Nghiên cứu, cài đặt bộ điều khiển tối ưu phản hồi tín hiệu ra

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên












ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP
o0o




LUẬN VĂN THẠC SỸ KỸ THUẬT
NGÀNH: TỰ ĐỘNG HÓA



NGHIÊN CỨU, CÀI ĐẶT BỘ ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU PHẢN HỒI
TÍN HIỆU RA

PHẠM THỊ TÂM HUYỀN





THÁI NGUYÊN 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP





LUẬN VĂN THẠC SỸ KỸ THUẬT
NGÀNH: TỰ ĐỘNG HÓA


NGHIÊN CỨU, CÀI ĐẶT BỘ ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU PHẢN HỒI
TÍN HIỆU RA






Học viên : Phạm Thị Tâm Huyền

Người HD Khoa Học: PGS.TS Nguyễn Doãn Phước




Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


THÁI NGUYÊN 2011
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP
***
CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc Lập - Tư Do - Hạnh Phúc
o0o

THUYẾT MINH
LUẬN VĂN THẠC SỸ KỸ THUẬT

ĐỀ TÀI:
NGHIÊN CỨU, CÀI ĐẶT BỘ ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU PHẢN HỒI
TÍN HIỆU RA
Học viên
: Phạm Thị Tâm Huyền
Lớp
: CH-K12
Chuyên ngành
: Tự động hoá
Người hướng dẫn
: PGS.TS Nguyễn Doãn Phước

Ngày giao đề tài
: 2/2011
Ngày hoàn thành đề tài
: 8/2011

KHOA ĐT SAU ĐẠI HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN


PGS.TS Nguyễn Doãn Phước
BAN GIÁM HIỆU
HỌC VIÊN

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Phạm Thị Tâm Huyền

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu,
kết quả trong luận văn là hoàn toàn trung thực theo tài liệu tham khảo và chưa
từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác.

Thái Nguyên, ngày 30 tháng 9 năm 2011
Tác giả luận văn


Phạm Thị Tâm Huyền

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

MỤC LỤC
Lời nói đầu 1
Chương 1.PHÂN TÍCH HỆ THỐNG TRONG MIỀN KHÔNG GIAN TRẠNG
THÁI 4
1.1. Những nhiệm vụ cơ bản của công việc phân tích 4
1.2 Phân tích tính ổn định 6
1.2.1. Định lý Gerchgorin. 6
1.2.2. Tiêu chuẩn ổn định Lyapunov - Hàm Lyapunov 9
1.3. Phân tích tính điều khiển được 12
1.3.1. Khái niệm điều khiển được và điều khiển được hoàn toàn 12
1.3.2. Các tiêu chuẩn xét tính điều khiển được cho hệ tham số hằng 14
1. Tiêu chuẩn Hautus 14
2. Tiêu chuẩn Kalman 16
1.4. Phân tích tính quan sát được 19
1.4.1. Khái niệm quan sát được và quan sát được hoàn toàn 19
1.4.2. Một số kết luận chung về tính quan sát được của hệ tuyến tính 20
1.4.3. Tính đối ngẫu và các tiêu chuẩn xét tính quan sát được của hệ tham số
hằng 24
Chương 2.THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN PHẢN HỒI TRẠNG THÁI TỐI
ƯU 27
2.1. Phương pháp biến phân 27
2.1.1. Nội dung phương pháp 27
2.1.2. Ứng dụng phương pháp biến phân để thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng

thái tối ưu 30
1. Thiết kế bộ điều khiển LQR phản hồi dương. 30
2. Thiết kế bộ điều khiển LQR phản hồi âm 34
3. Các phương pháp tìm nghiệm của phương trình Riccati trực tiếp 36
2.2. Nguyên lý cực đại 40
2.2.1. Điều kiện cần 41
2.2.2. Điều kiện hoành (Điều kiện trực giao) 42
2.3. Phương pháp quy hoạch động 43
2.3.1. Nội dung phương pháp 44
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

2.3.2 Mở rộng cho hệ liên tục và phương trình Hamilton - Jacobi - Bellman 46
Chương 3.THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU NGẪU NHIÊN ĐỘNG 48
3.1. Bộ lọc Wiener 48
3.1.1.Mục đích của bộ lọc 48
3.1.2. Thuật toán xác định nghiệm tối ưu của bài toán (3.3). 51
3.2. Bộ quan sát trạng thái Kalman (lọc Kalman) 53
3.2.1. Mục đích của bộ quan sát 53
3.2.2. Thuật toán xác định bộ quan sát trạng thái Kalman. 57
Chương 4.XÂY DỰNG THUẬT TOÁN THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN PHẢN
HỒI TÍN HIỆU RA 59
4.1. Nội dung bộ điều khiển 59
4.2. Nguyên lý tách được 60
4.3. Thuật toán thiết kế bộ điều khiển phản hồi tín hiệu ra. 62
Chương 5. MÔ PHỎNG VÀ KẾT LUẬN 65
5.1. Nội dung bài toán 65
5.2. Các bước thiết kế 65
5.2.1. Giải bài toán tìm nghiệm R
LQR
là nghiệm của: 65

