Giáo trình toán rời rạc dùng cho chuyên ngành công nghệ thông tin

Ph¹m ThÕ Long
–
Chñ biªn

NguyÔn §øc HiÕu, NguyÔn ThiÖn LuËn
NguyÔn Xu©n Viªn, NguyÔn V¨n XuÊt






To ¸n rêi r¹c













Hµ Néi – 2003


Lời nói đầu

Toán rời rạc là một trong những kiến thức cơ sở đ-ợc giảng dạy ở tất cả các khoa
Công nghệ Thông tin hiện nay. Tuy nhiên, tuỳ theo yêu cầu kiến thức và cấu trúc của
ch-ơng trình đào tạo mà kết cấu môn học mỗi nơi ít nhiều có thể khác biệt. Nhằm đáp ứng
những yêu cầu đa dạng về kiến thức, trong cuốn sách này các tác giả đã cố gằng giới thiệu
một cách cô đọng hầu hết những nội dung cơ bản của Toán học rời rạc, bao gồm các kiến
thức cơ sở về logic, tập hợp và đại số quan hệ (Ch-ơng I); một số bài toán trong lý
thuyết tổ hợp (Ch-ơng II); đồ thị và các bài toán trên đồ thị (Ch-ơng III); đại số Boole và
ứng dụng trong phân tích mạch điện tử (Ch-ơng IV); ngôn ngữ hình thức và ôtômat (Ch-ơng
V). Trong cách trình bày cuốn sách, các tác giả quan tâm nhiều hơn đến kỹ thuật giải
quyết vấn đề, không quá câu nệ vào những đòi hỏi chặt chẽ về mặt toán học theo kiểu
định lý-chứng minh, không ít khái niệm và kết quả chủ yếu đ-ợc trình bày thông qua các
ví dụ và bài tập.
Ngoài khả năng t- duy lôgic nhất định, giáo trình không đòi hỏi từ phía bạn đọc một
sự chuẩn bị đặc biệt nào về toán học nói chung, vì vậy có thể bố trí giảng dạy theo cuốn
sách này ngay từ học kỳ 1 năm thứ nhất các tr-ờng đại học và cao đẳng. Nếu đã có một số
hiểu biết cơ bản về lôgic và tập hợp (trong phạm vi các mục 1-3 của ch-ơng I), bạn đọc
có thể tìm hiểu bất kỳ ch-ơng sau nào mà không cần tuân thủ trình tự các ch-ơng nêu
trong cuốn sách. Trong số các tài liệu tham khảo đ-ợc nêu ở cuối sách, các tác giả muốn
bạn đọc đặc biệt l-u ý tài liệu
Toán rời rạc ứng dụng trong Tin học
của Kenneth H. Rosen.
Sự phong phú và đa dạng của các ví dụ và bài tập trong cuốn sách đó sẽ hết sức hữu ích
cho bạn đọc
.
Những ai quan tâm đến việc ch-ơng trình hoá một số thuật toán nêu trong
cuốn sách này có thể tham khảo thêm tài liệu
Toán rời rạc
của Nguyễn Đức Nghĩa và
Nguyễn Tô Thành.

Phân công công việc giữa các tác giả nh- sau:
Chủ biên và hiệu đính toàn bộ nội dung bản thảo: Phạm Thế Long.
Ch-ơng 1: Nguyễn Xuân Viên.
Ch-ơng 2: Nguyễn Thiện Luận, Phạm Thế Long.
Ch-ơng 3: Nguyễn Đức Hiếu, Phạm Thế Long.
Ch-ơng 4: Phạm Thế Long.
Ch-ơng 5: Nguyễn Văn Xuất.
Các tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành PGS.TSKH Nguyễn Xuân Huy (Viện
Công nghệ Thông Tin), PGS.TS Đặng Huy Ruận (ĐHQG Hà Nội) đã đọc kỹ bản thảo và
cho nhiều ý kiến đóng góp xác đáng.
Chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót trong cuốn sách này. Các tác giả
rất mong nhận đ-ợc sự chỉ bảo và đóng góp của tất cả bạn đọc để có thể hoàn chỉnh nội
dung cho những lần xuất bản sau.
Các tác giả

Mục lục
Ch-ơng 1
Những khái niệm cơ bản về logic, tập hợp và suy luận toán học


5
1. Mệnh đề, mệnh đề có điều kiện và sự t-ơng đ-ơng logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5
1.1 Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5
1.2 Các phép toán trên mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5
1.3 Mệnh đề có điều kiện và sự t-ơng đ-ơng logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7
2. Tập hợp và các phép toán trên tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9
2.1 Tập hợp, tập con và tích Decac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9
2.2 Các phép toán trên tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10
3. L-ợng tử và vị từ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13
3.1 Hàm mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13
3.2 Vị từ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14
3.3 Phủ định của vị từ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15
4. Quan hệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16
4.1 Khái niệm và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16
4.2 Ma trận quan hệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19
4.3 Quan hệ t-ơng đ-ơng, lớp t-ơng đ-ơng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20
4.4 Quan hệ n - ngôi. Cơ sở dữ liệu quan hệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22
5. Suy luận toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26
5.1 Các ph-ơng pháp chứng minh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26
5.2 Quy nạp toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28
5.3 Đệ quy và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31
Ch-ơng 2
Các ph-ơng pháp đếm và nguyên lý Dirichlet

39
1. Các nguyên lý đếm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39
1.1. Nguyên lý cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39
1.2 Nguyên lý nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

2. Một số bài toán đếm cơ bản: Hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42
2.1. Chỉnh hợp lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42
2.2. Chỉnh hợp không lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42
2.3. Hoán vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43
2.4. Tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44
2.5. Tổ hợp lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45
2.6.

Hoán vị của tập hợp có các phần tử giống nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47
2.7. Phân bổ các đồ vật vào trong hộp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48
2.8. So sánh các cấu hình tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49
3. Sinh các cấu hình tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49
3.1. Sinh các hoán vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50
3.2. Sinh các tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51
3.3. Nhị thức Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52
4. Nguyên lý Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56
4.1. Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56
4.2. Nguyên lý Dirichlet tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57
4.3. Một vài ứng dụng thú vị của nguyên lý Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58
5. Hệ thức truy hồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60
5.1. Khái niệm và các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60
5.2. Giải các hệ thức truy hồi

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65
5.3. Quan hệ chia để trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70
6. Nguyên lý bù trừ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75
6.1. Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75
6.2. Nguyên lý bù trừ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79
Ch-ơng 3
đồ thị và ứng dụng

