thiết kế bộ lọc số trên dspic ứng dụng trong việc xử lý điện tâm đồ

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐH Công Nghệ - ĐH QG Hà Nội
MỞ ĐẦU
Hiện nay với việc phát triển của khoa học kỹ thuật và kinh tế thì chất lượng
cuộc sống của con người đã được nâng lên một cách rõ rệt. Do đó nhu cầu về chăm
sóc sức khỏe là một nhu cầu tất yếu không thể thiếu ở mỗi người.
Một trong những mối quan tâm hàng đầu hiện nay là các bệnh lý liên quan tới
tim mạch. Không phải ai cũng có khả năng trang bị cho mình những thiết bị đắt tiền để
khám bệnh ngay tại nhà. Bên cạnh đó việc sản xuất các thiết bị đo điện tim bằng các
mạch lọc tương tự sẽ rất tốn các linh kiện mặt khác tín hiệu điện tâm đồ chịu rất nhiều
loại nhiễu tác động, và việc xử lý các nhiễu này là rất khó thực hiện trên các mạch lọc
tương tự được thiết kế bằng các linh kiện điện tử.
Chính vì lý do này các mạch lọc số đang dần thay thế các mạch lọc tương tự bởi
những ưu điểm nổi trội của nó về độ chính xác, dễ dàng thay đổi đặc tính của bộ lọc
Luận văn của em tập trung vào việc thực hiện việc lọc số trên vi điều khiển dsPIC vừa
tăng được khả năng lọc nhiễu của tín hiệu vừa tiết kiệm được các linh kiện. Điều này
góp phần tăng hiệu quả ứng dụng của thiết bị và hạ giá thành sản phẩm.
Bùi Công Quân Khoa Điện tử - viễn thông
1
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐH Công Nghệ - ĐH QG Hà Nội
CHƯƠNG 1: CƠ BẢN VỀ TÍN HIỆU ĐIỆN TIM
1.1 Cấu tạo và chức năng của tim
Tim là bộ phận quan trọng trong hệ tuần hòa của động vật, với chức năng bơm
đều đặn để đẩy máu theo các động mạch và đem dưỡng khí và các chất dinh dưỡng
đến toàn bộ cơ Thể. Hút máu từ tĩnh mạch về tim sau đó đẩy máu đến phổi để trao đổi
khí CO
2
lấy khí O2. Tim được cấu tạo từ một loại cơ đặc biệt gọi là cơ tim.
Tim người nằm trong lồng ngực, giữa hai lá phổi, dưới là cơ hoành, trên là các
ống của tâm trung thất, trước là xương ức, sau là xương cột sống. Tim người gồm có
bốn ngăn: 2 tâm nhĩ phía trên và 2 tâm thất phía dưới. Cơ tim của tâm thất dày hơn
tâm nhĩ, của tâm thất trái dày hơn tâm thất phải. Tâm nhĩ trái nối với tĩnh mạch phổi,

