Phương trình đa thức trên trường các hàm hữu tỷ và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
NGUYỄN THỊ NGỌC DIỆP
PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC
TRÊN TRƯỜNG CÁC HÀM HỮU TỶ
VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Nghệ An - 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
NGUYỄN THỊ NGỌC DIỆP
PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC
TRÊN TRƯỜNG CÁC HÀM HỮU TỶ
VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 62 46 01 04
TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
1. PGS. TS. TẠ THỊ HOÀI AN
2. GS. TSKH. HÀ HUY KHOÁI
Nghệ An - 2014
i
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan rằng đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết
quả được trình bày trong luận án là hoàn toàn trung thực, được đồng tác
giả cho phép sử dụng và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công
trình nào khác.
Tác giả
Nguyễn Thị Ngọc Diệp
ii
LỜI CẢM ƠN

Luận án được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng
dẫn của PGS. TS. Tạ Thị Hoài An và GS. TSKH. Hà Huy Khoái. Lời
đầu tiên, tác giả xin được bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc tới
PGS. TS. Tạ Thị Hoài An, người Cô nghiêm khắc và mẫu mực, đã định
hướng nghiên cứu, đặt bài toán và hướng dẫn tác giả tận tình, chu đáo
trong suốt quá trình tác giả thực hiện luận án.
Tác giả xin được bày tỏ sự kính trọng và gửi lời cảm ơn sâu sắc tới
GS. TSKH. Hà Huy Khoái, người đã thường xuyên quan tâm, tạo mọi
điều kiện thuận lợi, cùng với những lời động viên, khích lệ tác giả trong
suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Tác giả xin được cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán, Phòng Sau đại
học, Ban Giám hiệu, các phòng ban chức năng của Trường Đại học Vinh
đã tạo các điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ của một
nghiên cứu sinh. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệp
trong Khoa Toán, Tổ Đại số đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả tập
trung học tập và nghiên cứu. Tác giả xin cảm ơn Viện Toán học, phòng
Lý thuyết số, phòng Đại số, các nhà khoa học của Viện Toán đã giúp đỡ
tác giả, tạo môi trường học tập cũng như tham gia các buổi sinh hoạt
khoa học của Viện để tác giả có thể hoàn thành luận án.
Nhân dịp này tác giả xin cảm ơn đến TS. Chu Trọng Thanh đã quan
tâm cũng như giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập.
Xin cảm ơn các thầy cô, bạn bè về những trao đổi, chia sẻ trong công
iii
việc cũng như trong cuộc sống. Xin cảm ơn các anh chị em nghiên cứu
sinh của Viện Toán, của Trường Đại học Vinh về những chia sẻ, động
viên trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Cuối cùng, tác giả xin kính dâng luận án này đến hương hồn Bố, kính
tặng Mẹ, tặng em Ngọc Bảo. Chính Mẹ và em đã chấp nhận mọi khó khăn
và dành hết tình thương yêu cho tác giả trong suốt những năm tháng qua
để tác giả có thể hoàn thành luận án này.

Nghệ An, 2014
Nguyễn Thị Ngọc Diệp
MỤC LỤC
Lời cảm ơn ii
Một số ký hiệu 2
Mở đầu 3
1 Kiến thức chuẩn bị 11
1.1 Đa tạp đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Cấu xạ giữa các đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Đường cong phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Không gian Hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Các nhân tử bất khả quy có giống thấp của đường cong trên trường
số phức 20
2.1 Phương pháp xây dựng các 1-dạng chính quy kiểu Wronskian 20
2.2 Một số bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Một số điều kiện đủ để mọi thành phần bất khả quy của
đường cong P (x) = Q(y) có giống lớn hơn 1 . . . . . . . . . . 28
2.3.1 Các đa thức thoả mãn Giả thiết I . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.2 Các đa thức không thoả mãn Giả thiết I . . . . . . . . . 33
2.4 Điều kiện cần và đủ để đường cong P(x) = Q(y) có thành
phần bất khả quy có giống 0 hoặc 1 . . . . . . . . . . . . . . 34
iv
1
2.4.1 Bội giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.2 Phép biến đổi toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4.3 Điều kiện cần và đủ để đường cong P (x) = Q(y) có thành
phần bất khả quy có giống 0 hoặc 1 . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5 Một số ứng dụng và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3 Độ cao của các hàm hữu tỷ thoả mãn phương trình biến tách 56
3.1 Một số kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.2 Chặn trên của các độ cao của các hàm hữu tỷ thoả mãn
phương trình biến tách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3 Phương trình biến tách P (x) = Q(y) với P, Q thoả mãn Giả
thiết I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.4 Điều kiện để phương trình biến tách có nghiệm hàm hữu
tỷ khác hằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Kết luận và kiến nghị 78
Danh mục công trình của NCS liên quan đến luận án 80
Tài liệu tham khảo 81
2
MỘT SỐ KÝ HIỆU
C : Trường các số phức
k : Trường
A
n
(k) : Không gian afin n chiều trên trường k
P
n
(k) : Không gian xạ ảnh n chiều trên trường k
k[x
1
, . . . , x
n
] : Vành đa thức n biến trên trường k
degf : Bậc của đa thức f
V (S) : Tập nghiệm của hệ đa thức S
∅ : Tập rỗng
A ⊂ B : A là tập con của B
A ⊂ B : A không là tập con của B
A ∩ B : A giao B

