Nghiên cứu điều khiển tối ưu cho hệ điều khiển có phương trình trạng thái dạng suy biến bằng phương pháp số

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP







LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT






NGHIÊN CỨU
ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU CHO HỆ ĐIỀU KHIỂN CÓ
PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI DẠNG SUY BIẾN
BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ





Ngành: TỰ ĐỘNG HÓA
Mã số:23.04.3898
Học viên: NGÔ PHƯƠNG THANH
Người HD Khoa học: PGS.TS. NGUYỄN HỮU CÔNG

THÁI NGUYÊN – 2011

i
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành chương trình cao học và thực hiện viết luận văn này, tôi đã nhận
được sự hướng dẫn, giúp đỡ và góp ý nhiệt tình của quý Thầy, Cô giáo trường Đại
học Kỹ thuật Công nghiệp Thái Nguyên, trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, cùng
một số Trường, Viện khác.
Trước hết, tôi xin chân thành cảm ơn đến quý Thầy, Cô giáo trường Đại học Kỹ
thuật Công nghiệp Thái Nguyên, trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, cùng một số
Trường, Viện khác, đặc biệt là những thầy cô đã trực tiếp tận tình hướng dẫn tôi
suốt thời gian học tập tại trường.
Tôi xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến Phó giáo sư – Tiến sĩ Nguyễn Hữu Công đã
dành rất nhiều thời gian và tâm huyết hướng dẫn nghiên cứu và giúp tôi hoàn thành

luận văn tốt nghiệp.
Đồng thời, tôi cũng xin cảm ơn quý đồng nghiệp, bạn cùng lớp Cao học khóa
K12 - TĐH đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập cũng như đóng
góp những ý kiến quý báu giúp tôi hoàn thành bản luận văn này.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến những thành viên trong đại gia
đình, chồng và con trai tôi, những người luôn sát cánh động viên tôi về cả tinh thần
và vật chất, giúp tôi hoàn thành khóa học cũng như bản luận văn này.
Mặc dù tôi đã có nhiều cố gắng hoàn thiện bản luận văn này bằng tất cả sự nhiệt
tình và năng lực của mình, tuy nhiên không thể tránh khỏi những thiếu sót, rất mong
nhận được những đóng góp quý báu của quý Thầy, Cô giáo và các bạn.

Thái Nguyên, tháng 09 năm 2011
Tác giả


Ngô Phương Thanh

ii
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN





LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là đề tài do tôi thực hiện. Các kết quả trong luận văn là
trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình nào của các tác giả
khác. Tất cả các tài liệu tham khảo đều có nguồn gốc, xuất xứ rõ ràng.
Nếu sai tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Thái Nguyên, ngày 20 tháng 09 năm 2011
Tác giả


Ngô Phương Thanh



iii
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




TÓM TẮT LUẬN VĂN
Tóm tắt: Nghiên cứu phương pháp số trong điều khiển tối ưu cho hệ thống động
nói chung và điều khiển tối ưu suy biến nói riêng luôn là vấn đề thời sự trong kỹ
thuật điều khiển tự động bởi các hệ thống cần được điều khiển ngày càng phức tạp
hơn. Phương pháp giải tựa (giả) tuần tự (Quasi-Sequential Approach QS-SQA)
cùng với phương pháp rời rạc hóa collocation trực giao được coi là một phương
pháp tiên tiến mà có thể được áp dụng cho những bài toán điều khiển tối ưu suy
biến phức tạp có kích thước tương đối lớn. Ưu điểm chính của phương pháp này là
việc làm giảm đáng kể kích thước của bài toán tối ưu bằng cách đưa vào một lớp bài
toán mô phỏng (Simulation) để tiến hành giải hệ phương trình vi phân thường
(ODEs) hoặc hệ phương trình vi phân đại số cấp 1 (DAEs) mô tả hệ thống động cần
được điều khiển. Mục tiêu của luận văn này là nghiên cứu những vấn đề lý thuyết
về tối ưu động nói chung, về điều khiển tối ưu suy biến nói riêng; sau đó phát triển
gói phần mềm sử dụng phương pháp QS-SQA kết hợp với phần mềm giải bài toán
tối ưu phi tuyến thông thường IPOPT cho bài toán điều khiển tối ưu suy biến. Gói

phần mềm này sẽ tự động tiến hành việc rời rạc hóa mô hình bài toán dạng phương
trình DAEs hoặc ODEs mô tả hệ thống do người sử dụng cung cấp, sau đó tiến hành
giải bài toán tối ưu tĩnh vừa được hình thành bằng phương pháp tối ưu điểm trong
IP (Interior Point). Phương pháp rời rạc hóa biến điều khiển bằng các đoạn hằng số
(piece-wise constant) đã được sử dụng trong luận văn này cũng phù hợp với phương
pháp điều khiển số hiện hành. 06 ví dụ từ đơn giản đến phức tạp trong điều khiển
tối ưu suy biến đã được dùng để minh họa thuật toán và so sánh với các phương
pháp điều khiển khác.
Từ khóa: tối ưu động, điều khiển tối ưu suy biến, hệ phương trình vi phân đại
số, collocation trực giao, phương pháp tựa tuần tự, tối ưu phi tuyến, phương pháp
tối ưu điểm trong.


iv
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN



MỤC LỤC

Trang
Lời cảm ơn ………………………………………………………………
i
Lời cam đoan ……………………………………………………………
ii
Tóm tắt luận văn …………………………………………………………
iii
Mục lục ……………………………………………………………………
iv
Danh mục hình vẽ ………………………………………………………

vii
Danh mục các chữ viết tắt ……………………………………………….
viii
Lời nói đầu ………………………………………………………………
ix
Chƣơng 1. BÀI TOÁN TỐI ƢU TỔNG QUÁT ………………………
1
1.1 Giới thiệu và phân loại bài toán tối ƣu ……………………….
1
1.1.1 Giới thiệu chung …………………………………………………
1
1.1.2 Phân loại bài toán tối ƣu ………………………………………….
2
1.2 Bài toán tối ƣu tĩnh ……………………………………………
5
1.2.1 Khái niệm ………………………………………………………….
5
1.2.2 Bài toán tối ƣu phi tuyến liên tục …………………………………
7
1.2.3 Phƣơng pháp SQP với tập giới hạn tích cực (AS-SQP) …………
8
1.2.4 Phƣơng pháp SQP điểm trong (IP-SQP) ………………………
9
1.2.5 Những so sánh giữa hai phƣơng pháp AS-SQP và IP-SQP …….
11
1.3 Bài toán tối ƣu động …………………………………………
12
1.3.1 Khái niệm …………………………………………………………
13
1.3.2 Các phƣơng pháp gián tiếp ……………………………………….

