Chuong2(Dai so boole)1 (2)

"Don't study, don't know - Studying you will know!"
NGUYEN TRUNG HOA


Bi ging K Thût Säú

Trang 12

Chỉång 2
ÂẢI SÄÚ BOOLE
2.1. CẠC TIÃN ÂÃƯ V ÂËNH L ÂẢI SÄÚ BOOLE
2.1.1. Cạc tiãn âãư
Cho mäüt táûp håüp B hỉỵu hản trong âọ ngỉåìi ta trang bë cạc phẹp toạn
+ (cäüng logic), x (nhán logic), - (b logic ) v hai pháưn tỉí 0 v 1 láûp
thnh mäüt cáúu trục âải säú Boole.
∀x,y ∈ B thỗ: x + y B, x.y B tha mn 5 tiãn âãư sau:
2.1.1.1. Tiãn âãư giao hoạn
∀x,y ∈ B: x + y = y + x
2.1.1.2. Tiãn âãö phäúi håüp
∀x,y,z ∈ B: (x + y) + z = x + ( y + z ) = x + y + z
(x. y).z = x.(y. z) = x.y.z
2.1.1.3. Tiãn âãö phán bố
∀x,y,z ∈ B: x.(y + z ) = x.y + x.z
x + (y.z) = (x + y)(x + z)
2.1.1.4. Tiãn âãư vãư pháưn tỉí trung ha
Trong táûp B täưn tải hai pháưn tỉí trung ha, âọ l pháưn tỉí âån vë v
pháưn tỉí kh, pháưn tỉí âån vë k hiãûu l 1, pháưn tỉí 0 k hiãûu laì 0.
∀x ∈ B:
x+1= 1
x. 1= x
x+0= x

x. 0= 0
2.1.1.5. Tiãn âãư vãư pháưn tỉí b
∀x ∈ B, bao giåì cng täưn tải pháưn tỉí b tỉång ỉïng sao cho ln
tha mn:
x+ x =0


Chỉång 2. Âải säú BOOLE

Trang 13

x. x = 0
Nãúu B = B* = {0, 1} v tha mn 5 tiãn õóử trón thỗ cuợng lỏỷp thaỡnh
cỏỳu truùc õaỷi sọỳ Boole nhỉng l cáúu trục âải säú Boole nh nháút.

2.1.2. Cạc âënh l
2.1.2.1 Váún âãư âäúi ngáùu trong âải säú Boole
Hai mãûnh âãư (hai biãøu thỉïc, hai âënh l) âỉåüc gi l âäúi ngáùu våïi
nhau nãúu trong mãûnh âãư ny ngỉåìi ta thay phẹp toạn cäüng thnh phẹp
toạn nhán v ngỉåüc laỷi,thay 0 bũng 1 vaỡ ngổồỹc laỷi thỗ seợ suy ra âỉåüc
mãûnh âãư kia.
Khi hai mãûnh âãư âäúi ngáùu våïi nhau, nãúu 1 trong 2 mãûnh âãư âỉåüc
chỉïng minh l õuùng thỗ móỷnh õóử coỡn laỷi laỡ õuùng.
Vờ duỷ:
x.(y + z ) = ( x. y) + ( x. z )
x + (y. z ) = ( x + y )( x + z )
Vê duû:
x+ x =1
x. x = 0
2.1.2.2. Cạc âënh l

a. Âënh l vãư pháưn tỉí b laì duy nháút

∀x, y ∈ B:
x + y = 1⎫

⎬⇒ y=x

x.y = 0 ⎭

∀x ∈ B:
x + x +. . . . . + x = x
x. x. x. . . . . . x = x
b. Âënh lyï De Morgan

∀x, y, z ∈ B, ta coï:
x + y + z = x. y.z
x.y.z = x + y + z
∀x ∈ B, ta coï:
x =x
∀x, y, z ∈ B, ta coï:


Bi ging K Thût Säú

Trang 14

x + y + z = x + y + z = x.y.z
x. y. z = x.y.z = x + y + z
∀x, y ∈ B, ta coï:
x. ( x + y) = x.y

x + ( x . y) = x + y
∀x, y ∈ B, ta coï:
x + x. y = x
x.(x + y) = x
0 = 1 vaì 1 = 0
Våïi 0, 1 ∈ B, ta cọ:

