Ôn thi đại học mũ và logarit

VẤN ĐỀ 1. LUỸ THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Với các số thực dương
, 0,
a b

,
m n
là hai số thực bất kì, ta có các tính chất cơ bản
sau:

m n m n
a a a


m
m n
n
a
a
a



( )
m m m
a b ab

m
m
m

a a
b b
 

 
 

( ) ( )
m n n m mn
a a a
 
*
( , )
m
mn
n
a a m n N
 

II. CÁC VÍ DỤ MẪU
Dạng 1: Rút gọn và tính giá trị biểu thức
Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức:
0,75
2
0,5
3
1
27 25
16
C


 
  
 
 
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức:
2
1 1
1 1 1 1
2 2 2 2
4 9 4 3
2 3
a a a a
C
a a a a
 
 
 
  
 
 
 
 
 
Dạng 2: So sánh hai số thực
Ví dụ 3: So sánh hai số
3
3 30

và

3
63

Dạng 3: Chứng minh đẳng thức lũy thừa
Ví dụ 4: Chứng minh đẳng thức sau:
 
3
2 3 4 2 2 3 2 4 3 2 3 2
a a b b a b a b    
III. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
1. Không dùng máy tính, hãy thực hiện các phép tính sau
a)
1 3
3 5
0,75
1 1
81
125 32
A
 

   
  
   
   
b)
1 2 1
1
2 0 2
3 3 3

0,001 ( 2) .64 8 (9 )
B
 

    
c)
0,75
2
0,5
3
1
27 25
16
C

 
  
 
 
2. Rút gọn biểu thức
a)
2 1
2
1
. , 0
A a a
a

 
 

 
 
b)
2
3 ( 3 1)
: , 0.
B b b b
 
 
c)
4
( 5)
C a  d)
4 2
81 , 0.
D a b b
 
e)
(4 ) , 4.
4
x
E x x
x
  


3. Rút gọn các biểu thức sau:
c)
2
1 1

1 1 1 1
2 2 2 2
4 9 4 3
2 3
a a a a
C
a a a a
 
 
 
  
 
 
 
 
 
d)
 
0;
n n n n
n n n n
a b a b
D ab a b
a b a b
   
   
 
    
 
4. Trục căn ở mẫu số của các biểu thức sau:

a)
6 3
1
, ( 0, 0)
a b
a b
 
b)
1
3 2

c)
5
4 11

d)
3
3
1
5 2

5. Tìm các số thực

sao cho
a)
1
( ) 1 ( 0).
2
a a a
 


  
b)
3 27


6. So sánh các số
a)
2
và
3
3
b*)
3
3 30
 và
3
63
c*)
3
15 7
 và
3
10 28

7. Viết dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỉ các biểu thức sau:
a)
5
3
2 2 2

b)
11
16
: , 0
a a a a a a

c)
2
4
3
, 0
x x x

d)
5
3
( 0)
b a
ab
a b

8. * Chứng minh rằng
a)
3 3
7 5 2 7 5 2 2
   
b)
 
3
2 3 4 2 2 3 2 4 3 2 3 2

a a b b a b a b    
ĐÁP SỐ VẤN ĐỀ 1. LUỸ THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC
1a)
80
27
 1b)
29
4
1c) 12
2a) a 2b)
3 4
b

2c) (a – 5)
2
2d)
2
9a b

2e)
x(x 4)
 
3a) 9a 3b)
n n
2n 2n
4a b
b a

4a)
6 3 5

a b
ab
4b)
3 2

4c)
4 11

4d)


33 3
1
25 10 4
3
 
5a) a 1: 0, a 1:
    


5b)


3;3
 
6a) < 6b) > 6c) <
7a)
3
10
2

7b)
1
4
a
7c)
7
12
x
7d)
2
15
b
a
 
 
 

8a)
3
7 5 2 (1 2)
  
VẤN ĐỀ 2. LÔGARIT VÀ CÁC CÔNG THỨC
Dạng 1. Sử dụng định nghĩa để tính lôgarit
 Với
0 1, 0.
a b
  
Ta có:
i)
log 1 0

a

ii)
log 1
a
a

iii)
log
a
b
a b

iv)
log
b
a
a b

Các ví dụ:
Ví dụ 1: Sử dụng định nghĩa logarit, tính:
a).
1
27
1
log
81
b).
2
1

log
8
1
2
 
 
 
Ví dụ 2: Tìm giá trị của x biết
log 8 3.
x


Luyện tập:
1. Sử dụng định nghĩa lôgarit, tính các giá trị sau:
a)
2
log 4
b)
1
4
log 2
c)
5
1
log
25
d)
27
log 9

