(Luận Văn Thạc Sĩ) Khai Thác Mối Quan Hệ Hình Học - Đại Số Vào Giải Một Số Bài Toán Dành Cho Học Sinh Giỏi.pdf

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

NGUYỄN THÀNH CÔNG

KHAI THÁC MỐI QUAN HỆ
HÌNH HỌC - ĐẠI SỐ VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN
DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

NGUYỄN THÀNH CÔNG

KHAI THÁC MỐI QUAN HỆ
HÌNH HỌC - ĐẠI SỐ VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN
DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. Trịnh Thanh Hải

THÁI NGUYÊN - 2019


✐

▼ư❝ ❧ư❝
▲í✐ ❝↔♠ ì♥
✶
▲í✐ ♥â✐ ✤➛✉
✶
✶ ❑❤❛✐ t❤→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✣↕✐ sè ✤➸ ❣✐↔✐ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❍➻♥❤
❤å❝
✸
✶✳✶✳ Þ t÷ð♥❣ ❝❤✉♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✷✳ ▼ët sè ✈➼ ❞ö ♠✐♥❤ ❤å❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✷✳✶✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❝ü❝ trà ❍➻♥❤ ❤å❝
✶✳✷✳✷✳ ❇➔✐ t♦→♥ q✉ÿ t➼❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳

✳

✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳

✳

✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳

✳ ✸

✳ ✸
✳ ✸
✳ ✶✹

✷ ❑❤❛✐ t❤→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✤➸ ởt số t
số

ị tữ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷✳ ▼ët sè ✈➼ ❞ö ♠✐♥❤ ❤å❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷✳✶✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷✳✷✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❜✐➺♥ ❧✉➟♥ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈➔ ❜➜t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
❝â t❤❛♠ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷✳✸✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷✳✹✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❝ü❝ trà ✤↕✐ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

❑➳t ❧✉➟♥
❚⑨■ ▲■➏❯ ❚❍❆▼ ❑❍❷❖

✳ ✶✾
✳ ✶✾
✳ ✶✾

✳ ✸✼
✳ ✹✸
✳ ✺✵

✺✽
✺✾

✶

▲í✐ ❝↔♠ ì♥
❚r♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❧➔♠ ❧✉➟♥ ✈➠♥✱ tỉ✐ ổ ữủ sỹ ừ ở ữợ
ú ù ❝õ❛ P●❙✳ ❚❙✳ ❚rà♥❤ ❚❤❛♥❤ ❍↔✐✳ ❚❤➛② ❧✉æ♥ q✉❛♥ t➙♠✱ t❤❡♦ ❞ã✐
s→t s❛♦✱ ❞➔♥❤ ♥❤✐➲✉ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❝❤➾ ❜↔♦ t➟♥ t ữợ t
ừ tổ ❚ỉ✐ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ✈➔ s➙✉ s➢❝ ♥❤➜t ✤➳♥ ❚❤➛②✳
❚ỉ✐ ①✐♥ ❣û✐ ❧í✐ ❝↔♠ ì♥ ✤➳♥ ❝→❝ ❚❤➛②✱ ❈æ ❦❤♦❛ ❚♦→♥ ✕ ❚✐♥ ✈➔ ♣❤á♥❣ ✣➔♦ ❚↕♦
❝õ❛ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❍å❝ ❑❤♦❛ ❤å❝ ✲ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ ❝→❝ ❚❤➛② ❈ỉ
t❤❛♠ ❣✐❛ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ❦❤â❛ ❤å❝ ❝❛♦ ❤å❝ ✷✵✶✼ ✕ ✷✵✶✾ ✤➣ t➟♥ t➻♥❤ ❝❤➾ ❜↔♦ tr✉②➲♥
✤↕t ❦✐➳♥ t❤ù❝ tr♦♥❣ s✉èt t❤í✐ ❣✐❛♥ t❤❡♦ ❤å❝✱ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ✈➔ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳
❈✉è✐ ❝ị♥❣✱ tỉ✐ ①✐♥ ❣û✐ ❧í✐ ❝→♠ ì♥ tỵ✐ ❣✐❛ ✤➻♥❤✱ ❜↕♥ ❜➧✱ ỗ ổ
ở ú ù ộ ỹ ✈ú♥❣ ❝❤➢❝ ✈➲ ✈➟t ❝❤➜t ✈➔ t✐♥❤ t❤➛♥ ❝❤♦ tæ✐
tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ ❤♦➔♥ t❤✐➺♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥ t❤↕❝ sÿ✳

❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ t❤→♥❣ ✶✵ ♥➠♠ ✷✵✶✾
❚→❝ ❣✐↔

◆❣✉②➵♥ ❚❤➔♥❤ ❈æ♥❣




ớ õ
ỵ ồ t
ồ ✣↕✐ sè ❧➔ ❤❛✐ ♥ë✐ ❞✉♥❣ q✉❛♥ trå♥❣ ①✉②➯♥ s✉èt ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
t♦→♥ ❚❍❈❙ ✲ ❚❍P❚ ❣â♣ ♣❤➛♥ ❝➜✉ t❤➔♥❤ ♥➯♥ ❜ë ♠æ♥ ❚♦→♥ ❤å❝✳ ❉♦ ✤â✱ ✈✐➺❝
♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❦❤❛✐ t❤→❝ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✈➔ ✣↕✐ sè ❧➔ ởt rt
q t ỗ tớ tổ q✉❛ ✤â✱ ❝❤♦ t❛ ❝→✐ ♥❤➻♥ tê♥❣ t❤➸ ❤ì♥✱
❣â♣ ♣❤➛♥ ❣✐ó♣ ❝❤ó♥❣ t❛ ❤✐➸✉ rã ❤ì♥ ✈➲ ❚♦→♥ ❤å❝ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ ❣✐ó♣ ➼❝❤ ❝❤♦ ✈✐➺❝