2.2. HM BOOLE V CẠC PHỈÅNG PHẠP BIÃØU DIÃÙN
2.2.1. Hm Boole
2.2.1.1. Âënh nghéa
Hm Boole l mäüt ạnh xả Boole tỉì âải säú Boole vo chênh nọ. Tỉïc
l x, y B õổồỹc goỹi laỡ bióỳn Boole thỗ haỡm Boole, kyù hióỷu laỡ f, õổồỹc
hỗnh thaỡnh trón cồ såí liãn kãút cạc biãún Boole bàịng cạc phẹp toạn +
(cäüng logic ), x (nhán logic ), hồûc nghëch âo logic (-). Hm Boole
âån gin nháút l hm Boole theo 1 biãún Boole.
Kyï hiãûu: f(x) = x
f(x) = x
f(x) = α (α: l hàịng säú )
Trong trỉåìng håüp täøng quạt, ta cọ hm Boole theo n biãún Boole
âỉåüc k hiãûu nhæ sau: f(x1, x2,. . . . . ., xn )
2.2.1.2. Cạc tênh cháút ca hm Boole
Nãúu f(x1, x2, ..., xn) laỡ mọỹt haỡm Boole thỗ:
+ .f(x1, x2, ..., xn) cng l mäüt hm Boole.
cng l mäüt hm Boole.
+ f (x1, x2, ..., xn)
Nãúu f1(x1, x2, ..., xn) vaì f2(x1, x2, ..., xn) laỡ nhổợng haỡm Boole thỗ:
+ f1(x1, x2, ..., xn) + f2(x1, x2, ..., xn) cng l mäüt hm Boole.
cng l mäüt hm Boole.
+ f1(x1, x2, ..., xn).f2(x1, x2, ..., xn)

Chỉång 2. Âải säú BOOLE

Trang 15

Váûy, mäüt hm Boole f cuợng õổồỹc hỗnh thaỡnh trón cồ sồớ lión kóỳt caùc
haỡm Boole bàịng cạc phẹp toạn + (cäüng logic), x (nhán logic) hồûc
nghëch âo logic (-).

2.2.1.3. Giạ trë ca hm Boole
Gi f (x1, x2, ..., xn) laì mäüt haìm Boole theo biãún Boole.
Trong f ngỉåìi ta thay cạc biãún xi bàịng cạc giạ trë củ thãø αi (i = 1, n )
thỗ haỡm f (1, 2, 3,..., n) õổồỹc goỹi laỡ giạ trë ca hm Boole theo n
biãún.
Vê dủ:
Xẹt hm f(x1, x2 ) = x1 + x2
Xeït B = B* ={0,1}
⇒ f(0,0) = 0
Nãúu x1 = x2 =0
Nãúu x1 = 0, x2 = 1 ⇒ f(0,1) = 1
Nãúu x1 = 1, x2 = 0 ⇒ f(1,0) = 1
Nãúu x1 = 1, x2 = 1 ⇒ f(1,1) = 1
Ta láûp âỉåüc bng giạ trë ca hm trãn.

Vê dủ: f (x1, x2, x3 ) = x1 + x2.x3
Xeït B = B* = {0,1 }
Bng giạ trë ca hm:
x1 x2 x3
0 0 0
0 0 1

0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1

f (x1, x2, x3)
0
0
0
1
1
1
1
1

x1
0
0
1
1

x2
0
1
0
1

f(x1, x2)

0
1
1
1


Bi ging K Thût Säú

Trang 16

2.2.2. Cạc phỉång phạp biãøu diãùn hm Boole
2.2.2.1. Phỉång phạp bng
L phỉång phạp thỉåìng dng âãø biãøu diãùn hm säú nọi chung.
Phỉång phạp ny gäưm mäüt bng âỉåüc chia lm hai pháưn:
- Mäüt pháưn dnh cho biãún âãø ghi cạc täø håüp giạ trë cọ thãø cọ ca
biãún.
- Mäüt pháưn dnh cho hm âãø ghi cạc giạ trë ca hm ra tỉång ỉïng
våïi cạc täø håüp ca cạc biãún vo.
2.2.2.2. Phỉång phạp gii têch
L phỉång phạp biãøu diãùn hm Boole dỉåïi dảng täøng cạc têch säú,
hồûc dỉåïi dảng têch ca cạc täøng säú. Dảng täøng ca cạc têch säú gi l
dảng chênh tàõc thỉï nháút, cn dảng têch ca cạc täøng l dảng chênh tàõc
thỉï hai ca hm Boole, v hai dảng chênh tàõc ny l âäúi ngáùu nhau.
a. Dảng chênh tàõc 1(Dảng täøng ca cạc têch säú)