85
1. Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85
1.1. Khái niệm và thuật ngữ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85
1.2. Đ-ờng đi. Chu trình. Đồ thị liên thông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88
1.3. Một số dạng đồ thị đơn đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90
2. Biểu diễn đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93
2.1. Ma trận kề, ma trận trọng số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93
2.2. Ma trận liên thuộc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94
2.3. Sự đẳng cấu của các đồ thị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95
3. Các thuật toán tìm kiếm trên đồ thị
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97
3.1. Tìm kiếm theo chiều sâu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97
3.2. Tìm kiếm theo chiều rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98
4. Đồ thị Euler và đồ thị Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

4.1 Đ-ờng đi Euler và chu trình Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99
4.2. Đ-ờng đi và chu trình Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

103
5. Bài toán tìm đ-ờng đi ngắn nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

106
5.1. Đồ thị có trọng số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

106
5.2. Thuật toán tìm đ-ờng đi ngắn nhất Dijkstra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

108
6. Đồ thị phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

110
6.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

110
6.2. Công thức Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

112
6.3. Định lý Kuratowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

113
7. Tô màu đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

115

7.1. Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

115
7.2. Một số ứng dụng của bài toán tô màu đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

119
8. Cây và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

120
8.1. Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

120
8.2. Các ph-ơng pháp duyệt cây . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

124
8.3. Cây và bài toán sắp xếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

130
8.4. Cây khung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

136
8.5. Cây khung nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

140
9. Mạng. Luồng trên mạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

143
9.1. Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

143

9.2 Thuật toán tìm luồng cực đại trong mạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

145
Bài tập

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

151
Ch-ơng 4

Đại số Boole và mạch tổ hợp

163
1. Khái niệm về mạch tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

163
1.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

163
1.2 Biểu thức Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

165
2. Các tính chất của mạch tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

167
2.1 Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

167
2.2 Mạch tổ hợp t-ơng đ-ơng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

168
3. Hàm Boole và vấn đề tổ hợp mạch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

170
3.1. Đại số Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

170
3.2. Hàm Boole và vấn đề tổng hợp mạch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

171
4. Một vài ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

174
4.1 Bộ cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

174
4.2 Cực tiểu hoá các mạch. Ph-ơng pháp Quine-McCluskey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

176
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

180
Ch-ơng 5
Automat, văn phạm và ngôn ngữ hình thức

185
1. Mạch tuần tự và máy hữu hạn trạng thái . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

185
1.1. Mạch tuần tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

185
1.2. Máy hữu hạn trạng thái . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

186
2. Automat hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

188
2.1. Khái niệm và định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

188
2.2. Biểu diễn automat hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

189
2.3. Ngôn ngữ đoán nhận bởi automat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

189
2.4. Automat không tất định (nondeterministic automat) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

191
2.5. Quan hệ giữa automat tất định và không tất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

192
3. Văn phạm và ngôn ngữ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

197
3.1. Các khái niệm và định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

197
3.2. Văn phạm và ngôn ngữ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

199
3.3. Phân loại văn phạm và ngôn ngữ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

201
3.4. Một số tính chất của ngôn ngữ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

203
3.5. Tính đệ qui ngôn ngữ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

205
4. Automat hữu hạn và ngôn ngữ chính qui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

207
4.1. Quan hệ giữa automat hữu hạn và ngôn ngữ chính qui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

207
4.2. Một số tính chất của ngôn ngữ loại 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

210
4.3. Một số tính chất của văn phạm phi ngữ cảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

212
4.4. Các dạng chuẩn của văn phạm phi ngữ cảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

218
4.5. Lực l-ợng của văn phạm phi ngữ cảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

220
5. Máy Turing (Turing machine) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

221
5.1. Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

221
5.2. Khái niệm và định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

222
5.3. Hàm Turing thực hiện đ-ợc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

224
5.4. Độ phức tạp của thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

226
Bài tập
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

228
Tài liệu tham khảo
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

234



Ch-ơng I.
Những khái niệm cơ bản về logic, tập hợp và suy luận toán học

Trong ch-ơng này chúng ta nghiên cứu một số vấn đề mang tính chất cơ sở không chỉ của toán
học rời rạc nói riêng, mà của cả toán học nói chung. Đó là những khái niệm cơ bản về logic

(khái niệm mệnh đề, các phép toán trên các mệnh đề), tập hợp (khái niệm về tập hợp và các phép
toán trên tập hợp) và suy luận toán học (các lập luận toán học cơ sở và các phép chứng minh
th-ờng dùng trong toán học). Khái niệm quan hệ nh- là một tập con của tập tích Decac cũng sẽ
đ-ợc đề cập đến trong ch-ơng.

1. Mệnh đề, mệnh đề có điều kiện và sự t-ơng đ-ơng logic
1.1 Mệnh đề
Logic toán là môn học nghiên cứu các quy luật giữa nguyên nhân và hệ quả, giữa giả
thiết và kết luận, từ đó rút ra đ-ợc những quy tắc quan trọng nhất để nhận đ-ợc những nguyên lý
đúng đắn đ-ợc áp dụng cho hầu hết các ngành khoa học tự nhiên cũng nh- xã hội. Một trong
những khái niệm quan trọng nhất của logic toán đó là logic mệnh đề, logic toán đ-ợc đặt nền
móng trên đại số mệnh đề.
Khi ta nói
Huế là một thành phố của Việt Nam thì chúng ta đã đ-a một khẳng định mà mọi
ng-ời đều thấy đúng. Nh-ng khi ta nói
2
1

thì ng-ời ta lại thấy ngay ta đã nói sai.
Định nghĩa 1.1.1. Mệnh đề là một khẳng định mà ta có thể biết đ-ợc nó đúng hoặc sai. Không
có mệnh đề vừa đúng vừa sai. Các mệnh đề đ-ợc ký hiệu bằng các chữ Latinh in
A, B, C Khi
mệnh đề đúng thì ta nói mệnh đề nhận giá trị đúng và viết
:
A T
hay
A T

, nếu mệnh đề B sai
thì ta nói B nhận giá trị sai và viết

:
B F
hay
B F

.
Ví dụ 1.1.1. Tất cả các khẳng định sau đều là các mệnh đề
1. Hà Nội là Thủ đô của Việt Nam
2. 2>3
3. 1+3=4
Các mệnh đề 1, 3 là các mệnh đề đúng còn mệnh đề 2 là mệnh đề sai.
1.2 Các phép toán trên mệnh đề
Từ các mệnh đề ban đầu A, B, C ng-ời ta có thể xây dựng các mệnh đề mới với sự
giúp đỡ của các phép toán logic tuyển, hội và phủ định sau đây.
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử A, B là các mệnh đề. Hội của A, B là một mệnh đề đ-ợc ký hiệu là
A B

và đọc là A và B. Mệnh đề
A B

đúng khi cả A và B đều đúng, và sai trong tất cả các
tr-ờng hợp còn lại.
Có thể biểu diễn hội của
A và B d-ới dạng bảng giá trị chân lý sau
A B
A B


