Các dạng toán câu hỏi phụ hàm số trọng tâm thường gặp trong đề thi đại học

14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học cấp tốc 2013

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –Trung tâm gia sư VIP

CHỦ ĐỀ 1: CHỦ ĐỀ CÂU HỎI PHỤ HÀM SỐ ÔN THI ĐẠI HỌC
Dạng 1: Tính đơn điệu của hàm số
.Ví dụ 1: Tìm m để hàm số
2
2 3
1
x x m
y
x
 


đồng biến với mọi x > 3.
Lời giải:
Tập xác định:
 
1\D R
Khi đó, ta có
 
2
2
2 4 3
1
'
x x m

y
x
  


.
Để hàm số đồng biến với mọi x > 3, thì

 
2
2
2
2
2 4 3
0 3 2 4 3 0 3
1
2 4 3 3
'
, .
.
x x m
y x x x m x
x
x x m x
  
          

     

Xét hàm số

2
2 4 3( )f x x x  
trên miền x > 3, ta có 4 4 0 3'( ) .f x x x    
Vậy f(x) là hàm số đồng biến với
3x 
suy ra 3 9( ) ( )f x f  , vậy để
2
2 4 3 3x x m x    
thì
3 9( ) .m f 
Ví dụ 2: Cho hàm số
3 2 2
ax (2 7 7) 2( 1)(2 3)       y x a a x a a đồng biến trên [2:+ ) .
Lời giải:
Ta có
2 2
3 2 2 7 7' ( )y x ax a a     . Điều kiện để hàm số đồng biến trên

2;

 

là


2 2
3 2 2 7 7 0 2

         


' ( ) (*) ;y x ax a a x

Ta có
2
' 7 21 21 0a a a     

Gọi
1 2 2 1
, ( )x x x x
là hai nghiệm của phương trình y’ = 0, khi đó tập nghiệm của bất phương trình (*) là
1 2
( ; ] [ ; )x x   
. Vậy để hàm số đồng biến trên khoảng

2

 

;
Thì
1 2
[2; ) ( ; ] [ ; )x x      
nghĩa là
1 2
2x x 
. Điều kiện là

14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học cấp tốc 2013

Bài giảng độc quyền bởi

Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –Trung tâm gia sư VIP

  
1 2
1 2
2
1 2 1 2 1 2
2
2
4
4
4
3
( )
2 2 0 2( ) 4 0
2 7 7 4
4 0
3 3
6
6
5
1
5
2
1
2 3 5 0
2
a
x x
x x

theo viet
x x x x x x
a a a
a
a
a
a
a a



 

 

 
 
  
      
 


 
   








     
 
  
   




Luyện tập:
Bài 1: Với giá trị nào của m, hàm số: 2
1
m
y x
x
  

đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
Bài 2: Xác định m để hàm số
3
2
( 1) ( 3)
3
x
y m x m x      đồng biến trên khoảng (0; 3)
Bài 3: Cho hàm số
3 2
3(2 1) (12 5) 2y x m x m x     
. Tìm m để hàm số:
a. Đồng biến trên R.

b. Đồng biến trên khoảng (2; )
Bài 4: Cho hàm số
3 2
3 2y x x mx    
. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (0, 2)
Dạng 2: Cực trị hàm số
Ví dụ 3: Tìm m để hàm số
   
3 2
3 4 1y x m x m x m      đạt cực trị tại
1 2
,x x
sao cho
1 2
2 .x x  

Lời giải
Tập xác định .D  
 
 
2
2
' 3 2 3 4 1
' 0 3 2 3 4 1 0
y x m x m
y x m x m
    
      

Để hàm số đạt cực trị tại

1 2
,x x
sao cho
1 2
2x x  
thì
 
1 có hai nghiệm phân biệt
1 2
,x x
thỏa mãn
1 2
2x x  
.
    
1 2 1 2 1 2
2 2 0 2 4 0x x x x x x        
Áp dụng định lý Viet ta có:

14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học cấp tốc 2013

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –Trung tâm gia sư VIP

 
4 3
4 1 1
4 0 8 1 0
3 3 8
m

m
m m


       
Vậy
1
8
m  thì hàm số đã cho đạt cực trị tại
1 2
,x x
sao cho
1 2
2x x  
.
Ví dụ 4: Cho hàm số
4 2
2 1y x mx  
. Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số có ba điểm cưc trị và
đường tròn đi qua ba điểm này có bán kính bằng 1.
Lời giải
Ta có:
 
3 2
' 4 4 4y x mx x x m   
2
0
' 0
x
y

x m


 

 


Hàm số có ba cực trị 'y đổi dấu ba lần trên ' 0D y  có ba nghiệm phân biệt 0m  0.m 
Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là
 
   
2 2
0;1 , ;1 , ;1A B m m C m m    

Theo tính chất của đồ thị hàm bậc bốn trùng phương, ta có tam giác ABC cân tại .A Gọi D là trung điểm của
cạnh BC thì Xét ADC vuông tại D , ta có sin
AD
C
AC

Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ,
Áp dụng định lí hàm số sin trong tam giác ABC , ta có: A
2
.
2 2 2
sin
AB AB AC AC
R
C AD AD

    

4 2 3
2 2 1 0m m m m m       

 
 
2
1
1 1 0
1 5
2
m
m m m
m
 


     





B D C
Kết hợp điều kiện 0m  ta được
1 5
1, .
2
m m


  

