CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC - GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - NHỎ NHẤT - TIỆM CẬN

ChuyênđềGiảiTíchlớp12   LêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh


27





CHUYÊNĐỀ3.GIÁTRỊLỚNNHẤTVÀGIÁTRỊNHỎNHẤTCỦAHÀMSỐ
I.KIẾNTHỨCCƠBẢN
Địnhnghĩa:Chohàmsố
y f(x), x D=Î

a) Số
M
đglgiátrịlớnnhấtcủahàmsố
yf(x)=
trêntập
D
nếu
f(x) M£
,
xD"Î
vàtồntại
0
xDÎ
saocho
0
f(x ) M=
.

Kíhiệu:
D
Mmaxf(x)=

b) Số
m
đglgiátrịnhỏnhấtcủahàmsố
yf(x)=
trêntập
D
nếu
f(x) m³
,
xD"Î
vàtồntại
0
xDÎ
saocho
0
f(x ) m=
.
Kíhiệu:
D
Mminf(x)=

II.PHÂNDẠNGBÀITẬP
Dạng1:Tìmgiátrịlớnnhất,nhỏnhấtcủahàmsốbằngphươngphápđạohàm.
Bàitập1.Tìmgiátrịlớnnhất,nhỏnhấtcủahàmsố
2
x

y
4x
=
+

Hướngdẫn:
+Tậpxácđịnh
D
=


+Tacó
()
2
2
2
4x
y' y' 0 x 2
4x
-
===
+

+Tacóbảngbiếnthiên:
x

-¥

2-

2

+¥

y'


-

0

+

0

-

y

0

1
4



1
4
-

0

+Dựavàobảngbiếnthiêntacó:
1
max f(x)
4
= khi
x2=
;
1
min f(x)
4
=- khi
x2=-

ChuyờnGiiTớchlp12 LờNgcSn_THPTPhanChuTrinh


28
Bitp2.Tỡmgiỏtrlnnht,nhnhtcahms
()()()()
y x 1x 2x 3x 4=- - - -

Hngdn:
+Tpxỏcnh
D =

+Tacú
()()()()
()()

22
y x 1 x 2 x 3 x 4 x 5x 4 x 5x 6=- - - -= -+ -+
+t
2
2
59 9
tx 5x4 x
24 4
ổử
ữ
ỗ
ữ
=-+=- --
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
.Hmscúdng
2
f(t) t 2t=+
vi
9
t
4
-
Tacú
f'(t) 2t 2 f'(t) 0 t 1=+ ==-
.Bngbinthiờn:

t

-Ơ

9
4
-

1-

+Ơ

f'(t)


-

0

+

f(t)

9
16

+Ơ


1-

+Davobngbinthiờntacú:
min f(x) 1=-
khi
x1=-
vhmskhụngcúcci.
Bitp3.Tỡmgiỏtrlnnht,nhnhtcahms
yx 12x=+ -
Hngdn:
+Tpxỏcnh
1
D;
2
ổự
ỗ
ỳ
=-Ơ
ỗ
ỗ
ỳ
ỗ
ố
ỷ

+Tacú
()
12x
f'(x) 1 f'(x) 0 x 0
12x
12x 12x 1

-
=- = = =
-
+

+Davobngbinthiờntacú
1
;
2
max f(x) f(0 ) 1
ổự
ỗ
ỳ
ỗ
-Ơ
ỗ
ỳ
ỗ
ố
ỷ
==

Bitp4.Tỡmgiỏtrlnnht,nhnhtcahms
3
2
x1
yx3x
3
+
=+-

trờnon
0; 2
ộự
ờỳ
ởỷ
.
Hngdn:
+Tpxỏcnh
D =


+Tacú
2
x1
y' x 2x 3 y' 0
x20;2
ộ
=
ờ
=+-=
ờ
ộự
=- ẽ
ờ
ờỳ
ởỷ
ở

ChuyờnGiiTớchlp12 LờNgcSn_THPTPhanChuTrinh

29
+Tacú
0;2
0;2
1
f(0)
3
5
min f(x) f(1)
5
2
f(1)
2
max f(x) f(2) 1
f(2) 1
ộự
ờỳ
ởỷ
ộự
ờỳ
ởỷ
ỡ
ù
ù
=
ù
ù
ỡ
ù