13
1.3.2.1 Phương pháp biến phân ………………………………………….
13
1.3.2.2 Phương pháp quy hoạch động Bellman ………………………….
17
1.3.2.3 Nguyên lý cực đại Pontryagin ……………………………………
21
1.3.3 Các phƣơng pháp trực tiếp ……………………………………….
28
1.3.3.1 Các cơ sở toán học ……………………………………………….
28

v
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN


Phương pháp collocation trực giao ………………………………
28
Phương pháp Newton-Raphson …………………… …………
30
1.3.3.2 Phương pháp đồng thời (Simultaneous Approach) …………………
31
1.3.3.3 Phương pháp tuần tự (Sequential Approach) ……………………….
33
1.3.3.4 Phương pháp tựa tuần tự (Quasi-Sequential Approach QS-SQA) ….
35
Chƣơng 2. PHƢƠNG PHÁP SỐ GIẢI BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN
TỐI ƢU CHO HỆ CÓ PHƢƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI SUY BIẾN
39
2.1 Bài toán điều khiển tối ƣu ………………………………….…

39
2.1.1 Khái niệm ……………………………………………………….….
39
2.1.2 Phân loại ……………………………………………………………
40
2.1.3 Giải bài toán điều khiển tối ƣu liên tục …………………………
41
2.2 Bài toán điều khiển tối ƣu suy biến …………………………
42
2.2.1 Khái niệm …………………………………………………………
42
2.2.2 Các đặc điểm ……………………………………………………….
42
2.3 Lựa chọn phƣơng pháp giải và phần mềm …………………
43
2.3.1 Lựa chọn phƣơng án IP-SQP …………………………………….
43
2.3.2 Phần mềm IPOPT …………………………………………………
45
2.3.2.1 Method get_nlp_info …………………………………………
46
2.3.2.2 Method get_bounds_info ……………………………………
47
2.3.2.3 Method get_starting_point ……………………………….
48
2.3.2.4 Method eval_f …………………………………………………
49
2.3.2.5 Method eval_grad_f ………………………………………….
49
2.3.2.6 Method eval_g …………………………………………….……

50
2.3.2.7 Method eval_jac_g ……………………………………………
51
2.3.2.8 Method eval_h ……………………………………………….…
52
2.3.2.9 Method finalize_solution …………………………………
54
2.3.2.10 Hàm main()…………………………………………………….
55
Chƣơng 3. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA & KẾT QUẢ MÔ PHỎNG
56

vi
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN


3.1 Ví dụ minh họa ………………………………………… …….
56
3.1.1 Ví dụ 1 ……………………………………………………………
56
3.1.2 Ví dụ 2 ………………………………………………………………
58
3.1.3 Ví dụ 3 ………………………………………………………………
60
3.1.4 Ví dụ 4 ………………………………………………………………
60
3.1.5 Ví dụ 5 ………………………………………………………………
63
3.1.6 Ví dụ 6 ………………………………………………………………
65

3.2 Nhận xét ………………………………………………………….…
67
Chƣơng 4. KẾT LUẬN & KIẾN NGHỊ ………………………………
68
4.1 Kết luận …………………………………………………………
68
4.2 Một số kiến nghị về hƣớng nghiên cứu tiếp theo …………….
68
TÀI LIỆU THAM KHẢO ……………………………………………….
70



vii
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN



DANH MỤC HÌNH VẼ
Trang
Hình 1.1: Sơ đồ tổng quan bài toán tối ưu …………………………………… 3
Hình 1.2: Sơ đồ hình cây của bài toán tối ưu tĩnh tổng quát …………………. 5
Hình 1.3: Đồ thị của bài toán 1.1 …………………………………………… 6
Hình 1.4: Hàm chuyển đổi mẫu và bộ điều khiển tối ưu …………………… 24
Hình 1.5: Phương pháp rời rạc hóa Radau collocation (NC=3) …………… 29
Hình 1.6: Sơ đồ tổng quan phương pháp giải đồng thời……………………… 33
Hình 1.7: Sơ đồ tổng quan phương pháp giải lần lượt…………………….… 34
Hình 1.8: Sơ đồ tổng quan phương pháp giải tựa lần lượt……………………. 35
Hình 3.1: Đồ thị tín hiệu biến trạng thái và điều khiển (ví dụ 1)………….… 58
Hình 3.2a: Đồ thị tín hiệu biến trạng thái và điều khiển (ví dụ 2)……….……. 59

Hình 3.2b: Tín hiệu điều khiển với J
min
=0.2683938 trong [18] (ví dụ 2)….… 59
Hình 3.3a: Đồ thị tín hiệu biến trạng thái và điều khiển (ví dụ 3)…………… 61
Hình 3.3b: Tín hiệu biến điều khiển với J
min
=0.7539845 trong [18] (ví dụ 3)… 61
Hình 3.4a: Đồ thị tín hiệu biến trạng thái và điều khiển (ví dụ 4)……………. 62
Hình 3.4b: Tín hiệu biến điều khiển với J
min
=1.2521134 trong [18] (ví dụ 4) 62
Hình 3.5a: Đồ thị tín hiệu biến trạng thái (ví dụ 5)………………………… 63
Hình 3.5b: Đồ thị tín hiệu biến điều khiển (ví dụ 5)……………………….…. 64
Hình 3.5c: Tín hiệu biến điều khiển với J
min
=0.11928 trong [18] (ví dụ 5)… 64
Hình 3.6a: Đồ thị tín hiệu biến trạng thái (ví dụ 6)………………………….… 66
Hình 3.6b: Đồ thị tín hiệu biến điều khiển (ví dụ 6)………………………… 66
Hình 3.6c: Tín hiệu biến điều khiển với J
min
=2.335x10
-9
trong [18] (ví dụ 6)… 67


