- Trang chủ >>
- Khoa học tự nhiên >>
- Vật lý
giản đồ feynman
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.05 MB, 19 trang )
GIẢN ĐỒ FEYNMAN
* FEYNMAN LÀ AI?
* CÁC GIẢN ĐỒ VÀ QUI TẮC FEYNMAN
1
1.1. Vài nét về Feynman
Richard Feynman (1918-1988) là nhà Vật Lý người Mỹ gốc Do Thái
đẫ nhận giải thưởng Nobel về Vật Lý năm 1965.
2
1.2. Các giản đồ Feynman và qui tắc Feynman
Để dễ theo dõi, ta xét một trường hợp cụ thể đó là tán xạ của boson
có spin bằng 0 lên electron tự do Ta có biểu thức của toán tử S như
sau:
S
(n)
(t, t
0
)=
(−i)
n
2
t
t
0
dt
1
t
t
0
dt
2
T
ˆ
H
I
(t
1
)
ˆ
H
I
(t
2
)
ˆ
H
I
(t
n
)
. Giả sử xung lượng, năng lượng của b oson ban đầu và cuối là q , ε
q
và q
,ε
q
;
xung lượng, năng lượng, hình chiếu spin của Fermion ban đầu và cuối là
p, E
p
,λ và p
,E
p
,λ
. Véctơ trạng thái đầu và cuối được cho bởi biểu thức
sau:
|i = a
+
q
c
+
pλ
|0, (1.1)
|f = a
+
q
c
+
p
λ
, (1.2)
Vấn đề trung tâm là tính yếu tố ma trận f|S|i ở các bậc thấp nhất của
lý thuyết nhiễu loạn, tương ứng với Hamiltonian tương tác
H
int
= g
ˆ
ψ
+
(r, t)
ˆ
ψ(r, t)
ˆϕ
+
(r, t)+ˆϕ(r, t)
dr, (1.3)
số hạng bậc n trong khai triển ma trận tán xạ có dạng:
S
(n)
=
(−i)
n
n!
g
n
dt
1
dr
1
dt
n
dr
n
T {
ˆ
ψ
+
(r
1
,t
1
)
ˆ
ψ(r
1
,t
1
)[ ˆϕ
+
(r
1
,t
1
)
+ˆϕ(r
1
,t
1
)]
ˆ
ψ
+
(r
n
,t
n
)
ˆ
ψ(r
n
,t
n
)[ ˆϕ
+
(r
n
,t
n
)+ ˆϕ(r
n
,t
n
)]}
(1.4)
Chú ý rằng, toán tử hủy tác dụng phải lên |0 > hoặc là toán tử sinh tác
dụng trái lên < 0| sẽ cho kết quả bằng không, ví dụ như:
ˆϕ(r
n
,t
n
)|0 =0, 0| ˆϕ
+
(r
n
,t
n
)=0
3
ˆ
ψ(r
n
,t
n
)|0 =0, 0|
ˆ
ψ
+
(r
n
,t
n
)=0
Do đó, để tính f|S
(n)
|i ta hãy dịch chuyển dần toán tử hủy sang phải
và toán tử sinh sang trái cho đến khi nó tác dụng tương ứng lên|0 và 0|.
Muốn vậy ta hãy chú ý đến các hệ thức giao hoán và phản giao hoán sau
đây cho trường vô hướng và trường spinor
ˆϕ(r, t), ˆa
+
q
)
= e
−iε
q
t
ϕ
q
(r)
⇒ ˆϕ(r, t)ˆa
+
