Tài liệu môn Tấm và Vỏ dành cho anh chị học cao học

Chương 2
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TẤM MỎNG
Trong chương này giới thiệu: Phương pháp chuỗi lượng giác; Phương pháp
biến phân; Phương pháp sai phân hữu hạn; Tính tấm tròn trong hệ tọa độ cực.
Tính tấm bằng phương pháp phần tử hữu hạn được giới thiệu trong chương 3.
A. PHƯƠNG PHÁP CHUỖI LƯỢNG GIÁC
Phương pháp chuỗi lượng giác là phương pháp mà chuyển vị pháp tuyến
( )
,w x y
của tấm được biểu diễn dưới dạng chuỗi lượng giác (kép hoặc đơn).
2.1. PHƯƠNG PHÁP CHUỖI LƯỢNG GIÁC KÉP
Phương pháp chuỗi lượng giác kép sử dụng cho bài toán tấm chữ nhật chu
vi tựa khớp chịu tải trọng phân bố
( )
,q x y
hoặc tải trọng tập trung vuông góc với
mặt phẳng tấm, hình 2-1.
2.1.1. Các công thức cơ bản
Phương trình chuyển vị của tấm được biểu diễn dưới dạng chuỗi lượng giác
kép:
( )
1 1
, ) ( )
nm n m
n m
w x y A sin( x sin y
α β
∞ ∞
= =
=
∑∑

(2.1)
trong đó:
nm
A
- hệ số cần xác định.
n
n
a
π
α =

m
m
b
π
β =
(2.2)
Phương trình chuyển vị
( )
,w x y
của
tấm dạng (2.1) thỏa mãn điều kiện biên
tựa khớp trên chu vi tấm.
Tải trọng phân bố
( )
,q x y
được
khai triển dưới dạng chuỗi lượng giác
kép:
( )

1 1
, ( ) ( )
nm n m
n m
q x y q sin x sin y
∞ ∞
= =
= α β
∑∑
(2.3)
Để xác định hệ số
nm
q
nhân hai vế của (2.3) với
, ,
sin( )sin( )
n m
x yα β
, lấy tích
phân theo bề mặt tấm và sử dụng tính chất trực giao của các hàm lượng giác:
23
Hình 2-1. Tấm chữ nhật chu vi tựa khớp.
'
,
'
0
0
( ) ( )
2
a

n n
khi n n
sin x sin x dx
a
khi n n

≠

α α =

=


∫

'
,
'
0
0
( ) ( )
2
b
m m
khi m m
sin y sin y dy
b
khi m m

≠


β β =

=


∫
Sau khi biến đổi:
( )
0 0
4
, ( ) ( )
a b
nm n m
q q x y sin x sin y dxdy
ab
= α β
∫∫
(2.4a)
Khi tải phân bố đều
( )
,
o
q x y q=
:
2
16
o
nm
q

q
nm
=
π
với
, 1,3,5, n m =
(2.4b)
Để xác định
nm
A
thay (2.1), (2.3) vào phương trình vi phân cân bằng của
tấm (1.26):

2
2 2
4
2 2
1 1 1 1
1
( ) ( ) ( ) ( )
nm n m nm n m
n m n m
p
n m
A sin x sin y q sin x sin y
a b D
∞ ∞ ∞ ∞
= = = =
 
+ π α β = α β

 ÷
 
∑∑ ∑∑
Hai chuỗi lượng giác ở hai vế của phương trình trên bằng nhau khi từng số hạng
tương ứng của chúng bằng nhau nên:
2
2 2
4 2 2 2
2 2
( )
nm
nm nm n m
p
q
n m
A A
a b D
 
+ π = α +β =
 ÷
 
, rút
ra:
2 2 2
( )
nm
nm
n m p
q
A

D
=
α +β
(2.5)
Như vậy, phương trình chuyển vị
( )
,w x y
của tấm có dạng (2.1) với hệ số
nm
q
,
nm
A
xác định theo (2.4) và (2.5).
Phương trình chuyển vị
( )
,w x y
và nội lực của tấm chữ nhật chu vi tựa
khớp được xác định từ các công thức (1.12)
÷
(1.14) và (1.23)
÷
(1.24) có dạng:
( )
2 2 2
1 1
, ( ) ( )
( )
nm
n m

n m
n m p
q
w x y sin x sin y
D
∞ ∞
= =
= α β
α +β
∑∑
(2. 6)
( )
2 2
2 2 2
1 1
( )
, ( ) ( )
( )
nm n m
x n m
n m
n m
q
M x y sin x sin y
∞ ∞
= =
α + µβ
= α β
α +β
∑∑

(2.7)
( )
2 2
2 2 2
1 1
( )
, ( ) ( )
( )
nm n m
y n m
n m
n m
q
M x y sin x sin y
∞ ∞
= =
µα +β
= α β
α +β
∑∑
(2.8)
( )
2 2 2
1 1
(1 )
, ( ) ( )
( )
nm n m
xy n m
n m

n m
q
M x y cos x cos y
∞ ∞
= =
−µ α β
= α β
α + β
∑∑
(2.9)
( )
2 2
1 1
, ( ) ( )
( )
nm n
x n m
n m
n m
q
Q x y cos x sin y
∞ ∞
= =
α
= α β
α + β
∑∑
(2.10)
( )
2 2

1 1
, ( ) ( )
( )
nm m
y n m
n m
n m
q
Q x y sin x cos y
∞ ∞
= =
β
= α β
α +β
∑∑
(2.11)
24
Để xác định phương trình chuyển vị
( )
,w x y
và nội lực của tấm chữ nhật
chu vi tựa khớp cần xác định
nm
q
.
2.1.2. Các thí dụ
Thí dụ 1: Tính tấm chữ nhật chu vi tựa khớp chịu tải trọng phân bố đều trong
diện tích
u
,

v
hình 2-2.
Áp dụng (2.4):
2 2
2
2 2
4 16
( ) ( )
2 2
u v
i j
o o
nm n m
u v
i j
q q
n m n m
q sin x sin y dxdy sin i sin j sin u sin v
ab nm a b a b
+ +
− −
π π π π
       
= α β =
 ÷  ÷  ÷  ÷
π
       
∫ ∫
(2.12)
Thí dụ 2: Tính tấm chữ nhật chu vi tựa

khớp chịu tải trọng tập trung
P
tại tọa độ
( )
,i j
. Để áp dụng (2.12) cần chuyển tải
trọng tập trung thành tải trọng phân bố
.
o
P
q
u v
=
với diện tích
( )
,u v
rất nhỏ, hình
2-2, sau đó tìm giới hạn cho
, 0u v →
.
2
16
. . . 2 2
nm
P n m n m
q sin i sin j sin u sin v
n m u v a b a b
π π π π
       
=

 ÷  ÷  ÷  ÷
π
       
hay:
4
2 2
2 2
nm
n m
sin u sin v
P n m
a b
q sin i sin j
n u m v
ab a b
a b
π π
   
 ÷  ÷
π π
   
   
=
 ÷  ÷
π π
   
0
4
nm n m
u,v

P
lim q sin( .i )sin( .j )
ab
→
= α β
(2.13)
2.2. PHƯƠNG PHÁP CHUỖI LƯỢNG GIÁC ĐƠN
Phương pháp chuỗi lượng giác đơn sử dụng cho bài toán tấm chữ nhật có
hai cạnh đối diện tựa khớp, còn hai cạnh kia có điều kiện biên bất kỳ.
Phương trình chuyển vị
( )
,w x y
của tấm chữ nhật có hai cạnh đối diện tựa
khớp, thí dụ tại
0x
=
và
x a=
, biểu diễn dưới dạng chuỗi lượng giác đơn:
( ) ( )
1
, ( )
n n
n
w x y y y sin x
∞
=
= α
∑
(2.14)

trong đó,
( )
n
y y
là hàm cần tìm biểu diễn chuyển vị của tấm theo phương trục y.
25
Hình 2-2.
Phương trình chuyển vị
( )
,w x y
của tấm (2.14) thỏa mãn điều kiện biên tựa
khớp tại
0x
=
và
x a=
.
Tương tự như phương pháp chuỗi lượng giác kép, tải trọng phân bố
( )
,q x y
được khai triển dưới dạng chuỗi lượng giác đơn:
( ) ( )
1
, ( )
n n
n
q x y q y sin x
∞
=
= α

