GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP ĐỒNG NHẤT HÓA SỐ ÁP DỤNG CHO VẬT LIỆU COMPOSITE

GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP ĐỒNG NHẤT HÓA SỐ ÁP DỤNG CHO VẬT
LIỆU COMPOSITE
ON THE INTRODUCTION OF NUMERICAL HOMOGENIZATION OF
COMPOSITE MATERIAL
TS. Phạm Quốc Hồn
Khoa Cơng trình
Tóm tắt
Nội dung bài báo trình bày về phương pháp đồng nhất hóa số sử dụng phương pháp phần
từ hữu hạn. Các khái niệm cơ bản như cận trên, cận dưới, phần từ đại diện (RVE), điều kiện biên,
tính chất tương đương… sẽ được giới thiệu. Cuối cùng q trình tính tốn sẽ được minh họa cho
trường hợp vật liệu composite cụ thể.
Từ khóa: Đồng nhất hóa số, Phẩn tử đại diện, Vật liệu composite, Vật liệu không đồng nhất.
Abstract
In this paper, the numerical homogenization method is presented. The basic concepts, such
as lower, upper bounds, representative volume element (RVE), boudary conditons, are briefly
introduced. Finally, the calculation procedure is applied in the case of a specific heterogeneous
material.
Keywords: Numerical homogenization, Representative volume element (RVE), Composite
material, Heterogeneous material.
1. Mở đầu
1.1. Giới thiệu chung về phương pháp đồng nhất hóa
Trong cơ học vật liệu, việc xác định ứng xử của vật liệu khơng đồng nhất là tương đối khó
khăn do loại vật liệu này có cấu trúc và thành phần khá phức tạp [1]. Để khắc phục vấn đề này,
phương pháp đồng nhất hóa đã được đề xuất với này khái niệm về vật liệu đồng nhất tương
đương. Nhiệm vụ của phương pháp đồng nhất hóa là đi tìm tính chất của vật liệu đồng nhất tương
đương có ứng xử tổng thể tương đương đại diện cho vật liệu không đồng nhất sao cho ứng xử
tổng thể của hai vật liệu này là như nhau. Nói cách khác vật liệu không đồng nhất được chuyển
đồng thành một vật liệu mới như trong Hình 1. Tính chất của vật liệu đồng nhất tương đương
(EHM) được xác định phụ thuộc vào tỷ lệ thành phần và ứng xử của các thành phần trong vật liệu
khơng đồng nhất [2].

Hình 1. Khái niệm đồng nhất hóa vật liệu khơng đồng nhất

1.2. Phương pháp đồng nhất hóa giải tích (analytical homogenization method)
Phương pháp đồng nhất hóa giải tích là một trong số những kỹ thuật đồng nhất hóa đầu tiên
được phát triển với hai nội dung chính là các cận trên dưới và các mơ hình. Cận đơn giản nhất đó
là cận bậc 0 (zero order bounds). Cận này áp dụng cho vật liệu có hai thành phần, giả thiết được
đưa ra là các giá trị của tính chất tương đương phải lớn hơn giá trị của vật liệu mềm nhất và nhỏ
hơn giá trị của vật liệu cứng nhất. Tiếp theo cận bậc 1 được đưa ra bởi Voigt [3], đó chính là “quy
luật hỗn hợp” trong vật liệu composite [4]. Quy luật này sau đó được phát triển thành dạng nghịch

NBH: 01/01/2014-Rev:01

BM.05.QT.KHCN.05


đảo bởi Reuss. Hai quy luật này được gọi là cận dưới Voigt và cận trên Reuss như ở công thức (1)
và (2).

{

Voigt

¿ k = p k i +(1−p)k m
Voigt
¿ μ = p μi +(1− p) μ m

(1)

ki km
( 1− p)k i+ p k m

μi μm
ℜ u ss
¿μ
=
(1− p) μi + p μ m

(2)

{

¿k

ℜu ss

=

Trong đó p là tỷ lệ thể tích của vật liệu cốt, k là mơ đun đàn hồi khối (Bulk modulus) và µ là mơ đun
đàn hồi về trượt.

