Tài liệu môn Tấm và Vỏ dành cho anh em học cao học

Phần thứ nhất
LÝ THUYẾT VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TẤM
Chương 1
LÝ THUYẾT TÍNH TẤM ĐÀN HỒI
Tấm là vật thể hình khối được giới hạn bằng hai mặt phẳng, có chiều cao h
(chiều dày) rất nhỏ so với hai kích thước còn lại h<<a,b, hình 1-1.
Mặt phẳng trung bình là mặt
phẳng cách đều mặt trên và mặt dưới
của tấm.
Tấm chịu uốn được phân loại
thành tấm mỏng và tấm dầy.
Tấm được gọi là tấm mỏng khi
[12,17]:

min
1
10
h
l
≤
và
max
1 1
5 10
w
h
≤ ÷
(w
max
là
chuyển vị pháp lớn nhất). Tấm được

gọi là tấm dày khi:
min
1
10
h
l
>
.
Tấm mỏng được tính theo giả thiết Kirchhoff , bỏ qua biến dạng cắt trong
mặt phẳng pháp tuyến; còn tấm dày có kể đến biến dạng cắt trong mặt phẳng
pháp tuyến.
1.1. TÍNH TẤM MỎNG CHỊU UỐN
1.1.1. Các giả thiết tính toán
Tính toán tấm mỏng dựa trên 03 giả thiết Kirchhoff:
1. Bỏ qua ứng suất pháp vuông góc với mặt phẳng tấm, nên
0
z
σ =
.
2. Khi tấm chịu uốn, chuyển vị thẳng trên mặt phẳng trung bình bằng
không,
( ) ( )
, ,0 , ,0 0u x y v x y= =
.
3. Phần tử thẳng m-n vuông góc với mặt phẳng trung bình trước biến dạng
thì sau biến dạng vẫn thẳng, vẫn vuông góc với mặt phẳng trung bình và không
thay đổi độ dài. Từ đó, rút ra:
0
z xz yz
ε = γ = γ =

.
Từ các giả thiết của Kirchhoff, đối với tấm mỏng, chuyển vị
( )
, ,u x y z
,
13
Hình 1-1.
( )
, ,v x y z
, biến dạng, ứng suất và nội lực được xác định qua chuyển vị
( )
,w x y
và
bài toán 03 chiều trở thành bài toán 02 chiều.
1.1.2. Các phương trình cơ bản
Nói chung, bài toán cơ học được giải trên cơ sở 03 nhóm phương trình cơ
bản: hình học, vật lý, cân bằng kết hợp với điều kiện biên.
- Nhóm phương trình hình học biểu thị quan hệ giữa biến dạng và chuyển
vị.
- Nhóm phương trình vật lý biểu thị quan hệ giữa ứng suất và biến dạng.
- Nhóm phương trình cân bằng biểu thị điều kiện cân bằng của phân tố hoặc
toàn hệ.
1. Phương trình hình học
Xét tấm mỏng có chiều dày
h const
=
, vật liệu đàn hồi tuyến tính.
Tách từ tấm một phân tố VCB có các
cạnh
,dx dy

, hình 1-2.
Theo lý thuyết đàn hồi và giả
thiết 3,
( )
, ,
0
z
w x y z
z
∂
ε = =
∂
nên theo
chiều dầy tấm:

( ) ( )
, , ,w x y z w x y const= =
(1.1)
Từ giả thiết 2 và 3, chuyển vị
( )
, ,u x y z
,
( )
, ,v x y z
tại điểm k bất kỳ
cách mặt trung bình khoảng cách z được
biểu diễn qua chuyển vị
( )
,w x y
, hình 1-

3, có dạng:
( )
( )
,
, , .
y
w x y
u x y z z z
x
∂
= − = − θ
∂
(1.2)
( )
( )
,
, , .
x
w x y
v x y z z z
y
∂
= − = − θ
∂
(1.3)
Từ lý thuyết đàn hồi, các thành
phần biến dạng của tấm được xác định theo công thức:

( ) ( )
2

2
, , ,
.
x x
u x y z w x y
z zk
x x
∂ ∂
ε = = − =
∂ ∂
(1.4)
14
Hình 1-2. Biến dạng của phân tố tấm.
Hình 1-3. Xác định chuyển vị ngang qua
chuyển vị pháp tuyến.
( ) ( )
2
2
, , ,
.
y y
v x y z w x y
z zk
y y
∂ ∂
ε = = − =
∂ ∂
(1.5)
( ) ( ) ( )
2

1 2
, , , , ,
2 .
xy xy
u x y z v x y z w x y
z zk
y x x y
∂ ∂ ∂
γ =β +β = + = − =
∂ ∂ ∂ ∂
(1.6)
trong đó:
x
k
,
y
k
và
xy
k
là độ cong uốn và độ cong xoắn.

( )
2
2
,
x
w x y
k
x

∂
= −
∂

( )
2
2
,
y
w x y
k
y
∂
= −
∂

( )
2
,
2
xy
w x y
k
x y
∂
= −
∂ ∂
(1.7)
2. Phương trình vật lý
Các thành phần ứng suất của tấm được xác định theo lý thuyết đàn hồi với

các thành phần biến dạng xác định theo (1.4)
÷
(1.6), hình 1-4:
Hình 1-4 và 1-5. Các thành phần ứng suất và mô men của tấm.
( )
2 2
2 2 2 2
.
1 1
x x y
E E z w w
x y
 
∂ ∂
σ = ε +µε = − +µ
 ÷
−µ −µ ∂ ∂
 
(1.8)
( )
2 2
2 2 2 2
.
1 1
y y x
E E z w w
y x
 
∂ ∂
σ = ε +µε = − +µ

 ÷
−µ −µ ∂ ∂
 
(1.9)
( )
2
1
xy yx xy
Ez w
G
x y
∂
τ = τ = γ = −
+ µ ∂ ∂
(1.10)
trong đó:
E
,
µ
- mô đun đàn hồi và hệ số Poisson của vật liệu;
G
- mô đun trượt của vật liệu:
( )
2 1
E
G =
+µ
(1.11)
15
Trong tính toán kết cấu công trình thường xác định nội lực thay cho xác

định ứng suất. Nội lực kết cấu tấm bao gồm: mô men uốn
x
M
,
y
M
, mô men xoắn
xy
M
, lực cắt
x
Q
,
y
Q
, hình 1-5. Nội lực phân bố trên một đơn vị chiều dài, được
xác định qua ứng suất bằng các công thức:
/2
2 2
2 2
/2
.
h
x x p
h
w w
M z dz D
x y
−
 

∂ ∂
= σ = − + µ
 ÷
∂ ∂
 
∫
(1.12)
/ 2
2 2
2 2
/ 2
.
h
y y p
h
w w
M z dz D
y x
−
 
∂ ∂
= σ = − +µ
 ÷
∂ ∂
 
∫
(1.13)
( )
/ 2
2

/ 2
. 1
h
xy yx xy p
h
w
M M z dz D
x y
−
∂
= = τ = − −µ
∂ ∂
∫
(1.14)
trong đó,
p
D
là độ cứng trụ:
( )
3
2
12 1
p
Eh
D =
−µ
(
h
là chiều dày tấm) (1.15)
Biểu diễn mô men uốn và mô men xoắn (1.12)

÷
(1.14) dưới dạng ma trận
qua độ cong uốn và độ cong xoắn:
{ }
[ ]
{ }
m c
M C k=
(1.16)
trong đó:
{ }
{ }
T
x y xy
M M M M=
(1.17)
{ }
{ }
T
c x y xy
k k k k=
(1.18)
[ ]
( )
3
2
1 0 1 0
1 0 1 0
12 1
1 1