∑
(2.15)
trong đó,
( )
n
q y
là hàm cần tìm.
Để xác định
( )
n
q y
nhân hai vế của (2.15) với
'
sin( )
n
xα
và lấy tích phân từ 0
đến
a
, chú ý đến tính chất trực giao của hàm lượng giác nhận được:
( ) ( )
0
2
, ( )
a
n n
q y q x y sin x dx
a
= α
∫

(2.16)
Thay (2.14), (2.15) vào phương trình vi phân cân bằng của tấm (1.26):

( ) ( ) ( ) ( )
4 2 "
1 1
1
( 2 ) ( ) ( )
IV
n n n n n n n n
n n
p
y y y y y y sin x q y sin x
D
∞ ∞
= =
α − α + α = α
∑ ∑
(2.17)
Phương trình (2.17) sẽ thỏa mãn nếu:
( ) ( ) ( )
( )
2 " 4
2
n
IV
n n n n n
p
q y
y y y y y y

D
− α + α =
(2.18)
Giải phương trình vi phân (2.18), xác định được hàm
( )
n
y y
tương ứng với
thành phần thứ
n
của chuỗi.
Nghiệm của (2.18) có dạng:

( )
. ( ) . ( ) . . ( ) . . ( )
o
n n n n n n n n n n
y y A ch y B sh y C y ch y D y sh y y= α + α + α + α +
(2.19)
trong đó:
n
A
,
n
B
,
n
C
,
n

D
- các hằng số tích phân được xác định từ điều kiện biên tại
0y =
và
y b=
.
o
n
y
- nghiệm riêng phụ thuộc tải trọng
( )
,q x y
. Nếu
( )
0
,q x y q const= =
,
nghiệm riêng có dạng:
0
4
o
n
n p
q
y
D
=
α
(2.20)
Phương trình nội lực được xác định từ các công thức (1.12

÷
1.14) và (1.23)
có dạng:
( ) ( ) ( )
2 "
1
, ( ) ( )
x p n n n x
n
M x y D y y y y sin x
∞
=
= α −µ α
∑
(2.21)
26
( ) ( ) ( )
" 2
1
, ( . . ) ( )
y p n n n n
n
M x y D y y y y sin x
∞
=
= − +µ α α
∑
(2.22)
( )
'

1
, (1 ). . ( ) s( )
xy p n n n
n
M x y D y y co x
∞
=
= − −µ α α
∑
(2.23)
( ) ( ) ( )
3 "
1
, ( . ) s( )
x p n n n n n
n
Q x y D y y y y co x
∞
=
= α − α α
∑
(2.24)
( ) ( ) ( )
2 ' '''
1
, ( ) ( )
y p n n n n
n
Q x y D y y y y sin x
∞

=
= α − α
∑
(2.25)
2.3. TÍNH TẤM TRÊN NỀN BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI
Dạng của phương trình vi phân cân bằng của tấm trên nền đàn hồi phụ
thuộc vào dạng mô hình nền. Khi tính kết cấu tiếp xúc với nền đàn hồi thường sử
dụng mô hình nền biến dạng đàn hồi cục bộ: mô hình nền một hệ số (mô hình
nền Winkler) và mô hình nền hai hệ số (mô hình lớp đàn hồi).
2.3.1. Phương trình vi phân cân bằng của tấm với mô hình nền biến dạng
đàn hồi cục bộ một hệ số (mô hình nền Winkler)
Mô hình nền Winkler được xây dựng từ giả thiết: “phản lực nền
( )
,p x y
tỷ
lệ bậc nhất với chuyển vị
( )
,w x y
qua hệ số nền
1
k
”.
( ) ( )
1
, . ,p x y k w x y=
(2.26)
trong đó, hệ số nền
1
k
có giá trị hằng số đối với mỗi loại đất, có thứ nguyên [lực/

(chiều dài)
3
].
Đặc trưng cơ bản của mô hình nền một hệ số, hình 2-3, là nền chỉ biến dạng
trong phạm vi bề mặt tiếp xúc của kết cấu với nền.
Hình 2-3. Mô hình nền biến dạng đàn hồi cục bộ một hệ số.
Ưu, nhược điểm của mô hình nền Winkler:
- Ưu điểm: mô hình này diễn toán đơn giản, thuận lợi trong lập trình.
- Nhược điểm:
27
+ Coi hệ số nền là hằng số với mỗi loại đất là chưa phù hợp với thực tế vì
nó còn phụ thuộc cả vào kích thước của kết cấu tiếp xúc với nền. Hệ số nền chỉ
mang tính chất quy ước mà không có ý nghĩa vật lý rõ ràng.
+ Coi biến dạng của nền là cục bộ trong phạm vi tiếp xúc giữa kết cấu với
nền là bỏ qua tính ma sát và tính dính của đất nền.
Phạm vi áp dụng: nhiều kết quả nghiên cứu và thực nghiệm đã chứng tỏ,
mô hình này tương đối thích hợp và sát thực tế đối với nền đất yếu, đất ẩm hoặc
bão hoà nước; đặc biệt đối với môi trường chất lỏng thì mô hình này là chính
xác.
Phương trình vi phân cân bằng của tấm, phương trình Sophi-Giecman, có
dạng:
( )
4 4 4
4 2 2 4
,
2
p
q x y
w w w
x x y y D

∂ ∂ ∂
+ + =
∂ ∂ ∂ ∂
(1.26.a)
dưới dạng toán tử Laplat:
( ) ( )
2 2
, ,
p
D w x y q x y∇ ∇ =
(1.26.b)
khi có kể đến phản lực của nền, phương trình vi phân cân bằng của tấm trên nền
đàn hồi Winkler có dạng:
( ) ( )
4 4 4
4 2 2 4
, ,
2
p p
q x y p x y
w w w
x x y y D D
∂ ∂ ∂
+ + = −
∂ ∂ ∂ ∂
(2.27.a)
dưới dạng toán tử Laplat (1.25):
( ) ( ) ( )
2 2
, , ,

p
D w x y q x y p x y∇ ∇ = −
(2.27.b)
thay (2.26) vào (2.27)
( ) ( )
4 4 4
1
4 2 2 4
, . ,
2
p p
q x y k w x y
w w w
x x y y D D
∂ ∂ ∂
+ + = −
∂ ∂ ∂ ∂
(2.28.a)
dưới dạng toán tử Laplat:
( ) ( ) ( )
2 2
1
, , ,
p
D w x y k w x y q x y∇ ∇ + =
(2.28.b)
2.3.2. Phương trình vi phân cân bằng của tấm với mô hình nền biến dạng
đàn hồi cục bộ hai hệ số (mô hình lớp đàn hồi)
Mô hình nền 02 hệ số là mô hình trong đó hệ số nền
1

k
đặc trưng cho sự
làm việc chịu nén và hệ số nền
2
k
đặc trưng cho sự làm việc chịu cắt của đất nền.
Như vậy, lực tương tác giữa kết cấu với đất nền ngoài phản lực pháp tuyến còn
có phản lực tiếp tuyến.
Mô hình nền hai hệ số chỉ khác mô hình nền Winkler ở hệ số nền kể đến
28
ứng suất tiếp giữa các cột đất trong nền. Chính ứng suất này đã gây ra biến dạng
của nền ở ngoài phạm vi tiếp xúc giữa kết cấu với đất nền. Mô hình nền hai hệ số
phản ánh sự làm việc của đất nền sát với thực tế hơn. Đây là mô hình trung gian
giữa hai mô hình nền biến dạng đàn hồi cục bộ và bán không gian đàn hồi. Khi
không kể đến ứng suất tiếp thì mô hình này trở về mô hình nền Winkler.
Mô hình nền hai hệ số có nhược điểm là giá trị của các hệ số
1
k
và
2
k
được
xác định tuỳ thuộc vào quan niệm và cách xác định khác nhau. Vì vậy, khi sử
dụng mô hình này, các kết quả tính toán cần được kiểm tra lại bằng thực nghiệm.
Mô hình nền hai hệ số được xây dựng từ giả thiết: phản lực nền
( )
,r x y
bao
gồm phản lực pháp tuyến
( )

