BÀI GIẢNG TOÁN 9 HAY

BÀI GIẢNG TOÁN 9 HAY

MỤC LỤC

Phần I: Rút gọn biểu thức
1. Bài giảng số 1 Khái niệm căn bậc 2 và một số bài toán cơ bản
2. Bài giảng số 2 Phân tích nhân tử trong các bài toán chứa
3. Bài giảng số 3 Rút gọn các biểu thức đơn giản
4. Bài giảng số 4 Các dạng bài toaans rút gọn trong đề thi vào lớp 10
5. Bài giảng số 5 Ôn tập tổng hợp rút gọn

Phần II: Hàm số bậc nhất
1. Bài giảng số 1 Đồ thị hàm số bậc nhất
2. Bài giảng số 2 Hệ số góc của đồ thị hàm số bậc nhất
3. Bài giảng số 3 Vị trí tương đối của hai đồ thị hàm số bậc nhất
4. Bài giảng số 4 Một số bài toán liên quan đến đồ thị hàm số bậc nhất
5. Bài giảng số 5 Ôn tập tổng hợp hàm số bậc nhất

Phần III: Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn
1. Giải hệ phương trình bậc nhất bằng phương pháp cộng đại số
2. Giải hệ phương trình bậc nhất bằng phương pháp thế
3. Giải hệ phương trình bậc nhất bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Phần IV:
Hàm số bậc hai
1. Hàm số bậc hai
2. Phương trình bậc hai
3. Phuong trình quy về bậc hai
4. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng và parabol
5. Giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc hai

Bài giảng số 1: KHÁI NIỆM CĂN BẬC HAI VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN

A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
 Với
a,b
là hai số không âm, ta luôn có
a b a b.
  
 Với a là hằng số dương, ta luôn có
a)
A a a A a.
    
b)
A a
A a .
A a


 

 


c)
2 2
A a a A a.
    
d)
2 2
A a

A a .
A a


 

 


 Điều kiện để
A
xác định là
0
A .


 Ta luôn có
2
A A .

 Với
0 0
A ,B ,
 
ta luôn có:
AB A. B.


 Với
0 0

A ,B ,
 
ta luôn có:
A A
.
B
B

 Với hai biểu thức A, B mà
0
B ,

ta luôn có:
2
A B A B.

 Với hai biểu thức A, B mà
0 0
AB ,B ,
 
ta luôn có:
A AB
.
B B


 Trục căn thức ở mẫu:
a) Với các biểu thức A, B mà
0
B ,


ta luôn có:
A A B
.
B
B

b) Với các biểu thức A, B, C mà 0 0
A ,B ,A B,
  
ta luôn có


C A B
C
.
A B
A B





c) Với các biểu thức A, B, C mà
2
0
A ,A B ,
  ta luôn có



2
C A B
C
.
A B
A B






B. CÁC VÍ DỤ MẪU
 Dạng 1: So sánh hai số có chứa căn bậc hai
Ví dụ 1: So sánh:
a)
4
và
15
b)
26 5
 và 7
Giải
a) Ta có:
4 16

16 15
  . Vậy
4 15
 .

b) Ta có:


2
26 5 26 2 26.5 5 31 2 130
     

2
7 49 31 18 31 2.9 31 2 81
      
Mà
31 2 130 31 2 81
  


2
2
26 5 7
  
26 5 7
  

 Dạng 2: Giải bất phương trình bậc hai
Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau:
a)
2
4 5 0
x x
  
b)

2
4 0
x
 
c)
2
2 1 0
x x
  

Giải
a)
2
4 5 0
x x
  
2
4 4 9 0
x x
    


 
2
2 9 0
x
   
 
2
2 9

x
  


3 2 3
x
    
1 5
x
   

b)
2
4 0
x
 
2
4
x
 
4
4
x
x




 


c)
2
2 1 0
x x
  
2
2 1 2 0
x x
    
 
2
1 2 0
x
   
 
2
1 2
x
  


1 2
1 2
x
x
 




  

3
1
x
x




 


 Dạng 3: Tìm điều kiện để biểu thức chứa căn bậc hai có nghĩa
Ví dụ 3: Tìm
x
để các biểu thức sau có nghĩa:
a)
1
2 3
A
x


b)
2
4 5
B x x
   
c)