A ∪ B : A hợp B
id
X
: Ánh xạ đồng nhất từ tập X vào chính nó
I(X) : Iđêan của X
Γ(X) : Vành toạ độ của X
J(V, k) : Tập hợp tất cả các hàm từ tập V vào k
gcd(a, b) : Ước chung lớn nhất của a và b
3
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Một trong những bài toán cơ bản của Lý thuyết số được nhiều nhà
toán học đặc biệt quan tâm là bài toán giải phương trình Diophant.
Ban đầu người ta nghiên cứu nghiệm nguyên của những phương trình
Diophant với các hệ số là những số nguyên. Sau đó, việc xem xét nghiệm
của các phương trình Diophant được mở rộng trên tập các số hữu tỷ và
trên trường các hàm như hàm phân hình phức, hàm phân hình không
Acsimet, hàm hữu tỷ.
Cho P và Q là các đa thức một biến trên trường đóng đại số k. Bài
toán tồn tại hay không các hàm f và g khác hằng thoả mãn phương trình
P (f) = Q(g) từ lâu đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học.
Bên cạnh đó, bài toán về sự phân tích đa thức P (x) −Q(y) thành các nhân
tử bất khả quy và tính hữu hạn nghiệm nguyên của đa thức này khi k là
một trường số cũng được nhiều nhà toán học nghiên cứu. Theo Định lý
Faltings và Định lý Picard, hai bài toán này liên quan chặt chẽ với nhau.
Ngay từ những năm đầu thế kỷ XX, một số kết quả của các bài toán
này đã được đưa ra bởi các công trình của J. F. Ritt [36], sau đó là A.
Ehrenfeucht [19], H. Davenport, D. J. Lewis và A. Schinzel [16], M. Fried
[22], Khi Q = cP , C. C. Yang và P. Li trong [44] đã giới thiệu khái niệm
đa thức duy nhất mạnh. Cụ thể, đa thức P (x) trên trường đóng đại số k

được gọi là đa thức duy nhất mạnh đối với họ các hàm F nếu với mọi
4
hàm f, g ∈ F và hằng số c khác không nào đó mà P(f) = cP (g) thì c = 1 và
f = g. Cho đến nay bài toán tìm điều kiện để một đa thức là đa thức duy
nhất mạnh đối với một họ hàm đã được giải quyết trọn vẹn trong trường
hợp phức cũng như trong trường hợp p-adic cho họ các hàm phân hình,
hàm nguyên hay hàm hữu tỷ ([2], [3], [4], [5], [8], [24], [30], [43]).
Thời gian gần đây, nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu một mở
rộng tự nhiên của vấn đề đa thức duy nhất mạnh, đó là nghiên cứu sự tồn
tại nghiệm của phương trình P(x) = Q(y). Theo Định lý Picard, phương
trình P(f) = Q(g) không có nghiệm hàm phân hình (f, g) khác hằng nếu
và chỉ nếu đường cong P (x) −Q(y) = 0 không chứa bất kỳ thành phần nào
có giống 0 hoặc 1. Một số điều kiện cần để đường cong P (x) − Q(y) = 0
không có nhân tử có giống 0 đã được đưa ra bởi J. F. Ritt ([36]) và U.
M. Zannier ([46]). R. M. Avanzi và U. M. Zannier ([11]) đã đưa ra một
điều kiện cần để đường cong P(x) − Q(y) = 0 không có nhân tử có giống
1. Trong trường số phức, một số điều kiện đối với các bậc của P và Q
để phương trình P (x) = Q(y) không có nghiệm hàm phân hình khác hằng
cũng được xem xét bởi các tác giả H. H. Khoái và C. C. Yang trong [31],
C. C. Yang và P. Li trong [45]. Gần đây, trong [7], T. T. H. An và A.
Escassut đã xem xét vấn đề này trong trường không Acsimet. Họ đã đưa
ra điều kiện đủ khi P và Q thoả mãn Giả thiết I, giả thiết được giới thiệu
lần đầu tiên bởi Fujimoto trong [24], và điều kiện cần và đủ khi degP =
degQ.
Cho đến nay, vấn đề thiết lập đặc trưng đầy đủ của đường cong không
có nhân tử có giống bé hơn hoặc bằng 1 vẫn đang là vấn đề mở. Đồng
thời, vấn đề xem xét phương trình P (x) = Q(y) trên trường các hàm hữu
tỷ là đề tài thời sự đang được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước
quan tâm.
Để góp phần làm sáng tỏ vấn đề nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên

5
cứu cho luận án của mình là: Phương trình đa thức trên trường
các hàm hữu tỷ và ứng dụng.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích chính của luận án là nghiên cứu sự tồn tại nghiệm hàm hữu
tỷ của phương trình đa thức hai biến trên trường đóng đại số, đồng thời
xem xét các điều kiện để đa thức hai biến có các nhân tử có giống thấp.
3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là phương trình đa thức hai biến trên trường
đóng đại số.
4. Phạm vi nghiên cứu
Luận án chủ yếu tập trung nghiên cứu sự tồn tại nghiệm hàm hữu tỷ,
hàm phân hình của phương trình đa thức hai biến trên trường đóng đại
số.
5. Phương pháp nghiên cứu
Chúng tôi sử dụng những phương pháp của giải tích phức và hình học
đại số, lý thuyết số trong quá trình thực hiện đề tài luận án, đặc biệt là lý
thuyết độ cao, lý thuyết kỳ dị, phương pháp xây dựng các 1-dạng chính
quy kiểu Wronskian trên một đường cong đại số.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
6.1. Ý nghĩa khoa học
Luận án góp phần làm sáng tỏ vấn đề khi nào phương trình đa thức
hai biến trên trường đóng đại số có nghiệm hàm hữu tỷ, hàm phân hình
khác hằng.
6
6.2. Ý nghĩa thực tiễn
Luận án là một trong những tài liệu tham khảo cho sinh viên, học
viên cao học và nghiên cứu sinh, giúp ích cho việc xây dựng những nhóm
nghiên cứu về giải tích phức, số học và hình học đại số.
7. Tổng quan và cấu trúc luận án

7.1. Tổng quan luận án
Bài toán giải phương trình Diophant từ lâu đã luôn hấp dẫn các nhà
toán học. Một trong những bài toán khó và nổi tiếng nhất là Bài toán
Fermat: không tồn tại các nghiệm nguyên khác không x, y và z thoả mãn
x
n
+ y
n
= z
n
, trong đó n là một số nguyên lớn hơn 2. Bài toán Fermat
đã là bài toán mở trong suốt hơn ba thế kỷ vừa qua và cuối cùng nó
đã được chứng minh bởi Andrew Wiles năm 1993. Bên cạnh việc xem
xét nghiệm nguyên của các phương trình Diophant ban đầu với các hệ
số nguyên, người ta mở rộng hướng nghiên cứu với việc xét các phương
trình Diophant trên trường các hàm như trường các hàm phân hình phức,
trường các hàm phân hình không Acsimet, trường các hàm hữu tỷ.
Cho phương trình P (x) = Q(y), trong đó P và Q là các đa thức một biến
trên trường đóng đại số k. Có hai vấn đề được đặt ra một cách tự nhiên:
Thứ nhất, tồn tại hay không các hàm f và g khác hằng thoả mãn phương
trình P (f) = Q(g)? Thứ hai, vấn đề về sự phân tích đa thức P(x) − Q(y)
thành các nhân tử bất khả quy và tính hữu hạn nghiệm nguyên của đa
thức này khi k là một trường số.
Liên quan tới các hướng nghiên cứu này ta có những kết quả của
Faltings và Picard. Khi k là trường số phức, Định lý Picard nói rằng
phương trình P (f ) = Q(g) không có nghiệm là các hàm phân hình khác
hằng f và g khi đường cong phẳng P (x) = Q(y) không có các thành phần
7
bất khả quy có giống 0 hoặc 1. Tương tự, một định lý của Faltings nói
rằng nếu đường cong phẳng P(x) = Q(y) không có các thành phần bất khả

quy có giống bé hơn 2, thì với mỗi trường số k mà trên đó P và Q được
xác định, phương trình P (x) = Q(y) chỉ có hữu hạn nghiệm k- hữu tỷ. Như
vậy, thực chất hai vấn đề trong hai hướng nghiên cứu nêu trên có liên
quan rất chặt chẽ với nhau.
Cả hai hướng nghiên cứu này liên quan đến một vấn đề đã được nêu
ra bởi D. Hilbert trong bài toán thứ 10 của ông tại Đại hội Toán học thế
giới lần thứ hai ở Paris năm 1900, đó là tồn tại hay không thuật toán tổng
quát để giải các phương trình Diophant? Câu trả lời phủ định được đưa
ra bởi Yu. Matijasievich năm 1970. Như vậy, những vấn đề được các nhà
toán học quan tâm là tìm điều kiện của các đa thức P và Q để phương
trình P (x) = Q(y) có hữu hạn nghiệm nguyên, xem xét tính bất khả quy
của đa thức P (x) −Q(y), đồng thời xem xét sự tồn tại nghiệm là các hàm
khác hằng của phương trình P (x) = Q(y).
Những vấn đề này đã thu hút được nhiều tác giả nghiên cứu. Khi bậc
của P và Q nguyên tố cùng nhau, theo tiêu chuẩn của Ehrenfeucht ([19],
[42]) ta có đường cong P(x) − Q(y) bất khả quy. Trong một số trường
hợp đặc biệt và với giả thiết P không phân tích được (nghĩa là, P không
thể viết được dưới dạng hợp thành của hai đa thức có bậc lớn hơn 1),
Tverberg đã xác định trong [42, Ch. 2] khi nào
P (x) − P (y)
x − y
có thể chứa
nhân tử tuyến tính hoặc bậc hai. Tương tự, Bilu trong [13] đã xác định
tất cả các cặp đa thức sao cho P (x) − Q(y) chứa nhân tử bậc hai
Trong trường hợp đa thức Q = cP với c khác 0, cho đến nay bài toán
với phương trình hàm P(f) = cP (g) đã được giải quyết trọn vẹn ([2], [3],
[4], [5], [8], [24], [30], [43]). Trong trường hợp tổng quát, bài toán tìm điều
kiện để đường cong P (x) − Q(y) = 0 không có nhân tử có giống 0 hoặc 1
vẫn còn nhiều vấn đề cần quan tâm. J. F. Ritt ([36]) và U. M. Zannier
8