5.2.2. Thiết kế bộ quan sát trạng thái Kalman 67
5.2.3. Kết quả mô phỏng bộ điều khiển LQG 70
5.2.4. So sánh chất lượng bộ điều khiển LQR và bộ điều khiển LQG 72
5.2.5. Mô phỏng bộ điêu khiển LQG khi có nhiễu ồn trắng tác động. So sánh với
bộ điều khiển LQR. 74
KẾT LUẬN CHUNG VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA ĐỀ TÀI 78
PHỤ LỤC 79
TÀI LIỆU THAM KHẢO 80
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
x
0

Điểm trạng thái đầu
x
T

Điểm trạng thái cuối
A
Ma trận nxn
B
Ma trận nxm
I
Ma trận đơn vị
u
Tín hiệu điều khiển
x
Biến trạng thái
LQR

Linear Quadratic Regulator
n
x
,n
y
Nhiếu ồn trắng
LQG
Linear Quadratic Gaussian - Bộ điều khiển bền vững với nhiễu
R
LQR

Bộ điều chỉnh toàn phương tuyến tính
t
Thời gian
SISO
Hệ tuyến tính một đầu vào, một đầu ra (Single Input Single Output)
MIMO
Hệ tuyến tính nhiều đầu vào, nhiều đầu ra (Multi Input Multi Output)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ
Hình 1. Cấu trúc điều khiển hở
1
Hình 2. Điều khiển phản hồi trạng thái
2
Hình 3. Điều khiển phản hồi đầu ra
3
Hình 1.1. Minh họa định lý 1.1
6
Hình 1.2. Định vị miền giá trị riêngcủa ma trận

7
Hình 1.3. Những tín hiệu thích hợp
13
Hình 1.6. Giải thích tiêu chuẩn kalman bằng không gian bất biến
17
Hình 2.1. Bộ điều khiển LQR phản hồi dương
30
Hình 2.2. Bộ điều khiển LQR phản hồi âm
34
Hình 3.1. Bộ lọc Winner
48
Hình 3.2. Mục đích quan sát trạng thái
54
Hình 4.1. Nguyên tắc thiết kế bộ điều khiển LQG
59
Hình 4.2. Giải thích nguyên lý tách
60
Hình 5.1. Sơ đồ mô phỏng bộ điều khiển LQR
66
Hình 5.2. Kết quả mô phỏng bộ điều khiển LQR
67
Hình 5.3. Sơ đồ mô phỏng bộ quan sát trạng thái Kalman
68
Hình 5.4. Kết quả mô phỏng bộ quan sát trạng thái Kalman
69
Hình 5.5. Sơ đồ mô phỏng bộ điều khiển LQG
70
Hình 5.6. Kết quả mô phỏng bộ điều khiển LQG
71
Hình 5.7. Sơ đồ mô phỏng bộ điều khiển LQR và bộ điều khiển LQG

72
Hình 5.8. Kết quả mô phỏng so sánh bộ điều khiển LQR và LQG
73
Hình 5.9. Bộ điều khiển LQG khi có nhiễu tác động
74
Hình 5.10. Kết quả mô phỏng bộ điều khiển LQG khi có nhiễu tác động
75
Hình 5.11. Sơ đồ mô phỏng so sánh hai bộ điều khiển LQR và LQG
khi có nhiễu tác động
76
Hình 5.12. Kết quả mô phỏng bộ điều khiển LQR và LQG khi có
nhiễu tác động
77

HV: Ph¹m ThÞ T©m HuyÒn-T§H - 1 - hdkh: pgS.TS NguyÔn Do·n Ph-íc
Lời nói đầu
Một trong những mục tiêu hàng đầu trong tổng hợp hệ thống điều khiển
là tính hiệu quả cao. Hệ thống càng phức tạp, quy mô càng lớn, thì việc đưa ra
các quyết định điều khiển để hệ thống cho hiệu quả càng khó khăn, ngay cả
đối với những chuyên gia nhiều kinh nghiệm. Bởi vậy cần phải có những
phương pháp tổng quát, chặt chẽ về mặt lý thuyết, làm nền tảng trợ giúp cho
công việc trên và đó chính là mục đích của điều khiển tối ưu.
Điều khiển tối ưu là một chuyên ngành trong điều khiển tự động có vai
trò xác lập và tạo lập những luật điều khiển cho hệ thống để hệ thống đạt
được chỉ tiêu về tính hiệu quả đã được định trước dưới dạng (phiếm) hàm
mục tiêu Q. Miền nghiên cứu của điều khiển tối ưu không chỉ riêng ở các hệ
thống kỹ thuật mà có thể tìm thấy ở hầu hết các hệ thống không phải là kỹ
thuật khác như hệ sinh học, hệ kinh tế
Bài toán điều khiển có ba cấu trúc cơ bản đó là:
* Điều khiển hở

Về bản chất, hình thức điều khiển này cũng giống như bài toán tìm tín
hiệu điều khiển thích hợp đặt ở đầu vào của đối tượng, nhưng được bổ sung
thêm bộ điều khiển để tạo ra được tín hiệu điều khiển đó.