❞↕② ✈➔ ❤å❝ ❜ë ♠ỉ♥ ❚♦→♥ ồ
ử t t ừ ữợ ♣❤→t tr✐➸♥ tr➯♥ t❤➳ ❣✐ỵ✐ r➜t
q✉❛♥ t➙♠ ❝❤ó trå♥❣ ✈✐➺❝ ❞↕② ✈➔ ❤å❝ ❧✐➯♥ ♠ỉ♥✿ ❣✐ú❛ ❝→❝ ♠ỉ♥ ✈ỵ✐ ♥❤❛✉ ✈➔ ❣✐ú❛
❝→❝ ♣❤➙♥ ♠ỉ♥ tr♦♥❣ ❝ị♥❣ ♠ët ♠ỉ♥ ❤å❝✳ ◆➲♥ ử ừ t ổ
ữợ ừ t❤í✐ ✤↕✐✱ ✤➣ ✈➔ ✤❛♥❣ ❞➛♥ ❝❤✉②➸♥ ♠➻♥❤ t✐➳♣ ❝➟♥ ồ
ọ s t ự ử ữợ ồ ♥➔②✳
❈❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❚♦→♥ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❚❍❈❙ ✲ ❚❍P❚ ❤✐➺♥ ♥❛②✱ ❜ë ♠æ♥ ❚♦→♥
❝❤ù❛ ❤❛✐ ♠↔♥❣ rã r➺t✿ ♣❤➛♥ ✶ ❧➔ ✣↕✐ sè✱ ♣❤➛♥ ✷ ❧➔ ❍➻♥❤ ❤å❝✳ ✣✐➲✉ ♥➔② ❝â ♠➦t
t➼❝❤ ❝ü❝ ❧➔ ❣✐ó♣ ❤å❝ s✐♥❤ ♥❤➟♥ ❜✐➳t ♥❣❛② ✤÷đ❝ ❝➜✉ tró❝ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈➔ t✐➳♣
t❤✉ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ♠ët ❝→❝❤ ❝â ❤➺ t❤è♥❣✳ ◆❤÷♥❣ ♥❣÷đ❝ ❧↕✐✱ ♥â ❧➔♠ ❝❤♦ ❤å❝ s✐♥❤
❤✐➸✉ r➡♥❣ ✤➙② ❧➔ ❤❛✐ ♣❤➙♥ ♠ỉ♥ ✤ë❝ ❧➟♣ ✈ỵ✐ ♥❤❛✉✱ ❦❤ỉ♥❣ ❝â ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ t÷ì♥❣
trđ q✉❛ ❧↕✐✱ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ ✈✐➺❝ ❣➢♥ ❦➳t ❤❛✐ ♣❤➙♥ ♠ỉ♥ ♥➔② tr♦♥❣ s→❝❤ ❣✐→♦ ❦❤♦❛
❚❍❈❙✲ ❚❍P❚ ❧➔ ❝❤÷❛ ✤÷đ❝ ✤➲ ❝➟♣ rã r➔♥❣ ✤➛② ✤õ✳
❚❤ü❝ t➳ q✉→ tr➻♥❤ ❞↕② ✈➔ ❤å❝ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣✱ ❤å❝ s✐♥❤ ❤✐➸✉ ❜✐➳t ✈➲
♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ ❍➻♥❤ ồ số ỡ ỗ ữ ❤✐➸✉ ✤➙② ❧➔ ✷ ♣❤➙♥
♠æ♥ r✐➯♥❣ ❜✐➺t✱ ❣â♣ ♣❤➛♥ t↕♦ ♥➯♥ ♠æ♥ ❚♦→♥ ❤å❝✳ ❈→❝ ❡♠ ❤å❝ ♣❤➙♥ ♠æ♥ ♥➔♦
t❤➻ ❤å❝ ✈➔ ❧➔♠ ❜➔✐ t➟♣ ♣❤➙♥ ♠ỉ♥ ✤â✱ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ ❣✐→♦ ✈✐➯♥ ❞↕② ❤å❝ t❤❡♦ t✐➳t
♠æ♥ ❍➻♥❤ ❤å❝ t❤➻ ❝❤✉②➯♥ ❧➔♠ ❜➔✐ ✈➲ ❍➻♥❤ ❤å❝✱ ✣↕✐ sè t❤➻ ❝❤✉②➯♥ ❧➔♠ ❜➔✐ ✈➲
✣↕✐ sè✱ ➼t ❤♦➦❝ ❦❤ỉ♥❣ ❤♦➦❝ ❝❤÷❛ ❝❤ó trå♥❣ ✤➲ ❝➟♣ ✤➳♥ sü ❧✐➯♥ ❦➳t ❣✐ú❛ ❍➻♥❤
❤å❝ ✈➔ ✣↕✐ sè tr♦♥❣ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ❝ơ♥❣ ♥❤÷ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t➟♣✳


✷

❚❤æ♥❣ q✉❛ t➻♠ ❤✐➸✉ t❤ü❝ t➳✱ tæ✐ t❤➜② r➡♥❣ ✈✐➺❝ ❦❤❛✐ t❤→❝ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛
❤❛✐ ♣❤➙♥ ♠æ♥ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✈➔ ✣↕✐ sè s➩ ❣â♣ ♣❤➛♥ q✉❛♥ trå♥❣ ❣✐ó♣ ❝→❝ ❡♠ ❤✐➸✉
❜✐➳t ❤ì♥ ✈➲ ❜ë ♠ỉ♥ ❚♦→♥ ❤å❝✱ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ trđ ❣✐ó♣ ❝→❝ ❡♠ ỉ♥ t❤✐ ✈➔ t❤✐ ❤å❝
s✐♥❤ ❤ä✐ P õ ợ ữợ ♠ỵ✐✱ ❝→❝❤ t✐➳♣ ❝➟♥ ❧í✐
❣✐↔✐ ♠ỵ✐✱ ♣❤♦♥❣ ♣❤ó ❤ì♥ tr♦♥❣ q tr ổ t ổ
ỳ ỵ ❞♦ tr➯♥✱ tæ✐ q✉②➳t ✤à♥❤ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐✿ ✧❑❤❛✐ t❤→❝ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺

❍➻♥❤ ❤å❝ ✲ ✣↕✐ sè ✈➔♦ ❣✐↔✐ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❞➔♥❤ ❝❤♦ ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐✧✳ ❚❤æ♥❣
q✉❛ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♥❤ä ♥➔②✱ tæ✐ ♠♦♥❣ r➡♥❣ ♠➻♥❤ s➩ ❣â♣ ♣❤➛♥ ❧➔♠ rã ❤ì♥ ♠è✐
q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❤❛✐ ♣❤➙♥ ♠ỉ♥ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✈➔ ✣↕✐ sè✱ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ t÷ì♥❣ trđ ❧➝♥
♥❤❛✉ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ✈➔ ❤å❝ ❚♦→♥ ❝õ❛ ❜↔♥ t❤➙♥ ð ❚❍❈❙✳

✷✳ ▼ö❝ ✤➼❝❤✱ ♥❤✐➺♠ ✈ö ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥
▼ö❝ ✤➼❝❤ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ❧➔ ❦❤❛✐ t❤→❝ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✈➔ ✣↕✐
sè ❣â♣ ♣❤➛♥ t✐➳♣ ❝➟♥ ữợ t ợ ừ t ữớ ✈➟♥
❞ö♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t ✣↕✐ sè ✤➸ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❍➻♥❤ ồ ữủ t
ồ ợ ❝ỉ♥❣ ❝ư ✣↕✐ sè t❤ỉ♥❣ q✉❛ ✈✐➺❝ ❣✐↔✐ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❞➔♥❤ ❝❤♦
❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐✱ ❧➔ ✤➲ t❤✐ ❝❤å♥ ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐ ❝→❝ t➾♥❤✱ t♦➔♥ q✉è❝ ✈➔ ❦❤✉ ✈ü❝✳
▲✉➟♥ ✈➠♥ t➟♣ tr✉♥❣ ✈➔♦ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❝→❝ ♥❤✐➺♠ ✈ö ❝❤➼♥❤ s
ã ị tữ t t t ổ ử ❝õ❛ ✣↕✐ sè ✤➸ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❍➻♥❤
❤å❝ ✈➔ ♥❣÷đ❝
ã ữ t ởt t t số ồ ồ s ọ
ã ữ r ❧í✐ ❣✐↔✐ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ✈➟♥ ❞ư♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t✱ ❝ỉ♥❣ ❝ư ❝õ❛ ✣↕✐ sè ✤➸ ❣✐↔✐
♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✈➔ ♥❣÷đ❝ ❧↕✐ ❦❤❛✐ t❤→❝ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t✱ ♣❤÷ì♥❣
♣❤→♣ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✤➸ ❣✐↔✐ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✣↕✐ sè ❞➔♥❤ ❝❤♦ ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐✳

✸✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐ ❧✉➟♥ ✈➠♥
◆ë✐ ❞✉♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥❣♦➔✐ ♣❤➛♥ ♠ð ✤➛✉✱ ❦➳t ❧✉➟♥✱ t➔✐ t s ỗ
ữỡ
ữỡ r ữỡ ♣❤→♣ ❦❤❛✐ t❤→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✣↕✐ sè ✤➸ ❣✐↔✐ ♠ët
sè ❜➔✐ t♦→♥ ❍➻♥❤ ❤å❝
❈❤÷ì♥❣ ✷✿ ❚r➻♥❤ ❜➔② ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❦❤❛✐ t❤→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✤➸ ❣✐↔✐
♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ✣↕✐ sè


✸

❈❤÷ì♥❣ ✶

❑❤❛✐ t❤→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✣↕✐ sè ✤➸ ❣✐↔✐
♠ët sè t ồ


ị tữ

ở ữỡ ồ ỵ tữ ử t t ỵ ❝ỉ♥❣
❝ư tr♦♥❣ ✣↕✐ sè tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ t➻♠ r❛ ❧í✐ ❣✐↔✐ ❝❤♦ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❍➻♥❤ ❤å❝
❜➡♥❣ ❝→❝❤ ✤÷❛ r❛ ♠ët sè ✈➼ ❞ö sû ❞ö♥❣ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✣↕✐ sè ✤➸ ✤÷❛ r❛ ❧í✐ ❣✐↔✐ ❝❤♦
♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❝❤å♥ ❧å❝ ❞➔♥❤ ❝❤♦ ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐✱ ❧➔ ✤➲ t❤✐ ❝❤å♥ ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐
❝→❝ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✱ t♦➔♥ q✉è❝ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ ✤➲ t❤✐ ❝❤å♥ ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐ ❦❤✉ ✈ü❝ ❈❤➙✉
⑩ ✲ ữỡ ởt số ữợ ỹ ổ ❹✉✳
▼ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ❦❤➙✉ q✉❛♥ trå♥❣ ➞♥ tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ✈➼ ❞ư ❧➔ ✈✐➺❝ ❜✐➳♥ ✤è✐
❜➔✐ t♦→♥ ❜❛♥ ✤➛✉ ✤➸ ❝❤ó♥❣ ❜ë❝ ❧ë ♥❤ú♥❣ ✤✐➸♠ ❝â t❤➸ ✈➟♥ ❞ö♥❣ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t
❝õ❛ ✣↕✐ sè ✤➸ ❣✐↔✐ q✉②➳t ✈➜♥ ✤➲✱ ❝â t❤➸ t↕♠ ❣å✐ ✤➙② ❧➔ q✉→ tr➻♥❤ ✧✣↕✐ sè ❤â❛
❜➔✐ t♦→♥ ❤➻♥❤ ❤å❝✧ ✱ s❛✉ ✤â ❧➔ q✉→ tr➻♥❤ sû ❞ö♥❣ ❝ỉ♥❣ ❝ư ✣↕✐ sè ✤➸ ♣❤→t ❜✐➸✉
❜➔✐ t♦→♥ ❍➻♥❤ ❤å❝ ❜❛♥ ✤➛✉✳
✶✳✷✳

▼ët sè ✈➼ ❞ö ♠✐♥❤ ❤å❛

✶✳✷✳✶✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❝ü❝ trà ❍➻♥❤ ❤å❝
❳✉➜t ♣❤→t tø 2 ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭❇✣❚✮ ✣↕✐ sè r➜t q✉❡♥ t❤✉ë❝ s❛✉ ✤➙②✳
❇✣❚ ✶✳ ❱ỵ✐ ❝→❝ sè ❞÷ì♥❣ a✱ b✱ c ❝â


1 1 1
(a + b + c)

+ +
a b c



≥ 9.


✹

✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ a = b = c✳

▲í✐ ❣✐↔✐



1 1 1
(a + b + c)
+ +
a b c



b c c
a a b
−9=1+ + + +1+ + + +1−9
b c a
c a b

 

 

a b
c a
b c
=
+ −2 +
+ −2 +
+ −2
b a
c b
a c
2
2
2
(b − c)
(c − a)
(a − b)
+
+
≥ 0.
=
ab
bc
ac

✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ a − b = b − c = c − a = 0 ⇔ a = b = c
ợ số ữỡ a, b, c ❝â
a
b

c
3
+
+
≥ .
b+c c+a a+b
2

✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ a = b = c✳

▲í✐ ❣✐↔✐

⑩♣ ❞ư♥❣ ❇✣❚ ✶ t❛ ❝â
 
 

a
b
c
+1 +
+1 +
+1 −3
b+c
c+a
a+b


1
1
1

+
+
−3
= (a + b + c)
b+c c+a a+b


1
1
1
1
−3
+
+
= [(b + c) + (c + a) + (a + b)]
2
b+c c+a a+b
9
3
≥ −3= .
2
2

a
b
c
+
+
=
b+c c+a a+b



✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ b + c = c + a = a + b ⇔ a = b = c✳
❈â t❤➸ ✈➟♥ ❞ö♥❣ ❤❛✐ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr➯♥ ✈➔♦ ❣✐↔✐ ✈➔ s→♥❣ t↕♦ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥
❝❤ù❛ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❍➻♥❤ ❤å❝ ❤♦➦❝ t➻♠ ❝ü❝ trà ❍➻♥❤ ❤å❝✳
❙❛✉ ✤➙② ❧➔ ♠ët sè ✈➼ ❞ư ♠✐♥❤ ❤å❛ ✤÷đ❝ tr➼❝❤ ❞➝♥ tø ❚↕♣ ❝❤➼ ❚♦→♥ ❍å❝ ✈➔
❚✉ê✐ ❚r➫ ✈➔ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✷✳✶✳✶✳ ❈❤♦ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉ ABC ❝â ❝↕♥❤ ❜➡♥❣ a✳ ●å✐ ✤÷í♥❣