tâm thất trái nối với động mạch chủ. Tâm nhĩ phải nối với tĩnh mạch chủ trên và tĩnh
mạch chủ dưới, tâm thất phải nối với động mạch phổi.
Giữa tâm thất và tâm nhĩ có van nhĩ thất giúp cho máu không chảy ngược lại
tâm nhĩ. Van này ở bên phải có ba lá (van ba lá) và bên trái có hai lá (van hai lá).Ở gốc
động mạch với tâm thất có van bán nguyệt (do có hình bán nguyệt), còn gọi là van tổ
chim giúp máu không chảy ngược trở lại tâm thất.
Tim bơm máu nuôi dưỡng khắp thân thể nên nó cũng phải được tiếp tế đầy đủ
máu và oxi. Đó là nhờ mạch máu bên phải và trái phát suất từ động mạch chủ chạy
thành một vòng bao quanh quả tim. Động mạch này được gọi là mạch máu vành tim
(Coronary arteries).
Hình 1.1: Cấu tạo tim người
Bùi Công Quân Khoa Điện tử - viễn thông
2
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐH Công Nghệ - ĐH QG Hà Nội
1.2 Sự hình thành điện tâm đồ
Tim hoạt động được là nhờ một xung động truyền qua một hệ thống thần kinh
tự động của tim. Đầu tiên, xung động đi từ nút xoang toả ra cơ nhĩ làm cho nhĩ co bóp
(hay là nhĩ khử cực) trước, khi nhĩ bóp thì máu được đẩy xuống tâm thất. Sau đó nút
nhĩ - thất Tawara tiếp nhận xung động truyền qua bó His xuống tâm thất làm cho tâm
thất co bóp (tâm thất khử cực), lúc này thất đã đầy máu sẽ bóp mạnh đẩy máu ra ngoại
biên. Hiện tượng nhĩ thất co bóp (nhĩ thất khử cực) lần lượt trước sau như thế chính là
để duy trì quá trình huyết động bình thường của hệ thống tuần hoàn. Đồng thời điều đó
làm cho điện tâm đồ bao gồm hai phần: một là nhĩ đồ, ghi lại dòng điện hoạt động của
nhĩ, đi trước, và một thất đồ, ghi lại dòng điện của thất đi sau.
Để thu được dòng điện tim, người ta phải đặt các điện cực lên cơ thể như những
sensơ thu những dòng điện tim nhỏ khoảng từ 1mV-3mV. Tuỳ theo chỗ đặt các điện
cực, hình dáng điện tâm đồ sẽ khác nhau. Nhưng trong thực tế để dễ dàng quan sát và
chuẩn đoán tốt trong bệnh nhân, người ta quy ước đặt điện cực dương (B) bên trái quả
tim, và điện cực âm (A) ở bên phải quả tim (Hình 1.2).
Hình 1.2 : Quy ước các điện cực với cấu tạo của tim

Do đó trên đường điện tâm đồ sẽ xuất hiện ba dạng sóng cơ bản sau :
Khi tim ở trạng thái nghỉ không có dòng điện tim qua điện cực âm và điện cực
dương là cân bằng nhau khi đó sẽ xuất hiện một đường thẳng, gọi đó là đường đồng
điện (isoelectric line).
Bùi Công Quân Khoa Điện tử - viễn thông
3
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐH Công Nghệ - ĐH QG Hà Nội
Khi tim hoạt động (tâm thu) mà điện cực B thu được một điện thế dương tính
tương đối so với điện cực A thì khi đó sẽ xuất hiện một làn sóng dương tức là ở phía
trên đường đồng điện.
Trái lại, khi điện cực A dương tính tương đối thì sẽ xuất hiện một làn sóng âm,
nghĩa là phía trên đường đồng điện
1.2.1 Nhĩ đồ
Xung động đi từ nút xoang(ở nhĩ phải) sẽ toả ra làm cho cơ nhĩ co bóp (khử cực
cơ nhĩ) các đợt sóng với hướng chung là từ trên xuống dưới và từ phải sang trái. Như
vậy, vectơ khử cực nhĩ(nghĩa là vectơ biễu diễn dòng điện khử cực nhĩ) sẽ có hướng từ
trên xuống dưới và từ phải sang trái, làm với đường ngang một góc +490 và còn gọi là
trục điện nhĩ. Lúc này điện cực B sẽ dương tính tương đối và máy sẽ ghi được một làn
sóng dương thấp, nhỏ, kéo dài khoảng 0.08s gọi là sóng P.
a)
b) c)
Hình 1.3 : Nhĩ đồ a) Quá trình khử cực ở nhĩ và trục điện nhĩ. b) Nhĩ đồ bình
thường (Sóng P). c)Nhĩ đồ ghi ở chuyển đạo thực quản
Khi nhĩ tái cực, nó có phát ra một dòng điện ghi lên máy bằng một sóng âm nhỏ
gọi là sóng Ta (aurricular T), nhưng ngay lúc này cũng xuất hiện khử cực thất (QRS)
với điện thế mạnh hơn nhiều nên trên điện tim đồ thông thường ta không nhìn thấy
được sóng Ta nữa. Do đó nhĩ đồ có nghĩa là sự hoạt động của nhĩ chỉ thể hiện lên điện
tim đồ bằng một làn sóng đơn độc sóng P.
Bùi Công Quân Khoa Điện tử - viễn thông
4