ù
ù
ù
==-
ù
ù
ùù
=-
ớớ
ùù
==
ùù
ùù
=
ùù
ợ
ù
ù
ù
ù
ợ


Bitp5.Tỡmgiỏtrlnnht,nhnhtcahms
ysin2xx=-
trờnon
;
22
pp
ộự

ờỳ
-
ờỳ
ởỷ
.
Hngdn:
+Tacú
1
2
xk
1
6
y' 2cos2x 1 y' 0 cos2x
2
xk
6
p
p
p
p
ộ
ờ
=- +
ờ
=-==
ờ
ờ
=+
ờ
ở

+Xột
1
xk
6
p
p=- + vỡ
12
x; k k
22 2 6 2 3 3
pp p p p
p
ộự
ờỳ
ẻ- - Ê- + Ê - Ê Ê
ờỳ
ởỷ
.
Do
1
kk0x
6
p
ẻ= =- .Tngttacú
2
x
6
p
=
+Tacú

;
22
;
22
y
22
3
min y y
y
22
626
3
max y y
y
22
626
y
22
pp
pp
pp
pp
pp
pp
pp
pp
ộự
ờỳ
-
ờỳ

ởỷ
ộự
ờỳ
-
ờỳ
ởỷ
ỡ
ổử
ù
ữ
ù
ỗ
ữ
-=
ùỗ
ữ
ỗ
ù
ữ
ỗ
ốứ
ù
ù
ỡ
ổử
ù
ù
ữ
ổử
ù

ỗ
ù
ữ
==-
ùỗ
ữ
ỗ
ù
ữ
ữ
ỗ
ù
-=- +
ỗ
ù
ữ
ỗ
ữ
ốứ
ù
ỗ
ù
ữ
ỗ
ù
ốứ
ù
ù

ớớ

ổử
ùù
ổử
ữ
ỗ
ùù
ữ
ỗ
ữ
=- =
ỗ
ữ
ùù
=+
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ùù
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
ù
ốứ
ù
ợ
ù

ổử
ù
ữ
ỗ
ù
ữ
=-
ỗ
ù
ữ
ỗ
ù
ữ
ỗ
ốứ
ù
ợ
ù
ù
ù

Bitp6.Tỡmgiỏtrlnnht,nhnhtcahms
3
yx3x2=-+trờnon
3; 0
ộự
-
ờỳ
ởỷ
.

Hngdn:Xộthms
3
g(x) x 3x 2=-+
trờnon
3; 0
ộự
-
ờỳ
ởỷ
.Tacú
g(x) 0 x 2==-

2
g'(x) 3x 3 g'(x) 0 x 1=- ==

+Tacúbngbinthiờnca
g(x)
:
x

-Ơ

3-

2-

1-

1

+Ơ

g'(x)


+

+

0

-

0


g(x)




4


0


ChuyênđềGiảiTíchlớp12   LêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh



30

16-

2
+Từđótacóbảngbiếnthiêncủahàmsố
3
yg(x)x3x2==-+
x

-¥

3-

2-

1-

1

+¥

g'(x)



-

+

0

-

0


g(x)





16

4



0

2

+Dựavàobảngbiếnthiêntacó:
max f(x) 16=
khi
x3=-
;
min f(x) 0=
khi

x2=-

Bàitậpápdụng
Bàitập1.Tìmgiátrịlớnnhất,nhỏnhấtcủahàmsố
32
yx 3x 2=+ +
trênđoạn
1; 1
éù
-
êú
ëû
.
Bàitập2(TN_2012).Tìm
m
đểgiátrịnhỏnhấtcủahàmsố
2
xm m
y
x1
-+
=
+
trênđoạn
0;1
éù
êú
ëû

bằng

2-
.
Bàitập3(TN03‐04).Tìmgiátrịlớnnhất,nhỏnhấtcủahàmsố
3
4
y 2 sin x sin x
3
=- trênđoạn
0; p
éù
êú
ëû
.
Bàitập4(TN08‐2).Tìmgiátrịlớnnhất,nhỏnhấtcủahàmsố
2x 1
y
x3
-
=
-
trênđoạn
0; 2
éù
êú
ëû
.
Bàitập5.Tìmgiátrịlớnnhất,nhỏnhấtcủacáchàmsốsau:
a)
4
2

y
2x
=
+
b)
()

2
x3x3
y,x2;
x2
-+
=Î+¥
-

c)
()

1
yx1 ,x 0;
x
=++ Î +¥  d)
()

1
yx1 ,x 2;
x
=+- Î +¥
Bàitập6.Tìmgiátrịlớnnhất,nhỏnhấtcủacáchàmsốsau:
a)

