Toán ứng dụng trong thẩm định giá

TOÁN ỨNG DỤNG TRONG THẨM ĐỊNH GIÁ
(The College of Estate Management 2004)
Nội dung
1. Giới thiệu
2. Giá trị hiện tại
2.1 Giải thích khái niệm
2.2 Giá trị hiện tại và bất động sản
2.3 Nhận xét
2.4 Thớời gian và lãi suất
2.5 Tiền lãi và tiền vốn
3. Giá trị tương lai của lợi tức thuê
4. Giá trị hiện tại của $1 hàng năm và Suất sinh lợi
5. Hoàn lại và hoàn trả lợi tức
6. Công thức kép
7. Suất sinh lợi, tỷ suất đôi
8. Khoản trả hàng năm và khoản trả tiền vay
8.1 Tính khoản vốn còn lại và ảnh hưởng thay đổi lãi suất
8.2 Bảng tính tiền cho vay
9. Lợi tức và tiền lãi nhỏ hơn kỳ hạn năm
9.1 Tỷ lệ hàng năm hay lãi suất thực
10.Suất sinh lợi của tài sản và thẩm định giá
10.1 Suất sinh lợi (YP) tính theo quý trả sau
10.2 Suất sinh lợi (YP) trả trước
10.3 Suất sinh lợi (YP) tính theo quý trả trước
11.Tóm tắt
12.Tính dòng tiền chiết khấu
12.1 Giá trị tương lai và giá trị hiện tại
12.2 Các bươớc cơ bản để tính dòng tiền chiết khấu
12.3 Bảng tính dòng tiền chiết khấu
12.4 Tỷ suất chiết khấu
12.5 Những chỉ số chính của dòng tiền chiết khấu

12.6 So sánh NPV và IRR
12.7 Dự án hỗ tương và phân tích tăng trưởng
1
1. Giới thiệu
Tiền thuê vả vốn hoá hay tỷ suất chiết khấu là hai biến số quan trọng để tính
toán giá trị thị trường của tài sản dựa trên thu nhập. Ước tính được các biến số này
là nghệ thuật của thẩm định giá. Dù rằng ngành thẩm định giá cho rằng “ thẩm
2
định giá là một nghệ thuật chứ không phải là một khoa học” thì vẫn liên quan
nhiều đến kỹ thuật để tính toán giá trị, chứ không chỉ dừng lại ở khái niệm.
Khi tài sản tạo ra một khoản tiền thuê với nhiều mục đích khác nhau vẫn được
xem như có thu nhập vĩnh viễn, và quá trình vốn hoá tiền thuê hoàn toàn không
khó khăn. Tuy nhiên, cũng có nhiều khoản lợi tức phức tạp trên thị trường bao
gồm việc hoàn trả lợi tức khi tiền thuê hiện tại không tương ứng với tiền thuê trên
thị trường, lợi tức trong thời hạn ngắn hơn kết hợp với quyền thuê,... những
nhuyêu cầu này có nhiều phức tạp trong tính toán số học. Do vậy cần thiết tách rời
giá trị tài sản và giải thích thế nào là lợi tức hàng năm, thế nào là lợi tức hoãn lại
để có thể vốn hoá. Điều này thuận tiện cho việc nắm bắt các loại chì số tài chính
khác nhau như khoản phải trả hàng năm, tiền vay và dòng tiền chiết khấu.
Dòng tiền chiết khấu cung cấp nền tảng cho việc chuyển đổi cách tính toán
từ thu nhập vĩnh viễn (vốn hoá trực tiếp) sang các loại lợi tức khác nhau, tính toán
cho dự án thuê và khấu hao.
Sau khi hoc xong chương này, bạn sẽ sẽ đối diện với một trong những khó
khăn tiềm ẩn của định giá tài sản là các cách tính toán đều dựa trên cơ sở sốtoán
học rất cần sự chính xác, để có thể phản ánh đúng đắn thời gian tính lợi tức (tính
theo quý trả trước hay tính theo năm trả sau v.v...). Nngược lại, với đầu vào số liệu
để tính toán – tiền thuê, chi tiêu và suất sinh lợi – là những vấn đề ước tính ít chính
xác hơn. Sự không chính xác trong các ước tính có khuynh hướng đi đến kết quả
hoài nghi người thực hiện liên quan đến việc chắc lọc số liệu và tính toán. Tại sao
cần sự chính xác trong việc tinh toán tiền thuê phải trả? Tự bản thân tiền thuê

