=

=
2
2

2
0
2
0
22
RvvR
ωω
++
=
0
2
0
22
2 RvvR
ωω
++
Câu 9: Coi quỹ đạo chuyển động của Mặt Trăng quay quanh Trái Đất
và Trái Đất quay quanh Mặt Trời cùng thuộc một mặt phẳng và cùng là
chuyển động tròn đều. Các chuyển động quay này là cùng chiều và có chu
kỳ quay lần lượt là T
M
=27,3 ngày và T
Đ
= 365 ngày. Khoảng cách giữa Mặt
Trăng và Trái Đất là R
M
=3,83.10
5
km và giửa Trái Đất và Mặt Trời là
R

Đ
=149,6.10
6
km.Chọn mốc thời gian là lúc Mặt Trời, Trái Đất,
Mặt Trăng thẳng hàng và Trái Đất nằm giữa ( lúcTrăng tròn).
1. Tính khoảng thời gian giữa hai lần trăng tròn liên tiếp.
2. Coi Trái Đất, Mặt Trăng là các chất điểm.Viết biểu thức tính vận tốc
của Mặt Trăng đối với Mặt Trời. Từ đó suy ra vận tốc nhỏ nhất, tìm vận tốc
này
Giải:
9
T
1
T
1
D
1
α
∆
1
α
∆
D
2
D
v
D
v
T
v

TM
v
T
2
S
0
v
0
v
ϕ
B
v
13
v
O
A
1. Xét trong khoảng thời gian ngắn
t∆
, Trái Đất quay quanh mặt trời góc
1
α
∆
,Mặt Trăng quay quanh Trái Đất góc T
1
D
2
T
2
=
2

α
∆
. Do T
M
< T
D
=>
2
α
∆
>
1
α
∆
* Xét chuyển động quay của Mặt Trăng trong hệ quy chiếu gắn với Trái
Đất và Mặt Trời (đoạn DS xem là đứng yên ). Trong khoảng thời gian
t∆
trong hệ quy chiếu này Mặt Trăng quay được góc là
α
∆
. Từ hình vẽ =>
α
∆
=
1
α
∆
-
2
α

∆

- Tốc độ quay là:
ttt ∆
∆
−
∆
∆
=
∆
∆
=
21
ααα
ω
=>
DM
ωωω
−=
DMDM
TTTTTT
111222
−=⇔−=⇔
πππ
Vậy chu kỳ quay của Mặt Trăng trong hệ quy chiếu DS là:

5,29
3,27365
365.3,27
D

=
−
=
−
=
M
DM
TT
TT
T
( ngày).
=> Khoảng thời gian giữa hai lần Trăng tròn liên tiếp là 29,5 ngày
2. Gọi vận tốc của Mặt Trăng quay quanh Trái Đất và vận tốc của Trái Đất
quay quanh Mặt Trời là
T
v
và
D
v
. Sau khoảng thời gian
t
∆
thì (
T
v
,
D
v
) =
α

∆
=
t
∆
ω
(Do
T
v
vuông góc với D
2
T
2
,
D
v
v uông góc với SD
2
)
- Vận tốc của Mặt Trăng quanh Mặt Trời ở thời điểm t là:
DTTM
vvv +=
=>
tvvvvvvvvv
DTDTDTDTTM
ωα
cos2cos2
22222
++=∆++=
=
t

T
R
T
R
T
R
T
R
T
D
M
MD
M
M
πππππ
2
cos
22
2
22
D
2
D
2
+









+








=>
t
TTT
RR
T
R
T
R
v
DM
DM
D
D
M
M
TM
π
π

2
cos22
2
2
2
2
++=
. Vận tốc v
TM
đạt giá trị nhỏ nhất khi
1
2
cos −=t
T
π
.
=>(v
TM
)
min
=
D
22
222
T
R
T
R
TT
RR