T T T
T F F

F T F
F F F
Định nghĩa 1.2.2. Giả sử A, B là các mệnh đề. Tuyển của A, B là một mệnh đề đ-ợc ký hiệu là
A B

và đọc là A hoặc B. Mệnh đề
A B

sai chỉ khi cả A và B đều sai, và đúng trong các
tr-ờng hợp còn lại.
Ta có bảng giá trị chân lý của mệnh đề
B
A

sau
A B
A B


T T T
T F T
F T T
F F F
Ví dụ 1.2.1. Nếu ký hiệu A, B, C t-ơng ứng là các mệnh đề 1, 2, 3 trong ví dụ 1.1.1
A B

là mệnh đề sai vì B sai
A B

là mệnh đề đúng vì A đúng

,
C A C A

đều là các mệnh đề đúng.
Định nghĩa 1.2.3. Giả sử A là một mệnh đề, phủ định của A, ký hiệu
A
, là một mệnh đề nhận
giá trị đúng khi
A sai và nhận giá trị sai khi A đúng.
1.3 Mệnh đề có điều kiện và sự t-ơng đ-ơng logic
Định nghĩa 1.3.1.
Giả sử A, B là các mệnh đề. Mệnh đề có điều kiện (còn gọi là phép suy diễn
hay phép kéo theo)
A B

là một mệnh đề sai chỉ khi A đúng và B sai, và là mệnh đề đúng
trong mọi tr-ờng hợp còn lại.
Trong mệnh đề
A B

ng-ời ta gọi A là giả thuyết (hay A là nguyên nhân) B là kết luận (hay B
là kết quả). Nh- vậy, theo định nghĩa, phép suy diễn
A B

chỉ bị coi là sai nếu từ giả thuyết
đúng suy ra kết luận sai. Ta có bảng giá trị chân lý
A B
A B

T T T
T F F
F T T
F F T
Mệnh đề có điều kiện
A B

còn đ-ợc đọc là nếu A thì B hay B chỉ nếu A. Kết luận B biểu
thị điều kiện cần của
A, còn giả thiết A biểu thị điều kiện đủ của B.

Ví dụ 1.3.1. Ký hiệu A là mệnh đề Hôm nay là thứ t-
B là mệnh đề Tam giác vuông là tam giác có một góc bằng 90
o

C là mệnh đề
1 1 3


Khi đó, theo định nghĩa,
A B

là mệnh đề đúng: Nếu hôm nay là thứ t-, thì tam giác
vuông là tam giác có một góc bằng 90
o
là mệnh đề đúng cho dù hôm nay có là thứ t- hay
không. Còn mệnh đề
A C

: Hôm nay là thứ t- thì

1 1 3

là mệnh đề nhận giá trị đúng chỉ
khi hôm nay không phải là thứ t
Định nghĩa 1.3.2. Giả sử A, B là các mệnh đề. Khi đó mệnh đề A t-ơng đ-ơng với B, ký hiệu
là
A B

, là một mệnh đề nhận giá trị đúng khi và chỉ khi A và B có giá trị chân lý giống nhau.
Ta có bảng giá trị chân lý sau của mệnh đề
A B

.
A B
A B


T T T
T F F
F T F
F F T
Ng-ời ta còn sử dụng các cách gọi khác nhau của mệnh đề
A B

nh- có A khi và chỉ khi B,
A là cần và đủ đối với B hay nếu A thì B và ng-ợc lại.
Ví dụ 1.3.2. Nếu gọi A là mệnh đề Hôm nay trời nắng
B là mệnh đề Nhiệt độ ngoài trời cao hơn 30
0
C

thì
A B

sẽ nhận giá trị đúng nếu khẳng định sau là đúng: Trời nắng thì nhiệt độ ngoài trời
cao hơn 30
0
C và nhiệt độ ngoài trời cao hơn 30
0
C thì trời nắng. ở Việt Nam điều này rõ ràng
không đúng, vì vào mùa hè ở n-ớc ta nhiệt độ có thể cao hơn 30
0
C mà trời vẫn không nắng.
Định nghĩa 1.3.3. Từ các mệnh đề ban đầu ng-ời ta xây dựng nên các mệnh đề mới với sự giúp
đỡ của các phép toán logic: hội, tuyển, phủ định, suy diễn và t-ơng đ-ơng. Các mệnh đề ban đầu
đ-ợc gọi là các mệnh đề sơ cấp, các mệnh đề mới nhận đ-ợc gọi là các công thức. Công thức có
giá trị đúng với mọi giá trị khác nhau của các mệnh đề sơ cấp đ-ợc gọi là công thức hằng đúng
hay định lý (đôi khi còn gọi là luật).
Ví dụ 1.3.3. Xét công thức
A B A B


Ta thành lập bảng giá trị chân lý của mệnh đề này
A B
A

A B


A B

A B A B


T T F T T T
T F F F F T
F F T T T T
F F T T T T
Nhìn trong bảng này ta thấy mệnh đề trên luôn nhận giá trị đúng với mọi giá trị khác nhau của
các mệnh đề sơ cấp
A, B cho nên nó chính là một định lý.
Ghi chú 1.3.1. Để đơn giản hơn trong cách viết các công thức ng-ời ta quy -ớc trật tự các phép
toán nh- sau: các phép toán trong ngoặc thực hiện tr-ớc, công thức nào có phủ định phải thực
hiện nó tr-ớc sau đó theo thứ tự -u tiên nếu không có dấu ngoặc thì phép hội thực hiện tr-ớc
phép tuyển thực hiện sau, cuối cùng mới đến các phép toán suy diễn và t-ơng đ-ơng. Ví dụ công
thức



A B C A

với công thức
A B C A

chỉ là một.
Sau đây chúng ta dẫn ra một số tính chất quan trọng nhất của logic mệnh đề. Các tính chất đó
đều có thể chứng minh đ-ợc bằng ph-ơng pháp lập bảng giá trị chân lý t-ơng tự nh- đã xét
trong ví dụ 1.3.3.
Định lý 1.3.1. Cho A, B, C là các mệnh đề bất kỳ. Khi đó ta có:
a) Luật giao hoán

A B B A

;
A B B A


b) Luật kết hợp




A B C A B C

;




A B C A B C


c) Luật phân phối


A B C A B A C

;

A B C A B A C


d) Luật luỹ đẳng
A A A

;
A A A


e) Luật hấp thụ


A A B A

;