vàhay suất sinh lợi là mục tiêu ước tính?
Lập luận đưa ra ở đây nhằm giúp thẩm định viên phải hiểunắm bắt các điểm
chính của sốtoán học trước khi đưa ra quyết định vấn đề có quan trọng hay không
quan trọng trong các tình huống thẩm định.
Thường sẽ có những điểm không chắc chắn như các thông tin so sánh, điều
kiện hiện tại và điều kiện tương lai của thị trường, các số liệu đầu vào đặc biệt của
tài sản thẩm định. Những nhập liệu không chắc chắn này sẽ dẫn đến kết quả thẩm
3
định giá không chắc chắn. Với lý do này, RICs hiện đang tìm cách đo lường thế
nào là không chắc chắn. Nó sẽ cung cấp một số nhận định về “Sự không chắc chắn
trong thẩm định giá” trong sách đỏ “Tiêu chuẩn thẩm định giá của RICs” ở mục
GN5.
2. Giá trị hiện tại
2.1Khái niệm
Đầu tư vào đất đai thường thu được lợi tức trong tương lai, thu nhập này liệu
có bao gồm lợi tức tương lai, vốn tương lai, hay cả hai. Ví dụ: đất thường có thu
4
nhập từ tiền thuê trong một số năm, tiếp đó là cơ hội bán hay phát triển vàđể thu
được vốn. Giá trị hiện tại là giá trị hôm nay của những thu nhập trong tương lai.
Điểm cơ bản để tính toán giá trị hiện tại nhận được trong tương lai là ít hơn
hiện tại. Đồng tiền nhận được trong tương lai chắc chắn ít hơn đồng tiền hiện tại.
Điều này giúp hiểu về giá trị hiện tại và giá trị tương laibản chất của tiền tệ, đặc
biệt là trong tính toán tài chính. Mối liên quan giữa giá trị hiện tại và giá trị tương
lai tuỳ thuộc vào lãi suất kép.
• Nếu tôi có $100 bây giờ, thì giá trị hiện tại của nó là $100
• Số tiền đó trong một năm sẽ có giá trị cao hơn nếu được gởi vào ngân
hàng để lấy lãi.
• Sau 1 năm, $100 với lãi suất 10% sẽ thành $110.
• Sau hai năm, sẽ tăng trưởng thành $110 x 110 = $121
Quá trình nay được tính theo lãi kép, có thễ diễn tả bằng công thức toán cho $1.

Giá trị tương lai của $1 = (1+i)
n
Trong đó: i: lãi suất được tính bằng số thập phân
n: số năm hay kỳ tính lãi
Giá trị tương lai của $1 trong 5 năm với lãi suất 8% bằng:
(1+0,08)
5
= $ 1.46933
Công thức (1+i)
n
được tính trong bảng tính Parry, Bowcock hay Rose là
“Amount of $1”. Đóây là công thức tính lãi kép cho $1, và cũng là công thức cơ
bản cho các phép toán khác thường sử dụng trong thẩm định giá.