Tiếp theo Hashin và Shtrikman đề xuất cận bậc 2 dựa vào nguyên lý năng lượng tối thiểu và
nguyên lý biến thiên giới hạn (variational bounding technique). Cận này có khoảng biến thiên nhỏ
hơn so với cận bậc 1, được thể hiện ở các phương trình sau đây
(3)
¿
(4)
¿
Các mơ hình cũng được phát triển, nổi bật là mơ hình hỗn hợp lỗng (Dilute solution), mơ
hình tự đồng nhất (Self-consistent) và mơ hình Mori – Tanaka. Trong mơ hình Mori – Tanaka hình
dạng của vật liệu và tương tác giữa chúng có được kể đến, thể hiện ở phương trình dưới đây:

(
(

k =k m 1+
μ=μ m 1+

p ( k i−k m )

)
))

(5)

k m +α ( 1− p ) ( k i−k m )
p ( μi −μm )
μ m + β ( 1− p ) ( μi −μm

(6)

Các cận và mơ hình nói trên có nhược điểm là khó áp dụng cho các trường hợp phức tạp và
không kể để sự ảnh hưởng của vị trí các thành phần trong vật liệu khơng đồng nhất.
1.3. Phương pháp đồng nhất hóa số (numerical homogenization method)
Để dễ dàng cho việc tính tốn và tự động hóa, phương pháp đồng nhất hóa số đã được đề
xuất trên cơ sở kết hợp phương pháp phần tử hữu hạn và lý thuyết đồng nhất hóa [2, 5, 6].
Phương pháp này có phạm vi áp dụng rộng rãi cho vật liệu không đồng nhất, không hạn chế hình
dạng, tính chất vật liệu hay số lượng thành phần trong vật liệu composite. Các bước chính như
sau:
- Bước 1: xác định phần tử đại diện (RVE) qua phân tích cấu trúc vi mơ của vật liệu. Phần tử
đại diện ở đây được định nghĩa là phần thể tích nhỏ nhất của vật liệu khơng đồng nhất có đủ khả
năng đại diện cho vật liệu và không phụ thuộc vào điều kiện biên [2].

- Bước 2: sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn, áp dụng các điều kiện biên thích hợp lên
phần tử đại diện. Thơng thường có 3 loại điều kiện biên phổ biến là KUPC, PBC và SUBC Trạng
thái ứng suất biến dạng của phần tử đại diện được xác định.
- Bước 3: Xác định tính chất tổng thể tương đương của vật liệu đã được đồng nhất hóa từ
các giá trị ứng suất trung bình

1

⟨ σ ( x )⟩ = ∫ σ ( x ) dV =Σ
V

(7)

V

1

⟨ ε (x )⟩ = ∫ ε ( x ) dV =E
V

(8)

V

Trong đó

kí hiệu cho giá trị trung bình,

là các giá trị véc tơ,

là thể tích của RVE,

và

là giá trị ứng suất và biến dạng của vật liệu đồng nhất hóa tương đương. Giá trị các thơng số

NBH: 01/01/2014-Rev:01

BM.05.QT.KHCN.05


của vật liệu tương đương được xác định căn cứ vào điều kiện biên áp dụng. Ví dụ khi sử dụng
KUBC và PBC giá trị mô đun đàn hồi khối và mô đun đàn hồi trượt được xác định như sau:

1
k eff = trace ⟨ σ ⟩
3

(9)

μeff =⟨ σ 12 ⟩

(10)

2. Ví dụ minh họa và thảo luận
Trong phần này trình bày một ví dụ minh họa cho việc xác định tính chất vật liệu composite
bằng phương pháp đồng nhất hóa số. Vật liệu được sử dụng là vật liệu composite sử dụng nền là
polyamide PA66 và cốt là sợi thủy tinh ngắn có đường kính là 10 μm và chiều dài 240 μm. Cả hai
loại vật liệu đều được coi là đàn hồi tuyến tính như bảng sau:
Bảng 1. Tính chất vật liệu composite