([46]) đã đưa ra một số điều kiện cần để đường cong P (x) −Q(y) = 0 không
có nhân tử có giống 0. Sau đó, R. M. Avanzi và U. M. Zannier ([11]) đã
đưa ra một điều kiện cần để đường cong P (x) − Q(y) = 0 không có nhân
tử có giống 1. Bằng cách sử dụng lý thuyết kỳ dị và tính toán giống của
các đường cong đại số dựa vào đa giác Newton, H. H. Khoái và C. C.
Yang trong [31] đã đưa ra một số điều kiện đủ đối với các bậc của P và Q.
Trong trường số phức, các điều kiện chi tiết hơn khi bậc của P và Q là 2,
3, 4 được xác định bởi C. C. Yang và P. Li ([45]). Với trường hợp trường
số phức, R. M. Avanzi và U. M. Zannier trong [12] đã mô tả đường cong
có dạng P (x) = P (y) có giống ít nhất bằng 1. Khi đa thức P thoả mãn Giả
thiết I của Fujimoto (tức P là đơn ánh trên tập các nghiệm của đạo hàm
của P), các đặc trưng đầy đủ của đường cong P (x) − cP (y) = 0 có tất cả
các thành phần bất khả quy có giống ít nhất bằng 2 được đưa ra trong
[2], [4] và [24], trong đó c là một hằng số phức khác 0. Năm 2008, T. T.
H. An và A. Escassut ([7]) đã xem xét vấn đề này trong trường không
Acsimet. Họ đã đưa ra điều kiện đủ khi P và Q thoả mãn Giả thiết I, và
điều kiện cần và đủ khi P và Q có cùng bậc. Cho đến nay, vấn đề thiết
lập đặc trưng đầy đủ của đường cong không có nhân tử có giống bé hơn
hoặc bằng 1 vẫn đang là vấn đề mở.
Để tiếp cận bài toán nêu trên, người ta thường sử dụng hai phương
pháp chính. Phương pháp thứ nhất là dùng Lý thuyết phân bố giá trị
của R. Nevanlinna để đánh giá hàm đặc trưng. Phương pháp thứ hai là
sử dụng các kết quả cổ điển của Lý thuyết số để nghiên cứu tính bất khả
quy và giống của đường cong P(x) − Q(y). Tuy nhiên cả hai phương pháp
này đều có những mặt hạn chế. Năm 2003, T. T. H. An, J. T. Y. Wang
và P. M. Wong trong [3] đã đưa ra một phương pháp tiếp cận mới, đó là
xây dựng các 1-dạng chính quy không tầm thường. Với phương pháp này,
các tác giả không cần quan tâm đến tính bất khả quy của đường cong,
9
đồng thời việc ước lượng, tính toán cũng đơn giản hơn nhờ vào việc xem

xét các điểm kỳ dị của đường cong đó.
Tiếp tục sử dụng phương pháp nói trên của T. T. H. An, J. T. Y. Wang
và P. M. Wong, trong luận án này, chúng tôi đưa ra một số điều kiện đủ
để đường cong phẳng P (x) = Q(y) không có thành phần bất khả quy có
giống 0 hoặc 1, trong đó P và Q là các đa thức một biến trên trường số
phức. Khi hai đa thức thoả mãn Giả thiết I của Fujimoto và có bậc bằng
nhau, chúng tôi đưa ra điều kiện cần và đủ để đường cong phẳng đó có
thành phần bất khả quy có giống 0 hoặc 1.
Khi k là trường đóng đại số bất kỳ có đặc số 0, C là đường cong trơn
có giống g trên k, và K là trường hàm của nó, chúng tôi đưa ra một số
điều kiện đối với P và Q sao cho nếu f và g là các phần tử của K thoả
mãn phương trình P (f ) = Q(g), thì các độ cao của f và g bị chặn trên. Từ
đó chúng tôi đưa ra điều kiện đối với P, Q để phương trình P (x) = Q(y) có
nghiệm hàm hữu tỷ khác hằng.
7.2. Cấu trúc luận án
Nội dung của luận án được trình bày trong ba chương.
Chương 1, chúng tôi trình bày các khái niệm, tính chất làm kiến thức
cơ sở cho các chương sau, bao gồm bốn mục. Mục 1.1, trình bày về đa
tạp đại số; Mục 1.2, trình bày về cấu xạ giữa các đa tạp; Mục 1.3, trình
bày về đường cong phẳng; Mục 1.4, trình bày về không gian hyperbolic.
Chương 2, chúng tôi nghiên cứu các nhân tử bất khả quy có giống thấp
của đường cong xác định bởi các đa thức biến tách trên trường số phức,
bao gồm năm mục. Mục 2.1, trình bày phương pháp xây dựng các 1-dạng
chính quy kiểu Wronskian; Mục 2.2, trình bày một số bổ đề cần cho việc
chứng minh các kết quả chính trong luận án; Mục 2.3, trình bày một số
điều kiện đủ để mọi thành phần bất khả quy của đường cong P (x) = Q(y)
10
có giống lớn hơn 1; Mục 2.4, trình bày điều kiện cần và đủ để đường cong
P (x) = Q(y) có thành phần bất khả quy có giống 0 hoặc 1; Mục 2.5, trình
bày một số ứng dụng và ví dụ cụ thể về sự tồn tại hoặc không tồn tại