14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học cấp tốc 2013

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –Trung tâm gia sư VIP

Ví dụ 6: Tìm m để đồ thị hàm số
3 2 2
3y x x m x m   
có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng
2 5 0x y   .
Lời giải
Hàm số xác định trên .
Ta có
2 2
' 3 6y x x m  

Để hàm số có hai điểm cực trị thì 'y phải đổi dấu hai lần ' 0y  có hai nghiệm phân biệt
2 2
' 0 9 3 0 3 3 3m m m            .
Thực hiện phép chia
 
f x cho
 
'f x ta có
     
 
2

2
1 2
1 ' 3
3 3 3
m
f x x f x m x m     
Với 3 3m   thì
 
' 0f x  có hai nghiệm phân biệt
1 2
,x x
và hàm số
 
f x đạt cực trị tại
1 2
, .x x

Do
 
 
1
2
0
0
f x
f x
 






nên
 
 
 
 
2
2
1 1 1
2
2
2 2 2
2
3
3 3
2
3
3 3
m
y f x m x m
m
y f x m x m

    




    




Suy ra phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là
 
 
2
2
2
: 3 .
3 3
m
d y m x m   
Gọi
   
1 1 2 2
, , ,A x y B x y là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho khi đó trung điểm
I
của
AB
có tọa độ là
2
1 2 1 2
( ; ) (1; 2)
2 2
x x y y
I m m
 
   .
Các điểm cực trị

   
1 1 2 2
, , ,A x y B x y đối xứng với nhau qua đường thẳng
 
1 5
:
2 2
y x  
   
d   và
trung điểm I của AB phải thuộc
 


14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học cấp tốc 2013

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –Trung tâm gia sư VIP

 
 
2
2
2 1
3 . 1;
0
3 2
0.
1 0
1 5

2 .1
2 2
m
m
m
m m
m m

  



 
   
 
 



   



Luyện tập
Bài 1: Tìm m để các hàm số sau có cực trị thoả mãn điều kiện cho trước.
a.
 
4 2
2 1 5y x m x m     có 3 cực trị. Đáp số: 1m
b.

3
1
3
y x x m  

có hai cực trị trái dấu. Đáp số:
3
2
3
2
 m
c.
 
 
3 2 2 2
3 1 3 7 1 1y x m x m m x m        

đạt cực tiểu tại một điểm có hoành độ nhỏ
hơn 1. Đáp số: 1m
Bài 2: Tìm m để đồ thị hàm số
 
3 2 2
3 2 3 4y x mx m m x      có hai điểm cực trị nằm về hai phía của Oy
Đáp số: 13  m
Bài 3: Tìm m để hàm số
3 2 2 2
2( 1) ( 4 1) 2 2y x m x m m x m       
có hai điểm cực trị
1 2
,x x

thoả mãn điều
kiện
1 2
1 2
1 1 1
( )
2
x x
x x
  
. Đáp số:
 
1;5m
Bài 4: Tìm m để đồ thị hàm số
3 2 2
1
y x (m 2)x (5m 4)x m 1
3
      

đạt cực trị tại
1 2
x , x
sao cho
1 2
x 1 x  
. Đáp số: 3m  
Bài 5: Tìm m để đồ thị hàm số
3 2
1

y x mx x m 1
3
    

có hai điểm cực trị
1 1 2 2
(x , y ), (x , y )
sao cho
khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất. Đáp số: 0
3
132
min  md

Bài 6: Cho hàm số
 
3 2 2 3
3 3( 1) 1y x mx m x m m      . Tìm m để hàm số
 
1 có cực trị đồng thời
khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu
của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O. Đáp số:
223;223  mm


14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học cấp tốc 2013

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –Trung tâm gia sư VIP

Bài 7: Cho hàm số

4 2 2
2( 2) 5 5y x m x m m     
. Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành
tam giác vuông cân. Đáp số:
2
9
1
3
m

Bài 8: Cho hàm số
3 2
3y x x m  
. Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị  và  sao cho góc
120
o
AOB 
. Đáp số:
4
3
2
m

Bài 9: Tìm m để hàm số
 
 
 
3 2 2
3 1 2 3 2 1       y x m x m m x m m có đường thẳng đi qua hai điểm
cực trị tạo với đường thẳng

1
5
4
y x   một góc
45 .
o
Đáp số:
3 15
2
m


Bài 10: Tìm m để hàm số
 
3 2
2 1 1y mx m x x     đạt cực đại tại
1
x
, đạt cực tiểu tại
2
x
và
2 1
16
.
9
x x 

Đáp số:
3

.
7
m 
Bài 11: Tìm m để đồ thị hàm số
3 2
3 5y x mx x    
có hai điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua
hai điểm cực trị đó vuông góc với đường thẳng 9 14 1 0.x y   Đáp số: 4m  
Bài 12: Cho hàm số
4 2 2
2 1 1( ) .y x m x m     Tìm m để hàm số có 3 cực trị tạo thành một tam giác có
diện tích lớn nhất. Đáp số: m = 0.
Bài 13: Cho hàm số
3 2
3 4 (1)y x x   
. Tìm m để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu tiếp xúc với
đường tròn sau:
2 2
( ) ( 1) 5.x m y m    