T
R
T
R
D
M
M
DM
DM
D
D
M
M
−=−








+









ππ
Thay số: T
M
= 27,3 ngày = 655,2 giờ, T
D
= 365 ngày = 8760 giờ
(v
TM
)
min
= 2
4
65
10.354,10
8760
10.6,149
2,655
10.84,3
=−
π
(km/h)
Câu 10: Tàu sân bay chuyển động trên đại dương về hướng Đông với
vận tốc v
1
. Gió thổi về hướng Bắc với vận tốc v
2
. Khi hạ cánh, máy bay tiến
gần đến con tàu với vận tốc v
3

theo hướng thẳng đứng. Hãy xác định giá trị
vận tốc của máy bay đối với không khí chuyển động?
10
Giải: Gọi tàu sân bay là (1), gió là (2)
máy bay là (3), đại dương là (4)
- Áp dụng công thức:
pmnpnm
VVV +=
- Vận tốc của tàu bay đối với gió
421412
VVV +=
=
24
14
VV −
. Do
14
V
vuông
góc với
24
V

⇒
V
12
=
2
2
2

1
2
24
2
14
VVVV +=+
-Vận tốc của mày bay đối với không khí:

123132
VVV +=
Do
12
V
nằm trong mặt phẳng (P) = mp(
14
V
,
24
V
),
và
31
V
vuông góc với (P) (Do vận tốc của máy bay đối với tàu có phương
thẳng đứng) =>
31
V
vuông góc với
12
V

, vậy
2
3
2
2
2
1
2
12
2
3132
VVVVVV ++=+=
Câu11: Một sợi dây mảnh chiều dài 2l. Mổi đầu dây nối với một quả
cầu nhỏ khối lượng M = 2m. Ba quả cầu cùng đứng yên trên mặt bàn nhẳn
nằm ngang, sợi dây kéo căng và ba quả cầu cùng nằm
trên một đường thẳng. Bây giờ cấp cho quả cầu M
một xung lực làm cho nó đat vận tốc v
o
, hướng của v
o
thẳng góc với dây. Tính vận tốc của các quả cầu và
lực căng sợi dây tại thời điểm hai sợi dây nối các quả cầu m hợp với nhau
góc 120
0
Giải.
- Do sàn nhẳn nên hệ ba quả cầu là hệ kín. Khối tâm của hệ chuyển động
với vận tốc:
G
V
=

222
2
2
ooo
V
mm
Vm
mM
VM
=
+
=
+
khối tâm của hệ chuyển động cùng hướng với
0
V
.
- Vận tốc của các quả cầu đối với khối tâm G ở thời điểm ban đầu:
+ Đối với quả cầu M:
22
OO
OGOOMG
VV
VVVV =−=−=
+ Các quả cầu m:
22
0
0
0
011

VV
VVV
GGO
−=−=−=
;

12 oGo
VV =
-
G
V
= 0 -
2
o
V
=
2
o
V−
11
24
v
14
v
12
v
32
v
31
v

Tây
Đông
Bắc
Nam
0
V
m m
M
M
m m
V
120
0
= 2
T T
M
V
1
M
V
2
- Động lượng của hệ trong hệ quy chiếu gắn với khối tâm:
0
222
2
000
21
=−−=++
V
m

V
m
V
mVmVmVM
GOGOOMG
Vậy động lượng của hệ trong hệ quy chiếu gắn với khối tâm luôn bằng 0.
- Tại thời điểm các sợi dây hơp nhau góc 120
0

vận tốc các quả cầu
trong hệ quy chiếu khối tâm là
MGGG
VVV ,,
21
. Đặt V
MG
= u. Vận tốc của các
quả cầu m đối với quả cầu M là:
,
1M
V
M
V
2
(
,
1M
V
M
V

2
) = 120
0
(Do
,
1M
V
M
V
2
vuông góc với các sợi dây).
G
V
1
=
M
V
1
+
MG
V
;
G
V
2
=
M
V
2
+