Ví dụ để điều khiển tàu thuỷ đi được theo một quỹ đạo y(t) mong muốn
(tín hiêu đầu ra), người ta phải tác động bằng lực
)(t

vào tay lái để tạo ra
được vị trí u(t) của bánh lái một cách thích hợp. Trong ví dụ này hệ thống tay
lái – bánh lái có vai trò của một bộ điều khiển.
Hình thức điều khiển hở này là điều khiển một chiều và chất lượng điều
khiển phụ thuộc vào độ chính xác của mô hình toán học mô tả đối tượng cũng
Bộ điều
khiển
Đối tượng
điều khiển
)(t


u(t)
y(t)
Hình 1. Cấu trúc điều khiển hở

HV: Ph¹m ThÞ T©m HuyÒn-T§H - 2 - hdkh: pgS.TS NguyÔn Do·n Ph-íc
như phải có giả thiết rằng không có tác động nhiễu không mong muốn vào hệ
thống trong suốt quá trình điều khiển.
* Điều khiển phản hồi trạng thái

Ở đối tượng điều khiển, các tín hiệu trạng thái
)(), ,(),(
21
txtxtx
n
,
được viết chung dạng vector
)(tx
(
)(), ,(),(
21
txtxtx
n
)
T
, là thành phần chứa
đựng đầy đủ nhất các thông tin chất lượng động học hệ thống, kể cả những tác
động nhiễu không mong muốn. Bởi vậy, để có thể tạo ra được cho đối tượng
một chất lượng mong muốn, ổn định với tác động nhiễu, cần phải có một tín
hiệu áp đặt ở đầu vào là u(t) phản ứng kịp theo những thay đổi trạng thái của
đối tượng






Hình 2. biểu diễn nguyên tắc điều khiển phản hồi trạng thái. Bộ điều khiển sử
dụng tín hiệu trạng thái
)(tx

của đối tượng để tạo ra được tín hiệu đầu vào
u(t) cho đối tượng. Vị trí của bộ điều khiển có thể là ở mạch truyền thẳng
hoặc ở mạch hồi tiếp.
Hệ thống điều khiển phản hồi trạng thái có khả năng giữ được ổn định
chất lượng mong muốn cho đối tượng, mặc dù trong quá trình điều khiển luôn
có những tác động nhiễu. Như vậy hệ thống điều khiển phản hồi trạng thái tối
ưu đã giải quyết triệt để mục tiêu của bài toán điều khiển đó là chất lượng
điều khiển đạt tốt nhất.
Tuy vậy hệ thống điều khiển phản hồi trạng thái có nhược điểm, trong nhiều
trường hợp trạng thái của đối tượng điều khiển không đo được trực tiếp gây
khó khăn cho việc nhận dạng đối tượng điều khiển vì vậy người ta phải thay
bộ điều khiển phản hồi trạng thái bằng bộ điều khiển phản hồi tín hiệu ra.
Bộ điều
khiển
Đối
tượng
điều
khiển


x

y

u

e



Bộ điều
khiển
Đối
tượng
điều
khiển


x

y

u



Hình 2. Điều khiển phản hồi trạng thái

HV: Ph¹m ThÞ T©m HuyÒn-T§H - 3 - hdkh: pgS.TS NguyÔn Do·n Ph-íc






Bộ điều khiển sử dụng tín hiệu đầu ra y(t) của đối tượng để tạo ngược
ra được tín hiệu đầu vào u(t) cho nó. Tuy nhiên, cho tới nay bài toán điều
khiển phản hồi tín hiệu ra vẫn còn là một bài toán mở và chưa có lời giải tổng
quát cuối cùng, vì tín hiệu ra y(t) thường không mang được đầy đủ thông tin
động học của đối tượng.

Với những ưu nhược điểm của bài toán phản hồi trạng thái và điều khiển phản
hồi tín hiệu ra, từ những lý thuyết đã nghiên cứu luận văn trình bày thuật toán
thiết kế bộ điều khiển tối ưu phản hồi tín hiệu ra dựa trên sự kết hợp của hai
bộ điều khiển: Bộ điều khiển phản hồi trạng thái và bộ điều khiển phản hồi
đầu ra áp dụng cho đối tượng điều khiển là đối tượng tuyến tính để chất lượng
điều khiển là tối ưu.
Sau một thời gian học tập và nghiên cứu đến nay bản luận văn của tôi
đã được hoàn thành. Nhân dịp này tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS
Nguyễn Doãn Phước - Thầy giáo hướng dẫn trực tiếp, người đã đưa ra hướng
nghiên cứu tận tình giúp đỡ, chỉ bảo và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn
thành luận văn này.
Tôi xin cảm ơn tất cả các thầy cô giáo đã tham gia giảng dạy, giúp
đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, nâng cao trình độ kiến thức.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến tất cả bạn bè, đồng nghiệp và người thân
đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình vừa qua.
Vì điều kiện về thời và khả năng của bản thân có hạn nên bản luận văn
này không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong các thầy cô cùng các bạn
đồng nghiệp góp ý sửa đổi, bổ xung thêm để bản luận văn thêm hoàn thiện.