Dạng 3: Bài toán tiếp tuyến
Ví dụ 1: Cho hàm số
 
3 2
3 4 .y x x C   Gọi
 
d là đường thẳng đi qua điểm
 
2;0A có hệ số góc .k Tìm
k để

 
d cắt
 
C tại ba điểm phân biệt , ,A M N sao cho hai tiếp tuyến của
 
C tại M và N vuông góc với
nhau.
Lời giải:
Phương trình đường thẳng
 
d đi qua
 
2;0A có dạng
 
2y k x  .
Hoành độ các điểm , ,A M N là nghiệm của phương trình

14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học cấp tốc 2013

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –Trung tâm gia sư VIP

   
 
 
3 2 2
2
2
3 4 2 2 2 0
2 0

x
x x k x x x x k
f x x x k



          

    



Phương trình có ba nghiệm phân biệt
 
0f x  có hai nghiệm phân biệt 2.x 
 
0
9
0.
2 0
4
k
f
 


    






Theo định lí Viet ta có
1
. 2
M N
M N
x x
x x k
 


  


Tiếp tuyến tại M và N vuông góc với nhau
   
' . ' 1
M N
y x y x  
   
2 2 2
3 2 2
3 6 . 3 6 1 9 18 1 0
3
M M N N
x x x x k k k
 
          
Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

2
,
2 3
x
y
x



biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung
lần lượt tại hai điểm ,A B phân biệt và tam giác OAB cân tại .O
Lời giải:
Ta có
 
2
1
'
2 3
y
x
 


Do tam giác OAB vuông cân nên tiếp tuyến phải có hệ số góc 1.k  
Gọi tọa độ tiếp điểm là
 
,
o o
x y khi đó
 

 
2
1
' 1 1
2 3
o
o
y x
x
     


Do ' 0y  nên
 
2
1
1
1
2
2 3
o
o
o
x
x
x
 

   


 



+ Với
1 1
o o
x y    
phương trình tiếp tuyến là
 
1 1y x y x       : loại vì tiếp tuyến này đi qua
gốc tọa độ nên không tạo ra tam giác .OAB
+ Với
2 0
o o
x y    
phương trình tiếp tuyến là
 
2 0 2.y x y x       

14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học cấp tốc 2013

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –Trung tâm gia sư VIP

Ví dụ 3: Cho hàm số
2
(C)
1
x

y
x



. Cho điểm (0; )A a . Tìm a để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao
cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía của trục hoành.
Lời giải
Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến đi qua A, khi đó phương trình tiếp tuyến qua A có dạng
y kx a  (d).
Gọi
1 2
1 2
1 2
2 2
1 1
( , ), ( , )
x x
M x N x
x x
 
 
là hai tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ A thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Để từ A kẻ được hai tiếp tuyến tới đồ thị (C) thỏa mãn điều kiện bài ra thì hệ phương trình sau:
2
2
1
1
5
1

= kx+a (5')
( '')
( )
x
x
k
x













Phải có hai nghiệm sao cho
1 2
1 2
2 2
0
1 1
( ) ( )
. (*)
( ) ( )
x x

x x
 

 

Thay k từ (5’’) vào (5’), ta có phương trình
2
1 2 2 2 0( ) ( ) ( ) (**)a x a x a     

Để (**) có hai nghiệm phân biệt thì
1 1
0 2
a a
a
 
 

 
  
 
(6)

Vì
1 2
,x x là nghiệm của (**), nên áp dụng viet, ta có:
1 2
1 2
2 2
1
2

1
( )
( )
a
x x
a
a
x x
a

 
 











Khi đó đẳng thức (*) tương đương với

1 2 1 2
1 2 1 2
2 4
0 2 0 2
1

  
      
  
( )x x x x
a a
x x x x
(7)
Kết hợp (6) và (7) thì a < -2.
Luyện tập:

14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học cấp tốc 2013

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –Trung tâm gia sư VIP

Bài 1: Cho hàm số
3 2
1 4
3 2 .
3 3
y x mx x    Tìm m để tồn tại tiếp tuyến của đồ thị hàm số vuông góc với
đường thẳng
1
1.
3
y x 
Đáp sô:
2
3
m   hoặc

2
3
m 
Bài 2: Cho hàm số
3 2
3 1.y x x mx   
Xác định m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng 1y  tại ba điểm
phân biệt
 
0;1 , ,C D E sao cho tiếp tuyến của đồ thị tại D và E vuông góc với nhau.
Đáp số:
9 65
8
m


Bài 3: Cho hàm số
3 2
1 1
.
3 2 3
m
y x x   Gọi M là điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ bằng 1 . Tìm m để
tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M song song với đường thẳng 5 0.x y 
Đáp số: 4m 
Bài 4: Cho hàm số
3 2
1
2 3 .
3

y x x x   Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm uốn và chứng
minh rằng tiếp tuyến đó có hệ số góc nhỏ nhất.
Đáp số:
8
3
y x  
Bài 5: Cho hàm số
   
3
1 1 .
m
y x m x C    Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của
 
m
C với trục
tung. Tìm m để tiếp tuyến nói trên cắt hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8.
Đáp số:
9 4 3; 7 4 3.m m    

Bài 6: Cho hàm số
4
2 2 1y x mx m    
có đồ thị là
 
m
C .
a. Chứng minh rằng
 
m
C luôn đi qua hai điểm cố định A và .B

b. Tìm m để hai tiếp tuyến tại ,A B vuông góc với nhau.
Đáp số:
3 5
; .
4 4
m m 

14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học cấp tốc 2013

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –Trung tâm gia sư VIP

Bài 7: Tìm điểm A trên trục tung, sao cho qua A có thể kẻ được ba tiếp tuyến tới đồ thị hàm số
4 2
1.y x x   

Đáp số:
 