2.2Giá trị hiện tại và bất động sản
5
Vấn đề thường gặp của thẩm định viên là khi biết giá trị tương lai và muốn chuyển
thành giá trị hiện tại.
2.3Nhận xét
6
VÍ DỤ 1
Khách hàng muốn biết ông ta sẽ phải trả bao nhiêu cho mảnh đất có giá trên thị
trường mở là $100,000, nhưng chưa được phép xây dựng trong vòng 3 năm.
1. Gía trị tương lai không đổi: giả sử rằng giá đất là không đổi, ông ta sẽ
không trả $100.000. Nếu ông ta trả $100.000 và chọn một trong hai cách: vay
tiền hoặc rút tiền từ tài khoản để trả, mảnh đất sẽ có giá $100.000 cộng với 3
năm lãi suất. Vì thế, giá thanh toán sẽ được chiết khấu để phản ánh lãi suất .
Nếu gọi giá phải trả là P, thì
P x (1+i)
n

= Giá trị tương lai;
(nghĩa là P ít hơn giá trị tương lai)
Chúng ta thấy rằng:
Giá trị hiện tại (PV) x (1+i)
n
= Giá trị tương lai (FV)
Do đó, trong ví dụ trên, khi FV = $100.000 thì:
PV = 100.000 x
( )
n
i
+
1
1
Giả sử lãi suất hiện nay khách hàng yêu cầu là 10%, thì:
PV = 100.000 x
( )
5
1
1
i
+
PV = $ 75.131
2. Giá trị tương lai thay đổi: một câu hỏi đặt ra liên quan đến ví dụ trên
là ảnh hưởng của sự tăng giá hay lạm phát. Khi giá đất có xu hướng tăng sẽ
làm mất hiệu lực của chiết khấu. Giả sử giá đất tăng 8% mỗi năm, cách tính
như sau:
Giá đất hiện nay $ 100.000
Giá trị trong 3 năm tới @ 8% x (1+0,08)
3

Giá trị tương lai $ 125,971
Giá trị hiện tại (10% chiết khấu) x (1+0,10)
-3
Dù đây là khoản thu nhập trên cơ sở giá mua tuỳ thuộc thị trường, và dù người
mua chuẩn bị rủi ro trên cơ sở mong đợi gia tăng. Giá trị có thể tTăng và cũng có
thể không, người mua phải có tư vấn về việc này. Bất cứ người mua nào trả
$95.000 phải thấy rằng giá trị đảm bảo cho một khoản vay sẽ gần với $75.000. Do
vậy công thức toán bây giờ là:
Giá trị hiện tại của $1 =
( )
n
i
+
1
1

hay Giá trị hiện tại của $1 bằng với số nghịch đảo cùa “Amount of $1”:
A
1
2.4Thời gian và lãi suất
Công thức giá trị hiện tại gồm 2 biến số: lãi suất và thời gian. Xu hướng của
giá trị hiện tại là giảm dần với hệ số được trình bày ở bảng dướinhư sau:
Giá trị hiện tại của $100
@ 5% ($) @ 15% ($)
Sau 5 năm
Sau 10 năm
Sau 20 năm
Sau 50 năm
78,35

61,39
37,69
8,72
49,72
24,72
6,11
0,09
Bảng trên mô tả giá trị của đồng tiền nhận được sau 50 năm là rất thấp, dù rằng
ở mức chiết khấu là 5%. Ở mức 15%, lợi tức thu được hầu như không còn ý nghĩa
của giá trị hiện tại (gần bằng không). Ngược lại, nếu bạn đầu tư 0,09 đồng ngày
hôm nay với mức lãi suất 15% thì sau 50 năm bạn sẽ có số tiền là $100. Thật là dài
để có số tiền đó do giá trị hiện tại quá thấp.
2.5Thu nhập và hoàn vốn
7
Hữu ích cho phần này là nắm được các vấn đề liên quan đến khái niệm giá trị
hiện tại., nghĩa là nNhà đầu tư khi tính giá trị hiện tại có thể mong muốn nhận:
 một khoản thu nhập hay lợi tức trên phí tổnvốn bỏ ra
 hoàn trả phần vốn của phí tổn.
Trong ví dụ trên, người mua trả $75.000 sẽ có được thu nhập là $100.000:
 hoàn lạitrả vốn $75.000
 khoản thặng dư hay phụ trội $25.000,
Khoản phụ trội được tính bằng lãi suất kép 10% trong 3 năm.
Khoản tiền $75.000 đôi khi còn được xem là khoản vốn còn tồn, tức là khoản
tiền bỏ ra nhưng chưa thu hồi.

