một số bài toán về đường vuông góc chung

CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!!

1

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG
KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
I. PHƯƠNG PHÁP LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG :
Phương pháp 1 :
Giả sử có hai đường thẳng (d
1
), (d
2
) lần lượt có phương trình như sau :
M1
1 M 2
M3
x x a t
(d ): y y a t
z z a t
và
N1
2 N 2
N3
x x b t'
(d ): y y b t'
z z b t'

 Lấy điểm M (d
1
) ; N (d
2

)
M(
M1
x a t
;
M2
y a t
;
M3
z a t
)
N(
N1
x b t'
;
N2
y b t'
;
N3
z b t'
)
 MN là đường vuông góc chung :
11
2
2
MN (d ) MN a
MN (d )
MN a



Ta có hệ phương trình sau :
MN .
1
a
= 0
MN .
1
a
= 0
 Giải hệ phương trình (*) tìm t và t’. Lấy t thế vào (d
1
) có tọa độ của M, t’ thế vào (d
2
) có tọa độ N.
 Lập phương trình đường thẳng MN đó chính là phương trình đường vuông góc chung cần tìm.

Phương pháp 2 :
 Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng (d
1
) và (d
2
) :
1
a (a
;
2
a
;
3

a
)
b
(
1
b
;
2
b
;
3
b
)



 Viết phương trình mp( ) chứa (d
1
) và đường vuông góc chung :

mp( ):
n a ,u

 Viết phương trình mp( ) chứa (d
2
) và đường vuông góc chung :

mp( ):
n b ,u

 Đường vuông góc chung cần tìm chính là giao tuyến của hai mp( ) và mp( ) .




MN = ( )
(*)
(d
1
)
M
N


(d
2
)

2 3 3 1 1 2
2 3 3 1 1 2
a a a a a a
u ; ;
b b b b b b

u là vectơ chỉ phương của
đường vuông góc chung
qua điểm A (d
1
)
qua điểm B (d

2
)


d
1
d
2
A

B





u

CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!!

2
II. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
Phương pháp 1 :
Độ dài MN ở phần I chính là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Phương pháp 2 :
 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d
1
) và song song với (d
2

)
mp(P):
n a ,b

 Lấy điểm B (d
2
) và tính khoảng cách từ B đến mp(P) thì :

12
d ,d B,(P)
= BH
Áp dụng công thức tính khoảng cách từ M(x
0
; y
0
; z
0
) đến mặt phẳng ( ) : Ax + By + Cz + D = 0
0 0 0
0
2 2 2
Ax By Cz D
M ,( )
A B C

Phương pháp 3 :
(d
1
) đi qua A và có vectơ chỉ phương a
1

(d
2
) đi qua B và có vectơ chỉ phương a
2

Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng d
1
và d
2
được tính theo công thức :

12
12
12
a ,a .AB
d ,d
a ,a

BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1 : Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng D và D’ lần lượt có phương trình :

x 2z 2 0
(D):
y 3 0
và
x 2 t
(D'): y 1 t
z 2t

1. Chứng minh rằng 2 đường thẳng D và D’ không cắt nhau nhưng vuông góc với nhau
2. Viết phương trình đường vuông góc chung của D và D’ .
(Trích đề thi tuyển sinh khối D 2006)
Bài 2 : Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 2x – y + 2z – 3 = 0 và 2 đường thẳng

1
x 4 y 1 z
(d ):
2 2 1
và
2
x 3 y 5 z 7
(d ):
2 3 2

a) Chứng tỏ (d
1
) song song với ( ) và (d
2
) cắt ( )
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
)
c) Viết phương trình đường thẳng ( ) // với mp( ), cắt (d
1
) và (d
2
) lần lượt tại M, N sao cho

MN = 3 (Trích đề thi tuyển sinh cao đẳng khối A 2007)
Bài 3 : Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
) có phương trình :

1
x 7 y 5 z 9
(d ):
3 1 4
và
2
x y 4 z 18
(d ):
3 1 4

a) Viết phương trình mặt phẳng chứa (d
1
) và (d
2
)
b) Tính khoảng cách giữa (d
1
) và (d
2
) (Trích đề thi Đại Học Kiến Trúc Hà Nội 1998)
Bài 4 : Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng (d
1
) và (d

2
) có phương trình :
qua điểm A (d
1
)
P
d
1
d
2
B



H



CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!!