✈✉ỉ♥❣ ❣â❝ tø ✤✐➸♠ M ♥➡♠ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➳♥ ❝→❝ ❝↕♥❤ BC, CA, AB ❧➛♥ ❧÷đt
❧➔ M D, M E, M F ✳ ❳→❝ ✤à♥❤ ✈à tr➼ ❝õ❛ M ✤➸✿
❛✮ M1D + M1E + M1F ✤↕t ❣✐→ trà ♥❤ä ♥❤➜t✳ ❚➼♥❤ ❣✐→ trà ✤â✳
❜✮ M D +1 M E + M E +1 M F + M F +1 M D ✤↕t ❣✐→ trà ♥❤ä ♥❤➜t✳ ❚➼♥❤ ❣✐→
trà ✤â✳


✺
▲í✐ ❣✐↔✐

❍➻♥❤ ✶

√
a 3
●å✐ h = 2 ❧➔ ✤ë ❞➔✐ ✤÷í♥❣ ❝❛♦ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉ ABC
M E = y, M F = z ✳ ❚❛ ❝â

✈➔ ✤➦t M D = x,

SABC = SM BC + SM AC + SM AB
⇔ ah = ax + ay + az ⇔ x + y + z = h

❛✮ ⑩♣ ❞ö♥❣ ❇✣❚ ✶ t❛ ❝â


1 1 1
(x + y + z)
+ +
x y z

❜✮ ⑩♣ ❞ư♥❣ ❇✣❚ ✷ t❛ ❝â



❦❤ỉ♥❣ ✤ê✐✳

√
1 1 1
9
6 3
≥9⇒ + + ≥ =
.
x y z
h
a



1

1
1
+
+
(x + y + y + z + z + x)
x+y y+z z+x
√
1
1
9
3 3
1
+
+
≥
=
.
⇔
x+y y+z z+x
2h
a



≥9

❚r♦♥❣ ❝↔ ❤❛✐ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ x = y = z ✱ ❧ó❝ ✤â
M ❧➔ t➙♠ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣ ∆ABC ✳
●å✐ H ❧➔ trü❝ t➙♠ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ❝â ❜❛ ❣â❝ ồ ợ
ữớ AA1; BB1; CC1 ự r

t♦→♥ ✶✳✷✳✶✳✷✳

AA1
BB1
CC1
❛✮ HA
+
+
HB
HC
1

1

1

≥9


✻

HB1 HC1
3
1
❜✮ HA
+
+
≥
HA
HB

HC
2

✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ♥➔♦❄
▲í✐ ❣✐↔✐

❍➻♥❤ ✷

●å✐ ❞✐➺♥ t➼❝❤ t❛♠ ❣✐→❝ ABC, HBC, HAC, HAB ❧➛♥ ❧÷đt ❧➔ S, S1, S2, S3 t❤➻
S = S1 + S2 + S 3 .

❛✮ ❉➵ t❤➜②
❉♦ ✤â

HA1
S1 HB1
S2 HC1
S3
= ;
= ;
= .
AA1
S BB1
S CC1
S
HA1 HB1 HC1
+
+
= 1.
AA1

BB1
CC1

⑩♣ ❞ö♥❣ ❇✣❚ ✶ ✤÷đ❝
AA1
BB1
CC1
+
+
≥ 9.
HA1 HB1 HC1

✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐
HA1
HB1
HC1
1
=
=
=
AA1
BB1
CC1
3
⇔ S1 = S2 = S 3 =

S
,
3

❧ó❝ ✤â H ✈ø❛ ❧➔ trü❝ t➙♠✱ ✈ø❛ ❧➔ trå♥❣ t➙♠ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ♥➯♥ ABC ❧➔
t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉✳


✼

S1
1
❜✮ ❚ø HA
=
❝â
AA
S
1

❚÷ì♥❣ tü

HA1
S1
S1
HA1
=
=
.
=
HA
AA1 − HA1
S − S1
S2 + S3
HB1

HC1
S2
S3
;
.
=
=
HB
S1 + S3 HC
S1 + S 2

⑩♣ ❞ö♥❣ ❇✣❚ ✷ t❛ ❝â
3
HA1 HB1 HC1
+
+
≥ .
HA
HB
HC
2

▲➟♣ ❧✉➟♥ t÷ì♥❣ tü ♥❤÷ tr➯♥ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ∆ABC ✤➲✉✳
❳➨t t❛♠ ❣✐→❝ ABC ❝â ❜❛ ❣â❝ ♥❤å♥ ♥ë✐ t✐➳♣ ✤÷í♥❣ trá♥
(O) ợ ữớ AA1 ; BB1 ; CC1 ❧÷đt ❝➢t (O) ❧➛♥ ♥ú❛ t↕✐ D; E; F ✳
❳→❝ ✤à♥❤ ❞↕♥❣ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ ABC s❛♦ ❝❤♦✿
❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✷✳✶✳✸✳

AA1 BB1 CC1
❛✮ DA

+
+
✤↕t ❣✐→ trà ♥❤ä ♥❤➜t✳ ❚➼♥❤ ❣✐→ trà ✤â✳
EB
FC
1

1

1

BB1 CC1
1
❜✮ AA
+
+
✤↕t ❣✐→ trà ♥❤ä ♥❤➜t✳ ❚➼♥❤ ❣✐→ trà ✤â✳
AD
BE
CF
▲í✐ ❣✐↔✐

❍➻♥❤ ✸

●å✐ H ❧➔ trü❝ t➙♠ ❝õ❛ ∆ABC ✳ ❉➵ ❞➔♥❣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷đ❝ HA1 = DA1; HB1 =
EB1 ; HC1 = F C1 ✳


✽

❛✮ ●å✐ ❞✐➺♥ t➼❝❤ t❛♠ ❣✐→❝ ABC, HBC, HAC, HAB ❧➛♥ ❧÷đt ❧➔ S, S1, S2, S3
t❤➻
S = S1 + S2 + S 3 .

❉➵ t❤➜②
DA1
HA1
S1 EB1
HB1
S2 F C 1
HC1
S3
=
= ;
=
= ;
=
= .
AA1
AA1
S BB1
BB1
S CC1
CC1
S

❉♦ ✤â

DA1 EB1 F C1
+

+
= 1.
AA1 BB1 CC1

⑩♣ ❞ư♥❣ ❇✣❚ ✶ ✤÷đ❝
AA1 BB1 CC1
+
+
≥ 9.
DA1 EB1 F C1

✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐
EB1
F C1
1
DA1
=
=
=
AA1
BB1
CC1
3
⇔ S1 = S2 = S 3 =

S
,
3

❧ó❝ ✤â H ✈ø❛ ❧➔ trü❝ t➙♠✱ ✈ø❛ ❧➔ trå♥❣ t➙♠ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ♥➯♥ ABC ❧➔

t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉✳
AD
❜✮ AA

+

1

BE
CF
HA1
HB1
HC1
+
=1+
+1+
+1+
=4
BB1 CC1
AA1
BB1
CC1

❙✉② r❛
✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐

9
AA1 BB1 CC1
+
+

≥ .
AD
BE
CF
4
∆ABC ❧➔ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉✳

❚r♦♥❣ ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ♥❣♦↕✐ t✐➳♣ ✤÷í♥❣ trá♥ t➙♠ O ❜→♥
❦➼♥❤ r✱ ❤➣② ①→❝ ✤à♥❤ ❞↕♥❣ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ s❛♦ ❝❤♦ tê♥❣ ✤ë ❞➔✐ ❜❛ ✤÷í♥❣ ❝❛♦ ✤↕t
❣✐→ trà ♥❤ä ♥❤➜t✳ ❚➼♥❤ ❣✐→ trà ✤â✳
❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✷✳✶✳✹✳