q
=ˆa
+
q
ˆϕ(r, t)+e
−iε
q
t
ϕ
q
(r)
ˆ
ψ(r, t), ˆc
+
qλ
)
= e
−iE
p
t
ψ
p
(r)
⇒
ˆ
ψ(r)ˆc
+
pλ
= −ˆc
+
p λ
ˆ
ψ(r)+e
−iE
p
t
ψ
p
(r)
(1.5)
Lấy liên hợp hermite của biểu thức trên ta được:
ˆa
q
ˆϕ
+
(r, t)= ˆϕ
+
(r, t)ˆa
q
+ e
iε
q
t
ϕ
∗
(r)
ˆc
p λ
ˆ
ψ(r)
+
= −
ˆ
ψ
+
(r)ˆc
p λ
+ e
iE
p
t
ψ
∗
p
(r)
(1.6)
Bây giờ ta tính yếu tố ma trận bậc nhất
f|S
(1)
|i = −ig
dt
1
dr
1
0|a
q
c
p
λ
T {
ˆ
ψ
+
(r
1
,t
1
)
ˆ
ψ(r
1
,t
1
)[ ˆϕ
+
(r
1
,t
1
)+ ˆϕ(r
1
,t
1
)]}a
+
q
c
+
p λ
|0
(1.7)
Để dễ quan sát, ta ký hiệu
ˆ
ψ(r
i
,t
i
) ≡
ˆ
ψ(i) Vì toán tử của hai loại trường
khác nhau thì giao hoán với nhau nên ta có:
T {
ˆ
ψ
+
(1)
ˆ
ψ(1)[ ˆϕ
+
(1) + ˆϕ(1)]} = T {
ˆ
ψ
+
(1)
ˆ
ψ(1)}[ˆϕ
+
(1) + ˆϕ(1)]
=
ˆ
ψ
+
(1)
ˆ
ψ(1) ˆϕ
+
(1) +
ˆ
ψ
+
(1)
ˆ
ψ(1) ˆϕ(1)
(1.8)
Do đó:
T {
ˆ
ψ
+
(1)
ˆ
ψ(1)[ ˆϕ
+
(1) + ˆϕ(1)]}a
+
q
c
+
pλ
=
ˆ
ψ
+
(1)
ˆ
ψ(1) ˆϕ
+
(1)a
+
q
c
+
pλ
+
ˆ
ψ
+
(1)
ˆ
ψ(1) ˆϕ(1)a
+
q
c
+
pλ
.
(1.9)
4
Thay (1.9) vào (1.7) ta được
f|S
(1)
|i = −ig
dt
1
dr
1
0|a
q
c
p
λ
{
ˆ
ψ
+
(1)
ˆ
ψ(1) ˆϕ
+
(1)a
+
q
c
+
pλ
+
ˆ
ψ
+
(1)
ˆ
ψ(1) ˆϕ(1)a
+
q
c
+
p λ
}|0
(1.10)
f|S
(1)
|i = −ig
dt
1
dr
1
0|a
q
c
p
λ
ˆ
ψ
+
(1)
ˆ
ψ(1) ˆϕ
+
(1)a
+
q
c
+
p λ
|0
SH1
+ 0|a
q
c
p
λ
ˆ
ψ
+
(1)
ˆ
ψ(1) ˆϕ(1)a
+
q
c
+
p λ
}|0
SH2
(1.11)
* Định tính:
Véctơ trạng thái f| = 0|a
q
c
p
λ
chỉ có hai toán tử hủy mà trong khi
đó hai số hạng
ˆ
ψ
+
(1)
ˆ
ψ(1) ˆϕ
+
(1)a
+
q
c
+
pλ
| và
ˆ
ψ
+
(1)
ˆ
ψ(1) ˆϕ(1)a
+
q
c
+
pλ
} có4và3
toán tử sinh nên khi dịch chuyển các toán tử này sang trái thì mỗi số hạng
sẽ được phân tích thành tổng các số hạng con trong đó có ít nhất 1 toán
tử sinh tác dụng lên 0| và cho kết quả bằng không.
* Định lượng:
5
Ta tính SH1 ở (1.11)
SH1=0|a
q
c
p
λ
ˆ
ψ
+
(1)
ˆ
ψ(1) ˆϕ
+
(1)a
+
q
c
+
pλ
= 0|a
q
−
ˆ
ψ
+
(1)c
p
λ
+ e
iE
p
t
ψ
∗
p
(r)
ˆ
ψ(1) ˆϕ
+
(1)a
+
q
c
+
pλ
= −0|a
q
ˆ
ψ
+
(1)c
p
λ
ˆ
ψ(1) ˆϕ
+
(1)a
+
q
c
+
p λ
+ 0|a
q
e
iE
p
t
ψ
∗
p
(r)
ˆ
ψ(1) ˆϕ
+
(1)a
+
q
c
+
pλ
= −0|
ˆ