Xẹt cạc hm Boole âån gin sau âáy: f(x) = x, f(x) = x , f(x) = α.
Xeït f(x) = x:
Ta cọ:
x =0. x + 1. x
màût khạc:

⎧f (1) = 1
f (x ) = x ⇒ ⎨
⎩f (0 ) = 0
suy ra f(x) = x coï thãø biãøøu diãùn:
f(x) = x = f(0). x + f (1).x
trong âoï: f (0), f (1) âỉåüc gi l giạ trë ca hm Boole theo mäüt biãún.
Xẹt f(x) = x :
x = 1. x + 0. x
Ta cọ:
Màût khạc:
⎧f (1) = 0
f (x ) = x ⇒ ⎨
⎩f (0 ) = 1
Suy ra: f(x) = x coï thãø biãøu diãùn:
f(x) = x = f(0). x + f(1).x


Chỉång 2. Âải säú BOOLE

Trang 17

Xẹt f(x) = α:
Ta cọ: α = α.1 = α(x + x ) = x .α + α.x
Màût khaïc:
⎧f (1) = α
f (x ) = α ⇒ ⎨
⎩f (0) = α
Suy ra f(x) = α cọ thãø âỉåüc biãøu diãùn:
f(x) = α = f(0). x + f(1).x
Kãút luáûn:

Duì laì f(x) = x, f(x) = x hay f(x) = α, ta âãưu cọ dảng:
f(x) = f(0). x + f(1).x
Váûy f(x) = f(0). x + f(1).x trong âọ f (0), f (1) âỉåüc gi l giạ trë ca
hm Boole theo mäüt biãún, âỉåüc gi l dảng chênh tàõc thỉï nháút (dảng
täøng ca cạc têch) theo mäüt biãún.
Trong trổồỡng hồỹp hai bióỳn f(x1, x2) thỗ caùch bióứu dióựn cng hon
ton dỉûa trãn cạch biãøu diãùn ca dảng chênh tàõc thỉï nháút theo 1 biãún
(trong âọ xem mäüt biãún l hàịng säú).
Ta cọ:
f(x1, x2 ) = f(0, x2). x 1 + f(1,x2).x1
maì:
f(0, x2) = f(0,0 ). x 2 + f(0,1).x2
vaì:
f(1, x2) = f(1,0). x 2 + f(1,1). x2
Suy ra:
f(x1, x2 ) = f(0,0) x 1 x 2 + f(0, 1) x 1x2 + f(1,0 )x1 x 2 + f(1,1)x1x2
2

2 −1

Váûy:

f ( x1, x 2) = ∑ f(α1 , α 2 )x1α x 2
1

α2

e=0

trong âọ e l säú tháûp phán tỉång ỉïng våïi m (α1, α2) v:

x1 nãúu α1 = 1
α
x1 1 =
x 1 nãúu α1 = 0
α

x2 2 =

x2 nãúu α2 = 1
x 2 nãúu α2 = 0


Bi ging K Thût Säú

Trang 18

Täøng quạt cho n biãún:
2n −1

α

f(x1, x2, ..., xn) = ∑ f(α1 , α 2 ,...., α n )x 1α1 x 2 2 ...x n α n
e =0

trong âọ e l säú tháûp phán tỉång ỉïng våïi m nhë phán (α1, α2, ...., αn);
α
v:
xi nãúu αi = 1
xi i =
x i nãúu αi = 0

Vê duû:
2 3 −1

f(x1, x2, x3) = ∑ f (α1, α2, α3). x1α1. x2α2. x3α3
e=0

f(x1, x2, x3) = f(0,0,0) x 1 x 2 x 3 + f(0,0,1) x 1 x 2 x3 + f(0,1,0) x 1x2 x 3
+ f(0,1,1) x 1 x2 x3 + f(1,0,0) x1 x 2 x 3 + f(1,0,1)x1 x 2 x3
+ f(1,1,0) x1 x2 x 3 + f(1,1,1) x1 x2 x3
Váûy dảng chênh tàõc thỉï nháút l dảng täøng ca cạc têch m trong mäùi
têch säú chỉïa âáưy â cạc biãún Boole dỉåïi dảng tháût hồûc dảng b
(nghëch âo).
b. Dảng chênh tàõc 2 (têch ca cạc täøng):