32
yx 3x 1,x 2;3
éù
=- + Î-
êú
ëû
  b)
x1
y,x2;3
x1
+
éù
=Î
êú
ëû
-

c)

2
y1 9x,x 3;3
éù
=+ - Î-
êú
ëû
  d)
2
y3 x 2x5=+ - +


e)

3
y 2sin x sin 2x, x 0;
2
p
éù
êú
=+ Î
êú
ëû
 g)

y5cosxcos5x,x ;
44
pp
éù
êú
=- Î-
êú
ëû

Bàitập7.Tìmgiátrịlớnnhất,nhỏnhấtcủacáchàmsốsau:
a)
2
2
x2x3
y
x2x3
++

=
-+
  b)
2
2
2x x 1
y
2x x 1
-+
=
++
  c)
2
2
x8x7
y
x1
-+
=
+

Bàitập8.Tìmgiátrịlớnnhất,nhỏnhấtcủacáchàmsốsau:
ChuyênđềGiảiTíchlớp12   LêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh


31
a)
sin x cos x
y
sin x cos x 2

+
=
-+
  b)
2sinx cosx
y
sin x 2
-
=
-
 c)
sin x cos x
y
cos x 2
+
=
-

Bàitập9(TN_201 2) .Tìmgiátrịlớnnhất,nhỏnhấtcủahàmsố
2
yx3xlnx=+-
trênđoạn
1;2
éù
êú
ëû





CHUYÊNĐỀ4.ĐƯỜNGTIỆMCẬNCỦAĐỒTHỊHÀMSỐ
I.KIẾNTHỨCCƠBẢN
1.Đườngtiệmcậnđứngvàtiệmcậnngang
Địnhnghĩa1.Đườngthẳng
0
yy=
đgltiệmcậnngangcủađồthịhàmsố
yf(x)=
nếu:
0
x
lim f(x) y
+¥
=
hoặc
0
x
lim f(x) y
-¥
=


Địnhnghĩa2.Đườngthẳng
0
xx=
đgltiệmcậnngangcủađồthịhàmsố
yf(x)=
nếuítnhấtmột
trongcácđiềukiệnsauđượcthỏamãn:

00
00
xx xx
xx xx
lim f(x) ; lim f(x)
lim f(x) ; lim f(x)
-+
-+


=+¥ =+¥
=+¥ =+¥

Vídụ1.Tìmtiệmcậnngangvàtiệmcậnđứngcủađồthịhàmsố
2x 1
y
x2
-
=
+

Hướngdẫn:
+Tậpxácđịnh
{}
D\2=-

ChuyênđềGiảiTíchlớp12   LêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh



32
+Tacó
x
lim y 2
+¥
=
và
x
lim y 2
-¥
=
nên
y2=
làtiệmcậnngangcủađồthịhàmsố
+Tacó
x2
lim y
-
-
=+¥
và
x2
lim y
+
-
=-¥
nên
x2=-
làtiệmcậnđứngcủađồthịhàmsố
Vídụ2.Tìmtiệmcậnngangvàtiệmcậnđứngcủađồthịhàmsố

2
x1
y
x
+
= 
Hướngdẫn:
+Tậpxácđịnh
{}
D\0= 

+Tacó
2
xx
1
x1
x
lim y lim 1
x
+¥ +¥
+
==và
2
xx
1
x1
x
lim y lim 1
x
-¥ -¥

-+
==-nênđồthịhàmsốcó2
tiệmcậnnganglà
y1=

+Tacó
2
x0 x0
x1
lim y lim
x
++

+
==+¥và
2
x0 x0
x1
lim y lim
x


+
==-¥nênđồthịhàmsốcótiệm
cậnđứnglà
x0=
.
2.Đườngtiệmcậnxiên
Địnhnghĩa3.Đườngthẳng
yaxb(a0)=+ ¹

đgltiệmcậnxiêncủađồthịhàmsố
yf(x)=
nếu:
()
x
lim f(x) ax b 0
+¥
éù
-+=
êú
ëû
hoặc
()
x
lim f(x) ax b 0
-¥
éù
-+=
êú
ëû

Chúý:Đểxácđịnhcáchệsố
a, b
trongphươngtrìnhtiệmcậnxiêntacóthểápdụngcáccông
thứcsau:


xx
xx
f(x)

a lim ; b lim f(x) ax
x
f(x)
a lim ; b lim f(x ) ax
x
+¥ +¥
-¥ -¥
é
éù
ê
==-
êú
ëû
ê
ê
ê
éù
==-
ê
êú
ëû
ë