2
5
x
C
x




Giải
a)
A
có nghĩa khi
2 3 0
x
 
3 2
x
  
2
3
x
  

b)
B
có nghĩa khi
2
4 5 0
x x

   
2
4 4 1 0
x x
     
 
2
2 1 0
x
    
(vô lý)
Vậy
B
không xác định.
c)
C
có nghĩa khi
2
0
5
5 0
x
x
x








 

2 0
5 0
2 0
5 0
5
x
x
x
x
x


 




 






 
 




 







2
5
2
5
5
x
x
x
x
x


 












 
 











2 5
x
   

 Dạng 4: Phân tích thành nhân tử chung
Ví dụ 4: Phân tích thành nhân tử:
a)
3 2
x x
 

b)
5 6

x x
  
c)
2 3
x x
 

Giải
a)
3 2 2 2
x x x x x
     




1 2 1
x x x
   




1 2
x x
  

(điều kiện:
0
x


)
b)
5 6 5 5 6 6
x x x x x
       




5 1 6 1
x x x
    




6 5 1
x x
  

(điều kiện:
0
x

)
c)
2 3 2 2 3 3
x x x x x
     





2 1 3 1
x x x
   




2 3 1
x x
  

(điều kiện:
0
x

)
Ví dụ 5: Phân tích thành nhân tử:
a)
2
6 5
x x y y
 
b)
6 4 9 6
xy x x y y xy
  

Giải
a)
2 2
6 5 6 6
x x y y x x y x y y
     




6
x x y y x y
   






6
x y x y
  
(điều kiện:
0
y

)
b)





6 4 9 6 2 3 2 3 3 2
xy x x y y xy x y x y y x
      






3 2 2 3
y x x y
  
(điều kiện:
0, 0
x y
 
)

 Dạng 5: Rút gọn biểu thức có chứa căn bậc hai
Ví dụ 6: Cho biểu thức
2 2
6 9 6 9
P x x x x
     

a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để
1

P .


Giải
a)
   
2 2
2 2
6 9 6 9 3 3
P x x x x x x         
3 3
x x
   

b) Ta có:
6 : 3
3 3 2 : 3 3
6 : 3
x
P x x x x
x
 


        


 


2
x
  
(thỏa mãn).
Vậy với
1
2
x
 
thì
1
P .


Ví dụ 7: Rút gọn biểu thức:
6 2 5 6 2 5
M .
   
Giải
6 2 5 6 2 5 5 2 5 1 5 2 5 1
M
         
   
2 2
5 1 5 1
   
5 1 5 1
   
5 1 5 1
   

2 5

Ví dụ 8: Rút gọn các biểu thức:
1
Do đó ta chỉ xét với
3  x  3
. Khi đó:
P 1 2x 1
a)
2 3
2
A ;

 b)
2 1
2
x x
B
 
 với
1
1
2
x
 

c)
2
2
2 2 2

( 2)
2
x x
C x
x
 
  


Giải
a)


2 2 3
2 3
2
2
A


 
4 2 3
2


 
2
3 1
2



3 1
2


b)


2 2 1
2 1
2
2
x x
x x
B
 
 
 
2 2 2 1
2
x x
 

 
2
2 1 1
2
x  


2 1 1
2
x
 

1 2 1
2
x
 
 (vì
1
1
2
x
 
0 2 1 1
x
   
)
c)


  
2
2
2
2
2 2 2
2
2 2

x
x x
C
x
x x

 
 

 
2
2
x
x




Ví dụ 9: Rút gọn biểu thức
 
2
2 2
3
2
2
a b
A ,
a b




với 0 0
a ,b ,a b.
  

Giải
   
2 2
2
2 2 2 2
3 3
2 2
2 2
a b a b
A .
a b a b
 
 
 
 
 
 
 
   
2
2 2
2.3 a b
a b a b



 

 
2
6
a b


6
a b




 Dạng 6: Trục căn thức ở mẫu
Ví dụ 10: Rút gọn biểu thức
 
8 41
3 2
45 4 41 45 4 41
A : .
 
  

Giải
Ta có
 
8 41
3 2
45 4 41 45 4 41

A : 
  




 
 
8 41 45 4 41 45 4 41
: 3 2
45 4 41 45 4 41
  
 
  


   
 
2 2
8 41 41 2 41 2
: 3 2
8 41
 
  
 
 
 




41 2 41 2
3 2
  


4
3 2




4 3 2
3 2





4 3 2
 

Ví dụ 11: Cho biểu thức
2
1 1 1
2
2 1 1
a a a
P . ,
a a a
   

 
  
   
   
 
   
với
0 1
a .
 

a) Rút gọn biểu thức
P;

b) Tìm a để
0
P .