Âáy l dảng âäúi ngáùu ca dảng chênh tàõc 1 nãn biãøu thỉïc täøng quạt
ca dảng chênh tàõc thỉï hai cho n biãún laì:
2n −1

f(x1, x2, ..., xn) = ∏ [f(α1, α2, α3) + x1α1 + x2α2+ ...+ xnαn)]
e =0

trong âoï e l säú tháûp phán tỉång ỉïng ca m nhë phán (α1, α2, ...., αn);
vaì:
x i nãúu αi = 1
α
xi i =
xi nãúu αi = 0
Vê duû:
f(x1,x2)=[f(0,0)+x1+x2][f(0,1)+x1+ x 2][f(1,0)+ x 1+x2][f(1,1)+ x 1+ x 2]

Chỉång 2. Âải säú BOOLE

Trang 19

f(x1, x2, x3) = [f(0,0,0)+x1+ x2+x3].[f(0,0,1)+x1+x2+ x 3].
[f(0,1,0)+x1+ x 2+x3].[f(0,1,1)+x1+ x 2+ x 3].
[f(1,0,0)+ x 1+x2+x3].[f(1,0,1)+ x 1+x2+ x 3].
[f(1,1,0)+ x 1+ x 2+x3].[f(1,1,1)+ x 1+ x 2+ x 3]
Váûy, dảng chênh tàõc thỉï hai l dảng têch ca cạc täøng säú m trong
âọ mäùi täøng säú ny chỉïa âáưy â cạc biãún Boole dỉåïi dảng tháût hồûc
dảng b.
Chụ :
Xẹt vê dủ 1: f(x1, x2) = x1 + x2 ,
Viãút dỉåïi dảng chênh tàõc 1:
f(x1, x2 ) = 0. x 1 x 2 + 1. x 1.x2 + 1.x1. x 2 + 1.x1.x2
= x 1.x2 + x1. x 2 + x1.x2
Tỉì vê dủ trãn ta tháúy: Dảng chênh tàõc thỉï nháút l dảng liãût kã táút c
cạc täø håüp nhë phán cạc biãún vo sao cho tỉång ỉïng våïi nhỉỵng täø håüp
âọ giạ trë ca hm ra bàịng 1. Khi liãût kã nãúu biãún tỉång ỉïng bàịng 1
âỉåüc viãút åí dảng tháût (x), v biãún tỉång ỉïng bàịng 0 âỉåüc viãút åí dảng
b ( x ).
Xẹt vê dủ 2: f(x1, x2, x3) = x1 + x2.x3
Viãút dỉåïi dảng chênh tàõc 2:
f(x1, x2, x3) = [0+x1+x2+x3].[0+x1+x2+ x 3].[0+x1+ x 2+x3].
[1+x1+ x 2+ x 3].[1+ x 1+x2+x3].[1+ x 1+x2+ x 3].
[1+ x 1+ x 2+x3].[1+ x 1+ x 2+ x 3]
Hay: f(x1, x2, x3) = x1 + x2.x3 = [x1+x2+x3].[x1+x2+ x 3].[x1+ x 2+x3]
Váûy, daûng chênh tàõc thỉï hai l dảng liãût kã táút c cạc täø håüp nhë phán
cạc biãún vo sao cho tỉång ỉïng våïi nhỉỵng täø håüp âọ giạ trë ca hm ra

bàịng 0. Khi liãût kã nãúu biãún tỉång ỉïng bàịng 0 âỉåüc viãút åí dảng tháût
(x), v biãún tỉång ỉïng bàịng 1 âỉåüc viãút åí dảng b ( x ).
Xẹt vê dủ âån gin sau âãø hiãøu r hån vãư cạch thnh lỏỷp baớng giaù trở
cuớa haỡm, tỗm haỡm maỷch vaỡ thióỳt kãú mảch: Hy thiãút kãú mảch âiãûn sao


