đề thi thử đại học môn toán 2014 – đề 3

THI TH I HC MễN TON 2014 3
A.PHN CHUNG CHO TT C TH SINH (8,0 im)
Cõu I (2,5 im) Cho hm s :
3
3 2y x mx= +

( )
1
,
m
là tham số thực.
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s
( )
1
khi
1m =
2) Tìm các giá trị của
m
để đồ thị hàm số
( )
1
có tip tuyn to vi ng thng
: 7 0d x y+ + =
gúc

,bit
1
cos
26
=
.

Cõu II (2,5 im) 1) Gii phng trỡnh :
4
3 4cos2 8sin 1
sin 2 cos2 sin 2
x x
x x x

=
+
2) Gii h phng trỡnh:
( )
3 3
2 2
4 16
1 5 1
x y y x
y x

+ = +


+ = +


( , )x y R
.
Cõu III (1,0 im) Tớnh gii hn :
3 2
2
2

6 4
lim
4
x
x x
L
x

+
=


Cõu IV. (1,0 im) Cho hỡnh lp phng
1 1 1 1
.ABCD A B C D
có di cnh bng
3
v im
M
thuc cnh
1
, 2CC CM =
.Mt phng
( )

i qua
,A M
v song somg vi
BD
chia khi lp phng thnh hai khi a

din. Tớnh th tớch hai khi a din ú.
Cõu V. (1,0 im) Cho cỏc s thc
, ,x y z
tho món
2 2 2
3x y z+ + =
. Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc:
2 2
3 7 5 5 7 3F x y y z z x= + + + + +
B. PHN RIấNG (2,0 im). Thớ sinh ch c lm mt trong hai phn (phn 1 hoc
2)
1.Theo chng trỡnh Chun
Cõu VIa. ( 1,0 im) Trong mt phng vi h to
Oxy
cho hai điểm
( ) ( )
2;1 , 1; 3A B
và hai đờng
thẳng
1 2
: 3 0; : 5 16 0.d x y d x y+ + = =
Tìm toạ độ các điểm
,C D
lần lợt thuộc
1 2
,d d
sao cho tứ giác
ABCD
là hình bình hành.
Cõu VIIa. ( 1,0 im) Tớnh tng :

2 1 2 2 2 3 2 2012
2012 2012 2012 2012
1 2 3 2012S C C C C= + + + +L

2. Theo chng trỡnh Nõng cao
Cõu VIb. ( 1,0 im) Trong mt phng h to
Oxy
cho e lớp
( )
2 2
: 1
9 4
x y
E + =
và các điểm
( )
3;0A
;
( )
1;0I
.Tìm toạ độ các điểm
,B C
thuộc
( )
E
sao cho
I
là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
Cõu VII B:(1,0 im): Tớnh tng:

0 1 2 2012
2012 2012 2012 2012
1 2 3 2013
C C C C
T = + + + +L
HT
Ghi chỳ: - Thớ sinh khụng c s dng bt c ti liu gỡ!
- Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm!

1
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 76
Câu 1: 1. (1,5điểm)
Khi
1m =
hàm số (1) có dạng
3
3 2y x x
= − +
a) Tập xác định
D
=
¡
b) Sự biến thiên
+) Chiều biến thiên:
2
' 3 3y x= −
,
' 0 1y x= ⇔ = ±
. Khi đó xét dấu của
'y

:
+
+
-
0
0
1
-1
+
∞
-
∞
y
x
hàm số đồng biến trên khoảng
( ) ( )
; 1 , 1;−∞ − + ∞
và nghịch biến trên khoảng
( )
1;1−
.
+) Cực trị: hàm số đạt cực đại tại
1, 4
CD
x y= − =
. Hàm số đạt cực tiểu tại
1, 0
CT
x y
= =

+) Giới hạn:
3 3
2 3 2 3
3 2 3 2
lim lim 1 ; lim lim 1
x x x x
y x y x
x x x x
→−∞ →−∞ →+∞ →+∞
   
= − + = −∞ = − + = +∞
 ÷  ÷
   
+) Bảng biến thiên:
:
x
−∞
-1 1
+∞
y'


+
0
−
0
+

y
4

+∞

−∞
0
c) Đồ thị:
3
0 3 2 0 1, 2y x x x x= ⇔ − + = ⇔ = = −
, suy ra đồ thị hàm số cắt trục Ox tại Ox tại các điểm
( ) ( )
1;0 , 2;0
−
.
'' 0 6 0 0y x x= ⇔ = ⇔ = ⇒
đồ thị hàm số nhận điểm
( )
0;2
làm điểm uốn.
Câu 1: 2. (1,0 điểm)
Gọi
k
là hệ số góc của tiếp tuyến
⇒
tiếp tuyến có VTPT
( )
1
; 1n k= −
r
Đường thẳng
: 7 0d x y+ + =
tiếp tuyến có VTPT

( )
2
1;1n =
r
1-1
4
x
0
y
2
3
3 2y x x
= − +
Ta có
( )
1 2
1 2
2
1 2
1
1
cos cos ,
26
2 1
n n k
n n
n n
k
× −
α = = ⇔ =

