Đề Cương Đồ Họa Máy Tính

Câu 1: Khái niệm đồ họa máy tính? Các ứng dụng của đồ họa máy tinh?
 Khái niệm : Đồ họa máy tính là tất cả những gì liên quan đến việc sử dụng máy tính để
phát sinh ra hình ảnh. Các vấn đề liên quan tới công việc này bao gồm: tạo, lưu trữ, thao
tác trên các mô hình (các mô tả hình học của đối tượng) và các ảnh.
 Các ứng dụng của đồ họa máy tính:
- Hỗ trợ thiết kế (CAD/CAM)
- Xây dựng giao diện người dùng (User Interface)
- Biểu diễn thông tin
- Lĩnh vực giải trí, nghệ thuật.
+ Sản xuất phim hoạt hình và tạo các hiệu ứng đặc biệt.
+ Trò chơi máy tính.
+ Duyệt Web
- Ứng dụng trong tự động hóa và điều khiển
- Mô phỏng
- Lĩnh vực bản đồ (Cartography)
- Giáo dục và đào tạo
- Hình ảnh hóa số liệu khoa học.
Câu 2: Các phương thức hiển thị
 Phương thức hiển thị Raster
- Tia điện tử quét ngang trên màn hình từ trái qua phải, khi quét hết một dòng ngang,
tia điện tử được dập tắt và lái hồi về đầu dòng tiếp.
- Mỗi điểm ảnh trên màn hình được gọi là pixel.
- Ảnh hiển thị theo công nghệ Raster là các đuờng raster nằm ngang, mỗi đường là
một hàng gồm nhiều pixel. Hệ hiển thị Raster lưu trữ dưới dạng ma trận các điểm ảnh
biểu diễn toàn bộ màn hình.
- Sự bật tắt các điểm sáng trên màn hình phụ thuộc vào cường độ của tia điện tử và
đây chính là cơ sở của việc tạo ra hình ảnh trên màn hình.
Ưu điểm: Nguyên lý hoạt động tương tự như tivi, hình ảnh tạo ra tương đối tốt.
Nhược điểm: xảy ra hiệu ứng bậc thang.
 Phương thức hiển thị vector
- Quét vector theo tọa độ các điểm đầu và cuối vector. Người ta sử dụng các cuộn lái

tia để quét thành các đoạn thẳng và như thế để vẽ được một đối tượng đồ họa người ta
phải phân tích đối tượng thành các đoạn thẳng cơ sở và lần lượt vẽ chúng.
- Chỉ di chuyển một số lần cần thiết để tạo ra hình ảnh. Khi đang ở giữa hai điểm
mút của đoạn thẳng định vẽ thì chùm tia không bao giờ bị tắt.
Ưu điểm: Thích hợp cho việc hiển thị các đối tượng hình học
Không bị hiệu ứng bậc thang
Tốn ít bộ nhớ.
Nhược điểm: Với các ảnh phức tạp, cần thời gian vẽ lớn.
 So sánh phương thức hiển thị raster và vector:
Câu 3: Hệ toạ độ thế giới thực?hệ tọa độ thiết bị?hệ tọa độ chuẩn?
a. Hệ toạ độ thế giới thực (WCS: World Coordinate System)
WCS hay hệ toạ độ thực là hệ toạ độ được dùng mô tả các đối tượng trong thế giới
thực.
Một trong hệ toạ độ thực được dùng nhiều nhất là hệ toạ độ Descartes. Bất kì điểm
nào trong mặt phẳng được mô tả bằng cặp toạ độ (x,y) trong đó x,y R. Gốc toạ độ là điểm
O có toạ độ (0,0), Ox,Oy lần lượt là trục hoành và trục tung và x,y là hoành độ và tung
độ.
Các toạ độ thế giới thực cho phép người sử dụng bất kì một thứ nguyên (dimension)
quy ước: foot, cm, nm, km, inch tuỳ ý.
Hình 2.3 Hệ tọa độ thực
b. Hệ toạ độ thiết bị (DCS: Device Coordinate System)
Hệ toạ độ thiết bị là hệ toạ độ được dùng bởi một thiết bị xuất cụ thể nào đó như
máy in, màn hình
Các điểm được biểu diễn bởi cặp toạ độ (x,y), nhưng x,y N. Điểm trong toạ độ thực
được định nghĩa liên tục, còn trong toạ độ thiết bị thì rời rạc do tính chất của tập các số tự
nhiên.
Các toạ độ (x,y) có giới hạn trong một khoảng nào đó. Khoảng giới hạn các tọa độ x,
y là khac nhau đối với từng thiết bị khác nhau.
c. Hệ tọa độ thiết bị chuẩn (Normalized device coordinates)
Do cách định nghĩa các hệ tọa độ thiết bị khác nhau nên một hình ảnh hiển thị được

trên thiết bị này là chính xác thì chưa chắc hiển thị chính xác trên thiết bị khác.
Người ta xây dựng một hệ tọa độ thiết bị chuẩn đại diện chung cho tất cả các thiết
bị để có thể mô tả các hình ảnh mà không phụ thuộc vào bất kỳ thiết bị nào.
Trong hệ tọa độ chuẩn, các tọa độ x, y sẽ được gán các giá trị trong đoạn từ [0,1].
Như vậy, vùng không gian của hệ tọa độ chuẩn chính là hình vuông đơn vị có góc
trái dưới (0, 0) và góc phải trên là (1, 1).
Quá trình mô tả các đối tượng thực như sau:
Hình 2.5 Hệ tọa độ chuẩn
Câu 4:Nguyên lý chung vẽ đoạn thẳng
Đầu vào: cho 2 điểm đầu mút (x1,y1) (x2,y2), màu vẽ C.
Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đầu mút:
(x-x1)/(y-y1)=(x2-x1)/(y2-y1)
Y=(y2-y1)*(x-x1)/(x2-x1)+y1
Đặt m= (y2-y1)/(x2-x1)
b= y1-mx1
ta có phương trình y=mx+b
m được gọi là độ dốc hay hệ số góc của đường thẳng
b được gọi là đoạn chắn trên trục y.
Từ phương trình này chúng ta có thể xây dựng quá trình vẽ các đường thẳng khi cho
x biến thiên các khoảng ∆x và kết quả ta có thể thu được giá trị của biến y thay đổi với
các khoảng ∆y tương ứng ∆y =m∆x.
Hoặc có thể làm ngược lại cho y biến thiên từng khoảng ∆y và kết quả ta có thể thu
được giá trị của x thay đổi các khoảng ∆x tương ứng ∆x=∆y/m .
Đơn vị nhỏ nhất của màn hình là một điểm ảnh nên thông thường chọn ∆x= 1 (∆x=
-1) hoặc ∆y= 1 (∆y= -1).
Nguyên lý chung là cho một thành phần tọa độ x hay nguyên biến đổi theo từng
đơn vị và tính tọa độ nguyên còn lại sao cho gần với tọa độ thực nhất.
Việc quyết định chọn x hay y biến đổi phụ thuộc vào dáng điệu của đoạn thẳng để ta
có thể thu được đoạn thẳng xấp xỉ tốt nhất của đoạn thẳng thực tế.
Nếu |dx| >|dy|, x biến đổi theo từng đơn vị, tính thành phần y tương ứng

