Bài giảng Cơ học ứng dụng: Chương VII - ThS. Nguyễn Thanh Nhã

Chương VII: Tính biến dạng thanh
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM
Chương VII
Tính biến dạng thanh
Chương VII: Tính biến dạng thanh
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM
7.1. Khái niệm
Đối với vật thể dạng thanh, biến dạng gồm 3 loại:
- Biến dạng dài: do thành phần nội lực dọc trục N
z
gây ra.
- Biến dạng xoắn: còn gọi là góc xoắn, do M
z
gây ra.
- Độ võng, góc xoay: do các thành phần moment uốn gây ra.
7.1.1. Khái niệm
Biến dạng dài
x
y
z
a
a’
Góc xoay quanh trục x
Độ võng y
Chương VII: Tính biến dạng thanh
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM
7.1. Khái niệm
7.1.2. Các phương pháp tính
- Phương pháp tích phân phương trình vi phân: Dựa vào các
phương trình vi phân biểu diễn mối quan hệ giữa biến dạng với ứng
suất , đặc trưng hình học tiết diện và tính chất cơ học của vật liệu

thanh.
- Phương pháp năng lượng: Dựa vào quan hệ năng lượng giữa công
của ngoại lực và năng lượng tích lũy trong thanh khi thanh biến dạng.
Nhận xét: Phương pháp năng l
ượng dễ sử dụng hơn nhiều khi
dùng cho các bài toán phức tạp khác nhau, vì vậy phương pháp
này được cho là phương pháp vạn năng, được sử dụng phổ biến
hơn.
Chương VII: Tính biến dạng thanh
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM
7.2. Phương pháp tích phân phương trình vi phân
7.2.1. Phương pháp tích phân trực tiếp
7.2.1.1. Các phương trình cơ bản
Để tính biến dạng dài, biến dạng xoắn, góc xoay ta sử dụng các phương
trình vi phân sau:
(7.1)
Chương VII: Tính biến dạng thanh
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM
7.2. Phương pháp tích phân phương trình vi phân
7.2.1. Phương pháp tích phân trực tiếp
7.2.1.2. Thanh chịu kéo nén đúng tâm
Trên mặt cắt ngang thanh chịu kéo nén đúng tâm chỉ có thành phần lực dọc
N
z
, nên trong trường hợp này thanh chỉ có biến dạng dài:
a. Nếu
(7.2)
(7.3)
Chương VII: Tính biến dạng thanh
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM

7.2. Phương pháp tích phân phương trình vi phân
7.2.1. Phương pháp tích phân trực tiếp
b. Nếu , ta chia thanh thành n
đoạn sao cho trên mỗi đoạn 3 đại lượng này đều là hằng số.
(7.4)
7.2.1.2. Thanh chịu kéo nén đúng tâm
Ví dụ:
Cho E = 2.10
5
N/mm
2

A
AB
= 20mm
2
; A
BC
=
30mm
2
; A
CD
= 40mm
2

Tính biến dạng dài
tuyệt đối của thanh.

A
B
C D
Chương VII: Tính biến dạng thanh
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM
7.2. Phương pháp tích phân phương trình vi phân
7.2.1. Phương pháp tích phân trực tiếp
7.2.1.3. Thanh chịu xoắn
Khi thanh chịu xoắn hay uốn và xoắn đồng thời, trên mặt cắt ngang có
thành phần nội lực M
z
. Thành phần này gây ra biến dạng góc gọi là
góc xoắn tương đối giữa hai cắt ngang của thanh.
(7.5)
a. Nếu M
z
,G, J
z
là hằng số: (7.6)
b. Nếu M
z
,G, J
z
không là hằng số, chia thanh ra thành n đoạn sao
cho trên mỗi đoạn 3 đại lượng này đều là hằng số
(7.7)
Chương VII: Tính biến dạng thanh
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM
7.2. Phương pháp tích phân phương trình vi phân
7.2.1. Phương pháp tích phân trực tiếp

7.2.1.3. Thanh chịu uốn phẳng
- Uốn phẳng: hiện tượng sau khi chịu uốn trục thanh vẫn nằm trong
mặt phẳng tải trọng.
- Đường đàn hồi: trục thanh sau khi biến dạng.
K
K’
P
Đường đàn hồi
z
y
Phương trình của đường đàn hồi y =f(z).
K
K’
v
u
Chương VII: Tính biến dạng thanh
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM
7.2. Phương pháp tích phân phương trình vi phân
7.2.1. Phương pháp tích phân trực tiếp
7.2.1.3. Thanh chịu uốn phẳng
Khi thanh chịu uốn phẳng, trên mặt cắt ngang có thành phần nội lực M
x

Thành phần này gây ra các biến dạng: độ võng và góc xoay.
a. Góc xoay
Sử dụng cộng thức (7.1), ta có:
Tích phân bất định
Hằng số tích phân
(7.8)
Chương VII: Tính biến dạng thanh

Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM
7.2. Phương pháp tích phân phương trình vi phân
7.2.1. Phương pháp tích phân trực tiếp
7.2.1.3. Thanh chịu uốn phẳng
- Để tính độ võng của thanh, ta phân KK’ thành hai thành phần u, v như
hình vẽ. Bài toán được xét trong điều kiện chuyển vị bé nên có thể xem
u << v và có thể bỏ qua thành phần u. Thành phần v được gọi là độ
võng của dầm tại vị trí đang xét.
- Phương trình độ võng của thanh:
(7.9)
b. Độ võng
K
K’
P
z
y
K
K’
v
u
Tiếp tuyến với đường đàn hồi tại K’
Chương VII: Tính biến dạng thanh
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM
7.2. Phương pháp tích phân phương trình vi phân
7.2.1. Phương pháp tích phân trực tiếp
- Mối quan hệ giữa độ võng và góc xoay:
7.2.1.3. Thanh chịu uốn phẳng
(7.10)
- Kết hợp (7.8) và (7.10):
(7.11)