Bộ điều
khiển
Đối tượng
điều khiển


y

u

e



Bộ điều
khiển
Đối tượng
điều khiển


y

u



Hình 3. Điều khiển phản hồi đầu ra

HV: Ph¹m ThÞ T©m HuyÒn-T§H - 4 - hdkh: pgS.TS NguyÔn Do·n Ph-íc
Chương 1
PHÂN TÍCH HỆ THỐNG TRONG MIỀN KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
1.1. Những nhiệm vụ cơ bản của công việc phân tích
Các nhiệm vụ cơ bản của công việc phân tích chất lượng động học của
một hệ thống bao gồm:
- Tính ổn định
- Sai lệch tĩnh, độ quá điều chỉnh, thời gian quá độ.
- Chất lượng bền vững.
Tuy nhiên, do đặc thù là được mô tả trong không gian trạng thái với mô hình:








uDxCy
uBxA
dt
xd
(1.1)
Mà ở đó rất có thể có những biến trạng thái thừa, nên công việc phân
tích hệ thống trong không gian trạng thái còn cần phải làm rõ thêm:
1) Hiểu biết về sự phân bố các điểm cân bằng của hệ thống. Một điểm
trạng thái x
e
được gọi là điểm cân bằng nếu như khi hệ đang ở điểm trạng thái x
e

và không có một tác động nào từ bên ngoài thì hệ sẽ nằm nguyên tại đó. Theo
định nghĩa như vậy thì điểm cân bằng x
e
của hệ thống phải là nghiệm của:
0 xA
dt
xd
(1.2)
Điều này cũng dễ hiểu, vì theo định nghĩa, điểm cân bằng là điểm mà
hệ thống sẽ nằm im tại đó, tức là trạng thái của nó không bị thay đổi







 0
dt
xd

khi không có sự tác động từ bên ngoài (u=0).
Ta có thể thấy ngay được từ (1.2) là hệ tuyến tính cân bằng tại mọi
điểm trạng thái thuộc không gian Ker (A) và nếu ma trận A của mô hình trạng
thái (1.1) không suy biến thì hệ (1.1) chỉ có một điểm cân bằng duy nhất là
gốc toạ độ 0.

HV: Ph¹m ThÞ T©m HuyÒn-T§H - 5 - hdkh: pgS.TS NguyÔn Do·n Ph-íc
2) Hiểu biết về tính ổn định Lyapunow của hệ thống. Một hệ thống
được gọi là ổn định Lyapunow tại điểm cân bằng x
e
nếu sau khi có một tác
động tức thời (chẳng hạn như nhiễu tức thời) đánh bật hệ ra khỏi điểm cân
bằng x
e
thì sau đó hệ có khả năng tự quay về được lân cận điểm cân bằng x
e

ban đầu (không cần có tín hiệu điều khiển u). Nếu hệ không những tự quay về
được lân cận của x
e
mà còn tiến tới x
e
thì nó được gọi là ổn định tiệm cận

Lyapunow tại x
e
.
3) Hiểu biết về tính điều khiển được của hệ thống tại một điểm trạng
thái cho trước.
Nhiệm vụ chính của điều khiển là tìm được tín hiệu điều khiển mang lại
cho hệ thống một chất lượng mong muốn, tức là phải tìm ra được một tín hiệu
thoả mãn chất lượng đề ra trong số các tín hiệu có khả năng đưa hệ thống từ
điểm trạng thái x
0
ban đầu tới được điểm trạng thái đích x
T
. Nếu như không
tồn tại bất cứ một tín hiệu điều khiển nào đưa được hệ từ x
0
tới x
T
thì sự cố
gắng tổng hợp hay đi tìm tín hiệu điều khiển như trên sẽ trở nên vô nghĩa (bài
toán không có lời giải). Bởi vậy, để công việc điều khiển có thể có kết quả ta
phải biết được rằng có tồn tại hay không ít nhất một tín hiệu điều khiển đưa
được hệ thống từ x
0
về x
T
trong khoảng thời gian T hữu hạn. Nếu như tồn tại
một tín hiệu điều khiển làm được việc đó thì ta nói hệ thống là điều khiển
được tại điểm trạng thái x
0
.