Nếu
a0=
tacótiệmcậnngang.
Vídụ3.Tìmtiệmcậnxiêncủađồthịhàmsố
3
2
x

y
x1
=
-

Hướngdẫn:
+Tacó

()
3
2
xx
f(x) x
a lim lim 1
x
xx 1
+¥ +¥
== =
-

ChuyờnGiiTớchlp12 LờNgcSn_THPTPhanChuTrinh


33
3
22
xx x
xx
b lim f(x) x lim x lim 0
x1 x1

+Ơ +Ơ +Ơ
ổử
ữ
ỗ
ộự
ữ
=-= -= =
ỗ
ữ
ờỳ
ỗ
ởỷ
ữ
ỗ

ốứ

+Tacngcú

xx
f(x)
a lim 1; b lim f(x) x 0
x
-Ơ -Ơ
ộự
===-=
ờỳ
ởỷ

Doúthhmscú1timcnxiờnl

yx=

Ghinh:
th
ax b
y
cx d
+
=
+
cútimcnng
d
x
c
=- ,timcnngang
a
y
c
=
th
2
ax bc c r
ymxn
px q px q
++
==++
++
cútimcnng
q
x

p
=-
vcútimcnxiờn
ymxn=+
th
2
ymxn ax bxc=++ ++

(a 0 )>
cúcỏcngtimcnl:
b
ymxn ax
2a
=+- +

Khụngthtnticựngmtlỳcctimcnngangvtimcnxiờn.

Bitp1.Tỡmcỏcngtimcncamithhmssau:
a)
2x 3
y
x1
-
=
+
b)
2
x2x3
y
x2

-+
=
+

Hngdn:
a) Tacú
xx
2x 3
lim y lim 2
x1
Ơ Ơ
-
==
+
nờnthcútimcnngang
y2=

Tacú
x1 x1
2x 3
lim y lim
x1

- -
-
==+Ơ
+
v
x1 x1
2x 3

lim y lim
x1
++
- -
-
==-Ơ
+
nờnthcútimcn
ngl
x1=-

b)
2
x2x3 11
yx4
x2 x2
-+
==-+
++

+Tacú
()
xx
11
lim y x 4 lim 0
x2
Ơ Ơ
ộự
-+ = =
ờỳ

ởỷ
+
nờnthcútimcnxiờnl
yx4=+

+Tacú
x2
lim y
+
-
=-Ơv
x2
lim y
-
-
=+Ơnờnthcútimcnngl
x2=-

Bitp2.Tỡmcỏcngtimcncamithhmssau:
a)
2
yx7 9x 1=-+ +
b)
2
1
y
xx1
=
++

ChuyênđềGiảiTíchlớp12   LêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh


34
Hướngdẫn:
a) Tậpxácđịnh
D =
đồthịkhôngcótiệmcậnđứng
Tacó:
+
2
xx
f(x) x 7 9x 1
lim lim 4
xx
+¥ +¥
-+ +
==và
x
lim f(x) 4x 7
+¥
éù
-=-
êú
ëû
nên
y4x7=-
làmột
tiệmcậnxiêncủađồthịhàmsố.
+

2
xx
f(x) x 7 9x 1
lim lim 2
xx
-¥ -¥
-+ +
==-và
x
lim f(x) 2x 7
-¥
éù
+=-
êú
ëû
nên
27yx=- +
là
mộttiệmcậnxiêncủađồthịhàmsố.
Vậyđồthịcó2tiệmcậnxiên
b)
2
2
1
1
1
yxx
xx
==-+
++

:đồthịkhôngcótiệmcậnđứng
Tươngtựtrêntacó:đồthịcótiệmcậnngang 0y = vàtiệmcậnxiên
2yx=-

Nhậnxét:Xétđồthịhàmsố
2
ymxn ax bxc=++ ++

(0)a >
:
 Nếu
ma= thìđồthịcómộttiệmcậnngangvàmộttiệmcậnxiên
 Nếu
ma¹
thìđồthịcó2tiệmcậnxiên
 Nếu
0a <
thìđồthịkhôngcótiệmcận
Bàitập3(ĐHYHàNội2001).Chohàmsố
2
1
1
xmx
y
x
+-
=
-
cóđồthị
()

m
C
.Tìm
m
saocho
đườngtiệmcậnxiêncủađồthị
()
m
C
cắtcáctrụctọađộtạihaiđiểm
,AB
saocho
18
OAB
S
D
=
.
Hướngdẫn:
+Tacó
2
1
1
11
xmx m
yxm
xx
+-
==+++