viii
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

I. Tiếng Việt
BTQHPT bài toán quy hoạch phi tuyến
BTQHL bài toán quy hoạch lồi
BTQHTP bài toán quy hoạch toàn phương
BTQHTT bài toán quy hoạch tuyến tính
II. Tiếng Anh
AEs Algebraic Equations - hệ phương trình đại số
AS Active Set – tập tích cực
CSTR Continuous Stirred Tank Reactor - bể phản ứng trộn liên tục
DAEs Differential Algebraic Equations - hệ phương trình vi phân-đại số
IDM Iterative Dynamic Programming – quy hoạch động lặp
IP Interior Point – điểm trong
KKT Karush–Kuhn–Tucker
NLP NonLinear Programming – quy hoạch (tối ưu) phi tuyến
NMPC Nonlinear Model Predictive Control – điều khiển dự báo mô hình
phi tuyến
ODEs Ordinary Differential Equations hệ phương trình vi phân thường
QP Quadratic Programming – tối ưu toàn phương
QS-SQA Quasi-Sequential Approach - Phương pháp tựa tuần tự
SQP Sequential Quadratic Programming – tối ưu toàn phương liên tiếp
SMA Simultaneous Approach - Phương pháp giải đồng thời
SQA Sequential Approach - Phương pháp giải tuần tự


ix
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

x
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN



LỜI NÓI ĐẦU
Cuộc cách mạng khoa học kỹ thuật và công nghệ ở các nước trong khu vực và
trên thế giới đang trong thời kỳ phát triển như vũ bão đã đưa Việt Nam đứng trước
rất nhiều cơ hội và thách thức mới trên con đường công nghiệp hóa – hiện đại hóa
đất nước.
Quá trình công nghiệp hóa – hiện đại hóa đất nước đòi hỏi đội ngũ các nhà khoa
học, cán bộ kỹ thuật phải không ngừng nghiên cứu, học tập nâng cao trình độ để kịp
thời tiếp cận, từng bước làm chủ các kiến thức khoa học kỹ thuật hiện đại và công
nghệ tiên tiến.
Chương trình đào tạo thạc sĩ tại Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp Thái
Nguyên nhằm đào tạo những cán bộ khoa học có trình độ cao để tiếp thu và làm chủ
công nghệ hiện đại để phục vụ cho công tác nghiên cứu, giảng dạy và sản xuất. Là
một giáo viên đang tham gia giảng dạy tại một trường kỹ thuật, tôi đã rất cố gắng nỗ
lực tham gia khoá đào tạo thạc sĩ khoá 12 của trường. Để đánh giá kiến thức đã lĩnh
hội được trong toàn khoá học, thể hiện bằng kết quả học tập cụ thể cuối khóa, tôi đã
nhận đề tài luận văn tốt nghiệp: “Nghiên cứu điều khiển tối ưu cho hệ điều khiển
có phương trình trạng thái dạng suy biến bằng phương pháp số” dưới sự hướng
dẫn khoa học trực tiếp của PGS. TS. Nguyễn Hữu Công.
Nghiên cứu phương pháp số trong điều khiển tối ưu cho hệ thống động nói
chung và điều khiển tối ưu suy biến nói riêng luôn là vấn đề thời sự trong kỹ thuật
điều khiển tự động bởi các hệ thống cần được điều khiển ngày càng phức tạp hơn.
Để thực hiện đề tài nêu trên, cấu trúc luận văn được chia thành 04 chương:
 Chƣơng 1: Bài toán tối ưu tổng quát.

 Chƣơng 2: Phương pháp số giải bài toán điều khiển tối ưu cho hệ có
phương trình trạng thái suy biến.
 Chƣơng 3: Các ví dụ minh họa & Kết quả mô phỏng.
 Chƣơng 4: Kết luận & Kiến nghị.
Đề tài đã được hoàn thành đúng thời gian quy định với hàm lượng kiến thức
đảm bảo cho một luận văn tốt nghiệp thạc sĩ kỹ thuật.
Thái nguyên, ngày 20 tháng 09 năm 2011

xi
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN


Học viên: Ngô Phương Thanh
Giới thiệu và phân loại bài toán tối ưu 1
K12 – TĐH / 2009 Luận văn Thạc sĩ. Ngô Phương Thanh

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
Chƣơng 1
BÀI TOÁN TỐI ƢU TỔNG QUÁT

Loài người thực hiện những tính toán tối ưu. Các nhà đầu tư luôn tìm cách tạo ra
lợi nhuận cao nhất với mức độ rủi ro thấp nhất. Các nhà sản xuất luôn hướng tới
mục tiêu đạt hiệu quả cao nhất trong quá trình thiết kế cũng như sản xuất các sản
phẩm của họ.
Tự nhiên cũng luôn thực hiện bài toán tối ưu theo cách của nó. Các quá trình vật
lý luôn có xu hướng tiến tới trạng thái có mức năng lượng nhỏ nhất. Các phân tử
trong các phản ứng hóa học biệt lập sẽ tương tác với các phân tử khác cho đến khi
tổng năng lượng nghỉ của các điện tử của chúng là nhỏ nhất. Các tia sáng thì luôn đi
theo hướng sao cho thời gian lan truyền là ngắn nhất.
Tối ưu hóa (Optimization) là một công cụ rất quan trọng trong thực tiễn đời

