Chương II vật lý lò phản ứng hạt nhân

Chương 2. QUÁ TRÌNH KHUẾCH TÁN NƠTRON
2.1 Phương trình đơn năng Boltzman
Đầu tiên chúng ta xem xét phương trình khuếch tán nơtron một cách tổng
quan nhất, sau đó xét đến phương trình khuếch tán đơn giản hơn nhờ vào một số
phép gần đúng. Giả sử rằng tất cả các nơtron có cùng một tốc độ. Phương trình
động học hay phương trình vận chuyển nơtron sẽ miêu tả mật độ nơtron theo vị trí
và chiều chuyển động của chúng trong lò phản ứng hạt nhân. Phương trình này
miêu tả đúng đắn trạng thái của mật độ thông lượng nơtron, đặc biệt là ở biên của
lò phản ứng nơi có sự bất đẳng hướng. Thật vậy, các nơtron đi ra khỏi lò ít khả
năng quay trở lại và mật độ nơtron khuếch tán ra ngoài lò lớn hơn mật độ nơtron
khuếch tán vào trong lò. Tương tự, phương trình vận chuyển nơtron có khả năng
miêu tả đúng đắn sự khuếch tán nơtron trong các môi trường có hấp thụ mạnh
nơtron. Phương trình khuếch tán nơtron đơn giản (hệ quả của định luật Fick)
không cho kết quả thoả mãn ở biên lò phản ứng hay trong các môi trường hấp thụ
mạnh nơtron. Do đó, phương trình khuếch tán đơn giản chỉ có thể được sử dụng
thành công nếu có một vài thay đổi. Sự đúng đắn của những thay đổi như vậy cần
phải xuất phát từ phương trình vận chuyển nơtron. Để đơn giản trong tính toán,
chúng ta chỉ xem xét các nơtron có cùng tốc độ (đơn năng) và sự thay đổi của mật
độ thông lượng nơtron theo trục oz.
Cho N(z,θ,φ) là số nơtron trong một đơn vị thể tích và trong một đơn vị góc
khối; chiều chuyển động của các nơtron ở trong khoảng góc dθ của θ và dφ của φ
(Hình 2.1).
Như vậy, N(z,θ,φ)dΩ là số nơtron thuộc yếu tố góc khối dΩ = sinθ.dθ.dφ
(ký hiệu Ω bao gồm cả hai toạ độ θ và φ). Do đó:

vzNz ).,(),( Ω=Ω
φ
ϕ
θ
x
y

z
φ
z+dz
d Ω
φ
z
d Ω
dV
Hình 2.1 Sơ đồ hình học đối với phương trình động học
biểu thị mật độ thông lượng nơtron trong đơn vị góc khối, và

∫
ΩΩ= dzz ),()(
φφ
(2.1)
Trong trường hợp khuếch tán là đẳng hướng:
π
4
n
N =
và
π
φ
4
nv
=
; từ (2.1)
người ta thu được biểu thức
)(z
φ

trùng với biểu thức của mật độ thông lượng
nơtron trong chương 1:

∫ ∫
==
π π
ϕθθ
π
φ
0
2
0
sin
4
)( nvdd
nv
z
Để rút ra phương trình vận chuyển nơtron, ta xem xét sự cân bằng nơtron
theo chiều Ω đã cho, trong một yếu tố thể tích dV. Sự cân bằng này có thể được
viết dưới dạng:
L + A + R = Q + R’ (2.2)
trong đó, ý nghĩa của các số hạng là như sau:
+ L là số nơtron khuếch tán trong dV và sau khi khuếch tán vẫn giữ nguyên chiều
chuyển động Ω.
+ A là số nơtron có chiều chuyển động Ω nhưng bị hấp thụ trong dV.
+ R là số nơtron với chiều chuyển động Ω bị tán xạ trong dV, và sau khi tán xạ các
nơtron thay đổi chiều chuyển động.
+ Q là cường độ nơtron có chiều chuyển động Ω, được sinh ra từ các nguồn điểm
trong dV (trong lò phản ứng hạt nhân, nguồn nơtron nhiệt được tạo thành từ quá
trình làm chậm của các nơtron nhanh).