0; 1 .A 
Bài 8: Cho hàm số
4 2
1.y x mx m   
Gọi A là điểm cố định có hoành độ dương của đồ thị hàm số, tìm m
để tiếp tuyến tại A song song với đường thẳng 2 .y x
Đáp số: 1.m  
Bài 9: Cho hàm số
2 3
.
1
x

y
x



Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đó vuông góc với
đường thẳng 2007 0.x y  
Đáp số: 3y x   hoặc 1y x  
Bài 10: Cho hàm số .
1
x
y
x


Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến và hai đường
tiệm cận tạo thành một tam giác cân.
Đáp số:
y x 
hoặc 4y x  
Bài 12: Cho đồ thị hàm số
2
.
1
x
y
x


Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến của đồ thị tại M cắt

Ox,Oy tại ,A B và tam giác OAB có diện tích bằng
1
.
4

Đáp số:
 
1 2
1
; 2 , 1;1
2
M M
 
 
 
 

Bài 13: Cho hàm số
1
.
1
x
y
x



Tìm những điểm trên trục tung mà từ mỗi điểm đó chỉ kẻ được đúng một tiếp
tuyến tới đồ thị hàm số.
Đáp số:

   
0;1 , 0; 1.A A 
Bài 14: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2 1
,
1
x
y
x



biết tiếp tuyến này cắt trục ,Ox Oy lần lượt
tại ,A B sao cho 4 .OA OB
Đáp số: 4 5 0x y   hoặc 4 13 0.x y  

14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học cấp tốc 2013

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –Trung tâm gia sư VIP

Bài 15: Cho hàm số
2 1
1
x
y
x




(C) . Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết khoảng cách từ điểm I(1;2) đến
tiếp tuyến bằng 2 . Đs: y =-x + 5 và y = -x + 1.
Bài 16: Cho hàm số
1
(C)
2 1
x
y
x
 



Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y x m  luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B. Gọi k
1
, k
2

là hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại A và B. Tìm m để k
1
+k
2
đạt giá trị lớn nhất.
Dạng 4: Bài toán giao điểm của hai đồ thị
Ví dụ 1: Cho hàm số
     
3 2
3 1 3 4 8 .
m
y x m x m x C      Tìm m để

 
m
C cắt trục hoành tại ba điểm
phân biệt lập thành một cấp số nhân.
Lời giải:
Điều kiện cần: Giả sử
 
m
C cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ
1 2 3
, ,x x x
lập thành một cấp số
nhân. Khi đó phương trình:

   
3 2
3 1 3 4 8 0x m x m x      (2)
có ba nghiệm phân biệt
1 2 3
, ,x x x
.
       
3 2
1 2 3
3 1 3 4 8x m x m x x x x x x x         
       
3 2 3 2
1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3
3 1 3 4 8x m x m x x x x x x x x x x x x x x x x             
1 2 3

8x x x 
.
Vì
1 2 3
, ,x x x
lập thành một cấp số nhân nên
2 3
2 1 3 2 2
8 2.x x x x x    
Thay 2x  vào phương trình
   
3 2
3 1 3 4 8 0x m x m x      ta được 4 2 0 2.m m   
Điều kiện đủ:
Với 2m  thay vào phương trình (2) ta được:
   
3 2
1 2 3
7 14 8 0 1 2 4 0 1; 2; 4x x x x x x x x x             lập thành một cấp số nhân.

14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học cấp tốc 2013

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –Trung tâm gia sư VIP

Vậy 2m  là giá trị cần tìm.
Ví dụ 2: Cho hàm số
2 1
2




x
y
x
có đồ thị
 
C . Chứng minh đường thẳng
 
:d y x m   luôn cắt đồ thị
 
C
tại hai điểm phân biệt ,A B . Tìm m để đoạn AB có độ dài ngắn nhất.
Lời giải:
Hoành độ giao điểm của đồ thị
 
C và đường thẳng
 
d là nghiệm của phương trình
   
2
2
2 1
4 1 2 0 32
x
x
x m
x m x mx
 




   

    



Do phương trình
 
1 có
2
1 0m   
và
    
2
2 4 2 1 2 3 0,m m m          nên đường thẳng
 
d
luôn cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt ,A B .
Theo định lý viet ta có:
4
1 2
A B
A B
x x m
x x m
  



 


Ta có
   
2 2
2 2
; 2 24
A A B B A B A B
y m x y m x AB x x y y m          
AB ngắn nhất
2
AB
nhỏ nhất 0 24.m AB   
Ví dụ 3: Tìm m để đường thẳng
 
: 1d y mx  cắt
 
2
1
:
2
x x
C y
x
 


tại hai điểm phân biệt thuộc cùng một
nhánh của đồ thị

 
.C
Lời giải:
Hoành độ giao điểm của đường thẳng
 
d và đồ thị
 
C là nghiệm của phương trình
       
2
2
1
1 1 2 1 1 0 4
2
x x
mx g x m x m x
x
 
        



14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học cấp tốc 2013

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –Trung tâm gia sư VIP

Do
 
C có tiệm cận đứng là 2x   nên

 
d cắt
 
C tại hai điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của
 
C
khi và chỉ khi phương trình
 
4 có hai nghiệm phân biệt
1 2
,x x
thỏa mãn
 
  
 
 
1 2
1 2
1 2 1 2 1 2
' 1 0 1 0
2
2
2 2 0 2 4 0
m m m m
x x
x x
x x x x x x
      
  


 
 
 

  
      