ψ
+
(1)a
q
c
p
λ
ˆ
ψ(1) ˆϕ
+
(1)a
+
q
c
+
p λ
+ 0|a
q
e
iE
p
t
ψ
∗
p
(r)
ˆ
ψ(1) ˆϕ
+
(1)a
+
q
c
+
pλ
=0+0|a
q
e
iE
p
t
ψ
∗
p
(r)
ˆ
ψ(1) ˆϕ
+
(1)a
+
q
c
+
pλ
= 0| a
q
ˆϕ
+
(1)
e
iE
p
t
ψ
∗
p
(r)
ˆ
ψ(1)a
+
q
c
+
pλ
= 0|
ˆϕ
+
(r, t)ˆa
q
+ e
iε
q
t
ϕ
∗
(r)
e
iE
p
t
ψ
∗
p
(r)
ˆ
ψ(1)a
+
q
c
+
pλ
= 0| ˆϕ
+
(r, t)ˆa
q
e
iE
p
t
ψ
∗
p
(r)
ˆ
ψ(1)a
+
q
c
+
p λ
+ 0|e
iε
q
t
ϕ
∗
(r)e
iE
p
t
ψ
∗
p
(r)
ˆ
ψ(1)a
+
q
c
+
p λ
=0+0|e
iε
q
t
ϕ
∗
(r)e
iE
p
t
ψ
∗
p
(r)
ˆ
ψ(1)a
+
q
c
+
pλ
= 0|e
iε
q
t
ϕ
∗
(r)e
iE
p
t
ψ
∗
p
(r)a
+
q
ˆ
ψ(1)c
+
pλ
= 0|a
+
q
e
iε
q
t
ϕ
∗
(r)e
iE
p
t
ψ
∗
p
(r)
ˆ
ψ(1)c
+
pλ
=0
(1.12)
Tính tương tự đối với SH2 và ta thu được SH2 = 0
* Kết luận:
Vậy f|S
(1)
|i =0
6
Tiếp theo, ta tính yếu tố ma trận bậc hai
f|S
(2)
|i =
−g
2
2
dt
1
dr
1
dt
2
dr
2
0|a
q
c
p
λ
T {
ˆ
ψ
+
(1)
ˆ
ψ(1)[ ˆϕ
+
(1) + ˆϕ(1)]
ˆ
ψ
+
(2)
ˆ
ψ(2)[ ˆϕ
+
(2) + ˆϕ(2)}a
+
q
c
+
p λ
|0
=
−g
2
2
dt
1
dr
1
dt
2
dr
2
0|a
q
c
p
λ
T {
ˆ
ψ
+
(1)
ˆ
ψ(1)
ˆ
ψ
+
(2)
ˆ
ψ(2)}
T {[ˆϕ(1) ˆϕ(2) + ˆϕ
+
(1) ˆϕ(2) + ˆϕ(1) ˆϕ
+
(2) + ˆϕ
+
(1) ˆϕ
+
(2)}a
+
q
c
+
pλ
|0.
(1.13)
Số hạng thứ nhất của (1.13) chứa tích hai toán tử hủy boson là ˆϕ(1) ˆϕ(2)
trong khi |i chỉ chứa 1 toán tử sinh boson là a
+
q
nên khi dịch các toán
tử ˆϕ(1) ˆϕ(2) sang phải thì nó sẽ được phân tích thành tổng các số hạng
con, trong đó có ít nhất một toán tử trong hai toán tử hủy boson tác dụng
lên |0. Vậy số hạng thứ nhất của (1.13) bằng không. Tương tự, số hạng
thứ tư chứa ˆϕ
+
(1) ˆϕ
+
(2)cũng bằng không. Thực hiện phép biến đổi biến số
r
1
↔ r
2
,t
1
↔ t
2
ở số hạng thứ ba của (1.13). Và chú ý rằng, T-tích không
đổi dấu đối với chuyển vị một số chẵn lần toán tử trường spinor hay một
số bất kỳ lần toán tử trường boson. Từ đó ta thấy rằng số hạng thứ ba trở
thành số hạng thứ hai. Vì vậy, ta có:
f|S
(2)
|i = −g
2
dt
1
dr
1
dt
2
dr
2
0|a
q
c
p
λ
T
ˆ
ψ
+
(1)
ˆ
ψ(1)
ˆ
ψ
+
(2)
ˆ
ψ(2)
T
ˆϕ
+
(1) ˆϕ(2)
a
+
q
c
+
p λ
|0.