sống, kinh tế cũng như trong lĩnh vực khoa học, công nghệ. Tối ưu tĩnh (static
optimization) và tối ưu động (dynamic optimization) là hai lĩnh vực gắn bó mật thiết
với nhau. Xét về mặt toán học, tối ưu tĩnh liên quan đến bài toán tối ưu trong không
gian thực hữu hạn chiều R
n
, cảm sinh từ không gian chuẩn Euclide. Các bài toán tối
ưu động là các bài toán tối ưu trong các không gian hàm vô số chiều. Do đó bài toán
tối ưu động trên thực tế có thể được xem như là trường hợp suy rộng của bài toán
tối ưu tĩnh.
1.1 Giới thiệu và phân loại bài toán tối ƣu
1.1.1 Giới thiệu chung
Tối ưu hóa là một trong những lĩnh vực kinh điển của toán học có ảnh hưởng
đến hầu hết các lĩnh vực khoa học – công nghệ và kinh tế – xã hội. Trong thực tế,
việc tìm giải pháp tối ưu cho một vấn đề nào đó chiếm một vai trò hết sức quan
trọng. Phương án tối ưu là phương án hợp lý nhất, tốt nhất, tiết kiệm chi phí, tài
nguyên, nguồn lực mà lại cho hiệu quả cao.
Để có thể hình thành bài toán tối ưu, trước hết chúng ta cần xác định hàm mục
tiêu, chính là sự đánh giá chất lượng hoạt động của hệ thống cần nghiên cứu. Hàm
mục tiêu này có thể là lợi nhuận, thời gian, năng lượng, hoặc bất kì một đại lượng
nào hoặc tổng hợp của một số đại lượng mà được đại diện bằng một giá trị vô
hướng duy nhất. Hàm mục tiêu phụ thuộc vào các đặc tính nhất định của hệ thống,
mà được gọi là các biến hoặc các ẩn số. Mục tiêu của chúng ta là tìm ra giá trị của
các biến làm tối ưu hàm mục tiêu. Thông thường thì các biến bị giới hạn, hay bị
Giới thiệu và phân loại bài toán tối ưu 2
K12 – TĐH / 2009 Luận văn Thạc sĩ. Ngô Phương Thanh

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
ràng buộc theo các điều kiện nào đó. Ví dụ như số các điện tử trong một phân tử và
lãi suất thì không thể là số âm.
Quá trình xác định hàm mục tiêu, các biến, và các ràng buộc cho một bài toán

tối ưu đã cho là được biết đến như là quá trình mô hình hóa. Xây dựng một mô hình
thích hợp là bước đầu tiên, đôi khi là bước quan trọng nhất, trong quá trình tối ưu
hóa. Nếu mô hình này là quá đơn giản, nó sẽ không cung cấp đủ thông tin về bài
toán thực tế. Nếu mô hình được xây dựng một cách quá phức tạp, chúng ta có thể
gặp khó khăn khi giải bài toán.
Sau khi đã xây dựng xong mô hình, chúng ta phải tìm một thuật toán tối ưu để
tìm lời giải cho nó, thường là với sự trợ giúp của máy tính. Trong thực tế, không có
một thuật toán tối ưu hóa tổng quát mà chỉ tồn tại một tập hợp các thuật toán, mỗi
trong số đó là phù hợp với một loại bài toán tối ưu cụ thể. Trách nhiệm của người
sử dụng là phải lựa chọn các thuật toán nào đó phù hợp cho một ứng dụng cụ thể.
Lựa chọn này có tính chất rất quan trọng, vì nó có thể quyết định xem vấn đề được
giải quyết một cách nhanh hay chậm và, cuối cùng là liệu chúng ta có thể tìm được
nghiệm hay không.
Sau khi đã lựa chọn một thuật toán tối ưu hóa áp dụng cho bài toán, chúng ta
phải có khả năng đánh giá xem liệu nó có thành công trong việc tìm kiếm một lời
giải cho bài toán tối ưu hay không. Trong nhiều trường hợp, người ta sử dụng một
biểu thức toán học được gọi là điều kiện tối ưu để kiểm tra xem các giá trị hiện tại
của các biến có thực sự là lời giải của bài toán được đặt ra hay không. Nếu các điều
kiện tối ưu không được thỏa mãn, chúng có thể cung cấp những thông tin hữu ích
về cách để cải thiện lời giải hiện hành. Mô hình này có thể được cải thiện bằng cách
áp dụng các kỹ thuật như phân tích độ nhạy, mà cho thấy độ nhạy của các lời giải để
thay đổi mô hình và dữ liệu. Nếu có bất kỳ thay đổi được áp dụng cho mô hình, bài
toán tối ưu hóa được giải quyết một lần nữa, và quá trình cứ lặp đi lặp lại như thế.
1.1.2 Phân loại bài toán tối ƣu
Các bài toán tối ưu, cũng còn được gọi là các bài toán quy hoạch toán học, được
chia ra thành các lớp sau:
 Bài toán tối ưu động (Dynamic Optimization): trong đó thời gian cũng là một
biến mà chúng ta cần phải xem xét đến,
 Bài toán tối ưu tĩnh (Static Optimization): chỉ tiêu chất lượng của bài toán không
phụ thuộc vào thời gian,

Giới thiệu và phân loại bài toán tối ưu 3
K12 – TĐH / 2009 Luận văn Thạc sĩ. Ngô Phương Thanh

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

Phƣơng pháp
gián tiếp
Phƣơng pháp
đồng thời
Phƣơng pháp
trực tiếp
Phƣơng pháp
lần lƣợt
TỐI ƢU HÓA
Tối ƣu tĩnh
Tối ƣu động
Tối ƣu
tiền định
Tối ƣu
ngẫu nhiên
Phƣơng pháp
tựa lần lƣợt
Rời rạc hóa
đầy đủ
Rời rạc hóa
(biến điều khiển)
Tính Gradient
Mô phỏng
hệ điều khiển

Tính Gradient
Giải bài toán
tối ƣu phi tuyến
Giải bài toán
tối ƣu phi tuyến
Hình 1.1: Sơ đồ tổng quan bài toán tối ưu.
 Phƣơng pháp
biến phân,
 Phƣơng pháp
quy hoạch động
Bellman,
 Nguyên lý cực
đại Pontryagin.
Giới thiệu và phân loại bài toán tối ưu 4
K12 – TĐH / 2009 Luận văn Thạc sĩ. Ngô Phương Thanh