0 0 0 0
2 2
m p
Eh
C D
   
   
µ µ
   
= µ = µ
   
−µ
   
−µ −µ
   
   
(1.19)
Lực cắt
x
Q
,
y
Q
là hợp lực của ứng suất
zx
τ
,
zy
τ
được xác định từ điều kiện

cân bằng. Các thành phần nội lực của tấm được biểu diễn trên hình 1-6.
3. Phương trình cân bằng
Xét cân bằng của phân tố tấm dưới tác dụng của các thành phần nội lực và
ngoại lực phân bố
( )
,q x y
, hình 1-6.
Chiếu các lực lên trục OZ và giản ước cho
dxdy
:
( )
, 0
y
x
Q
Q
q x y
x y
∂
∂
+ + =
∂ ∂
(1.20)
16
Lấy tổng mô men đối với trục x, y và bỏ qua các đại lượng VCB bậc cao,
giản ước cho
dxdy
:
0
xy

x
x
M
M
Q
x y
∂
∂
− − + =
∂ ∂
(1.21)
0
y xy
y
M M
Q
y x
∂ ∂
− − + =
∂ ∂
(1.22)
Hình 1-6. Các thành phần nội lực của tấm
Từ (1.21)
÷
(1.22) và kết hợp với mô men uốn và mô men xoắn biểu diễn qua
chuyển vị
( )
,w x y
theo (1.12)
÷

(1.14), lực cắt
x
Q
,
y
Q
được xác định bằng công thức:
( )
2
,
x p
Q D w x y
x
∂
= − ∇
∂
(1.23)
( )
2
,
y p
Q D w x y
y
∂
= − ∇
∂
(1.24)
với
2
∇

là toán tử Laplat:
2 2
2
2 2
x y
∂ ∂
∇ = +
∂ ∂
(1.25)
Thay (1.23), (1.24) vào (1.20) và chú ý đến (1.12)
÷
(1.14), phương trình
cân
bằng của tấm có dạng:
( )
4 4 4
4 2 2 4
,
2
p
q x y
w w w
x x y y D
∂ ∂ ∂
+ + =
∂ ∂ ∂ ∂
(1.26)
Phương trình này gọi là phương trình Sophi-Giecman.
1.2. TÍNH TẤM DÀY CHỊU UỐN THEO GIẢ THIẾT MINDLIN
1.2.1. Góc xoay có kể đến biến dạng cắt

Khi tính tấm chịu uốn theo giả thiết Kirchhoff đã bỏ qua biến dạng cắt:
17
0
zx zy
γ = γ =
. Khi tính tấm dầy hoặc tấm nhiều lớp, cần phải kể đến biến dạng cắt này.
Giả thiết của Mindlin khác với giả thiết Kirchhoff là: “phần tử thẳng m-n
vuông góc với mặt phẳng trung bình trước biến dạng thì sau biến dạng không
nhất thiết phải vuông góc với mặt phẳng trung bình” và góc xoay
x
θ
,
y
θ
được bổ
sung một lượng bằng góc xoay của pháp tuyến quanh các trục x và y là
x
φ
và
y
φ

do lực cắt gây ra, hình 1-7.
y y
w
x
∂
θ = − + φ
∂
x x

w
y
∂
−θ = − + φ
∂
(1.27)
Từ (1.27), góc xoay của câc pháp tuyến:
y y
w
x
∂
φ = θ +
∂
x x
w
y
∂
φ = −θ +
∂
(1.28)
Hình 1-7. Góc xoay pháp tuyến.
1- Đường thẳng đứng; 2. Đường pháp tuyến sau biến dạng;
3. Đường thẳng nghiêng kể đến biến dạng cắt;
4. Tiếp tuyến với mặt trung bình; 5. Mặt trung bình.
1.2.2. Công thức xác định nội lực
Ứng suất tiếp
zx
τ
và
zy

τ
gây ra do biến dạng cắt
x
φ
,
y
φ
, đối với tấm đẳng
hướng xác định bằng công thức:
( )
1 0
0 1
2 1
xz
y
yz
x
E
τ
φ
 
 
 
=
   
 
τ
φ
+ µ
 

 
 
(1.29)
Lực cắt
x
Q
,
y
Q
được xác định bằng công thức:
/ 2
/ 2
h
x xz
h
Q dz
−
= τ
∫

/ 2
/ 2
h
y yz
h
Q dz
−
= τ
∫
(1.30)

dưới dạng ma trận:
18
{ }
( )
[ ]
{ }
1 0
0 1
2 1
x
y
s
y
x
Q
Eh
Q C
Q
φ
 
 
 
= = = φ
   
 
φ
+µ
 
 
 