(1.14)
7
Áp dụng định lý Wick ta có
T
ˆ
ψ
+
(1)
ˆ
ψ(1)
ˆ
ψ
+
(2)
ˆ
ψ(2)
=:
ˆ
ψ
+
(1)
ˆ
ψ(1)
ˆ
ψ
+
(2)
ˆ
ψ(2) : + :
||
ˆ
ψ
+
(1)
ˆ
ψ (1)
ˆ
ψ
+
(2)
ˆ
ψ(2) :
+
||
:
ˆ
ψ
+
(1)
ˆ
ψ(1)
ˆ
ψ
+
(2)
ˆ
ψ(2) : + :
||
ˆ
ψ
+
(1)
ˆ
ψ(1)
ˆ
ψ
+
(2)
ˆ
ψ (2) :
+:
||
ˆ
ψ
+
(1)
ˆ
ψ(1)
ˆ
ψ
+
(2)
ˆ
ψ (2) : + :
ˆ
ψ
+
(1)
||
ˆ
ψ(1)
ˆ
ψ
+
(2)
ˆ
ψ (2) :
+:
ˆ
ψ
+
(1)
ˆ
ψ(1)
||
ˆ
ψ
+
(2)
ˆ
ψ (2) : + :
||
ˆ
ψ
+
(1)
ˆ
ψ (1)
||
ˆ
ψ
+
(2)
ˆ
ψ (2) :
+:
||
ˆ
ψ
+
(1)
||
ˆ
ψ(1)
ˆ
ψ
+
(2)
ˆ
ψ(2): +
||
:
ˆ
ψ
+
(1)
||
ˆ
ψ(1)
ˆ
ψ
+
(2)
ˆ
ψ(2):
(1.15)
Lưu ý:
||
ˆ
ψ
+
(1)
ˆ
ψ (1) = 0
||
ˆ
ψ
+
(1)
ˆ
ψ
+
(2) = 0
||
ˆ
ψ(1)
ˆ
ψ (2) = 0
||
ˆ
ψ
+
(2)
ˆ
ψ (2) = 0
||
ˆ
ψ
+
(1)
ˆ
ψ (1)
||
ˆ
ψ
+
(2)
ˆ
ψ (2) = 0
||
ˆ
ψ
+
(1)
||
ˆ
ψ(1)
ˆ
ψ
+
(2)
ˆ
ψ(2) = 0
||
AB= T (AB)− : AB :
ởđâyt
1
>t
2
Trong vế trái của công thức (1.15) thì các số hạng 2, 3, 6, 7, 8, 9 đều
8
bằng 0. Do đó, (1.15) có thể viết lại
T
ˆ
ψ
+
(1)
ˆ
ψ(1)
ˆ
ψ
+
(2)
ˆ
ψ(2)
=:
ˆ
ψ
+
(1)
ˆ
ψ(1)
ˆ
ψ
+
(2)
ˆ
ψ(2) : + :
||
ˆ
ψ
+
(1)
ˆ
ψ(1)
ˆ
ψ
+
(2)
ˆ
ψ (2) :
+:
||
ˆ
ψ
+
(1)
ˆ
ψ(1)
ˆ
ψ
+
(2)
ˆ
ψ (2) : +
||
:
ˆ
ψ
+
(1)
||
ˆ
ψ(1)
ˆ
ψ
+
(2)
ˆ
ψ(2):
(1.16)
Và
T
ˆϕ
+
(1) ˆϕ(2)
=: ˆϕ
+
(1) ˆϕ(2) : +
||
ˆϕ
+
(1) ˆϕ(2)= 0 (1.17)
Lập luận tương tự như trên ta suy ra trong 4 số hạng ở vế phải của
(1.16) chỉ có số hạng thứ 2 và thứ 3 là tương ứng với yếu tố ma trận khác
không, trong hai số hạng ở vế phải của (1.16) chỉ có số hạng thứ nhất là
tương ứng với yếu tố ma trận khác không.
Kết quả ta thu được
f|S
(2)
|i = −g
2
dt
1
dr
1
dt
2
dr
2
0|a
q
c
p
λ
:
||
ˆ
ψ
+
(1)
ˆ
ψ(1)
ˆ
ψ
+
(2)
ˆ
ψ (2) : + :
||
ˆ
ψ
+
(1)
ˆ
ψ(1)
ˆ
ψ
+
(2)
ˆ
ψ (2) :
ˆϕ
+
(1) ˆϕ(2)a
+
q
c
+
p λ
|0
= −g
2
dt
1
dr
1
dt
2
dr
2
0|a
q
c
p
λ
:
||
ˆ
ψ
+
(1)
ˆ
ψ(1)
ˆ
ψ
+
(2)
ˆ
ψ (2) :
ˆϕ
+
(1) ˆϕ(2)a
+
q
c
+
pλ
|0
+
− g
2
dt
1
dr
1
dt
2
dr
2
0|a
q
c
p
λ
:
||
ˆ
ψ
+
(1)
ˆ
ψ(1)
ˆ
ψ
+
(2)
ˆ
ψ (2) :
ˆϕ
+
(1) ˆϕ(2)a
+
q
c
+
p λ
|0
= −g
2
dt
1
dr
1
dt
2
dr
2
(SH1+SH2)
(1.18)
9
* Bây giờ ta tính SH1
SH1=0|a
q
c
p
λ
:
||
ˆ
ψ
+
(1)
ˆ
ψ(1)
ˆ
ψ
+
(2)
ˆ
ψ (2) :
ˆϕ
+
(1) ˆϕ(2)a
+
q
c
+
pλ
|0
= 0|a
q
c
p
λ
ˆ
ψ
+
(1)
ˆ
ψ(2) ˆϕ
+
(1) ˆϕ(2)a
+
q
c
+
p λ