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐH Công Nghệ - ĐH QG Hà Nội
1.2.2 Thất Đồ
1.2.2.1 Khử cực
Khi tâm nhĩ co bóp (nhĩ khử cực) thì xung động đã bắt đầu vào nút nhĩ - thất rồi
truyền qua thân và hai nhánh bó His xuống khử cực thất.
Việc khử cực này bắt đầu từ phần giữa mặt trái vách liên thất đi xuyên sang mặt
phải vách này, tạo ra một vectơ khử cực đầu tiên hướng từ trái sang phải: điện cực A
sẽ dương tính tương đối do đó sẽ xuất hiện một làn sóng âm nhỏ và nhọn gọi là sóng
Q. Sau đó, xung động truyền xuống và tiến hành khử cực đồng thời cả hai tâm thất
theo hướng xuyên qua bề dày cơ tim, từ lớp dưới nội tâm mạc ra lớp dưới thượng tâm
mạc. Lúc này vectơ khử cực hướng nhiều về bên trái hơn vì thất trái dày hơn và tim
nằm nghiêng hướng trục tim về bên trái. Do đó, vectơ khử cực lúc này hướng từ phải
sang trái; điện cực B lại dương tính tương đối và ta sẽ thu được một làn sóng dương
cao, nhọn, gọi là sóng R
Sau cùng, khử cực nốt vùng đáy thất lại hướng từ trái sang phải, tạo ra một
vectơ hướng từ trái sang phải: máy ghi được một làn sóng âm, nhỏ, nhọn, gọi là sóng
S.
Như vậy khử cực thất bao gồm ba làn sóng cao nhọn Q, R, S biên thiên phức
tạp nên được gọi là phức bộ QRS. Vì nó biên đổi nhanh trong một thời gian rất ngắn là
khoảng 0.07s, nên còn được gọi là phức bộ nhanh, trong phức bộ này sóng lớn nhất là
sóng R.
Khi chúng ta tổng hợp ba vectơ khử cực Q, R, S thì chúng ta sẽ được một vectơ
khử cực trung bình có hướng từ trên xuống dưới và từ phải sang trái làm với đường
nằm ngang một góc là 580 (hình 1.4). Vectơ đó còn gọi là trục trung bình của điện tim,
hay gọi là trục điện tim
Hình 1.4: Trục điện tim bình thường
Bùi Công Quân Khoa Điện tử - viễn thông
5
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐH Công Nghệ - ĐH QG Hà Nội
Tái cực

Khi thất khử cực xong, sẽ qua một thời kỳ tái cực chậm, không thể hiện một làn
sóng nào hết mà nó chỉ là một đường đồng điện gọi là đoạn ST. Sau đó đến thời kỳ tái
cực nhanh (sóng T).
Tái cực nói chung có hướng đi xuyên qua cơ tim, từ lớp dưới thượng tâm mạc
vào lớp dưới nội tâm mạc. Tái cực đi ngược chiều với khử cực như vậy là vì nó tiến
hành đúng vào lúc tim bóp với cường độ mạnh nhất, làm cho lớp cơ tim dưới nội tâm
mạc bị lớp ngoài nén vào quá mạnh nên tái cực muộn đi.
Mặc khác trái với khử cực, tái cực tiến hành từ vùng điện dương tới vùng điện
âm.
Do đó, tuy nó tiến hành ngược chiều với khử cực, nó vẫn có vectơ tái cực
hướng từ trên xuống dưới và từ phải sang trái (hình 1.5) làm phát sinh một làn sóng
dương thấp, đầu tù gọi là sóng T.
Hình 1.5: Quá trình tái cực và hình thành sóng T
Nếu khi ta lấy một đường thẳng đứng qua đỉnh sóng T lấy làm trục đối xứng thì
ta sẽ thấy sóng đó không đối xứng, mà có sườn lên thoai thoải hơn và sườn xuống dốc
đứng hơn. Hơn nữa nó rất dài làm cho hai chân của nó rất xa nhau nên còn gọi là sóng
chậm. Véctơ tái cực làm với trục bình thường một góc 380 . Và nó gần như cùng
hướng với véctơ trục điện tim, Do đó sóng R cũng là sóng dương.
Như vậy thất đồ được chia làm hai giai đoạn :
Giai đoạn khử cực, bao gồm phức bộ QRS được gọi là pha đầu
Giai đoạn tái cực, bao gồm ST và T (và cả U nữa) được gọi là pha cuối.
Thời gian toàn bộ của thất đồ, kể từ đầu sóng Q đến hết sóng T, gọi là thời gian
QT kéo dài khoảng 0,36s.
Bùi Công Quân Khoa Điện tử - viễn thông
6
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐH Công Nghệ - ĐH QG Hà Nội
1.2.2.3 Truyền đạt nhĩ - thất
Khi sóng P kết thúc là hết nhĩ đồ, khi bắt đầu sóng Q là bắt đầu thất đồ. Nhưng
nhìn vào điện tâm đồ ta thấy giữa P và Q có một khoảng ngắn đồng điện chứng tỏ rằng
sau khi nhĩ khử cực xong rồi, xung động vẫn chưa truyền đạt xuống tới thất. Nhưng