,p x y
tương ứng với sự làm việc chịu nén của nền và
phản lực tiếp tuyến
( )
,t x y
ứng với sự làm việc chịu cắt của nền.
( ) ( ) ( )
, , ,r x y p x y t x y= +
(2.29)
trong đó:
( )
( ) ( )
2 2
2
2 2
, ,
,
w x y w x y
t x y k
x y
 
∂ ∂
= − +
 ÷
∂ ∂
 
(2.30)
kết hợp với (2.26), phản lực nền với mô hình nền hai hệ số có dạng:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )

2 2
1 2
2 2
, ,
, , , . ,
w x y w x y
r x y p x y t x y k w x y k
x y
 
∂ ∂
= + = − +
 ÷
∂ ∂
 
(2.31)
thay vào (1.26), phương trình vi phân cân bằng của tấm với mô hình nền hai hệ
số có dạng:
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
4 4 4 2 2
1 2
4 2 2 4 2 2
, , , , ,
2 , ,
p
w x y w x y w x y w x y w x y
D k w x y k q x y
x x y y x y

   
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ + + − + =
 ÷  ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
   
(2.32.a)
dưới dạng toán tử Laplat (1.24):
( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2
2 2
1 2
2 2
, ,
, , ,
p
w x y w x y
D w x y k w x y k q x y
x y
 
∂ ∂
∇ ∇ + − + =
 ÷
∂ ∂
 
(2.32.b)
Dấu âm trong số hạng thứ ba biểu thị phản lực tiếp tuyến
( )

,t x y
ngược
chiều với phản lực pháp tuyến
( )
,p x y
.
Thí dụ 3: Tính tấm chữ nhật chu vi tựa khớp trên nền đàn hồi một hệ số chịu tải
trọng phân bố. Phương trình chuyển vị của tấm dưới dạng chuỗi lượng giác kép
có dạng:
29
( )
1 1
, ( ) ( )
nm n m
n m
w x y A sin x sin y
∞ ∞
= =
= α β
∑∑
(2.1)
Tương tự như tấm chữ nhật tựa khớp không nằm trên nền đàn hồi, tải trọng
được khai triển dưới dạng chuỗi lượng giác kép có dạng (2.3) với hệ số
nm
q
được
xác định theo (2.4). Thay (2.1) và (2.3) vào phương trình vi phân cân bằng của
tấm trên nền đàn hồi một hệ số (2.28.a), cân bằng hai vế rút ra:
( )
0 0

2 2
2 2 2 2
1 1
4 ,
a b
nm
nm
p p
p p
n m
q x y sin x sin y dxdy
a b
q
A
k k
n m n m
D D ab
a b D a b D
π π
   
 ÷  ÷
   
= =
   
   
π π π π
   
       
+ + + +
   

   
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
   
   
   
   
∫∫
(2.33)
Phương trình chuyển vị của tấm chữ nhật chu vi tựa khớp trên nền đàn hồi
một hệ số chịu tải trọng phân bố có dạng theo (2.1):
( )
( )
0 0
2
2 2
1 1
1
4 ,
,
a b
n m
p
p
n m
q x y sin x sin y dxdy
a b
n m
w x y sin x sin y
a b

k
n m
D ab
a b D
∞ ∞
= =
π π
   
 ÷  ÷
π π
   
   
=
 ÷  ÷
 
   
 
π π
 
   
+ +
 
 
 ÷  ÷
   
 
 
 
 
∫∫

∑∑
(2.34)
Trường hợp tấm chịu tải phân bố đều
0
q
, hệ số
2
16
o
nm
q
q
nm
=
π
nên:
( )
0
2
2
2 2
1 1
4
1
16
,
.
n m
p
n m

sin x sin y
q
a b
w x y
n m
n m D k
a b
∞ ∞
= =
π π
   
 ÷  ÷
   
=
π
 
 
 
   
π + +
 
 
 ÷  ÷
   
 
 
 
 
∑∑
(2.35)

Thí dụ 4: Tính tấm chữ nhật chu vi tựa khớp trên nền đàn hồi một hệ số chịu tải
trọng tập trung
P
tại toạ độ
( )
,i j
. Hệ số khai triển tải trọng được xác định theo
công thức (2.13), do đó:
2
2 2
4
1
4
nm
p
p
n m
Psin i sin j
a b
A
k
n m
D ab
a b D
π π
   
 ÷  ÷
   
=
 

 
π π
 
   
π + +
 
 
 ÷  ÷
   
 
 
 
 
(2.36)
30
Thí dụ 5: Tấm chữ nhật chu vi tựa khớp trên nền đàn hồi hai hệ số chịu tải trọng
phân bố. Tiến hành tương tự như thí dụ 2, nhận được:
( )
0 0
2
2 2
2 2
4 2
2 1
2 2
4 ,
a b
nm
p
p p

n m
q x y sin x sin y dxdy
a b
A
k k
n m n m
D ab
a b D a b D
π π
   
 ÷  ÷
   
=
 
 
 
 
   
π + + π + +
 
 
 ÷  ÷  ÷
   
 
 
 
 
 
∫∫
(2.37)

Khi tấm chịu tải trọng phân bố đều:
0
2
2 2 2 2
2 4 2
2 1
2 2 2 2
16
nm
p
q
A
n m n m
nm D k k
a b a b
=
 
   
 
π π + + π + +
 
 ÷  ÷
   
 
 
(2.38)
trong đó n, m lấy chỉ số lẻ
, 1,3,5, n m =
.
B. PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN

Phương pháp biến phân là phương pháp sử dụng các nguyên lý năng lượng
như: nguyên lý công khả dĩ hoặc nguyên lý giá trị dừng của thế năng toàn phần
để tìm phương trình chuyển vị
( )
,w x y
của tấm.
Nguyên lý công khả dĩ: “ Điều kiện cần và đủ để hệ ở trạng thái cân bằng là
tổng công khả dĩ của ngoại lực và nội lực bằng không”.
Nguyên lý giá trị dừng của thế năng toàn phần: “Trong tất cả các trường
chuyển vị (trạng thái chuyển vị) khả dĩ động (các chuyển vị thỏa mãn điều kiện
tương thích và điều kiện biên động học) thì trường chuyển vị thực tương ứng với
sự cân bằng sẽ làm cho thế năng toàn phần
Π
đạt giá trị dừng”.
Biểu thức toán học:
0
δΠ =
(2.39)
2.4. PHƯƠNG PHÁP RITX
Phương pháp Ritx sử dụng nguyên lý giá trị dừng của thế năng toàn phần
[17].
2.4.1. Các công thức cơ bản
Phương trình chuyển vị
( )
,w x y
của tấm được biểu diễn dưới dạng chuỗi:
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 2 2
1
, , , ,

n
i i n n
i
w x y a a x y a x y a x y
=
= ϕ = ϕ + ϕ + + ϕ
∑
(2.40)
trong đó:
i
a
- hệ số cần tìm,
1i n= ÷
.
( )
,
i
x yϕ
- hàm chọn trước, độc lập tuyến tính, thỏa mãn điều kiện biên
động học và không nhất thiết thỏa mãn điều kiện biên tĩnh học.
31
Hệ số
i
a
được xác định từ điều kiện thế năng toàn phần
Π
đạt cực tiểu:
0
i
a