Đểcótiệmcậnxiênthì
0m ¹
.Khiđóphương
trình tiệm cận xiên là
:d

1yxm=+ +
. Để tiệm cận xiên cắt
2
trụctọađộthì
10 1mm+¹  ¹-

+Tacó
()
()
1; 0
0; 1
dOx Am
dOy B m
ì
ï
Ç=
ï
ï
í
ï
Ç= +
ï
ï

î

()
2
11
.1
22
OAB
SOAOBm
D
= =+

Theogiảthiết
()
2
5
1
18 1 18
7
2
OAB
m
Sm
m
D
é
=
ê
= +=
ê

=-
ê
ë

Bàitập1.Tìmcácđườngtiệmcậncủađồthịmỗihàmsốsau:
a)
2
32
x
y
x
-
=
+
 b)
1
2
3
yx
x
=+-
-
 c)
2
34
21
xx
y
x
-+

=
+
 d)
2
2
1
x
y
x
+
=
-

ChuyênđềGiảiTíchlớp12   LêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh


35
e)
3
1
x
y
x
=
+
 f)
2
21
3
x

yx
x
-
=+-
  g)
3
2
2
2
x
y
xx
+
=
-
 h)
3
2
1
1
xx
y
x
++
=
-

i)
2
2

1
523
xx
y
xx
++
=
+
k)
2
1yx=-
  l)
2
21yx x=+ -
m)
2
1yx x=+ +

Bàitập2.Cho
M
làmộtđiểmthayđổitrênđồthị
4
(): 2 3
1
Cy x
x
=++
-
.Chứngminhtích
cáckhoảngcáchtừ

M
đếncácđườngtiệmcậncủa
()C
làmộtsốkhôngđổi.

Bàitập3.Tìm
m
saochotamgiáctạobởihaitrụctọađộvàtiệmcậnxiêncủađồthịhàmsố
2
22
1
xmx
y
x
+-
=
-
códiệntíchbằng
4
.
Bàitập4.Chohàmsố
()
22 2
mx mm2xm3
y
x1
+++++
=
+
.Tìm

m
đểkhoảngcáchtừ
O
đến
tiệmcậnxiênnhỏnhất
Bàitập5.Chohàmsố
()
22
xm2xm4m3
y
mx 1
++ +- +
=
+
.Tìm
m
đểkhoảngcáchtừ
O
đến
tiệmcậnxiênnhỏnhất
Bàitập6.Chohàmsố
()
22
mx 3m 2 x 2
y
x3m
+
=
+
cóđồthị

m
(C )

a) Tìm
m
đểgócgiữahaitiệmcậnbằng
0
45

b) Tìm
m
đểđồthị
m
(C )
cótiệmcậnxiêncắt2trụctọađộtại
A, B
saocho
OAB
S4
D
=

Bàitập7.Chohàmsố
()()
2
m1x m1x2m3
y
x2m
-++-+
=

-
cóđồthị
m
(C )

c) Tìm
m
đểgócgiữahaitiệmcậnbằng
0
45

d) Tìm
m
đểđồthị
m
(C )
cótiệmcậnxiêncắt2trụctọađộtại
A, B
saocho
OAB
S4
D
=

Bàitập8.Chohàmsố
2
xx1
y
x1
++

=
-
cóđồthị
(C)

a) Tíchkhoảngcáchtừmộtđiểmbấtkìtrên
()
C
đếnhaitiệmcậnkhôngđổi
b) Khôngcótiếptuyếnnàođiquagiaođiểmcủahaitiệmcận
Bàitập9.Tìm
a
để
2
xxa
y
xa
-++
=
+
cótiệmcậnxiênđiqua
()
A2;0

Bàitập10.Chohàmsố
2
xmx1
y
x1
++

=
-
.Tìm
m
đểđồthịhàmsốcótiệmcậnxiêntạovớihai
trụctọađộmộttamgiáccódiệntíchbằng
8

Bàitập11.Lấybấtkìđiểm
2
x3x1
M(C):y
x2
+-
Î=
-
.CMR:Tíchcáckhoảngcáchtừ
M
đến2
tiệmcậncủa
(C)
luônkhôngđổi