Nếu |dx| < |dy|, y biến đổi theo từng đơn vị, tính thành phần x tuơng ứng
Do các đường thẳng được mô tả trong hệ tọa độ thực nhưng khi hiển thị trong máy
tính, hệ tọa độ chính là lưới nguyên nên bản chất của quá trình vẽ các đường thẳng chính
là sự nguyên hóa các tọa độ các điểm thuộc đường thẳng và vẽ các pixel tương ứng.
Câu 5:Thuật toán DDA vẽ đoạn thẳng
-Ta xét các đường thẳng có hệ số góc m trong khoảng [0,1] và Dx>0.
+Mỗi bước nhẩy của x trong mỗi lần tính tương đương một điểm ảnh.
+tại bước i+1: xi+1=xi + 1 Và tọa độ y tương ứng yi+1=yi+m
+thuật toán dừng khi:x=x2
Vì m là số thực nên để thu được yi+1 nguyên buộc ta phải làm tròn y trước khi đưa
tọa độ truy xuất lên màn hình.
-Tương tự,Với đường thẳng có hệ số góc m>1, ta có thể cho x biến đổi theo y nghĩa
là ở đây y đóng vai trò tăng và x được tính theo tương ứng: yi+1=yi+1, xi+1=xi+1/m.
Nhận xét:
Độ chính xác của thuật toán cao, đoạn thẳng vẽ được thể hiện rất gần với đoạn
thẳng thực tế.
Tuy nhiên tốc độ tính toán chậm do phải thường xuyên làm việc với các phép toán
cộng số thực và làm tròn.
Câu 6.Thuật toán Breshenham vẽ đoạn thẳng
Xét đoạn thẳng có hệ số góc m ϵ [0,1] Dx>0
Lúc này bằng cách cho x tăng một đơn vị tại mỗi bước, ta sẽ tìm cách tính y để vẽ
các pixel tương ứng.
Giả sử ở bước thứ k ta đã xác định các tọa độ nguyên (xk, yk) như vậy chúng ta cần
xác định tọa độ (xk+1, yk+1) cho bước kế tiếp
Theo công thức ta có:
xk+1= xk+1
Giá trị của yk+1 có thể được chọn bởi một trong 2 giá trị yk hoặc yk+1. Điểm được
chọn là điểm gần với y thực nhất.
Xét khoảng cách d1, d2 từ y thực đến yk và đến yk+1
Gọi (xk+1,y) là điểm thuộc đoạn thẳng, ta có y=m(xk+1)+b

d1 = y - yk = m(xk +1) + b - yk
d2 = yk+1 - y = yk + 1 - m(xk + 1) – b
- Nếu d1 < d2 => yk+1 = yk
- Ngược lại d1 >= d2 => yk+1 = yk +1
d1 - d2= 2m(xk + 1) - 2yk + 2b - 1
m=(y2-y1)/(x2-x1)
Nếu xác định được dấu của d1-d2 thì sẽ biết được điểm ảnh nào gần với đoạn thẳng
hơn. Xác định tham số quyết định Pk cùng dấu với d1-d2.
Đặt Pk = (x2-x1) (d1 - d2)
Do Dx>0 nên Pk cùng dấu với d1-d2
Pk = (x2-x1)[(2(y2-y1)(xk +1)+(x2-x1)(- 2yk +2b-1)]/(x2-x1)
=2(y2-y1)xk-2(x2-x1)yk+c
Trong đó c là hằng số đối với đoạn thẳng và c=2(y2-y1)+(x2-x1)(2b-1)
Pk+1 =2(y2-y1)xk+1-2(x2-x1)yk+1+c
Pk+1 tại bước thứ k+1 được tính tăng dần bằng cách sử dụng giá trị Pk tại bước thứ k
như sau :
+) Pk<0 => d1<d2 chọn yk+1=yk
Pk+1 =2(y2-y1)(xk+1)-2(x2-x1)yk+c
=Pk +2(y2-y1)
+) Pk>=0 => d1>=d2 chọn yk+1=yk+1
Pk+1 =2(y2-y1)(xk+1)-2(x2-x1)(yk+1)+c
=Pk +2(y2-y1)-2(x2-x1)
Tính giá trị P1 khởi tạo :
P1=2(y2-y1)x1-2(x2-x1)y1+2(y2-y1)+(2b-1)(x2-x1)
Do (x1, y1) là điểm nguyên thuộc đoạn thẳng nên ta có :
y1=mx1+b = (Dy/Dx)*x1 + b.
Thế vào phương trình trên ta suy ra :
P1=2(y2-y1)- (x2-x1)
Câu 7.Thuật toán trung điểm vẽ đoạn thẳng (Midpoint)
Xét đoạn thẳng có hệ số góc thuộc [0,1]. Dx>0