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
 Bài toán quy hoạch tuyến tính (BTQHTT),
 Bài toán tối ưu phi tuyến hay còn gọi là bài toán quy hoạch phi tuyến
(BTQHPT), bao gồm cả bài toán quy hoạch lồi (BTQHL) và bài toán quy hoạch
toàn phương (BTQHTP),
 Bài toán tối ưu rời rạc, bài toán tối ưu nguyên và hỗn hợp nguyên,
 Bài toán quy hoạch động,
 Bài toán quy hoạch đa mục tiêu,
 Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên/mờ, v.v
Ngoài ra, người ta cũng phân loại bài toán tối ưu tĩnh cụ thể hơn như trên hình
1.2:
 Optimization: tối ưu hóa,
 Continuous: (tối ưu) liên tục,
 Disrete: (tối ưu) rời rạc,

 Interger Programming: tối ưu nguyên,
 Stochastic Programming: tối ưu ngẫu nhiên,
 Constrained: (tối ưu) có ràng buộc (hay giới hạn),
 Network Programming: tối ưu mạng,
 Bound Constrained: ràng buộc biên trị,
 Nonlinearly Constrained: (tối ưu) với ràng buộc phi tuyến,
 Linear Programming: tối ưu tuyến tính,
 Unconstrained: (tối ưu) không có ràng buộc (hay giới hạn),
 Nonlinear Equations: tối ưu phi tuyến,
 Nonlinear Least Squares: tối ưu bình phương cực tiểu phi tuyến,
 Global Optimization: tối ưu toàn cục,
 Nondifferentiable Optimization: Tối ưu (với hàm) không khả vi.
Các phương pháp toán học giải các lớp bài toán tối ưu tổng quát như nêu trên
đây được gọi là các phương pháp tối ưu toán học (hay các phương pháp quy hoạch
toán học). Trong số các bài toán trên thì các BTQHTT đã được giải quyết khá tốt
nhờ phương pháp đơn hình (Simplex) nổi tiếng. BTQHPT liên tục là dạng phổ biến,
bao trùm và hiện đang được quan tâm nhất. Do đó trong đề tài này, tác giả chỉ tập
trung vào dạng bài toán này.


Bài toán tối ưu tĩnh 5
K12 – TĐH / 2009 Luận văn Thạc sĩ. Ngô Phương Thanh

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
1.2 Bài toán tối ƣu tĩnh


Hình 1.2: Sơ đồ hình cây của bài toán tối ưu tĩnh tổng quát.
(Nguồn:
1.2.1 Khái niệm

Về mặt toán học, tối ưu hóa là việc đi tìm cực tiểu hoặc cực đại một hàm mà có
thể có các biến bị giới hạn. Chúng ta sử dụng các ký hiệu sau đây:
- x là véctơ chứa các biến, còn gọi là các ẩn số hay các tham số;
- f là hàm mục tiêu, là một hàm vô hướng của biến x mà chúng ta muốn tìm
cực tiểu hay cực đại.
- g
i
là các hàm giới hạn, là các hàm vô hướng của biến x xác định các phương
trình hay bất phương trình mà các biến x phải thỏa mãn.
Sử dụng các ký hiệu này, bài toán tối ưu tĩnh tổng quát có thể được viết như sau:
min ( )
sao cho
( ) 0,
( ) 0,
n
xR
i
j
fx
g x i
g x j





(1.1)
Xét một ví dụ đơn giản:
Bài toán tối ưu tĩnh 6
K12 – TĐH / 2009 Luận văn Thạc sĩ. Ngô Phương Thanh

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
12
22
12
,
2
12
2
1
min ( 3) ( 2)
saocho
30
10
0
xx
xx
xx
x
x
  
  


(1.2)
Hàm mục tiêu và ba bất phương trình giới hạn lần lượt là:

Hình 1.3: Đồ thị của bài toán 1.1.
22
1 2 1 2

2
1 1 2 1 2
2 1 2 2
3 1 2 1
( , ) ( 3) ( 2)
( , ) 3
( , ) 1
( , )
f x x x x
g x x x x
g x x x
g x x x
   
  


(1.3)
Hình 1.3 chỉ ra các đường đồng mức của hàm mục tiêu và miền xác định mà tập
hợp các điểm trong vùng đó thỏa mãn tất cả các ràng buộc, đồng thời chỉ ra điểm
x
*
=[2,1] là nghiệm của bài toán.
Trong phần tiếp theo của luận văn, bài toán tối ưu (1.1) được giả thiết là bài toán
tối ưu phi tuyến liên tục và khả vi đến cấp 2.
điểm tối ưu
các đường đồng mức
của hàm mục tiêu
miền
xác định
Bài toán tối ưu tĩnh 7

K12 – TĐH / 2009 Luận văn Thạc sĩ. Ngô Phương Thanh

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
1.2.2 Bài toán tối ƣu phi tuyến liên tục
Bài toán tối ưu phi tuyến liên tục được mô tả ở dạng tổng quát như sau:

min ( )
n
xR
fx

(1.4a)
sao cho

( ) 0gx
(1.4b)

( ) 0hx
(1.4c)
trong đó
( ), ( ), ( )f x g x h x
là các hàm liên tục khả vi đến cấp 2.
Hàm Lagrange của bài toán (1.4) được viết như sau:
( , , ) ( ) ( ) ( )
TT
L x f x g x h x     
(1.5)
trong đó  vector nhân tử Lagrange của ràng buộc dạng phương trình,  là vector
nhân tử Lagrange của ràng buộc dạng bất phương trình.
Gradient của (1.5) với biến x được cho bởi:

( , , ) ( ) ( ) ( )
TT
x x x x
L x f x g x h x       
(1.6)
Và Hessian là:
 
( , , ) ( , , ) ( ) ( ) ( )
TT
xx xx
W x L x f x g x h x           
(1.7)
Điều kiện cần tối ưu, còn gọi là điều kiện Karush-Kuhn-Tucker (KKT) được viết
như sau:

( , , ) 0
x
Lx   
(1.8a)

( ) 0gx
(1.8b)