nghiệm hàm phân hình khác hằng của phương trình P(x) = Q(y) với P và
Q là các đa thức một biến trên trường số phức.
Chương 3, chúng tôi trình bày những kết quả về độ cao của các hàm
hữu tỷ thoả mãn phương trình biến tách, bao gồm bốn mục. Mục 3.1,
trình bày một số kết quả bổ trợ cần cho việc chứng minh các kết quả
chính; Mục 3.2, trình bày về chặn trên của độ cao của các hàm hữu tỷ
thoả mãn phương trình biến tách; Mục 3.3, trình bày về phương trình
biến tách P (x) = Q(y) với P, Q thoả mãn Giả thiết I; Mục 3.4, trình bày
điều kiện để phương trình biến tách có nghiệm hàm hữu tỷ khác hằng.
Các kết quả trong luận án đã được báo cáo tại:
• Xemina tổ Đại số, Khoa Toán, Trường Đại học Vinh.
• Hội nghị Toán học phối hợp Việt - Pháp, Huế, 8/2012.
• Xemina nhóm nghiên cứu ở Viện nghiên cứu cao cấp về Toán.
Các kết quả trong luận án đã được đăng ở các tạp chí: International
Journal of Mathematics, Journal of Number Theory, Journal of Science
Vinh university.
11
CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản dùng
trong việc nghiên cứu các bài toán ở các chương sau. Các khái niệm và
tính chất này chủ yếu được tham khảo trong các tài liệu [27], [28], [29],
[32], [33] và [40].
1.1 Đa tạp đại số
1.1.1 Định nghĩa. Cho k là trường tuỳ ý và F (x
1
, x
2
, . . . , x
n

) ∈ k[x
1
, x
2
, . . . , x
n
].
Một điểm P = (a
1
, a
2
, . . . , a
n
) ∈ A
n
(k) được gọi là không điểm của F nếu
F (P ) = F (a
1
, a
2
, . . . , a
n
) = 0.
Nếu F không là hằng, thì tập các không điểm của F được gọi là siêu mặt
xác định bởi F , và được ký hiệu là V (F ). Một siêu mặt trong A
2
(k) được
gọi là một đường cong phẳng. Nếu F là một đa thức bậc 1, thì V (F ) được
gọi là siêu phẳng trong A
n

(k); nếu n = 2 thì V (F ) gọi là đường.
Tổng quát hơn, nếu S là tập các đa thức bất kỳ trong k[x
1
, x
2
, . . . , x
n
],
thì
V (S) = {P ∈ A
n
(k) | F (P ) = 0 với mọi F ∈ S}
gọi là tập đại số trong A
n
(k).
Do hợp của hai tập đại số là một tập đại số, giao của họ tuỳ ý các tập
đại số là một tập đại số, tập rỗng và toàn bộ không gian A
n
(k) là các tập
12
đại số nên ta có thể trang bị một tôpô gọi là tôpô Zariski trên A
n
(k) bằng
cách coi các tập đại số là các tập đóng. Từ đây về sau, các tập đóng và
các tập mở đều được hiểu theo tôpô Zariski.
1.1.2 Định nghĩa. (1) Một tập đại số V ⊂ A
n
(k) được gọi là khả quy nếu
V = V
1

∪ V
2
, trong đó V
1
, V
2
là các tập đại số trong A
n
(k) và V
i
= V, i = 1, 2.
Ngược lại, V được gọi là bất khả quy.
(2) Một tập đại số bất khả quy trong A
n
(k) gọi là một đa tạp afin.
(3) Một tập con mở của một đa tạp afin gọi là đa tạp tựa afin.
1.1.3 Định lý ([27]). Giả sử V là tập đại số trong A
n
(k). Khi đó, tồn tại
duy nhất các tập đại số bất khả quy V
1
, V
2
, . . . , V
m
sao cho V = V
1
∪V
2
∪. . .∪V

m
và V
i
⊂ V
j
với mọi i = j.
Các V
i
được gọi là các thành phần bất khả quy của V ; V = V
1
∪V
2
∪. . .∪V
m
là sự phân tích V thành các thành phần bất khả quy.
1.1.4 Nhận xét. Với bất kỳ tập con X của A
n
(k),
I(X) = {F ∈ k[x
1
, . . . , x
n
] | F(a
1
, . . . , a
n
) = 0 với mọi (a
1
, . . . , a
n

) ∈ X}
là một iđêan của k[x
1
, . . . , x
n
].
1.1.5 Định nghĩa. I(X) được gọi là iđêan của X.
Cho V ⊂ A
n
(k) là một đa tạp afin. Khi đó, I(V ) là một iđêan nguyên
tố trong k[x
1
, . . . , x
n
], vì vậy k[x
1
, . . . , x
n
]/I(V ) là một miền nguyên. Ta gọi
k[x
1
, . . . , x
n
]/I(V ) là vành toạ độ của V , ký hiệu là Γ(V ).
1.1.6 Định nghĩa. (1) Với mỗi tập S không rỗng gồm các đa thức thuần
nhất trong k[x
1
, x
2
, . . . , x