 
 

 
 
1 0
1 0
0
1
1 0
2.2 4 0
1
m m
m m
m
m
m
  
 
 
   
 


 
  






Vậy với 0m  thì
 
d cắt
 
C tại hai điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của đồ thị.
Luyện tập
Bài 1: Cho hàm số
3 2
.y x mx x m   
. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt lập
thành cấp số cộng. Đáp số:
 
0; 3m 
Bài 2: Cho đường cong
 
3 2
3 3 3 .
m
y x x mx m C    Tìm m để
 
m
C cắt đường thẳng

 
: 3 1d y x   tại ba điểm phân biệt
1 2 3
, ,x x x
sao cho
1 2 3
1 2 .x x x   
Đáp số: 1.m 
Bài 3: Cho đường cong
 
3 2
3 3 3 2 .
m
y x mx x m C     Tìm m để
 
m
C cắt trục hoành tại ba điểm phân
biệt có hoành độ
1 2 3
, ,x x x
sao cho
2 2 2
1 2 3
15.x x x   Đáp số: 1.m  
Bài 4: Tìm m để hàm số
4 2
2 2 1y x mx m    
cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt lập thành cấp số cộng.
Xác định cấp số cộng ứng với mỗi m tìm được. Đáp số:
1 5

1, 5, .
2 9
   m m m
Bài 5: Cho đường cong
   
4 2
3 2 3 .
m
y x m x m C    Tìm m để đường thẳng 1y   cắt
 
m
C tại bốn
điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2. Đáp số:
1
1
3
0.
m
m



  








Bài 6: Cho hàm số
4 2
1 3
4 2
y x mx   có đồ thị
 
.
m
C

14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học cấp tốc 2013

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –Trung tâm gia sư VIP

a) Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị
 
m
C có ba điểm cực trị lập thành ba đỉnh của tam giác vuông
cân.
b) Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị
 
m
C cắt trục hoành tại bốn điểm có hoành độ thỏa mãn
2 2 2 2
1 2 3 4
20.x x x x   
Bài 7: Cho đường cong
   

4 2
3 2 3 .
m
y x m x m C    Tìm m để đường thẳng 1y   cắt
 
m
C tại bốn
điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2. Đáp số:
1
1; 0.
3
m m   
Bài 8: Cho hàm số
3
1
x
y
x



có đồ thị (C).
a. Chứng minh rằng đường thẳng : 2d y x m  luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N. Tìm tập hợp trung
điểm I của đoạn thẳng MN. Đáp số: quỹ tích I là đường thẳng 2 1.y x  
b. Xác định m để đoạn MN ngắn nhất. Đáp số:
min
2 5 3.MN m  
Bài 9: Cho hàm số
2 2
1

x
y
x



Tìm m để đường thẳng
 
: 2d y x m  cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân
biệt ,A B sao cho 5.AB  Đáp số: 10; 2m m  
Bài 10: Cho hàm số
2 4
.
1
x
y
x



Gọi
 
d là đường thẳng đi qua
 
1;1A có hệ số góc .k Tìm k sao cho
đường thẳng
 
d cắt đồ thị hàm số tại hai điểm ,M N và 3 10.MN 
Đáp số:
3 41

3;
16
k k
 
  
Dạng 5: Bài toán khoảng cách
Ví dụ 1: Cho hàm số
3 2
3 2y x x  
(1)
Tìm điểm M thuộc đường thẳng (d) 3 2y x  sao tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ nhất.
Lời giải
Ta có
2
0
' 3 6 0
2
x
y x x
x


   



.

14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học cấp tốc 2013

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –Trung tâm gia sư VIP

Với 0 2x y   và 2 2x y    . Vậy đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là (0, 2)A và (2, 2)B 
Ta viết đường thẳng 3 2y x  thành dạng 3 2 0 (*)x y   . Thay tọa độ A, B vào vế trái của (*) ta thu được
hai giá trị trái dấu, vì vậy điểm A và B nằm về hai phía của đường thẳng.
Vậy vị trí của điểm M trên (d) sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất là M là giao điểm của (d) với đường thẳng đi
qua hai điểm A và B.
Phương trình đường thẳng đi qua A và B có dạng:
0 2
2 2 0
2 0 2 2
x y
x y
 
    
  

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình sau:

4
3 2 0
5
2 2 0 2
5
x
x y
x y
y




  



 
  





. Vậy tọa độ điểm M cần tìm là
4 2
( ; ).
5 5
M
Ví dụ 2: Cho hàm số
2x 3
y (C)
x 2




Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại A, B sao cho AB ngắn
nhất .
Lời giải:
Gọi

0 0
( , )M x y là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị (C). Khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm
0 0
( , )M x y có dạng:

0
0
2
0
0
2 3
1
2
2


  


( )
( )
x
y x x
x
x
(d)
Giao điểm A của tiếp tuyến (d) với tiệm cận đứng 2x là nghiệm của hệ:

0
0

0
0
2
0
0
0
0
2
2
2 2
22 3
2 2
1
2
2
2
2




 
 


 
  


 






( ; )
( )
( )
x
x
x
Ax
x
y x x
y
x
x
x
x

Tọa độ điểm B của tiếp tuyến (d) với tiệm cận ngang 2y là nghiệm của hệ:

14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học cấp tốc 2013

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –Trung tâm gia sư VIP


0
0

0
0
2
0
0
2
2 2
2 3 2 2 2
1
2
2
2



 


   

 
  






( ; )
( )

( )
y
x x
x B x
y x x
y
x
x

Vậy khoảng cách giữa A và B là
   
 
2
2 2
0
0 0
2
0
0
2 2
1
2 4 2 2 2 2 2
2
2
 

       
 
 



 
x
AB x x
x
x

Theo bất đẳng thức cauchy dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
02 4
0 0
2
0
0
3
1
2 2 1
1
2


     





( ) ( )
( )
x
x x

x
x

Vậy tiếp tuyến cần lập thỏa mãn điều kiện có dạng
 y x
và 6  y x .
Ví dụ 3: Cho hàm số .