MG
V

-Luôncó: M
MG
V
+m
G
V
1
+m
G
V
2
=0
hay M
MG
V
+m(
M
V
1
+
MG
V
)+m(
M
V
2
+

MG
V
) = 0
=> (M+2m)
MG
V
+ m(
M
V
1
+
M
V
2
) = 0 thay M = 2m => 4
MG
V
+
M
V
1
+
M
V
2
= 0
(1)
-Trong quá trình chuyển động khối tâm G dịch chuyển đối với vật M luôn có
hướng ngược với hướng chuyển động của M. Tức là
MG

V
cùng hướng với
chuyển động của M (cùng hướng với
o
V
).
⇒

(Hình 1) (Hình 2)
Chiếu (1) lên phương của
o
V
ta có: 4V
MG
–V
1M
cos
α
- V
1M
cos
α
= 0
(V
1M
= V
2M
) =>V
1M
=

α
cos
2
MG
V
=
2/1
2u
= 4u
12
G
V
1
G
V
2
M
V
2
M
V
1
β
β
α
α
2
V
1
V

G
V
2
G
V
1
G
V
β
β
MGMG
VVV +=
11
⇒
V
1G
2
= V
MG
2
+ V
1M
2
+ 2V
1M
V
MG
cos(180
0
-

α
)
(T ừ hình vẻ (1)
α
−=⇒
0
1
180),(
MGM
VV
)
= u
2
+ (4u )
2
+ 2.4u.u.cos120
0
= 13u
2
=> V
1G
=V
2G
=
13
u
- Từ hình vẻ 1 ta có:cos
β
=
GMG

MGMG
VV
VVV
1
2
1
2
1
2
2
−+
=
uu
uuu
13.2
)4()13(
222
−+
=
13
13−
- Tại thời điểm (
MM
VV
21
;
)=120
0
. Vận tốc của các quả cầu m là
1

V
,
2
V
.Vận
tốc quả cầu M là
V
.
1
V
=
G
V
1
+
G
V
;
2
V
=
G
V
2
+
G
V
. Do
MG
V

cùng
hướng với
0
V
(cùng hướng với
G
V
)
⇒
(
G
V
,
G
V
1
) = (
G
V
,
G
V
2
) =
β
.
⇒
V
1
2

= V
G
2
+V
1G
2
+2V
G
V
1G
cos
β
= V
0
2
/4 + 13u
2
+ 2(V
0
/2)
13
u.
13
13−
= 1/4V
0
2
+ 13u
2
–V

0
u
- Do
GMG
VVV +=
Và
MG
V
cùng chiều với
G
V
⇒
V=V
MG
+V
G
⇔
V = u
+ V
0
/2 .Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng được:
2
1
MV
0
2
=
2
1
MV

2
+
2
1
m V
1
2
+
2
1
mV
2
2
. Thay M = 2m và V
1
=V
2
⇒
V
0
2
= V
2
+V
1
2
⇔
V
0
2

= (u +
2
0
V
)
2
+
4
1
V
0
2
+ 13u
2
– uV
0

⇔
V
0
2
= 14u
2
+
2
2
0
V
13

u =
14
7
V
0
. Vy V =
0
14
)71(7
V
+
;
V
1
= V
2
=
14
7
28
13
4
1
0
0
2
0
2
0

V
V
V
V +
= V
0
14
710
* Cỏc qu cu m chuyn ng trũn quanh qu cu M do tỏc dng lc cng
si dõy T

T = m
l
V
M
2
1
=
l
um
2
16
=
=
l
mV
28
16
2
0

l
mV
7
4
2
0

II- CHUYN NG TRONG H QUY CHIU Cể GIA TC:
- Từ công thức:
13
V
=
12
V
+
23
V
.
Sau khoảng thời
t
Công thức trên tơng ứng với:
13
'
V
=
12
'
V
+
23