2. Tìm x biết
a)
0,1
log 2
x
 
b)
81
1
log
2
x

c)
log 7 1
x
 
d)
log 8 3.
x

3. Tính giá trị các biểu thức sau đây:
a)
3
2log 5
3
b)
1
2
log 8

c)
2
1
log
7
4
d)
5
1
log
3
1
25
 
 
 
Dạng 2. Sử dụng các quy tắc để tính lôgarit
 Với
1 2
0 1, 0, 0.
a b b
   
Ta có:
a)
1 2 1 2
log ( ) log log
a a a
bb b b
 
b)

1
1 2
2
log log log .
a a a
b
b b
b
 

 Với
0 1, 0
a b
  
:
, log log
a a
b b

 
 
Từ đó có:
*
1
, log log
n
a a
n b b
n
   ;

1
log log
a a
b
b
 
Các ví dụ:
Ví dụ 3: Tính giá trị các biểu thức sau đây:
a)
6 6
log 9 log 4

b)
1 1 1
2 2 2
1 3
log 2 2log log
3 8
 
Ví dụ 4: Cho
0, 0, 0, 0.
a b c d
   
Tính
2 3
7
4 5
log .
a
b c

d e

Luyện tập:
4. Cho
3 5
1 2
2 , 2 .
b b
 
Tính
2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2
log log ;log log ;log ( )
b b b b bb
  và
1
2
2
log .
b
b
Từ đó suy ra
các đẳng thức bằng nhau giữa chúng.
5. Tính giá trị các biểu thức sau đây:
a)
6 6
log 9 log 4

b)
1 1 1
2 2 2

1 3
log 2 2log log
3 8
 
c)
7 7
log 49 log 343


6. Khẳng định
2
''log ( 1) log ( 1) log ( 1), ( , 1), 0 1''
a a a
x x x x a
          
đúng hay sai? Vì
sao?
7. Tìm x biết rằng:
a)
3
log (1 ) 2.
x
 
b)
3 9
3
log log .
2
x x
 

8. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
1
7
2
log 4
b)
5 5
1
log 3 log 15
2

c)
7
7 7
log 16
log 15 log 30

d)
5 5 5
1
log 3 log 12 log 50
2
 
9. a) Cho
0, 0, 0, 0.
a b c d
   
Tính
2 3

7
4 5
log .
a
b c
d e

b) Cho
0, 0.
b c d e
   
Tính
2
5
3
( )
log .
( )
a
b c
d e


Dạng 3. Sử dụng công thức đổi cơ số để tính lôgarit
 Với
0 1, 0.
a b
  
Khi đó
0 1,

c
  

log log .log .
a a c
b c b

Từ đó có các công thức đổi cơ số
sau:
a)
log
log .
log
a
c
a
b
b
c

b)
1
log , 1.
log
a
b
b b
a
 
c)

1
log log .
a
a
b b



Các ví dụ:
Ví dụ 5: Rút gọn biểu thức:
1 9
3
3
1
A log 7 2log 49 log
7
  
Luyện tập:
10. Áp dụng bài trên, tính giá trị các biểu thức sau:
a)
4
log 15
2
b)
1
27
log 2
3
c)



1 3 2
4
log log 4.log 3
11. Rút gọn biểu thức
a)
1 9
3
3
1
A log 7 2log 49 log
7
  
b)
1 125
5
1
log 27 log 81
2
B 25
 

Dạng 4. So sánh hai lôgarit cùng cơ số
 Với
0 1, 0, 0:
a b c
   
a) Khi
1
a


thì
log log .
a a
b c b c
  

b) Khi
0 1
a
 
thì
log log .
a a
b c b c
  
Các ví dụ:
Ví dụ 6: So sánh các số sau đây
a)
3
log 4
và
4
1
log
3
b)
3
4
2

log
5
và
5
2
3
log
4
Ví dụ 7: Cho
0 1.
a
 
Tìm giá trị bằng số của các biểu thức
a)
log 4
.
a
a b)
log 1
(2 ) .
a
a

Luyện tập:
12. Từ bài trên hãy suy ra rằng:
a) Khi
1
a

thì

log 0 1.
a
b b
  
b) Khi
0 1
a
 
thì
log 0 1.
a
b b
  

c)
log log .
a a
b c b c
  

13. Các lôgarit sau đây dương hay âm?
a)
2
log 5
b)
5
log 2
c)
0,2
log 0,8

d)
1
5
log 7
14. So sánh các số sau đây
a)
3
log 4
và
4
1
log
3
b)
3
0,1
log 2
và
0,2
log 0,34

c)
3
4
2
log
5
và
5
2

3
log
4
d)
6
log 3
2
và
6
1
log
2
3
15. Cho
0 1.
a
 
Tìm giá trị bằng số của các biểu thức
a)
3
log .
a
a
b)
4
1
3
log .
a
a

c)
7
1
log .
a
a

16. Tìm giá trị bằng số của các biểu thức
a)
2
log 3
4
b)
9
log 2
27 c)
3
log 2
9 d)
8
log 27
4
17. Cho
0 1.
a
 
Tìm giá trị bằng số của các biểu thức
a)
log 4
.