Tại mỗi bước x tăng lên một đơn vị, y giữ nguyên hoặc tăng lên một đơn vị, chọn
giá trị y gần với đường thẳng nhất.
Thuật toán MidPoint đưa ra cách chọn yi+1 là yi hay yi+1 bằng cách so sánh điểm
thực Q(xi+1, y) với điểm MidPoint là trung điểm của S và P. Ta có:
+ Nếu điểm Q nằm dưới điểm MidPoint, ta chọn S.
+ Ngược lại nếu điểm Q nằm trên điểm MidPoint ta chọn P.
Ta có dạng tổng quát của phương trình đường thẳng:
F(x,y)=Ax+By+C=0
A=y2-y1, B=-(x2-x1), C=x2y1-x1y2
F(x,y)=0 với mọi điểm (x,y) thuộc đường thẳng
F(x,y)>0 với các điểm (x,y) nằm phía dưới đường thẳng
F(x,y)<0 với các điểm (x,y) nằm phía trên đường thẳng
Lúc này việc chọn các điểm S, P ở trên được đưa về việc xét dấu của
pi=2F(M)=2F(xi+1, yi+0.5)= 2A(xi+1)+2B(yi+0.5)+C
M là trung điểm của PS
+ Nếu pi < 0 điểm M nằm phía trên đoạn thẳng. Lúc này điểm thực Q nằm dưới
điểm M nên ta chọn S tức là yi+1=yi
Pi+1=2F(xi+1+1, yi+1+0.5)=2F(xi+2, yi+0.5)= 2A(xi+2)+2B(yi+0.5)+C
= pi+2A = pi+2Dy
+ Nếu pi>=0, điểm M nằm phía dưới đoạn thẳng. Lúc này điểm thực Q nằm phía
trên điểm M nên ta chọn P tức là yi+1=yi+1
Pi+1=2F(xi+1+1, yi+1+0.5)=2F(xi+2, yi+1.5)= 2A(xi+2)+2B(yi+1.5)+C
=pi+2A+2B=pi + 2Dy-2Dx
Ta tính giá trị p1 ứng với điểm ban đầu (x1, y1), với nhận xét rằng (x1, y1) là điểm
thuộc về đoạn thẳng, tức là ta có Ax1+By1+C=0.
P1=2F(x1+1, y1+0.5)= 2A(x1+1)+2B(y1+0.5)+C
=2(Ax1+By1+C)+ 2A+B =2A+B= 2Dy-Dx
Câu 8. Trình bày nguyên lý chung vẽ đường tròn?
Trong hệ tọa độ Descartes, phương trình đường tròn bán kính R có dạng:
Với tâm O(0,0) : x

2
+ y
2
= R
2
Với tâm C(xc, yc): (x-xc)
2
+ (y-yc)
2
=R
2
Trong hệ tọa độ cực :
x = xc+ R.cosθ, y = yc + Y.sinθ ,với θ ∈ [0, 2π].
Do tính đối xứng của đường tròn C nên ta chỉ cần vẽ 1/8 cung tròn, sau đó lấy đối
xứng qua 2 trục tọa độ và 2 đường phân giác thì ta vẽ được cả đường tròn.

Với đường tròn tâm (xc, yc) ta có thể vẽ đường tròn tâm (0,0) sau đó tịnh tiến theo
vecto (xc, yc).
Cho x = 0, 1, 2, , int(R x sqrt(2)/2) với R>1.
- Tại mỗi giá trị x, tính int(y = sqrt(R
2
-x
2
)).
- Vẽ điểm (x,y) cùng 7 điểm đối xứng của nó.
Một cách tiếp cận khác là vẽ các điểm (R cos (θ), R sin (θ)), với θ chạy từ 00 đến
900. Cách này sẽ khắc phục hạn chế đường không liền nét của thuật toán trên, tuy nhiên
điểm hạn chế chính của thuật toán này đó là chọn bước nhảy cho θ như thế nào cho phù
hợp khi bán kính thay đổi.
Câu 9. Trình bày thuật toán MidPoint vẽ đường tròn?

Xét đường tròn tâm tại gốc tọa độ, bán kính R. Xét cung 1/8 đường tròn (C
1/8
), sau
đó lấy đối xứng
Như vậy nếu có (x, y) thuộc (C
1/8
) thì các điểm : (y, x), (y,-x), (x,-y), (-x,-y), (- y,-x),
(-y,x), (-x,y) sẽ thuộc (C).
Chọn điểm bắt đầu để vẽ là điểm (0,R). Nếu (xi, yi) là điểm nguyên đã tìm được ở
bước thứ i, thì (xi+1, yi+1) ở bước thứ (i+1) là sự lựa chọn giữa S và P. Như vậy:
xi+1=xi+1, yi+1{yi, yi-1}
Việc quyết định chọn một trong hai điểm S và P sẽ được thực hiện thông qua việc
xét dấu của một hàm nào đó tại điểm MidPoint là điểm nằm giữa chúng.

Đặt F(x,y)=x
2
+y
2
-R
2
, ta có
F(x,y) <0 nếu (x,y) nằm trong đường tròn
F(x,y) =0 nếu (x,y) thuộc đường tròn
F(x,y) > 0 nếu (x,y) nằm ngoài đường tròn
Gọi M là trung điểm PS
Xét pi=F(M)=F(xi+1, yi-0.5)= (xi+1)
2
+ (yi-0.5)
2
-R

2
pi+1=F(xi+1+1, yi+1-0.5)= (xi+1+1)
2
+ (yi+1-0.5)
2
-R
2
Ta có :
+ Nếu pi<0, điểm M nằm trong đường tròn. Lúc này điểm thực Q gần S hơn nên ta
chọn S, tức là yi+1=yi
pi+1=F(xi+2, yi-0.5)= (xi+2)
2
+ (yi-0.5)
2
-R
2
=pi+ 2xi+3
+ Nếu pi>=0, điểm M nằm ngoài đường tròn. Lúc này điểm thực Q gần P hơn nên ta
chọn P, tức là yi+1=yi-1
pi+1=F(xi+2, yi-1.5)= (xi+2)
2
+ (yi-1.5)
2
-R
2

=pi+ 2xi-2yi+5
Tính giá trị p1 ứng với điểm ban đầu (x1, y1) = (0, R)
P1=F(1, R-0.5)= 5/4 –R
Câu 10. (Trình bày nguyên lý) , thuật toán trung điểm vẽ đường elip?

//Nguyên lý chung:
Cho elip tâm (h, k), độ dài trục chính là a, độ dài trục phụ là b
Phương trình đường elip đƣợc xác định như sau :
(x-h)
2
/a
2
+(y-k)
2
/b
2
=1.
Phưuơng trình elip với tâm tại gốc tọa độ:
x
2
/b
2
+y
2
/b
2
=1
Elip được chia thành 4 phần đối xứng qua 2 trục tọa độ, do vậy ta chỉ cần vẽ cung ¼
elip sau đó thực hiện lấy đối xứng để thu được các phần còn lại.
Để vẽ elip tâm (h,k) ta có thể thực hiện vẽ elip tâm tại gốc tọa độ sau đó tịnh tiến
theo véc tơ (h,k).
Tại mỗi bước ta cho x tăng từ 0 đến a sau đó tính giá trị y tương ứng qua biểu thức
trên, sau đó lấy giá trị nguyên gần với giá trị y thực nhất. //
Thuật toán trung điểm (MidPoint) vẽ elip:
Xét elip tâm tại gốc tọa độ. Phương trình đường elip:

F(x,y)=b
2
x
2
+a
2
y
2
−a
2
b
2
=0
Xét vẽ cung ¼ elip, sau đó lấy đối xứng để thu được các phần còn lại
0<=x<=a
0<=y<=b
Chia cung ¼ elip này thành 2 vùng với điểm chia P là tiếp điểm của tiếp tuyến có hệ
số góc là -1.

