CHUYÊN ĐỀ VECTO LỚP 10

ChuyênđềHìnhhọclớp10   LêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh

1
CHƯƠNG1.
CHUYÊNĐỀ1.VECTƠ
I.KIẾNTHỨCCƠBẢN
1.Vectơ
a)Kháiniệm:Vectơlàmộtđoạnthẳngcóhướng.

Nhậnxét:
+Vectơthườngđượckíhiệubởi
AB,a,

.Khiđó
 A:làđiểmgốc
 B:làđiểmngọn
 HướngtừAđếnB
+KhiđiểmgốcvàngọntrùngnhautacócácVectơ:
AA,BB

đgl
làVectơ–không.Kíhiệu:
0


+Độdàiđoạnthẳng
AB
đglđộlớnVectơ
AB

.Kíhiệu:

AB


b)Vectơcùngphương.Vectơcùnghướng.Vectơbằngnhau
+Haivectơđglcùngphươngnếuchúngcógiásongsonghoặctrùngnhau.

Vídụ1.Cho2điểm
A
và
B
phânbiệt.Hỏicóbaonhiêuđoạnthẳngvàbaonhiêuvectơkhác
0


Vídụ2.Cho
ABCD
cântại
A
.Gọi
M, N
lầnlượtlàtrungđiểmcủa
BC
và
AB
.
a) Đẳngthức
AB AC=

đúnghaysai?
b) Cácvectơcùnghướngvới

AC

?
c) Cácvectơngượchướngvới
BC

?
d) Cácvectơbằngnhau?
Vídụ3.Chotứgiác
ABCD
.Chứngminhrằng
ABCD
làhìnhbìnhhành
AB DC=
 

a
B
A
ChuyênđềHìnhhọclớp10   LêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh

2
2.CácphéptoántrênVectơ

a)Tổnghaivectơ
 Địnhnghĩa:Chohaivectơ
a

và
b


.Từđiểm
A
bấtkì,tavẽcácvectơ:
AB a=

và
BC b=

.
Khiđóđặt
cAC=
 
đgltổngcủa
a

và
b

.Kíhiệu:
abc+=




 Tínhchất:
abba
abcabc
a0a
ab a b

+=+
++=++
+=
+£ +
 

 
  

 Cácquytắccầnnhớ:
+Quytắc3điểm:Với3điểm
A, B, C
tacó:
AB BC AC+=


+Quytắchìnhbìnhhành:
AB AD AC+=


b)Hiệuhaivectơ
 Vectơđối:Chovectơ
a

.Vectơcùngđộlớnvàngượchướngvới
a

đglvectơđốicủa
a
.Kí

hiệu:
a-


 Tínhchất:
+
A, B: AB BA"=-
 

+Ilàtrungđiểm
AB IA IB=-
 

+
()
AB AB
=


 Hiệu2vectơ:Chohaivectơ
a

và
b

.Hiệucủa
a

và
b


,kíhiệu
ab-

,đượcđịnhnghĩabởi:
()
aba b-=+-
  

 Quytắccầnnhớ:
+Quytắc3điểm:Với3điểm
A, B, C
tacó:
AB AC CB-=


c)Tíchcủamộtvectơvớimộtsố
c
b
a
b
a
C
B
A
ChuyờnHỡnhhclp10 LờNgcSn_THPTPhanChuTrinh

3
nhngha:Chovect
a

v
k ẻ
.Tacútớchca
a

vis
k
,kớhiu
ka

vcxỏcnh
nhsau:
+Nu
cuứng hửụựng vụựi
thỡ
a
k0 ka:
ka k . a
ỡ
ù
ù
ù
ù

ớ
ù
=
ù
ù

ù
ợ




+Nu
ngửụùc hửụựng vụựi
thỡ
a
k0 ka:
ka k . a
ỡ
ù
ù
ù
ù
<
ớ
ù
=
ù
ù
ù
ợ




Tớnhcht:

+
()
()
kl.a kla=

+
()
kla kala+=+


+
()
ka b ka kb=

+
k0
ka 0
a0
ộ
=
ờ
=
ờ
=
ờ
ở



iukin2vectcựngphng:

+
a

v
()
bb 0ạ

cựngphng
k:akb$ ẻ =



+
A, B, C
thnghng
k:ABkAC$ ẻ =



Vớd1.Cho
I
ltrungim
AB
.
M
lmtimbtkỡ.Chngminh:
MA MB 2MI+=


Vớd2.Cho

G
ltrngtõm
ABCD
.Chngminh:
GA GB GC 0++=


Vớd3.Chngminhrng4im
A, B, C , D
btkỡtacú:
AC BD AD BC+=+


II.PHNLOICCDNGBITP
Dng1.Litkờvect
Bitp1.Cholcgiỏcu
ABCDEF
cútõm
O
.
a) Tỡmcỏcvectkhỏc
0

vcựngphngvi
OA


b) Tỡmcỏcvectbngvi
AB

c) Hóyvcỏcvectbngvi
AB

vcúimul
O, D, C

Bitp2.Cho5im
A, B, C, D, E
phõnbit.Cúbaonhiờuvectkhỏc
0

,cúimuvim
cuilcỏcimócho.
Bi tp 3 Chotgiỏc
ABCD
. Gi
M, N, P, Q
ln lt l trung im ca cỏc cnh
AB, BC,CD, DA
.Chngminh
NP MQ=

v
PQ NM=


ChuyênđềHìnhhọclớp10   LêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh

4

Bàitập4.Chohìnhbìnhhành
ABCD
.Dựng
AM BA, MN DA, NP DC, PQ BC= ===
    

Bàitập5.Cholụcgiácđều
ABCDEF
.Hãyvẽcácvectơbằng
AB

thỏamãn:
a) Cóđiểmđầulà
B, F, C

b) Cóđiểmcuốilà
F, D , C

Dạng2.Chứngminhmộtđẳngthứcvectơ
Bàitập1.Chohaitamgiác
ABC
và
A'B'C'
lầnlượtcótrọngtâmlà
G
và
G'
.Chứngminh
rằng:
()

1
GG' AA ' BB' CC '
3
=++
  

 Bàitập 2.Chotứgiác
ABCD
. Gọi
I, J
lầnlượtlàtrungđiểmcủa
AB
và
CD
. Chứng minh
AC BD AD BC 2IJ+=+=
 

Bàitập3.Cho5điểmbấtkì
A, B, C, D, E
.Chứngminh:
AD BE CF AE BF CD++=++


Hướngdẫn.Tacó:


AD BE CF AE BF CD AD BE CF AE BF CD 0
AD AE BE BF CF CD 0
++=++++ =

-+-+-=
 
 


ED FE DF 0
00
++=
=



Bàitập4.Chotamgiác
ABC
.Lầnlượtlấycácđiểm
M, N, P
trêncácđoạn
AB, BC
và
CA
sao
cho:
111
AM AB ; BN BC ; CP CA
333
===

Chứngminh:
AN BP C M 0++ =
 


Hướngdẫn.Tacó:
11
BN BC AN AB BC
33
11
CP CA BP BC CA AN BP CM 0
33
11
AM AB CM CA AB
33
ü
ï
ï
=-=
ï
ï
ï
ï
ï
ï
=-= ++=
ý
ï
ï
ï
ï
ï
=-=
ï

ï
ï
þ


 

 Bài tập 5.Gọi
AM
làtrungtuyếncủa
ABCD
và
D
là
trungđiểmcủa
AM
.Chứngminhrằng:
a)
2DA DB DC 0++=
 

b)
2OA OB OC 4OD++=
 
,với
O
làđiểmtùyý.
D
M
A

B
C
ChuyênđềHìnhhọclớp10   LêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh

5
Hướngdẫn.Tacó:

DB DC 2DM 2DA 2DA DB DC 0+= =-  ++=
    

Bàitập6.Gọi
E, F
lầnlượtlàtrungđiểmcủa
AB, CD
và
O
làtrungđiểmcủa
EF
.Hãychứng
minhcácđẳngthứcsau:
a)
()
1
EF AC BD
2
=+
 

b)
OA OB OC OD 0+++=

    

c)
MA MB MC MD 4MO+++=
    
(Với
M
làmộtđiểmbấtkì)
Hướngdẫn.Tacó:
Bàit ập7.Chotamgiác
ABC
cótrọngtâm
G
.Gọi
H
làđiểmđốixứngcủa
B
qua
G
và
M
là
trungđiểmcủa
BC
.Chứngminh:
a)
21
AH AC AB
33
=-

  

b)
()
1
CH AB AC
3
=- +


c)
15
MH AC AB
66
=-
  

Hướngdẫn.Tacó:
a) Tacó
AGCH
làhìnhbìnhhànhnên:
AH AG AC AH AC AG+==-
  

()
121
AH AC AB AC AH AC AB
333
=- + = -
    


b)
()
1
CH AG AB AC
3
=- =- +
 

c) Tacó:
()()
11 1 15
MH MC CH BC CH AC AB AB AC AC AB
22 3 66
=+= += + = -
   

Bàitập8.Chotamgiác
ABC
,bênngoàicáctamgiácvẽcáchìnhbìnhhành
ABMN, BCPQ
và
CARS
.Chứngminh
RN MQ PS 0++=
   

Hướngdẫn.Tacó:
()( )( )

RN MQ PS RA AN MB BQ PC CS
RA CS AN MB BQ PC 0
++=+++++
=+++++=
   
    

G
M
N
A
B
C
H
ChuyênđềHìnhhọclớp10   LêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh

6
Bàitập9.Chotamgiác
ABC
.Cácđiểm
M, N
và
P
lầnlượtlàtrungđiểmcủacáccạnh
AB, AC

và
BC
.Chứngminhrằngvớiđiểm
O

bấtkìtacó:
OA OB OC OM ON OP++= ++
    

Bàitập10.Chotứgiác
ABCD
.Gọi
I, J
lầnlượtlàtrungđiểmcủacáccạnh
BC
và
CD
.Chứng
minh:
()
2AB AI JA DA 3DB++ + =
    

Hướngdẫn.
I, J
lầnlượtlàtrungđiểmcủacáccạnh
BC
và
CD
nên:
DB 2IJ=

.Tacó:
()()()
2 AB AI JA DA 2 DA AB JA AI 2 DB JI 3DB+++ = + + + = +=

     

Dạng3.Tínhđộdàicủavectơ
Bàitập1.Chotamgiácđềucạnh
a
,
M
làtrungđiểm
BC
.Tính
AB , AM , MC


Bàitập2.Chohìnhvuông
ABCD
cạnh
b
.Tính
DA AB , DA DC , DB DC-++
   

Bàitập3.Chotamgiácđềucạnh
a
.Tính
AB AC , AB AC+-
 

Bàitập4.Chohìnhvuông
ABCD
cạnh

b
.Tính
DA AB , DA DC , DB DC-++
   

Bàitập5.Chotamgiácđềucạnh
a
,
I
làtrungđiểmcủa
BC
.Hãyvẽvàtínhđộlớncácvectơ
sau:
a)
AB AC+

  b)
AB AI+

 c)
AB AC-

  d)
AC BI-


Dạng4.Chứngminhbađiểmthẳnghàng.
Đểchứngminhbađiểm
A, B, C
phânbiệtthẳnghàng,tacầnchứngminh

AB

và
AC

cùngphương
hay
()
AB kAC k 0=¹


Bàitập1.Chohìnhbìnhhành
ABCD
.Gọi
I
làtrungđiểmcủa
CD
.Lấyđiểm
M
trênđoạn
BI

saocho
BM 2MI=
.Chứngminhbađiểm
A, M, C
thẳnghàng.
Hướngdẫn.Tacó:
()
BM 2MI AM AB 2 AI AM=-= -

   