|0∆
c
(r
1
− r
2
,t
1
− t
2
)
= 0| a
q
ˆϕ
+
(1) ˆϕ(2)a
+
q
SH11
c
p
λ
ˆ
ψ
+
(1)
ˆ
ψ(2)c
+
p λ
SH12
|0∆
c
(r
1
− r
2
,t
1
− t
2
)
(1.19)
Ta có các hệ thức
ˆϕ(r, t), ˆa
+
q
)
= e
−iε
q
t
ϕ
q
(r)
⇒ ˆϕ(r, t)ˆa
+
q
=ˆa
+
q
ˆϕ(r, t)+e
−iε
q
t
ϕ
q
(r)
ˆ
ψ(r, t), ˆc
+
qλ
)
= e
−iE
p
t
ψ
p
(r)
⇒
ˆ
ψ(r)ˆc
+
pλ
= −ˆc
+
p λ
ˆ
ψ(r)+e
−iE
p
t
ψ
p
(r)
(1.20)
Và
ˆa
q
ˆϕ
+
(r, t)= ˆϕ
+
(r, t)ˆa
q
+ e
iε
q
t
ϕ
∗
(r)
ˆc
p λ
ˆ
ψ(r)
+
= −
ˆ
ψ
+
(r)ˆc
p λ
+ e
iE
p
t
ψ
∗
p
(r)
(1.21)
Thay vào (1.19) ta được
SH11 =
ˆϕ
+
(1)a
q
+ e
iε
q
t
1
ϕ
∗
q
(1)
a
+
q
ˆϕ(2) + e
−iε
q
t
2
ϕ(2)
=[ˆϕ
+
(1)a
q
a
+
q
ˆϕ(2) + ˆϕ
+
(1)a
q
e
−iε
q
t
2
ϕ(2)
+ e
iε
q
t
1
ϕ
∗
q
(1)a
+
q
ˆϕ(2) + e
iε
q
t
1
ϕ
∗
q
(1)e
−iε
q
t
2
ϕ(2)]
(1.22)
SH12 =
−
ˆ
ψ
+
(1)ˆc
p
λ
+ e
iE
p
t
1
ψ
∗
p
(1)
− ˆc
+
pλ
ˆ
ψ(2) + e
−iE
p
t
2
ψ
p
(2)]
=
ˆ
ψ
+
(1)ˆc
p
λ
ˆc
+
p λ
ˆ
ψ(2) −
ˆ
ψ
+
(1)ˆc
p
λ
e
−iE
p
t
2
ψ
p
(2)
− e
iE
p
t
1
ψ
∗
p
(1)ˆc
+
p λ
ˆ
ψ(2) + e
iE
p
t
1
ψ
∗
p
(1)e
−iE
p
t
2
ψ
p
(2)
(1.23)
10
Nhận xét:
Ba số hạng đầu trong SH11 của (1.22) khi tác dụng lên vacum ở bên
trái đều bằng 0
Ba số hạng đầu trong SH12 của (1.23) khi tác dụng lên vacum ở bên
phải đều bằng 0
Thay SH11 và SH12 vào SH1 ta được
SH1=e
iε
q
t
1
ϕ
∗
q
(1)e
−iε
q
t
2
ϕ(2).e
iE
p
t
1
ψ
∗
p
(1)e
−iE
p
t
2
ψ
p
(2)
= e
i[E
p
+ε
q
)t
1
−(E
p
+ε
q
)t
2
]
ψ
∗
p
λ
(1)ψ
p λ
(2)ϕ
∗
q
(1)ϕ
q
(2)∆
c
(r
1
− r
2
,t
1
− t
2
)
(1.24)
Tính tương tự ta được
SH2=e
i[E
p
−ε
q
)t
2
−(E
p
−ε
q
)t
1
]
ψ
∗
p
λ
(2)ψ
p λ
(1)ϕ
∗
q
(1)ϕ
q
(2)∆
c
(r
2
− r
1
,t
2
− t
1
)
(1.25)
Thay (1.25) và (1.24) vào (1.18) ta được
f|S
(2)
|i = −g
2
dt
1
dr
1
dt
2
dr
2
e
i[E
p
+ε
q
)t
1
−(E
p
+ε
q
)t
2
]
ψ
∗
p
λ
(1)ψ
pλ
(2)ϕ
∗
q
(1)ϕ
q
(2)
∆
c
(r
1
− r
2
,t
1
− t
2
)+e
i[E
p
−ε
q
)t
2
−(E
p
−ε
q
)t
1
]
ψ
∗
p
λ
(2)ψ
p λ
(1)ϕ
∗
q
(1)ϕ
q
(2)∆
c
(r
2
− r
1
,t
2
− t
1
)
(1.26)
Đổi biến r
1
↔ r
2
,t
1
↔ t
2
ở số hạng thứ hai của (1.26) ta được
f|S
(2)
|i = −g
2
dt
1
dr
1
dt
2
dr
2
{e
i[E
p
+ε
q
)t
1
−(E
p
+ε
q
)t
2
]
ϕ
∗
q
(1)ϕ
q
(2)
+ e
i[E
p
−ε
q
)t
2
−(E
p
−ε
q
)t
1
]
ϕ
∗
q
(2)ϕ
q
(1)}ψ
∗
p
λ
(1)ψ
pλ
(2)∆
c
(r
1
− r
2
,t
1
− t