3. Giá trị hiện tại của tiền thuê tương lai
Có thể thấy khái niệm giá trị hiện tại liên quan đến tổng số các khoản thu nhập
đơn giản trong tương lai. Chúng ta xem một chuỗi tiền phải trả trong tương lai,
như tiền thuê chẳng hạn. Ví dụ, tính giá trị của một khu đất có tiền thuê thuần
$1.000 hàng năm, và có giá trị $100.000? Vận dụng khái niệm giá trị hiện tại, giả

sử tiền thuê được nhận vào cuối năm, ta có bảng giá trị hiện tại sau:
Lợi tức ($) PV @ 10% Giá trị ($)
Năm 1
Năm 2
Năm 3
Cuối năm 3: Bán
Tổng giá trị hiện tại
1.000
1.000
1.000
+100.000
0,909
0,826
0,751
0.751
2,486
909
926
751
75.100
77.856
Từ đó có thể áp dụng PV để tính PV cho lợi tức mỗi năm (ví dụ: có thể tính
cho 20 năm hoặc hơn) và công thức có thể đơn giản hoárút gọn lại. Giá trị của một
chuỗi tiền phải trả trong 3 năm là tổng của 3 hệ số PV tính trên $1000. Cách tính
chuyển đỏi là:
8
Lợi tức năm 1 đến năm $ 1.000
Tổng giá trị hiện tại @10% 2,486
Giá trị 2,486 $ 2.486
Cộng thêm

Giá bán vào cuối năm 3 $ 100.000
Giá trị hiện tại @ 10% 0,751 $ 75.100
$ 77.586
Giá trị hiện tại cho $1 hàng năm được đơn giản bằng tổng một chuỗi:
PV của $1 hàng năm =
( ) ( ) ( )
321
1
1
1
1
1
1
iii +
+
+
+
=
Bằng với:
( )
i
i









+
−
3
1
1
1
HìnhÌNH 1: Suất sinh lợi, lãi suất đơn, 5 năm @10%

9
Đơn giản hơn:
i
V
−
1
* Trong đó V = PV của kỳ cuối cùng
* YP được gọi là suất sinh lợi hàng năm
10
VÍ DỤ 2
Tính giá trị của khoản lợi tức $100 nhận được trong 10 năm với lãi suất 10%
Lợi tức $ 100
PV $1 pa, 10 years at 10% =
1,0
1,1
1
1
10
−
= 6,145
Giá trị hiện tại của $100 trong 10 năm @10% $ 614,50
Hệ số PV có thể tìm thấy trong Bảng tính, giá trị,hoặc sử dụng máy tính tài

chính
VÍ DỤ 3
Tính giá trị của một khoản lợi tức $100 trong 5 năm mà người mua sẽ nhận
một khoản trả lãi (return on), một khoản trảhoàn vốn (return of) trên vốn,. Ggiả sử
lãi suất 10%.
Giá trị
Lợi tức $ 100
PV của $1 hàng năm, 5 năm @ 10% 3,79
Giá trị $ 379
* Chú ý rằng người mua trả $379 bây giờ và nhận 5 khoản thanh toán $100 trong 5
năm, do đó ông ta thu lại được khoản tiền vốn và khoản phụ trộilãi tương đương
10% lãi suất.
Thuyết minh
Vốn còn lại Lãi suất
10%*
Lợi tức Trả vốn**
Năm 1
Năm 2
Năm 3
Năm 4
Năm 5
Năm 6
$ 379
$ 316,90 (ie $379 – $62,19)
$ 248,59
$ 173,45
$ 90,80
Không (lệch do làm tròn số)
37,9
31,69