A A B A


f) Các luật De Morgan
A B A B

;
A B A B

g) Luật hai lần phủ định


A A


h) Luật chứng minh phản chứng thứ nhất
A B B A


i) Luật chứng minh phản chứng thứ hai
A B A B


2. Tập hợp và các phép toán trên tập hợp
2.1 Tập hợp, tập con và tích Decac
Tập hợp là một khái niệm toán học không định nghĩa đ-ợc. Ng-ời ta chỉ có thể mô tả
tập hợp thông qua các phần tử của nó. Tập hợp th-ờng đ-ợc ký hiệu bằng các

chữ Latin hoa nh-
, ,
A B C
, còn các phần tử của tập hợp đ-ợc ký hiệu bằng các chữ Latin th-ờng
, , ,
a b c

Khi a là phần tử của tập A thì chúng ta viết
a A

. Nh- vậy giữa phần tử và tập hợp có quan hệ
phụ thuộc. Nếu
a không phải là phần tử của tập A thì ta viết
a A

hay
a A

.
Để ký hiệu tập
A gồm có các phần tử nào thì ta viết các phần tử ấy giữa 2 ngoặc nhọn



, ví
dụ


,
A a b

là một tập hợp có hai phần tử a và b; ta viết
a A

,
b A

. Cũng dễ dàng thấy
trong ví dụ này
0

A

: 0 không phải là phần tử thuộc tập A.
Tập hợp có thể có hữu hạn phần tử, ví dụ


1,2, ,
A n

, nh-ng cũng có thể có vô hạn phần tử,
ví dụ




1,2, B x x
là số tự nhiê n
. Số các phần tử của một tập hữu hạn A ký hiệu là
A
.
Nh- vậy


33,2,1
.
Tập không có phần tử đ-ợc gọi là tập rỗng. Tập rỗng đ-ợc ký hiệu là

.
Định nghĩa 2.1.1. Hai tập hợp A và B gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng các phần tử.
Ví dụ 2.1.1.

Xét tập


1,2
A
còn
B
là tập các nghiệm của ph-ơng trình bậc hai
2
3 2 0
x x

.
Rõ ràng là
A = B vì ph-ơng trình
2
3 2 0
x x

có hai nghiệm
1 2
1, 2
x x

.
Định nghĩa 2.1.2. Nếu mọi phần tử của tập A đều là phần tử của tập B thì ta nói tập A là tập con
của
B và viết
A B

. Rõ ràng là với mọi A ta đều có
;
A A A

.
Theo định nghĩa 2.1.1, hai tập
A B

khi và chỉ khi
A B

và
B A

.
Ví dụ 2.1.2. Tập


1,2
A
,


1,2,3,
B a

. ở đây A có 2 phần tử 1 và 2 thì cả hai phần tử này đều
có trong
B cho nên A là tập con của B.
Ký hiệu

( )
A
p
là tập tất cả các tập con của A.
Ví dụ 2.1.3. Nếu


1,2,3
A
thì
( )
A
p
sẽ gồm các phần tử là các tập con của A sau:














, , , , , , , , , , , ,
a b c a b b c a c a b c

cho nên

8
A

p
.
Nếu
A n

thì

2
n
A

p
. Điều này chúng ta sẽ chứng minh ở phần sau bằng ph-ơng pháp
quy nạp toán học. Vì lý do

2
n
A

p
khi
A n

nên ng-ời ta còn ký hiệu

A
p
là
2
A
và
gọi tập tất cả các tập con của
A là tập luỹ thừa của A.
Định nghĩa 2.1.3. Giả sử A,B là hai tập hợp. Ta xây dựng tập mới ký hiệu là
A B

, trong đó




, ,
A B a b a A b B

sao cho




, ,
a b c d

khi và chỉ khi

,
a c b d

.
Tập hợp
A B

đ-ợc xác định theo định nghĩa 2.1.3 gọi là tích Decac của A, B. Còn bộ hai


,
a b
trong định nghĩa là bộ hai có thứ tự: phần tử thứ nhất (toạ độ thứ nhất)
a A

; phần tử thứ
hai (toạ độ thứ hai)
b B

.
Ví dụ 2.1.4.




1,2,3 , ,
A B a b

thì
A B

gồm có 6 phần tử












1, , 1, , 2, , 2, , 3, , 3,
a b a b a b
.
A A

gồm có 9 phần tử là

1,1 , 1,2 , 1,3 , 2,1 , 2,2 , 2,3 , 3,1 , 3,2 , 3,3
. Dễ dàng
nhận thấy rằng nếu
,
A B
là các tập hữu hạn thì
A B A B

.
Định nghĩa 2.1.4. (Tích Decac n - ngôi) Giả sử
1 2
, , ,
n
A A A
là n tập hợp nào đó. Tích Decac (n -
ngôi) của
1 2
, , ,
n
A A A
đ-ợc ký hiệu là
1 2

n
A A A

, với




1 2 1 2 1 1 2 2
, , , , , ,
n n n n
A A A a a a a A a A a A

,




1 2 1 2
, , , , , ,
n n
a a a a a a


khi
và chỉ khi
i i
a a

với mọi


1,2, ,
i n

.
Cũng nh- trên, có thể dễ dàng thấy rằng, nếu các tập
A
i
hữu hạn thì
1 2 1 2

n n
A A A A A A

.
2.2 Các phép toán trên tập hợp
Từ một số tập hợp ban đầu ng-ời ta xây dựng các tập mới với sự giúp đỡ của các phép
toán trên tập hợp. Các quy tắc xây dựng nên các tập mới và thực hiện các phép toán trên tập hợp
th-ờng đ-ợc gọi là đại số tập hợp.
Định nghĩa 2.2.1. Giả sử A, B là hai tập hợp. A hợp B, ký hiệu
A B

, là một tập hợp chứa tất cả
các phần tử của
A, tất cả các phần tử của B. Nh- vậy

A B x x A x B

hay




x A B x A x B


Ví dụ 2.2.1. Nếu


, , ,
A a b c d

là tập các học sinh trong một tổ tập bóng chuyền còn


, , ,
B a c e f

là tập các học sinh của tổ đó tập bơi thì tập các học sinh của tổ tham gia tập thể
thao (bóng chuyền hoặc bơi) sẽ là


, , , , ,
A B a b c d e f

.
Ng-ời ta th-ờng minh hoạ các phép toán trên tập hợp bằng giản đồ Venn: Các tập
A,B, đều là
tập con của một tập U gọi là tập vũ trụ U. Tập vũ trụ đ-ợc biểu diễn là một hình chữ nhật, các
tập
A,B, là các hình tròn trong U. Giản đồ Venn của tập
A B

có dạng sau

A B


Định nghĩa 2.2.2. Giả sử A, B là hai tập hợp. Giao của A, B, ký hiệu
A B

, là tập gồm các phần
tử vừa là của
A, vừa là của B. Nh- vậy



A B x x A x B

hay




x A B x A x B

Ví dụ 2.2.2.
Cũng lấy ví dụ
A,B
từ ví dụ 2.2.1 ta có


,
A B a c

là tập các học sinh trong
tổ tập cả hai môn bóng chuyền và bơi.
Ta có giản đồ Venn của tập
A B

nh- sau:

A B


Định nghĩa 2.2.3. Giả sử A, B là hai tập hợp. Hiệu của A và B, ký hiệu
\
A B
là một tập hợp
gồm các phần tử của
A nh-ng không phải của B. Nh- vậy


BxAxxBA \

hay




\
x A B x A x B


Ta có giản đồ Venn của
\
A B
là:

\
A B

Khi
B A

thì
\
A B
th-ờng đ-ợc viết
A B

. Đặc biệt trong tr-ờng hợp
A

U

, với U là
tập vũ trụ, ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 2.2.4.
A

U
đ-ợc gọi là phần bù của A (đối với U) , ký hiệu là
A
. Nh- vậy
x A x A


Ta có giản đồ Venn của
A


A

Ví dụ 2.2.3. Lấy các tập A, B từ ví dụ 2.2.1 thì


\ ,
A B b d

còn


\ ,
B A e f

.
Sau đây chúng ta nêu ra một số tính chất của các phép toán trên tập hợp mà chứng minh chúng
đ-ợc đ-a về các luật t-ơng ứng của logic mệnh đề.
Định lý 2.2.1. Giả sử U là tập vũ trụ, A, B, C là các tập con của U.
a) Luật kết hợp




A B C A B C

;




A B C A B C


b) Luật giao hoán
A B B A

;
A B B A


c) Luật phân phối


A B C A B A C

;






A B C A B A C


d) Luật đồng nhất
A A

;
A A

U

e) Luật nuốt
A

U U
;
A


f) Luật làm đầy
A A

U
;
A A


g) Luật luỹ đẳng
A A A

;
A A A


h) Luật hấp thụ


A A B A

;


A A B A


i) Luật bù


A A


j) Luật 0, 1

U
;

U

k) Luật De Morgan
A B A B

;
A B A B


Chứng minh.
Nh- ta đã nói ở trên tất cả các luật trong định lý 2.2.1 đều đ-ợc chứng minh bằng
ph-ơng pháp đ-a về các luật t-ơng ứng của logic mệnh đề. Ví dụ ta chứng minh luật hấp thụ


A A B A

nh- sau.
Theo định nghĩa 2.2.1, 2.2.2 thì

x A A B x A x A B
x A x A x B



Theo luật hấp thụ thứ hai trong logic mệnh đề, điều sau cùng t-ơng đ-ơng với
x A

.
Nh- vậy ta đã chứng minh đ-ợc




x A A B x A

, theo định nghĩa 2.1.1 điều
này có nghĩa là


A A B A

.
Có thể định nghĩa t-ơng tự cho hợp và giao của một họ bất kỳ các tập hợp.
3. L-ợng tử và vị từ
3.1 Hàm mệnh đề
Các mệnh đề đ-ợc xét trong phần đầu của ch-ơng là những mệnh đề mà chúng ta có thể xác
định ngay giá trị của chúng đúng hoặc sai. Trong mục này chúng ta sẽ xem xét một loại mệnh đề

khác, mệnh đề mà giá trị của nó phụ thuộc vào các giá trị khác nhau lấy từ một tập nào đó. Ví dụ
khẳng định
x là một số nguyên lớn hơn 5 là một loại khẳng định mà khi thay x bằng một giá
trị nguyên cụ thể nào đó ta sẽ đ-ợc một mệnh đề, chẳng hạn với
2

x
ta có mệnh đề 2 lớn
hơn 5
viết bằng ký hiệu toán học là
5
2

, đây là mệnh đề sai, còn với x bằng 6 ta sẽ đ-ợc
mệnh đề

5
6

là mệnh đề đúng. Loại mệnh đề phụ thuộc vào các tham số lấy giá trị từ một
tập nào đó đ-ợc gọi là hàm mệnh đề. Nói một cách chính xác ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 3.1.1. Hàm


1 2
, , ,
n
P x x x
xác định trên tập A đ-ợc gọi là hàm mệnh đề n - ngôi
nếu khi thay

1 1 2 2
, , ,
n n
x a x a x a

với
1 2
, , ,
n
a a a A

, ta nhận đ-ợc một mệnh đề.
Khi
1
n

, hàm 1- ngôi


P x
th-ờng gọi đơn giản là hàm mệnh đề.
Ví dụ 3.1.1.
x y

là một hàm mệnh đề 2- ngôi xác định trên tập số nguyên
Z
. Thật vậy, khi ta
gán
x m

,
y n

là các số nguyên cụ thể nào đó ta sẽ đ-ợc mệnh đề
m n

.
3.2 Vị từ
Xét khẳng định với mọi số tự nhiên n ta đều có
5
n

. Đây là một khẳng định sai vì ta dễ dàng
tìm thấy một số tự nhiên, chẳng hạn
1 5

. Tuy nhiên, dễ dàng thấy rằng, khẳng định tồn tại số
tự nhiên
n sao cho
5
n

lại là một mệnh đề đúng. Các mệnh đề nh- nêu ở đây đ-ợc xây dựng
từ hàm mệnh đề


5
n

xác định trên tập số tự nhiên với sự giúp đỡ của các toán tử đ-ợc gọi là

toán tử chung (l-ợng tử chung)
n

, đọc là với mọi n và toán tử riêng (l-ợng tử riêng)
n

đọc là
tồn tại n.
Định nghĩa 3.2.1. Giả sử


P x
là một hàm mệnh đề xác định trên tập A.



x P x

(đọc là với
mọi
x


P x
) là một mệnh đề, nó nhận giá trị đúng khi và chỉ khi với phần tử bất kỳ
a A

ta có

P a T

.



x P x

(đọc là tồn tại x


P x
) là một mệnh đề, nó nhận giá trị đúng khi và chỉ khi tồn tại
a A

để


P a T

. Các toán tử
,
x x

gọi là các l-ợng tử.
x

đ-ợc gọi là l-ợng tử chung,
x

đ-ợc gọi là l-ợng tử riêng. Mệnh đề có chứa các l-ợng tử
đ-ợc gọi là vị từ.
Hoàn toàn t-ơng tự nh- trong định nghĩa 3.2.1 ta có thể nhận đ-ợc các vị từ xây dựng từ các
hàm mệnh đề
n - ngôi (
1
n

). Chẳng hạn


,
x yP x y

hay


,
x yP x y

Khi hàm mệnh đề


1 2
, , ,
n
P x x x
xác định trên tập A thì ta nói vị từ t-ơng ứng xác định trên tập A.
Ví dụ 3.2.2.