4) Hiểu biết về tính quan sát được của hệ thống tại một điểm trạng thái
cho trước.
Hay quay lại vấn đề chính xác là xây dựng bộ điều khiển cho hệ thống
để minh hoạ. Nếu sau khi đã biết là công việc xây dựng bộ điều khiển có thể
có kết quả (hệ điều khiển được tại x
0
) thì công việc tiếp theo là phải xác định
được x
0
để từ đó bộ điều khiển có thể tạo ra được tín hiệu điều khiển thích
hợp đưa hệ từ x
0
về x
T
. Công việc xác định điểm trạng thái x
0
có thể được tiến
hành bằng cách đo trực tiếp (nhờ các bộ cảm biến, sensor) nhưng có khi phải
tính toán, phải quan sát khi không thể đo được trực tiếp x
0
, chẳng hạn như gia

HV: Ph¹m ThÞ T©m HuyÒn-T§H - 6 - hdkh: pgS.TS NguyÔn Do·n Ph-íc
tốc không thể đo được trực tiếp mà phải được suy ra từ việc đo tốc độ trong
một khoảng thời gian cho phép. Trong trường hợp phải quan sát, người ta nói
điểm trạng thái x
0
của một hệ là quan sát được nếu ta có thể xác định được nó
thông qua việc đo các tín hiệu vào/ra trong một khoảng thời gian hữu hạn.
1.2 Phân tích tính ổn định

Các tiêu chuẩn đã biết như Routh, Hurwitz, Michailov, Lienard-
Chipart,… đều sử dụng được để kiểm tra tính ổn định hệ (1.1). Vấn đề hạn
chế chính có lẽ còn làm cho ta không được thoải mái khi sử dụng chúng là
phải xây dựng được đa thức đặc tính p(s)=det(sI-A), đặc biệt khi A có số
chiều khá lớn.
1.2.1. Định lý Gerchgorin.
Định lý Gerschgorin trình bày sau đây và hệ quả của nó sẽ là một tiêu
chuẩn bổ sung, giúp cho ta xét được tính ổn định của hệ (1.1) mà không cần
phải có đa thức đặc tính. Tuy nhiên định lý này chỉ là một điều kiện đủ. Điều
đó nói rằng nếu như ma trận A không thoả mãn định lý thì hệ (1.1) vẫn có thể
ổn định.
Định lý 1.1. (Gerschgorin): Với mỗi giá trị riêng s
k
của ma trận phức
(các phần tử là những số phức):
























nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A




21
22221
11211

luôn tồn tại một chỉ số i=1,2,…,n sao cho s
k
nằm trong đường tròn
tâm a
ii
bán kính R
i

=a
ii
+… +a
ii-1
+a
ii+1
+….a
in
 (hình 1.1)tức là:




n
j
j
ijiiik
aRas
1
1

.
ii
a

i
R


j



Hình 1.1. Minh họa định lý 1.1

HV: Ph¹m ThÞ T©m HuyÒn-T§H - 7 - hdkh: pgS.TS NguyÔn Do·n Ph-íc
Chứng minh:
Vì s
k
là giá trị riêng của A nên phải tồn tại một vector
0
1












n
v
v
v 
sao cho:
 

0 vIsA
k

trong đó 0 là ký hiệu chỉ vector có các phần tử đều bằng 0.
Suy ra:

 
0
1
1




n
j
j
ikiijij
vsava

=>
 




n
j
j
jijiiik

vavas
1
1

với i=1,2…,n. Chọn chỉ số i sao cho:
 
ni
vvvv , ,,max
21


sẽ có:
 






n
j
j
iij
n
j
j
jijiiik
vavavas
1
1

1
1
.





n
j
j
ijiik
aas
1
1
(đ.p.c.m)
Theo định lý 1.1, mỗi giá trị riêng s
i
của A đều được bao bởi một đường
tròn có tâm là a
ii
và bán kính là R
i
, i= 1,….,n. Do đó nếu như các đường tròn
đó đều nằm bên trái trục ảo thì chắc chắn tất cả các giá trị s
i
, i=1,….,n đều
phải có phần thực âm ( hình 1.2).
Ta đi đến điều kiện đủ cho tính ổn định của hệ như sau:
Định lý 1.2 (Hệ quả Gerschgorin): Ký hiệu





n
j
j
iji
aR
1
1
. Vậy thì hệ (1.1)
với a
ij
R sẽ ổn định nếu a
ii
+R
i
<0 với mọi i = 1, 2,…,n.
Ví dụ 1.1. Minh hoạ ý nghĩa định lý Gerschgorin
.
33
a

3
R


j



Hình 1.2. Định vị miền giá trị riêng
của ma trận
.
22
a

2
R

.
11
a

1
R


HV: Ph¹m ThÞ T©m HuyÒn-T§H - 8 - hdkh: pgS.TS NguyÔn Do·n Ph-íc
Cho hệ mô tả bởi:
ux
dt
xd
































1
0
1
412
032

013

Từ ma trận hệ thống có:
a
11
+R
1
= -3+1=-2<0
a
22
+R
2
=-3+2=-1<0
a
33
+R
3
=-4(2+1)=-1<0
Do đó theo định lý 1.2 thì hệ ổn định.
Ta có thể kiểm tra lại kết luận trên nhờ đa thức đặc tính của hệ thống
 
 
23)4(
412
032
013
det)det()(
2





















 ss
s
s
s
AsIsp

và thấy đa thức đó là Hurwitz vì ba nghiệm của nó:
4
1
s
,
23

2
js 
,
23
3
js 

đều có phần thực âm.
Ví dụ 1.2. Minh hoạ ý nghĩa định lý Gerschogorin
Định lý 1.2 chỉ là điều kiện đủ, bởi vậy nếu hệ thống thoả mãn định lý
1.2 thì có thể nó vẫn ổn định. Ta xét hệ sau:
ux
dt
xd
