Bi ging K Thût Säú

Trang 20

cho khi cäng tàõc 1 õoùng thỗ õeỡn õoớ, cọng từc 2 õoùng õeỡn õoớ, c hai
cäng tàõc âọng ân â.
Gii
Ta qui âënh:
- Cäng tàõc håí : 0 Ân tàõt : 0
- Cäng tàõc âọng: 1 Ân â : 1
Lục âọ ta cọ bng trảng thại mä t hoảt âäüng ca mảch:
Cäng tàõc 1
x1
0
0
1
1

Cäng tàõc 2
x2
0
1
0
1

Ân
f(x1,x2)
0
1
1
1

Viãút theo dảng chênh tàõc 1 ta cọ:
f(x1, x2) = 0. x 1 x 2 + 1. x 1.x2 + 1.x1. x 2 + 1.x1.x2
= x 1. x2 + x1. x 2 + x1.x2
= x 1. x2 + x1( x 2 + x2)
= x 1. x2 + x1 = x1 + x2
Viãút theo dảng chênh tàõc 2 ta cọ:
f(x1, x2) = [0+x1+x2].[1+x1+ x 2].[1+ x 1+ x2].[1+ x 1+ x 2]
= [x1+ x2].1.1.1 = x1 + x2
Váûy, duì viãút theo dảng chênh tàõc 1 hay chênh tàõc 2 ta âãưu cọ hm
mảch:
f(x1, x2) = x1 + x2
2.2.2.3. Phỉång phạp biãøu diãùn bàịng bng Karnaugh
Âáy l cạch biãøu diãùn lải ca phỉång phạp bng dỉåïi dảng bng
gäưm cạc ä vng cọ daỷng nhổ hỗnh bón.


Chỉång 2. Âải säú BOOLE

Trang 21

Trãn bng ny ngỉåìi ta bäú trê cạc biãún vo theo hng hồûc theo cäüt
ca bng. Trong trỉåìng håüp säú lỉåüng biãún vo l chàơn, ngỉåìi ta bäú trê

säú lỉåüng biãún vo theo hng ngang bàịng säú lỉåüng biãún vo theo cäüt
dc ca bng. Trong trỉåìng håüp säú lỉåüng biãún vo l l, ngỉåìi ta bäú trê
säú lỉåüng biãún vo theo hng ngang nhiãưu hån säú lỉåüng biãún vo theo
cäüt dc 1 biãún hồûc ngỉåüc lải.
Cạc täø håüp giạ trë ca biãún vo theo hng ngang hồûc theo cäüt dc
ca bng âỉåüc bäú trê sao cho khi ta âi tỉì mäüt ä sang mäüt ä lán cáûn våïi
nọ chè lm thay âäøi mäüt giạ trë ca biãún, nhỉ váûy thỉï tỉû bäú trê hay sàõp
xãúp cạc täø håüp giạ trë ca biãún vo theo hng ngang hồûc theo cäüt dc
ca bng Karnaugh hon ton tn th theo m Gray. Giạ trë ghi trong
mäùi ä vng ny chênh l giạ trë ca hm ra tỉång ỉïng våïi cạc täø håüp
giạ trë ca biãún vo. ÅÍ nhỉỵng ä m giạ trë hm l khäng xạc âënh, cọ
nghéa l giạ trë ca hm l ty (hay ty âënh), ngỉåìi ta kê hiãûu bàịng
chỉỵ x. Nãúu cọ n biãún vo s cọ 2n ä vng.

2.3. TÄÚI THIÃØU HM BOOLE
2.3.1. Âải cỉång
Trong thiãút bë mạy tênh ngỉåìi ta thỉåìng thiãút kãú gäưm nhiãưu modul
(kháu) v mäùi modul ny âỉåüc õỷc trổng bũng mọỹt phổồng trỗnh logic.
Trong õoù, mổùc õọỹ phổùc taỷp cuớa sồ õọử tuỡy thuọỹc vaỡo phổồng trỗnh logic
biãøu diãùn chụng. Viãûc âảt âỉåüc âäü äøn âënh cao hay khọng laỡ tuỡy thuọỹc
vaỡo phổồng trỗnh logic bióứu dióựn chụng åí dảng täúi thiãøu họa hay chỉa.
Âãø thỉûc hiãûn âỉåüc âiãưu âọ, khi thiãút kãú mảch säú ngỉåìi ta âàût ra váún âãư
täúi thiãøu họa cạc hm logic. Âiãưu õoù coù nghộa laỡ phổồng trỗnh logic
bióứu dióựn sao cho thỉûc sỉû gn nháút (säú lỉåüng cạc phẹp tênh v säú lỉåüng
cạc säú âỉåüc biãøu diãùn dỉåïi dảng tháût hồûc b l êt nháút).
Tuy nhiãn trong thỉûc tãú, khäng phi lục no cng âảt âỉåüc låìi gii
täúi ỉu cho bi toạn täúi thiãøu họa.