+
r r
r r
r r
2
3 2
12 26 12 0
2 3
k k k k⇔ − + = ⇔ = ∨ =
YCBT thoả mãn
⇔
ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm:
, 2 2
, 2 2
3 3 2 1 2 1
3 3 0
2 2 2 2
2 2 9 2 9 2
3 3 0
3 3 9 9
m m
y x m x
m m
y x m x
+ +
   
= − = = ≥
   
⇔ ⇔ ⇔
   

+ +
   
= − = = ≥
   
   
1
2
2
9
m
m

≥ −



≥ −


1
2
m⇔ ≥ −
Vậy để đồ thị có tiếp tuyến tạo với đường thẳng
: 7 0d x y+ + =
góc
α
,có
1
cos
26

α =
. thì
1
2
m ≥ −
Câu 2: 1.(1,25 điểm).
Giải phương trình :
4
3 4cos2 8sin 1
sin 2 cos2 sin 2
x x
x x x
− −
=
+
. §/k
( )
sin 2 cos2 0
8 2
sin 2 0
2
x l
x x
l
x
x l
π π
π

≠ − +


+ ≠


⇔ ∈
 
≠


≠


Z
ta cã:
2
4
1 cos2
8sin 8 3 4cos2 cos 4
2
x
x x x
−
 
= = = − +
 ÷
 
L
Ph¬ng tr×nh
( )
3 4cos2 3 4cos 2 cos 4

1
sin 2 cos 2 sin 2
x x x
x x x
− − − +
⇔ =
+
( )
cos4 1
sin 2 cos2 0,sin 2 0
sin 2 cos2 sin 2
x
do x x x
x x x
−
⇔ = + ≠ ≠
+
( ) ( )
1
cos2 sin 2 cos2 sin 2 cos 2 0
sin 2
x x x x x
x
⇔ − − = ⇔ + =
( ) ( )
cos2 0 sin 2 cos 2 0 2
2 4 2
x x x loai x k x k k
π π π
π

⇔ = ∨ + = ⇔ = + ⇔ = + ∈¢
VËy ph¬ng tr×nh cã mét hä nghiÖm
( )
4 2
x k k
π π
= + ∈Z
Câu 2.(1,25điểm) :Giải hệ phương trình:
( )
3 3
2 2
4 16
1 5 1
x y y x
y x

+ = +


+ = +



( , )x y ∈R
.
Viết lại hệ phương trình:
( )
3 3
2 2
4 4 0(*)

5 4(**)
x y x y
y x

+ − − =


− =



Thay
( )
**
vào
( )
*
ta được:
( )
( )
3 2 2 3 3 2 2
5 4 0 21 5 4 0x y x y x y x x y xy+ − − − = ⇔ − − =

( )
2 2
1 4
21 5 4 0 0
3 7
x x xy y x x y x y⇔ − − = ⇔ = ∨ = − ∨ =
•

0x =
thế vào
( )
**
ta được
2
4 2y y= ⇔ = ±
•
1
3
x y= −
thế vào
( )
**
ta được
2
2 2
3 1
5
4 9
3 1
9
y x
y
y y
y x
= ⇒ = −

− = ⇔ = ⇔


= − ⇒ =

•
4
7
x y= −
thế vào
( )
**
ta được
2
2 2
80 31
4 4
49 49
y
y y− = ⇔ − =
Vô nghiệm
Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm là:
( ) ( ) ( ) ( )
; 0; 2 , 1; 3 , 1;3x y = ± − −
Câu 3(1,0 điểm) : Tính giới hạn :
3 2
2
2
6 4
lim
4
x
x x

L
x
→
− − +
=
−

3 2 3 2
2 2 2
2 2 2
6 2 2 4 6 2 4 2
lim lim lim
4 4 4
x x x
x x x x
L
x x x
→ → →
− − + − + − − + −
= = −
− − −
3
( )
( )
( ) ( )
2 2 3
2
2 2
2
2 2 23

3
6 2 4 2
lim lim
4 6 2
4 4 2 4 4
x x
x x
x x
x x x

+
=

+
+ + + +
ữ

( )
( )
( )
2
2 2
2 2
3
3
1 1
lim lim
2 6 2
4 2 4 4
x x

x x
x x


=
+ +
+ + + +
1 1 7
16 12 48
= =
Vy gii hn ó cho bng
7
48

Cõu 4(1,0 im) : Cho hỡnh lp phng
1 1 1 1
.ABCD A B C D
có di cnh bng
3

Dng thit din ca mt phng i qua
,A M
v song song vi
BD
.
Gi
1 1 1 1 1
, ,O AC BD O A C B D I AM OO= = =
. Trong mt phng
( )