∂Π
=
∂

( 1 )i n= ÷
(2.41)
Biểu thức thế năng toàn phần
Π
của tấm mỏng có dạng, [17]:
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
0 0
2 1 , ,
2
a b
p
D
w w w w w
q x y w x y dxdy
x y x y x y
 
 
   
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
Π = + − −µ − −
 
 

 ÷  ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
   
 
 
 
∫∫

(2.42)
Thay (2.40) vào (2.42), thế năng toàn phần
Π
có dạng:
2 2 2
11 1 22 2 33 3 12 1 2 13 1 3 23 2 3
1 1 2 2
1 1 1

2 2 2

p p np n
a a a a a a a a a
a a a
Π = δ + δ + δ + + δ + δ + + δ +
−∆ − ∆ − ∆
(2.43)
trong đó:
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
0 0

a b
i k i k i k i k
ik ki p
D
x x x y y x y y

∂ ϕ ∂ ϕ ∂ ϕ ∂ ϕ ∂ ϕ ∂ ϕ ∂ ϕ ∂ ϕ
δ = δ = + + + −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∫∫

( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
1 2
i k i k i k
dxdy
x y y x x y x y

 
∂ ϕ ∂ ϕ ∂ ϕ ∂ ϕ ∂ ϕ ∂ ϕ
− −µ + −

 ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 

(2.44)

0 0
a b
ip i
q dxdy∆ = ϕ
∫∫
(2.45)
Hệ số
i
a
được xác định từ điều kiện giá trị dừng của thế năng toàn phần. Áp
dụng (2.41) cho (2.43) sẽ nhận được hệ phương trình đại số xác định các hệ số
i
a
:
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
1 1 2 2 3 3
0
0

0
n n p
n n p
n n n nn n np
a a a a
a a a a
a a a a
δ + δ + δ + δ + ∆ =
δ +δ +δ + δ + ∆ =
δ +δ + δ + δ + ∆ =

(2.46)
Giải (2.46) xác định được các hệ số
i
a
, thay vào (2.40) xác định được
phương trình chuyển vị
( )
,w x y
.
2.4.2. Thí dụ
Thí dụ 6: Tính tấm chữ nhật chu vi tựa khớp chịu tải trọng phân bố đều q.
Nghiệm gần đúng chỉ lấy một thành phần của chuỗi:
( ) ( )
1 1
, ,w x y a x y= ϕ
. Biểu
diễn
( )
1
,x yϕ
dưới dạng tích hai hàm số:
( ) ( ) ( )
1 1 1
,x y x yϕ = ψ χ
(1)
32
trong đó:
- hàm
( )
1

xψ
thỏa mãn điều kiện biên tại x=0, x=a:
( )
, 0w x y =
và
( )
2
2
,
0
w x y
x
∂
=
∂

- hàm
( )
1
yχ
thỏa mãn điều kiện biên tại y=0, y=b:
( )
, 0w x y =
và
( )
2
2
,
0
w x y

y
∂
=
∂
Sử dụng (2.44) và (2.45) cho (1), nhận được:
"2 2 " " 2 "2 " " '2 '2
11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0
2 (1 )( 2 )
a b a b
p
D dxdy
 

δ = ψ χ + ψ χ χ + ψ χ − −µ ψ χ ψ χ − ψ χ
 

 
∫∫ ∫∫
1 1 1
0 0
a b
p
q dxdy∆ = χ ψ
∫∫
Chọn hàm:
( )
4 3 3
1
2x x ax a xψ = − +

( )
4 3 3
1
2y y by b yχ = − +
Lấy đạo hàm các hàm
( )
1
xψ
,
( )
1
yχ
thay vào biểu thức xác định
11
δ
,
1p
∆
và chú ý
điều kiện biên, nhận được:
2
7 7
11
0,0236
p
a b
a b D
b a
 
δ = +

 ÷
 
5 5
1
25
p
qa b
∆ =
1
1
2
11
2 2 2
0,1695
p
p
a
a b
D a b
b a
∆
= =
δ
 
+
 ÷
 
Với tấm vuông
b a=
, nên

1
4
0,0424
p
q
a
a D
=
.
Phương trình chuyển vị của tấm:
( )
( ) ( )
4 3 3 4 3 3
4
0,0424
, 2 2
p
q
w x y x ax a x y ay a y
a D
= − + − +

thay
0,5x y a= =
, độ võng tại tâm của tấm:
( )
4
0,5 0,00411
p
qa

w x y a
D
= = =
. So
với nghiệm chính xác khi giải bằng phương pháp chuỗi lượng giác
( )
4
0,5 0,00406
p
qa
w x y a
D
= = =
, sai số 1,5%.
Mô men uốn tại tâm của tấm, với
0.3µ =
:

( )
" " 2
1 1 1 1 1
0,0517
x p
M D a qa= − ψ χ + µψ χ =
, so với nghiệm chính xác
2
0,0479
x
M qa=
, sai số 8%.

33
Lực cắt:
( )
''' ' "
1 1 1 1 1
2 0,357
x p
Q D a qa
 
= − ψ χ + −µ ψ χ =
 
, so với nghiệm chính xác
0,42
x
Q qa=
, sai số 10,7%.
Để tăng độ chính xác kết quả cần tăng số lượng thành phần chuỗi.
2.5. PHƯƠNG PHÁP BUTNOP-GALOOCKIN
Phương pháp Butnop-Galoockin sử dụng nguyên lý công khả dĩ, [17].
2.5.1. Các công thức cơ bản
Phương trình chuyển vị
( )
,w x y
của tấm được biểu diễn dưới dạng chuỗi:
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 2 2
1
, , , ,
n
i i n n

i
w x y a a x y a x y a x y
=
= ϕ = ϕ + ϕ + + ϕ
∑
(2.47)
trong đó:
i
a
- hệ số cần tìm.
( )
,
i
x yϕ
- hàm chọn trước, độc lập tuyến tính, thỏa mãn điều kiện biên
động học và cả điều kiện biên tĩnh học.
Thay (2.47) vào phương trình vi phân cân bằng của tấm (1.26), sau đó nhân
hai vế với
( )
,
k
x yϕ
và tích phân trên toàn bộ diện tích tấm:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
, , , ,
p i i k k
S S
D a x y x y dxdy q x y x y dxdy
 

∇ ∇ ϕ ϕ = ϕ
 
∑
∫∫ ∫∫
(2.48)
Ký hiệu:
( ) ( )
2 2
, ,
ik ki i k
S
x y x y dxdyδ = δ = ∇ ∇ ϕ ϕ
∫∫
(2.49)

( )
( )
,
,
kq k
p
S
q x y
x y dxdy
D
∆ = ϕ
∫∫
(2.50)
Khai triển (2.48) nhận được hệ phương trình đại số xác định các hệ số
i

a
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
1 1 2 2 3 3




n n q
n n q
n n n nn n nq
a a a a
a a a a
a a a a
δ + δ + δ + δ = ∆
δ +δ +δ + δ = ∆
δ +δ + δ + δ = ∆
(2.51)
thay
i
a
vào (2.47) nhận được phương trình chuyển vị
( )
,w x y
của tấm.
2.5.2. Thí dụ
Thí dụ 7: Tính tấm chữ nhật ngàm theo chu vi chịu tải trọng phân bố đều.
Điều kiện biên:
0
w

w
x
∂
= =
∂
khi
x a= ±

34

0
w
w
y
∂
= =
∂
khi
y b= ±
Chọn hàm
( )
,w x y
có dạng:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 3
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2
,w x y a x a y b a x a y b= − − + − − +
( ) ( ) ( ) ( )