Giải
a)
 




2 2
2
2
1 1

1
1 1 1
2 4 1
2 1 1
a a
a
a a a
P . .
a a
a a a
  
   

 
   
   
   

 
   

 




1 1 1 1 1
4
a a a a a
a

      



4 1
4
a a
a
 

1
a
a



b)
1
0 0
a
P
a

  
1
a
 
(thỏa mãn điều kiện).

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: So sánh:
a)
11
và 3 ĐS:
11 3


b)
8 24
 và
65
ĐS:
8 24 65
 
Bài 2: Giải các bất phương trình
a)
2
4 21 0
x x
  
ĐS:
7
3
x
x



 



b)
2
3 1 0
x x
  
ĐS:
x



Bài 3: Tìm x để biểu thức sau có nghĩa:
1.
2
4 1
x x
 
ĐS:
2 3
2 3
x
x

 

 



2.
2
1
2 5 4
x x
 
ĐS:

x R

3.
3 1
x

ĐS:
1
3
x


4.
2
3
x

ĐS:
.

x R

5.
5 2
x

ĐS:
5
2
x


6.
2
2
x

ĐS:
2
2
x
x

 





7.
1
7 14

x

ĐS:
2
x


8.
2
3 7
x x
 
ĐS:

x R

9.
2 1
x

ĐS:
1
2
x


10.
2
2 5 3
x x

 
ĐS:
1
3
2
x
x







11.
3
7 2
x
x


ĐS:
2
3
7
x
  

12.
2

1
5 6
x x
 
ĐS:
2
3
x
x






13.
3
7
x
x


ĐS:
3 7
x
  

14.
1 3
3 5

x
x x

 
ĐS:
3 5
x
 

15.
2
1
2
x x

ĐS:
0 2
x
 

16.
6 1 3
x x
  
ĐS:
1
6
x


Bài 4: Phân tích thành nhân tử:
1.
3 4
x x
 
ĐS:




1 4
x x
 


2.
5 6 11
x x
 
ĐS:




1 11
x x 

5.
2
2 2 1

x x y
   
ĐS:




2 1 2 1
x y x y
     

Bài 5: Cho biểu thức
2
3 1 4 12 9
P x x x .
    

a) Rút gọn biểu thức P; ĐS:
3 1 2 3
P x x
   

b) Tìm x để
3
P .

ĐS:
7
5
x



Bài 6: Rút gọn các biểu thức:
1.
3 2 2 6 4 2
   ĐS:
3

3. 2x5 x  2 ĐS:

2 x 1

x  2


4. x  2 x 1 a
2
ĐS:

x 1 1 a

x 1 1 a


2.
3 5
2

ĐS:
5 1

2


3.
2 2 4
2
x x
 
với
4
x

ĐS:
2 4 2
2
x
 

4.
 
2 2
2
5 1 4 4
2 1
a a a
a
 

với
1

2
a

ĐS:
2 5
a

Bài 7: Hãy trục căn thức ở mẫu:
1.
5
3 8
ĐS:
5 2
12

2.
5
5 2 3

ĐS:


5 5 2 3
13


3.
4
7 5


ĐS:


2 7 5


4.
2
1
x x
 
ĐS:


2 1
x x
 

5.
2
b
với
0
b

ĐS:
2
b
b

6.
2
1
a
a

với
0 1
a
 
ĐS:


2 1
1
a a
a



7.
6
2
a
a b

với
0
a b
 

ĐS:


6 2
4
a a b
a b



Bài 8: Tính giá trị của biểu thức
1.
6 2 3 216
: 6
3
2 8
A
 

 
 
 

 
ĐS:
3
2
A
 

2.
15 5 14 7 4
:
1 3 1 2 5 7
B
 
 
 
 
 
  
 
ĐS:
1
2
B



Bài 9: Rút gọn biểu thức
1 1 1
:
1 1 2
a
P
a a a a a

 
 
 

   
 
ĐS:
1
a
P
a



A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Ta thường sử dụng phương pháp phân tích nhân tử trong các bài toán chứa căn để rút gọn và làm
đơn giản biểu thức. Các cách phân tích nhân tử hay dùng:
 Thêm bớt thừa số
 sử dụng hằng đẳng thức
 nhẩm nghiệm phương trình
 Nhân liên hợp
Bên cạnh đó ta cần phải chú ý tới một số tính chất của biểu thức chứa căn:
 Điều kiện để biểu thức
A
có nghĩa là
0.
A