24,86
17,35
9,08
100
100
100
100
100
62,19
68,31
75,14
82,66
90,92
* Lãi tính 10% trên vốn còn lại.
** Lợi tức là $100, ttính rừ lãi , và trừ ra còn phần trả vốn.
*** Lệch do làm tròn số
Điểm quan trọng của ví dụ này cho thấy cách tính giá trị hiện tại được gắn với
lợi tức tạo ra trong một thời kỳ nhất định., cũng Cũng như có thể tính lợi tức sở
hữu từ cho thuê;, nhà đầu tư nhận được một khoản hoàn vốn dựa trên vốn còn lại;,
và khoản tiền nhận được từ việc trả vốn có thể được áp dụng để chọn lãi suất.
Phương pháp này phù hợp với những trường hợp như vậytrên. Tuy nhiên, liên
quan đến việc tính thuế và tái đầu tư, sẽ được xem xét ở phần sau với lợi tức cho
thuê.
11
4. Giá trị hiện tại của $1 hàng năm và suất sinh lợi (YP)
Hệ số giá trị hiện tại của $1 hàng năm thường được thẩm định viên gọi là suất
sinh lợi (Years’ Purchase) với lãi suất đơn. Lãi suất đơn có nghĩa là lãi suất được
áp dụng cho cả hai: trả lãi và trả vốn. Suất sinh lợi với lãi suất đôi được đề cập ở
trang 15.
Bảng dưới đây so sánh suất sinh lợi với lãi suất đơn qua các kỳ khác nhau và

cho thấy lợi tức trong dài hạn là gần với lợi tức vĩnh viễn

Suất sinh lợi ở 6% (Bảng tính Parry)
5 năm 4,2124
10 năm 7,3601
50 năm 15,7619
100 năm 16,6175
Vĩnh viễn (Perpetuity)
06,0
11
=
i
16,6667
Trở lại với công thức trên:
PV of $1 pa. =
i
PV
−
1
Cần chú ý là PV có khuynh hướng tiến đến zero (0) trong thời gian dài và suất
sinh lợi (YP) trở thành suất sinh lợi vĩnh viễn (YP in perp.)
YP in perp =

i
1
5. Hoãn lại và hoàn trả lợi tức
12
Hầu hết các tình huống thông thường sử dụng giá trị hiện tại để tính giá trị tài
sản là thu nhập từ tiền thuê ít hơn tiền thuê trên thị trường, Chênh lệch tiền thuê
này xảy ra do kỳ hạn và lợi tức hoàn trả.

• Kỳ hạn của hợp đồng thuê tạo ra các khoản lợi tức khác nhau cho đến
kết thúc hay ký lại hợp đồng, do đó, các khoản lợi tức của kỳ hạn nào đó cần được
hoàn lại về thời điểm tính toán.
• Lợi tức hoàn trả theo tiền thuê thị trường có thể xem như là một lợi tức
hoãn lại do sự chênh lệch giữa giá trị tiền thuê theo hợp đồng và tiền thuê theo thị
trường, đó là mức lợi tức khởi đầu cho tương lai. Giá trị hiện tại được áp dụng cho
một dòng lợi tức được trình bày trong ví dụ kế tiếpsau.
13
1.
Dòng tiền vào PV @ 8% Giá trị hiện tại
Cuối năm 1
Cuối năm 2
Cuối năm 3
Cuối năm 4
Cuối năm 5
Cuối năm 6
Cuối năm 7
Cuối năm 8
Cuối năm 9
Tổng giá trị hiện tại
6.000
6.000
6.000
9.000
9.000
9.000
9.000
9.000
12.000 * YP =12.5
0,909