Bi ging K Thût Säú

Trang 22

2.3.2. Cạc bỉåïc tiãún hnh täúi thiãøu họa
- Dng cạc phẹp täúi thiãøu âãø täúi thiãøu họa cạc hm säú logic.
- Rụt ra nhỉỵng thỉìa säú chung nhàịm mủc âêch täúi thiãøu họa thãm
mäüt bỉåïc nổợa caùc phổồng trỗnh logic.

2.3.3. Caùc phổồng phaùp tọỳi thióứu họa
2.3.3.1. Phỉång phạp gii têch
Âọ l phỉång phạp täúi thiãøu hoùa haỡm Boole (phổồng trỗnh logic) dổỷa
vaỡo caùc tión õóử, âënh l ca âải säú Boole.
Vê dủ:
f(x1, x2) = x 1x2 + x1 x 2 + x1x2 = ( x 1 + x1)x2 + x1 x 2
= x2 + x1 x 2 = x2 + x1
Vê duû:
f(x1, x2, x3) = x 1x2x3 + x1 x 2 x 3 + x1 x 2x3 + x1x2 x 3 + x1x2x3
= x 1x2x3 + x1 x 2 x 3 + x1 x 2x3 + x1x2 ( x 3 + x3)
= x 1x2x3 + x1 x 2( x 3 + x3) + x1x2
= x 1x2x3 + x1( x 2 + x2)
= x 1x2x3 + x1
= x1 + x2 x3
2.3.3.2. Phỉång phạp bng Karnaugh
a. Täúi thiãøu họa hm Boole bàịng bng Karnaugh

Âãø täúi thiãøu họa hm Boole bàịng phỉång phạp bng Karnaugh phi
tn th theo qui tàõc vãư ä kãú cáûn: “Hai ä âỉåüc gi l kãú cáûn nhau l hai
ä m khi ta tỉì ä ny sang ä kia chè lm thay âäøi giạ trë ca 1 biãún. “

Quy tàõc chung ca phỉång phạp rụt gn bàịng bng Karnaugh l

gom (kãút håüp) cạc ä kãú cáûn laûi våïi nhau. Khi gom 2 ä kãú cáûn nhau s
loải âỉåüc 1 biãún (2 ä =21 loải 1 biãún). Khi gom 4 ä kãú cáûn s loải âỉåüc
2 biãún (4 ä =22 loải 2 biãún). Khi gom 8 ä kãú cáûn s loải âỉåüc 3 biãún (8
ä = 23 loải 3 biãún ).
Täøng quạt, khi gom 2n ä kãú cáûn s loải âỉåüc n biãún. Nhỉỵng biãún bë loải
l nhỉỵng biãún khi ta âi vng qua cạc ä kãú cáûn m giạ trë ca chụng thay
âäøi.


Chỉång 2. Âải säú BOOLE

Trang 23

Nhỉỵng âiãưu cáưn lỉu :

- Vng gom âỉåüc gi l håüp lãû khi trong vng gom âọ cọ êt nháút 1 ä
chỉa thüc vng gom no.
- Viãûc kãút håüp nhỉỵng ä kãú cáûn våïi nhau cn ty thüc vo phỉång
phạp biãøu diãùỵn hm Boole theo dảng chênh tàõc 1 hồûc chênh tàõc 2.
Âiãưu ny cọ nghéa l: nãúu ta biãøu diãùn hm Boole theo dảng chờnh từc
1 thỗ ta chố quan tỏm nhổợng ọ kóỳ cáûn no cọ giạ trë bàịng 1 v ty âënh,
ngỉåüc lải nãúu ta biãøu diãùn hm Boole dỉåïi dảng chênh từc 2 thỗ ta chố
quan tỏm nhổợng ọ kóỳ cỏỷn no cọ giạ trë bàịng 0 v ty âënh. Ta quan
tám nhỉỵng ä ty âënh sao cho nhỉỵng ä ny kãút håüp våïi nhỉỵng ä cọ giạ
trë bàịng 1 (nãúu biãøu diãùn theo dảng chênh tàõc 1) hồûc bàịng 0 (nãúu biãøu
diãùn theo dảng chênh tàõc 2) s lm cho säú lỉåüng ä kãú cáûn l 2n låïn
nháút.
- Cạc ä kãú cáûn mún gom âỉåüc phi l kãú cáûn vng trn nghéa l ä
kãú cáûûn cúi cng l ä kãú cáûn âáưu tiãn.
c. Cạc vê dủ