 Ta luôn có


2
A A


với điều kiện
0
A

(định nghĩa căn bậc 2).
 Ta có hằng đẳng thức
2
0
.
0
A khi A
A A
A khi A


 

 


Do đó


2
2
0.
A A A
  

 Ta có
.
AB A B
 khi
0, 0.
A B
 

Tuy nhiên
0, 0
.
0, 0
A B khi A B
AB A B
A B khi A B

 

 

   



Tương tự cho quy tắc khai căn của một thương
 Ta có
2 2
.
A B
A B

A B


 

 


Do đó, để
2 2
A B A B
  
ta cần phải có điều kiện
0
AB

(điều kiện cùng dấu của hai vế).
Tức là
2 2
.
0
A B
A B
AB


 




Bài giảng số 2: PHÂN TÍCH NHÂN TỬ TRONG CÁC BÀI TOÁN CHỨA CĂN
Chú ý. Có một trường hợp thường gặp
2
0
0
A
A B B
A B



  




(điều kiện cùng dấu của hai vế).
Tuy nhiên, từ điều kiện
2
A B

ta suy ra
0.
A


Do đó
2
0

.
B
A B
A B


 





B. CÁC VÍ DỤ MẪU

Ví dụ 1: Thực hiện phép tính:
a)
2 3 6 216 1
.
3
8 2 6
 


 
 

 

b)
14 7 15 5 1

:
1 2 1 3 7 5
 
 

 
 
  
 

c)
5 2 6 8 2 15
7 2 10
  


Giải:
a)
2 3 6 216 1 2 3 3. 2 6 6 1
. .
3 3
8 2 6 2 2 2. 2 6
   
 
  
   
   
 
   



 
3 2 2
1
2 6 .
6
2 2 2
 

 
 
 

 

3 1
2 6 .
2 6
 
 
 
 
 
6 1
2 6 .
2
6
 
 

 
 
 
3 6 1
.
2
6
 
3
2
 

b)
14 7 15 5 1
:
1 2 1 3 7 5
 
 

 
 
  
 




7 2 1 5 3 1
1
:

2 1 1 3 7 5
 
 
 
 
 
  
 



1
7 5 :
7 5
 

1


c)
5 2 6 8 2 15
7 2 10
  

   
 
2 2
2
3 2 3 5
5 2

  


3 2 3 5
5 2
  



3 2 3 5
5 2
  


5 2
5 2





2
5 2
5 2



7 2 10
3




Ví dụ 2: Phân tích nhân tử:
6 7
x x
 

Giải:
Cách 1: Ta nhận thấy
6 7 0
x x
  
có nghiệm là
1, 7
x x
  

nên suy ra:




6 7 1 7
x x x x
    

Cách 2: Tách thừa số.:
6 7
x x
 

7 7
x x x
   






1 7 1
x x x
   




7 1
x x
  


Ví dụ 3: Phân tích nhân tử:
2
2 6 5
x x y
   

Giải:
Ta tách thừa số và thêm bớt:
2

2 6 5
x x y
   


2
6 2 6 1
x x y
     




2
2
6 1
x y
   




6 1 6 1
x y x y
      


Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức
4
2 9

2
3 2
a ab b
D b
a b ab
 
 
 
biết
,
a b
là các số dương.
Giải:
Ta có






2
4 4
2 9 3 4 3 2 3 2
a ab b a b ab a b ab a b ab
          và


2
4 4 4
3 2 2 0 0

a b ab a b b , a,b
       
nên


2
4 4
D a b .
 

Ví dụ 5: Tìm
, ,
x y z
nếu
2 2009 2010.
2
x y z
x y z
 
     
Giải:
Ta có:
2 2009 2010
2
x y z
x y z
 
     
2 2 2 2009 2 2010 0
x y z x y z

         

 


 


 


2 2 2 1 2009 2 2009 1 2010 2 2010 1 0
x x y y z z
               







2 2 2
2 1 2009 1 2010 1 0
x y z
         

3; 2008; 2011
x y z
    

Ví dụ 6: Cho
1 1
1 1 1
x x x
A
x x x x x

  
    

a) Rút gọn
A
.
b) Tìm
x
để
0;
A


c) Tính giá trị của
A
nếu
12
.
6 2 5
x 


Giải:

a) Điều kiện:
0, 1.
x x
 



1
1 1
1 1
1
x x
x x x x
A
x x x x
x

   
  