3 2 3 3
2 2 2 2 2 2 2 2
3 4
a x a y b a x a y b+ − − + − − +
Các hàm
( )
,
i
x yϕ
thỏa mãn điều kiện biên.
Nghiệm gần đúng được tìm với một thành phần của chuỗi:
( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
1
,w x y a x a y b= − −
(1)
Từ (2.49), (2.50):
( ) ( )
4
11 1 1
, ,
a b
a b
x y x y dxdy
− −
δ = ∇ ϕ ϕ
∫ ∫
( ) ( ) ( )

( )
4 4 4
1 1 1
11 1
4 2 2 4
, , ,
2 ,
a b
a b
x y x y x y
x y dxdy
x x y y
− −
 
∂ ϕ ∂ ϕ ∂ ϕ
δ = + + ϕ =
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂
 
∫ ∫

4 2 2 4 5 5
4
52,0126
7
b a b a a b
 
= + +
 ÷
 

( )
( )
( ) ( )
5 5
2 2 2 2
1
,
, 1,1377
a b a b
q i
p p p
a b a b
q x y
q qa b
x y dxdy x a y b dxdy
D D D
− − − −
∆ = ϕ = − − =
∫ ∫ ∫ ∫
rút ra,
( )
1
1
4 2 2 4
11
0,0546
4 / 7
q
p
q

a
a a b b D
∆
= =
δ
+ +
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
1 1
4 2 2 4
, , 0,0546
4 / 7
p
q
w x y a x y x a y b
a a b b D
= ϕ = − −
+ +
Độ võng lớn nhất tại tâm (
0x y= =
) của tấm vuông
a b
=
:
( )
4
0 0,0213

p
qa
w x y
D
= = =
(Nghiệm chính xác :
( )
4
0 0,0202
p
qa
w x y
D
= = =
)
Mô men uốn lớn nhất tại giữa cạnh biên khi
, 0x a y= ± =
2 2
2
2 2
0,171
x p
w w
M D qa
x y
 
∂ ∂
= − +µ = −
 ÷
∂ ∂

 
(Nghiệm chính xác
2
0,205
x
M qa= −
).
C. PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN
Nhiều bài toán cơ học khi giải bằng phương pháp giải tích khó khăn hoặc
không giải được, người ta thường sử dụng các phương pháp số như phương pháp
35
sai phân hữu hạn (PP SPHH) hoặc phương pháp phần tử hữu hạn (PP PTHH).
Phương pháp số là phương pháp rời rạc hóa kết cấu liên tục, đưa việc xét
nghiệm của hệ liên tục về xác định nghiệm tại các điểm nút của lưới sai phân
trong PP SPHH hay tại các điểm nút trong PP PTHH.
2.6. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN
Phương pháp sai phân hữu hạn mang bản chất toán học, trong đó các đạo
hàm riêng của phương trình vi phân cân bằng của tấm (1.26) được thay bằng các
biểu thức sai phân. Điều kiện biên của tấm cũng được biểu diễn qua phép sai
phân. Khi xét tại các điểm nút trong lưới sai phân, từ phương trình vi phân cân
bằng của tấm dưới dạng sai phân, nhận được hệ phương trình đại số xác định
chuyển vị tại các điểm nút. Biểu thức xác định nội lực của tấm cũng được biểu
diễn qua phép sai phân nên nội lực tại các điểm nút trên lưới sai phân được xác
định qua các chuyển vị tại các nút trên lưới sai phân.
2.6.1. Biểu thức sai phân
Trong trường hợp bước sai phân
x y h∆ = ∆ = ∆
, hình 2-4, đạo hàm các cấp
tại điểm nút i trên lưới sai phân được xác định theo các công thức, [17]:

Hình 2-4. Các điểm nút của lưới sai phân quanh nút i
2.
l k
w w
w
x h
−
∂
=
∂ ∆
(2.52)
2
2 2
2
l i k
w w w
w
x h
− +
∂
=
∂ ∆
(2.53)
3
3 3
2 2
2.
t e k S
w w w w
w

x h
− + −
∂
=
∂ ∆
(2.54)
4
4 4
4 6 4
t e t k S
w w w w w
w
x h
− + − +
∂
=
∂ ∆
(2.55)
36
2
0
2
4.
r q p
w w w w
w
x y h
+ − −
∂
=

∂ ∂ ∆
(2.56)
3
0
2 3
2 2
2.
r p m n q
w w w w w w
w
x y h
− − + + −
∂
=
∂ ∂ ∆
(2.57)
4
0
2 2 4
4 2 2 2 2
i e m k n r q p
w w w w w w w w w
w
x y h
− − − − + + + +
∂
=
∂ ∂ ∆
(2.58)
2.

m n
w w
w
y h
−
∂
=
∂ ∆
(2.59)
2
2 2
2
m i n
w w w
w
y h
− +
∂
=
∂ ∆
(2.60)
3
3 3
2 2
2.
u m n v
w w w w
w
y h
− + −

∂
=
∂ ∆
(2.61)
4
4 4
4 6 4
u m i n v
w w w w w
w
y h
− + − +
∂
=
∂ ∆
(2.62)
3
2 3
2 2
2.
r o e k p q
w w w w w w
w
x y h
− − + + −
∂
=
∂ ∂ ∆
(2.63)
2.6.2. Phương trình vi phân cân bằng của tấm dưới dạng sai phân

Phương trình vi phân cân bằng của tấm mỏng chịu tải trọng phân bố
( )
,q x y
có dạng:
( )
4 4 4
4 2 2 4
,
2
p
q x y
w w w
x x y y D
∂ ∂ ∂
+ + =
∂ ∂ ∂ ∂
(1.26)
Phương trình sai phân của (1.26) tại nút
i
nhận được bằng cách thay các
đạo hàm riêng bằng các biểu thức sai phân tương ứng:
( )
( )
4
0
.
20 8 2
i
i l m k n r q p t S u v
p

q h
w w w w w w w w w w w w w
D
∆
− + + + + + + + + + + + =

(2.64)
Khai triển (2.64) cho
n
nút trong biên (
1i n
= ÷
) nhận được
n
phương trình
đại số xác định chuyển vị tại các nút. Chuyển vị của các nút trên biên và ngoài
biên được xác định từ điều kiện biên.
2.6.3. Điều kiện biên
Xét các điều kiện biên dưới dạng sai phân.
1. Biên ngàm
Giả sử tại
x a=
là biên ngàm tương ứng với các điểm nút
m
,
i
,
n
trên
hình 2-4. Khi đó, điều kiện biên ngàm tại nút

i
:
37
0
i
w =
và
0
i
w
x
∂
 
=
 ÷
∂
 
(2.65)
Khi viết phương trình sai phân (2.64) cho nút sát biên sẽ xuất hiện chuyển
vị nút ngoài biên, cách biên 01 bước sai phân, ví dụ viết cho nút
k
sẽ xuất hiện
chuyển vị tại nút
l
. Do đó, cần xác định chuyển vị tại nút
l
qua chuyển vị của
các nút trong biên từ điều kiện biên.
Khai triển Taylo:
2 2 3 3

2 3
,

1! 2! 3!
l i
i
i i trai
h w h w h w
w w
x x x
   
∆ ∂ ∆ ∂ ∆ ∂
 
= + + + +
 ÷  ÷
 ÷
∂ ∂ ∂
 
   
Thay các đạo hàm bằng các biểu thức sai phân:
2 3
2 3
2.0 3.0 3
0 0
2 1.2.3
l k l k S
l
w w w w w
h h
w

h h
− + − + −
∆ ∆
   
= + + +
 ÷  ÷
∆ ∆
   
hay,
1 1 1 1 1
2 2 6 2 2
l l k l k S
w w w w w w= + + + −
rút gọn,
1
3
2
l k S
w w w= −
(1)
Tương tự cho biên ngàm theo trục y:
1
3
2
m n v
w w w= −
(2)
Biểu thức (1) và (2) biểu diễn chuyển vị nút ngoài biên qua các chuyển vị
nút trong biên khi nút
i

là biên ngàm. Như vậy, từ (2.65):
- Điều kiện biên ngàm tại nút
i
trên biên trục
x
:
0
i
w =
và
1
3
2
l k S
w w w= −
(2.66.a)
- Điều kiện biên ngàm tại nút
i
trên biên trục
y
:
0
i
w =
và
1
3
2
m n v
w w w= −