Véc tơ gradient vuông góc với tiếp tuyến tại tiếp điểm được xác định như sau:
GradF(x,y) = (∂F/∂x)i+(∂F/∂y)j=2b
2
x.i+2a
2
y.j
Ta có tiếp tuyến với cung tròn (độ dốc) = -1
Vector gradient có độ dốc là 1, do đó tại P các thành phần i và j của vecto gradient
có cùng độ lớn.
Trong mỗi vùng thành phần nào của vecto gradient lớn hơn thì xác định trung điểm
theo hướng đó. Thành phần nhỏ hơn sẽ biến thiên theo từng đơn vị.

Trong vùng 1 thành phần j lớn hơn thành phần i của gradient.
a
2
(yp-0.5)>b
2
(xp+1).
Trong vùng 2 thì ngược lại.
+ Xét trên phần 1:
Bắt đầu từ (0,b),
Tại mỗi bước x tăng lên một đơn vị, y biến đổi theo x
bước thứ i (xi,yi), Ở bước i+1 chọn tiếp A(xi+1, yi) hoặc B(xi+1,yi-1). Chọn điểm
gần với đường elip nhất dựa trên việc xét dấu của hàm F tại trung điểm M của AB.
Tham số quyết định:
pi =F(M)= F(xi+1,yi-1/2) = b
2
(xi+1)
2
+ a
2
(yi-1/2)
2
-a
2
b
2

pi+1 = F(xi+1+1,yi+1-1/2) = b
2
(xi+1+1)
2

+ a
2
(yi+1-1/2)
2
–a
2
b
2
- Nếu pi <0 chọn A
xi+1=xi+1
yi+1=yi
pi+1 = b
2
(xi+1+1)
2
+ a
2
(yi+1-1/2)
2
–a
2
b
2
= b
2
(xi+2)
2
+ a
2
(yi-1/2)

2
–a
2
b
2
= pi + b
2
(2xi +3)
- Nếu pi >=0 chọn B
xi+1=xi+1
yi+1=yi -1
pi+1 = b
2
(xi+2)
2
+ a
2
(yi-1.5)
2
–a
2
b
2
= pi + b
2
(2xi +3) + a
2
(-2yi +2)
- Tính P1 khởi tạo tại (0,b)
p1 = F(1,b-1/2) = b

2
+ a
2
(b-1/2)
2
–a
2
b
2
p1 = b
2
–a
2
b +a
2
/4
+Xét trên phần 2:
Ta lấy toạ độ của Pixel sau cùng trong phần 1 của đƣờng cong để tính giá trị ban
đầu cho phần 2.
Tại mỗi bước y giảm từng đơn vị, x biến đổi theo y.
Tại bước j ta có điểm (xj,yj).
Pixel ở bước kế tiếp j+1 có thể là:
C(xj,yj-1) hoặc D(xj+1, yj-1). Chúng ta sẽ lựa chọn điểm gần với đường elip nhất. Để
quyết định chọn điểm nào chúng ta có thể dựa vào dấu của hàm F tại trung điểm M của
đoạn CD .
Tham số quyết định:
qj =F(M)= F(xj+1/2,yj-1) = b
2
(xj+1/2)
2

+ a
2
(yj-1)
2
–a
2
b
2
qj+1 = F(xj+1+1/2,yj+1-1) = b
2
(xj+1+1/2)
2
+ a
2
(yj+1-1)
2
–a
2
b
2
- Nếu qj <0 chọn D
yj+1=yj-1
xj+1=xj +1
qj+1 = b
2
(xj+1+1/2)
2
+ a
2
(yj+1-1)

2
–a
2
b
2
= b
2
(xj+1.5)
2
+ a
2
(yj-2)
2
–a
2
b
2
= qj + b
2
(2xj +2) +a
2
(-2yj +3)
- Nếu qj >=0 chọn C
yj+1=yj -1
xj+1= xj
qj+1 = b
2
(xj+1+1/2)
2
+ a

2
(yj+1-1)
2
-a
2
b
2
= b
2
(xj+1/2)
2
+ a
2
(yj-2)
2
–a
2
b
2
= qj + a
2
(- 2yj+3)
- Tính q1 khởi tạo
q1 = f(xp+1/2,yp -1) = b
2
(xp+1/2)
2
+ a
2
(yp-1)

2
–a
2
b
2
Câu 11. Trình bày thuật toán tô màu dựa theo dòng quét?
Cho trước đa giác trong không gian 2D có N đỉnh P
i
(x
i
, y
i
), hãy tô đa giác theo
màu xác định trên màn hình đồ họa
Giả thiết: Đa giác đơn, không tự cắt
Các bước chính của thuật toán:
- Tìm y
max
, y
min
lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của tập các tung độ của các
đỉnh đa giác đã cho
- Ứng với mỗi dòng quét y=k, với k thay đổi từ y
min
đến y
max
lặp:
+ Tìm tất cả các hoành độ giao điểm của dòng quét y=k với các cạnh của đa
giác.
+ Sắp xếp các hoành độ giao điểm theo thứ tự tăng dần x

0
, x
1
, x
2
,
+ Tô màu các đoạn thẳng trên đường thẳng y=k lần lượt được giới hạn bởi các
cặp (x
0
, x
1
), (x
2
, x
3
)…
Có một số nhận xét sau đây:
Nhận xét 1:
Ứng với mỗi dòng quét, không phải lúc nào tất cả các cạnh của đa giác cũng
tham gia cắt dòng quét ⇒ Cần hạn chế số cạnh cần tìm giao điểm ứng với mỗi
dòng quét
Giải pháp:
Dòng quét y=k cắt một cạnh với 2 đỉnh (x
i
,y
i
), (x
i+1
,y
i+1