R’ là số nơtron bị tán xạ trong dV; trước khi tán xạ có chiều chuyển động Ω’
(θ’,φ’), còn sau khi tán xạ có chiều chuyển động Ω.
Chúng ta viết chi tiết hơn cho các số hạng ở trên. Ta nhận thấy rằng dòng
nơtron chuyển động theo chiều dương của trục oz và giữ nguyên chiều chuyển
động đó khi đi qua dV trong thời gian 1 giây bằng với hiệu của các số nơtron đi
qua các yếu tố mặt phẳng dxdy hai độ cao z và z+dz. Như vậy, số nơtron chuyển
động theo chiều dương của trục oz, tạo thành góc θ với trục oz, và đi qua mặt dxdy
trong thời gian một giây là
θφ
cosdxdyd
z
Ω
; ở đây, thừa số cosθ chỉ ra rằng các
nơtron chuyển động theo hướng không vuông góc với mặt phẳng dxdy, chỉ số z là
điểm đo. Số nơtron đi ra khỏi yếu tố thể tích dV và giữ nguyên chiều chuyển động
trong góc khối dΩ là
θφ
cosdxdyd
dxz
Ω
+
. Hiệu của hai đại lượng này chính là dòng
nơtron chuyển động trong góc khối Ω, trong thể tích dV, và trong thời gian 1s:
θ
φ
θ
φ
θφφ
coscos)(cos)( Ω
∂

∂
=Ω
∂
∂
=Ω−=
+
dVd
z
dxdyddz
z
dxdydL
zdzz
(2.3)
Số nơtron bị hấp thụ trong dV trong thời gian 1s là:

dVdA
a
ΩΣ=
φ
(2.4)
Số nơtron trong góc khối dΩ bị tán xạ trong dV trong thời gian 1s và sau
khi tán xạ chúng thay đổi chiều chuyển động được xác định bởi biểu thức:

dVdR
s
ΩΣ=
φ
(2.5)
Nếu ký hiệu q(z) là số nơtron sinh ra từ nguồn nơtron trong đơn vị thể tích
trong thời gian 1s trong một đơn vị góc khối thì số hạng thứ nhất ở vế phải của

biểu thức (2.2) được viết thành:
Q = qdVdΩ (2.6)
Số hạng sau cùng của phương trình (2.2) miêu tả các nơtron sau khi tán xạ
chúng chuyển động trong góc khối dΩ, chuyển động của chúng trước khi tán xạ ở
trong góc khối dΩ’. Mật độ thông lượng nơtron có chiều chuyển động trong góc
khối dΩ’ là
')',( ΩΩ dz
φ
, còn số nơtron chuyển động trong góc khối dΩ sau khi bị
tán xạ là:

,)(')',()(')',(
00
dVNdzdVdz
ss
µσφµφ
ΩΩ=ΣΩΩ
(2.7)
trong đó, N biểu thị mật độ hạt nhân môi trường, còn
)(
0
µσ
s
là tiết diện vi mô
phân hạch ở góc α được xác định từ cosα = μ
0
và cosα =
'ΩΩ

=cosθcosθ’ +

sinθsinθ’cos(φ – φ’). Ở đây,
Ω

và
'Ω

là các vectơ chỉ hướng (θ,φ) và (θ’,φ’). Sự
đóng góp vào R’ của các nơtron trước khi tán xạ chúng có tất cả các hướng chuyển
động khả dĩ, còn sau khi tán xạ chúng có chiều chuyển động trong góc khối dΩ,
được xác định từ việc lấy tích phân theo θ’ và φ’ (nghĩa là theo Ω’) cho biểu thức
(2.7):

)(')',('
0
dVdNdzR
S
ΩΩΩ=
∫
µσφ
(2.7’)
Chú ý rằng cosθ’ = μ’ thì sinθ’dθ’ = - dμ’; và khi θ thay đổi từ 0 đến π, tích
phân theo μ’ được lấy từ 1 đến -1. Số hạng R’ trong (2.7’) sẽ trở thành:

=ΩΩ−=ΩΩ=
∫ ∫ ∫∫
−
+
dVdddNzVddNddzR
SS
π ππ

ϕµµσφµσϕθθφ
0
1
1
2
0
0
2
0
0
'')()',()('''sin)',('

.'')()',(
1
1
0
2
0
dVdddNz
S
∫ ∫
−
ΩΩ=
ϕµµσφ
π
(2.7’’)
Khi sử dụng các biểu thức (2.3) – (2.7’’), phương trình (2.2) sẽ có dạng đơn
giản theo dΩ và dV như sau:

∫ ∫

−
Ω+=Σ+Σ+
∂
∂
1
1
0
2
0
'.')()',(cos
ϕµµσφφφθ
φ
π
ddNzq
z
SSa
Nếu nhóm các đại lượng Σ
a
và Σ
s
lại (Σ = Σ
a
+ Σ
s
), chúng ta thu được
phương trình vận chuyển nơtron đơn năng và một chiều của Boltzman:

∫ ∫
−
Ω+=Σ+

∂
∂
1
1
2
0
0
'.')()',(
π
ϕµµσφφ
φ
µ
ddNzq
z
S
(2.8)
Cuối cùng chúng ta có thể giải phương trình (2.8) bằng cách sử dụng các
phép gần đúng để được phương trình khuếch tán đơn giản đối với các nơtron.
2.2 Phép gần đúng khuếch tán nơtron
Chúng ta giải phương trình (2.8) nhờ vào phương pháp hàm điều hoà cầu.
Muốn vậy, chúng ta giả sử rằng mật độ thông lượng nơtron
),(),(
µφφ
zz =Ω
có thể
được viết dưới dạng chuỗi các hàm mũ vô hạn theo μ với các hệ số phụ thuộc vào
z. Việc khai triển hàm được thực hiện theo đa thức Legendre P
ℓ
(μ). Các số hạng
đầu tiên của đa thức thức Legendre được cho trong bảng 2.1.

Bảng 2.1 Các số hạng đầu tiên của đa thức Legendre
ℓ P
ℓ
(μ)
0
1
2
3
1
μ
)13(
2
1
2
−
µ
)35(
2
1
3
µµ
−
Khi đó, mật độ thông lượng nơtron phụ thuộc góc sẽ được viết dưới dạng:
[ ]
)()(
4
12
)()(5)()(3)()(
4
1

),(
0
221100
µφ
π
µφµφµφ
π
µφ



PzPzPzPzz
∑
∞
=
+
=+++=
(2.9)
Hệ số khai triển
)(z

φ
được xác định khi sử dụng các tính chất của đa
thức Legendre:

(2.10)
Khi nhân cả hai vế của phương trình (2.9) với P
ℓ’
(μ) và lấy tích phân theo μ,
ta nhận thấy rằng ở vế phải tất cả các số hạng đều bằng không, ngoại trừ số hạng

mà ở đó ℓ’ = ℓ. Do đó, biểu thức cuối cùng thu được sẽ là:

∫
−
=
1
1
)(),(2)(
µµµφπφ
dPzz

(2.11)
Từ biểu thức (2.11), người ta có thể thấy rõ ý nghĩa của hai hệ số đầu tiên
của các hệ số

φ
.
Khi ℓ = 0, ta có:

∫
+
−
=
1
1
0
,),(2)(
µµφπφ
dzz
(2.12)

trùng với (2.1), nghĩa là miêu tả mật độ vô hướng thông lượng nơtron hay mật độ
toàn phần thông lượng nơtron độc lập với sự chuyển động của chúng.
Đối với ℓ = 1, ta có:

z
JJJdosczdzz =−===
−+
+
− −
∫ ∫
)(cos),(2),(2)(
1
1
1
1
1
θθµφπµµµφπφ
(2.13)
Vế phải của phương trình (2.13) là bằng với hiệu số của các số nơtron đi
qua diện tích 1 cm
2
trong thời gian 1s theo các chiều dương và chiều âm của trục
oz; và đó cũng chính là mật độ dòng (chính xác) nơtron
).(
1
zJ
z
φ
=
Để giải phương trình vận chuyển nơtron, chúng ta khai triển tiết diện vi mô

tán xạ
)(
0
µσ
S
thành chuỗi đa thức Legendre:

∑
∞
=
+
=
0
00
)(
4
12
)(



ss
P
σµ
π
µσ
(2.14)
12
2
+


=
∫
+
−
µµµ
dPP )()(
1
1
'


0
, đối với

=
'

≠
'
, đối với
trong đó, σ
sℓ
là một vài hệ số hằng số được suy ra từ phương trình tương tự với
(2.11):

∫
−
=
1

1
000
)()(2
µµµσπσ
dP
ss 
(2.15)
Hệ số đầu tiên (ℓ = 0) là:

∫
−
≡=
1
1
000
)(2
sss
d
σµµσπσ
(2.16)
miêu tả tiết diện vi mô khuếch tán nơtron.
Số hạng thứ hai (ℓ = 1) của (2.14) là:

∫ ∫
− −
===
1
1
1
1

00000001
.)(2)(2
ssss
dd
σµµµσµπµµµσπσ
(2.17)
trong đó,
αµ
cos
0
=
là cosin trung bình của góc khuếch tán.
Các hệ số σ
s2
, σ
s3
,… là rất nhỏ và có thể được bỏ qua.
Để thu được phương trình khuếch tán nơtron, ta có một số giả thiết sau đây:
(1) Mật độ thông lượng nơtron phụ thuộc yếu vào góc, nghĩa là gần như đẳng
hướng trong quá trình khuếch tán.
(2) Môi trường gồm những chất hấp thụ yếu (σ
a
<< σ
s
).
Khi sử dụng giả thiết (1), chúng ta chỉ giữ lại hai số hạng đầu tiên trong biểu
thức (2.9):