n+1
] thì
V (S) = {P ∈ P
n
(k) | F (P ) = 0 với mọi F ∈ S}
được gọi là tập đại số xạ ảnh trong P
n
(k).
(2) Một tập đại số V ⊂ P
n
(k) được gọi là bất khả quy nếu nó không là
hợp của hai tập đại số bé hơn thực sự.
(3) Một tập đại số bất khả quy trong P
n
(k) được gọi là một đa tạp xạ
ảnh.
(4) Một tập con mở của một đa tạp xạ ảnh gọi là đa tạp tựa xạ ảnh.
13
Ví dụ: đường cong xạ ảnh trong P
2
(k) là tập các không điểm của một
đa thức thuần nhất khác hằng thuộc k[x
1
, x
2
, x
3
].
1.2 Cấu xạ giữa các đa tạp
Cho V = ∅ là một tập điểm tuỳ ý trong A

n
(k). Ta ký hiệu J(V, k) là tập
tất cả các hàm từ V vào k. J(V, k) được trang bị cấu trúc vành theo cách
thông thường: nếu f, g ∈ J(V, k),
(f + g)(x) = f(x) + g(x),
(fg)(x) = f(x)g(x),
với mọi x ∈ V .
1.2.1 Định nghĩa. Cho V ⊂ A
n
(k) là một đa tạp afin, hàm f ∈ J(V, k) được
gọi là hàm đa thức nếu tồn tại một đa thức F (x
1
, . . . , x
n
) ∈ k[x
1
, . . . , x
n
] sao
cho f(a
1
, . . . , a
n
) = F (a
1
, . . . , a
n
) với mọi (a
1
, . . . , a

n
) ∈ V .
Tập các hàm đa thức trên V lập thành một vành con của J(V, k) chứa k.
Ta có F |
V
= G|
V
khi và chỉ khi (F −G)(a
1
, . . . , a
n
) = 0 với mọi (a
1
, . . . , a
n
) ∈ V ,
tức là F − G ∈ I(V ). Vì vậy, ta có thể đồng nhất Γ(V ) với vành con k[V ]
của J(V, k) chứa tất cả các hàm đa thức trên V .
1.2.2 Định nghĩa. Cho V ⊂ A
n
(k), W ⊂ A
m
(k) là các đa tạp afin. Ánh
xạ ϕ : V −→ W được gọi là ánh xạ đa thức nếu tồn tại các đa thức
ϕ
1
, . . . , ϕ
m
∈ k[x
1

, . . . , x
n
] sao cho
ϕ(a
1
, . . . , a
n
) = (ϕ
1
(a
1
, . . . , a
n
), . . . , ϕ
m
(a
1
, . . . , a
n
))
với mọi (a
1
, . . . , a
n
) ∈ V . Ta gọi ϕ
i
là hàm toạ độ thứ i của ϕ.
1.2.3 Nhận xét. (1) ϕ là ánh xạ đa thức nếu ϕ
1
, . . . , ϕ

m
là các hàm đa
thức.
(2) Cho ϕ : V −→ W là ánh xạ tuỳ ý. Khi đó, ϕ cảm sinh một đồng cấu
vành
ϕ : J(W, k) −→ J(V, k),
14
trong đó ϕ(f) = f ◦ϕ. Nếu ϕ là ánh xạ đa thức, thì ϕ(Γ(W)) ⊂ Γ(V ), do đó
ϕ hạn chế thành một đồng cấu từ Γ(W ) vào Γ(V ).
1.2.4 Mệnh đề ([27]). Cho V ⊂ A
n
(k), W ⊂ A
m
(k) là các đa tạp afin. Khi đó
tồn tại phép tương ứng tự nhiên 1 - 1 giữa các ánh xạ đa thức ϕ : V −→ W
và các đồng cấu vành ϕ : Γ(W ) −→ Γ(V ). Mỗi ánh xạ đa thức ϕ như thế là
sự thu hẹp của một ánh xạ đa thức từ A
n
(k) vào A
m
(k).
1.2.5 Định nghĩa. Ánh xạ đa thức ϕ : V −→ W được gọi là đẳng cấu nếu
tồn tại một ánh xạ đa thức ψ : W −→ V sao cho ψ ◦ ϕ = id
V
và ϕ ◦ψ = id
W
.
Từ Mệnh đề 1.2.4 ta thấy hai đa tạp afin đẳng cấu khi và chỉ khi các
vành toạ độ của chúng đẳng cấu.
1.2.6 Định nghĩa. Với mọi tập X trong P

n
(k), ta gọi
I(X) = {F ∈ k[x
1
, . . . , x
n+1
] | F(a
1
, . . . , a
n+1
) = 0 với mọi (a
1
, . . . , a
n+1
) ∈ X}
là iđêan của X.
Cho V là đa tạp xạ ảnh trong P
n
(k). I(V ) là một iđêan nguyên tố, do đó
vành thương Γ
h
(V ) = k[x
1
, . . . , x
n+1
]/I(V ) là một miền nguyên. Γ
h
(V ) được
gọi là vành toạ độ thuần nhất của V . Giả sử k
h

(V ) là trường thương của
Γ
h
(V ); k
h
(V ) được gọi là trường hàm thuần nhất của V .
1.2.7 Định nghĩa. Cho V là đa tạp xạ ảnh trong P
n
(k). Trường hàm của
V , ký hiệu k(V ), là
{z ∈ k
h
(V ) | z =
f
g
với các đa thức thuần nhất f, g ∈ Γ
h
(V ) cùng bậc }.
Các phần tử của k(V ) được gọi là các hàm hữu tỷ trên V .
Cho z ∈ k(V ) là một hàm hữu tỷ trên V và P ∈ V . Ta nói rằng z xác
định tại P nếu z có thể viết được dưới dạng z =
f
g
, trong đó f, g là các đa
thức thuần nhất cùng bậc và g(P ) = 0. Ký hiệu O
P
(V ) = {z ∈ k(V ) | z xác
định tại P }.
Tập hợp các điểm P ∈ V tại đó hàm hữu tỷ z không xác định được gọi
là tập hợp cực điểm của z.