(1.31)
trong đó:
[ ]
( )
1 0
0 1
2 1
s
Eh
C
 
=
 
+µ
 
(1.32)
Nội lực mô men uốn
x
M
,
y
M
, mô men xoắn
xy
M
và lực cắt
x
Q
,
y

Q
được
biểu diễn dưới dạng tổ hợp:
{ }
[ ]
{ }
p p
p
Cσ = ε
(1.33)
trong đó:
{ }
{ }
T
x y xy x y
p
M M M Q Qσ =
(1.34)
[ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
0
0
m
p
s
C
C
C
 

=
 
 
(1.35)
{ }
{ }
T
x y xy y x
p
k k kε = φ φ
(1.36)
Biểu diễn
{ }
p
ε
qua
w
,
x
θ
,
y
θ
:
{ }
T
y y
x x
y x
p

w w
x y y x x y
∂θ ∂θ
 
∂θ ∂θ
∂ ∂
ε = − − θ + −θ +
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
(1.37)
1.3. ĐIỀU KIỆN BIÊN
1.3.1. Biên ngàm cứng
Điều kiện biên là chuyển vị và góc xoay bằng không.
- tại
0x =
và
x a=
:
0w =
và
0
w
x
∂
=
∂
(1.38a)
- tại
0y =

và
y b=
:
0w
=
và
0
w
y
∂
=
∂
(1.38b)
1.3.2. Biên tựa khớp
Điều kiện biên là chuyển vị và mô men uốn bằng không.
- tại
0x =
và
x a=
:
0w =
và
2 2 2
2 2 2
0
x p
w w w
M D
x y x
 

∂ ∂ ∂
= − + ν = =
 ÷
∂ ∂ ∂
 
(1.39a)
- tại
0y =
và
y b=
:
0w
=
và
2 2 2
2 2 2
0
y p
w w w
M D
y x y
 
∂ ∂ ∂
= − + µ = =
 ÷
∂ ∂ ∂
 
(1.39b)
1.3.3. Biên tự do
Thí dụ tại

y b=
là biên tự do, hình 1-8, nên mô men uốn
y
M
, mô men xoắn
19
xy
M
, lực cắt
y
Q
bằng không:
( ) ( ) ( )
0
y xy y
y b y b y b
M M Q
= = =
= = =
. Song, phương trình
vi phân mặt uốn của tấm (1.26) là phương trình vi phân cấp 4 nên chỉ cần 02 điều
kiện biên trên mỗi cạnh là đủ xác định nghiệm. Kirchhoff đã gộp hai điều kiện
biên
xy
M
và
y
Q
thành một điều kiện.
Trên biên tự do

y b=
lấy 03 điểm
, ,a b c
với khoảng cách bằng
dx
. Tại D1
mô men xoắn là
xy
M
, tại D2 mô men xoắn là
xy
xy
M
M dx
x
∂
+
∂
(D1 và D2 là điểm
giữa của các đoạn
ab
và
ac
). Các mô men này có thể biểu diễn dưới dạng ngẫu
lực với các lực tập trung ngược chiều nhau. Giá trị của các lực tập trung tại đầu
các đoạn
ab
và
bc
là

1 xy
T M=
và
2
xy
xy
M
T M dx
x
∂
= +
∂
.
Hình 1-8. Điều kiện biên tự do.
Chiếu các lực tập trung tại điểm
b
lên phương OZ:
2 1
xy
y
M
Q T T dx
x
∂
∆ = − =
∂
,
vì
y
Q∆

là lực tập trung nên sau khi chia cho
dx
được lực phân bố
xy
y
M
Q
x
∂
∆ =
∂
.
Điều kiện biên tự do khi kết hợp
y
Q
và
xy
M
:
y y y
Q Q Q= + ∆
, tương tự
x x x
Q Q Q= + ∆
, có dạng:
- tại biên
0x
=
và
x a=

:
2 2
2 2
0
x
w w
M
x y
∂ ∂
= +µ =
∂ ∂
và
( )
3 3
3 2
2 0
x
w w
Q
x x y
∂ ∂
= + −µ =
∂ ∂ ∂
(1.40a)
- tại biên
0y =
và
y b=
:
20