a
a
b)
log 1
(2 ) .
a
a
c)
2
4log 5
.
a
a

Dạng 5. Bài tập tổng hợp
 Ta có:
10
log : lg
x x

Các ví dụ:
Ví dụ 8: Giả sử các biểu thức đã cho có nghĩa. Chứng minh:
log log
log ( ) .
1 log
a a
ax
a
b x
bx

x



Luyện tập:
18. Tìm
49
log 32
, nếu
2
log 14 .
a


19. Giả sử các biểu thức đã cho có nghĩa. Chứng minh:
a)
log log
log ( ) .
1 log
a a
ax
a
b x
bx
x



b)
2

1 1 1 ( 1)
.
log log log 2log
k
a a
a a
k k
x x x x

   
20. Cho biết lg3 = 0,477. Hãy tính:
a) lg 9000 b) lg 0,000027 c)
81
1
log 100
ĐÁP SỐ VẤN ĐỀ 2. LÔGARIT
1a) 2 1b)
1
2

1c)
2

1d)
2
3
2a) x = 100 2b) x = 9 2c)
1
x
7


2d) x = 4
3a) 25 3b)
3

3c)
1
49
3d) 9
7a) 2 7b)
1
2
1
2 log
3

7c)
1


9a)
8
 
x
9b)
3

x

11a)

2
7
11b)
1
2

11c)
4

11d)
2
12a)
a a a a
2 3 4 5
log b log c log d log e
7 7 7 7
   12b)
a a
2 3
log (b c) log (d e)
5 5
  
14a)
15
14b)
3
1
2
14c)
1

2

15a)
3
log 343
15b)
3
5 9
81
18a) dương 18b) dương 18c) dương 18d) âm
19) lớn hơn 19b) bé hơn 19c) lớn hơn 19d) lớn hơn
20a)
1
3
20b)
1
12
20c)
7


21a) 9 21b)
2 2
21c) 16 21d) 9
22a) 16 22b) 1 22c) 25
23)
5
2(a 1)

25a) 3,954 25b)

4,569

25c) 0,954
biến khi
1,
a

nghịch biến khi
0 1".
a
 

Các ví dụ:
Ví dụ 1: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến trên
khoảng xác định của nó? Vì sao?
a)
1
3
2


x
y b)
1
3( 3 2)
log


y x
Luyện tập:

1. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến trên khoảng xác
định của nó? Vì sao?
a)
1
3
2


x
y
b)
2
log

e
y x
c)
x
y )
32
3
(

 d)
1
3( 3 2)
log


y x

Dạng 2. Tìm giới hạn của hàm số mũ và lôgarit
Phương pháp: Sử dụng các công thức
x
x
x
)
1
1(lim 

0
ln(1 )
lim 1



x
x
x

0
1
lim 1



x
x
e
x

Các ví dụ:
Ví dụ 2: Tìm giới hạn sau:
2 5
0
lim


x x
x
e e
x
Luyện tập:
2. Tìm các giới hạn sau:
a)
2 3 2
0
lim



x
x
e e
x
b)
2 5
0
lim



x x
x
e e
x
c)
0
ln(1 3 )
lim


x
x
x
d)
2
0
ln(1 )
lim


x
x
x
e)
0
1
lim
sin
x
x

e
x


Dạng 3. Tìm đạo hàm của hàm số mũ và lôgarit
Phương pháp: Sử dụng các công thức


' ln

x x
a a a


' .ln . '

u u
a a a u


'

x x
e e
VẤN ĐỀ 3. HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
Dạng 1. Xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số
Phương pháp: Sử dụng tính chất "Hàm số mũ
y  a
x
và hàm số lôgarit

y  log
a
x
đồng
 
1
log '
ln

a
x
x a
 
1
log ' '
ln

a
u u
u a
 
1
ln '

x
x
Các ví dụ:
Ví dụ 3: Tìm đạo hàm của các hàm số:
a)
2 2

( 1)
 
x
y x e
b)
2
sin
sin 2
2
x
x
e x
e x
x

Luyện tập:
3. Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a)
2 2
( 1)
 
x
y x e
b)
x 2
sin

y e x
c)
2

ln(2 )
 
y x x
d)
2 4
1
 
x
y x e
e)
2



x x
e e
y g)
2 2
1 ln
 
y x x
h)
2
(3 2)ln
 
y x x
i)
1
ln
1



y x
x
k)
2
ln( 1)


x
y
x
4. Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a)