2
)
(1.27)
11
Nhận xét
Như có thể thấy từ công thức (1.27), yếu tố ma trận f|S
(2)
|i được
cấu trúc từ một số ít yếu tố sau đây:
•e
iE
p
t
1
ψ
+
p
λ
(r
1
) sinh ra từ các toán tử Fermion
ˆ
ψ
+
(r
1
,t
1
)
• e
−iE
p
t
2
ψ
p λ
(r
2
) sinh ra từ các toán tử Fermion
ˆ
ψ(r
2
,t
2
)
•e
iε
q
t
1
ϕ
∗
q
(r
1
) sinh ra từ các toán tử boson ˆϕ
+
(r
1
,t
1
)
• e
−iε
q
t
2
ϕ
∗
q
(r
2
) sinh ra từ các toán tử boson ˆϕ(r
2
,t
2
)
•Hàm ∆
c
(r
1
−r
2
,t
1
−t
2
) đại diện cho liên kết
||
ˆ
ψ(r
1
,t
1
)
ˆ
ψ
+
(r
2
,t
2
) trong
công thức (1.16)
Để viết yếu tố ma trận được thuận tiện, người ta đặt tương ứng các
số hạng ở (1.27) với các giản đồ gồm những đường và đỉnh được gọi là giản
đồ Feynman.
Các qui tắc Feynman:
(Trong trường hợp tán xạ của Boson có spin=0 lên điện tử)
•Đường liên tục nét đậm, theo chiều đi ra khỏi điểm (r, t)là
tương ứng với thừa số e
−iE
p
t
ψ
+
p λ
(r) và đi vào điểm (r,t) là
12
tương ứng với thừa số e
−iE
p
t
ψ
p λ
(r)
•Đường liên tục , theo chiều đi ra khỏi điểm (r, t)là
tương ứng với thừa số e
iε
q
t
ϕ
∗
q
(r)
•Đường liên tục , theo chiều đi vào điểm (r,t)là
tương ứng với thừa số e
−iε
q
t
ϕ
q
(r)
• Đường liên tục nét đậm, theo chiều đi từ điểm (r
2
,t
2
) đến (r
1
,t
1
) là
tương ứng với thừa số ∆
c
(r
1
− r
2
,t
1
− 1
2
).
• Mỗi đỉnh (giao của 3 đường) tương ứng với thừa số ig ( g là hằng số
tương tác ).
13
Số hạng thứ nhất và thứ hai ở (??) tương ứng với các giản đồ ở hình
a và hình b
Trong đó các đường tương ứng với các số hạng như sau:
∗ (1), (6) tương ứng với ∆
c
(r
1
− r
2
,t
1
− 1
2
).
∗(2) tương ứng với e
−iε
q
t
2
ϕ
q
(r
2
)
∗(3) tương ứng với e
−iE
p
t
2
ψ
p,λ
(r
2
)
∗(4) tương ứng với e
iε
q
t
1
ϕ
∗
q
(r
1
)
∗(5) tương ứng với e
iE
p
t
1
ψ
∗
p
,λ
(r
1
)
∗(7) tương ứng với e
iε
q
t
2
ϕ
∗
q
(r
2
)
∗(8) tương ứng với e
−iE
p
t
2
ψ
p,λ
(r
2
)
∗(9) tương ứng với e
−iε
q
t
1
ϕ
q
(r
1
)
∗(10) tương ứng với e
iE
p
t
1
ψ
p
,λ
(r
1
)
Ý nghĩa:
Hình a: Tại điểm không-thời gian (r
2
,t
2
), electron có xung lượng p
hấp thụ một boson (có spin=0) có xung lượng q chuyển thành electron ảo.