3AM 2AI AB
3AM AC AD AB 2AC
=+
=++=
  
   

M
I
D
A
B
C
ChuyờnHỡnhhclp10 LờNgcSn_THPTPhanChuTrinh

7
Bitp2.Chotamgiỏc
ABC
,trngtõm
G
.Gi
D
limixngca
A
qua
B
v
E

lim
trờnon
AC
saocho
2
AE AC
5
=
.
a) Tớnh
DE, DG

theo
AB

v
AC


b) Chngminh3im
D, G, E
thnghng.
c) Gi
K
limthamón
KA KB 3KC 2KD++ =

.Chngminh
KG/ /CD

Hngdn.Tacú
a) Tacú:
2
DE AE AD AC 2AB
5
=-= -


()
1
DG AG AB AB AC 2AB
3
51
DG AB AC
33
=-= + -
=- +



b) Theocõuatacú:
()
()
22
DE AC 2AB AC 5AB
6
55
DE DG
1
5

DG 5AB AC
3
ỹ
ù
ù
=-= -
ù
ù
ù
=
ý
ù
ù
=- +
ù
ù
ù
ỵ




c) Tacú:
()
KA KB 3KC 2KD KA KB KC 2 KD KC 3KG 2CD++ = ++= - =


KG, CD

cựngphng.

Vỡ
G, C, D
khụngthnghngnờn
KG
v
CD
songsong.
Bitp3.Chotamgiỏc
ABC
.Gi
D
limxỏcnhbi
2
BD BC
3
=

v
I
ltrungimca
AD
.Gi
M
limthamón
AM xAC=

vi
x ẻ

a) Tớnh

BI

theo
BA

v
BC


b) Tớnh
BM

theo
BA

v
BC


c) Tớnh
x
baim
B, I, M
thnghng
Hngdn.Tacú:
a)
I
ltrungim
AD
nờn:

()
11211
BI BA BD BA BC BA BC
22323
ổử
ữ
ỗ
ữ
=+=+=+
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ


G
A
B
C
D
E
ChuyênđềHìnhhọclớp10   LêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh

8
b) Tacó:
()
()
AM xAC BM BA x BC BA BM 1 x BA xBC=-= -=- +

     

c)Tacó:Đểbađiểm
B, I, M
thẳnghàng

tồntạisố
k
saocho
BM kBI=
 
.
() ()
kk 2
BM kBI 1 x BA xBC BA BC 2 1 x 3x x
23 5
=- + = + -==
   

Bàitập4.Chobađiểm
A, B, C
và
O
tùyý.Chứngminhrằng
A, B, C
thẳnghàngkhivàchỉ
khi:
OA kOB
OC , k 1
1k

+
="¹-
+
 


Hướngdẫn.Tacó:
A, B, C
thẳnghàng
()
AC kCB OC OA k OB OC= -= -
  

 Bài t ập 5.Chotứgiác
ABCD
.Trêncáccạnh
AB
và
CD
 ta lấy các điểm
M, N
saocho
AM DN
AB DC
=
.Chứngminhrằngtrungđiểmcủabađoạnthẳng
AD, B C, MN
thẳnghàng.
Hướngdẫn.
+Đặt

AM kAB
AM DN
k
AB DC
DN kDC
ì
ï
=
ï
ï
==
í
ï
=
ï
ï
î
 
 

+Tacó:
2PQ AB D C=+


+Tacó:
()
2PR AM DN k AB DC=+= +
    

Bàitập6.Chotamgiác

ABC
.Trên
AB
lấyđiểm
D
saocho
3
BD BC
5
=

vàmộtđiểm
E
thỏa
mãn
4EA 2EB 3EC 0++=


a) Tính
ED

theo
EB

và
EC


b) Chứngminh3điểm
E, A, D

thẳnghàng.
Hướngdẫn.
a)Tacó:
()
3
BD BC 5BD 3BC 5BD 3 BD DC
5
===+


R
Q
P
A
B
C
D
M
N
A
B
C
E
D
ChuyênđềHìnhhọclớp10   LêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh

9
()()
2DB 3DC 0 2 DE EB 3 DE EC 0
23

ED EB EC
55
+= ++ +=
= +
 


b)Tacó:
4EA 2EB 3EC 0
4EA 2EB 3EC 0
5
EA ED
23
4
5ED 2EB 3EC
ED EB EC
55
ì
ï
ì
ï
++=
ï
++=
ï
ï
ïï
=-
íí
ïï

=+
=+
ïï
ïï
î
ï
î






Bàitập7.Chotamgiác
ABC
.Gọi
I
làtrungđiểmcủa
BC
,gọi
D
và
E
là2điểmsaocho:

BD DE EC==


a) Chứngminhrằng:
AB AC AD AE+=+

  

b) Tínhvectơ
AS AB AC AD AE=+++
   
theo
AI


c) Suyra3điểm
A, I, S
thẳnghàng
Hướngdẫn.
a) Tacó:
AB AC AD DB AE E C AD AE E C DB AD AE+=+++=+++=+
  

b) Tacó:
I
làtrungđiểm
BC
nên:
AB AC AD AE 2AI+=+=
  
.Dođótacó:
AS AB AC AD AE 4AI=+++=
 




A, I, S
thẳnghàng
Bàitập8.Chotamgiác
ABC
,lấycácđiểm
M, N, P
saocho:
MB 2MC NA 2NC PA PB 0-=+=+=
   

a) Tính
PM, PN
 
theo
AB, AC


b) Chứngminhrằng
M, N, P
thẳnghàng
Hướngdẫn.
a)Tacó:



1
PM PA AM AB AN NM
2
12
AB AC NC CM

23
12
AB AC NC BC
23
1
AB
2
=+ =- ++
=- + + +
=- + + +
=-
    
 


21
AC AC AC AB
33
3
2AC AB
2
+++-
=-


N
P
C
B
M

A
ChuyênđềHìnhhọclớp10   LêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh

10
21 1 3
PN PA AN AC AB 2AC AB
32 3 2
æö
÷
ç
÷
=+= - = -
ç
÷
ç
÷
ç
èø
 

b)Theocâuatacó:
1
PN PM
3
=


M, N, P
thẳnghàng
Bàitập9.Chotamgiác

ABC
.Gọi
M, N
làcácđiểmsaocho:
MA 2MB=
 
và
3NA 2NC 0+=
 

a) Tính
MN

theo
AB, AC


b) Chứngminh
MN
điquatrọngtâm
G
củatamgiác
ABC

Hướngdẫn.
a)Tacó:
()
MA 2MB MA 2 MA AB M A 2AB== +=-
     


()
2
3NA 2NC 0 3 NC CA 2NC 0 NC AC
5
+= ++==
  

2
MN MA AN 2AB AC
5
=+=-+
    

b)Tacó:
()
21 5152
MG MA AG 2AB AI 2AB AB AC AB AC 2AB AC
33 3365
æö
÷
ç
÷
=+=-+ =-+ +=- + =-+
ç
÷
ç
÷
ç
èø
       

5
MG MN
6
= 
 

MN
điquatrọngtâm
G
củatamgiác
ABC

Dạng5.Tìmtậphợpđiểm thỏamãnhệthứchaytínhchấtchotrước
Nếulàhệthứcvectơthìbiếnđổivềdạng
AM k.v=
 
,trongđó
k
làsốthựcthayđổi,
v

làvectơcho
trước.Nhưvậytậphợpcácđiểm
M
làđườngthẳngqua
A
vàcùngphươngvới
v

.