- Phương trình vi phân đường đàn hồi:
(7.12)
Chương VII: Tính biến dạng thanh
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM
7.2. Phương pháp tích phân phương trình vi phân
7.2.2. Phương pháp hàm đặc biệt
Đọc thêm trong sách lý thuyết.
Chương VII: Tính biến dạng thanh
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM
7.3. Phương pháp năng lượng
7.3.1. Nguyên lý lực ảo
- Lực ảo: Hệ lực cân bằng tác dụng lên vật mà không gây ra sự dịch
chuyển của các điểm thuộc vật.
Lực ảo
Ứng
suất ảo
Biến
dạng ảo
Công ảo
ngoại lực
- Công biến dạng ảo trên toàn bộ thể tích.
- Nguyên lý lực ảo: Công ảo ngoại lực thì bằng công biến dạng ảo.
(7.13)
(7.14)
(7.15)
Chương VII: Tính biến dạng thanh
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM
7.3. Phương pháp năng lượng
7.3.2. Biểu thức công biến dạng ảo
a. Công biến dạng ảo gây bởi N

z

b. Công biến dạng ảo gây bởi M
x

(7.16)
(7.17)
Chương VII: Tính biến dạng thanh
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM
7.3. Phương pháp năng lượng
7.3.3. Phương pháp giải
Áp dụng phương pháp năng lượng tính độ võng, góc xoay trong bài
toán uốn phẳng.
- Thực nghiệm cho thấy, công biến dạng ảo do lực cắt gây ra nhỏ hơn
nhiều so với phần do moment uốn gây ra. Vì thế, công biến dạng ảo của
thanh sẽ được xác định theo biểu thức (7.17).
- Nguyên tắc:
+ Khi tính độ võng, ta sử dụng hệ lực ảo là lực tập trung có giá
trị 1 đơn vị
đặt tại vị trí cần tính độ võng.
+ Khi tính góc xoay, ta sử dụng hệ lực ảo là moment tập trung
có giá trị 1 đơn vị đặt tại vị trí cần tính góc xoay.
Chương VII: Tính biến dạng thanh
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM
7.3. Phương pháp năng lượng
7.3.3. Phương pháp giải
a. Độ võng
- Công ngoại lực ảo
- Công biến dạng ảo:
- Theo nguyên lý lực ảo:

(7.18)
(7.19)
(7.20)
Chương VII: Tính biến dạng thanh
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM
7.3. Phương pháp năng lượng
7.3.3. Phương pháp giải
b. Góc xoay
- Công ngoại lực ảo
- Công biến dạng ảo:
- Theo nguyên lý lực ảo:
(7.21)
(7.22)
(7.23)
Chương VII: Tính biến dạng thanh
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM
7.3. Phương pháp năng lượng
7.3.3. Phương pháp giải
Công thức Mohr để tính độ võng, góc xoay
Moment do lực ảo gây ra
Moment do lực thật gây ra
Chương VII: Tính biến dạng thanh
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM
7.3. Phương pháp năng lượng
7.3.3. Phương pháp giải
- Các tích phân trong các biểu thức (7.20) và (7.23) đươc gọi là tích
phân chập. Để giải các tích phân này, ta sử dụng phương pháp nhân
biểu đồ.
- Xét tích phân chập:
+ Giả sử hàm là hàm tuyến tính:

(7.24)
(7.25)
(7.26)
Chương VII: Tính biến dạng thanh
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM
7.3. Phương pháp năng lượng
7.3.3. Phương pháp giải
- Xét tích phân chập:
Tọa độ trọng tâm của
hình phẳng tạo bởi f
2
và
trục hoành
Chương VII: Tính biến dạng thanh
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM
7.3. Phương pháp năng lượng
Các bước giải trong phương pháp nhân biểu đồ:
+ Vẽ biểu đồ M
xP
do các tải gây ra.
+ Đặt các lực ảo đơn vị P
k
, moment ảo đơn vị M
k
tại vị trí cần tính độ
võng góc xoay.
+ Vẽ biểu đồ M
xK
do các lực ảo gây ra.
+ Áp dụng phương pháp nhân biểu đồ giải các tích phân (7.20), (7.21).

7.3.3. Phương pháp giải
Điều kiện để sử dụng phương pháp nhân biểu đồ:
+ EJ
x
= const
+ Một trong hai hàm trong công thức Mohr phải là hàm bậc nhất.
Chương VII: Tính biến dạng thanh
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM
7.3. Phương pháp năng lượng
Một số công thức tính gần đúng diện tích hình phẳng đặc biệt
7.3.3. Phương pháp giải
Chương VII: Tính biến dạng thanh
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM
7.3. Phương pháp năng lượng
Ví dụ: Tính
chuyển vị,
góc xoay
lớn nhất
7.3.3. Phương pháp giải
Chương VII: Tính biến dạng thanh
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM
7.3. Phương pháp năng lượng
Độ võng lớn nhất tại C
Góc xoay lớn nhất tại A
Chương VII: Tính biến dạng thanh
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật – Đại học Bách Khoa Tp.HCM
7.4. Giải bài toán siêu tĩnh bằng phương pháp lực
7.4.1. Khái niệm
- Bậc tự do của cơ hệ
+ Dof = 0: hệ tĩnh định

+ Dof < 0: hệ siêu tĩnh
- Bậc của hệ siêu tĩnh: Số phản lực thật sự sinh ra - số phương trình
cân bằng tĩnh học thật sự để giải
6 ràng buộc
Hệ siêu tĩnh bậc
6 phản lực