µ
π

φ
π
φ
µφ
4
3
4
),(
1
0
+=z
(2.18)
Khi thay biểu thức (2.18) vào (2.8), sau đó toàn bộ nhân với P
0
(μ)dμdφ và lấy
tích phân theo μ từ -1 đến +1 và theo φ từ 0 đến 2π, ta có:

++
∫ ∫∫ ∫
−−
ϕµµ
φ
π
µ
ϕµµ
φ
π
µ
ππ
ddP

dz
d
ddP
dz
d
1
1
0
1
2
2
0
1
1
2
0
0
0
)(
4
3
)(
4
∫ ∫ ∫ ∫∫∫
− −
+=Σ+Σ+
1
0
1
1

1
1
2
0
0
2
0
01
2
0
0
0
)()(
4
3
)(
4
ϕµµϕµµφ
π
µ
ϕµµ
π
φ
πππ
ddqPddPddP

∫ ∫ ∫∫
− −
+
1

1
1
1
2
0
0
2
0
0
'.')()',()(
ϕµµσµφϕµµ
ππ
ddNzddP
s
(2.19)
Từ bảng 2.1 ta thấy rằng P
0
(μ) = 1, do đó:

∫ ∫
−
=
1
1
2
0
0
0
4
1

ϕµµ
φ
π
π
dd
dz
d

∫ ∫
−
=
1
1
1
2
0
2
1
4
3
dz
d
dd
dz
d
φ
ϕµµ
φ
π
π

∫ ∫
−
Σ=
Σ
1
1
0
2
0
0
4
φϕµφ
π
π
dd
(2.20)

∫ ∫
−
=
Σ
1
1
2
0
1
0
4
3

ϕµµφ
π
π
dd

∫ ∫
−
=
1
1
2
0
.Sdqd
ϕµ
π
trong đó, S là tổng số nơtron sinh ra từ nguồn trong một đơn vị thể tích trong một
đơn vị thời gian. Trong nhiều trường hợp, sự sinh ra của các nơtron từ các nguồn
thường là đẳng hướng và S = 4πq.
Số hạng cuối cùng từ (2.19) được xác định khi sử định lý sau đây từ lý
thuyết đa thức Legendre:

∫ ∫∫ ∫
−−
=
1
1
2
0
0
1

1
2
0
)('')()',()( zddzddP
ss 
φσϕµµσµφϕµµ
ππ
(2.21)
Đối với ℓ = 0, biểu thức này dẫn đến
)()(
000
zz
ss
φσφσ
=
Kết hợp (2.20) và (2.21), ta được:

00
1
φσφ
φ
s
NS
dz
d
+=Σ+
hay:

0)(
0

1
=−−+ SN
dz
d
s
φσσ
φ
(2.22)
Nếu thay thế (2.18) vào (2.8) và nhân với P
1
(μ)dμdφ = μdμdφ; sau khi lấy
tích phân ta được:

111
0
3
1
φσφ
φ
s
N
dz
d
=Σ+
(2.23)
Ở đây, ta đã coi nguồn nơtron là đẳng hướng, giả thuyết này dẫn đến
∫ ∫
−
=
1

1
2
0
.0
ϕµµ
π
ddq
Sau khi thực hiện phép đạo hàm biểu thức (2.23), ta được:

.0)(
3
1
1
1
2
0
2
=−+
dz
d
N
dz
d
s
φ
σσ
φ
Nếu thay thế
dz
d

1
φ
từ biểu thức (2.22), ta có phương trình chỉ chứa
0
φ
:

[ ]
.0)()(
3
1
01
2
0
2
=−−−+
φσσσσ
φ
ss
NSN
dz
d
Khi sử dụng giả thuyết thứ hai (2), trong đó
s
σσ
≈
, phương trình trên trở
thành:

.0))(1(

3
1
00
2
0
2
=−−+
φσµσ
φ
as
NSN
dz
d
ở đây, theo giả thiết ở trên, ta đã đặt σ – σ
s1
≈ (1 -
0
µ
) σ
s
. Đại lượng
ts
σµσ
=− )1(
0

được định nghĩa là tiết diện vi mô vận chuyển nơtron. Tiết diện vĩ mô tương ứng
sẽ là
).1(
0

µ
−Σ=Σ
st
Do đó, ta có thể viết dạng cuối cùng của phương trình
khuếch tán nơtron như sau:

,0
3
0
2
0
2
=+Σ− S
dz
d
a
t
φ
φλ
(2.24)
ở đây,
t
t
Σ
=
1
λ
là độ dài dịch chuyển nơtron, một đại lượng liên quan đến bất đẳng
hướng của quá trình tán xạ nơtron trong hệ toạ độ phòng thí nghiệm.
Phương trình khuếch tán nơtron có thể thu được trực tiếp từ định luật Fick;