'
V
.
Vậy:
13
'
V
-
13
V
=
12
'
V
-
12
V
+
23
'
V
-
23
V

231213
VVV +=

t
V

13
=
t
V


12
+
t
V


23

231213
aaa +=
- Vật chuyển động trong hệ quy chiếu có gia tốc
0
a
thì chịu thêm lực quán
tính.
0
amF
q
=
Câu 1: Cho hệ nh hình vẽ, hệ số ma sát giữa m = 1kg và M = 3kg là
à
1

= 0,15
giữa M và sàn là
à
2
= 0,1.
1) Cho M chuyển động nhanh dần đều theo phơng ngang với gia tốc a i
với sàn. Tìm a để:
a) m nằm trên M
b) m trợt trên M m
2) Ban đầu hệ đứng yên.
M
Tìm độ lớn lực F nằm ngang.
14
a) Đặt lên m để m trợt trên M
b) Đặt lên M để M trợt khỏi m.
Xem lực ma sát trợt bằng lực ma sát nghĩ cực đại, lấy g = 10m/s
2
.

Giải:
1) Xét m trong hệ quy chiếu gắn với M
Vật m chịu tác dụng của trọng lực
gm
, phản lực
N
, lực ma sat
1ms
F
và lực
quán tính

q
F
a) Khi m nằm yêu trên M
q
F
+
1ms
F
+
mg
+
N
= 0

q
F
+
1ms
F
= 0

F
q
= F
ms1
.

ma = F
ms1

à
1
mg.
a


à
1
g = 0,15 . 10 = 1,5 (m/s
2
).
b) Khi m trợt trên M với gia tốc
12
a
Thì
q
F
+
1
ms
F
+
mg
+
N
= m .
12
a

q
F
+
1
ms
F
= m .
12
a

F
q
F
ms1
= m . a
12
.

m . a -
à
1
mg = m. a
12
> 0

a >
à
1
g = 1,5 m/s

2
.
a > 1,5 m/s
2
.
2. a Xét các vật m, M trong hệ quy chiếu gắn với mặt sàn:
- Vật m chịu tác dụng của
+ lực
F
+ lực ma sát do M tác dụng
1
ms
F
+ trọng lực
1
P
phản lực
N
.
- Vật M chịu tác dụng của trọng lực
2
P
, phản lực
'
N
(N=N
,
) do m tác dụng,
phản lực
Q

do sàn tác dụng, lực ma sát do m tác dụng
1
'
ms
F
và lực
2ms
F
do sn
tác dụng.
15
2ms
F

F

,
1ms
F

,
N

1ms
F

Q

N

gm

2
P

N

1ms
F

q
F

gm

a

Ta có: (F
ms1
)
Max
= (F
ms1
)
trợt
=
à
1
mg = 0,15.1.10 = 1,5N.
(F

ms2
)
Max
= (F
ms2
)
trợt
=
à
2
Q =
à
2
(N + P
2
) =
à
2
(mg + Mg)
= 0,1 ( 1.10 + 3.10) = 4N.
Vậy (F

ms1
)
Max
< (F
ms2
)
Max
(F

ms1
=F
,
ms1
)

M luôn nằm yên đối với sàn
Vậy muốn m trợt trên M thì F > (F
ms1
)
max
= F
ms1Trợt.


F > 1,5N.
2.b Các lực tác dụng lên M nh hình vẽ: Giả sử F thoả mãn để M trợt khi m
khi đó M cũng phải trợt đối với sàn. Do đó các lực ma sát đều là lực ma sát tr-
ợt.
Vật M chuyển động với gia tốc
2
a
đối với sàn:
2
P
+
N

+
Q

+
F
+
1
ms
F
+
2ms
F
= M
2
a

F - F

ms1

-

F
ms2
= M a
2
Do F

ms1
= F
ms1

F -
à
1
mg -
à
2
(M + m)g. = M. a
2
.

a
2
=
M
gmMmgF )(
21
+
àà
Xét m trong hệ quy chiếu gắn với M vật m chịu tác dụng của
1
P
,
N
,
q
F
,
1

ms
F
, m trợt trên M thì F
q
>( F
ms1
)
ma x


m . a
2
>
à
1
mg

a
2
>
à
1
g


M
gmMmgF )(
21
+
àà

>
à
1
g

F > (
à
1
+
à
2
). ( M + m) g = ( 0,15 + 0,1). (3 + 1).10 = 10(N).