x y x y

là một vị từ (mệnh đề) xác định trên tập số nguyên. Mệnh đề này
khẳng định với mọi số nguyên
x m

tồn tại số nguyên
y n

để
m n

. Rõ ràng đây là một
mệnh đề đúng.
3.3 Phủ định của vị từ
Ta xét phủ định của vị từ


5
x x

trên tập số nguyên
Z
, tức là

5
x x

. Đây là một mệnh
đề nhận giá trị đúng khi và chỉ khi


5
x x

sai. Theo định nghĩa 3.2.1 thì điều này có nghĩa là


5
x x

hay

5
x x

vậy là

5 5 5
x x x x x x

(Dễ dàng thấy mệnh đề
với mọi
x nguyên
5
x

là sai) cho nên mệnh đề

5
x x

là mệnh đề sai. Ta có định lý sau:
Định lý 3.3.1. Nếu


P x
là hàm mệnh đề xác định trên tập A thì các khẳng định sau là hằng
đúng:
a)

xP x xP x



b)

xP x xP x


Chứng minh. Ta chứng minh khẳng định a). Mệnh đề

xP x

nhận giá trị đúng khi và chỉ khi


xP x

nhận giá trị sai. Theo định nghĩa 3.2.1 điều này có nghĩa là tồn tại
x a

thuộc A để


P a
sai hay

P a
đúng, tức là

xP x

đúng. Do vậy

xP x xP x

là một mệnh đề
hằng đúng hay là một định lý. Việc chứng minh khẳng định b) là hoàn toàn t-ơng tự.
Ví dụ 3.3.1. Vị từ của định nghĩa dãy số


n
a
có giới hạn a là


0 :

n
K n n K a a


.
Hàm mệnh đề


:
n
n K a a


xác định trên tập số tự nhiên
,
n K K N

. Theo chú
thích 3.3.2 thì vị từ của định nghĩa dãy


n
a
không có giới hạn a sẽ là:


0 0
:
n
K n n K a a

Từ định lý 1.3.1 ta có hệ quả sau:
Hệ quả 3.3.1. Các công thức sau là các định lý
a)






x P x Q x x P x Q x


b)






x P x Q x x P x Q x


Chú thích 3.3.1. Các l-ợng tử cùng loại trong vị từ của hàm mệnh đề n - ngôi (
1
n

) có tính

giao hoán còn các l-ợng từ khác loại không giao hoán đ-ợc cho nhau. Có thể thấy điều đó qua ví
dụ sau:
Ví dụ 3.3.2. Giả sử


,
P x y
là hàm mệnh đề xác định trên tập số nguyên
Z
. Vị từ


x y x y


là một mệnh đề đúng (ví dụ 3.2.2), nh-ng mệnh đề


y x x y

là mệnh đề sai vì nó khẳng
định tồn tại một số nguyên
0
y m

để
0
m
nhỏ hơn hoặc bằng tất cả các số nguyên
x n

khác,
tức là
0
m
là số nguyên nhỏ nhất. Điều này là vô lý vì tập số nguyên không có số nguyên nhỏ
nhất.
Chú thích 3.3 2
. Có thể tổng quát hoá định lý 3.3.1 cho hàm mệnh đề


1 2
, , ,
n
P x x x

n
- ngôi
với
1
n

: Phủ định của vị từ nhận đ-ợc bằng cách thay l-ợng tử thành l-ợng tử khác loại và
hàm mệnh đề


1 2
, , ,
n
P x x x

thành phủ định của nó


1 2
, , ,
n
P x x x
.
4. Quan hệ
4.1 Khái niệm và tính chất
Quan hệ giữa hai tập theo ngôn nghĩa trực giác đ-ợc hiểu hiểu là mối quan hệ giữa một số phần
tử của tập này với một số phần tử của tập khác. Chẳng hạn, nếu lấy
A tập các sinh viên nào đó và
B là tập các môn học mà họ đang theo họcthì ta có thể nói sinh viên a có quan hệ với môn học a


nếu sinh viên
a theo học môn a

. Hoàn toàn t-ơng tự nh- vậy nếu lấy A là tập một số ng-ời nào
đó và quan hệ mà ta quan tâm là quan hệ họ hàng chẳng hạn thì ta nói anh a và cô b thuộc quan
hệ này nếu
a và b có họ với nhau.
Định nghĩa 4.1.1. Giả sử X, Y là hai tập hợp. Quan hệ hai ngôi R từ X đến Y đ-ợc định nghĩa là
tập con của tích Decac
X Y

, tức là
R X Y

. Trong tr-ờng hợp
X Y

thì ng-ời ta nói
R X X

là quan hệ hai ngôi trong X.
Tập




,
x X y Y x y R

đ-ợc gọi là tập xác định của quan hệ R. Còn tập




,
y Y x X x y R

đ-ợc gọi là tập giá trị của quan hệ R.
Để xác định


,
x y R

ng-ời ta th-ờng hay viết
xRy
bắt ch-ớc theo quan hệ

trong tập số
thực:


,


khi và chỉ khi


.
Nếu quan hệ hai ngôi biểu diễn d-ới dạng một bảng gồm 2 cột thì cột thứ nhất gồm các phần tử
của miền xác định, cột thứ hai - miền giá trị.
Ví dụ 4.1.1. Giả sử


2,3,4,5
X
,


1,3,4,5,6,7,9
Y
. Ta xác định quan hệ hai ngôi

,
x y R x y

: x là -ớc số của y (hay y chia hết cho x). Dễ dàng thấy khi đó
















5,5,4,4,9,3,6,3,3,3,6,2,4,2

R
. Hay biểu diễn d-ới dạng bảng ta có
A B
2
2
3
3
3

4
5
4
6
3
6
9
4
5

Trong đó các phần tử trên cùng một hàng nằm trong quan hệ
R. Nhìn vào bảng này các phần tử
nằm trên cột thứ nhất


5,4,3,2
là tập xác định của quan hệ R còn các phần tử trên cột thứ hai


3,4,6,5,9
là tập giá trị của R.
Ví dụ 4.1.2.