▲í✐ ❣✐↔✐

●å✐ ha, hb, hc ở ữớ ự ợ a, b, c ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝
ABC ♥❣♦↕✐ t✐➳♣ ✤÷í♥❣ trá♥ (O)✳
●å✐ ❞✐➺♥ t➼❝❤ t❛♠ ❣✐→❝ ABC, OBC, OAC, OAB ❧➛♥ ❧÷đt ❧➔ S, S1, S2, S3 t❤➻
S = S1 + S2 + S 3 .


✾

❍➻♥❤ ✹

❉➵ t❤➜②

OK
r
S1
=

= ;
AA1
ha
S

❚÷ì♥❣ tü

S2 r
S3
r
= ;
=
hb
S hc
S

❉♦ ✤â✿
✳

r
r
r
+
+
=1
ha hb hc

⑩♣ ❞ö♥❣ ❇✣❚ ✶ ❝â


1
1
1
ha + hb + hc = (ha + hb + hc )
+
+
ha hb hc



r ≥ 9r.

✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ha = hb = hc = 3r, ha + hb + hc = 9r✱ ❧ó❝ ✤â ∆ABC
❧➔ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉✳
❈❤♦ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✈➔ M ❧➔ ✤✐➸♠ ♥➡♠ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝✳
❑➫ AM, BM, CM ❝➢t ❝→❝ ❝↕♥❤ BC, CA, AB ❧➛♥ ❧÷đt t↕✐ A1, B1, C1✳ ❳→❝ ✤à♥❤
✈à tr➼ ❝õ❛ ✤✐➸♠ M ✤➸
AA1
BB1
CC1
❛✮ M
+
+
✤↕t ❣✐→ trà ♥❤ä ♥❤➜t✳ ❚➼♥❤ ❣✐→ trà ✤â✳
A
MB
MC
❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✷✳✶✳✺✳

1

1

1


✶✵

MB MC
❜✮ MMAA . M
.
✤↕t ❣✐→ trà ♥❤ä ♥❤➜t✳ ❚➼♥❤ ❣✐→ trà ✤â✳
B MC
1

▲í✐ ❣✐↔✐

1

1

❍➻♥❤ ✺

❈→❝❤ ✶✳ ✭❙û ❞ư♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t ✣↕✐ sè✮

●å✐ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ABC, M BC, M AC, M AB ❧➛♥ ❧÷đt ❧➔ S, S1, S2, S3
t❤➻ S = S1 + S2 + S3✳
❛✮ ❙û ử q ỵ s t ự ữủ
M A1
d(M ; BC)

=
AA1
d(A; BC)

õ

d(M ; BC)
S1
=
d(A; BC)
S

ợ d(M ; BC); d(A; BC) ❧➛♥ ❧÷đt ❧➔ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ tø M ✈➔ A ✤➳♥ BC ✳
❙✉② r❛
❚÷ì♥❣ tü
❉♦ ✤â

S1
M A1
=
AA1
S

M B1
S2 M C 1
S3
= ;
=
BB1
S CC1

S
M A1 M B 1 M C 1
+
+
= 1.
AA1
BB1
CC1

⑩♣ ❞ö♥❣ ❇✣❚ ✶ ❝â
BB1
CC1
AA1
+
+
≥ 9.
M A1 M B 1 M C 1


✶✶

✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ S1 = S2 = S3 = S3 ✱ ❧ó❝ ✤â M ❧➔ trå♥❣ t➙♠ ∆ABC ✳
AA1
❜✮ ✣➦t M
= x t❤➻
A
1

AA1
MA

=
− 1 = x − 1.
M A1
M A1

❚÷ì♥❣ tü

MB
BB1
=
− 1 = y − 1,
M B1
M B1
MC
CC1
=
− 1 = z − 1.
M C1
M C1

❚❛ ❝â

1 1 1
+ + = 1 ⇔ xy + yz + zx = xyz.
x y z

❚ø ✤â

AA1 M B M C
.

.
= (x − 1)(y − 1)(z − 1)
M A1 M B 1 M C 1
= xyz − (xy + yz + zx) + x + y + z − 1 = x + y + z − 1


1 1 1
= (x + y + z)
− 1 ≥ 9 − 1 = 8.
+ +
x y z

✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ x = y = z ✱ ❧ó❝ ✤â M ❧➔ trå♥❣ t➙♠ ❝õ❛ ∆ABC
õ t ỵ t s

✭❙û ❞ö♥❣ t➾ sè ❞✐➺♥ t➼❝❤ ✈➔ ❇✣❚ ❈❛✉❝❤②✮

●å✐ S1; S2; S3 ❧➛♥ ❧÷đt ❧➔ ❞✐➺♥ t➼❝❤ t❛♠ ❣✐→❝ ABM, ACM, BCM ú ỵ
r t õ ũ ✤÷í♥❣ ❝❛♦ t❤➻ t➾ sè ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ ❜➡♥❣ t➾ sè
❤❛✐ ❝↕♥❤ ✤→②✳
❚❛ ❝â

MA
SACM
SABM + SACM
S1 + S2
SABM
=
=
=

=
M A1
SBM A1
SCM A1
SBM A1 + SCM A1
S3

❚÷ì♥❣ tü ❝â

MB
S1 + S3 M C
S2 + S3
=
;
=
.
M B1
S2
M C1
S1

❚ø ✤â✱ →♣ ❞ö♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❈❛✉❝❤② t❛ ✤÷đ❝

MA MB MB
S 1 + S2 S 1 + S3 S2 + S3
.
.
=
.
.