   







1 1
x x x x x
       

2 1
x x
  

b)
0
A

2 1 0
x x
   


2
1 1 0
x
   
2
x
 

c)
2
12
1 1
6 2 5
A
 
  
 

 

 
2
6 2 5
1
6 2 5
 

 
 
 

 
2
5 1
1
5 1
 

 
 
 

 
4
6 2 5



C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Thực hiện phép tính
1.
2 2
9 2 14 9 2 14
7 2 7 2
A
   
 
 
   
   
 
   
ĐS:
2 7
A 
2.
4 15 4 15
B     ĐS:
6
B  
3.
5 1 6 7 5
2
4 11 3 7 7 2
C


   
  
ĐS:
4 11 3 7
C   
4.


8 2 7 37 12 7. 2 7 3
D
    
ĐS:
7 20
D
 

Bài 2: Phân tích thành nhân tử
1.
9 10
x x
 
ĐS:




1 10
x x 

2.

8 7
x x
 
ĐS:




1 7
x x
 

3.
6 8
x x
 
ĐS:




2 4
x x
 

4.
2 1 4
x x
  
ĐS:





1 3 1 1
x x
   

5.
2
2 8 7
x x a
   
ĐS:




8 8
x a x a
   

Bài 3: Chứng minh rằng:
1.
2 2 2 2 4 2
4 2
2 2 2 2
1
a x a x a a
x x

a x a x
  
  
  
với
x a


2.
2
2
2
2,
1
a a
a
a a
 
 
 

3.
3 3
182 33125 182 33125 7
   

4.
2 2
x x y x x y
x y

2 2
   
  
5.
3
3
1
x 5 2 7
5 2 7
  

là nghiệm của phương trình
3
x 3x 14 0
  
.
6.
2 3 6 8 16
P
2 3 4
   

 
và
 
2 3
Q : 2 1
6 3 2 1

 

  
là số vô tỉ.
Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất nếu có:
a)
 
2
1 2
G x
  
ĐS:
min
2
G 
b)
2
4
H x
 
ĐS:
min
2
H


c)
1
1
I
x x



 
ĐS:
min
4
3
I
 

Bài 5: Tìm giá trị x nguyên để các biểu thức sau nguyên:
a)
2 1
2 2
x
C
x



ĐS:
x


b)
4 2
2 1
x
D
x
 



ĐS:
0
x


Bài 6: Cho
1 2
1 : .
1
1 1
a a
B
a
a a a a a
   
  
   
   

   
   

a) Rút gọn B; ĐS:
1
1
a a
B
a

 



b) Tìm a để
1;
B

ĐS:
1
a


c) Tìm các giá trị của a để B nguyên và
4
.
1
a
B
a a
 

 
 
 
 
nguyên. ĐS:
0, 4
a a
 

Bài 7: Cho
2 2 2
3 3
: 1 .
9
3 3 3
y y y
y
C
y
y y y
   


   
   
   

  
   

a) Rút gọn C; ĐS:
3
1
C
y




b) Tìm y để
1
;
2
C
 
ĐS:
0 9
y
 

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của C nếu có. ĐS:
min
1
C
 


A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Các tính chất:
 
2
A A
,

3 3
A A




    

n
*
n
x 0 x x n


A B AB
; 
AB A B
và

3 3 3
A. B A.B

 
A A
B
B
; 
A | A |
B
| B |
; 
3
3

3
A A
B
B
.
Phương pháp rút gọn biểu thức chứa căn thức:
 Đặt điều kiện cơ bản (nếu có).
 Rút gọn từng bộ phận ( dùng hằng đẳng thức, phân tích nhân tử, khử căn thức ở mẫu, liên
hợp… )
 Rút gọn biểu thức và điều kiện.