2,3,4,5
X
. Ta nói


,

a b R

nếu
a b

. Ta có






















2,2 , 2,3 , 2,4 , 2,5 , 3,3 , 3,4 , 3,5 , 4,4 , 4,5 , 5,5
R

.
Định nghĩa 4.1.2. Quan hệ R trong tập X đ-ợc gọi là có tính phản xạ nếu


,
x x R

với mọi
x X

.
Quan hệ trong ví dụ 4.1.2 là quan hệ có tính phản xạ.
Ví dụ 4.1.3. Gọi


2,3,4,5
X
. Ta nói


,
a b R

và chỉ khi
a b
. Rõ ràng là

2,2 , 2,4 , 3,3 , 4,4 , 5,5
R
và R là quan hệ có tính phản xạ.
Ví dụ 4.1.4. Giả sử
R

X
tập các số thực.
Ta nói


,
x y R

nếu
2
y x

.
Tập
R chính là đồ thị của parabol
2

y x

. Rõ ràng đây là quan hệ không có tính phản thân, vì
ví dụ nh-


3,3
R

là do
2 2
3 3
x x

.
Định nghĩa 4.1.6. Quan hệ R trong tập X đ-ợc gọi là có tính bắc cầu nếu với mọi
, ,
x y z X

,
từ


,
x y R

và


,

y z R

suy ra


,
x z R

.
Các quan hệ trong các ví dụ 4.1.2, 4.1.3 đều có tính bắc cầu, trong khi đó quan hệ trong ví dụ
4.1.4 thì không có tính bắc cầu vì




2,4 , 4,16
R R

nh-ng


2,16
R

vì
2
2 16

.
Định nghĩa 4.1.7. Quan hệ R trong tập X đ-ợc gọi là có tính đối xứng nếu với mọi

,
x y X

từ


,
x y R

suy ra


,
y x R

.
Quan hệ trong các ví dụ 4.1.2, 4.1.3 đều không phải là các quan hệ có tính đối xứng vì trong ví
dụ 4.1.2 ta có
2 3

nh-ng
3

2
; Trong ví dụ 4.1.3 có


2,4
R

nh-ng


4,2
R

.
Định nghĩa 4.1.8. Quan hệ R trong tập X đ-ợc gọi là có tính phản đối xứng nếu với mọi
,
x y X

từ


,
x y R

và


,
y x R

suy ra y = x hay nói một cách t-ơng đ-ơng là từ


,
x y R

và

x y

thì


,
y x R

.
Quan hệ trong các ví dụ 4.1.2, 4.1.3 đều là các quan hệ có tính phản đối xứng là do trong tập số
thực
x y

và
y x

thì x = y.
T-ơng tự nh- vậy trong tập số tự nhiên nếu m chia hết cho n và n chia hết cho m thì m = n. Rõ
ràng là quan hệ trong ví dụ 4.1.4 không có tính phản đối xứng.
Định nghĩa 4.1.9. Quan hệ R trong tập X đ-ợc gọi là quan hệ thứ tự từng phần trong X nếu nó là
quan hệ có tính phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu.
Từ các nhận xét trên ta thấy các quan hệ trong các ví dụ 4.1.2, 4.1.3 là các quan hệ thứ tự từng
phần trên các tập
X t-ơng ứng. Nếu R là một quan hệ thứ tự từng phần trong tập X thì khi


,
x y R

ng-ời ta th-ờng nói x, y so sánh đ-ợc với nhau. Khi

,
x y R

và


,
y x R


thì nói
x, y không so sánh đ-ợc với nhau.
Ví dụ về quan hệ chia hết trên tập số tự nhiên là quan hệ thứ tự từng phần vì không phải hai số tự
nhiên nào cũng so sánh đ-ợc với nhau: 2 không phải là -ớc của 3 và 3 cũng không là -ớc của 2.
Tập
X với quan hệ thứ tự từng phần R mà với hai phần tử bất kỳ
,
x y X

thì hoặc
xRy
hoặc
yRx
đ-ợc gọi là tập có quan hệ thứ tự tuyến tính (hay thứ tự toàn bộ).
Định nghĩa 4.1.10. Giả sử R là quan hệ từ X vào Y. Quan hệ ng-ợc của R, ký hiệu là
1
R

là quan
hệ từ
Y vào X đ-ợc xác định nh- sau
1
yR x xRy


hay t-ơng đ-ơng






1
, ,
R y x x y R


4.2 Ma trận quan hệ
Giả sử
R
là một quan hệ từ tập
X
vào tập
Y
. Ta có thể biểu diễn quan hệ
R
d-ới dạng một ma trận
không

một
R
M
gọi là ma trận quan hệ R nh- sau:
Các phần tử của tập
X đ-ợc sắp xếp theo một trật tự nào đó
1 2
, , ,
n
x x x
trên một cột, còn các
phần tử của
Y theo một trật tự của nó
1 2
, , ,
n
y y y
trên một hàng. Giả sử
X n

,
Y m

.
Ma trận
R
M
có m hàng n cột (cỡ (m,n)) với các phần tử m
ij
sao cho phần tử nằm trên hàng i, cột

j là
1
ij
m

nếu


,
i j
x y R

,
0
ij
m

nếu


,
i j
x y R

.
Ví dụ 4.2.1. Giả sử


2,3,4
X

,


5,6,7,8
Y
, quan hệ
R X Y

xác định


,
x y R x y

sẽ có ma trận
R
M
nh- sau
5 6 7 8
2 0 1 0 1
3 0 1 0 0
4 0 0 0 1






hay khi đã biết trật tự sắp xếp các phần tử của tập
X (theo cột) tập Y theo hàng (ví dụ ở đây theo

thứ tự tăng dần) thì ng-ời ta chỉ viết
0 1 0 1
0 1 0 0
0 0 0 1
R
M







Nh- vậy là với mỗi quan hệ
R X Y

từ tập hữu hạn X vào tập hữu hạn Y ta có thể xây dựng
đ-ợc một ma trận quan hệ (chính xác đến sự sắp xếp thứ tự của tập
X và tập Y). Ng-ợc lại với
mỗi ma trận không
một
M
ta có một quan hệ
R
từ
X
vào
Y
.
Thật vậy nếu

1
ij
m

thì ta đặt


,
i j
x y R

, nếu
0
ij
m

thì


,
i j
x y R

. ở đây cũng nh-
tr-ớc ta phải coi các trật tự sắp xếp phần tử của
X và Y là cố định chọn tr-ớc. Nếu
R X X


là quan hệ trong tập

X có
X n

thì
R
M
là ma trận vuông cấp n.
Dễ dàng nhận thấy quan hệ
R trong tập X có tính đối xứng khi và chỉ khi
R
M
là ma trận đối
xứng.
R có tính phản đối xứng khi và chỉ khi
1 0
0 1 0
ij ji
ij ji ji
m m
m m m








Quan hệ
R trong tập X có tính phản xạ khi và chỉ khi tất cả các phần tử trên đ-ờng chéo

1
ij
m

.
4.3 Quan hệ t-ơng đ-ơng, lớp t-ơng đ-ơng
Định nghĩa 4.3.1. Quan hệ R trong tập X đ-ợc gọi là quan hệ t-ơng đ-ơng nếu nó có tính phản
xạ, đối xứng và bắc cầu. Nếu hai phần tử
x, y nằm trong quan hệ t-ơng đ-ơng R thì ta nói x, y
t-ơng đ-ơng vói nhau.
Ví dụ 4.3.1. Ta có tập X gồm 10 quả cầu trong đó có 3 quả cầu trắng
1 2 3
, ,
t t t
, 3 quả cầu xanh:
1 2 3
, ,
x x x
và 4 quả cầu đỏ
1 2 3
, ,
d d d
. Quan hệ R đ-ợc xác định nh- sau
,
a b X

,


,

a b R

khi và chỉ khi a, b cùng màu. Dễ dàng nhận thấy R là một quan hệ t-ơng đ-ơng:


,
a a R

, quả cầu chỉ có một màu


,
a b R

thì


,
b a R

: quả cầu a cùng màu với b thì b cùng màu với a.