M A1 M B 1 M B 1
S3
S2
S1
√
√
√
2 S1 .S2 .2 S1 .S3 .2 S2 .S3
= 8.
≥
S3 .S2 .S1


✶✷

❉➜✉ ❜➡♥❣ ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ S1 = S2 = S3 = 31 .SABC
MA
MB
⇒
=2=
❧ó❝ ✤â M ❧➔ trå♥❣ t ABC
MA
MB

ỷ ử ỵ s ❇✣❚ ❈❛✉❝❤②✮
1

1

◗✉❛ M ❦➫ M D//AB ✈➔ ❝➢t BC t↕✐ D✳ ◗✉❛ M ❦➫ M E//AC ✈➔ ❝➢t BC

t↕✐ E ử ỵ s t õ
t

MA
BD
EC
BD + EC
BD + EC
=
=
=
=
.
M A1
DA1
EA1
DA1 + EA1
DE
BD
BD + DE
MB
=
=
M B1
EC
EC
DC
DE + EC
MC
=

=
.
M C1
BD
BD

❚ø ✤â✱ →♣ ❞ư♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❈❛✉❝❤② ✤÷đ❝

BD + EC BD + DE DE + EC
MA MB MC
.
.
.
.
=
M A1 M B 1 M C 1
DE
EC
BD
√
√
√
2 BD.EC.2 BD.DE.2 DE.EC
≥ 8.
≥
DE.EC.BD

❉➜✉ ❜➡♥❣ ①↔② r❛ ❦❤✐ BD = DE = EC ⇒ M C = 2M C1, M B = 2M B1✳
▲ó❝ ✤â✱ M ❧➔ trå♥❣ t➙♠ ❝õ❛ ∆ABC ✳
❈❤♦ ✤÷í♥❣ trá♥ t➙♠ O ❜→♥ ❦➼♥❤ R✳ M ❧➔ ✤✐➸♠ ♥➔♦ ✤â

tr➯♥ ✤÷í♥❣ ❦➼♥❤ AB ✳ ❳→❝ ✤à♥❤ ✈à tr➼ ❝õ❛ M ✤➸ tê♥❣ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❝→❝ ❤➻♥❤ trá♥
❝â ✤÷í♥❣ ❦➼♥❤ M A ✈➔ M B ❧➔ ♥❤ä ♥❤➜t✳
❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✷✳✶✳✻✳

▲í✐ ❣✐↔✐

✣➦t M A = 2x, M B = 2y ✈ỵ✐ x + y ≥ 0 t❤ä❛ ♠➣♥ x + y = R ✭❦❤æ♥❣ ✤ê✐✮ ✭①❡♠
❤➻♥❤ ✈➩✮✳ ●å✐ S1 ✈➔ S2 t❤❡♦ t❤ù tü ❧➔ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❤➻♥❤ trá♥ ❝â ✤÷í♥❣ ❦➼♥❤ M A
✈➔ M B ✳
❉➵ t❤➜② S = S1 + S2 ♥❤ä ♥❤➜t ⇔ P = πx2 + πy2 = π(x2 + y2) ♥❤ä ♥❤➜t✳
πR2
▲➟♣ ❧✉➟♥ t÷ì♥❣ tü ♥❤÷ tr➯♥ s✉② r❛ ●❚◆◆ ❝õ❛ S ❜➡♥❣ 2 ✱ ❧ó❝ ✤â M trị♥❣
✈ỵ✐ t➙♠ O✳


✶✸

❍➻♥❤ ✻

❈❤♦ ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣ ABCD ❝↕♥❤ a✳ M ❧➔ ✤✐➸♠ ♥➔♦ ✤â tr➯♥
❝↕♥❤ AB ✳ ❉ü♥❣ ❝→❝ ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣ ❝â ❝↕♥❤ M A, M B ✈➲ ❜➯♥ tr♦♥❣ ABCD✳ ❳→❝
✤à♥❤ ✈à tr➼ ❝õ❛ M ✤➸ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ♣❤➛♥ ❝á♥ ❧↕✐ S ❝õ❛ ❤➻♥❤ ✈✉ỉ♥❣ ABCD ❧➔ ❧ỵ♥
♥❤➜t✳
❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✷✳✶✳✼✳

▲í✐ ❣✐↔✐

❍➻♥❤ ✼

✣➦t M A = x, M B = y ✈ỵ✐ x ≥ 0; y ≥ 0 t❤ä❛ ♠➣♥ x + y = a ✭①❡♠ ❤➻♥❤ ✈➩✮

●å✐ S1, S2 t❤❡♦ t❤ù tü ❧➔ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣ ❝↕♥❤ M A ✈➔ M B t❤➻ S1 = x2
✈➔ S2 = y2✳
❉➵ t❤➜② S ❧ỵ♥ ♥❤➜t ⇔ S1 + S2 ♥❤ä ♥❤➜t ⇔ P = x2 + y2 ♥❤ä ♥❤➜t✳ ❚ø ❜➜t
✤➥♥❣ t❤ù❝ 2(x2 + y2) ≥ (x + y)2 ❤❛② 2(x2 + y2) ≥ a2 s✉② r❛ ❣✐→ trà ♥❤ä ♥❤➜t
2
✭●❚◆◆✮ ❝õ❛ S1 + S2 ❜➡♥❣ a2 ✱ ❧ó❝ ✤â M ❧➔ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ AB ✳


✶✹
✶✳✷✳✷✳

❇➔✐ t♦→♥ q✉ÿ t➼❝❤

❇➔✐ t♦→♥ q✉ÿ t➼❝❤ ❧➔ ♠ët ❞↕♥❣ t♦→♥ t❤÷í♥❣ ①✉➜t ❤✐➺♥ tr♦♥❣ ♥ë✐ ❞✉♥❣
❍➻♥❤ ❤å❝ ✈➔ ð ờ tổ t q t tữớ ỗ ữợ ❞ü ✤♦→♥
q✉ÿ t➼❝❤✱ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ q✉ÿ t➼❝❤✱ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ q✉ÿ t➼❝❤✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥ ❝â ♠ët sè ❜➔✐
t♦→♥ q✉ÿ t➼❝❤ ❧↕✐ ✤÷đ❝ ①✉➜t ♣❤→t tø ♠ët ❜➔✐ t♦→♥ ❣✐↔✐ t➼❝❤✱ ❜➔✐ t♦→♥ ✣↕✐ sè✳
◆❤ú♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ♥➔② t❤÷í♥❣ ♣❤↔✐ ❞ị♥❣ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❣✐↔✐ t➼❝❤✱ ✣↕✐ sè ✤➸ ❜✐➳♥ ✤ê✐
✤➳♥ ❜➔✐ t♦→♥ tr✉♥❣ ❣✐❛♥✱ s❛✉ ✤â sû ❞ö♥❣ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❍➻♥❤ ❤å❝ qt
ữ r q t ợ q sỷ ❞ö♥❣ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✣↕✐ sè ❣✐↔✐ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥
❍➻♥❤ ❤å❝✭✈➔ ♥❣÷đ❝ ❧↕✐✮ ❧➔ sû ❞ư♥❣ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ✤÷❛ ✤➳♥ ❧í✐ ❣✐↔✐✱ ♥❤÷ ✈➟②
❦✐➳♥ t❤ù❝ ✣↕✐ sè✭❍➻♥❤ ❤å❝✮ ✤÷đ❝ sỷ ử ởt số ữợ
t q t r ♠➦t ♣❤➥♥❣ tå❛ ✤ë t➻♠ q✉ÿ t➼❝❤ ✤✐➸♠ M (x; y) t❤ä❛
♠➣♥ t➼♥❤ ❝❤➜t T ✧ t❛ ❣å✐ ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ q✉ÿ t➼❝❤ ✣↕✐ sè ✈➔ ❦❤✐ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ q✉ÿ
t➼❝❤ ♥➔② t❛ t❤÷í♥❣ ①➨t ❜❛ ✈➜♥ ✤➲✿
✶✮ ✣✐➸♠ ❝❤↕② M (x; y) ❝â ♣❤ö t❤✉ë❝ ✈➔♦ t❤❛♠ sè m ❦❤æ♥❣❄
✷✮ ❚➼♥❤ ❝❤➜t T ✭✤✐➲✉ ❦✐➺♥ q✉ÿ t➼❝❤✮ ♠➔ ✤✐➸♠ ❝❤↕② M (x; y) ♣❤↔✐ t❤ä❛ ♠➣♥
❝➛♥ ❜✐➸✉ t❤à q✉❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭❤❛② ❜➜t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✮ ❝õ❛ x, y ♥❤÷ t❤➳ ♥➔♦❄
✸✮ ●✐ỵ✐ ❤↕♥ q✉ÿ t➼❝❤ Q ❝õ❛ M ✭♣❤➛♥ ✤↔♦ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ q✉ÿ t➼❝❤✮✿ Q ❝â t❤➸
❧➔ ♠ët ✤÷í♥❣✱ ♠ët ♠✐➲♥ ♥➔♦ ✤â ❝õ❛ ♠➦t ♣❤➥♥❣ tå❛ ✤ë ỗ ởt số