Câu 2: Thanh OA quay quanh một trục thẳng đứng OZ
với vận tốc góc

. Góc ZÔA =

không đổi.
Một hòn bi nhỏ, khối lợng m, có thể trợt không ma sát
trên OA và đợc nối với điểm O bằng một lò xo có độ cứng K
và có chiều dài tự nhiên là l
0
. Tìm vị trí cân bằng của bi?.
Giải :
Xét hệ quy chiếu găn với thanh OA.
Viên bi chịu các lực :
16
0

q
F

2ms
F

F

,
1ms
F

,
N

1ms
F

Q

N

1
P

2
P

+ Trọng lực
P

, phản lực
N
của thanh vuông góc với OA
+ lực quán tính li tâm: F
q
= m.a = m .

2
r = m

2
l . sin

.
+ Lực đàn hồi của lò xo
F
Giả sử lò xo bị giản thì F = K ( l l
0
).
Điều kiện cân bằng là:
P
+
N
+
q
F
+
F
= 0 .(*)
Chiếu lên trục OA, chiều dơng từ A

O ta có:
F + mg. cos

- F
q
. sin

. = 0

K (l - l
0
) + mg cos

- m

2
l. sin
2

= 0

l =


22
0
SinmK
mgCosKl

(1).
Nếu lò xo bị nén thì
F
có chiều ngợc lại và có độ lớn :
F = K (l
0
l).
Chiếu (*) lên OA ta đợc:
- F + mg Cos

- F
q
. sin

. = 0

- K (l
0
l) + mg Cos

- F
q
. sin

. = 0.
K (l
0
l) + mg Cos

- F
q
. sin

. = 0.
Giải ra đợc l thoả mãn (1).
Câu 3: Cho hệ nh hình vẽ, thang máy đi lên
với gia tốc
0
a
hớng lên.
Tính gia tốc của m
1

và m
2
đối với đất.
0
a
Bỏ qua các lực ma sát và khối lợng dây nối và
ròng rọc.
Giải:
Xét các vật trong hệ quy chiếu gắn
với thang máy, vật m chịu tác dụng
của trọng lực
1
P
, lực căng dây
1
T

,
lực quán tính
1q
F
, vật m
2
chịu tác dụng
của trọng lực
2
P
lực căng dây
2
T
,
0
a
17
q
F

N

P

0

m
1
m
2

1
T

1q
F

1
P

1
T


2
P

2q
F
lực quán tính
2q
F
, (T
1
= T
2
= T).
Giả sử m
1
chuyển động duống dới với gia tốc

1
a
thì m
2
chuyển lên với gia tốc
2
a
( a
1
= a
2
= a).
Vật m
1
:
1
T
+
1q
F
+
1
P
= m
1
1
a


P

1
+ F
q1
T = m
1
a. (1)
Vật m
2
:
2
P
+
2q
F
+
T
= m
2
2
a


T F
q2
P
2
= m
2
a (2)
Cộng (1) và (2)