,
a b R

,


,

b c R

thì


,
a c R

: nếu a, b cùng màu và b, c cùng màu thì rõ ràng a, c
cùng màu.
Ví dụ 4.3.2. Giả sử X là tập các từ tiếng Việt, gọi


l a
là chiều dài của xâu
a X

(số các
chữ cái trong xâu).
Gọi
R là quan hệ trong tập X mà


,
a b R

khi và chỉ khi

l a l b

. Nh- trên, ở đây
cũng dễ dàng nhận thấy
R là quan hệ t-ơng đ-ơng trong tập X.
Định nghĩa 4.3.2. Họ S các tập con khác rỗng của X đ-ợc gọi là phân hoạch của X, nếu mỗi
phần tử
x của X thuộc một và chỉ một phần tử S. Các phần tử S th-ờng đ-ợc gọi là các lớp của
phân hoạch S.
Nh- vậy họ S


i
i I
X


,
,
i i
X X X

là một phân hoạch của X nếu
i j
X X


và
i

i I
X X



.
Ví dụ 4.3.1 có thể tổng quát thành định lý sau:
Định lý 4.3.1. Nếu S


i
i I
X


là một phân hoạch của tập X. Xác định quan hệ
R X X


theo quy tắc


,
x y R

khi và chỉ khi tồn tại
i I

để cả hai phần tử x, y đều thuộc X
i

tức là
,
i
x y X

thì
R
là một quan hệ t-ơng đ-ơng trong tập X.
Chứng minh.
Rõ ràng là với mọi
x X

thì


,
x x R

vì
i
i I
X X



, do đó tồn tại
i I


để

i
x X

: quan hệ R có tính phản xạ. Ngoài ra nếu
xRy
tức là
,
i
x y X

;
yRz
tức là
,
i
y z X

thì rõ ràng
,
i
x z X

: nh- vậy quan hệ R có tính bắc cầu. Cuối cùng
xRy
tức là
,
i
x y X

thì hiển nhiên

yRx
cũng với ý nghĩa nh- thế
,
i
y x X

vậy là quan hệ R lại có
tính đối xứng. Định lý đã đ-ợc chứng minh xong.
Ví dụ 4.3.3. Xét tập
*
0, ,
m
n n m
n




Q N Z
các số hữu tỉ. Hai số hữu tỉ
1
1
1
m
r
n

và
2
2

2
m
r
n

thuộc cùng một lớp nếu
1 2 2 1
m n m n

và viết
1 2
r r

: nh- vậy mỗi lớp
của
Q
gồm tất cả các số hữu tỉ bằng nhau. Ta có thể chứng minh đ-ợc các lớp này tạo thành
các lớp của một phân hoạch số hữu tỉ.
Thật vậy, rõ ràng là hợp các lớp này cho ta
Q
vì mỗi
r

Q
thuộc vào 1 lớp nào đó. Hai
lớp có chung 1 phần tử thì sẽ trùng nhau, thật vậy nếu lớp
A và B mà có chung phần tử
2
2
2

m
r
n


thì lấy
1
r A

có
1 2
r r B

nên
1
r B

tức là
A B

. Ng-ợc lại lấy
3
r B

thì
3 2
r r A

cho nên
B A

vậy là
A B

.
Nh- vậy là các lớp khác nhau thì rời nhau, ta nhận đ-ợc phân hoạch của các số hữu tỉ gồm các
lớp là các số hữu tỉ bằng nhau. Ng-ợc lại với định lý 4.3.1 ta có:
Định lý 4.3.2. Giả sử
R X X

là một quan hệ t-ơng đ-ơng trong X. Xác định các lớp


x

các tập con của X nh- sau: Với mỗi
x X

đặt




x a X xRa

. Khi dó họ S

x x X

là một phân hoạch của X.
Chứng minh. Thứ nhất, tập




x x X

cho ta mỗi


x x

S . Thứ hai, hai lớp khác
nhau thì rời nhau. Thật vậy nếu


a
và


b
có chung phần tử
x X

thì với mỗi

y a

ta
có
yRa
,
aRx
,
xRb
nên theo tính bắc cầu
yRb
có nghĩa là


y b

. Nh- vậy




a b

.
Đổi vai trò




,

a b
cho nhau ta đ-ợc




b a

. Từ các lý luận trên ta có




a b

. Nh-
vậy hai lớp có chung một phần tử thì chúng phải trùng nhau; Điều sau cũng có nghĩa là hai lớp
khác nhau thì rời nhau. Định lý đã đ-ợc chứng minh.
Từ hai định lý 4.3.1 và 4.3.2 ta thấy khái niệm quan hệ t-ơng đ-ơng trong tập
X và phân hoạch
của
X là t-ơng đ-ơng với nhau.
Ví dụ 4.3.4. Cho quan hệ t-ơng đ-ơng

1,1 , 3,3 , 5,5 , 1,3 , 3,1 , 1,5 ,
5,1 , 3,5 , 5,3 , 2,2 , 4,4 , 2,4 , 4,2
R







cũng có nghĩa là cho một phân hoạch của tập


1,2,3,4,5
X
,




1,3,5 2,4
X

hay cho các lớp t-ơng đ-ơng

1 3 5 1,3,5

;






2 4 2,4

.
Ví dụ 4.3.5. Lấy


1,2, ,7
X
. Quan hệ t-ơng đ-ơng R đ-ợc xác định nh- sau:
xRy
khi
và chỉ khi
x

và
y
đồng d- theo modun 3 (
x y

chia hết cho 3 hay còn viết
3
x y

). Khi chia
các số nguyên cho 3 có thể có các số d- 0, 1, 2, vì thế có 3 lớp t-ơng đ-ơng là






1 , 2 , 3

trong đó




3 3,6

,

1 1,4,7

,




2 2,5

nh- vậy là




3 6

,






1 4 7

,

2 5

.