) khi min{y
i
,y
i+1
} ≤ k ≤
max{y
i
,y
i+1
}
Từ giải pháp trên ứng với mỗi dòng quét ta sẽ xác định được số cạnh mà dòng
quét sẽ cắt.
Nhận xét 2:
Việc tìm giao điểm của cạnh đa giác ứng với mỗi dòng quét sẽ gặp các phép
toán phức tạp như nhân, chia…trên số thực nếu dùng cách giải phương trình tìm
giao điểm.
giải pháp:
Công thức tìm giao điểm nhanh: gọi x
k
, x
k+1
lần lượt là các hoành độ giao điểm
của một cạnh nào đó ứng với các dòng quét y=k, y=k+1 ta có x
k+1
=x
k
+1/m. Với m
là hệ số góc của cạnh đang xét.
Nhận xét 3:
Nếu số giao điểm tìm được giữa các cạnh đa giác là lẻ thì việc nhóm từng

cặp giao điểm kế tiếp nhau để hình thành cá đoạn tô có thể không chính xác. Điều
này chỉ xảy ra khi dòng quét đi ngang qua các đỉnh của đa giác.
Giải pháp: Quy tắc tính số giao điểm khi dòng quét đi ngang qua đỉnh
+ Tính một giao điểm nếu chiều của 2 cạnh kề của đỉnh đó có xu hướng
tăng hay giảm (cùng hướng- xu hướng tăng hay giảm theo y)
+ Tính hai giao điểm nếu chiều của 2 cạnh kề của đỉnh đó có xu hướng thay
đổi nghĩa là tăng-giảm hay giảm-tăng
Thuật toán tô màu theo dòng quét thích hợp với việc tô các đối tượng dạng
hình học.
Câu 12. Trình bày thuật toán tô màu theo đường biên?
Đường biên được mô tả bằng một giá trị duy nhất đó là màu của tất cả các
điểm thuộc về đường biên.
Bắt đầu từ điểm nằm bên trong vùng tô, sau khi tô màu điểm này ta kiểm tra
các thuộc tính màu của điểm lân cận. Nếu các điểm lân cận đã được tô màu hay
màu của chúng là màu đường biên thì tiến trình kết thúc, ngược lại ta sẽ thực hiện
tô màu. Quá trình được lặp lại cho đến khi tất cả các điểm ảnh trong miền được
duyệt.
void BoundaryFill(int x, int y, int Fillcolor, int Boundarycolor)
{ int Currentcolor;
Currentcolor=getpixel(x,y);
If((Currentcolor!=Boundarycolor)&&(Currentcolor!=Fillcolor))
{ putpixel (x,y, Fillcolor);
BoundaryFill(x-1, y, Fillcolor, Boundarycolor);
BoundaryFill(x, y+1, Fillcolor, Boundarycolor);
BoundaryFill(x+1, y, Fillcolor, Boundarycolor);
BoundaryFill(x, y-1, Fillcolor, Boundarycolor);
}
}
Nhận xét: -Khi cài đặt thường gây lỗi tràn bộ nhớ khi vùng tô khá lớn.
-Thích hợp cho việc tô các hình phức tạp.

Câu 13. Trình bày các mô hình màu RGB, CMY, CMYK?
Mô hình màu RGB (Red, Green, Blue - đỏ, lục, lam):
Gam màu thể hiện trong màn hình CRT xác định bằng những đặc tính của hiện
tượng phát quang các chất phốt pho trong màn hình CRT. Mô hình không gian màu RGB
được sắp xếp theo khối lập phương đơn vị. Đường chéo chính của khối lập phương với sự
cân bằng về số lượng từng màu gốc tương ứng với các mức độ xám với đen là (0,0,0) và
trắng (1,1,1).
Đây là mô hình màu cộng tính
C = rR + gG + bB
Trong đó C = màu hoặc ánh sáng kết quả. (r,g,b) = toạ độ màu trong miền [0 1],
(R,G,B) = các màu cơ bản đỏ, lục và lam.
Nếu hai màu tạo ra cùng một giá trị kích thích thì chúng ta không thể phân biệt được
hai màu. Không gian màu RGB dựa theo chuẩn ITU-R BT.709, với gama = 2.2 và điểm
trắng của mô hình là 6500 degrees K.
Một số thuận lợi khi dùng không gian RGB :
+ Không gian RGB là chuẩn công nghiệp cho các thao tác đồ họa máy tính
+ Có thể chuyển đổi qua lại giữa không gian RGB với các không gian màu khác như
CIE, CMY, HSL, HSV,
+ Các thao tác tính toán trên không gian RGB thường đơn giản hơn.
Một số bất lợi :
+ Các giá trị RGB của một màu là khác nhau đối với các màn hình khác nhau :
Nghĩa là các giá trị RGB của màu tim trên màn hình màu này sẽ không sinh ra đúng màu
đó trên một màn hình khác.
+ Sự mô tả các màu trong thế giới thực đối với không gian RGB còn nhiều hạn chế
bởi vì không gian RGB không hoàn toàn phù hợp với sự cảm nhận màu sắc của con
người.
Mô hình màu CMY (Cyan, Magenta, Yellow - xanh tím, Đỏ tươi, vàng)
Ba màu cơ sở là Cyan, Magenta, Yellow đây là 3 màu bù của 3 màu Red, Green,
Blue.
Đây là mô hình màu bù (Subtractive color models) hiển thị ánh sáng và màu sắc

phản xạ từ mực in. Bổ xung thêm mực đồng nghĩa với ánh sáng phản xạ càng ít.
Khi bề mặt không phủ mực thì ánh sáng phản xạ là ánh sáng trắng - white.
Khi 3 màu có cùng giá trị cho ra màu xám. Khi các giá trị đạt max cho màu đen.
Color = cC + mM + yY
Ta có Red +Cyan = Black ; Green +Magenta = Black ; Blue + Yellow = Black