1
0
1
112
024
012


HV: Ph¹m ThÞ T©m HuyÒn-T§H - 9 - hdkh: pgS.TS NguyÔn Do·n Ph-íc
Hệ có đa thức đặc tính:
 
 
42)1(
112
024

012
det)det()(
2




















 ss
s
s
s
AsIsp

với ba nghiệm:

1
1
s
,
js 22
2

,
js 22
3


đều nằm bên trái trục ảo nên nó ổn định. Nhưng hệ lại không thoả mãn định lý 1.2:
a
11
+R
1
= -2+1=-1<0
a
22
+R
2
=-2+4=2>0
a
33
+R
3
=-1(2+1)=2>0
1.2.2. Tiêu chuẩn ổn định Lyapunov - Hàm Lyapunov
Giống như định lý của Geschgorin, tiêu chuẩn Lyapunov trình bày sau

đây là phương pháp xét tính ổn định một cách trực tiếp trong không gian trạng
thái rất thích hợp cho những hệ thống mô tả mô hình trạng thái. Xuất phát
điểm của tiêu chuẩn Lyaunov là định lý sau:
Định lý 1.3. Hệ (1.1) ổn định BIBO khi và chỉ khi nó ổn định tiệm cận
Lyapunov, tức là khi và chỉ khi các qũy đạo trạng thái tự do có hướng tiến về
gốc toạ độ và kết thúc tại đó.
Định lý 1.4 (Lyapunov): Nếu tồn tại hàm V(x), thoả mãn các điều kiện:
a) Khả vi, xác định dương, tức là V(x)>0 với x≠0 và V(x)=0 x = 0
b)
,0
dt
dV
với
dt
dV
là đạo hàm của V(x) dọc theo qũy đạo trạng thái tự do.
thì hệ sẽ ổn định tiệm cận Lyapunov tại 0 (ổn định BIBO). Hàm V(x)
khi đó được gọi là hàm Lyapunov. Nói cách khác, hệ ổn định tiệm cận tại 0
nếu nó có hàm Lyapunov.

HV: Ph¹m ThÞ T©m HuyÒn-T§H - 10 - hdkh: pgS.TS NguyÔn Do·n Ph-íc
Ví dụ 1.3.: Minh hoạ tiêu chuẩn Lyapunov
Cho hệ mô tả bởi:
 

























































































2
21
1
32
321
21
3
2
1
3

2
1
2
2
52
24
.
10
21
01
.
210
152
024
u
uu
u
xx
xxx
xx
u
u
u
x
x
x
dt
xd
ux

Sử dụng hàm khả vi, xác định dương:
 
2
3
2
2
2
1
xxxxV 

cùng với qũy đạo x(t) của quá trình tự do của hệ (u
1
=u
2
=0) ta có:
 
04108
2
52
24
.222
2
3
2
2
2
1
32
321
21

321


















 xxx
xx
xxx
xx
xxx
dt
dV

với mọi vector x0 (hàm
dt
dV

xác định âm).
Bởi vậy, hệ ổn định theo định lý 1.4
Thông thường với hệ tuyến tính có mô hình trạng thái (1.1), người ta
hay sử dụng hàm trơn, xác định dương V(x) có dạng:
 
xPxxV
T

(1.3)
trong đó P là ma trận đối xứng kiểu n x n với n là biến trạng thái của
hệ thống (số chiều của không gian trạng thái). Chẳng hạn như ở ví dụ 1.3 ta
đã sử dụng ma trận P là ma trận đơn vị.
Một ma trận đối xứng P R
n xn
làm cho:
xxPx
T
 ,0
và
0xPx
T
khi và chỉ khi
0x

được gọi là ma trận xác định dương.
Sử dụng hàm V(x) xác định dương dạng (1.3) và mô hình trạng thái
(1.1) của hệ thống thì với qũy đạo trạng thái tự do (u = 0) ta có:
xPAxxPAxxP
dt
xd

dt
xd
Px
dt
dV
T
TT
T
T









 
xPAPAx
T
T



HV: Ph¹m ThÞ T©m HuyÒn-T§H - 11 - hdkh: pgS.TS NguyÔn Do·n Ph-íc
Bởi vậy hệ tuyến tính (1.1) sẽ ổn định nếu như tồn tại một ma trận Q
xác định dương sao cho:
 
0 xPAPAx

T
T
với mọi x≠0
Ma trận
 
QPAPA
T


khi đó được gọi là xác định âm. Ta đi đến hệ quả:
Định lý 1.5 (Hệ quả Lyapunov): Cho một hệ tuyến tính mô tả bởi mô hình
trạng thái (1.1). Hệ sẽ ổn định nếu một trong hai điều sau được thoả mãn:
a) Tồn tại ma trận vuông P R
n xn
xác định dương sao cho ma trận
 
PAPA
T

xác định âm, tức là
 
PAPA
T

xác định dương.
b) Tồn tại một ma trận đối xứng, xác định dương Q sao cho phương trình
 