0,857
0,794
0.735
0,681
0,630
0,583
0,540
0,540
$ 124.881
14
VÍ DỤ 4
Một tài sản được cho thuê với giá $6.000 hàng năm cho 3 năm tới, vàsau đó tăng
lên $9.000 cho đến khi kết thúc hợp đồng (sau 8 năm kể từ bây giờ). Hiện tại tTiền
thuê trên thị trường của tài sản có giá là $12.000 hàng năm. Tất cả đều là tiền thuê
thuần. Giả sứ lãi suất thích hợp là 8%,. Ưước tính giá trị hiện tại.
Hoàn lại lợi tức do kỳ hạn
Năm 1 đến năm 3 $ 6.000
PV of $1 pa. 3 years @ 8% (YP) 2,5771 $ 15.463
Năm 4 đến năm 8 $ 9.000
PV of $1 pa. 5 years @ 8% (YP) 3.9927
Hoàn lại 3 năm: x PV 3 years @8% 0,7938 $ 28.525
Hoàn trả lợi tức do tiền thuê thị trường
Tiền cho thuê trên thị trường mở $ 12.000
PV vĩnh viễn cho 8% 12,5
PV 8 năm @ 8% x 0,5403= * 6,75375 $ 81.045
Tổng giá trị hiện tại $ 125.033
* Lấy trong bảng tính “ YP hoàn trả của thu nhập vĩnh viễn)
Ghi chú:
1. Tiền thuê ban đầu được tính cho các năm trong kỳ hạn
2. Giá trị của tiền thuê tăng lên là lợi tức cho những năm trong kỳ hạn, và bắt đầu

cho những năm tiếp theo. Do đó,với lợi tức $9000 sẽ được tính YP 5 năm @
8% và sau đó hoàn lại cho 3 năm đầu. Điều này là tính giá trị hiện tại cho lợi
tức tương lai.
3. Hoàn lại cho lợi tức vĩnh viễn: sau 8 năm cho thuê, tài sản sẽ có lợi tức vĩnh
viễn là $12.000 x YP in perp. 8%. Do vậy 8 năm cho thuê phải được chiết khấu
với PV của $1.
4. Bảng tính sau sẽ cho ra một giá trị tương tự

6. Công thức kép
Tính theo lãi suất kép đôi khi cần thiết để tính giá trị tương lai của một tổng số
giản đơn hay cho một chuỗi lợi tức.
Tổng giản đơn đã được trình bày là: Amount of $1 in years (A) = (1+i)
n
Giá trị tương lai của một dãy các khoản thanh toán là tổng của:
(1+i)
1
+ (1+i)
2
+ (1+i)
3
Và tiếp tục cho nhiều khoản thanh toán khác. Tổng của dãy số trên được đơn
giản thành công thức sau:
Giá trị tương lai của $1 phải trả cuối kỳ hàng năm :
Amt p.a. @i% =
( )
i
i
n
11
−+

Hay
i
A 1
−
Do đó, để tìm kết quả của khoản đầu tư $100 hàng năm trong 10 năm với lãi
suất 8% tính kép hàng năm là:
Khoản thanh toán $ 100
x
i
A 1
−
=
=
−+
08,0
1)08,01(
10
14,486
Giá trị tương lai $ 1.448,60
Công thức
i
A 1
−
được trình bày trong bảng “Amount of $1 p.a. (Amt. pa) cho
tổng số khoản trả hàng năm công với lãi suất kép.
Giả sử có khoản tiết kiệm hàng năm để có một khoản tiền $5.000 trong 10 năm
tới thì hàng năm phải gởi tiết kiệm là bao nhiêu với lãi suất là 8%
Từ công thức trên, có thể suy ra rằng:
15
Khoản góp hàng năm x Ạmt $1 pa., 10 năm @8% = $5.000

Nghĩa là: P x 14, 486 (đã tính ở trên) = $5.000
 P = $ 5.000 / 14,486 = $ 345,16 hàng năm
Công thức của khoản góp hàng năm là:

1
−
A
i
Thường được gọi là quỹ góp tích luỹ hàng năm (Annual Sinking Fund) nghiã
là khoản góp để có được $1 trong một số năm với lãi suất i.
Chủ nhà có thể cần có những chi phí hay ngân sách hàng năm để sửa chữa như
sơn lại nhà sau 3 năm, sửa lại nền sau 20 năm. Cách tính này thường ước tính chi
phí trong tương lai và từ đó tạo ra khoản góp tích luỹ lại hàng năm như một quỹ
chìm. Ví dụ:
Chi phí cần có trong 10 năm tới $ 10.000
Asf @ 6% =
1)06,01(
06,0
1
10
−+
=
−
A
i
= 0.07587
Khoản góp hàng năm $ 758,70
7. Suất sinh lợi, lãi suất đôi
Suất sinh lợi với lãi suất đôi là một số nhân hầu như được dùng phổ biến trong
thẩm định giá trị lợi tức cuối kỳ của hợp đồng thuê. Những khoản lãi tạo ra một