14
Khi đó, một nhiễu loạn nhỏ được tạo ra ở trong hệ. Dưới tác dụng của hàm
truyền, nhiễu loạn này được truyền đến điểm không-thời gian (r
1
,t
1
). Tại
đó electron bức xạ boson tán xạ có xung lượng q
và chuyển thành electron
sau tán xạ có xung lượng p
.
Hình b: Tại điểm không-thời gian (r
2
,t
2
), electron có xung lượng p bức
xạ một boson có xung lượng q
và chuyển thành electron ảo. Khi đó, một
nhiễu loạn nhỏ được tạo ra ở trong hệ. Dưới tác dụng của hàm truyền, nhiễu
loạn này được truyền đến điểm không-thời gian (r
1
,t
1
). Tại đó electron hấp
thụ boson có xung lượng q và chuyển thành electron sau tán xạ có xung
lượng p
.
Tên gọi các đường trong giản đồ Feynman:
• Các đường nối giữa hai đỉnh gọi là các đường trong.
• Các đường chỉ xuất phát hay tận cùng ở một điểm, nghĩa là chỉ nối
liền với một đỉnh gọi là các đường ngoài.
•Ứng với mỗi hạt trong trạng thái đầu nhất thiết phải có một đường
ngoài tận cùng ở một đỉnh, gọi là đường vào.
• Ứng với mỗi hạt trong trạng thái cuối nhất thiết phải có một đường
ngoài xuất phát từ đỉnh, gọi là đường ra.
Ta có thể tổng quát hóa sự liên quan giữa các yếu tố hình học và các
đại lượng tương ứng trong S-ma trận qua bảng sau đây:
15
.
Hạt và trạng Yếu tố hình Nhân tử trong
thái của nó học của giản đồ S-ma trận
e
−
ở trạng thái đầu e
−iE
i
t
ψ
i
(r) hoặc
(2π)
−3/2
e
i(p r−E
p
t)
χ
λ
e
−
ở trạng thái cuối e
iE
i
t
ψ
+
i
(r) hoặc
(2π)
−3/2
e
−i(p r−E
p
t)
χ
+
λ
Boson có s=0, đầu e
−iε
i
t
ϕ
i
(r) hoặc
(2π)
−3/2
e
i(q r−ε
q
)t
Boson có s=0, cuối e
iε
i
t
ϕ
∗
i
(r) hoặc
(2π)
−3/2
e
−i(q r−ε
q
)t
Photon ở trạng thái đầu (2π)
−3/2
(2ω)
−1/2
e
i(
kr−ωt)
ε
kλ
Photon ở trạng thái cuối (2π)
−3/2
(2ω)
−1/2
e
−i(
kr−ωt)
ε
∗
kλ
Chuyển động của điện δ
αβ
∆
c
M
(r
1
,r
2
; t
1
− t
2
)
tử từ (r
2
,t
2
) đến (r
1
,t
1
)
CĐ của boson có spin=0 ∆
c
m
(r
1
,r
2
; t
1
− t
2
)
từ (r
2
,t
2
) đến (r
1
,t
1
)
CĐ của photon D
c
(r
1
− r
2
; t
1
− t
2
)
từ (r
2
,t
2
) đến (r
1
,t
1
)
Đỉnh mà tại đó electron ig
đi vào hoặc đi ra
Đỉnh tại đó boson (có s=0, ig
photon) đi vào hoặc đi ra
Hệ điện tử-lỗ trống δ
αβ
∆
c
eh
(r
1
− r
2
; t
1
− t
2
)
16
Trong giản đồ Feynman, cấu trúc của mỗi đỉnh xác định bởi một
Hamiltonian tương tác. Số đường vào và số đường ra hoàn toàn xác định
bởi số hạt trong trạng thái đầu và trạng thái cuối. Cho trước số đỉnh mỗi
loại, biết cấu trúc của mỗi đỉnh và biết số đường ngoài, ta có thể tìm được
ngay số đường trong. Ta biết rằng mỗi yếu tố (đường, đỉnh v.v ) của giản
đồ Feynman đều diễn tả một biểu thức nào đó trong yếu tố ma trận. Biết
sự tương ứng giữa các yếu tố của giản đồ và biểu thức trong yếu tố ma
trận, nhìn đồ thị ta có thể viết ngay yếu tố ma trận mà không cần lặp lại
quá trình tính toán chi tiết như trình bày ở trên.