15
Cho X là đa tạp tựa afin hay đa tạp tựa xạ ảnh, U là một tập con mở
khác rỗng của X. Ký hiệu Γ(U, O
X
) là tập các hàm hữu tỷ trên X xác định
tại mỗi P ∈ U:
Γ(U, O
X
) =

P ∈U
O
P
(X).
1.2.8 Định nghĩa. Cho X và Y là các đa tạp tựa afin hay đa tạp tựa xạ
ảnh. Một cấu xạ từ X đến Y là một ánh xạ ϕ : X −→ Y sao cho
(1) ϕ liên tục;
(2) Với mỗi tập mở U của Y , nếu f ∈ Γ(U, O
Y
), thì
ϕ(f) = f ◦ ϕ ∈ Γ(ϕ
−1
(U), O
X
).
1.2.9 Định nghĩa. Cho X ⊂ A
n
(k) và Y ⊂ A
m
(k) là hai đa tạp afin. Hai

cấu xạ f
1
: U
1
−→ Y và f
2
: U
2
−→ Y từ các tập mở không rỗng U
i
, i = 1, 2,
của X vào Y gọi là tương đương nếu các hạn chế của chúng lên U
1
∩ U
2
là
bằng nhau. Một lớp tương đương các cấu xạ như thế được gọi là ánh xạ
hữu tỷ từ X vào Y .
1.2.10 Định nghĩa. Một ánh xạ hữu tỷ F từ X vào Y được gọi là song
hữu tỷ nếu tồn tại các tập mở U ⊂ X, V ⊂ Y và đẳng cấu f : U −→ V đại
diện F . Ta nói rằng X và Y là tương đương song hữu tỷ nếu tồn tại một
ánh xạ song hữu tỷ từ X vào Y .
1.2.11 Định nghĩa. Một đa tạp được gọi là hữu tỷ nếu nó tương đương
song hữu tỷ với A
n
(k) (hoặc P
n
(k)) với n nào đó.
1.3 Đường cong phẳng
Đường cong phẳng C trong A

2
(k) xác định bởi đa thức F (x, y) là
C = {(x, y) ∈ A
2
(k) | F (x, y) = 0}.
Đường cong C là bất khả quy nếu F (x, y) bất khả quy. Bậc của đường
cong là bậc của đa thức xác định đường cong.
16
Giả sử
F =

F
e
i
i
,
trong đó F
i
là các nhân tử bất khả quy của F và e
i
≥ 1. Ta nói rằng các F
i
là các thành phần của F và e
i
là bội của thành phần F
i
. Ta nói F
i
là thành
phần đơn nếu e

i
= 1, và thành phần bội nếu e
i
> 1.
Vì vành đa thức k[x, y] là vành Gauss nên mọi đa thức F(x, y) ∈ k[x, y]
đều có phân tích duy nhất thành nhân tử bất khả quy
F = F
m
1
1
F
m
2
2
. . . F
m
r
r
với F
1
, F
2
, . . . , F
r
là các đa thức bất khả quy phân biệt và m
1
, m
2
, . . . , m
r

là
các số tự nhiên. Ký hiệu
C
i
= {(x, y) ∈ A
2
(k) | F
i
(x, y) = 0}, i = 1, 2, . . . , r,
khi đó C
i
, i = 1, 2, . . . , r, là các thành phần bất khả quy của C và C có sự
phân tích thành các thành phần bất khả quy
C = C
1
∪ C
2
∪ . . . ∪C
r
.
Giả sử F (x, y) là đa thức bậc n của vành đa thức k[x, y]. Đặt

F (x, y, z) := z
n
F (
x
z
,
y
z

).
Khi đó,

F (x, y, z) là đa thức thuần nhất bậc n thuộc k[x, y, z] và được gọi
là sự thuần nhất hoá của đa thức F (x, y). Ta gọi đường cong

C := {(x : y : z) ∈ P
2
(k) |

F (x, y, z) = 0}
là đường cong xạ ảnh tương ứng của đường cong C. Ta nhận thấy rằng
(x, y) ∈ C khi và chỉ khi (x, y, 1) ∈

C, C bất khả quy khi và chỉ khi

C bất
khả quy. Nếu C có sự phân tích thành các thành phần bất khả quy
C = C
1
∪ C
2
∪ . . . ∪C
r
17
thì

C cũng có sự phân tích thành các thành phần bất khả quy tương ứng

C =


C
1
∪

C
2
∪ . . . ∪

C
r
.
1.3.1 Định nghĩa. Cho đường cong phẳng C trong A
2
(k) xác định bởi
F (x, y) = 0, P = (a, b) ∈ C. P được gọi là điểm đơn của C nếu
∂F
∂x
(P ) = 0
hoặc
∂F
∂y
(P ) = 0. Trong trường hợp này đường
∂F
∂x