khúc PQ không thể đại diện cho thời gian truyền đạt từ nhĩ tới thất. Vì chúng ta biết
rằng ngay khi nhĩ còn đang khử cực thì xung động đã bắt đầu vào nút nhĩ-thất vào bắt
đầu truyền đạt xuống phía thất rồi. Do đó, để đạt một mức chính xác cao hơn, người ta
thường đo từ khởi điểm sóng P đến khởi điểm sóng Q(hay khởi điểm sóng P trong
trường hợp không có Q) tức là khoảng PQ, và gọi đó là thời gian truyền đạt nhĩ - thất,
bình thường dài từ 0,12s đến 0,20s.
Như vậy, điện tim đồ bình thường của mỗi nhát bóp tim (hay một chu trình của
tim) gồm 6 làn sóng nối tiếp nhau mà người ta dùng 6 chữ cái liên tiếp nhau để đặt tên
là: P, Q, R, S, T, U, trong đó người ta phân ra một nhĩ đồ: sóng P, một thất đồ: các
sóng Q, R, S, T, U, với thời gian truyền đạt nhĩ - thất: khoảng PQ.
Với tần số tim bình thường, khoảng 75 nhịp/phút thì sau sóng T, tim sẽ nghỉ
đập khoảng 0,28s thể hiện bằng một khoảng thẳng đồng điện rồi lại tiếp sang nhát bóp
sau với một loạt sóng P, Q, R, S, T, U khác và cứ thế tiếp diễn mãi. Thời gian nghỉ gọi
là thời kỳ tâm trương toàn thể của tim .
1.3. Một vài chuyển đạo cơ bản
Điện cực âm ở cổ tay phải, điện cực dương ở cổ tay trái, gọi là chuyển đạo I,
viết tắt là D1 (Hình 1.6).
Hình 1.6: Sơ đồ mắc các chuyển đạo mẫu, chân nối đất để chống tạp nhiễu
Các chuyển đạo trước tim
Bùi Công Quân Khoa Điện tử - viễn thông
7
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐH Công Nghệ - ĐH QG Hà Nội
Người ta thường ghi đồng loạt cho bệnh nhân 6 chuyển đạo trước tim thông
dụng nhất, ký hiệu là chữ V và đánh dấu từ 1 đến 6. Đó là những chuyển đạo đơn cực,
có một điện cực trung tính nối vào cực trung tâm(CT) và một điện cực thăm dò. Được
đặt lần lượt trên 6 điểm ở vùng trước tim.
Như vậy trục chuyển đạo của chúng sẽ là những đường thẳng hướng từ tâm
điểm của tim (điểm O) tới các vị trí của điện cực tương ứng, các trục đó nằm trên
những mặt phẳng nằm ngang hay gần ngang.
Đứng về mặt sinh học thì V1 và V2 coi như có điện cực thăm dò đặt trúng lên