(2.66.b)
2. Biên tựa khớp
Giả sử biên tựa khớp tại
x a=
. Điều kiện biên tựa khớp tại nút
i
:
0
i
w =
và
2
2
0
i
w
x
 
∂
=
 ÷
∂
 
(2.67)
Tương tự như biên ngàm, cần biểu diễn chuyển vị tại nút
l
qua chuyển vị
nút trên biên và trong biên. Thay đạo hàm riêng của (2.67) bằng biểu thức sai
phân tại nút tựa khớp
i

:
2
2
0
l i k
w w w
h
− +
=
∆
, vì
0
i
w =
nên rút ra:

l k
w w= −
(3)
Tương tự, tại nút
i
trên biên tựa khớp
y b=
:
m n
w w= −
(4)
38
Như vậy, từ (2.67):
- Điều kiện biên khớp tại nút

i
trên biên trục
x
:
0
i
w =
và
l k
w w= −
(2.68.a)
- Điều kiện biên khớp tại nút
i
trên biên trục
y
:
0
i
w =
và
m n
w w= −
(2.68.b)
3. Biên tự do
Giả sử biên tự do tại nút
i
trên trục
x
, điều kiện biên có dạng:
2 2

2 2
0
x
w w
M
x y
∂ ∂
= +µ =
∂ ∂
(2.69.a)
( )
3 3
3 2
2 0
x
w w
Q
x x y
∂ ∂
= + −µ =
∂ ∂ ∂
(2.70.a)
Thay đạo hàm riêng bằng các biểu thức sai phân tương ứng:
( )
2 2 0
l i k m i n
w w w w w w− + + µ − + =
(2.69.b)
( )
( )

0
2 2 2 2 2 0
t l k S r l k p q
w w w w w w w w w w− + − + −µ − − + + − =
(2.70.b)
Trong (2.70.b) xuất hiện chuyển vị
t
w
cách biên hai bước sai phân, nên cần
sử dụng thêm 01 điều kiện biên tại nút tự do của tấm là lực tập trung có giá trị
bằng:
( )
2
1 0
xy p
w
M D
x y
∂
= − −µ =
∂ ∂
, biểu diễn dưới dạng sai phân:
0
0
r q p
w w w w+ − − =
(2.71)
Như vậy, điều kiện biên tự do tại nút
i
trên biên trục

x
có dạng (2.69)
÷
(2.71).
2.6.4. Biểu thức nội lực
Nội lực tại nút
i
dưới dạng sai phân:
2 2
2 2 2 2
2 2
l i k m i n
x p p
w w w w w w
w w
M D D
x y h h
 
− + − +
∂ ∂
 
= − +µ = − + µ
 ÷
 ÷
∂ ∂ ∆ ∆
 
 
(2.72)
2 2
2 2 2 2

2 2
m i n e i k
y p p
w w w w w w
w w
M D D
y x h h
 
− + − +
∂ ∂
 
= − +µ = − + µ
 ÷
 ÷
∂ ∂ ∆ ∆
 
 
(2.73)
( ) ( )
2
2
1 1
4.
r q o p
xy p p
w w w w
w
M D D
x y h
+ − −

∂
= − −µ = − −µ
∂ ∂ ∆
(2.74)
Lực cắt tương đương và lực cắt:
( )
3 3
3 2
2
x p
w w
Q D
x y x
 
∂ ∂
= − + −µ
 
∂ ∂ ∂
 
39
( )
0
3 3
2 2
2 2
2
2. 2.
r e k p q
t e k S
p

w w w w w w
w w w w
D
h h
− − + + −
 
− + −
= − + −µ
 
∆ ∆
 
(2.75)
( )
3 3
3 2
2
y p
w w
Q D
y x y
 
∂ ∂
= − + −µ
 
∂ ∂ ∂
 
( )
0
3 3
2 2

2 2
2
2. 2.
r p m n q
u m n v
p
w w w w w w
w w w w
D
h h
− − + + −
 
− + −
= − + −µ
 
∆ ∆
 
(2.76)
2 2 3 3
2
2 2 3 2
x p p p
w w w w
Q D w D D
x x x y x x y
   
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
= − ∇ = − + = − +
 ÷  ÷

 ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
   

0
3 3
2 2
2 2
2. 2.
r e k p q
t e k S
p
w w w w w w
w w w w
D
h h
− − + + −
 
− + −
= − +
 ÷
∆ ∆
 
(2.77)
2 2 3 3
2
2 2 3 2
y p p p
w w w w

Q D w D D
y y x y y y x
   
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= − ∇ = − + = − +
 ÷  ÷
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
   
0
3 3
2 2 2 2
2. 2.
r p m n q u m n v q
p
w w w w w w w w w w w
D
h h
− − + + − − + − −
 
= − +
 ÷
∆ ∆
 
(2.78)
Ưu điểm của PP SPHH là đơn giản, thuận lợi khi lập trình.
Nhược điểm của phương pháp là:
- Do có sự xuất hiện chuyển vị ngoài lưới sai phân nên số lượng ẩn số của

hệ phương trình lớn, đặc biệt khi tấm có biên tự do;
- Độ chính xác không cao khi chia lưới sai phân thưa;
- Số lượng phương trình tăng đáng kể nếu lưới chia dày;
- Hệ phương trình sai phân các thành phần không có tính đối xứng.
2.6.5. Thí dụ tính toán
Thí dụ 8: Tính tấm mỏng hình vuông
cạnh
a
, chu vi tựa khớp chịu tải trọng
phân bố đều
q
. Chia lưới sai phân, hình
2-5, với
/ 4x y h a∆ = ∆ = ∆ =
. Do hệ đối
xứng chịu tải trọng đối xứng nên chuyển
vị nút có tính đối xứng.
Ký hiệu chỉ số nút trong biên là 1,
2, 3; trên biên là 4, 5 và ngoài biên là 6,
7, 8.
Điều kiện biên chu vi tựa khớp nên
tại nút
i
trên biên
0
i
w =
,
l k
w w=

. Đối với bài toán này:
4 5
0w w= =
;
6 3
w w= −
,
40
1 2 5 77 5 2
2
23 3
3 3
5
54 4
4
4
4
4
4
46
6
6
6
6 7 6
6 7 6
Hình 2-5. Tấm vuông chu vi tựa khớp.
7 2
w w= −
.
Phương trình sai phân cho các nút 1, 2, 3 theo (2.64) có chú ý đến điều kiện

biên có dạng:
- tại nút
1i
=
( ) ( )
4
1 2 2 2 2 3 3 3 3 5 5 5 5
.
20 8 2
p
q h
w w w w w w w w w w w w w
D
∆
− + + + + + + + + + + + =
thay điều kiện biên
5
0w =
, nhận được:
4
1 2 3
.
20 32 8
p
q h
w w w
D
∆
− + =
(1)

- tại nút
2i =
( ) ( )
4
2 5 3 1 3 4 2 2 4 7 2 4 4
.
20 8 2
p
q h
w w w w w w w w w w w w w
D
∆
− + + + + + + + + + + + =
thay điều kiện biên
5 4
0w w= =
,
7 2
w w= −
nhận được:
4
1 2 3
.
8 24 16
p
q h
w w w
D
∆
− + − =

(2)
- tại nút
3i
=
( ) ( )
4
3 4 4 2 2 8 5 1 5 6 3 6 3
.
20 8 2
p
q h
w w w w w w w w w w w w w
D
∆
− + + + + + + + + + + + =
thay điều kiện biên
5 4 8
0w w w= = =
,
6 3
w w= −
, nhận được:
4
1 2 3
.
2 16 20
p
q h
w w w
D