2 4

1
x
y
x



(C)
Tìm trên đồ thị (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN biết M(-3; 0) và N(-1; -1).
Lời giải:
Phương trình đường thẳng đi qua M và N:
3 0
2 3 0
2 1
x y
x y
 
    

.

Gọi ,A B là hai điểm đối xứng nhau qua đoạn thẳng MN. Khi đó phương trình đường thẳng đi qua A và B có dạng
2 0 2 ( )x y c y x c d     
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) có dạng

2
2 4
2
1
2 4 0 (3)
x
x c
x
x cx c

 

    

Gọi
1 1 2 2
( ; 2 ), ( ; 2 )A x x c B x x c 
, với
1 2
,x x
là nghiệm của phương trình (3). Khi đó trung điểm I của AB có
tọa độ là
1 2 1 2
2 2 2
( ; ) ( ; )
2 2 4 2

x x x x c c c
I
  
  (theo viet).
Vì A, B đối xứng nhau qua (MN) nên ta có

( ) 2 3 0
4 2
4
c c
I MN
c
     
  


14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học cấp tốc 2013

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –Trung tâm gia sư VIP

Thay c = -4 vào (3), ta có
2
0
2 4 0
2
x
x x
x



  



.
Với x = 0 thì y = - 4, còn với x = 2 thì y= 0.
Vậy có điểm A(0; - 4), B(2; 0) thuộc đồ thị hàm số thỏa mãn điều kiện bài toán.
Ví dụ 4: Tìm trên đồ thị hàm sô (H):

1
1
x
y
x



hai điểm thuộc hai nhánh sao cho khoảng cách giữa 2 điểm là
nhỏ nhất.
Lời giải
Gọi điểm
2 2
(1 ; ); (1 ; )
a b
A a B b
a b
 
 


(a, b > 0) là hai điểm nằm về hai nhánh của đồ thị khi đó ta có
   
 
2
2 2
2
2
1 1 64 1 1 4
4 16. ( )AB a b a b vi
a b a b a b
a b
 
         
 

 


Vậy AB min khi và chỉ khi
 
 
2
2
64
2.
a b
a b
a b
a b




  

 




Vậy tọa độ điểm A và B là
(1 2;1 2); (1 2;1 2)A B   

Luyện tập:
Bài 1: Cho đồ thị hàm số
1
( )
m
y mx C
x
 
Tìm m để đồ thị hàm số ( )
m
C có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của ( )
m
C đến tiệm cận xiên của ( )
m
C
bằng
1
2

.
Bài 2: Cho hàm số
2 4
1
x
y
x



(1), có đồ thị (C)
Chứng minh rằng đường thẳng ( ) : 2d y x m  luôn luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B với mọi m. Xác
định m để đoạn AB ngắn nhất
Bài 3: Cho hàm số
1
12



x
x
y (C)

14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học cấp tốc 2013

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –Trung tâm gia sư VIP

Tìm tọa độ điểm M trên (C) sao cho khoảng cách từ giao điểm của hai đường tiệm cận của (C) đến tiếp tuyến tại
M là lớn nhất.

Bài 4: Cho hàm số
2 4
1
x
y
x



. (C )
Gọi (d) là đường thẳng qua A( 1; 1 ) và có hệ số góc k. Tìm k sao cho (d) cắt ( C ) tại hai điểm M, N và
3 10MN  .
Bài 5: Tìm m để hai điểm cực trị của hàm số
3 2
3 3(2 1) 1y x mx m x     nằm về hai phía của đường thẳng
d: x – y = 0
Bài 6: Cho hàm số
12
2



x
x
y (C). Tìm những điểm trên đồ thị (C) cách đều hai điểm A(2 , 0) và B(0 , 2).
Bài 7: Cho hàm số
1


x

y
x
(C)
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị (C) đến tiếp tuyến
là lớn nhất
Bài 8: Cho hàm số
3 2 3
3 4y x mx m  
(m là tham số) có đồ thị là (C
m
)
Xác định m để (C
m
) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.
Bài 9: Cho đường cong (C):
4 2
2 3 2 1   y x x x
và đường thẳng (d): y = 2x – 1.
a. CMR (d) không cắt (C).
b. Tìm trên (C) điểm A có khoảng cách đến (d) là nhỏ nhất.
Bài 10: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số :
3x 4
y
x 2



. Tìm điểm thuộc (C) cách đều 2 đường
tiệm cận .
Bài 11: Cho hàm số

2 1
1
x
y
x



(C)
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết rằng khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến bằng 2 .
Bài 12: Cho hàm số
2 2
1
x
y
x



(C)
Tìm m để đường thẳng d: y = 2x + m cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho AB = 5 .
Dạng 6: Một số bài toán khác
Loại 1: Bài toán diện tích tam giác