Nếulàhệthứcvềđộdàithìrútgọnhệthứcđãchovềdạng:
AM l=

(với
A
cốđịnh,
l
làđộdàicho
sẵn).Nhưvậytậphợpcácđiểm
M
là:
a) Đườngtròntâm
A
bánkính
l
nếu
l0>

b) Điểm
A
nếu
l0=

c)
Æ
nếu
l0<

Bàitập1.Chohìnhbìnhhành
ABCD

.Tìmtậphợpcácđiểm
M
thỏamãn:
MA MB MC MD 4AB+++ =
   

Hướngdẫn.
G
I
A
B
C
M
N
ChuyênđềHìnhhọclớp10   LêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh

11
+Gọi
O
làtrọngtâm
ABCD OA OB OC OD 0+++=
 

+Dođótacó:
MA MB MC MD 4AB 4MO 4 AB MO AB+++ =  =  =
    

Vậytậphợpcácđiểm
M
cầntìmlàđườngtròntâm

O
bánkính
AB

Bàitập2.Chotamgiác
ABC
.Tìmtậphợpcácđiểm
M
thỏamãncácđiềukiệnsau:
a)
MA MB=
 
 b)
MA MB MC 0++=
   
  c)
MA MB MA MC+=+
   

Hướngdẫn.
a)Tacótậphợpcácđiểm
M
cầntìmlàtậprỗng.
b)Gọi
G
làtrọngtâm
ABCD
tacó:
GA GB GC 0++=
 

.Dođótacó:
MA MB MC 0 3MG 0 M G+ + = = º
     

Vậytậphợpcácđiểm
M
cầntìmlàđiểm
G

c)Gọi
E, F
lầnlượtlàtrungđiểmcủa
AB
và
AC
.Khiđótacó:
MA MB MA MC 2ME 2MF ME MF+=+ = =
     

Vậytậphợpcácđiểm
M
cầntìmlàđườngtrungtrựccủađoạn
EF

Bàitập3.Chotamgiác
ABC
.
a) Xácđịnhcácđiểm
D, E
thỏamãncácđẳngthứcsau:

4DA DB 0 ; EA 2EC 0-= + =
 

b) Tìmtậphợpcácđiểm
M
thỏamãnhệthức:
4MA MB MA 2MC-=+
   

Hướngdẫn.
a) Tacó:
1
4DA DB 0 3DA DA DB 0 AD BA
3
-= +-= =
        

1
EA 2EC 0 EA EC 3EC 0 CE CA
2
+=-+==
  

b) Tacó:

4MA MB MA 2MC 4MD 4DA MD DB ME EA 2ME 2EC
3MD 3ME MD ME
-=+  + =++ +
==
       


Vậytậphợpcácđiểm
M
làđườngtrungtrựccủađoạn
DE

ChuyênđềHìnhhọclớp10   LêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh

12
Bàitập4.Chotamgiác
ABC
.Gọi
M, N
là2điểmbấtkì
a) Chứngminhrằng
uNANB2NC=+-
  
khôngphụthuộcvàođiểm
N

b) Tìmtậphợpcácđiểm
M
saocho
MA MB MC a++ =
  
với
a
chotrước.
Hướngdẫn.
a) Ta có:

u NA NB 2NC NA NC NB NC CA CB=+- =-+-=+
     
.Dođó
u

khôngphụthuộc
vàođiểm
N

b)Gọi
G
làtrọngtâm
ABCD
.Tacó:
a
MA MB MC a 3 MG a MG
3
++ = = =
   

Do
A, B, C
cốđịnhnên
G
cốđịnh.Vậytậphợpcácđiểm
M
làđườngtròntâm
G
bánkính
a

3

Bàitập5.Chotamgiác
ABC
và
I
làtrungđiểmcủa
BC
.Tìmtậphợpcácđiểm
M
thỏamãn:
2MA MB MC=+
  

Hướngdẫn.Tacó:
2MA MB MC 2MA 2MI MA MI=+ = =
    

Vậytậphợpcácđiểm
M
làđườngtrungtrựccủađoạn
AI

Bàitập6.Chotứgiác
ABCD
.
a) Xácđịnhđiểm
O
saocho:
OA 4OB 2OD+=

 

b) Tìmtậphợpcácđiểm
M
thỏamãnhệthức
MB 4MC 2MD 3MA+- =
   

Hướngdẫn.
a)Tacó:



OA 4OB 2OD 2OB 2OA 3OA 2OD 2OB
3OA 2BD 2AB
3OA 4BI
AO
+=-+=-
=-
=

       
 
 
 
4
IB
3
=



b)Tacó:
OA 4OB 2OD OA 4OB 2OD 0+=+-=
    

ChuyênđềHìnhhọclớp10   LêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh

13

MB 4MC 2MD 3MA MO OB 4 M O 4OC 2MO 2OD 3MA
3MO 3MA MO MA
+- = +++ =
==
        
 

Bàitập7.Cholụcgiácđều
ABCDEF
tâm
O
.Tìmtậphợpđiểm
M
thỏamãn:
MA MB MC MD ME MF 3 MA MD+++++ = -
       

CHUYÊNĐỀ2.TỌAĐỘTRONGMẶTPHẲNG
I.KIẾNTHỨCCƠBẢN
1.Trụctọađộ
 Trụctọađộ(trục)làmộtđườngthẳngtrênđóđãxácđịnhmộtđiểmgốc

O
vàmộtvectơđơn
vị
i

.Kíhiệutrục
x'Ox
hay
()
O, i



 Chođiểm
M
tùyýtrêntrục.Khiđótồntạiduynhấtsố
k
saocho:
MO k.i=
 
.Số
k
đgltọađộ
củađiểm
M
đốivớitrục
()
O, i



 Chovectơ
a

nằmtrêntrục
()
O, i

.Khiđócóduynhấtsố
t
saocho
at.i=

.Số
t
đgltọađộ
củavectơ
a

đốivớitrục
()
O, i



Tọađộđiểm
M
chínhlàtọađộvectơ
OM



 Nếu2điểm
A, B
nằmtrêntrục.Khiđó,códuynhấtsố
t
saocho
AB t.i=

.Tagọisố
t
đólà
độdàiđạisốcủavectơ
AB

đốivớitrục
()
O, i

.Kíhiệu
AB

Nhậnxét:

AB AB.i=


 Nếu
AB

cùnghướngvới
i


thì
AB AB=

 Nếu
AB

ngượchướngvới
i

thì
AB AB=-

 Nếuhaiđiểm
A, B
trêntrụclầnlượtcótọađộlà
a
và
b
thì:
AB b a=-

Địnhlí.Trêntrụcsố:
 Với3điểmbấtkìtrêntrục,tacó:
AB BC AC+=
(hệthứcSa‐lơ)
 Haivectơ
AB

và

CD

bằngnhau
AB CD=

i
x
x'
ChuyênđềHìnhhọclớp10   LêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh

14
2.Hệtrụctọađộ
 Hệtrụctọađộ
()
O, i, j

gồmhaitrục
()
O, i

và
()
O, j

vuônggócvớinhau.
 Tọađộvectơ:
()
ua;b ua.ib.j==+



 Tọađộđiểm:
()
Mx;y OM x.i y.j=+
  

Địnhlí1.Chohaivectơ
() ( )
ax;y;bx';y'==

và
k Î 
.Khiđó:

xx'
ab
yy'
ì
ï
=
ï
=
í
ï
=
ï
î



()

ab xx';yy'=  



()
k.a kx ; ky=



a

cùngphươngvới
b

x.y ' x '.y=

Địnhlí2.Cho
()()
AA BB
Ax;y ,Bx;y
tacó:
()
BABA
AB x x ; y y=- -


Địnhlí3.Cho
()()
AA BB
Ax;y ,Bx;y

,
()
CC
Cx;y

 Gọi
()
II
Ix;y
làtrungđiểm
AB
tacó:
AB
I
AB
I
xx
x
2
yy
y
2
ì
ï
+
ï
=
ï
ï
ï

í
ï
+
ï
=
ï
ï
ï
î

 Gọi
()
GG
Gx;y
làtrọngtâmtamgiác
ABC
tacó:
ABC
G
ABC
G
xxx
x
3
yyy
y
3
ì
ï
++

ï
=
ï
ï
ï
í
ï
++
ï
=
ï
ï
ï
î