định luật này được rút ra từ giả thiết rằng sự khuếch tán nơtron là đẳng hướng và
sự hấp thụ nơtron là rất yếu. Sự cân bằng nơtron trong yếu tố thể tích dV được
biểu thị như sau:
L + A = Q. (2.25)
Trong phương trình (2.25), ta nhận thấy không xuất hiện các số hạng R và
R’ liên quan đến sự thay đổi chiều chuyển động của nơtron. Số hạng vận chuyển
nơtron được rút ra trực tiếp từ định luật Fick:

dV
dz
d
dxdydz
dz
dJ
dxdyJJL
s
zdzz
2
2
3
)()(
φ
λ
−==−=
+
trong đó,
φ
là mật độ thông lượng toàn phần (vô hướng) bằng với
0
φ

trong (2.24).
Số hạng hấp thụ nơtron là
dVA
a
φ
Σ=
, còn số hạng Q = SdV. Phương trình (2.25)
có dạng:

SdVdVdV
dz
d
a
s
=Σ+−
φ
φ
λ
2
2
3
hay

.0
3
2
2
=+Σ− S
dz
d

a
s
φ
φ
λ
(2.26)
Hệ số đứng trước đạo hàm bậc hai của mật độ thông lượng nơtron
2
2
dz
d
φ

trong các phương trình (2.24) và (2.26) được ký hiệu bằng D và được gọi là hệ số
khuếch tán của môi trường khuếch tán nơtron. Sự khác nhau giữa các phương trình
(2.24) và (2.26) là giá trị khác nhau của hệ số khuếch tán; trong trường hợp thứ
nhất
3
t
D
λ
=
, còn trong trường hợp thứ hai
3
s
D
λ
=
. Giá trị của D thích hợp với
thực tế là trường hợp thứ nhất (2.24) vì nó chú ý đến sự bất đẳng hướng của

khuếch tán nơtron trong hệ toạ độ phòng thí nghiệm. Từ đây về sau, chúng ta sẽ sử
dụng biểu thức hệ số khuếch tán được rút ra từ phương trình (2.24).
Phương trình (2.24) có thể được tổng quát hoá cho tất cả các mặt phẳng của
yếu tố thể tích dV:
2
0
2
3
dx
d
t
φλ
và
2
0
2
3
dy
d
t
φλ
; do đó ta có:

0
3
0
2
0
2
2

0
2
2
0
2
=+Σ−








++ S
dz
d
dy
d
dx
d
a
t
φ
φφφλ
hay được viết dưới dạng thu gọn:

0
2
=+Σ−∇ SD

a
φφ
(2.27)
trong đó,
2
∇
là toán tử Laplace. Nếu mật độ thông lượng nơtron không là tĩnh, mà
thay đổi theo thời gian, phương trình khuếch tán tương ứng sẽ là:

tv
SD
a
∂
∂
=+Σ−∇
φ
φφ
1
2
(2.28)
Phương trình (2.27) hay (2.28) được sử dụng rộng rãi trong lý thuyết lò
phản ứng hạt nhân chỉ có giá trị trong trường hợp khi chúng ta có thể coi các
nơtron là đơn năng và được xét ở một khoảng cách xa biên lò phản ứng lớn hơn 2
hay 3 độ dài dịch chuyển nơtron.
2.3 Các điều kiện giới hạn
Để giải phương trình khuếch tán nơtron, người ta sử dụng các điều kiện
giới hạn sau đây:
(1) Mật độ thông lượng nơtron cần phải hữu hạn và dương trong vùng mà ở đó
phương trình khuếch tán được áp dụng.
(2) Ở biên phân cách giữa hai môi trường A và B có các đặc tính khuếch tán

khác nhau, các mật độ dòng nơtron dọc theo pháp tuyến tại biên phân cách
giữa hai môi là như nhau, tức là:
J
A+
= J
B+
J
A-
= J
B-
Khi chú ý tới biểu thức mật độ dòng nơtron và đường pháp tuyến tại mặt
phân cách song song với trục ox, ta thu được:

dx
dD
dx
dD
BBBAAA
φφφφ
2424
−=−


dx
dD
dx
dD
BBBAAA
φφφφ
2424

+=+
Khi lấy phương trình thứ hai trừ phương trình thứ nhất theo các vế của
phương trình tương ứng, ta được điều kiện cân bằng dòng nơtron:

dx
d
D
dx
d
D
B
B
A
A
φφ
−=−
hay
)()( BJAJ
xx
=
(2.29)
Khi cộng hai các vế tương ứng của hai phương trình ta được điều kiện cân
bằng của mật độ thông lượng nơtron:

BA
φφ
=
(2.30)
A B
x

Hình 2.2 Hai môi trường A và B
Các điều kiện (2.29) và (2.30) được áp dụng tại biên phân cách giữa hai
môi trường.
(3) Mật độ thông lượng nơtron không bằng không tại biên của môi trường
khuếch tán, mà bằng không ở một khoảng cách lớn hơn kể từ biên; khoảng
cách đó được gọi là độ dài ngoại suy.
Giả sử ta có một môi trường khuếch tán nơtron tiếp giáp với môi trường
chân không, được chỉ ra trên hình 2.3.
Để xác định độ dài ngoại suy, chúng ta cần thấy một thực tế rằng trong môi
trường chân không các nơtron không thể khuếch tán, do đó dòng nơtron đi vào
môi trường khuếch tán là bằng không. Như trên Hình 2.3, trục ox là vuông góc với
biên phân cách nên dòng nơtron có chiều –x là bằng không:

0
24
=+=
−
dx
dD
J
x
φφ
(2.31)
Từ Hình 2.3 ta nhận thấy độ dài ngoại suy
α
φ
tg
d =
, nhưng
dx

d
tg
φ
α
−=
và nếu kết
hợp với biểu thức (2.31) ta có
D
tg
2
φ
α
−=
; Do đó độ dài ngoại suy sẽ bằng:

t
d
λ
3
2
=
(2.32)
Kết quả về độ dài ngoại suy được xác định nhờ việc áp dụng lý thuyết
khuếch tán, nhưng lý thuyết này lại không miêu tả đúng quá trình khuếch tán
nơtron tại biên phân cách môi trường. Một sự gần đúng cho độ dài ngoại suy được
xác định phức tạp hơn nhờ vào phương trình vận chuyển nơtron. Trong trường hợp
đó, độ dài ngoại suy được xác định theo biểu thức sau:
Hình 2.3 Độ dài ngoại suy tại mặt phân
cách với chân không
Khuếch

tán

Chân
không
x
φ
d
0
α
d = 0,71 λ
t
(2.32’)
Trong thực tế tính toán, người ta thường sử dụng giá trị này cho độ dài
ngoại suy.
2.4 Giải phương trình khuếch tán nơtron
2.4.1 Nguồn phẳng
Giả sử có một nguồn phẳng vô hạn ở trong một môi trường đồng nhất vô
hạn. Mỗi một cm
2
của nguồn phóng ra Q nơtron trong một giây theo tất cả các
chiều hướng. Chúng ta lựa chọn một hệ toạ độ sao cho mặt phẳng nguồn trùng với
măt phẳng yoz (Hình 2.4).
Do các điều kiện đối xứng, mật độ thông lượng nơtron không phụ thuộc
vào các toạ độ y và z. Chúng ta giải phương trình (2.27) đối với x > 0:

0
2
2
=Σ−
φ

φ
a
dx
d
D
(2.33)
Ở đây, ta thấy số hạng S trong biểu thức (2.27) không còn, tức là trong môi
trường khuếch tán không có các nguồn nơtron, ngoại trừ tại mặt phẳng yoz. Do đó,
nghiệm của phương trình có giá trị trong tất cả các điểm của nửa không gian với x
> 0, ngoại trừ các điểm trong mặt phẳng yoz. Nếu chúng ta viết phương trình
(2.33) dưới dạng:

,0
2
2
2
=−
φχ
φ
dx
d
với
D
a
Σ
=
χ
và nghiệm của phương trình sẽ là:
0 x
Nguồn phẳng

φ
Hình 2.4 Mật độ thông lượng nơtron từ
nguồn phẳng trong môi trường vô hạn

xx
BeAex
χχ
φ
−
+=
)(
Các hằng số A và B được xác định từ các điều kiện giới hạn. Nếu A ≠ 0,
mật độ thông lượng nơtron trở thành vô cùng khi x ∞. Do đó, A = 0 vì nếu
không thì điều kiện giới hạn đầu tiên yêu cầu mật độ thông lượng nơtron phải hữu
hạn không được thoả mãn. Nghiệm của phương trình trở thành:

x
Bex
χ
φ
−
=
)(
(2.34)
Hằng số B được xác định khi sử dụng một điều kiện giới hạn đặc biệt, gọi
là điều kiện giới hạn nguồn. Khi x 0, mật độ dòng nơtron cần phải tiến đến
Q/2, vì nửa số nơtron phát ra từ 1 cm
2
nguồn sẽ chuyển động theo chiều dương của
trục ox, nửa số nơtron còn lại sẽ chuyển động theo chiều âm của trục ox. Mật độ

dòng nơtron sẽ là:

x
eDB
dx
d
DJ
χ
χ
φ
−
=−=
.