QPAPA
T


(1.4)
có nghiệm P cũng đối xứng, xác định dương. Phương trình (1.4) có tên
gọi là phương trình Lyapunov.
Cuối cùng, và cũng để việc sử dụng định lý 1.5 được thuận tiện, thì
định lý của Sylvester cho sau đây như một công cụ xác định tính xác định
dương của một ma trận đối xứng cho trước.
Định lý 1.6 (Sylvester): Cần và đủ để ma trận vuông, đối xứng:
,
21
22221
11211
























nnnn
n
n
qqq
qqq
qqq
Q





kiik
qq 

xác định dương là các ma trận đường chéo của nó có định thức dương:

HV: Ph¹m ThÞ T©m HuyÒn-T§H - 12 - hdkh: pgS.TS NguyÔn Do·n Ph-íc
,0
11
q

,0det
2221
1211












qq
qq

, 0det
333231
232221
131211


















qqq
qqq
qqq

Tất nhiên rằng định lý Sylvester nêu trên cũng được sử dụng để xác
định tính xác định âm của một ma trận Q bằng cách kiểm tra xem ma trận -Q
có xác định dương hay không. Nếu -Q xá định dương thì Q xác định âm.
Ví dụ 1.4. Minh hoạ tiêu chuẩn Lyapunov
Xét hệ mô tả bởi:
u
x
x
ab
ba
dt
xd






























2
1
2
1

Chọn ma trận










q
q
Q
0
0
xác định dương, tức là chọn q>0 rồi thay vào
(1.4) được:

































q
q
P
ab
ba
ab
ba
P
0
0
=>












10
01
2a
q
P

Theo định lý 1.6 thì hệ sẽ ổn định nếu như P xác định dương, tức là khi:
0
2

a
q
 a<0
1.3. Phân tích tính điều khiển được
1.3.1. Khái niệm điều khiển được và điều khiển được hoàn toàn
Một nguyên tắc luôn phải tuân thủ khi đi tìm lời giải cho một bài toán,
có thể là một bài toán thuộc lĩnh vực kỹ thuật, nhưng cũng có thể thuộc các
lĩnh vực khác như xã hội, kinh tế hay tự nhiên, là trước khi bắt tay vào công
việc tìm kiếm lời giải ta phải xác định xem có thực sự tồn tại hay không lời
giải của bài toán đó.

HV: Ph¹m ThÞ T©m HuyÒn-T§H - 13 - hdkh: pgS.TS NguyÔn Do·n Ph-íc
Ở bài toán điều khiển cũng vậy. Nói chung, một bài toán điều khiển có
hai phần:
- Xác định những tín hiệu điều khiển u(t) để đưa hệ từ một điểm trạng

thái ban đầu không mong muốn tới một điểm trạng thái mong muốn khác. Ví
dụ, hệ đang làm việc ổn định ở trạng thái cân bằng x
T
thì có một tín hiệu nhiễu
tác động vào hệ làm cho hệ ra khỏi điểm làm việc cân bằng đó và chuyển tới
một điểm trạng thái x
0
không mong muốn nào đó. Nhiệm vụ của điều khiển là
phải tìm tín hiệu điều khiển u(t) đưa được hệ từ x
0
quay trở về điểm trạng thái
cân bằng x
T
ban đầu trong một khoảng thời gian hữu hạn (hình 1.3).
- Tìm trong số những tín hiệu
u(t) đã xác định được một (hoặc nhiều)
tín hiệu mang đến cho quá trình chuyển
dổi đó một chất lượng như đã yêu cầu.
Chẳng hạn trong số các tín hiệu có khả
năng đưa hệ từ x
0
về lại được x
T
thì phải
xác định một tín hiệu sao cho với nó, chi
phí cho quá trình chuyển đổi là thấp nhất.
Như vậy, rõ ràng ta chỉ có thể thực sự điều khiển được hệ thống nếu
như đã tìm được ít nhất một tín hiệu điều khiển u(t) đưa được hệ từ điểm
trạng thái đầu x
0

tới được điểm trạng thái đích x
T
trong khoảng thời gian hữu
hạn. Điều này phụ thuộc hoàn toàn vào bản chất động học của từng hệ thống.
Không phải mọi hệ thống hay đối tượng tồn tại trong tự nhiên có khả năng
động học là đưa được về trạng thái mong muốn. Một hệ thống có khả năng
đưa được từ điểm trạng thái x
0
về trạng thái x
T
được gọi là hệ điều khiển được
(hoàn toàn) tại x
0
.
Định nghĩa 1.1. Một hệ thống tuyến tính, liên tục được gọi là điều
khiển được nếu tồn tại ít nhất một tín hiệu điều khiển đưa được nó từ một
u
1

u
2

|
|
|
u
k
Hình 1.3. Những tín hiệu thích hợp

HV: Ph¹m ThÞ T©m HuyÒn-T§H - 14 - hdkh: pgS.TS NguyÔn Do·n Ph-íc

điểm trạng thái ban đầu x
0
(tuỳ ý) để được gốc tọa độ 0 trong khoảng thời
gian hữu hạn.
Ví dụ 1.5. Minh hoạ khái niệm điều khiển được
Xét hệ thống có mô hình:
 









































tubx
ax
u
x
x
b
a
dt
xd
2
1
2
1

1
0
0
0

Rõ ràng tín hiệu điều khiển u(t) không có tác dụng gì đối với biến trạng
thái x
1
(t) và do đó mọi tín hiệu u(t) không đưa được hệ từ điểm trạng thái ban
đầu