Đây là mô hình màu trừ tính.
Mô hình màu CMY- K
Mô hình mở rộng của CMY ứng dụng trong máy in màu. Giá trị đen bổ xung vào
thay thế cho hàm lượng màu bằng nhau của 3 màu cơ bản.
Công thức chuyển đổi:
K = min(C, M, Y) ;
C = C - K ;
M = M - K;
Y = Y - K ;
C-Cyan, M-Magenta, Y-Yellow; K-blacK
• Trình bày các mô hình màu HSV, HLS?
mô hình màu HSV
Yếu tố cảm nhận màu sắc:
-Hue - sắc màu: dùng để phân biệt sự khác nhau giữa các màu như xanh, đỏ, vàng
- Saturation - độ bão hoà: chỉ ra mức độ thuần của một màu hay khoảng cách của
màu tới điểm có cường độ cân bằng(màu xám)
- Lightness - độ sáng: hiện thân về mô tả cường độ sáng từ ánh sáng phản xạ nhận
được từ đối tượng.
- Brightness - độ phát sáng: cường độ ánh sáng mà tự đối tượng phát ra chứ không
phải do phản xạ từ các nguồn sáng khác.
HSV định hướng người sử dụng dựa trên cơ sở về trực giác về tông màu, sắc độ và
sắc thái mỹ thuật.
Hue: màu sắc 00-3600 đo bởi góc quay xung quanh trục đứng với màu đỏ là 00,
màu lục là 1200, màu lam là 2400. Các màu bổ sung cho hình chóp ở 1800 đối diện với

màu khác.
Value-Brightness:(độ sáng) 0-1 đường cao V với đỉnh là các điểm gốc toạ độ (0,0).
Điểm ở đỉnh là màu đen và giá trị V=0, tại các điểm này giá trị của H và S không liên
quan đến nhau. Khi điểm có S=0 và V=1 là điểm màu trắng, những giá trị trung gian của
V đối với S=0 (trên đường thẳng qua tâm) là các màu xám. Khi S=0 giá trị của H phụ
thuộc được gọi bởi các qui ước không xác định. Ngược lại khi S khác 0 giá trị H sẽ là phụ
thuộc.
Saturation: Độ bão hoà 0-1, giá trị của S là tập các giá trị từ 0 trên đường trục tâm
(trục V) đến 1 trên các mặt bên tại đỉnh của chóp 6 cạnh.
Một số thuận lợi của không gian HSV :
+Không gian HSV dễ dàng đáp ứng các màu sắc của các chương trình đồ họa do
được xây dựng dựa trên sự bắt chước luật trộn màu của người họa sĩ.
+ Do không cần sử dụng các phép biến đổi lượng giác khi muốn chuyển sang không
gian RGB nên không gian HSV có nhiều thuận lợi về mặt tính toán .
Một số bất lợi :
+ Cần có các phép hiệu chỉnh gamma.
Mô hình màu HLS (Hue, Lightness, Saturation Model) – không gian màu trực quan
Mô hình thường được sử dụng trong kỹ thuật đồ hoạ.
Ưu điểm là rất trực giác
Nhược điểm là khi chuyển đổi với không gian màu RGB sẽ có sai số (cube stood on
end) thay đổi trên các loại màn hình khác nhau, rõ ràng không cảm nhận đều các màu.
mô hình này màu trắng được kéo hướng lên hình chóp sáu cạnh phía trên từ mặt
V=1. phần bổ sung của màu sắc được đặt ở vị trí 1800 hơn là xung quanh hình chóp sáu
cạnh đôi, sự bão hoà được đo xung quanh trục đứng, từ không trên trục tới 1 trên bề mặt.
Độ sáng (Lightness)=0 cho màu đen (tại điểm mút thấp nhất của hình chóp sáu cạnh
đôi) và bằng 1 cho màu trắng (tại đầu mút cao nhất).
Một số thuận lợi của không gian HSL :
+ Không gian HSL gần với sự cảm nhận các thuộc tính màu sắc của con người hơn
không gian RGB (tuy cách tiếp cận đã đơn giản hóa đi nhiều). Các màu được xác định dễ
dàng hơn chẳng hạn do H quay quanh trục đứng nên các màu bù được xác định một cách

dễ dàng, đối với các giá trị lightness cũng vậy.
+ Việc kiểm soát các màu cơ sở HSL dễ hơn cho những người mới làm quen với các
chương trình đồ họa.
Một số bất lợi :
+ Việc thêm vào một vector không thể thực hiện đơn giản như không gian RGB
(chỉ thêm vào các thành phần màu). Các thao tác lượng giác khi biến đổi sẽ ảnh hưởng
đáng kể đến tốc độ của chương trình.
+ Cần phải qua hiệu chỉnh gamma trước khi hiển thị (giống như các không gian
khác).
Câu 14. Cho biết các vị trí tương đối của một đoạn thẳng và một cửa sổ xén
hình chữ nhật cho trước
Cho đoạn thẳng đi qua 2 điểm đầu mút (x1, y1), (x2, y2). Đoạn thẳng sẽ thuộc vào
một trong 3 trường hợp sau:
Trường hợp 1: Nhìn thấy
Đoạn thẳng nằm hoàn toàn trong cửa sổ xén. Tọa độ 2 đầu mút nằm hoàn toàn trong
cửa sổ xén. Đoạn thẳng sẽ được hiển thị toàn bộ trong vùng dữ liệu hiển thị.
Trường hợp 2: Không nhìn thấy
Đoạn thẳng nằm hoàn toàn về một phía ngoài của cửa sổ. 2 đầu mút của đoạn thẳng
nằm hoàn toàn về một phía ngoài của cửa sổ thỏa mãn một trong 4 bất đẳng thức sau:
x1, x2> xmax
x1, x2< xmin
y1,y2>ymax
y1, y2<ymin
Đoạn thẳng bị loại bỏ khỏi vùng dữ liệu hiển thị.
Trường hợp 3: đoạn thẳng được cắt.
Đoạn thẳng không thuộc trường hợp một hoặc trường hợp hai. Khi đó đoạn thẳng có
thể cắt hoặc không cắt cửa sổ.
Cần xác định nhanh phần giao điểm nếu có của đoạn thẳng với các biên của cửa sổ.
Các giao điểm này sẽ chia đoạn thẳng thành các phần nhỏ hơn và nó sẽ thuộc trường hợp
một hoặc trường hợp 2. Đoạn thẳng thuộc trường hợp một sẽ là đoạn thẳng được hiển thị