P
1
+ F
q1
F
q2
P
2
= (m
1
+ m
2
)a

m
1
g + m
1
a
0
- m
2
a
0
m
2
g = (m
1
+m

2
)a
a =
21
021
))((
mm
agmm
+
+
Gia tốc của m
1
đối với đất:
01
,
1
aaa +=

Chọn chiều dơng hớng lên:
a
,
1
= a
0
a
1
= a
0
- a.
a

,
1
= a
0

-


21
021
))((
mm
agmm
+
+
=
21
1202
)(2
mm
gmmam
+
+
Gia tốc của m
2
đối với đất
02
,
2
aaa +=

a
,
2

= a
2
+ a
0

= a + a
0

=
21
021
))((
mm
agmm
+
+
+ a
0

a
,
2
=
21

1201
)(2
mm
gmmam
+
+
.
Câu 4: Vật khối lợng m đứng yên ở đỉnh một cái nêm nhờ mat sát. Tìm thi
gian vật trợt hết nêm và gia tộc của vật đối với đất. Khi nêm chuyển động
nhanh dần đều sang trái với gia tốc
0
a
. Hệ số ma sát trợt giữa mặt nêm và m
là
à
chiều dài mặt nêm là l, góc nghiêng là

và a
0
< g

ancot

Giải:
18
1
a

,
1

a

0
a

2
a

0
a

,
2
a

VËt m chuyÓn ®éng víi gia tèc
a
trong hÖ quy chiÕu g¾n víi nªm,
Ta cã:
amFFNP
qms
=+++
(*)
ChiÕu (*) lªn oy ta ®îc: N + Fq.Sin
α
- P. Cos
α
= 0
⇔
N = P. Cos

α
- Fq.Sin
α
= mg Cos
α
- ma
0
.Sin
α
= m (g Cos
α
- a
0
.Sin
α
).
Do a
0
< g
α
ancot

⇔
N > 0 : (VËt lu«n n»m trªn nªm).
F
ms
=
µ
. N =
µ

m (g Cos
α
- a
0
.Sin
α
).
ChiÕu (*) lªn ox ta ®îc:
F
q
Cos
α
+ P. Sin
α
- F
ms
= m.a.
⇔
ma
0
.

Cos
α
+ mg. Sin
α
-
µ
m (g Cos
α

- a
0
.Sin
α
) = ma
⇔
a = (Sin
α
-
µ
. Cos
α
) g + ( Cos
α
+
µ
.Sin
α
).a
0
(1)
Tõ ph¬ng tr×nh: S =
2
1
at
2

⇔
l =
2

1
at
2
ms
F

N

q
F

P

0
a

x
y
0
α
19
α
a

,
a

0
a


t =
a
l2
=
0
)()(
2
aSinCosgCosSin
l
àà
++
Gia tốc của vật đối với mặt đất:
0
,
aaa +=

a
,2
= a
2
+
0
a
2

+
0
2 aa
= a

2
+
0
a
2

+ 2a . a
0
. cos ( 180
0
-

).
= a
2
+ a
0
2
2a. a
0
cos


a
,
=

Cosaaaa 2
0
0

22
+
Với a thoả mãn (1).
Câu 5:
Cho cơ hệ nh hình vẽ.
Tìm gia tốc của m đối với M
và của M đối với đất.
Hệ số ma sát giữa m và M
là
à

và sàn nhẵn.
Giải:
*Xét vật m trong hệ quy chiếu gắn với nêm.
Ta có:
12
1
amFFNP
msq
=+++
(*).
Chiếu (*) lên oy: N + F
q
.Sin

- mg cos

= 0

N = mg Cos

- F
q
.Sin

= mg Cos

- ma
2
. Sin

(a
2
l gia tc ca
M i vi mt t )

N = m (g Cos

- a
2
. Sin

).
20
y
ms
F

N

q
F

0

1
P

Q

,
N

2
P

,
ms
F

x
m

M
*Vật M trong hệ quy chiếu gắn với sàn.