0
2
0
1
0
x
x
x
có
0
1

x
≠0 về được gốc toạ độ trong khoảng thời gian hữu hạn,
mặc dù với x
1
(t) = e
at
0
1
x
thì x
1
(t)cũng vẫn tiến tới 0 khi a có phần thực âm, tức
là hệ cũng có thể tự về được gốc toạ độ, nhưng trong một khoảng thời gian vô hạn.
1.3.2. Các tiêu chuẩn xét tính điều khiển được cho hệ tham số hằng
Xét hệ tuyến tính tham số hằng mô tả bởi:

với
nxmnxn
RBRA  ;
(1.5)

1. Tiêu chuẩn Hautus
Định lý 1.7. (Hautus): Cần và đủ để hệ tuyến tính (1.5) điều khiển được là:
Rank(sI - A,B) = n với mọi
Cs

Chứng minh:
Trước hết ta thấy vì eAt là ma trận không suy biến nên khi phương trình:
 




t
tAAt
duBexe
0
)(
0
'
0



với x
0
cho trước có nghiệm u(t) thì phương trình:
 


t
duBex
0
0



uBxA
dt
xd


HV: Ph¹m ThÞ T©m HuyÒn-T§H - 15 - hdkh: pgS.TS NguyÔn Do·n Ph-íc
cũng có nghiệm u(t) và ngược lại. Điều này cũng phù hợp với nội dung
của phần giải thích thứ ba cho định nghĩa 1.1 ở mục trước rằng hệ điều khiển
được tại x
0
, khi và chỉ khi nó đạt tới được x
0
. Do đó để chứng minh định lý ta
sẽ chỉ rằng:
Rank (sI - A, B) = n.  s.
là điều kiện cần và đủ để mọi điểm x
0
trong không gian trạng thái đạt tới được.
Gọi X(s) là ảnh Laplace của x(t) và U(s) là ảnh của u(t). Chuyển hai vế
của (1.5) sang miền phức với toán tử Laplace, trong đó giá trị đầu của x(t)
được giả thiết là bằng 0 và giá trị cuối x
0
của nó là tuý ý, ta được:
(sI-A)X(s) = BU(s) (1.6.)
Vì x
0
là tuỳ ý nên X(s) cũng là tuỳ ý. Xem các ma trận (sI-A)và B như
những ánh xạ tuyến tính thì rõ ràng (1.6) có nghiệm U khi và chỉ khi:
Im(sI-A)  Im(B)
và để điều đó không phụ thuộc s thì ta phải có:
Rank (sI-A, B) =n với mọi s C
Ví dụ 1.5. Minh hoạ tiêu chuẩn Hautus
Tính không điều khiển được của hệ được nhận biết trực quan từ chỗ
x

1
(t) không phụ thuộc u(t) và do đó u(t) không điều khiển được x
1
(t). Ma trận
A và B của hệ có dạng:
,
0
0











b
a
A











1
0
B

Suy ra:
Rank (sI-A, B) =Rank












10
00
bs
as


HV: Ph¹m ThÞ T©m HuyÒn-T§H - 16 - hdkh: pgS.TS NguyÔn Do·n Ph-íc
Như vậy nếu s = a thì:
Rank (sI-A, B) = 1 < 2
và do đó hệ không điều khiển được.

Bên cạnh tiêu chuẩn Hautus, một tiêu chuẩn khác cũng rất được ưu
dùng là tiêu chuẩn Kalman.
Khái niệm điều khiển cũng được Kalman định nghĩa năm 1960 và cùng
với định nghĩa đó ông đã đưa ra tiêu chuẩn xét tính điều khiển được của hệ
tuyến tính tham số hằng.
2. Tiêu chuẩn Kalman
Định lý 1.8. (Kalman): Cần và đủ để hệ tuyến tính (1.5) điều khiển
được là:
Rank (B, AB,… A
n-1
B)=n
Chứng minh:
Do có:
 



t
A
duBex
0
0



(1.7)
nên hệ sẽ điều khiển được khi và chỉ khi phương trình trên với x
0
tuỳ ý
cho trước luôn có ít nhất một nghiệm u(t).

Theo định lý 3.9, cụ thể là công thức (3.22) [Lý thuyết điều khiển nâng
cao – Nguyễn Doãn Phước,tr259] được suy ra từ định lý Cayley - Hamilton thì:
 
BAtaAtaItaBe
n
n
At 1
110
)( )()(






 


















)(
)(
,
1
0
1
ta
ta
BAABB
n
n

(1.8)