Chapter Ii.ppt

BASIC ON
GEOHYDRO-MECHANIC
CHƯƠNG III.
CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VẬN ĐỘNG CỦA NDĐ
CHAPTER II .
THE DIFFERENTIAL EQUATIONS OF GROUNDWATER


1. Phương trình liên tục (continuous equation)




Phương trình liên tục của dịng thấm là phương trình tổng
qt vận động của chất lỏng đồng nhất trong mơi trường
lỗ hổng; phương trình đó là biểu thức tốn học của qui
luật bảo tồn khối lượng của chất lỏng vận động. Phương
trình liên tục gặp hầu như trong tất cả các lĩnh vực vật lý.
Continuous equation is the genaral equation of movement
of identical fluid in porous
environments; that equation is the
mathematical expression of the
law of conservation of mass of the
movement of fluid. Continuous
equation met almost in all fields
of physics
Hình I.1. Ngun tố vơ cùng bé của

dịng thấm khơng gian (Infinitesimal
element of seepage space)

1. Phương trình liên tục (continuous equation)








Để thành lập phương trình liên tục chúng ta lấy một hình
hộp nguyên tố có cạnh dx, dy, dz song song với các trục
tọa độ (hình 11).
To establish continuous equation we get a box element
with sides dx, dy, dz parallel to the coordinate axes
(Figure 11).
Chúng ta sẽ nghiên cứu sự cân
bằng vật chất sau khoảng thời
gian vơ cùng nhỏ dt trong hình
hộp ngun tố.
We will study the following
material balance infinitesimal
Hình I.1. Ngun tố vơ cùng bé của
interval dt in the box element.

dịng thấm khơng gian (Infinitesimal
element of seepage space)


1. Phương trình liên tục (continuous equation)








Thể tích của hình hộp nguyên tố
hiệu là V, bằng dxdydz. Thể
hổng trong hình hộp là Vh,
xác định theo biểu thức
The volume of the box element
denoted V, by dxdydz. The
volume of vulnerabilities in the
box Vh, is determined according
the following expression.

tích
được
sau .

ký

Hình I.1. Ngun tố vơ cùng
to
bé của dịng thấm khơng gian
(Infinitesimal element of
seepage space)

nVhổng trong nguyên tố

h lỗ
Khối lượng chất lỏng lấp đầy Vcác
dòng thấm sẽ bằng
The volume of the liquid filling the porousity in the box flow
element will equal
M = nV
(II-1)


1. Phương trình liên tục (continuous equation)




Vi phân phương trình (II-1) chúng
ta tìm được sự thay đổi khối lượng
của chất lỏng trong hình hộp sau
thời gian dt.
Differential equations (II-1) we find
the change of fluid volume in the
box after time dt.
Hình I.1. Ngun tố vơ cùng

M
V( n )
dt 
dt
t
t




bé của dịng thấm không gian
(Infinitesimal element of
seepage space)

(II-2)


1. Phương trình liên tục (continuous equation)




Bằng cách khác chúng ta thấy
rằng
khối lượng của chất lỏng
chảy
vào nguyên tố nghiên cứu
theo hướng
trục x sẽ bằng vxdydzdt (vx –
hình
chiếu của tốc độ vận động trên
trục
x). Cũng trong khoảng thời gian
đó khối lượng của chất lỏng chảy
Hình I.1. Ngun tố vơ cùng
ra từ hình hộp ngun tố sẽ bằng. bé của dịng thấm không gian
(Infinitesimal element of
Otherwise we see that the volume

seepage space) n
of fluid flowing into the research
element in the direction of the axis x will equal vxdydzdt (vx projections of speed on the x axis). Also during that period the
volume of fluid flow from the box element will be equal.

v x  


v

dx
dydzdt
x


x


1. Phương trình liên tục (continuous equation)
Như vậy, hiệu số giữa khối lượng
nước chảy đến và chảy ra khỏi
nguyên tố nghiên cứu sau khoảng
thời gian dt theo phương trục x sẽ
là:
 Thus, the difference between the