Vê dủ 1: Täúi thiãøu họa hm sau bàịng phỉång phạp bng Karnaugh.
f(x1,x2)
x1
x2

0
1

0
0
1

1
1
1

Täúi thiãøu họa theo dảng chênh tàõc 2:
f(x1,x2) = x1 + x2

Vê dủ 2: Täúi thiãøu họa hm sau bàịng phỉång phạp bng Karnaugh.
f(x1,x2,x3)
x ,x
x3 1 2 00

0
1

01 11 10
0 0 1 1

0 1 1 1

Vng gom 1: x1
Vng gom 2: x2.x3

Täúi gin theo daûng chênh tàõc 1: Ta chè quan tám âãún nhỉỵng ä cọ giạ
trë bàịng 1 v ty âënh, nhỉ váûy s cọ 2 vng gom âãø ph hãút cạc ä cọ
giạ trë bàịng 1: vng gom 1 gäưm 4 ä kãú cáûn, v vng gom 2 gäưm 2 ä kóỳ
cỏỷn (hỗnh veợ).


Bi ging K Thût Säú

Trang 24

Âäúi våïi vng gom 1: Cọ 4 ä = 22 nãn s loải âỉåüc 2 biãún. Khi âi
voìng qua 4 ä kãú cáûn trong voìng gom chè cọ giạ trë ca biãún x1 khäng
âäøi (ln bàịng 1), cn giạ trë ca biãún x2 thay âäøi (tỉì 1→0) v giạ trë
ca biãún x3 thay âäøi (tỉì 0→1) nãn cạc biãún x2 v x3 bë loải, chè cn lải
biãún x1 trong kãút qu ca vng gom 1. Vỗ x1=1 nón kóỳt quaớ cuớa voỡng
gom 1 theo daỷng chênh tàõc 1 s cọ x1 viãút åí dảng tháût: x1
Âäúi våïi vng gom 2: Cọ 2 ä = 21 nãn s loải âỉåüc 1 biãún. Khi âi
vng qua 2 ä kãú cáûn trong vng gom giạ trë ca biãún x2 v x3 khäng
âäøi, cn giạ trë ca biãún x1 thay âäøi (tỉì 0→1) nãn cạc biãún x2 v x3
âỉåüc giổợ laỷi, chố coù bióỳn x1 bở loaỷi. Vỗ x2=1 v x3=1 nãn kãút qu ca
vng gom 2 theo dảng chênh tàõc 1 s cọ x2 v x3 viãút åí dảng tháût: x2.x3
Kãút håüp 2 vng gom ta cọ kãút qu täúi gin theo dảng chênh tàõc 1:
f(x1, x2, x3) = x1 + x2.x3
Täúi gin theo dảng chênh tàõc 2: Ta quan tám âãún nhỉỵng ä cọ giạ trë
bàịng 0 v ty âënh, nhỉ váûy cng cọ 2 vng gom (hỗnh veợ), mọựi voỡng

gom õóửu gọửm 2 ọ kóỳ cỏỷn.
ọỳi våïi vng gom 1: Cọ 2 ä = 21 nãn loaỷi õổồỹc 1 bióỳn, bióỳn bở loaỷi laỡ
x2 (vỗ coù giaù trở thay õọứi tổỡ 01). Vỗ x1=0 vaỡ x3=0 nãn kãút qu ca
vng gom 1 theo dảng chênh tàõc 2 s cọ x1 v x3 åí dảng tháût: x1+ x3.
Âäúi våïi vng gom 2: Cọ 2 ä = 21 nón loaỷi õổồỹc 1 bióỳn, bióỳn bở loaỷi laỡ
x3 (vỗ coù giaù trở thay õọứi tổỡ 0 1). Vỗ x1=0 v x2=0 nãn kãút qu ca
vng gom 2 theo dảng chênh tàõc 2 s cọ x1 v x2 åí daûng tháût: x1 + x2.
f(x1,x2,x3)
x ,x
x3 1 200