∆
− + =
(3)
Giải hệ phương trình (1), (2), (3) nhận được:
4 4
3
1
33 .
4,028.10
32
p p
q h qa
w
D D
−
∆
= =
4 4
3
2
3 .
2,929.10
4
p p
q h qa
w
D D
−
∆
= =

4 4
3
3
35 .
2,1362.10
64
p p
q h qa
w
D D
−
∆
= =
Nghiệm chính xác chuyển vị tại tâm của tấm
4
3
1
4,06.10
p
qa
w
D
−
=
, sai số
-0,78%. Mô men uốn
x
M
tại tâm của tấm tính theo (2.92) với
1i

=
và
0,3µ =
41
2 2
2 2 2 2
2 2
l i k m i n
x p p
w w w w w w
w w
M D D
x y h h
 
− + − +
∂ ∂
 
= − +µ = − + µ
 ÷
 ÷
∂ ∂ ∆ ∆
 
 
2
2 1 2 2 1 2
2 2
2 2
0,0457
p
w w w w w w

D qa
h h
− + − +
 
= − +µ =
 ÷
∆ ∆
 
Sai số so với giá trị chính xác
2
0,0479
x
M qa=
là +4,6%.
Thí dụ 9: Tính tấm mỏng hình vuông cạnh a, chu vi ngàm chịu tải trọng phân bố
đều q. Chia lưới sai phân, hình 2-5, với
/ 4x y h a∆ = ∆ = ∆ =
. Do hệ đối xứng chịu
tải trọng đối xứng nên chuyển vị nút có tính đối xứng. Ký hiệu chỉ số nút trong
biên là 1, 2, 3; trên biên là 4, 5; ngoài biên là 6, 7, 8.
Điều kiện biên chu vi ngàm nên tại nút
i
trên biên:
0
i
w =
,
3 0,5
i k S
w w w= −

.
Đối với bài toán này:
4 5
0w w= =

6 3 2
3 0,5w w w= −
7 2 1
3 0,5w w w= −
- tại nút
1i
=
( ) ( )
4
1 2 2 2 2 3 3 3 3 5 5 5 5
.
20 8 2
p
q h
w w w w w w w w w w w w w
D
∆
− + + + + + + + + + + + =
thay điều kiện biên
5
0w =
, nhận được:
4
1 2 3
.

20 32 8
p
q h
w w w
D
∆
− + =
(1)
- tại nút
2i =
( ) ( )
4
2 5 3 1 3 4 2 2 4 7 2 4 4
.
20 8 2
p
q h
w w w w w w w w w w w w w
D
∆
− + + + + + + + + + + + =
thay điều kiện biên
5 4
0w w= =
,
7 2
w w= −
, nhận được:
4
1 2 3

.
8,5 28 16
p
q h
w w w
D
∆
− + − =
(2)
- tại nút
3i
=
( ) ( )
4
3 4 4 2 2 8 5 1 5 6 3 6 3
.
20 8 2
p
q h
w w w w w w w w w w w w w
D
∆
− + + + + + + + + + + + =
thay điều kiện biên
5 4
w w=
,
6 3
w w= −
,

8
0w =
, nhận được:
4
1 2 3
.
2 17 28
p
q h
w w w
D
∆
− + =
(3)
Giải hệ phương trình (1), (2), (3), nhận được:
4 4
3
1
.
0,3581 1,3988.10
p p
q h qa
w
D D
−
∆
= =

4 4
4

2
.
0,23 8,984.10
p p
q h qa
w
D D
−
∆
= =
42
4 4
4
3
.
0,1498 5,851.10
p p
q h qa
w
D D
−
∆
= =
Nghiệm chuyển vị chính xác tại tâm của tấm
4
3
1
0,126.10
p
qa

w
D
−
=
, sai số
+9,8%. Mô men uốn
x
M
tại tâm của tấm tính theo (2.92) với
1i =
và
0,3µ =
2 2
2 2 2 2
2 2
l i k m i n
x p p
w w w w w w
w w
M D D
x y h h
 
− + − +
∂ ∂
 
= − +µ = − + µ
 ÷
 ÷
∂ ∂ ∆ ∆
 

 
2
2 1 2 2 1 2
2 2
2 2
0,02078
p
w w w w w w
D qa
h h
− + − +
 
= − +µ =
 ÷
∆ ∆
 
so với giá trị chính xác
2
0,0231
x
M qa=
, sai số -11,16%.
D. TÍNH TẤM MỎNG TRONG HỆ TỌA ĐỘ CỰC
2.7. TÍNH TẤM TRÒN
2.7.1. Phương trình vi phân cân bằng
Tấm tròn được tính toán trong hệ tọa độ cực. Hệ tọa độ cực và nội lực tấm
tròn được biểu diễn trên hình 2-6.
Hình 2-6. Hệ tọa độ cực và nội lực tấm tròn.
Phương trình vi phân tấm mỏng chịu uốn trong hệ tọa độ cực được suy ra từ
phương trình vi phân của tấm mỏng xét trong hệ tọa độ vuông góc OXY.

Quan hệ giữa hệ tọa độ cực
( )
r ϕ
và hệ tọa độ vuông góc OXY, [9]:
x rcos= ϕ
y rsin= ϕ
2 2 2
r x y= +
y
artg
x
ϕ =
(1)
r x
cos
x r
∂
= = ϕ
∂

r y
sin
y r
∂
= = ϕ
∂

2
y sin
x r r

∂ϕ ϕ
= − = −
∂

2
x cos
y r r
∂ϕ ϕ
= =
∂
(2)
Đạo hàm bậc nhất và đạo hàm bậc hai của chuyển vị pháp tuyến
w
lấy với
biến
x
,
y
:
43
1w w r w w w
cos sin
x r x x r r
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ϕ ∂ ∂
= + = ϕ − ϕ
∂ ∂ ∂ ∂ϕ ∂ ∂ ∂ϕ
(3)
1w w r w w w
sin cos
y r y y r r

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ϕ ∂ ∂
= + = ϕ+ ϕ
∂ ∂ ∂ ∂ϕ ∂ ∂ ∂ϕ
(4)
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2
2 2
w w w sin cos w sin w sin cos w sin
cos
x r r r r r r r
∂ ∂ ∂ ϕ ϕ ∂ ϕ ∂ ϕ ϕ ∂ ϕ
= ϕ− + + +
∂ ∂ ∂ ∂ϕ ∂ ∂ϕ ∂ϕ
(5)
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2
2 2
w w w sin cos w cos w sin cos w cos
sin
y r r r r r r r
∂ ∂ ∂ ϕ ϕ ∂ ϕ ∂ ϕ ϕ ∂ ϕ
= ϕ+ + − +
∂ ∂ ∂ ∂ϕ ∂ ∂ϕ ∂ϕ
(6)
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2w w w cos w cos w sin cos w sin cos
sin cos

x y r r r r r r r
∂ ∂ ∂ ϕ ∂ ϕ ∂ ϕ ϕ ∂ ϕ ϕ
= ϕ ϕ+ − − −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ϕ ∂ϕ ∂ ∂ϕ
(7)
Từ (5) và (6), toán tử Laplat biểu diễn trong hệ tọa độ cực có dạng:
2 2 2 2
2
2 2 2 2 2
1 1w w w w w
w
x y r r r r
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∇ = + = + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ϕ
(8)
Phương trình vi phân tấm mỏng chịu uốn trong hệ tọa độ cực, có dạng:
( )
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
,
1 1 1 1
p
q r
w w w
w
r r r r r r r r D
ϕ
  

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∇ ∇ = + + + + =
 ÷ ÷
∂ ∂ ∂ϕ ∂ ∂ ∂ϕ
  
(2.79)
Nếu tải trọng phân bố đối xứng trục qua tâm tấm, phương trình vi phân tấm
mỏng chịu uốn trong hệ tọa độ cực (2.79) không phụ thuộc biến
ϕ
, có dạng:
( ) ( )
2
2
2
1 1 1
p
dw r q r
d d d
w r r
r r r r dr dr r dr dr D
 