14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học cấp tốc 2013

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –Trung tâm gia sư VIP

Ví dụ 1: Cho hàm số

4 2
2 3 1. ( )
m
y x mx m C    . Tìm m để (C
m
) có các điểm cực đại và cực tiểu và các điểm
cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1.
Lời giải
Để hàm số có 3 điểm cực trị thì phương trình y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt
3
4 4 0x mx  
có 3 nghiệm phân biệt
2
0x
x m







Điều kiện m > 0
Khi đó:
0x
x m
x m







 


Vậy 3 điểm cực trị của
 
m
C là
2 2
(0;3 1); ( ; 3 1); ( ; 3 1)A m B m m m C m m m       
Do tính đối xứng của đồ thị hàm số trùng phương nên ABC cân tại A
Gọi H là trung điểm của BC
2 2 2
(0; 3 1)H m m AH m m       
2
1
2 .2. .
2
ABC
BC m S m m

  
Mà
1 1
ABC
S m

  

Ví dụ 2: Cho hàm số
3 2
2 ( 3) 4 ( )
m
y x mx m x C    
Cho đường thẳng (d) có phương trình 4y x  và điểm K(1; 3). Tìm m để (d) cắt (C
m
) tại ba điểm phân biệt
A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng 8 2.
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của
 
m
C và (d) là:

14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học cấp tốc 2013

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –Trung tâm gia sư VIP

3 2
3 2
2 ( 3) 4 4
2 ( 2) 0
x mx m x x
x mx m x
     
    

2
0
2 2 0( )
x
x mx m




    


(d) cắt
 
m
C tại 3 điểm phân biệt

phương trình
 
 có 2 nghiệm phân biệt 0
Điều kiện
2
2
' 0 2
2 0
1
2 0 1
0
0
m

m
m m
m
m m
m
m
 

  

  
 


   
  


   

 





Gọi
( ; 4); ( ; 4)
B B C C
B x x C x x 

với
B
x
,
C
x
là nghiệm của phương trình
 

Theo định lý Viet ta có:
2
. 2
B C
B C
x x m
x x m
  


 


Ta có:
 
2
2
2( ) 2 4 .
B C B C B C
BC x x x x x x
 

    
 
2
2(4 4 8)m m  
Mặt khác
1
( ; ).
2
1 2
8 2 . 16
2
2
KBC
S d K d BC
BC BC


   

Vậy
2 2
2(4 4 8) 16 8 8 16 256m m m m      
2
8 8 272 0m m   
1 137
2
m

 

Ví dụ 3: Cho hàm số
3 2
1 1
2 2 . (1)
3 3
y x mx x m     . Tìm giá trị của
5
(0; )
6
m sao cho hình phẳng giới
hạn bởi đồ thị hàm số (1) và các đường 0, 2, 0x x y   có diện tích bằng 4.
Lời giải

14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học cấp tốc 2013

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –Trung tâm gia sư VIP

3 2
1 1
2 2
3 3
y x mx x m    
Ta có đạo hàm
2
' 2 2y x mx  

và
2
1

2
2
1 (0;2)
' 0
1 (0;2)
x m m
y
x m m

    

 

    


Bảng biến thiên

x
0
2
x
2
y’
- 0 +
y
1
2
3
m 

2m – 5/3


Vì
5
0;
6
m
 

 
 
nên dễ thấy
1
2 0
3
0
5
2 0
3
m
y
m

  


 



 



trên khoảng (0; 2)
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường đã cho là:

2
3 2
0
1 1
2 2
3 3
S x mx x m dx
 
     
 
 



2
4 3
2
0
1 10 4
(2 )
12 3 3 3
x mx m
x m x

 

      
 
 


14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học cấp tốc 2013

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –Trung tâm gia sư VIP

Vì
1
4 10 4 12 .
2
S m m     
Luyện tập
Bài 1: Cho hàm số
4 2
2 1 . ( )
m
y x x m C   
a) Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm chung với Ox.
b) Chứng minh với mọi tham số m, đồ thị hàm số luôn có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông
cân.
Bài 2: Cho hàm số
4 2 2
2 . ( 0)y x a x b a   
. Tìm a, b để hàm số đạt cực đại và cực tiểu và các điểm cực trị

của đồ thị hàm sô tạo thành một tam giác đều.
Bài 3: Cho hàm số
3
( )
1
x
y C
x



. Cho điểm
0 0
( , )M x y C
mà tiếp tuyến tại M cắt các đường tiệm cận của
( C) tại A và B.
a) Chứng minh rằng M
0
là trung điểm của AB.
b) Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận. Chứng minh diện tích của tam giác IAB không đổi và tìm
tọa độ điểm M
0
để đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất.
Bài 4: Cho hàm số
2
( )
1
m
x x m
y C

x
 


. Tìm m để tiếp tuyến bất kì với (C
m
) tạo với hai đường tiệm cận một
tam giác có diện tích nhỏ hơn 2.
Bài 5: Cho hàm số
3 2
2 ( 1) ( ).
m
y x x m x m C    

Trong trường hợp (C
m
) đồng biến trên R, tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (1) và hai trục
tọa độ Ox, Oy có diện tích bằng 1.
Loại 2: Bài toán điểm cố định
Ví dụ 4: Cho hàm số (C
m
)
3 2
2 3y x mx mx m    

a) Chứng minh rằng (C
m
) có hai điểm cố định.
b) Viết phương trình đường thẳng (d) qua hai điểm cố định và tìm m để d tiếp xúc với (C
m

).
Lời giải:

14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học cấp tốc 2013

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –Trung tâm gia sư VIP

a) Gọi
0 0
( ; )M x y là điểm cố định của đồ thị hàm số (C
m
) khi đó ta có
3 2
0 0 0 0
2 3
0 0 0 0
2
0 0 0 0
3
0 0
0 0
2 3
( 2) 3 0
2 0 1, 4
2, 5
3 0
y x mx mx m m
m x x x y m
x x x y

x y
x y
     
       

      


 


 
   




Vậy đồ thị có hai điểm cố định là (-1; -4) và (2; 5).
b) Phương trình đường thẳng (d) đi qua hai điểm cố định có dạng
1 4
3 1
3 9
x y
y x
 
   
(d) tiếp xúc với (C
m
) nếu hệ phương trình sau có nghiệm

3 2 ' ' 2
3 2 3 2
2
2
2
( 2 3) (3 1) 3 2 3
2 3 3 1 ( 3) 2 2 0
3 2 3 0
3 2 3 0 (1)
( 2)( 1)( 1) 0 (2)
( 2)[ ( 2) 1] 0
x mx mx m x x mx m
x mx mx m x x mx m x m
x mx m
x mx m
x x x m
x x m x m
 
        
 

 
           
 
 

    
   

 

 
    
     




Từ (2) ta có
2
1
1
x
x
x m



 


 


+) Nếu x = 2, thay vào (1) suy ra m = 3.
+) Nếu x = -1 thay vào (1) suy ra m = 0
+) Nếu x = 1 –m thay vào (1) ta có
2 2
0
3(1 ) 2 (1 ) 3 0 5 7 0
7

5
m
m m m m m m
m



         





Vậy giá trị m cần tìm là
0
7
5
3
m
m
m










Bài tập tự luyện

14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học cấp tốc 2013

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –Trung tâm gia sư VIP

Bài 7: Cho hàm số
4 2
( ) : 2 2 1.
m
C y x mx m    
a) Tìm các điểm cố định của (C
m
).
b) Tìm m để tiếp tuyến tại hai điểm cố định vuông góc với nhau.
Bài 8: Chứng minh rằng
1m  
đồ thị hàm số
2
2 (1 ) 1x m x m
y
x m
   


luôn luôn tiếp xúc với một đường
thẳng cố định tại một điểm cố định Đs:
 

1; 2 , '( 1) 1.f   
Loại 3: Bài toán đối xứng
Ví dụ 5: Cho hàm số
3 2
9 2. ( )y x mx x C   

Với giá trị nào của tham số m thì đồ thị hàm số có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ.
Lời giải:
Gọi
1 1 2 2
( ; ), ( ; ) ( )A x y B x y C
đối xứng nhau qua gốc tọa độ khi đó ta có

1 2
1 2
3 2 3 2
1 2
1 1 1 2 2 2
2 1 2 1
3 3 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1
2 1
2
1
0
0
0
( 9 2) ( 9 2) 0
( ) ( ) 9( ) 4 0 2 4 0
2

x x
x x
y y
x mx x x mx x
x x x x
x x m x x x x mx
x x
x
m
 

 



 
 
       



   
 
 
 
 
        
 
 
 









Để tồn tại hai điểm A, B đối xứng nhau qua gốc tọa độ thì m > 0.
Ví dụ 6: Chứng minh rằng đường thẳng (d) 4y x  là trục đối xứng của đồ thị hàm số
2 1
( )
2
x
y C
x




Lời giải:
Gọi đường thẳng vuông góc với (d) có dạng y x m   (d’). Yêu cầu bài toán tương đương với phải chứng
minh (d’) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A và B đối xứng nhau qua (d).
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d’) và (C)

14 chủ đề trọng tâm ôn thi đại học cấp tốc 2013

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –Trung tâm gia sư VIP

2
2 1
(4 ) 1 2 0 (1)
2
x
x m x m x m
x

        


Gọi
1 1 2 2
( ; ), ( ; )A x x m B x x m   
trong đó
1 2
,x x
là nghiệm của (1)
Theo định lý viet ta có:
1 2
4x x m  
. Gọi I là trung điểm của AB thì ta có tọa độ của điểm I là
1 2 1 2
( ) 2 4 4
( ; ) ( ; )
2 2 2 2
x x x x m m m
I
     


A, B đối xứng qua (d) khi và chỉ khi điểm I thuộc đường thẳng (d), thay tọa độ I vào (d) ta có
4 4 4 4
4
2 2 2 2
m m m m   
    (đpcm).
Bài tập tự luyện
Bài 9: Cho hàm số
3
3 2 ( )y x x C  

Tìm trên đồ thị (C) những cặp điểm đối xứng nhau qua điểm (2;18).I
Bài 10: Cho hàm số
3 2
2 2(3 1) 6 ( 1) 1.y x m x m m x     

Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng d: y = x + 2.
Bài 12: Tìm trên đồ thị hàm số
3
2
11
3
3 3
x
y x x     hai điểm phân biệt A, B đối xứng nhau qua trục tung.
Kiểu 4: Bài toán min, max và góc
Ví dụ 7: Cho đường thẳng d: y = 4x + a và đồ thị hàm số (C):
3
1

x
y
x


. Chứng minh rằng (d) cắt ( C ) ở hai
điểm phân biệt có hoành độ
1 2
,x x
với mọi a. Tìm a để
1 2
x x nhỏ nhất.
Lời giải
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C)

2
3
4 4 ( 7) 0 (1)
1
x
x a x a x a
x
      