rớ r
Q ♠ët ✤÷í♥❣ t❤➻ ❣✐ú❛ ❝→❝ tå❛ ✤ë (x; y) ❝õ❛ ❝→❝ ✤✐➸♠ t❤✉ë❝ Q ♣❤↔✐
❧➔ ♠ët ❤➺ t❤ù❝ ♥➔♦ ✤â F (x; y) = 0✱ ❤➺ t❤ù❝ ➜② ❝❤➼♥❤ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝õ❛
✤÷í♥❣ Q ✈➔ ❣å✐ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ q✉ÿ t➼❝❤✳
2
✳ ◆➳✉ Q ❧➔ ♠ët ♠✐➲♥ tr➯♥ R t❤➻ ❣✐ú❛ ❝→❝ tå❛ ✤ë (x; y) ❝õ❛ ❝→❝ ✤✐➸♠ t❤✉ë❝
Q t❤÷í♥❣ õ ữợ t ữỡ tr r❛ ♠✐➲♥ Q✱ t❛ ♣❤↔✐
✈✐➳t ✤÷đ❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝→❝ ✤÷í♥❣ ❜✐➯♥ ❝õ❛ Q✳
❑❤✐ ❞ị♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ q✉ÿ t➼❝❤ ✣↕✐ sè t❛ ❝â ❤❛✐ tr÷í♥❣ s❛✉✿
❚r÷í♥❣ ❤đ♣ ✶✳ ✣✐➸♠ ❝❤↕② M (x; y) ♣❤ö t❤✉ë❝ ✈➔♦ t❤❛♠ sè m
ữợ tồ ở ừ q✉❛ t❤❛♠ sè m ❞ü❛ ✈➔♦ ✤✐➲✉
❦✐➺♥ T ✱ t❛ ❝â ❤➺✿
(

x = x(m) (1)
y = y(m) (2)

❑❤û m tø ❤➺ (1) ✈➔ (2) ✤÷đ❝ ❤➺ t❤ù❝ ❧✐➯♥ ❤➺ ❣✐ú❛ x, y ữỡ
tr q t
ữợ


✶✺

F (x, y) = 0

(3)

●✐ỵ✐ ❤↕♥ q✉ÿ t➼❝❤✳
✳ ◆➳✉ t❤❛♠ số m t tũ ỵ t q t t ở ữớ

ữỡ tr (3) ỵ ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣ ✤â ❧➔ (d1)✳
✳ ◆➳✉ t❤❛♠ sè m ❝❤➾ ❜✐➳♥ t❤✐➯♥ tr♦♥❣ ♠✐➲♥ (α) t❤➻ tø (1) s✉② r❛ x ❝❤➾ ❜✐➳♥
t❤✐➯♥ tr♦♥❣ ♠✐➲♥ (α1)✳
❚❛ ①➨t minx(m),♠❛①x(m) ✤➸ ❝❤➾ r❛ q✉ÿ t➼❝❤ ❝❤➾ ❧➔ ♠ët ♣❤➛♥ ❝õ❛ ✤÷í♥❣
t❤➥♥❣ (d1) ✈➩ tr♦♥❣ (α1)✳
❚r÷í♥❣ ❤đ♣ ✷✳ ✣✐➸♠ ❝❤↕② M (x; y) ổ ử tở t số m
ữợ tứ ❦✐➺♥ q✉ÿ t➼❝❤ T ✤è✐ ✈ỵ✐ ✤✐➸♠ ❝❤↕② M (x; y) ✈➲ ✤✐➲✉
❦✐➺♥ ✤è✐ ✈ỵ✐ ❝→❝ tå❛ ✤ë (x; y) ừ õ
ữợ t r ❤➺ t❤ù❝ ❤♦➦❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❧✐➯♥ ❤➺
trü❝ t✐➳♣ ❣✐ú❛ x, y
ú ỵ t tr trữớ ủ tữớ
ữợ

ởt số ử ❤å❛ ✤÷đ❝ tr➼❝❤ ❞➝♥ tø ❚↕♣ ❝❤➼ ❚♦→♥ ❍å❝ ✈➔
❚✉ê✐ ❚r➫ ✈➔ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

❈❤♦ ❤å ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣ y = f (x) = x − 2 + mx
q✉ÿ t ỹ ỹ t ừ ỗ t sè✳
❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✷✳✷✳✶✳

(4)✳

▲í✐ ❣✐↔✐

❚➻♠

▼✐➲♥ ①→❝ ✤à♥❤ ❧➔ ♠å✐ x 6=20.
❚❛ ❝â f ′(x) = 1 − xm2 = x x−2 m .
tỗ t tr ỹ ỹ t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ f ′(x) = 0 ♣❤↔✐ ❝â 2
♥❣❤✐➺♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t✿ x2 − m = 0 ❝â ❤❛✐ ♥❣❤✐➺♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t ✭♥❣❤✐➺♠ ♣❤↔✐ ❦❤→❝ 0✮

⇔ m > 0 (α).