trong vùng dữ liệu hiển thị.
Câu 15:Cách xác định giao điểm trong trường hợp đoạn thẳng cắt cửa sổ:
Xác định giao điểm của hai đoạn thẳng
Xét 2 đoạn thẳng AB, CD có các tọa độ đầu mút như sau: A(xa, ya), B(xb, yb), C(xc,
yc), D(xd, yd)
Ta thường dùng phương trình tham số của đoạn thẳng để tìm giao điểm.
Phương trình đoạn thẳng AB:
X=xa + (xb-xa) t
Y=ya + (yb-ya) t
0<=t<= 1
Phương trình đoạn thẳng CD:
X’=xc + (xd-xc) v
Y’=yc + (yd-yc) v
0<=v<= 1
Xét 2 đường thẳng chứa 2 đoạn thẳng AB và CD tương ứng (t, v ϵR)
Nếu 2 đường thẳng này giao nhau với giá trị tham số t, v tương ứng nằm trong
khoảng [0,1] giao điểm này sẽ nằm trong đoạn thẳng AB và CD. Nếu giá trị tham số nằm
ngoài khoảng [0,1] thì hai đoạn thẳng này không giao nhau.
Chia nhỏ trung điểm
Đoạn thẳng được chia tại trung điểm của nó thành hai đoạn nhỏ hơn. Xác định xem
2 đoạn mới thuộc trường hợp nào. Mỗi một đoạn thẳng thuộc trường hợp 3 lại được chia
tiếp thành các đoạn nhỏ hơn. Quá trình chia đôi và phân loại tiếp tục cho tới khi tất cả các
đoạn thẳng thuộc trường hợp nhìn thấy hoặc trường hợp 2. Các đoạn thẳng thuộc trường
hợp một sẽ được lưu giữ trong vùng hiển thị của cửa sổ.
Tọa độ trung điểm M(xm, ym) của đoạn thẳng đi qua 2 điểm (x1, y1), (x2, y2)
Xm=(x1+x2)/2
Ym=(y1+y2)/2
Câu 16. Trình bày thuật toán xén đoạn thẳng Cohen-Sutherland?
-Dùng 4 bít nhị phân gán mã cho mỗi vùng để mô tả vị trí tương đối của vùng với
cửa sổ. Đánh số từ 1 đến 4 theo thứ tự từ phải qua trái: trái, phải, trên, dưới.

Bit 1 : trái (LEFT)
Bit 2 : phải (RIGHT)
Bit 3 : trên (TOP)
Bit 4 : dưới (BOTTOM)
-Bít nằm trong vùng có giá trị 1, ngược lại là 0
-Bit 1 được đặt là 1 nếu x< x
min

-Bit 2 được đặt là 1 nếu x> x
max

-Bit 3 được đặt là 1 nếu y> x
max

-Bit 4 được đặt là 1 nếu y< y
min

Thuật toán Cohen-Sutherland:
 Gọi đoạn cần xén P
1
P
2
 Gọi c
1
, c
2
là mã vùng tương ứng của P
1
P
2

 c
1
=c
2
=0000 =>P
1
P
2
nằm hoàn toàn trong cửa sổ xén.
 c
1
AND c
2
≠ 0000 =>P
1
P
2
nằm hoàn toàn bên ngoài cửa sổ xén.
 c
1
AND c
2
= 0000 và mã c
1
≠0000 hoặc mã c
2
≠0000 cần tìm giao điểm của
P
1
P

2
với các biên ngang và biên đứng của cửa sổ
 Tung độ giao điểm y của P
1
P
2
với biên đứng của cửa sổ: y=y
1
+m(x-x
1
), với x €
(x
min
,x
max
)
 Hoành độ giao điểm x của P
1
P
2
với biên ngang của cửa sổ: x=x
1
+(y-y
1
)/m , với y €
(y
min
,y
max
)

Câu 17. Trình bày thuật toán xén hình Liang-Barsky?
 Xét PT dạng tham số
 X=x
1
+t(x
2
-x
1
)=x
1
+tDx, Dx=x
2
-x
1

 Y=y
1
+t(y
2
-y
1
)= y
1
+tDy, Dy=y
2
-y
1

 Với mỗi t có điểm P tương ứng thuộc đường thẳng
 Các điểm ứng với t>=1 sẽ thuộc về tia P

2
x.
 Các điểm ứng với t<=0 sẽ thuộc về tia P
2
x’.
 Các điểm ứng với 0<=t<=1 sẽ thuộc về đoạn P
1
P
2


 Tập các điểm giao của đoạn thẳng và cửa sổ ứng với t thỏa hệ bất phương
trình:
 Đặt: P
1
=-Dx, q
1
=x
1
-x
min

P
2
=Dx, q
2
=x
max
-x
1

P
3
=-Dy, q
3
=y
1
-y
min

P
4
=Dy, q
4
=y
max
-y
1

Lúc này ta viết hệ phương trình trên dưới dạng :
 Như vậy việc tìm đoạn giao thực chất là tìm nghiệm của hệ BPT. Có 2 trường hợp:
 Hệ BPT vô nghiệm, đường thẳng không giao với cửa sổ.
 Hệ BPT có nghiệm, tập nghiệm là các giá trị t thỏa
 Xét các trường hợp:
 Nếu tồn tại k ϵ {1, 2,3,4}: (p
k
=0) ˄ (q
k
< 0) khi đó hệ vô nghiệm.
 Nếu với mọi k ϵ {1, 2,3,4}: (p

k
≠0) ˅ (q
k
>= 0) với p
k
= 0 các bất phương
trình hiển nhiên, cần giải hệ bất phương trình có pk ≠0.
 Với các bất phương trình p
k
t <=q
k
mà p
k
<0 , ta có t>=q
k
/p
k

 Với các bất phương trình p
k
t <=q
k
mà p
k
>0 , ta có t <=q
k
/p
k

 Vậy nghiệm của hệ BPT là [t

1
, t
2
] với:
 Nếu hệ trên có nghiệm thì đoạn giao Q
1
Q
2
sẽ là Q
1
(x
1
+t
1
Dx, y
1
+t
1
Dy), Q
2
(x
1
+t
2
Dx,
y
1
+t
2
Dy)

 Xét khía cạnh hình học:
 Nếu tồn tại k ϵ{1,2,3,4} : (p
k
= 0) ˄ ( q
k
< 0) đoạn thẳng cần xét song song
với một trong các biên của cửa sổ (p
k
=0) và nằm ngoài cửa sổ (q
k
<0) nên sẽ
bị loại bỏ sau khi xén.
 Với p
k
≠ 0, giá trị t=r
k
=q
k
/p
k
giao điểm của đoạn thẳng với biên k kéo dài của
cửa sổ.
+p
k
<0, đường thẳng có hướng từ ngoài vào cửa sổ.
+p
k
>0, đường thẳng có hướng từ cửa sổ đi ra.
Do đó giao là t
1

, t
2
: t
1
là giá trị lớn nhất của r
k
=q
k
/p
k
mà p
k
<0 và 0; giá trị t
2
là giá trị
nhỏ nhất của r
k
=q
k
/p
k
mà p
k
> 0 và 1.
 Xét với biên trái của P
1
P
2
có hướng đi từ ngoài vào trong, nhưng so với biên phải
của P