B. CÁC VÍ DỤ MẪU
Ví dụ 1: Thực hiện phép tính
a)
2 2 2 2
( 8) . ( 1,25) ( 11) 0,4. ( 2,5) 3 2 : 4 2
A
 

b)
1 1 2 2
3 2 3 2 1 2
B

 
 
 
  
 

Giải:
a)
2 2 2 2
( 8) . ( 1,25) ( 11) 0,4. ( 2,5) 3 2 : 4 2
A
 
       
 




8 . 1,25 11 0,4. 2,5 3 2 : 4 2
      




8.1,25 11 0,4.2,5 3 2 :4 2
   


3
3 2 :4 2
4
   

       
 
Bài giảng số 3: RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC ĐƠN GIẢN

b)
1 1 2 2
3 2 3 2 1 2
B

 
 
 
  
 




3 2 3 2 2 2 1
.
3 4
1 2
   



 


4 . 2 4 2
   

Ví dụ 2: Thực hiện phép tính
a)
     
2 2 2
2 3 2 6 3 2 3 1 2 3
A       
b)
12 5 29 12 5 29
B
   

Giải:
a)
     
2 2 2
2 3 2 6 3 2 3 1 2 3
A       

2 2 6 3 2 6 3 2 3 1 2 3
       






2 2 6 3 2 3 6 2 3 1 2 3
       

1


b)
12 5 29 12 5 29
B
   
   
2 2
2 5 3 2 5 3
   




2 5 3 2 5 3
   
6



Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức:
a)
2
3 2A x x
x
  b)
a
B ab b

b
 
c)
2 4
2 2 2
2
a b a b
C
b a ab b


 
d)
2
3 3
1 : 1
1
1
D x
x
x
 
 
   
 
 

  
 

Giải:
a) Điều kiện:
0
x


2
3 2A x x
x
 
2
2
3 2
x
x
x
 
3 2 2
x x
 
4 2
x

b) Điều kiện:
0
0
ab
b







 Nếu
0
b

thì
a
B ab b
b
 
2
0
ab
ab
b
  
.
 Nếu
0
b

thì
a
B ab b
b
 
2

ab
ab
b
  2
ab
 .
c) Điều kiện:
a b


2 4
2 2 2
2
a b a b
C
b a ab b


 
 
2
2
2
ab
a b
b
a b






a a b
a b




 Nếu
a b

thì
C a

.
 Nếu
a b

thì
C a
 
.
d) Điều kiện:
1 1
x
  



2

3 3
1 : 1
1
1
D x
x
x
 
 
   
 
 

  
 




2
2
2 2
1 3 1
3 1
:
1 1
x x
x
x x
  

 

 
1
x
 


Ví dụ 4: Dùng phương pháp “hữu tỉ hóa” (đặt ,ax  by  ) để rút gọn biểu thức sau:
B = :











xy
yx
yyxx

 
yx
y
yx



2

Giải:
Điều kiện:
2 2
0
0
0
x
y
x y
 




 

. Đặt ,ax  by  ta có:
 
3 3
2 2
2
:
a b b
B ab a b
a b a b
 


   
 
 
 






  
2 2
2
:
a b a ab b
b
ab a b a b
a b a b
 
  
 
 
    
 
 
 
 


    

2
2
:
b
a b a b a b
a b
 
    
 



2
a b b
a b a b

 
 
1
a b
a b

 



Ví dụ 5: Cho
1
2
2 1 1

x x x x x
A
x x x
  
 
  
  
  
 
  

a) Rút gọn biểu thức
A
.
b) Tìm giá trị của
x
để
6
A
 
.
Giải:
a) Điều kiện:
0
1
x
x







1
2
2 1 1
x x x x x
A
x x x
  
 
  
  
  
 
  






1 1
1
2 1 1
x x x x
x
x x x
 
 


 
 
 
 
 






2 2
1 1
1
.
1
2
x x x
x
x
x
 
  
 

 



2
x
 
b)
6
A
 
2 6
x
   
3
x
 
0 9
x
  
.
Kết hợp với điều kiện, ta có:
0 9
1
x
x
 




.

Ví dụ 6: Rút gọn biểu thức:
2 2
2 2
2 4 2 4
2 4 2 4
x x x x
M
x x x x
     
 
     

Giải:
Điều kiện:
2
2
x
x



 

.
2 2
2 2
2 4 2 4
2 4 2 4
x x x x
M

x x x x
     
 
     






 


2 2
2 2
2
2
2
2 4 2 4
2 4
x x x x
x x
      

  







2
2
2 2 2 4
4 8
x x
x
  


2
4 8
4 8
x x
x



x



C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Đưa một thừa số vào trong dấu căn:
a)
3 5
5 3
b)
2

x
x
(với
0
x

)
c)
 
2
5
25
x
x
x


d)
2
7
x
x

Bài 2: Thực hiện phép tính:
1.