Vật liệu

E(GPa )

ν

Nền

3.1

0.35

Cốt

76

0.22

Phần tử đại diện được tạo ra bời thuật toán phân phối ngẫu nhiên các sợi thủy tinh trong 1
khu vực nhất định. Sau đó bằng kỹ thuật chập hình ảnh phần tử đại diện sẽ được chia lưới để sử
dụng cho việc tính tốn ứng suất – biến dạng (Hình 2). Trong nội dung bài báo này khơng đi sâu
vào vấn đề đó. Tiếp theo sử dụng phần mềm chuyên dụng Zebulon gán điều kiện biên, xác định
các giá trị ứng suất, biến dạng trung bình. Kết quả tính tốn được thể hiện ở Hình 3.

Hình 2. Phần tử đại diện đã được chia lưới

Hình 3. Kết quả tính tốn mơ đun đàn hồi khối và mơ đun đàn hồi trượt

Có thể thấy được giá trị mô đun đàn hồi khối và mô đun đàn hồi trượt tăng dần theo tỷ lệ thể

tích của cốt sợi thủy tinh trong vật liệu (p). Ở đây các cận giải tích Hashin – Shtrikman và Voigt –
Reuss được sử dụng để đánh giá kết quả. Giá trị thu được nằm trong khoảng giữa hai cận. Kết
quả thu được từ phương pháp đồng nhất hóa số cũng được so sánh với giá trị thu được từ
phương pháp đồng nhất hóa trung bình (Mean field Homogenization). Sai khác giữa hai phương
pháp là nhỏ, như vậy kết quả thu được là đáng tin cậy.
3. Kết luận – kiến nghị
Bài báo đã trình bày tổng quan về phương pháp đồng nhất hóa nói chung và phương pháp
đồng nhất hóa sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn số nói riêng. Lý thuyết tính tốn cũng được
minh họa bằng cách áp dụng cho một vật liệu composite cụ thể, kết quả tính tốn thu được cũng
được so sánh với các cận giải tích và phương pháp đồng nhất hóa trung bình. Giá trị thu được là

NBH: 01/01/2014-Rev:01

BM.05.QT.KHCN.05


đáng tin cậy. Phương pháp đồng nhất hóa số với ưu điểm dễ tự động hóa và có ít hạn chế nên có
thể áp dụng rộng rãi trong tính tốn tính chất vật liệu.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]

Srihari Kurukuri and S. Eckardt, "A review of homogenization techniques for
heterogeneous materials," 2004.

[2]

T. Kanit, S. Forest, I. Galliet, V. Mounoury, and D. Jeulin, "Determination of the size of the
representative volume element for random composites: statistical and numerical
approach," International Journal of Solids and Structures, vol. 40, no. 13-14, pp. 36473679, 2003.

[3]

W. Voigt, "Ueber die Beziehung zwischen den beiden Elasticitätsconstanten isotroper
Körper," Annalen der Physik, vol. 274, no. 12, pp. 573-587, 1889/01/01 1889, doi:
10.1002/andp.18892741206.

[4]

A. Reuss, "Berechnung der Fließgrenze von Mischkristallen auf Grund der
Plastizitätsbedingung für Einkristalle," ZAMM - Journal of Applied Mathematics and
Mechanics / Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik, vol. 9, no. 1, pp. 49-58,
1929/01/01 1929, doi: 10.1002/zamm.19290090104.

[5]

J. Renard and M. F. Marmonier, "Etude de l'initiation de l'endommagement dans la matrice
d'un matériau composite par une méthode d'homogénéisation," La Recherche
aérospatiale, no. 6, pp. 43-51, 1987.

[6]

JoséMiranda Guedes and Noboru Kikuchi, "Preprocessing and postprocessing for
materials based on the homogenization method with adaptive finite element methods,"
Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 83, no. 2, pp. 143-198,
1990/10/01/ 1990, doi: />
NBH: 01/01/2014-Rev:01

BM.05.QT.KHCN.05