2 2
2 1
x
x x e
  b)
2
sin
sin 2
2
x
x
e x
e x
x

 c)
2
4 1
2
x
x x


d)
2 4 4
4
2 2 2
1
x x
x
x e xe x
e
 

e)
2
x x
e e


g)
2 2
2
ln 2 1
1

x x x
x
x



h)
2
3ln (3 2)ln
x x x
 
i)
2
1
ln
1 ( 1)
x
x x

 
k)
2 2 2
2
2 ( 1)ln( 1)
x x x
x
  
Dạng 4. Tìm đạo hàm của hàm số mũ và lôgarit
Phương pháp: Sử dụng các công thức



1
' .


x x
 

và


1
' . . '
u u u
 



Các ví dụ:
Ví dụ 4: Tính đạo hàm của hàm số sau:
37
ln 5

y x
Luyện tập:
5. Tính đạo hàm của các hàm số sau đây:
a)


2

 
y x a

b)
37
ln 5

y x
c)
3
3
3
1
1



x
y
x
d)
3

y cosx
Dạng 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số mũ và lôgarit
Các ví dụ:
Ví dụ 5: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số sau đây:
x
y )
3

2
(
Luyện tập:
6. Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau đây:
a)


2

x
y b)
x
y )
3
2
( c)
2
log

y x
d)
2
3
log

y x
Bài tập tổng hợp
Các ví dụ:
Ví dụ 6: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)

ln(2 sin )
y x
 
b)
3
1 sin
10
x
y


Luyện tâp:
7. (Ôn học kỳ I – Marie Curie) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
ln(2 sin )
y x
 
b)
2
1
3
log ( 1)
y x x
  
c)
3
(2 3)
x
y x e
 

d)
1
2
x
e
y
x

 e)


2
ln 1
y x x
  
g)
2
3 4
2
x x
y


h)
3
1 sin
10
x
y



i)
ln
3
x
x
y 
VẤN ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
A. PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Dạng 1. Phương trình mũ cơ bản
Ta có:
x
a
m 0, a m x log m
    
Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình:
a)
2
4
2 4
x x 

b)


2x
2 3 2 3
   c)
x2

3.368
2x
x



Luyện tập:
1. Giải phương trình
a)
2
4
2 4
x x 

b) 1005
x

c)


2x
2 3 2 3
   d)
x x 1 x
2.3 6.3 3 9

  
Dạng 2. Sử dụng phương pháp đưa về cùng một cơ số
Công thức biến đổi cùng cơ số:
x y

a a x y
  
,








f x g x
a a f x g x
   với
0 1
a
 

Các ví dụ:
Ví dụ 2: Giải phương trình:
a)
x 1 2x 1
9 27
 
 b)
2 2 2
3 2 6 5 2 3 7
4 4 4 1
x x x x x x     
  

c)
1 2 3 1
5 5 5 3 3 3
x x x x x x
   
    
Luyện tập:
2. Giải phương trình:
a)
x 5 x 17
x 7 x 3
32 0,25.128
 
 
 b)
2 3
2
0,125.4
8
x
x


 

 
 
 
c)
2 2

3
2cos sin
sin
4 2
8 8.8
x
x
x

 
 
 
 

d)


3
2
x
x
x x

e)


4 1 2 1
8 8
x x
x e x x e

 
  
f)


3 2 2
2 3 .2 1 3 .2 2 0
x x x
x x x
     
g)
2x1xx2x1xx
333222

 h)
 
3
1 1
x
x

 

i)
 
2
4
2
2 2 1
x

x x

  

Dạng 3. Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ
Các ví dụ:
Ví dụ 3: Giải phương trình:
3.16 2.81 5.36
x x x
 
Ví dụ 4: Giải phương trình:




2 2
log log
2
2 2 2 2 1
x x
x x
    
.
Luyện tập:
3. Giải phương trình:
a)
3
2
2
22

xx2xx


b)
3.16 2.81 5.36
x x x
 
c)
3 4 0
x
x
  
d)




2
3 2 2 1 2 0
x x
x x
    
e)


x 2
2
x x 1

 

f)




1
3 5 1 5 1 2
x x
x

   
g)
2x 5 x 2
3 3 2
 
 
h)
xxx
8.21227 
i)
1 3
5 5 26
x x 
 
j)
3.4 2.6 9
x x x
 
k)





x x
7 48 7 48 14
   
l)




3
3 5 16 3 5 2
x x
x

   
m)




2
7 4 3 2 3 4
x x
   
n)
3
3( 1)
1 12

2 6.2 1
2 2
x x
x x
   

4. Cho phương trình:




tan tan
3 2 2 3 2 2
x x
m
   

a) Giải phương trình khi
6
m

.
b) Tìm
m
để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt trong
;
2 2
 
 


 
 
.
5. Tìm
a
để phương trình sau có nghiệm:
 
2 2
1 1 1 1
9 2 3 2 1 0
t t
a a
   
    
.
6. Tìm m để phương trình sau có nghiệm:




2 2
1
2 1 2 1 0
x x
m

    

Dạng 4. Sử dụng phương pháp lôgarit hóa
Các ví dụ:

Ví dụ 5: Giải phương trình:
2
x 1 x x 2
3 .2 8.4
 

.
Luyện tập:
7. Giải phương trình
a)
12.3
2
xx

b)
 
5
x x x 1
1
2 .5 . 10
5


c)


2
2
1
x

x x

 

Dạng 5. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ
Các ví dụ:
Ví dụ 6: Giải phương trình:


2
6 4 3 2
2 2 4 3 6
m x x m
m x m
 
    

Luyện tập:
8. Giải phương trình:
a)
4
log
3 1
x
x x
  
b)
4 4
log log
3 5 2

x x
x
 
c)
2
15 1 4
x
x
 
d)
2 5 1
1 1
2 5 1
x x
e e
x x
 
  
 
e)
x x x
3 4 5
 
f) 04x3
x

g)
3 3
log log
4 2 2

x x
x
 
h)




2
3 2 2 1 2 0
x x
x x
    
i)
2008 2007 1
x
x
 
B. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Dạng 1: Đưa về cùng cơ số
Ta có:
( ) ( )
1
( ) ( )
0 1
( ) ( )
f x g x
a
f x g x
a a

a
f x g x
 






 

 







Các ví dụ:
Ví dụ 7: Giải các bất phương trình sau:
a)
   
1
1
1
5 2 5 2
x
x
x




  
b)
 
2
2
3
2 2
1 1
x x
x x

  
Luyện tập:
9. Giải các bất phương trình sau:
a)
1
4
x
1 1
2 2
   

   
   
b)
   
1 3

3 1
10 3 10 3 0
x x
x x
 
 
   

c)
 
2
2x 7x
x 3 1

 
d)
 
1
1
log 2 1
log
5 3
0,12
3
x
x
x
x




 

 
 
 
e)
12x82.x2.32.xx4
222
x2x1x2


f)


4 1 2 1
8 8
x x
x e x x e
 
  
g)
2 2 2
3 5 2 2 3 .2 3 5 2 4 .3
x x
x x x x x x x         h)

 
2
2

3
2 2
1 1
x x
x x

  
i)
2
6 6
log log
6 12
x x
x
 
j)


2 1 2 2 2 1
3 2 2 3 2 2
x x x x
x x
   
    
Dạng 2: Phương pháp logarit hoá


 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )
log log
( )log ( )log ( )
1 1
( )log ( )log ( )
log log
0 1
0 1
f x g x h x
c c
c c
f x g x h x
f x g x h x
c c
c c
a b c
f x a g x b h x
c c
a b c
f x a g x b h x
a b c
c
c




  







 

 

  


 
 
 





 



 




Các ví dụ:
Ví dụ 8: Giải bất phương trình:

2
log 2
4
16
x
x x

Luyện tập:
10. Giải các bất phương trình sau:
a)
2
log 2
4
16
x
x x
 b)
2 2
1 3
log log
2 2
2 2
x x
x 
Dạng 3. Phương pháp đặt ẩn phụ
Các ví dụ:
Ví dụ 9: Giải các bất phương trình sau:
a)
2 2 2
2 1 2 1 2

25 9 34.15
x x x x x x
    
 
b)
1 1
15.2 1 2 1 2
x x x
 
   
Ví dụ 10: Tìm
m
để bất phương trình:


.4 1 .2 1 0
x x
m m m
    
nghiệm đúng với mọi
x


.
Luyện tập:
11. Giải các bất phương trình sau:
a)
   
1 3
3 1

10 3 10 3 0
x x
x x
 
 
   
b)
2 2
2 4 1 2
3 2.3 1 0
x x x x  
  
c)






26 15 3 2 7 4 3 2 2 3 1
x x x
     
d)
2 4 4
3 8.3 9.9 0
x x x x  
  
e) 52428
x1xx1



f)
1 3 3 1 3
8 2 4 2 5
x x x    
   
g)
2 2 2
2 1 2
4 .2 3.2 .2 8 12
x x x
x x x x

    
h)
2 10 3 2 5 1 3 2
5 4.5 5
x x x x
     
 
11. Tìm
m
để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi
x
thuộc miền xác định:
 
2 2
1 1 1 1
16 5 .4 5 4 0
t t

m m
   
    

Dạng 4: Dùng phương pháp hàm số
Các ví dụ:
Ví dụ 11: Giải bất phương trình:
1
2 4 16
4
2
x
x
x

 


Luyện tập:
12. Giải các bất phương trình sau:
a)
1
2 4 16
4
2
x
x
x

 



b) 2 3
x
x
 
c)