3

1
x 1 y 2 z 3
(d ):
1 2 3
và
2
x 2y z 0
(d ):

2x y 3z 5 0

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
).
Bài 4 : Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
) có phương trình :

1
x 7 y 3 z 9
(d ):
1 2 1
và
2
x 3 y 1 z 1
(d ):
7 2 3

a) Chứng minh (d
1
) và (d
2
) chéo nhau.
b) Lập phương trình đường vuông góc chung của (d
1

) và (d
2
).
(Trích đại học Y Dược 1998)
Bài 5 : Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
) có phương trình :

1
x 2 y 3 z 4
(d ):
2 3 5
và
1
x 1 y 4 z 4
(d ):
3 2 1

a) Viết phương trình chính tắc của đường vuông góc chung (d) của (d
1
) và (d
2
).
b) Tìm tọa độ giao điểm H, K của (d) với (d
1
), (d
2
).

(Trích đề thi đại học Quốc Gia TPHCM 1997)
Bài 6 : Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng chéo nhau (d
1
) và (d
2
) có phương trình :

1
x1
(d ): y 4 2t
z 3 t
và
2
x 3t'
(d ): y 3 2t'
z2

a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
).
b) Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
).
(Trích đề thi đại học thương mại 1997)
Bài 7 : Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng (d
1

) và (d
2
) có phương trình :

1
x 1 t
(d ): y t
zt
và
2
x 2t'
(d ): y 1 t'
z t'

a) Chứng minh (d
1
) và (d
2
) chéo nhau .
b) Viết phương trình mặt phẳng (P), (Q) song song với nhau, lần lượt chứa (d
1
) và (d
2
).
c) Tính khoảng cách giữa (d
1
) và (d
2
).
(Trích đề thi đại học Nông Lâm 1995)

Bài 8 : Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
) có phương trình :

1
x 2 t
(d ): y 1 t
z 2t
và
2
x 2z 2 0
(d ):
y 3 0

a) Chứng minh (d
1
) và (d
2
) chéo nhau.
b) Viết phương trình đường vuông góc chung của (d
1
) và (d
2
).
c) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng cách đều (d
1
) và (d
2

).
(Trích đề thi đại học Sư Phạm Hà Nội 1998)
Bài 9 : Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
) có phương trình :
1
x y 2z 0
(d ):
x y z 1 0
và
2
x 2 2t
(d ): y 5t
z 2 t

CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!!

4
a) Chứng minh (d
1
) và (d
2
) chéo nhau .
b) Tính khoảng cách giữa (d
1
) và (d
2
).

c) Viết phương trình đường thẳng ( ) qua M(1 ; 1 ; 1) và cắt cả hai đường thẳng (d
1
), (d
2
)
(Trích đề thi đại học Ngoại Ngữ Hà Nội 1997)
Bài 10 : Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
) có phương trình :

1
x 8z 23 0
(d ):
y 4z 10 0
và
2
x 2z 3 0
(d ):
y 2z 2 0

a) Viết phương trình mặt phẳng (P), (Q) song song với nhau lần lượt chứa (d
1
), (d
2
).
b) Tính khoảng cách giữa (d
1
) và (d

2
).
c) Viết phương trình đường thẳng ( ) song song với Oz và cắt cả hai đường thẳng (d
1
), (d
2
).
(Trích đề thi đại học Kinh Tế 1995)
Bài 11 : Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
) có phương trình :

1
x 2t 1
(d ): y t 2
z 3t 3
và
2
x t' 2
(d ): y 2t' 3
z 3t' 1

a) Chứng tỏ hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
) chéo nhau.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (d

1
), (d
2
).
(Trích đề thi đại học Tổng Hợp Hà Nội khối A 1994)
Bài 12 : Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
) có phương trình :

1
x 3t 7
(d ): y 2t 4
z 3t 4
và
2
x t' 1
(d ): y 2t' 9
z t' 12

a) Chứng tỏ hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
) chéo nhau.
b) Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
(Trích đề thi đại học Cảnh Sát Nhân Dân 2000)
Bài 13 : Đường thẳng (d
1

) qua điểm P
1
(1 ; 2 ; 1) có vectơ chỉ phương a
1
= (1 ; 0 ; 1), đường thẳng (d
2
)
đi qua điểm P
2
(0 ; 1 ; 2) có vectơ chỉ phương a
2
= (–1 ; –1 ; 0). Viết phương trình đường vuông
góc chung (d) của (d
1
) và (d
2
) (theo dạng giao tuyến của hai mặt phẳng).
(Trích đề thi Cao Đẳng Công Nghiệp 4 – 2000)
Bài 14 : Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1 ; 1 ; 1), B(1 ; 2 ; 1), C(1 ; 1 ; 2),
D(2 ; 2 ; 1).
a) Viết phương trình đường vuông góc chung của AB và CD.
b) Tính thể tích tứ diện ABCD.
(Trích đề thi Trung Tâm Đào Tạo Cán Bộ Y Tế TPHCM – 1999)