01 11 10
0 0 0 1 1
1 0 1 1 1

Voìng gom 1: x1 + x3
Voìng gom 2: x1 + x2

Kãút håüp 2 vng gom cọ kãút qu ca hm f viãút theo daûng chênh tàõc
2:
f (x1, x2, x3) = (x1+x3).(x1+x2)
= x1.x1 + x1.x2 + x1.x3 + x2.x3
= x1 + x1.x2 + x1.x3 + x2.x3


Chỉång 2. Âải säú BOOLE

Trang 25

= x1(1+ x2 + x3) + x2.x3

= x1 + x2.x3
Nháûn xẹt: Trong vê dủ ny, hm ra viãút theo dảng chênh tàõc 1 v
hm ra viãút theo dảng chênh tàõc 2 l giäúng nhau. Tuy nhiãn cọ trỉåìng
håüp hm ra ca hai dảng chênh tàõc 1 v 2 l khạc nhau, nhỉng giạ trë
ca hm ra ỉïng våïi mäüt täø håüp biãún âáưu vo l giäúng nhau trong c 2
dảng chênh tàõc.
Chụ : Ngỉåìi ta thổồỡng cho haỡm Boole dổồùi daỷng bióứu thổùc ruùt goỹn.
Vỗ cọ 2 cạch biãøu diãùn hm Boole theo dảng chênh tàõc 1 hồûc 2 nãn s
cọ 2 cạch cho giạ trë ca hm Boole ỉïng våïi 2 dảng chênh tàõc âọ:
Dảng chênh tàõc 1: Täøng cạc têch säú.
f(x1, x2, x3) = Σ (3, 4, 7) + d(5, 6)
Trong âoï d: giạ trë cạc ä ny l ty âënh (d: don’t care)
f(x1,x2,x3)
x1,x2
x3
00

01 11 10
0 0 0 X 1
1 0 1 1 X

Luùc õoù baớng Karnaugh seợ õổồỹc cho nhổ hỗnh trón. Tỉì biãøu thỉïc rụt
gn ca hm ta tháúy tải cạc ä ỉïng våïi täø håüp nhë phán cạc biãún vo coù
giaù trở laỡ 3, 4, 7 thỗ haỡm ra coù giạ trë bàịng 1; tải cạc ä ỉïng våïi täø håüp
nhë phán cạc biãún vo cọ giạ trë l 5,6 thỗ haỡm ra coù giaù trở laỡ tuỡy õởnh;
haỡm ra cọ giạ trë bàịng 0 åí nhỉỵng ä cn lải ỉïng våïi täø håüp cạc biãún vo
cọ giạ trë l 0, 1, 2.
Dảng chênh tàõc 2: Têch cạc täøng säú.
Phỉång trỗnh logic trón cuợng tổồng õổồng:
f(x1, x2, x3) = (0, 1, 2) + d(5, 6)

Bi ging K Thût Säú

Trang 26

Vê dủ 3: Täúi thiãøu họa hm 4 biãún sau âáy:
f(x1,x2,x3,x4)
x1,x2
x3,x4
00
00
01
11
10

x
x
0
1

01

11

10

x
0
x

1

1
1
X
X

x
x
1
1

f(x1,x2,x3,x4)
x1,x2
x3,x4
00
00
01
11
10

Vng gom 1

x
x
0
1

01

11

10

x
0
x
1

1
1
x
x

x
x
1
1

Vng gom 2

Ta thỉûc hiãûn täúi thiãøu họa theo dảng chênh tàõc 1: Tỉì bn âäư
Karnaugh ta cọ 2 vng gom, vng gom 1 gäưm 8 ä kãú cáûn v vng gom
2 gäưm 8 ä kãú cáûn. Kãút qu täúi thiãøu họa nhỉ sau:
Voìng gom 1: x 4
Voìng gom 2: x1
Váûy: f(x1, x2, x3, x4) = x 4 + x1