( ) 0h x s
(1.8c)

0SVe 
(1.8d)

( , ) 0s 

(1.8e)
trong đó s là các biến phụ được thêm vào để biến các ràng buộc không cần bằng
thành các ràng buộc dạng phương trình,
[1 1] , { }, { }.
T
e S diag s V diag   

Hiện nay trong việc giải bài toán tối ưu liên tục phi tuyến có khá nhiều phương
pháp với những ưu nhược điểm và phạm vi ứng dụng đặc thù với mỗi loại bài toán
riêng biệt [12]. Tuy nhiên có hai nhóm phương pháp khá mạnh đang được áp dụng
rộng rãi là: Sequential Quadratic Programming methods (SQP) - quy hoạch toàn
phương liên tiếp và Interior Point (IP) methods - phương pháp điểm trong [12].
Bài toán tối ưu tĩnh 8
K12 – TĐH / 2009 Luận văn Thạc sĩ. Ngô Phương Thanh

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
Phương pháp tối ưu toàn phương liên tiếp (Sequential Quadratic Programming -
SQP) đã được chứng minh là rất hiệu quả để giải BTQHPT liên tục. Hai phương án
phân biệt được ứng dụng trong phương pháp SQP để giải quyết các ràng buộc dạng
bất phương trình theo phương pháp Tựa-Newton (Newton-like) là: phương pháp tập
ràng buộc tích cực AS-SQP (active-set SQP) và phương pháp hàm chặn IP-SQP
(barrier SQP), hay còn gọi là phương pháp điểm trong (Interior-Point IP).
1.2.3 Phƣơng pháp SQP với tập giới hạn tích cực (AS-SQP)
Hệ KKT (1.8) bao gồm điều kiện bù (1.8d) và điều kiện không âm (1.8e), mà
chính là phần khó khăn nhất trong việc giải hệ phương trình KKT. Khi giải hệ KKT,
phương trình ràng buộc (1.8d) và bất phương trình (1.8e) phụ thuộc lẫn nhau và làm
cho hệ KKT có ma trận điều kiện yếu tại vị trí gần nghiệm.
Phương pháp AS-SQP thay thế (1.8d) bằng các giá trị
0, và 0,
ii

s i i     A I A
, trong đó  là tập hợp các chỉ số của các ràng
buộc dạng bất phương trình,  là tập hợp các chỉ số của ràng buộc dạng phương
trình và
 
( ) : ( ) 0
i
x i h x   A E I
là tập tích cực (active-set).
Trong phương pháp AS-SQP, người ta tiến hành giải bài toán phụ dạng tối ưu
toàn phương QP (Quadratic Programming) trong mỗi lần lặp x
k
sau:
1
min ( ) ( , , )
2
saocho
( ) ( ) 0
( ) ( ) 0, 0
x
k T T k k k
x x x
d
k T k
xx
k T k
xx
f x d d W x d
g x d g x
h x d h x s s

   
  
    
(1.9)
và tìm tập tích cực (x) trong bài toán QP nhằm thỏa mãn các điều kiện (1.8d-1.8e).
Hệ KKT cho bài toán QP này là:

( , , ) ( ) ( ) ( ) 0
k k k k k T k k T k
x x x x
W x d f x g x h x       
(1.10a)

( ) ( ) 0
k T k
xk
g x d g x  
(1.10b)

( ) ( ) 0
k T k
xx
h x d h x s   
(1. 10c)

0SVe 
(1. 10d)

( , ) 0s 
(1. 10e)

Hệ phương trình (1.10) tương đương với việc tuyến tính hóa hệ phương trình
(1.8) tại mỗi lần lặp thứ k với x
k
. Việc giải hệ (1.10) và xác định tập tích cực với
(1.10) dễ dàng hơn so với hệ (1.8).
Bài toán tối ưu tĩnh 9
K12 – TĐH / 2009 Luận văn Thạc sĩ. Ngô Phương Thanh

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
Với phương pháp AS-SQP, tại mỗi lần lặp, các ràng buộc dạng bất phương trình
không nằm trong tập tích cực (x) được bỏ qua, và chỉ giải bài toán QP với các
ràng buộc dạng phương trình mà đã được giản lược nhằm giảm thời gian tính toán.
Tuy nhiên việc xác định tập tích cực dẫn đến tăng số lượng các vòng lặp khi tồn tại
một số lượng lớn các ràng buộc dạng bất phương trình.
1.2.4 Phƣơng pháp SQP điểm trong (IP-SQP)
Phương án này ứng dụng các phương pháp điểm trong cơ sở-đối ngẫu (primal-
dual IP) trong đó có sử dụng một số điểm mạnh của các thuật toán tiên tiến [3,5,6,
12, 13, 14] để chuyển bài toán (1.4) thành bài toán mới chỉ chứa các ràng buộc dạng
phương trình. Các ràng buộc dạng bất phương trình được nhúng vào trong hàm chặn
(barrier function), do đó phương pháp này còn có tên gọi là phương pháp hàm chặn.
Thuật ngữ “cơ sở-đối ngẫu“ xuất phát từ việc phương pháp này tính toán hướng tìm
(search direction d
k
) cho các biến quyết định x và biến phụ s (gọi chung là biến cơ
sở-primal) cũng như các biến nhân tử Lagrange (gọi là biến đối ngẫu-dual).
Phương pháp hàm chặn thêm vào các biến phụ s đóng vai trò như là những biến
quyết định và đưa vào hàm mục tiêu một đại lượng chặn dạng logarit nhằm chuyển
bài toán (1.4) thành bài toán sau:

,

min ( ) ln( )
i
xs
i
f x s



I
(1.11a)
sao cho

( ) 0gx
(1.11b)

( ) 0h x s
(1.11c)
Đại lượng logarit trong (1.11) sẽ tự chặn trong hàm mục tiêu khi các ràng buộc
dạng bất phương trình (1.4c) tiến tới các điểm trên biên. Bằng cách giảm dần giá trị
tham số  đến 0, nghiệm của bài toán (1.11) sẽ tiến tới nghiệm của bài toán (1.4).
Hàm Lagrange của bài toán (1.11) được viết như sau:
 