vùng thành ngực ở sát ngay trên mặt thất phải và gần khối tâm nhĩ, do đó có khả năng
thể hiện được những rối loạn điện học của thất phải và khối tâm nhĩ rõ ràng nhất,
người ta gọi V1, V2 là các chuyển đạo trước tim phải, V5 và V6 gọi là các chuyển đạo
trước tim trái. Còn chuyển đạo V3, V4 ở khu vực trung gian giữa hai thất, ngay trên
vách liên thất nên được gọi là chuyển đạo trung gian. Tuy nhiên tuỳ từng người mà tư
thế tim trong lồng ngực khác nhau có thể làm sai khác tin hiệu điện tim thu được giữa
các điện cực và tâm thất.
Hình 1.7: Các chuyển đạo trước tim
1.4. Hình dạng và các sóng của điện tâm đồ
Hiện nay người ta mô tả lần lượt các sóng P, khoảng PQ, phức bộ QRS, đoạn
ST, sóng T, sóng U và khoảng QT. Về mỗi sóng chúng có những đặc trưng riêng của
mỗi sóng về biên độ, thời gian được tổng hợp qua các chuyển đạo thông qua các điện
cực đặt ở trên da (thông thường là 12 chuyển đạo), hình dạng chung của điện tâm đồ
có hình dạng sau :
Bùi Công Quân Khoa Điện tử - viễn thông
8
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐH Công Nghệ - ĐH QG Hà Nội
Hình 1.8 Điện tâm đồ bình thường và các thông số đặc trưng
1.4.1. Sóng P
Sóng P là sóng khởi đầu của một chuỗi sóng các sóng tiếp theo, nó bắt đầu cho
một chu kỳ co bóp mới của tim.
Sóng P tiêu biểu thường có biên độ trung bình là 1,2mV, tối đa là 2mV, tối
thiểu là 0,5mV. Ở trẻ em thì lớn hơn người lớn. Ở các chuyển đạo thực quản và trong
buồng nhĩ, sóng P cao gấp 10 lần P2 và hình dạng giống như một phức bộ QRS.
Thời gian kéo dài của sóng P tức là bề rộng của sóng P thường lớn nhất ở D2.
Sóng P lớn nhất có bề rộng trung bình là 0.08s tối đa là 0.11s và tối thiểu là 0.05. Ở trẻ
em thì sóng ngắn hơn người lớn.
1.4.2. Khoảng PQ
Khoảng PQ là đại diện cho thời gian truyền đạt nhĩ - thất. Nó là khoảng cách
đo từ khởi điểm của P tới khởi điểm của Q, thường thường người ta lấy PQ ở D2.

Hình dạng của nó là một đường đồng điện. Ở người Việt Nam, PQ bình thường trung
bình là 0.15s, tối đa là 0.2s, tối thiểu là 0.11s. Nhưng khi tần số tim càng nhanh thì PQ
càng bị rút ngắn như ở trẻ em tối đa là khoảng 0,18s và tối thiểu là 0,1s
Phức hợp QRS
Theo quy ước quốc tế, trong phức bộ QRS, nếu có một sóng dương thì sóng đó
gọi là sóng R. Nếu có hai sóng dương thì sóng thứ hai gọi là sóng R’ và cứ như thế
R’’, R’’’ Nếu trước sóng R có một sóng âm thì sóng này được gọi là sóng Q . Nếu sau
sóng R có một sóng âm thì ta gọi đó là sóng S. Sóng âm đứng sau sóng R’ gọi là sóng
S’ và tương tự như vậy.
Bùi Công Quân Khoa Điện tử - viễn thông
9
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐH Công Nghệ - ĐH QG Hà Nội
Nếu một phức bộ QRS không có sóng dương mà chỉ có một sóng âm thì ta gọi
nó là sóng QS (vì không thể phân biệt được nó là Q hay là S).
Ngoài ra, trên mỗi sóng còn có thể có những cái móc hay nhọn khác nhau
Một phức bộ QRS có thể chỉ có 1 sóng dương: R hay là một sóng âm : QS, hay
là 2 sóng, Q và R hoặc R và S, hay là 3 sóng : QRS.
Biên độ tương đối của một phức bộ QRS là hiệu số của tổng biên độ các sóng
dương trừ đi tổng biên độ các sóng âm. Khi kết quả này là dương thì ta nói phức bộ
QRS là dương. Còn khi nó là âm thì nói là phức bộ QRS là âm.
Biên độ tuyệt đối của phức bộ QRS là tổng số biên độ tất cả các sóng của phức
bộ đó cộng lại, không phân biệt sóng âm và sóng dương.
Thời gian QRS hay bề rộng của QRS được đo từ điểm khởi điểm của sóng Q
đến hết sóng S. Trong tín hiệu điện tâm đồ, QRS ở mỗi chuyển đạo có thể rộng hẹp
khác nhau một vài phần trăm giây, nhưng ta chỉ cần chọn đo lấy thời gian QRS của
chuyển đạo nào có QRS rộng nhất, lấy chuyển đó làm tiêu chuẩn. Thông thường trong
ba chuyển đạo mẫu thì chuyển đạo QRS2 là rộng nhất. Nhưng QRS ở các chuyển đạo
trước tim thường lại rộng hơn các chuyển đạo ngoại biên.
Thời gian QRS bình thường trung bình là 0.07s, tối đa là 0.1s và tối thiểu là
0.05s. Riêng sóng Q thì thời gian tối đa là 0.04s ở D3, aVF và 0.03s ở các chuyển đạo