4 1 2 1
8 8
x x
x e x x e
 
  
Vấn đề 5: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
A. PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Dạng 1. Phương trình lôgarit cơ bản
Ta có:
m
a
log x m x a
  
Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình: 3xlog
2
4

Luyện tập:
1. Giải phương trình:

a)


 
3
3
lg 152 lg 2
x x   b) 3xlog
2
4

c)


x
3
log 3 8 2 x
  
d)


2
log x x 1 1
 
 
 
e)
 
 
4 3 2 2

1
log 2log 1 log 1 3log
2
x
 
  
 
f)


5
log 5 4 1
x
x
  
g)


2
3
1
log 3 1 2
2
x
x x

   
h)
4
2 1

2
log 1
2 1
x
x
x

 


 
 

 

Dạng 2. Đưa về cùng một cơ số
Công thức biến đổi cùng cơ số:
a a
x 0 (y 0)
log x log y
x y
 

 



;
( ) 0
log ( ) log ( ) ( ) ( )

0 1
a a
g x
f x g x f x g x
a



  


 

Các ví dụ:
Ví dụ 2: Giải phương trình:
a)
3 9 27
log log log 11
x x x
  

b)
     
8
4 2
2
1 1
log 3 log 1 log 4
2 4
x x x

   
Ví dụ 3: Tìm
m
để phương trình sau có nghiệm duy nhất:




2
2 4
log 2 log 6 9
x x x m
    

Luyện tập:
2. Giải phương trình
a)
3
2
3
27
16log 3log 0
x
x
x x
 
b)
 
1
lg 5 4 lg 1 2 lg0,18

2
x x    
c)




2 2
log 4.3 6 log 9 6 1
x x
   
d)




2
lg x 6x 7 lg x 3
   
e)
 
2
2 1
2
1
log log x x 1
x
  
f)



4 x
log x 12 .log 2 1
 

g)


2 2
log x log x 1 1
  
h)




3 3
2 2
log 25 1 2 log 5 1
x x 
   
i)




3 3
2 2
log 25 1 2 log 5 1
x x 

   
j)
7 8 9 10
log log log log
x x x x
  
k)
   
 
4
4
2
3 1 1
3
3
1
log 1 log 3 2 log 1
2
x x x
     
l)
           
2
2
1 2 2 1 2 2
2
2
log 5 2 log 5 2 .log 5 2 log 2 5 log 2 1 .log 5 2
x
x x x x x x


        
3. Cho




.log 2 0 1
x
f x x x
  
. Tính


f x

và giải bất phương trình:


0
f x


.
4. Tìm
a
để phương trình sau có nghiệm duy nhất:





2
lg lg 1
x ax x a
   
.
Dạng 3. Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ
Các ví dụ:
Ví dụ 4: Giải phương trình:
a)
1 1
1
5 lg 1 lgx x
 
 

b)




2 2
3 2 3
log 2 9 9 log 4 12 9 4 0
x x
x x x x
 
      
Ví dụ 5: Tìm
m

để phương trình sau có nghiệm trên khoảng


0;1
:


2
2 1
2
4 log log 0
x x m
  
.
Luyện tập:
5. Giải phương trình
a)
16 2
3log 16 4log 2log
x
x x
  b)
2
2
log 16 log 64 3
x
x
 

c)

   
1
2 2 1
1
log 4 4 log 4 1 log
8
x x
  
d)
2 3
4 2
2
4log 2log 3log
x x x
x x x
 
e)




3 3
2 2
log 25 1 2 log 5 1
x x 
   
f)


1 2

log 4 1 log 1
x
x

  
g)
  
2
3 3
1 log 4 log 16 0
x x x x
   
h)




1
2 2
log 2 1 .log 2 2 6
x x
  

i)
2
2 2
6 4
3
log 2x log x
 

j)
8
2
4 16
log 4x
log x
log 2x log 8x

k)
 
 
2
2 1
2
1
log 4 4 1 2 2 2 log
2
x x x x x
 
      
 
 
l)
 


 
1
4
6 2

2log 4 x
1
1
log 3 x log 3 x

 
 

m)




2 3
2 2
log 4 1 log 2 6
x x
x

   
n)
2 3
lg 20lg 1 0
x x
  
6. Cho phương trình 01m21xlogxlog
2
3
2
3


a) Giải phương trình khi
2
m

.
b) Tìm
m
để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn
3
1;3
 
 
.
Dạng 4. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ
Các ví dụ:
Ví dụ 6: Giải phương trình:


2 5
log log 2 1 2
x x
  

Luyện tập:
7. Giải phương trình:
a)





2
lg 6 4 lg 2
x x x x
     
b)


7 3
log log 2
x x
 
c)








2
3 3
2 log 1 4 1 log 1 16 0
x x x x
      
d)


5

log 5 4 1
x
x
  
e)
4
log x 1 x
 
f)