Hình I.1. Ngun tố vơ cùng
bé của dịng thấm
khơngof

gian
volume
(Infinitesimal element of
seepage space)

water to flow out of the
elements and study after interval
dt according to the x-axis will be

 v x 

dxdydzdt
x


1. Phương trình liên tục (continuous equation)










Tương tự, sự thay đổi khối lượng
của chất lỏng trong hình hộp
nguyên tố theo các trục y và z sẽ
bằng:

Similarly, the change in the volume of fluid in the boxy
elements in the y-axis and z will
Hình I.1. Ngun tố vơ cùng
be equal to:
bé của dịng thấm khơng gian
và
and

v y 

.dxdydzdt
y

  v z 

dxdydzdt
z

(II-3)


1. Phương trình liên tục (continuous equation)




Tồn bộ khối lượng chất lỏng thay đổi trong nguyên tố
dòng thấm sau thời gian dt sẽ là
(II-3):
The entire volume of the fluid changes in seepage after

prime time dt will be (II-3):

Hình I.1. Nguyên tố vơ cùng
bé của dịng thấm khơng gian






  v x  v y  v z 
 


Vdt   div v V dt

y
z 
 x

(II-3)

So sách các biểu thức (II-2) và (II-3) chúng ta nhận được
phương trình cân bằng
Comparing the expressions (II-2) and (II-3) we get the
 n 
equation balance
(II-4)
div  v  
t

 


1. Phương trình liên tục (continuous equation)








Phương trình trên là phương trình liên tục của dịng thấm.
Để tìm phương trình phân bố áp lực trong dịng thấm cần
phải tìm liên hệ giữa các đại lượng trong phương trình liên
tục với áp lực.
The equation on the continuity equation of seepage flow.
To find the equation of pressure distribution in absorbent
flows need to find the relationship between the quantities in
the continuity equation with pressure.
Trước tiên, chúng ta nghiên cứu động thái cứng trong dịng
thấm đồng nhất. Khi đó người ta bỏ qua sự thay đổi mật độ
của chất lỏng và sự biến dạng của đất đá, tức là trong
phương trình (II-4);
First, we study hard in the seepage flow moves uniformly.
When that people ignore the changes in the density of the
fluid and the deformation of the rock, which is in the
equation (II-4): n 
t

0


1. Phương trình liên tục (continuous equation)






ngồi ra, chúng ta cho rằng dịng chất lỏng đồng nhất nên
có thể mang  ra ngoài dấu vi phân theo các toạ độ. Lúc
ấy, phương trình liên tục của dịng thấm đồng nhất về
thành phần khi động thái cứng có dạng
in addition, we believe that uniform fluid flow should be
able to bring out the point  acts by coordinates. Then,
continuity equation homogeneous absorbent components
hard to move form

v x v y v z


0
x y z

(II-5)


1. Phương trình liên tục (continuous equation)










ở đây vận động của chất lỏng tuân theo định luật Đacxi
và các thành phần của tốc độ thấm được biểu diễn bằng
các biểu thức sau:
Here's movement obeys the laws of fluid components
Dacxi and the flow velocity is represented by the following
expression:

H
H
H
v x  k x
; v y  k y
; vz  k z
x
y
z

(II-6)

ở đây kx, ky, kz - hệ số thấm theo hướng của các trục tọa
độ.

Here kx, ky, kz - permeability coefficient in the direction of
the axes.


1. Phương trình liên tục (continuous equation)







Thay các giá trị của vx, vy và vz từ phương trình (II-6) vào
phương trình liên tục, chúng ta nhận được
Change the value of vx, vy and vz from equation (II-6) into
the continuity equation, we get
  H    H    H 
(II-7)
   k z
 kx
   k y
 0
x  x  y  y  z  z 
Phương trình trên là phương trình eliptit của toán lý.
The equation above is elliptic equations of mathematics.


1. Phương trình liên tục (continuous equation)




Trong lớp đồng nhất - đẳng hướng (kx = ky = kz = const và
có thể đưa ra ngồi dấu vi phân), sự phân bố áp lực trong
lớp được biểu diễn bằng phương trình Laplace.
In homogeneous layer - isotropic (kx = ky = kz= const and
may put off differential mark), the distribution of pressure
in the layer is represented by the Laplace equation.