1 1
BDD B
qua
I
k ng
thng song song vi
BD
ct
1 1
,BB DD
ln lt ti
,K N
.Khi ú
AKMN
l thit din cn dng.
t
1 1 1 1
1 . . 2 . 1A BCMK A DCMN ABCD A B C D
V V V V V V= + =
.
Ta cú:
1 1
1
2 2
OI AO
DN BK OI CM
CM AC
= = = = = =
Hỡnh chúp
.A BCMK

cú chiu cao l
3AB =
,ỏy l hỡnh thang
BCMK
.Suy ra:
( )
3
.
.
1 1 3 9
. .
3 3 2 6 2
A BCMK BCMK
BC BK CM
V AB S AB
+
= = = =
.
Tng t
.
9
2
A DCMN
V =
. Vy
3
1 2
9 9
9 3 9 18
2 2

V V= + = = =
(vtt)
Cõu 5(1,0 im): Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc:
2 2
3 7 5 5 7 3F x y y z z x= + + + + +
p dng bt ng thc Bu-nhi-a-cp-xki ta cú
( )
( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2
3 6 12 18 2 2 18 2 2 3F x y z x y z x x


+ + + + = +



Xột hm s
( )
( )
2 2
2 2 3f x x x= +
trờn min xỏc nh
3 3x
( )
( )
( )
( )
'
2
4

2 3; 3
2 3
x
f x x x
x
=


( )
'
0f x =
trờn
( )
3; 3
0
1
x
x
=



=

( )
( ) ( )
3 3, 0 2 6, 1 5f f f = = =
( )
2
3; 3

max 5 18.5 90 3 10f x F F



= =
du bng khi
1x y z= = =
. Vy
max 3 10 1F x y z= = = =
Cõu 6 a(1,0 im): Tim toạ độ các điểm
,C D
lần lợt thuộc
1 2
,d d
sao cho tứ giác
ABCD
là hình
bình hành.
Do tứ giỏc
ABCD
là hình bình hành nên ta có
( ) ( )
3
3;4 *
4
D C
D C
x x
CD BA
y y

=

= =

=

uuur uuur
Mặt khác :
( )
1
2
3 0
**
5 16 0
C C
D D
x yC d
D d
x y
+ + =





=


Từ (*) và (**) ta giải đợc
3

6
;
6 2
C
D
C D
x
x
y y
=
=



= =


ta có
( ) ( )
3;4 , 4; 3BA BC= =
uuur uuur
cho nên hai véc tơ
,BA BC
uuur uuur
không cùng phơng ,tức là 4 điểm
, , ,A B C D

không thẳng hàng ,hay tứ giác
ABCD
là hình bình hành. .Đáp số

( ) ( )
3; 6 , 6; 2C D
Cõu 7a(1,0 im) : Tớnh tng :
2 1 2 2 2 3 2 2012
2012 2012 2012 2012
1 2 3 2012S C C C C= + + + +L

( ) ( )
2
2012 2012 2012 2012
1 1 1 1, 2, ,2012
k k k k
k C k k C k k C kC k

= + = + =

( )
( ) ( )
2 2 1
2012 2010 2011
2012! 2012!
1 2012(2011 ) 1,2 ,2012
! 2012 ! ! 2012 !
k k k
k C k k k C C k
k k k k

= + = + =

T ú

( ) ( )
0 1 2010 0 1 2011
2010 2010 2010 2011 2011 2011
2012 2011S C C C C C C

= + + + + + + +

L L
4
=
( ) ( )
( )
2010 2011
2010 2011 2010
2012 2011 1 1 1 1 2012 2011.2 2 2012.2013.2
 
+ + + = + =
 
Đáp số :
2010
2012.2013.2S =
Câu 6b(1,0 điểm): T×m to¹ ®é c¸c ®iÓm
,B C
thuéc
( )
E
sao cho
I
lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam
gi¸c

ABC
. Ta cã
2IA = ⇒
§êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c
ABC
cã pt:
( )
2
2
1 4x y+ + =
To¹ ®é c¸c ®iÓm
,B C
cÇn t×m lµ nghiÖm cña hÖ pt:
( )
2
2
2 2
1 4
1
9 4
x y
x y

+ + =


+ =


( )

( )
2
2
2
2
2
1 4
1 4
3
3
5 18 9 0
5
x y
x y
x x
x x

+ + =

+ + =
 
⇔
 
= − ∨ = −
+ + =




•

3 0x y B A C A= − ⇒ = ⇒ ≡ ∨ ≡
(lo¹i)
•
3 4 6 3 4 6 3 4 6
; , ;
5 5 5 5 5 5
x y B C
   
= − ⇒ = ± ⇒ − ± −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
m
Câu 7b(1,0 điểm) Tính tổng :
0 1 2 2012
2012 2012 2012 2012
1 2 3 2013
C C C C
T = + + + +L
( )
( ) ( )
1
2012
2013
2012!
! 2012 !
1 2013! 1
1 1 2013 2013
1 ! 2013 1 !
k

k
k k
C
C
k k
k k
+
−
= = × = ×
+ +
 
+ − +
 

0,1,2,3, ,2012k∀ =
( )
( )
2013
2013
1 2 2013 0
2013 2013 2013 2013
1 1 2 1
1 1
2013 2013 2013
T C C C C
−
 
⇒ = + + + = + − =
 
L

Đáp số
2013
2 1
2013
T
−
=
5