1
’P
2
’ lại có hướng đi từ trong cửa sổ đi ra.
Câu 18. Trình bày thuật toán cắt đa giác Sutherland-Hodgman?
Cho P1, ,PN là danh sách các đỉnh của đa giác đã bị cắt tỉa P. Cho cạnh AB (điểm
A,B) là cạnh bất kỳ của đa giác cắt tỉa Q lồi duyệt theo hướng dương. Với mỗi cạnh của
đa giác Q ta sẽ cắt mỗi cạnh của đa giác P và tạo nên một đa giác mới với các đỉnh được
xác định như sau:
Xét cạnh Pi-1Pi:
(1) Nếu cả Pi-1 và Pi đều nằm bên trái của cạnh này thì Pi được lưu lại (đưa vào
output) của đa giác cắt tỉa.
(2) Nếu cả Pi-1 và Pi đều nằm bên phải của cạnh thì không có đỉnh nào được lưu lại.
(3) Nếu Pi-1 nằm bên trái và Pi nằm bên phải của cạnh thì giao điểm I của Pi-1Pi với
cạnh sẽ được lưu lại.
(4) Nếu Pi-1 nằm bên phải và Pi nằm bên trái thì cả giao điểm I và Pi đều được lưu
lại.
Quá trình thực hiện thuật toán bằng cách duyệt lần lượt từng cạnh của đa giác cắt.
Với mỗi cạnh của đa giác cắt lại duyệt lần lượt từng cạnh của đa giác bị cắt mới thu được.
Câu 19. Cho biết các tính chất của phép biến đổi affine?
 Phép biến đổi affine bảo toàn đường thẳng
Ảnh của đường thẳng qua phép biến đổi affine là đường thẳng.
Thật vậy, ta có phương trình tham số của đường thẳng qua hai điểm A, B là :
P(t)=(1-t)A+tB. Q(t) các điểm nhận được sau phép biến đổi M.
Q(t)=P(t).M=[(1-t)A+tB]M= (1-t)AM+tBM
Nếu gọi A’, B’ lần lượt là ảnh của A, B qua phép biến đổi M, ta sẽ có A’=AM,
B’=BM. Lúc này Q(t)=(1-t)A’+tB’. Đây chính là dạng của phương trình tham số đoạn
thẳng qua A’, B’.
Từ kết quả trên, để biến đổi một đoạn thẳng đi qua hai điểm A và B, ta chỉ cần áp
dụng phép biến đổi cho hai điểm A, B rồi vẽ lại đoạn thẳng qua hai điểm mới.

 Tính song song của các đường thẳng được bảo toàn
Ảnh của hai đường thẳng song song là hai đường song song.
Chúng ta có thể viết lại phương trình tham số của đường thẳng dưới dạng tia xuất
phát từ A ứng với t=0 và theo phương β=B-A như sau : A+βt . Lúc này ta biểu diễn hai
đường thẳng song song dưới dạng tia : L1(t)=A1+βt và L2(t)=A2+βt có cùng phương βt
nhưng xuất phát từ hai điểm khác nhau. Lúc này áp dụng phép biến đổi lên hai đường
thẳng song song này, dễ dàng nhận ra ảnh của chúng sẽ có phương βM nên chúng song
song.
Một hệ quả quan trọng của tính chất này đó là ảnh của các hình bình hành sau phép
biến đổi là các hình bình hành.
 Tính tỉ lệ về khoảng cách được bảo toàn
Giả sử C là điểm chia đoạn AB theo tỉ số t. Nếu A’, B’, C’ lần lượt là ảnh A, B, C
qua phép biến đổi thì C’ cũng sẽ chia A’B’ theo tỉ số t.
Trong trường hợp đặc biệt, nếu C là trung điểm của AB thì C’ cũng là trung điểm
của A’B’, từ đó ta có thể suy ra một số tính chất sau :
+ Trong hình vuông, các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên
các đường chéo của bất cứ hình bình hành nào cũng cắt nhau tại trung điểm của mỗi
đường.
+ Trong tam giác đều, giao điểm của ba đường trung tuyến chia mỗi đường theo tỉ
số 1:2. Mặt khác, một tam giác bất kì là ảnh của tam giác đều qua phép biến đổi affine,
nên giao điểm của các đường trung tuyến của nó cũng sẽ chia chúng theo tỉ lệ 1:2.
Câu 20. Trình bày hệ tọa độ thuần nhất và cho biết ma trận tọa độ thuần nhất
của các phép biến đổi tịnh tiến, quay quanh gốc tọa độ, phép tỷ lệ quanh gốc
tọa độ trong không gian 2 chiều ?
 hệ tọa độ thuần nhất
Tọa độ thuần nhất của một điểm trên mặt phẳng được biểu diễn bằng bộ ba số tỉ lệ
(xh, yh, h) không đồng thời bằng 0 và liên hệ với các tọa độ (x,y) của điểm đó bởi công
thức : x=xh/h, y=yh/h
Nếu một điểm có tọa độ thuần nhất là (x, y, z) thì nó cũng có tọa độ thuần nhất là
(h.x,h.y, h)trong đó h là số thực khác 0 bất kì.

Xét tất các bộ ba tọa độ thuần nhất biểu diễn cho cùng một điểm,nghĩa là bộ ba số
có dạng (h.x,h.y, h),chọn h=1,lúc này mỗi điểm P(x, y) sẽ được biểu diễn dưới dạng tọa
độ thuần nhất là (x,y,1)
 ma trận tọa độ thuần nhất của các phép biến đổi được biểu diễn như
sau :
Phép tịnh tiến
Phép biến đổi tỷ lệ
Phép quay quanh gốc tọa độ
Câu 21. Trình bày phép biến đổi tỷ lệ quanh gốc tọa độ ?
Phép biến đổi tỉ lệ làm thay đổi kích thước đối tượng. Để co hay giãn tọa độ của một
điểm P(x, y) theo trục hoành và trục tung lần lượt là sx và sy, ta nhân sx, sy lần lượt cho các
tọa độ của P.
Khi các giá trị sx, sy nhỏ hơn 1, phép biến đổi sẽ thu nhỏ đối tượng, ngược lại khi các
giá trị này lớn hơn 1, phép biến đổi sẽ phóng lớn đối tượng. Khi sx, sy bằng nhau, ta gọi đó