( , , , ) ( ) ln( ) ( ) ( )
TT
i
i
L x s f x s g x h x s

      


I
(1.12)
trong đó  vector nhân tử Lagrange của ràng buộc dạng phương trình,  là vector
nhân tử Lagrange của ràng buộc dạng bất phương trình.
Gradient của (1.12) với các biến x và s được cho bởi:
( , , , ) ( ) ( ) ( )
TT
x x x x
L x s f x g x h x       
(1.13)
11
( , , , )
s
L x s S e S e Ve

         
(1.14)
Bài toán tối ưu tĩnh 10
K12 – TĐH / 2009 Luận văn Thạc sĩ. Ngô Phương Thanh

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
Và Hessian là:
 
( , , , ) ( , , , ) ( ) ( ) ( )
TT
xx xx
W x s L x s f x g x h x          
(1.15)
Điều kiện cần tối ưu, còn gọi là điều kiện Karush-Kuhn-Tucker (KKT) được viết
như sau:

( , , , ) 0
x
L x s   
(1.16a)

( , , , ) 0
s
L x s   
(1.16b)

( ) 0gx
(1.16c)

( ) 0h x s
(1.16d)
Thay (1.13-1.14) vào (1.16a-1.16b) ta được:
( ) ( ) ( ) 0
( ) 0
( ) 0
TT
x x x
f x g x h x
SVe
gx
h x s
       




(1.17)
Hệ KKT này không tồn tại các điều kiện bù và điều kiện không âm. Do đó,
phương pháp Newton giải hệ phương trình phi tuyến [6] được áp dụng với (1.17) tại
lần lặp thứ k với
T
k k k k
xs



, ta có:
( , , , ) 0 ( ) ( )
( , , , )
00
( , , , )
( ) 0 0
()
( ) 0 0
()
k k k k k k
k k k k
xx
x
k k k k
s
k
k
x
k
kk

x
x
W x s g x h x
L x s
s
VS
L x s
gx
gx
h x I
h x s
  

   
  





  




















(1.18)
Nghiệm
T
k k k k
xs

   

của hệ (1.18) chính là hướng tìm để di chuyển từ
giá trị hiện tại
T
k k k k
xs



đến giá trị mới:
1 1 1 1k k k k k k k k k k k k
x s x s x s
   

     
          
     
(1.19)
trong đó  chính là độ rộng bước tính (
01  
) và giá trị này được tính toán nhờ
các phương pháp tìm kiếm theo đường thẳng (line search) hoặc phương pháp vùng
tin cậy (trust-region) sử dụng hàm chất lượng.
Với giả thiết
1
( , , ) ( )( ) ( )
k k k k T
xx
W x h x S V h x

   
xác định dương trong hạch
(null space) của
()
x
gx
[6], việc tìm nghiệm
k
x
của hệ (1.18) tương đương với
việc gải bài toán QP sau:
Bài toán tối ưu tĩnh 11
K12 – TĐH / 2009 Luận văn Thạc sĩ. Ngô Phương Thanh

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
11
,
11
min ( ) ( , , , ) ( ) ( )
22
saocho
( ) ( ) 0
( ) ( ) 0
xs
k T T k k k k T k k
x x x s s s
dd
k T k
xx
k T k k
x x s
f x d d W x s d d S Vd S d
g x d g x
h x d h x d s

     
  
    
(1.20)
trong đó d
s
là hướng tìm cho các biến phụ.
Trong bài toán QP (1.20) không tồn tại ràng buộc dạng bất phương trình, do đó
nó được giải mà không phải quan tâm đến việc tìm tập tích cực như trong phương

pháp tập tích cực đã trình bày ở trên. Khi đó, hệ KKT của (1.20) được cho bởi:

( , , ) ( ) ( ) ( ) 0
( ) ( ) 0
( ) ( ) 0
k k k k k T k k T k
x x x x
k k k
s
k T k
xk
k T k
x x s
W x d f x g x h x
Vd S V e
g x d g x
h x d h x d s
        
  
  
    
(1.21)
1.2.5 Những so sánh giữa hai phƣơng pháp AS-SQP và IP-SQP
Nhóm phương pháp AS-SQP nhìn chung được áp dụng rất hiệu quả với các bài
toán từ cỡ nhỏ đến trung bình, trong khi các phương pháp IP-SQP lại tỏ ra đáp ứng
tốt với các bài toán tối ưu toàn phương lồi cỡ lớn.
Đối với bài toán tối ưu toàn phương lồi, nhóm phương pháp AS-SQP thực hiện
một số lượng lớn các bước tính toán mà trong đó hướng tìm nghiệm được tính toán
một cách khá dễ dàng, trong khi nhóm phương pháp IP-SQP lại sử dụng một số
lượng ít hơn những bước tính toán khó khăn hơn [12]. Điều này xuất phát từ sự

khác nhau của hai hệ thống hệ số của ma trận điều kiện KKT (1.10) và (1.21) và sự
khác nhau giữa các bước tính nhân tử hóa nhằm cập nhật các hệ số của ma trận hệ
số của hệ KKT. Trong các phương pháp AS-SQP, ma trận KKT sẽ khác nhau sau
mỗi bước lặp, trong khi đó với các phương pháp IP-SQP các phần tử khác 0 của ma
trận KKT cần được nhân tử hóa trong mỗi lần lặp là cố định (chỉ có giá trị của
chúng thay đổi), do đó người ta có thể tận dụng tính chất thưa của các ma trận W,
g và h trong (1.21). Đặc điểm này sẽ rất hữu ích trong trường hợp giải bài toán
phi tuyến cỡ lớn.
Do đó nếu bài toán có một lượng không nhiều các ràng buộc dạng bất phương
trình thì việc tìm tập ràng buộc tích cực sẽ khá dễ dàng và sau đó việc giải bài toán
tối ưu toàn phương (1.9) sẽ không khó khăn, do đó phương pháp AS-SQP được coi
là thích hợp trong trường hợp này. Trong trường hợp ngược lại, với bài toán có
Bài toán tối ưu động 12
K12 – TĐH / 2009 Luận văn Thạc sĩ. Ngô Phương Thanh

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
nhiều ràng buộc dạng bất phương trình, các phương pháp IP-SQP thường giải nhanh
hơn do chúng tránh được việc phải tìm tập rằng buộc tích cực AS. Đây là những đặc
điểm cần chú ý khi chọn phương pháp giải phù hợp cho các bài toán tối ưu được
hình thành trong phần tiếp theo của luận văn này.