2
,'
2
aMFQNP

ms
=+++
(**)
Chiếu (**) lên phơng ngang:

N

. Sin

- F

ms
. Cos

= M.a
2

N. Sin

- F
ms
. Cos

= M.a
2
(Theo nh lut III Niu Tn N=N

,F
ms
=F

ms
)

N. Sin

-
à
N. Cos

= M.a
2
Thay biểu thức của N vào ta đợc:
m(gCos

- a
2
Sin

) Sin

-
à
m.(gCos

- a
2
Sin

) Cos

= M.a
2

mg Sin

Cos

- ma
2
Sin
2

-
à
mgCos
2

+
à
ma
2
Sin

Cos

= Ma
2

a

2
=
à
à
CosSinmmSinM
CosmgCosSinmg


2
2
+

(1)
Chiếu (*) lên ox ta đợc:
P
1
.Sin

- F
ms
+ F
q
.Cos

= m.a
12

P
1
.Sin

-
à
N+ ma
2
. Cos

= m.a
12

mg Sin

-
à
m (g.Cos

- a
2
Sin

) + ma
2
.Cos

= m.a
12

a
12
= g.( Sin

-
à
Cos

) + a
2
(
à
Sin

+ Cos

).

a
12
= g (Sin

-
à
Cos

) +
à
àà
CosSinmmSinM
CosSinCosSinCosmg

)).(.(.

2
+
+

Câu 6: Một khối nhỏ K khối lợng m đợc đặt nằm trên khối Q, khối lợng M
nh hình vẽ. Ma sát giữa khối K và khối Q, giữa khối Q và mặt sàn nằm ngang
x là không đáng kể. Tác dụng một lực F theo phơng nằm ngang vào Q nh thế
nào để ngăn không cho khối K trợt trên khối Q.
Giải

21
X
1
P

2
P

2
N

1
N

,
1
N

F

q
F


Q K
Gäi gia tèc cña M ®èi víi mÆt ph¼ng x lµ
a

khèi K trong hÖ quy chiÕu g¾n víi Q
n»m yªn th×:
q
F
+
1
P
+
N
= 0
ChiÕu lªn ph¬ng mÆt ph¼ng nghiªng vµ ph¬ng vu«ng gãc víi mÆt nghiªng
P
1
.Sin
α
- F
q.
Cos
α
= 0
N
1

– P
1
.Cos
α
- F
q
.Sin
α
= 0
mgSin
α
- maCos
α
= 0
N
1
– mgCos
α
- maSin
α
= 0

⇔
a= gtg
α
; N
1
= mg
α
cos

+ mg
αα
tansin

⇔
a= gtg
α
; N
1
= mg ( Cos
α
+
αα
α
Cos
mg
Cos
Sin
=)
2
§èi víi khèi Q:
F
+
2
P
+
2
N
+
1

N
= m.
a
ChiÕu lªn ph¬ng chuyÓn ®éng: F – N
‘
1
.Sin
α
= M.a
⇔
F = N
‘
1
.Sin
α
+ M.a
= N
1
.Sin
α
+ M.a
=
α
Cos
mg
. Sin
α
+ Mg
α
tan

; F= g
α
tan
(M+m).
22
⇔
III - PHẦN KẾT LUẬN
- Trong phần này ở mỗi một dạng toán tôi chưa đưa ra nhiều bài tập để có thể
khảo sát kỹ hơn.
- Theo hướng này ta sẽ mở rộng đề tài theo các dạng sau:
+ Khảo sát tính tương đối của chuyển động của hai chuyểnđộng thẳng:
Ví dụ như tổ hợp của chuyển động thẳng đều và chuyển động thẳng biến đổi
đều khi chúng chuyển động cùng phương và khác phương
+ Khảo sát tính tương đối của chuyển động tròn đều trong trường hợp
đồng phẳng và không đồng phẳng.( Ví dụ bài toán chuyển động tròn đều của
các vệ tinh xung quanh Mặt Trời)
+ Khảo sát tính tương đối của chuyển động của hai chuyển động thẳng
(đều và biến đổi đều) và chuyển động tròn đều trong trường hợp đồng phẳng và
không đồng phẳng.
+ Chuyển động thẳng biến đổi đều và ném xiên.
- Có lẻ tô bài viết của tôi có nhửng sai sót nhất định.Mong các thầy cô giáo,các
em học sinh góp ý đính chính,bổ sung để bài viết được tốt hơn.


23