và

DB
Q
xJ
x
χ
==
→
2
)(lim
0
(2.35)
Từ đó,
D
Q

B
χ
2
=
và nghiệm cần tìm sẽ là:

x
e
D
Q
x
χ
χ
φ
−
=
2
)(
(2.36)
Hình 2.4 miêu tả sự thay đổi của mật độ thông lượng nơtron theo khoảng
cách xa từ nguồn.
2.4.2 Nguồn điểm
Chúng ta sẽ xác định phân bố mật độ thông lượng nơtron sinh ra từ một
nguồn điểm trong môi trường đồng nhất vô hạn (Hình 2.5).
Cách giải thứ nhất cho bài toán: Giải phương trình khuếch tán nơtron trong
toạ độ cầu để tìm ra nghiệm tổng quan và sau đó áp dụng các điều kiện giới hạn,
tương tự như bài toán nguồn phẳng nơtron ở trên. Cách giải thứ hai cho bài toán
là sử dụng mối quan hệ đơn giản giữa mật độ thông lượng nơtron sinh ra từ nguồn
phẳng và mật độ thông lượng nơtron từ nguồn điểm; cả hai nguồn nơtron đó đều ở
trong môi trường vô hạn.

Chúng ta xét một nguồn điểm nơtron với công suất Q nơtron/giây, nằm tại
gốc của hệ toạ độ. Nếu ta bao quanh nguồn điểm nơtron này một hình cầu bán
kính r thì mật độ thông lượng nơtron tại các điểm trên mặt quả cầu là như nhau.
Một trong các điểm của quả cầu này nằm trên trục ox, điểm P có hoành độ là x = r.
Ký hiệu ф
đm
(r) là mật độ nơtron ở khoảng cách r, sinh ra từ nguồn điểm. Nguồn
phẳng vô hạn nơtron được tạo thành từ toàn bộ mặt phẳng yoz, với công suất Q
nơtron/cm
2
/s. Mật độ thông lượng nơtron sinh ra từ nguồn phẳng vô hạn là bằng
nhau trong tất cả các điểm của mặt phẳng vuông góc với trục ox. Chúng ta ký hiệu
ф
mat
(x) là mật độ thông lượng nơtron như vậy.
Chúng ta sẽ chứng minh một định lý như sau:


rx
matdm
x
dx
d
r
r
=







−=
)(
2
1
)(
φ
π
φ
.
Để đạt được mục đích này, chúng ta sẽ vẽ trên mặt phẳng yoz hai vòng tròn
đồng tâm O, bán kính của chúng là ρ và ρ + dρ, đồng thời ta xét yếu tố diện tích
ρdρdθ. Yếu tố diện tích này nằm trên nguồn phẳng và phóng ra Qρdρdθ nơtron
trong một giây và nó tương tự như một nguồn điểm nằm ở khoảng cách
22
xt +=
ρ
kể từ điểm đo P. Mật độ thông lượng nơtron tại điểm P, sinh ra từ
nguồn yếu tố diện tích là:

)()(
22
xddtdd
dmdm
+=
ρθφρρθφρρ
Khi lấy tích phân trên toàn bộ mặt phẳng yoz, ta thu được mật độ thông
lượng nơtron trong điểm P, sinh ra từ nguồn phẳng vô hạn:

∫ ∫
∞
+=
0
2
0
22
)()(
π
θρρρφφ
ddxx
dmmat
P
y
x
z
x = r
θ
dθ
ρ
dρ
t
Hình 2.5 Sơ đồ hình học
để rút ra mối quan hệ
giữa các mật độ thông
lượng nơtron từ hai
nguồn phẳng và điểm
trong đó, x được xem như một hằng số. Nếu chuyển từ biến ρ sang biến t, chúng ta
có t.dt = ρ.dρ và:

∫
∞
=
x
dmmat
dtttx )(2)(
φπφ
Lấy vi phân hai vế theo x, ta được:

)(.2)( xxx
dx
d
dmmat
φπφ
−=
Vì ф
dm
(x) = ф
dm
(r), ta có thể viết:

rx
matdm
x
dx
d
r
r
=







−=
)(
2
1
)(
φ
π
φ
(2.37)
Khi thay thế biểu thức (2.36) đối với mật độ thông lượng nơtron của nguồn
phẳng vào biểu thức (2.37) ta thu được mật độ thông lượng nơtron sinh ra từ
nguồn điểm trong một môi trường đồng nhất vô hạn:

r
e
D
Q
r
r.
4
)(
χ
π
φ

−
=
(2.38)
2.5 Độ dài khuếch tán và albedo
Tương tự như trong trường hợp của nguồn phẳng vô hạn, mật độ thông
lượng nơtron giảm theo hàm số mũ với khoảng cách xa từ nguồn. Khoảng cách
mà ở đó mật độ thông lượng nơtron giảm đi e lần được gọi là độ dài khuếch tán L.
Từ (2.38), ta suy ra:

a
D
L
Σ
==
χ
1
(2.39)
Độ dài khuếch tán có số đo khoảng cách mà trên đó một nơtron đơn năng
chạy qua, từ nguồn sinh ra tới điểm nó bị hấp thụ. Ý nghĩa vật lý của độ dài
khuếch tán được chỉ ra một cách rõ ràng khi tính trung bình bình phương khoảng
cách từ điểm nơtron đơn năng sinh ra đến điểm nó bị hấp thụ. Tốc độ hấp thụ
nơtron trong một đơn vị thể tích ở khoảng cách r từ nguồn là Σ
a
ф(r), trung bình
bình phương khoảng cách mà ở đó nơtron bị hấp thụ được xác định từ biểu thức:

∫
∫
Σ
Σ

=
dVr
dVrr
r
a
a
)(
)(
2
2
φ
φ
Nếu thay thế biểu thức mật độ thông lượng nơtron từ (2.38), chú ý rằng dV
= 4πr
2
dr, và lấy tích phân từ r = 0 đến ∞, ta được:

drre
drer
r
r
r
∫
∫
∞
−
∞
−
=
0

.
0
.3
2
χ
χ
Các tích phân ở trên được xác định khi sử dụng công thức sau:

, )3,2,1(
1
!
1
.
0
==
+
−
∞
∫
nndrer
n
rn
χ
χ
Vì vậy, trung bình bình phương mà ở đó nơtron bị hấp thụ sẽ là:


2
2
2

6
6
Lr ==
χ
(2.40)
Do đó, bình phương độ dài khuếch tán bằng 1/6 trung bình bình phương
khoảng cách mà nơtron đi qua, kể từ nguồn tới điểm bị hấp thụ. Độ dài khuếch tán
là một trong các đại lượng cơ sở để xác định kích thước lò phản ứng hạt nhân vì
nó liên quan đến khoảng cách mà nơtron nhiệt đi qua, kể từ điểm nó trở thành
nơtron nhiệt (từ nơtron nhanh) đến điểm nó bị hấp thụ.
2.4.3 Albedo
Tại biên phân cách giữ hai môi trường với các đặc trưng khuếch tán khác
nhau, một số các nơtron từ môi trường A khuếch tán sang môi trường B và từ B
nơtron có thể khuếch tán trở lại môi trường A (Hình 2.6).
Hiện tượng này người ta thường gặp ở biên phân cách giữa vùng hoạt lò
phản ứng hạt nhân (nơi chứa vật liệu hạt nhân phân hạch và chất làm chậm, ) và
J
+x
A B
x
0
J
+x
J
-x
Hình 2.6 Phản xạ của nơtron
vành phản xạ bao quanh (vành phản xạ có khuynh hướng phản xạ một số nơtron
đã đi ra từ vùng hoạt). Tác dụng của vành phản xạ được đặc trưng bởi hệ số phản
xạ, mà người ta hay gọi là albedo. Albedo được định nghĩa như là tỷ số giữa mật
độ dòng nơtron bị phản xạ và dòng nơtron tới trên vành phản xạ. Giả sử J

-
và J
+
là
các dòng nơtron đi từ B (vành phản xạ) sang A (vùng hoạt) và ngược lại từ A sang
B tương ứng. Albedo β của môi trường B chỉ phụ thuộc vào đặc trưng của vùng
này được xác định bởi:

dx
d
D
dx
d
D
J
J
B
B
φφ
φφ
β
24
24
−
+
==
+
−
(2.41)
Ví dụ: trong trường hợp biên phân cách là một mặt phẳng, người ta có thể sử dụng

biểu thức (2.36) đối với mật độ thông lượng nơtron để xác định albedo:

B
B
D
D
χ
χ
β
21
21
+
−
=
(2.42)
Đại đa số các chất được sử dụng làm vành phản xạ cho lò phản ứng hạt
nhân đều tuân theo bất đẳng thức
,1<<=
L
D
D
χ
biểu thức 2.42) có thể được đơn
giản như:
L
D
t
λ
χβ
3

2
121 −=−=
. Từ đó, có thể kết luận rằng độ dài khuếch tán L
càng lớn và độ dài dịch chuyển λ
t
càng nhỏ thì càng nhiều nơtron được phản xạ
vào vùng hoạt