2 2
2 2
0
y
w w
M
y x
∂ ∂
= + µ =
∂ ∂
và
( )
3 3
3 2
2 0
y
w w
Q
y y x
∂ ∂
= + −µ =
∂ ∂ ∂
(1.40b)
1.3.4. Biên tựa đàn hồi
Ví dụ dầm tại
x a=
đóng vai trò là biên tựa đàn hồi, hình 1-9. Điều kiện
biên tương thích giữa dầm và tấm có dạng:
1. Điều kiện biên thứ nhất
Độ võng của dầm bằng độ võng của tấm. Độ võng của dầm gây ra do tải

trọng phân bố là lực cắt tương đương
x
Q
của tấm. Do vậy:

( )
4 3 3
4 3 2
2
x a p
x a
w w w
EJ D
y x x y
=
=
 
∂ ∂ ∂
= + −µ
 
∂ ∂ ∂ ∂
 

(1.41a)
2. Điều kiện biên thứ hai
Mô men xoắn của dầm bằng mô
men uốn
x
M
của tấm.

2 2 2
2 2
p p
x a x a
w w w
GJ D
y x y x y
= =
   
∂ ∂ ∂ ∂
− = +µ
 ÷  ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
   
(1.41b)
Nếu dầm không chịu xoắn:
2 2
2 2
0
x p
x a
w w
M D
x y
=
 
∂ ∂
= + µ =
 ÷
∂ ∂

 
(1.41c)
1.4. THẾ NĂNG TOÀN PHẦN CỦA TẤM
Thế năng toàn phần
Π
của tấm bằng tổng thế năng biến dạng của nội lực
U

và thế năng ngoại lực khi hệ chuyển từ trạng thái ban đầu không biến dạng sang
trạng thái biến dạng.
. .U q w dxdyΠ = −
∫∫
(1.42)
Thế năng của ngoại lực được đo bằng công của ngoại lực. Công của ngoại
lực luôn âm (có xu hướng ngăn cản biến dạng, đưa hệ về trạng thái cân bằng)
bằng tích của ngoại lực với chuyển vị của các điểm đặt lực tương ứng.
Thế năng biến dạng của nội lực
U
được đo bằng công của nội lực. Công
nội lực luôn luôn dương, bằng nửa tích của nội lực (ứng suất) trên chuyển vị
(biến dạng) tương ứng.
Khi kể đến biến dạng cắt:
b s
U U U= +
(1.43)
21
Hình 1-9. Biên tựa đàn hồi
trong đó:
b
U

- năng lượng do biến dạng uốn.
s
U
- năng lượng do biến dạng cắt.
Năng lượng
s
U
của tấm đẳng hướng do biến dạng cắt được xác định theo
công thức, [12]:
( )
( )
2
2
3
2
2
6 1
24 1
s y x
S
Eh w w
U dxdy
h x y
 
−µ
 
∂ ∂
 
= + θ + −θ
 

 ÷
 ÷
∂ ∂
−µ
 
 
 
 
∫∫
(1.44)
Năng lượng biến dạng uốn của tấm đẳng hướng được xác định bằng
công thức, [12]:
( )
( )
2 2
2
3
2
1
2
2
24 1
y y y
x x x
b
S
Eh
U dxdy
x x y y y x
 

∂θ ∂θ ∂θ
−µ
     
∂θ ∂θ ∂θ
 
   
= + µ + + +
 
 ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
−µ
   
     
 
 
∫∫
(1.45)
Nếu biểu diễn năng lượng biến dạng qua nội lực:
{ } { } { } { }
( )
1
2
T T
c
S
U M k Q dxdy= + φ
∫∫
(1.46a)
thay (1.35) vào (1.48a):

{ }
[ ]
{ } { }
[ ]
{ }
( )
1
2
T T
c m c s
S
U k C k C dxdy= + φ φ
∫∫
(1.46b)
Thế năng toàn phần của tấm chỉ xét đến biến dạng uốn có dạng khác, [17]:
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
0 0
2 1 , ,
2
a b
p
D
w w w w w
q x y w x y dxdy
x y x y x y
 
 

   
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
Π = + − −µ − −
 
 
 ÷  ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
   
 
 
 
∫∫

(1.47)
22