khác.
1.4.3. Đoạn ST
Đoạn ST này không bao gồm một làn sóng nào cả mà chỉ là một đoạn thẳng đi
từ điểm tận cùng của QRS (điểm J) tới khởi điểm của sóng T. Khởi điểm của sóng T
rất khó xác định bởi vì sóng T là thoai thoải. Còn điểm J thì cũng nhiều khi vô định. Vì
thế thời gian của đoạn ST rất khó xác định và rất ít được dùng trong thực tế. Trái lại,
người ta chú ý nhiều đến hình dạng của ST và vị trí của nó so với đường đồng điện.
Do đó vị trí của ST có thể là các dạng sau:
ST chênh lệch trên đường đồng điện, còn gọi là ST dương.
ST chênh xuống dưới đường đồng điện, còn gọi là ST âm.
ST đồng điện tức là nó trùng với đường đồng điện.
Trên thực tế đại đa số người bình thường, ST đồng điện hoặc hơi chênh lên
(không vượt quá 0.5mV khi đo với các máy điện tim) ở chuyển đạo ngoại biên, và
Bùi Công Quân Khoa Điện tử - viễn thông
10
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐH Công Nghệ - ĐH QG Hà Nội
thường chênh lên ở chuyển đạo trước tim (không vượt quá 1.5mV ở V4 và 1mV ở
chuyển đạo trước tim khác khi đo với máy điện tim). Nói chung đường ST không bao
giờ uốn cong mà đi thẳng và tiếp vào T một cách mềm mại, và cũng không bao giờ đi
xuống dốc mà chỉ đi ngang hoặc hơi dốc lên.
1.4.4. Sóng T
Trong thực tế đối với sóng T người ta chỉ chú trong vào hình dạng và biên độ
của sóng T mà không cần tính thời gian tức là bề rộng của sóng T
Khi T dương, người ta hay tả biên độ của nó bằng các từ ngữ như T cao, T bình
thường, T thấp, T dẹt, T đồng điện.
Bình thường, sóng T rộng và đậm nét, đỉnh tù, hai sườn không đối xứng, với
sườn xuống dốc đứng hơn còn sườn lên thoai thoải với đoạn ST.
1.4.5. Khoảng QT
Khoảng QT thể hiện một thời kỳ tâm thu điện học của tâm thất và được đo từ
khởi điểm sóng Q tới điểm cuối sóng T