1.3 .Bài toán tối ƣu động
Các bài toán tối ưu động (Dynamic Optimization) nói chung liên quan đến một
hệ thống các phương trình vi phân-đại số (DAEs) mô tả các hệ thống động học rất
phổ biến trong các lĩnh vực cơ khí, cơ-điện tử, điện và điện tử cũng như công nghệ
hóa học.
Các mô hình đại diện cho các quá trình hóa học thường bao gồm một hệ thống
những phương trình vi phân thường (ODEs) mô tả những cân bằng khối lượng và
năng lượng động của hệ thống, mà trong đó các phản ứng hóa học xảy ra, cùng với
các phương trình đại số (AEs) thể hiện các quan hệ cân bằng nhiệt động lực học,

những giá trị ở chế độ làm việc xác lập, v.v Các hệ thống mạch điện bao gồm
những phần tử cơ bản như điện trở, tụ điện và điện cảm được mô tả bằng những hệ
phương trình vi phân mà được tổng hợp lại bằng các định luật Kirchhoff dưới dạng
các phương trình đại số. Trong các hệ thống cơ khí, những hệ phương trình vi phân
thường được dùng để mô tả các quá trình động học của những hệ thống con và các
phương trình đại số được dùng để tổng hợp các ràng buộc tại các khớp nối.
Nhiệm vụ của bài toán tối ưu động là thực hiện việc tìm kiếm một luật điều
khiển cho một hệ thống cho trước nhằm đạt được một tiêu chí tối ưu nhất định. Bài
toán như vậy bao gồm một hàm chi phí chứa các biến trạng thái (còn gọi là biến phụ
thuộc) và các biến điều khiển (còn gọi là biến độc lập) cùng với một tập hợp các
phương trình vi phân-đại số mô tả hệ thống động học cần được tối ưu. Việc giải bài
toán tối ưu động nói trên chính là việc đi tìm quỹ đạo của các biến điều khiển nhằm
giảm thiểu giá trị hàm chi phí như: tìm đường đi ngắn nhất, tìm thời gian xảy ra quá
trình ngắn nhất, cực tiểu hóa chi phí, cực tiểu hóa thời gian tác động, giảm giá thành
sản phẩm, v.v
1.3.1 Khái niệm
Một bài toán tối ưu với hệ thống động học được mô tả bằng hệ phương trình
DAEs dưới dạng tổng quát như sau:

 
( ), ( ), ( ),
min ( ), ( ), ( ),
z t y t u t t
z t y t u t t
(1.22a)
sao cho
Bài toán tối ưu động 13
K12 – TĐH / 2009 Luận văn Thạc sĩ. Ngô Phương Thanh

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

 
0
( ) ( ), ( ), ( ), 0; (0)z t F z t y t u t t z z  

(1.22b)

 
( ), ( ), ( ), 0G z t y t u t t 
(1.22c)

 
( ), ( ) 0
ff
z t y t
(1.22d)

( ) ; ( ) ; ( )
L U L U L U
z z t z y y t y u u t u     
(1.22e)
trong đó  là hàm mục tiêu, z(t) , y(t) và u(t) lần lượt là các biến trạng thái (phụ
thuộc) vi phân, biến trạng thái đại số và biến điều khiển (độc lập). Hệ phương trình
(1.22.b-1.22c) là một hệ phương trình DAEs mô tả hệ thống cần xét, (1.22.d) là
những ràng buộc tại điểm cuối của biến trạng thái, và (1.22.e) là những ràng buộc
trên quỹ đạo của biến điều khiển và biến trạng thái.
Theo hình 1.1, bài toán tối ưu động (1.22) trước hết được phân thành hai nhánh:
bài toán ngẫu nhiên và bài toán tiền định. Trong bài toán ngẫu nhiên tồn tại một số
đại lượng là các biến ngẫu nhiên và cách giải chúng tương đối phức tạp nên không
được xét đến trong luận văn này. Bài toán tiền định có thể giải theo một số phương

pháp được chia thành hai nhánh: phương pháp gián tiếp và phương pháp trực tiếp.
Phương pháp gián tiếp tập trung tìm nghiệm theo hướng giải tích dựa vào điều
kiện cần của nghiệm tối ưu để giải bài toán hai điểm đầu-cuối [9,11]. Phương pháp
này chỉ phù hợp với các bài toán tương đối đơn giản và không có các điều kiện biên.
Với các bài toán phức tạp và tồn tại điều kiện biên cũng như các ràng buộc thì
phương pháp này tỏ ra không hiệu quả.
Trái lại, phương pháp trực tiếp tiến hành tìm nghiệm tối ưu một cách trực tiếp
theo phương pháp số. Trong phương pháp này, người ta tiến hành rời rạc hóa bài
toán tối ưu động vô số chiều (1.22) thành bài toán toán tối ưu phi tuyến hữu hạn
chiều. Do tính tương đối đơn giản và nhờ khả năng tính toán và lập trình ngày càng
được nâng cao, phương pháp trực tiếp ngày càng thu hút được sự quan tâm nghiên
cứu.
1.3.2 Các phƣơng pháp gián tiếp
1.3.2.1 Phương pháp biến phân
Nhiệm vụ của điều khiển tối ưu là giải bài toán tìm cực trị của phiếm hàm
 
( ), ( ), ( ),z t y t u t t
bằng cách chọn tín hiệu điều khiển u(t) với những điều kiện
hạn chế của đại lượng điều khiển và biến trạng thái. Một trong những công cụ toán
học để xác định cực trị là phương pháp biến phân cổ điển Euler-Lagrange.