2
6 4 3 2
2 2 4 3 6
m x x m
m x m
 
    
g)
2 2
2 3
2 2 3
log ( 2 2) log ( 2 3)
x x x x


    
Dạng 5. Đoán nghiệm và chứng minh nghiệm đó là duy nhất
Các ví dụ:
Ví dụ 7: Giải phương trình:



5
log 5 4 1
x
x
  
Luyện tập:
8. Giải các phương trình sau:
a)




2 2
lg 6 3 lg 3 3
x x x x x x
       
b)


5
log 5 4 1
x
x
  
B. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Dạng 1: Đưa về cùng cơ số
Ta có:
1

( ) ( ) 0
log ( ) log ( )
0 1
0 ( ) ( )
a a
a
f x g x
f x g x
a
f x g x
 



 


 

 



 



Các ví dụ:
Ví dụ 8: Giải các bất phương trình sau:
a)

2 0,5
31
log log 2 2
15
x
 
 
 
 
 
 
 
b)






2
2 1 2
2
log 2 3 log 3 log 1
x x x x
     
Luyện tập:
9. Giải các bất phương trình sau:
a)
 
 

2
2
9
log 3 4 1
x
x x

 
  
 
b)
6 2
3
1
log log 0
2
x
x
x


 

 

 

c)





2
1 5
5
log 6 18 2log 4 0
x x x
    
d)
 
 
2
2
4
1 1
log 3 1
log 3
x
x x



e)




2
1 5
5

log 6 8 2log 4 0
x x x
    
f)


1 1 2
2 4
log 2log 1 log 6 0
x x
   

g)
1
3
5
log log 3
2
x
x   h)
9
2x 1
log
x 1 2


i)


2 3 4 2 2

2 2
5 6 log log 5 5 6
x x x x x x x x x x
        
Dạng 2: Phương pháp đặt ẩn phụ
Các ví dụ:
Ví dụ 9: Giải các bất phương trình sau:
a)
 
2 2
3
4
2 1 2 1
2
2 2
32
log log 9log 4 log
8
x
x x
x
   
  
   
   
b)


2 4
0,5 2 16

log 4log 2 4 log
x x x
  
Ví dụ 10: Tìm
m
để bất phương trình:


2 2 2
2 1 4
2
log log 3 log 3
x x m x
   
nghiệm đúng với mọi


32;x
 
.
Luyện tập:
10. Giải các bất phương trình sau:
a)


2 2
2 4
log 2 2 4 log 2 2 5
x x x x
     

b) )2.32(log)44(log
x1x2
2
1
x
2
1


c)




1
2 2
log 2 1 log 2 2 2
x x
  
d)
1 2
1
5 log 1 log
a a
x x
 
 

e)
2 2

log 2.log 2.log 4 1
x x
x

f)
 
3
log 2 log 2
x x
x x

11. Tìm
m
để bất phương trình:
2
lg lg 3 0
x m x m
   
có nghiệm
1
x

.
12. Tìm
m
để bất phương trình:





2 2
log 3 1 log 2.3 2 1
x x
m m
   
có nghiệm thuộc khoảng


0;2
.
VẤN ĐỀ 6: HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
A. HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
Dạng 1: Giải hệ bằng phương pháp biến đổi tương đương
Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau:
a)
 
2x
3y
5
y
x
2 1 y
x
y y
2 2 .2
3 3.3









b)
2 2
x.y 1
lg x lg y 2



 

Dạng 2: Giải hệ bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình sau
2 3
2 3
log 3 5 log 5
3 log 1 log 1
x y
x y

  


   


Dạng 3: Giải hệ bằng phương pháp hàm số
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau:



1 2
2
1 4 .5 1 3
1
3 1 2
x y x y x y
x y y y
x
    

  


   


Dạng 4: Hệ phương trình chứ tham số
Ví dụ 4: Tìm
m
để hệ phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt:




 
2
3
3 3

2
2
2 5
log 1 log 1 log 4
log 2 5 log 2 5
x x
x x
x x m
 

   


   


.
Luyện tập:
1. Giải các hệ phương trình sau:
a)
4 2
4 3 0
log log 0
x y
x y
   


 



b)
1
3 2
4 2
2 2
2 5 4
x x
x
x
y
y y








 

d)


2 2
2
4 2
log 5
2log log 4

x y
x y

 


 


e)


 
3 2
3 2
log 2 3 5 3
log 2 3 5 3
x
y
x x x y
y y y x

   


   


2. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp biến đổi tương đương:
a)

4 4 4
20
log log 1 log 9
x y
x y
 


  

b)
1
3 2
4 2
2 2
2 5 4
x x
x
x
y
y y








 


c)


2 2
2
4 2
log 5
2log log 4
x y
x y

 


 


d)