❑❤✐ ✤â y′ = 0 ⇔ x = √m ❤♦➦❝ x = −√m.
❇↔♥❣ ❜✐➳♥ t❤✐➯♥✿

◗✉ÿ t➼❝❤ ✤✐➸♠ ❝ü❝ ✤↕✐✿

❚ø ❜↔♥❣ t❛ t❤➜② ✤✐➸♠ ❝ü❝ ✤↕✐ ❝â ❤♦➔♥❤ ✤ë




(



x= m

x<0
m = x2

1

ỹ tr ỗ t❤à ❤➔♠ sè (4) ♥➯♥ t❛ ❝â ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ q✉ÿ
t➼❝❤ ❧➔
2
y =x−2+

x
= 2x − 2.

x

❉♦ x ♣❤↔✐ t❤ä❛ ♠➣♥ ✭α1✮ ♥➯♥ q✉ÿ t➼❝❤ ✤✐➸♠ ❝ü❝ ✤↕✐ ❧➔ ♠ët ♣❤➛♥ ❝õ❛ ✤÷í♥❣
t❤➥♥❣ y = 2x − 2 ❝â ❤♦➔♥❤ ✤ë x < 0.
◗✉ÿ t➼❝❤ ✤✐➸♠ ❝ü❝ t✐➸✉✿ ❚ø ❜↔♥❣ t❛ t❤➜② ✤✐➸♠ ❝ü❝ t✐➸✉ ❝â ❤♦➔♥❤ ✤ë
x=

√

(

m⇔

x>0
m = x2

✭α2✮

❉♦ ✤✐➸♠ ❝ü❝ t tr ỗ t số (4) t ❝â ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ q✉ÿ
t➼❝❤ ❧➔
2
y =x−2+

x
= 2x − 2.
x

❉♦ x ♣❤↔✐ t❤ä❛ ♠➣♥ ✭α2✮ ♥➯♥ q✉ÿ t➼❝❤ ✤✐➸♠ ❝ü❝ t✐➸✉ ❧➔ ♠ët ♣❤➛♥ ❝õ❛ ✤÷í♥❣
t❤➥♥❣ y = 2x − 2 ❝â ❤♦➔♥❤ ✤ë x > 0.
❈❤♦ P❛r❛❜♦❧ y = x2✳ ❚➻♠ m ✤➸ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ y = mx−m

❝➢t ♣❛r❛❜♦❧ t↕✐ ❤❛✐ ✤✐➸♠ A, B ✈➔ t➻♠ q✉ÿ t➼❝❤ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ I ❝õ❛ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣
AB ✳
❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✷✳✷✳✷✳

▲í✐ ❣✐↔✐

✣÷í♥❣ t❤➥♥❣ y = mx − m ❝➢t y = x2 t↕✐ ❤❛✐ ✤✐➸♠
⇔ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ x2 − mx + m = 0 ❝â ❤❛✐ ♥❣❤✐➺♠
⇔ ∆ = m2 − 4m ≥ 0 ⇔ m ≤ 0 ❤♦➦❝ 4 ≤ m
(α)
●å✐ I(x; y) ❧➔ ✤✐➸♠ t❤✉ë❝ q✉ÿ t➼❝❤ ❝➛♥ t➻♠ ✈ỵ✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ (α) t❛ ❝â✿
1
x = (x1 + x2 )
2

tr♦♥❣ ✤â x1; x2 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ x2 − mx + m = 0
m
1
t ỵ t m = 2x.
⇒ x = (x1 + x2 ) =
2
2
❉♦ I(x; y) tr ỗ t số y = mx m ♥➯♥ t❛ q✉② ✤÷đ❝ q✉ÿ t➼❝❤
✤✐➸♠ I(x; y) ❧➔
y = 2x(2x − 1) = 2x2 − 2x.

❉♦ m t❤ä❛ ♠➣♥ ✭α✮ ♥➯♥ 2x ≤ 0 ❤♦➦❝ 4 ≤ 2x s✉② r❛ x ≤ 0 ❤♦➦❝ x ≥ 2 (α1)✳
❱➟② q✉ÿ t➼❝❤ ❝➛♥ t➻♠ ❧➔ ♣❤➛♥ ♣❛r❛❜♦❧ ❝â ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ y = 2x2 − 2x ✈➩

✶✼

tr♦♥❣ (α1 ).
❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✷✳✷✳✸✳

❚➻♠ q✉ÿ t➼❝❤ ❣✐❛♦ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ồ ữớ

y=

ợ Ox, Oy

x2 + (2m 1)x + m2 + m + 1
x2 + m 2 − m + 1

▲í✐ ❣✐↔✐

●å✐ A(0; y) ❧➔ ❣✐❛♦ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ỗ t ợ Oy õ ữỡ tr➻♥❤

m2 + m + 1
✭➞♥ m✮ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ⇔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ (m2 −
✭✈ỵ✐ x = 0✮ ❞↕♥❣ y = 2
m −m+1
m + 1)y = m2 + m + 1 ❝â ♥❣❤✐➺♠✳
1
3
✭❱➻ m2 − m + 1 = (m − )2 + > 0 ợ ồ m
2
4
2
(

ữỡ tr (y 1)m

(y + 1)m + y − 1 = 0 ❝â ♥❣❤✐➺♠
(
y−1=0
y − 1 6= 0
⇔
❤♦➦❝
y + 1 6= 0
∆ = (y + 1)2 − 4(y − 1)2 ≥ 0
(
y 6= 1
⇔ y = 1 ❤♦➦❝
(y − 3)(3y − 1) ≤ 0

 y 6= 1
⇔ y = 1 ❤♦➦❝
✭α✮
1
 ≤ y ≤ 3.
3
q t ừ ồ ữớ ợ Oy ❧➔ ♠ët ✤♦↕♥ tr➯♥ trö❝
Oy ❝â t✉♥❣ ✤ë t❤ä❛

ồ B(x; 0) ừ ỗ t ợ Ox õ ữỡ tr
x2 + (2m − 1)x + m2 + m + 1
= 0 ❝â ♥❣❤✐➺♠
x2 + m2 − m + 1

⇔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ x2 + (2m − 1)x + m2 + m + 1 = 0 ❝â ♥❣❤✐➺♠


2
1
3
2
2
2
✭✈➻ x + m − m + 1 = x + m −
+ > 0 ✈ỵ✐ ♠å✐ x, m✮
2
4
2
2
⇔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ m + (2x + 1)m + x − x + 1 = 0 ❝â ♥❣❤✐➺♠
⇔ ∆ = (2x + 1)2 − 4(x2 − x + 1) ≥ 0
3
⇔ 8x − 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ .
(α1 )
8
❱➟② q✉ÿ t➼❝❤ ❣✐❛♦ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ❤å ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣ ✈ỵ✐ Ox ❧➔ ♠ët ❦❤♦↔♥❣ tr➯♥ trư❝
Ox ❝â ❤♦➔♥❤ ✤ë t❤ä❛ ♠➣♥ (α1 )✳

❚➻♠ q✉ÿ t➼❝❤ ♥❤ú♥❣ ✤✐➸♠ tr➯♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣ tå❛ ✤ë ❝â
1
1
❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ✤➳♥ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ y = − ✈➔ ✤➳♥ ✤✐➸♠ (0; ) ❧➔ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉✳
❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✷✳✷✳✹✳

4

4


✶✽
▲í✐ ❣✐↔✐

●å✐ A(x; y) ❧➔ ✤✐➸♠ t❤✉ë❝ q✉ÿ t➼❝❤✳ ❑❤✐ ✤â





y +