P

(x − a) +
∂F
∂y




P
(y − b) = 0
được gọi là đường tiếp tuyến với C tại P. Một điểm không phải là điểm
đơn thì được gọi là điểm kỳ dị. Đường cong được gọi là trơn nếu mọi điểm
của nó là điểm đơn.
1.3.2 Định nghĩa. Cho đường cong phẳng C trong A
2
(k) xác định bởi
F (x, y) = 0, P = (0, 0). Ta viết
F = F
m
+ F
m+1
+ . . . + F
n
trong đó F
i
là đa thức thuần nhất bậc i trong k[x, y], F
m
= 0. Ta gọi m là
số bội của C tại P = (0, 0), và viết m = m
P
(F ) = m

P
(C). Lưu ý rằng P ∈ C
khi và chỉ khi m
P
(F ) > 0.
Vì F
m
là đa thức thuần nhất hai biến trên trường đóng đại số nên ta
có thể viết F
m
=

L
r
i
i
trong đó L
i
là các nhân tử tuyến tính. Các L
i
được
gọi là các đường tiếp tuyến của C tại P = (0, 0), r
i
gọi là số bội của tiếp
tuyến. L
i
gọi là tiếp tuyến đơn (tương ứng kép, ) nếu r
i
= 1 (tương ứng
2, ).

Nếu C có m tiếp tuyến đơn phân biệt tại P thì ta nói rằng P là điểm
kỳ dị chính tắc của C.
Giả sử F =

F
e
i
i
là phân tích F thành thành phần bất khả quy. Khi
đó m
P
(F ) =

e
i
m
P
(F
i
); và nếu L là đường tiếp tuyến của F
i
với số bội r
i
thì L là tiếp tuyến của F với số bội

e
i
r
i
.

1.3.3 Chú ý. Để mở rộng các định nghĩa này cho điểm P = (a, b) = (0, 0),
ta thực hiện phép tịnh tiến T (x, y) = (x + a, y + b) biến (0, 0) thành P . Khi
đó F
T
= F (x + a, y + b). Ta định nghĩa m
P
(F ) chính là m
(0,0)
(F
T
).
18
1.4 Không gian Hyperbolic
Mục này dành cho việc trình bày các khái niệm và một số kết quả về
không gian hyperbolic.
1.4.1 Định nghĩa. Giả sử D = D(0, 1) là đĩa đơn vị trong C. Khoảng cách
hyperbolic giữa hai điểm a, b ∈ D được xác định bởi hệ thức:
d
hyp
(a, b) :=
1
2
log
1 +



b − a
1 − ¯ab




1 −



b − a
1 − ¯ab



.
Cho X là không gian con phức liên thông, x, y ∈ X. Xét dãy các hàm
chỉnh hình
f
i
: D −→ X, i = 1, 2, . . . , m
và các điểm p
i
, q
i
∈ D sao cho
f
1
(p
1
) = x, f
m
(q
m

) = y, f
i
(q
i
) = f
i+1
(p
i+1
), i = 1, 2, . . . , m −1.
Khi đó, ta nói rằng x được nối với y bởi chuỗi các đĩa Kobayashi. Đặt
d
Kob,X
(x, y) = d
X
(x, y) := inf
m

i=1
d
hyp
(p
i
, q
i
),
trong đó, cực tiểu lấy với mọi cách chọn f
i
, p
i
, q

i
. Nếu X liên thông thì luôn
tồn tại chuỗi các đĩa Kobayashi nối x với y, nên d
X
(x, y) luôn hữu hạn. Vì
vậy d
X
(x, y) xác định một nửa khoảng cách trên X (d
X
≥ 0, đối xứng và
thoả mãn bất đẳng thức tam giác) và gọi là giả khoảng cách Kobayashi
của hai điểm x, y ∈ X. Nếu X là không gian không liên thông, ta định
nghĩa d
X
(x, y) = ∞ nếu x, y thuộc hai thành phần liên thông khác nhau.
1.4.2 Định nghĩa. Không gian X được gọi là hyperbolic Kobayashi nếu
giả khoảng cách Kobayashi d
X
là khoảng cách, tức là với mọi x, y ∈
X, d
X
(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y.
19
1.4.3 Định nghĩa. Ánh xạ chỉnh hình là ánh xạ được xác định bởi
f = (f
1
, f
2
, . . . , f
n+1

) : k −→ P
n
(k)
f(z) = (f
1
(z), f
2
(z), . . . , f
n+1
(z))
trong đó f
i
, i = 1, 2, . . . , n + 1, là các hàm nguyên không có không điểm
chung trên k.
1.4.4 Định nghĩa. Không gian X được gọi là hyperbolic Brody nếu mọi
ánh xạ chỉnh hình từ C vào X ⊂ P
n
(C) là ánh xạ hằng.
1.4.5 Định lý ([32]). Mọi không gian hyperbolic Kobayashi là không gian
hyperbolic Brody.
1.4.6 Định lý ([32]). Cho X là đa tạp compact phức. Khi đó, X là hyper-
bolic Kobayashi khi và chỉ khi X là hyperbolic Brody.
Kết luận Chương 1
Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản cần cho các chương sau:
• Đa tạp đại số
• Cấu xạ giữa các đa tạp
• Đường cong phẳng
• Không gian hyperbolic