 
 
 
∂ ∂
 
+ = =
 
 
 ÷

 ÷
∂ ∂
 
 
 
 
 
 
(2.80)
Tích phân phương trình này sẽ dễ dàng với tải trọng
( )
q r
. Trong trường
hợp này, chuyển vị
w
và nội lực không phụ thuộc biến
ϕ
.
2.7.2. Xác định nội lực
Nội lực phân bố trên một đơn vị chiều dài trong hệ tọa độ cực, hình 2-6,
được xác định qua chuyển vị
w
, với giả thiết chọn trục
x
trùng với bán kính
r
,
tương ứng
0ϕ =
, chú ý đến (5), (6), (7) có dạng:

2 2 2 2
2 2 2 2 2
0
1 1
r p p
w w w w w
M D D
x y r r r r
ϕ=
 
   
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= − +µ = − +µ +
 
 ÷  ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ϕ
   
 
(2.81)
2 2 2 2
2 2 2 2 2
0
1 1
p p
w w w w w
M D D
y x r r r r
ϕ
ϕ=
   

∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= − +µ = − + + µ
 ÷  ÷
∂ ∂ ∂ ∂ϕ ∂
   
(2.82)
( ) ( )
2 2
2
0
1 1
1 1
r p p
w w w
M D D
x y r r r
ϕ
ϕ=
   
∂ ∂ ∂
= − µ = − µ −
 ÷  ÷
∂ ∂ ∂ ∂ϕ ∂ϕ
   
(2.83)
44
( )
2
r p
Q D w

r
∂
= − ∇
∂
( )
2
p
Q D w
r
ϕ
∂
= − ∇
∂ϕ
(2.84)
Nội lực của tấm khi chịu tải trọng đối xứng trục (không phụ thuộc biến
ϕ
):
2
2
r p
w w
M D
r r r
 
∂ µ ∂
= − +
 
∂ ∂
 
2

2
1
p
w w
M D
r r r
ϕ
 
∂ ∂
= − + µ
 ÷
∂ ∂
 
2
2
1
r p
w w
Q D
r r r r
 
∂ ∂ ∂
= − +
 ÷
∂ ∂ ∂
 

0
r
Q M

ϕ ϕ
= =
(2.85)
2.7.3. Điều kiện biên
1. Tấm tròn bán kính
r a=
, biên ngàm theo chu vi, điều kiện biên có dạng:
( )
0
r a
r a
w
w
r
=
=
∂
 
= =
 ÷
∂
 
(2.86)
2. Tấm tròn bán kính
r a=
, biên tựa khớp theo chu vi, điều kiện biên có dạng:
( )
0
r a
w

=
=
( )
2
2
0
r
r a
r a
w w
M
r r r
=
=
 
∂ µ ∂
= + =
 
∂ ∂
 
(2.87)
3. Tấm tròn bán kính
r a=
, biên tự do theo chu vi, điều kiện biên có dạng:
( )
2 2
2 2 2
1 1
0
r

r a
r a
w w w
M
r r r r
=
=
 
 
∂ ∂ ∂
= + + =
 
 ÷
∂ ∂ ∂
 
 
µ
ϕ
(2.88a)
3 2 2 3
3 2 2 3 2 2 2
1 1 2
0
r
r
r a r a
M
w w w w w
V Q
r r r r r r r r r

ϕ
= =
∂
  
∂ ∂ ∂ −µ ∂ µ ∂
= − = + − − + =
 ÷
 
∂ϕ ∂ ∂ ∂ ∂ϕ ∂ ∂ϕ
   
(2.88b)
2.7.4. Thí dụ
Thí dụ 10: Tính tấm tròn chịu tải trọng phân bố đều
( )
q r q const= =
. Bằng cách
tích phân (2.80), phương trình chuyển vị của tấm tròn bán kính
r a=
chịu tải
phân bố
( )
q r const q= =
, có dạng, [9]:
( )
4 2
1 2 3
64 4
p
qr r r
w r C C ln C

D a
= + + +
(9)
Trong đó:
1
C
,
2
C
và
3
C
là các hằng số tích phân xác định từ điều kiện biên.
a. Tấm ngàm theo chu vi
Góc xoay:
( )
3
1 2
1
16 2
p
dw qr r
r C C
dr D r
θ = = + +
(10)
Điều kiện biên thứ nhất: góc xoay
( )
rθ
tại

0r =
bằng không. Từ (10):
( )
3
1 2
0
1
0 0
16 2
p
r
qr r
C C
D r
=
 
θ = + + =
 ÷
 ÷
 
Rút ra:
2
0C =
45
Sử dụng điều kiện biên thứ hai: góc xoay
( )
rθ
tại
r a=
bằng không. Từ

(10) với chú ý
2
0C =
:
( )
3
1
0
16 2
p
qa a
a C
D
 
θ = + =
 ÷
 ÷
 
, rút ra:
2
1
8
p
qa
C
D
= −
. Thay
1
C

,
2
C
vào (9):
( )
4 2 2
3
64 32
p p
qr qa r
w r C
D D
= − +
(11)
Sử dụng điều kiện biên: chuyển vị
( )
0w a =
, rút ra:
4
3
64
p
qa
C
D
=
. Thay
3
C
vào (11) nhận được phương trình chuyển vị của tấm tròn bán kính

r a=
chịu tải
trọng phân bố đều
( )
q r const q= =
trong hệ tọa độ cực:
( )
( )
2
2 2
64
p
q
w r a r
D
= −
(2.89.a)
Chuyển vị lớn nhất tại tâm của tấm
0r =
:
( )
4
0
64
max
p
qa
w r
D
= =

(2.89.b)
Nội lực của tấm xác định từ (2.81)
÷
(2.85) :

( ) ( ) ( )
2 2
1 3
16
r
q
M r a r
 
= +µ − +µ
 

( )
2
8
r
qa
M r a= = −
(2.90)

( ) ( ) ( )
2 2
1 1 3
16
q
M r a r

ϕ
 
= +µ − + µ
 

( )
2
8
qa
M r a
ϕ
= = −µ
(2.91)
( ) ( ) ( )
2
0 0 1
16
r
qa
M r M r
ϕ
= = = = + µ
(2.92)
( )
0
r
M r
ϕ
=
( )

2
r
qr
Q r = −
( )
0Q r
ϕ
=
(2.93)
b. Tấm tựa khớp theo chu vi
Phương trình chuyển vị, nội lực của tấm tròn bán kính
r a=
, biên tựa khớp
theo chu vi, chịu tải trọng phân bố đều
( )
q r const q= =
trong hệ tọa độ cực:
( )
( )
( ) ( )
2 2
2
2 2 2 2 2 2
5 4
64 1 64 1
p p
q a r
q a
w r a r a r a r
D D

−
 
 
+µ
= − = − − +
 ÷
 
+µ +µ
 
 
(2.94.a)
( )
( )
( )
4
5
0
64 1
max
p
qa
w r
D
+ µ
= =
+µ
(2.94.b)
( ) ( )
( )
2 2

3
16
r
q
M r a r= + µ −

( ) ( ) ( )
2 2
3 1 3
16
q
M r a r
ϕ
 
= +µ − + µ
 
(2.95)
46
( ) ( ) ( )
2
, ,
0 0 3
16
max r max
qa
M r M r
ϕ
= = = = +µ

2

r
qr
Q = −

0Q
ϕ
=
(2.96)
Thí dụ 11: Tấm tròn chu vi tựa khớp chịu mô men phân bố đều trên chu vi cường
độ
( )
m r const m= =
.
Phương trình chuyển vị có dạng:
( )
( )
( )
2 2
2 1
p
m
w r a r
D
= −
+ µ
(2.97)
Mô men uốn phân bố đều trên phạm vi toàn tấm:
( ) ( )
r
M r M r m const

ϕ
= = =
(2.98)
47