 
3 2
3 2
log 2 3 5 3
log 2 3 5 3
x
y
x x x y
y y y x


   


   


e)
4 2
4 3
log log 0
x y
x y
   


 


f)
3 1 2 3
2
2 2 2
3 1 1
x y x y
x xy x
  

 



   


3. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn phụ:
a)





322
ylogxylog
yx
xy
b)
   
lg lg
lg4 lg3
3 4
4 3
x y
x y








c)
2 3
2 3
log 3 5 log 5
3 log 1 log 1
x y
x y

  


   


d)
2 2
64 64 12
64 4 2
x y
x y

 





e)






322
ylogxylog
yx
xy

4. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp hàm số:
a)
2 2
1
2 2
x y x
x y y x
x y
 

  


  


b)




2 2

ln 1 ln 1
12 20 0
x y x y
x xy y

    


  


c)
2 1
2 1
2 2 3 1
2 2 3 1
y
x
x x x
y y y



    


    


d)



2 1
1
x y x y
x y
e e x
e x y
 


  


  


e)


1 2
2
1 4 .5 1 3
1
3 1 2
x y x y x y
x y y y
x
    


  


   


f)




   
2 3
2 3
log 1 3cos log sin 2
log 1 3sin log cos 2
x y
y x

  


  


5. Tìm giá trị của
m
để hệ sau có nghiệm thực:
 
1 1 1

4 2
2008 2008 2008 2008
1 2 1 0
x x x
x
m x mx m
   

  


    


B. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải hệ bất phương trình sau:
 




 
1
1 lg 2 lg 2 1 lg 7.2 12
log 2 2
x x
x
x
x



    


 


Luyện tập:
6. Giải các hệ bấp phương trình sau:
a)
2
2
4
0
16 64
lg 7 lg( 5) 2lg2
x
x x
x x




 


   

b)

2 2
2 2
3
2
log log 0
3 5 9 0
3
x x
x
x x

 


   


c)


 
2
4
log 2 0
log 2 2 0
x
y
y
x




 


 


7. Tìm
k
để hệ bất phương trình sau có nghiệm:
3
2 3
2 2
1 3 0
1 1
log log ( 1) 1
2 3
x x k
x x

   


  


CHUYÊN ĐỀ : ÔN TẬP TỔNG HỢP VỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
Dạng 1: Phương pháp biến đổi tương đương
Kiểu 1: Đưa về cùng cơ số

1.
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a a f x g x  
2.
( ) 0
log ( ) log ( ) ( ) ( )
0 1
a a
g x
f x g x f x g x
a



  


 

Ví dụ 1: Giải phương trình sau
3 3
2 2
) log (25 1) 2 log (5 1).
x x
a
 
   
b)

 
3
3 1
1 12
2 6.2 1
2
2
x x
x
x
   
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất
2
2 4
log ( 2) log ( 6 9)x x x m    

Kiểu 2: Đưa về dạng tích
Ví dụ 3: Giải phương trình sau

2 2
1 2 2 1 2 2
2
log (5 2 ) log (5 2 ).log (5 2 ) log (2 5) log (2 1).log (5 2 )
x
x x x x x x

        
2
Luyện tập
Bài 1: Giải các phương trình sau:

a.
2
( 3)
1
log (3 1 2 )
2
x
x x

   
b.
4
2 1
2
log ( ) 1
2 1
x
x
x





c.
3 2
2 2
log log 3 1x x
x
x

 

d.
3
2
( )
x x
x x
e.
7 8 9 10
log log log logx x x x  
f.
4
4 2
3 1 1
3
3
1
log ( 1) log (3 2) log ( 1)
2
x x x     
g.
 
 
2
9 3 3
2 log log .log 2 1 1 : x 1 v x 4.x x x Ds à    
 
2 2 2
2 3 6

log 2 log 2
6 6
. log 1 .log 1 log 1
1
: x 1 v 3 3
2
h x x x x x x
Ds à x

   
 
 
      
 
 
 
   
  
Bài 2: Tìm a để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
 
 
2
log x ax log x a 1    Đs: a > 1
Bài 3: Giải các phương trình sau:
a.
2 2 2
3 2 6 5 2 3 7
4 4 4 1
x x x x x x     
  

b.
4 1 2 1
8 ( 8)
x x
x e x x e
 
  
c.
3 2 2
2 3 .2 (1 3 )2 2 0
x x x
x x x     
Dạng 2: Phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 4: Giải các phương trình sau
a)
2 3
2 2
log (4 1) log (2 6)
x x
x

   
b)
2 2
log log 2
(2 2) (2 2) 1 .
x x
x x    
c)
 

2 2
2 2
9 3 3 2 2 0
x x
x x    
Ví dụ 5: Giải phương trình:
 
 
2
2
2 2 2
log 1 log .log 2 0x x x x x
 
    
 
 
 