lợi tức sẽ được dừng hoàn toàn sau một số năm, ví dụ như người thuê với hợp
đồng thuê còn lại 5 năm với giá $5.000 hàng năm và tiền thuê hiện tại theo thị
trường là $7.500. Có một khoản chênh lệch lợi tức $2.500 cho 5 năm còn lại.
Tỷ suất đôi giả định người cho thuê có khoản lãi đó và yêu cầu:
- hoàn lại mức giá với một lãi suất không đổi.
- tính lại thu nhập cho thuê theo lãi suất khác nhau như lãi suất tích luỹ để thay
thế chi phí vốn
16
Với lãi suất đơn, khoản phải trả được tính theo cùng một lãi suất . Trong ví dụ
3, khoản lợi tức $100 trong 5 năm với lãi suất 10% được tính là $379. Mức giá này
được phân tích như sau:
Chi phí phải trả $ 379
Khoản góp 5 năm @ 10% (Asf) 0,1638
Khoản chi phí thay thế hàng năm $ 62,10
Bây giờ lợi tức của $100 có thể chia thành:
1. Hoàn vốn $62,10 (Asf)
2. Tiền lãi $ 100 - $ 62,10 = $ 37,9 hay 10% của chi phí
Nhà đầu tư sẽ:
- lợi tức có thể sử dụng $37,90
- tiết kiêm để thay thế tài sản $ 62,10 p.a.
Kiểm tra
Tiết kiệm (khoản góp tích luỹ) $ 62,10
x Giá trị tương lai của $1 hàng năm 10 năm @10% 6,1051
Toàn bộ vốn $ 379,00
Quỹ góp tích lũy sẽ cung cấp cho người mua một khoản đầu tư với lãi suất 10%
với số tiền là $379 là đúng với khoản phải trả.
Tuy nhiên, gia sử bây giờ nhà đầu tư muốn có một quỹ tích luỹ để thay thế cho
phần vốn sử dụng vào việc sửa chữa tài sản hư hỏng, và thấy rằng một khoản đầu
tư an toàn với lãi suất chỉ 5%. Thay vì thu hồi toàn bộ $379 sau 5 năm, ông ta sẽ
nhận một khoản tiền là:

Khoản tiền tiết kiệm (như trên) $ 62,10
x Giá trị tương lai của $1 hàng năm 5 năm @5% 5,5256
$ 343,14
Giá trị đầu tư không tới $379 vì có lãi suất tích luỹ 5% sẽ thấp hơn lãi suất có lợi
10%. Đó là số nhân tỷ suất đôi.
17
Công thức suất sinh lợi (YP) với lãi suất đôi bao hàm cả sự biến đổi của suất sinh
lợi vĩnh viễn (YP in perp.) để kết hợp với khoản góp hàng năm
YP in perp =
i
1

YP dual rate for a term of years =
Si
+
1
trong đó: i : lãi suất bù đắp
S: khoản góp hàng năm với lãi suất S:
( )
11
−+
n
S
S
Do đó, để tính YP 5 năm @ 10% &4%:
YP 5 năm @ 10% &4% =
559,3
18097,010,0
1
105,1

05,0
1,0
1
5
=
+
=






−
+
Hệ số này cho giá trị của $100 sau 5 năm là $356 khác với $379 tính theo tỷ
suất đơn. Kiểm tra lại tiền lãi 10% ($35,60) cân đối với giá trị tích luỹ %64,40 ở
mức lãi suất 5%.
Điều chỉnh ảnh hưởng của thuế trên khoản tiền tiết kiệm cho quỹ tích luỹ cũng
được tính gộp với S.
HÌNH 2: Suất sinh lợi, tỷ suất đôi, 5 năm @ 10%
18
Giá của 5 năm thuê
P = 356
Lợi tức của $100 hàng năm