Quy tắc Feynman để viết yêu tố ma trận khi biết giản đồ
• Viết các số hạng tương ứng với các yếu tố hình học (một đường
tương ứng với một số hạng).
• Xác định thừa số ig dựa vào số nút của giản đồ (mỗi nút ứng với
một ig).
• Nhân các kết quả thu được, rồi lấy tích phân theo tọa độ không gian
và thời gian ở các đỉnh. Kết quả cuối cùng chính là Hamiltonian tương tác
cần viết.
Ví dụ (Dùng để tham khảo, không có kết quả để đối chiếu).
Xét quá trình tán xạ của photon lên electron:
γ + e
−
→ γ + e
−
Giả sử trước quá trình tán xạ electron có xung lượng p , hình chiếu spin l
còn photon có xung lượng
k, phân cực λ
17
Sau quá trình tán xạ, electron có xung lượng p
, hình chiếu spin l
còn
photon có xung lượng
k
, phân cực λ
.
Quá trình tán xạ được cho bởi giản đồ:
Các số hạng tương ứng với các đường trong giản đồ hình a:
(1) → δ
αβ
∆
c
M
(r
1
,r
2
; t
1
− t
2
).
(2) → (2π)
−3/2
(2ω)
−1/2
e
i(
kr
2
−ωt
2
)
ε
kλ
.
(3) → e
−iE
p
t
2
ψ
p l
(r
2
).
(4) → (2π)
−3/2
(2ω)
−1/2
e
−i(
k
r
1
−ωt
1
)
ε
∗
k
λ
.
(5)→ e
iE
p
t
1
ψ
+
p
l
(r
1
).
Có hai đỉnh nên có hai thừa số (ig).
18
Từ đó ta có yếu tố ma trận (cấp hai) là:
SH1=(−ig)
2
dt
1
dr
1
dt
2
dr
2
(2π)
−3/2
(2ω)
−1/2
e
i(
kr
2
−ωt
2
)
ε
kλ
e
−iE
p
t
2
ψ
p l
(r
2
)
(2π)
−3/2
(2ω)
−1/2
e
−i(
k
r
1
−ωt
1
)
ε
∗
k
λ
e
iE
p
t
1
ψ
+
p
l
(r
1
)δ
αβ
∆
c
M
(r
1
,r
2
; t
1
− t
2
)
= −g
2
(2π)
−3
(2ω)
−1
dt
1
dr
1
dt
2
dr
2
e
i[
kr
2
−
k
r
1
−(ω+E
p
)t
2
+(ω+E
p
)t
1
]
ε
∗
k
,λ
ε
k,λ
ψ
+
p
l
(r
1
)ψ
pl
(r
2
)δ
αβ
∆
c
M
(r
1
,r
2
; t
1
− t
2
)
(1.28)
Các số hạng tương ứng với các đường trong giản đồ hình b:
(6) → δ
αβ
∆
c
M
(r
1
,r
2
; t
1
− t
2
).
(7)→ (2π)
−3/2
(2ω)
−1/2
e
−i(
k
r
2
−ωt
2
)
ε
∗
k
λ
.
(8) → e
−iE
p
t
2
ψ
p l
(r
2
).
(9) → (2π)
−3/2
(2ω)
−1/2
e
i(
kr
1
−ωt
1
)
ε
kλ
.
(10)→ e
iE
p
t
1
ψ
+
p
l
(r
1
).
Có hai đỉnh nên có hai thừa số (ig).
Từ đó ta có yếu tố ma trận (cấp hai) là:
SH2=(−ig)
2
dt
1
dr
1
dt
2
dr
2
(2π)
−3/2
(2ω)
−1/2
e
−i(
k
r
2
−ωt
2
)
ε
∗
k
λ
e
−iE
p
t
2
ψ
p l
(r
2
)
(2π)
−3/2
(2ω)
−1/2
e
i(
kr
1
−ωt
1
)
ε
kλ
e
iE
p
t
1
ψ
+
p
l
(r
1
)δ
αβ
∆
c
M
(r
1
,r
2
; t
1
− t
2
)
= g
2
(2π)
−3
(2ω)
−1
dt
1
dr
1
dt
2
dr
2
e
i[
kr
1
−
k
r
2
+(E
p
−ω)t
1
−(E
p
−ω)t
2
]
ε
∗
k
λ
ε
kλ
ψ
+
p
l
(r
1
)ψ
p l
(r
2
)δ
αβ
∆
c
M
(r
1
,r
2
; t
1
− t
2
)
Lấy SH1+SH2 ta được yếu tố ma trận cần tìm của quá trình tán xạ
photon lên electron.
19