2



2

2

 H  H  H
 2  2 0
2
x
y
z

(II-8)


1. Phương trình liên tục (continuous equation)








Phương trình Laplace là một trong những phương trình
quan trọng nhất của vật lý tốn; hàm số thỏa mãn
phương trình Laplace gọi là hàm số điều hòa hoặc hàm
số thế
Laplace equation is one of the most important equations
of mathematical physics; function satisfying Laplace
equation called harmonic function or potensial function
Các thành phần của tốc độ thấm có thể biểu diễn qua
hàm số  = kH ( gọi là hàm số thế của tốc độ thấm), khi
đó các biểu thức (II-6) viết lại ở dạng sau:
The components of the flow velocity can be expressed
through the function  = kH ( so-called potensial function
of the flow velocity), while the expression (II-6) write them
as follows: v    ; v    ; v   
(II-9)
x
y
z
x
y
z


1. Phương trình liên tục (continuous equation)









Nhờ biểu thức (II-9) phương trình liên tục của dịng thấm
khi động thái cứng có dạng:
By expression (II-9) continuity equation of seepage when
hard move of the form:
(II-10)
 2  2  2

x

2



y

2



z

2

0

Phương trình Laplace có một tính chất rất quan trọng, có ý
nghĩa rất lớn trong thủy động lực đó là tổ hợp bất kỳ các lời
giải thích nào của phương trình Laplace cũng là lời giải của
phương trình Laplace.
Laplace equation has a very important nature, have great
significance in hydrodynamics that any combination of any
explanation of the Laplace equation is the solution of the
Laplace equation.


1. Phương trình liên tục (continuous equation)




Từ đây rút ra kết luận: có thể cộng các thế của dịng
phẳng nước dưới đất; vận động tổng hợp cũng là vận
động thế.
From here concluded: we can add the potensial flat
flow of underground water; Synthetic movement is
also potensial movement.


2. Ph. trình dịng phẳng ngang khơng áp - The equation
of horizontal flat unconfined flow




Để thành lập phương trình của dịng
phẳng ngang khơng áp chúng ta nghiên
cứu sự cân bằng của nước trong ngun
tố vơ cùng bé có các cạnh dx, dy và
chiều cao bằng toàn bộ chiều dày của
tầng chứa nước (hình II.2)
To establish the equation of the horizontal Hình II.2. Sơ đồ
dịng ngun tố
flat flow shall not we study the water
II.2. Schem
balance in the infinitesimal element with Pictures
of flow element
edges dx, dy and height of the entire
thickness of the aquifer (Figure II.2)


2. Ph. trình dịng phẳng ngang khơng áp - The equation
of horizontal flat unconfined flow









Lưu lượng nước chảy đến nguyên tố theo

hướng trục x là qxdy và theo trục y là qydx;
lưu lượng chảy ra từ nguyên tố trong ứng với các trục tọa
độ như sau :
The flow of water to prime the direction of
the x-axis and y-axis is qxdy is qydx;
Hình II.2. Sơ đồ
Traffic flow from the corresponding
dịng ngun tố
elements in the following axes:
Pictures II.2. Schem
q x
dxdy
theo trục x là
qxdy +
of flow element
x
Lượng nước chảy đến lấy
(on the the x axis is)
q y
dấu dương nếu chiều chảy
theo trục y là
qydx + x dydx trùng với chiều của trục tọa
(on the the y axis is)

độ. Water flow to obtain a
positive sign if dimensional
flow coincides with the
direction of the coordinate
axes.

2. Ph. trình dịng phẳng ngang khơng áp - The equation
of horizontal flat unconfined flow




Ngoài các đại lượng trên trong dòng
nguyên tố còn nhận được lượng nước
cung cấp ngấm từ trên xuống Wdxdy.
Hiệu số giữa lưu lượng nước chảy đến
và chảy đi chính là sự thay đổi thể tích
nước trong nguyên tố nghiên cứu
Except of above perameters, a elemental Hình II.2. Sơ đồ
dòng nguyên tố
flow also get water supply from
Pictures II.2. Schem
of flow element
surface Wdxdy. The difference between
the flow of water and run-off is a change
of water volume in the research element