28 2 14 7 . 7 7 8
  
ĐS:

21 14 2 7 8
 
2.




8 3 2 10 2 3 0,4
  
ĐS:
2 5 6 0,2 4
 

3.


15 50 5 200 3 450 : 10
 
ĐS:
16 5

4.
6 2 5 6 2 5
   ĐS:
2 5

5.
11 6 2 11 6 2
   ĐS:
2 2

6.
3 3
5 2 7 5 2 7
  
ĐS:
2

7.
3 3
20 14 2 20 14 2
   ĐS:
2 2

8.
3 3
26 15 3 26 15 3
   ĐS:
2 3

Bài 3: Thực hiện phép tính:
1.
2 3 6 216 1
.
3
8 2 6
 


 

 

 
ĐS:
3
2


2.
14 7 15 5 1
:
1 2 1 3 7 5
 
 

 
 
  
 
ĐS:
1

3.
5 2 6 8 2 15
7 2 10
  

ĐS:
7 2 10
3



4.




4 15 10 6 4 15
  
ĐS:
2

5.




3 5 3 5 3 5 3 5
    
ĐS:
2 10

6.
3 5 3 5 2
    ĐS:
0

7.
4 7 4 7 7
    ĐS:

7 2

8.
6,5 12 6,5 12 2 6
    ĐS:
4 6

Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau:
1.
32
32)32(


ĐS:
1

2.
25
)15(
3


ĐS:
8

3.
33
)12()12(  ĐS:
14

4.
3 5 5 1
2
2
 
 ĐS:
3 2 5
2
 

5.
131
3
131
3



ĐS:
2


6.
 
2 3 2
5 6 1 :
2 3 2




ĐS:
5

7.
322
1
322
1



ĐS:
2 6
3

Bài 5: Rút gọn biểu thức:
1.
1 1
7 24 1 7 24 1

   
ĐS:
3 6
3


2.
3 3
3 1 1 3 1 1


   
ĐS:
2

3.
5 2 6 5 2 6
5 6 5 6
 

 
ĐS:
74
2 19
19

4.
3 5 3 5
3 5 3 5
 

 
ĐS:
6

6.
6 2 5 13 48
   ĐS:
3 1


7.
4 5 3 5 48 10 7 4 3
    ĐS:
3

8.
1 1 1 1

1 2 2 3 3 4 99 100
   
   
ĐS:
9

9.




1212
3
3
3
 ĐS:
3

10.
333
648162  ĐS:
0

Bài 6: Rút gọn biểu thức sau:
1.
1
:
a b b a
ab a b


, với 0, 0 à
a b v a b
  
. ĐS:
a b


2. 1 1
1 1
a a a a
a a
  
 
 
  
  
 
  
, với
0 à 1
a v a

 
. ĐS:
1
a


3.
8 2 4
4
a a a a
a
  

ĐS:
2
a


4.
 
4 2
1
. 5 1 4 4
2 1
a a a
a
 

ĐS:
2

2
1
5 :
2
1
5 :
2
a a
a a





 



5.
2 2
2 2
2 3 6 3
.
4
x xy y
x y
 

ĐS:
3

: 0
3
: 0
x y
x y
x y
y x

 





 




Bài 7: Tính giá trị của biểu thức:
1.
2
3 2
A x x y y
  
, khi
1 1
,
5 2 9 4 5
x y 

 
. ĐS:
24 4 5
A  
2.
3
12 8
B x x
  
, với




3 3
4 5 1 4 5 1
x
   
. ĐS:
0
B


3.
C x y
 
, biết





2 2
3 3 3
x x y y
    
. ĐS:
0
C


4.
2 2
16 2 9 2
D x x x x
     
, biết
2 2
16 2 9 2 1
x x x x
     
. ĐS:
4
D


5.
2 2
1 1
E x y y x
   

, biết




2 2
1 1
xy x y a
   
. ĐS:
1
E a
 

Bài 8: Cho
2 1 10
: 2
4
2 2 2
x x
B x
x
x x x
 

 
    
 
 
 


  
 
 

a) Rút gọn biểu thức
B
. ĐS:
1
2
B
x



b) Tìm giá trị của
x
để
0
B

. ĐS:
0 4
x
 

Bài 9: Cho
1 3 2
1 1 1
C

x x x x x
  
   

a) Rút gọn biểu thức
C
. ĐS:
1
x
C
x x

 

b) Chứng minh rằng
1
C

.