Đối với QT bình thường, người ta còn có thể xem nó là QT trung bình nếu toạ
độ nói trên nằm trúng vào đường cong trung bình (đường in nét đậm)
Hình 1.9. Đồ thị hàm số giữa thời gian QT tính ra “phần trăm giây” (tung độ)
và tần số tim trong mỗi phút.
1.4.6. Sóng U
Sóng U là một sóng nhỏ, thường thì nó chỉ có mặt ở một số chuyển đạo, nhất là
ở V2 rồi đến V3, và bao giờ cũng tách rời ra khỏi sóng R, đứng sau nó từ 0.01s đến
Bùi Công Quân Khoa Điện tử - viễn thông
11
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐH Công Nghệ - ĐH QG Hà Nội
0.04s, nhưng nó bao giờ cũng dương và biên độ là 1mV ở chuyển đạo V2 và chỉ đạt
lớn nhất là 2mV. Nhưng biên độ này còn tuỳ thuộc vào biên độ sóng T đi liền trước
nó, khi T cao thì U cao và ngược lại.
Bùi Công Quân Khoa Điện tử - viễn thông
12
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐH Công Nghệ - ĐH QG Hà Nội
CHƯƠNG 2: CÁC BỘ LỌC SỐ
Giống như các bộ lọc tín hiệu tương tự, bộ lọc số là mạch thực hiện chức năng
chọn lọc tín hiệu theo tần số. Các mạch lọc số cho tín hiệu số có phổ nằm trong một
dải tần số nhất định đi qua và không cho các tín hiệu có phổ nằm ngoài dải tần số đó đi qua.
Dải tần số mà mạch lọc cho tín hiệu đi qua được gọi là dải thông, còn dải tần số
mà mạch lọc không cho tín hiệu đi qua được gọi là dải chặn. Tần số phân cách giữa
dải thông và dải chặn là tần số cắt và được ký hiệu là ωc . Theo dạng của đặc tính biên
độ tần số H(ejω), người ta chia các bộ lọc số thành các loại :
- Bộ lọc thông thấp, có dải thông
),( 0
c
ωω
∈
.

- Bộ lọc thông cao, có dải thông
),( ∞∈
c
ωω
.
- Bộ lọc dải thông, có dải thông
),(
21 cc
ωωω
∈
.
- Bộ lọc dải chặn, có dải thông
),(
1
0
c
ωω
∈
và
),(
2
∞∈
c
ωω
.
Theo dạng của đặc tính xung h(n), người ta phân biệt các bộ lọc số :
Bộ lọc số có đặc tính xung hữu hạn (bộ lọc số FIR)
2.1 Các bộ lọc số lý tưởng
2.1.1 Bộ lọc thông thấp lý tưởng
2.1.1.1 Định nghĩa : Bộ lọc thông thấp lý tưởng có đặc tính biên độ tần số khi ω

∈ [-π , π ] như sau :



∈−−∈
−∈
=
][][0
][1
)(
ππ
ω
,ωωω,ωKhi
ω,ωωKhi
e
cc
cc
j
lp
H
vµ
[2.1-2]
Đặc tính biên độ tần số của bộ lọc thông thấp lý tưởng ở hình 2.1.

)(
ω
j
lp
eH
ω

-π -ωc 0 ωc π
Hình 2.1 : Đặc tính biên độ tần số của bộ lọc thông thấp lý tưởng.
Bùi Công Quân Khoa Điện tử - viễn thông
13
1
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐH Công Nghệ - ĐH QG Hà Nội
2.1.1.2 Các tham số thực của bộ lọc thông thấp lý tưởng
- Tần số cắt : fc
- Dải thông : f ∈ [ 0 , fc ]
- Dải chặn : f ∈ [fc , ∞ ]
Bộ lọc thông thấp lý tưởng cho tín hiệu số có phổ nằm trong dải tần f < fc đi
qua, chặn không cho tín hiệu số trong dải tần f > fc đi qua.
2.1.1.3 Đặc tính xung hlp(n) của bộ lọc thông thấp lý tưởng
Xét bộ lọc thông thấp lý tưởng pha tuyến tính
αωωθ
−=)(
, đặc tính tần số của
nó có dạng :





∈−−∈
−∈
=
−
][][
][
)(

0
ππ
αω
ω
,ωωω,ωKhi
ω,ωωKhie
e
cc
cc
j
j
lp
H
vµ
[2.1-3]
Đặc tính xung hlp(n) của bộ lọc trên được xác định bằng IFT :
[ ]
∫
−
==
π
π
ωωω
ω
π
deeeIFTnh
njj
lp
j
lplp

HH
)()()(
2
1
c
c
c
c
njnjj
lp
e
nj
deenh
ω
ω
αω
ω
ω
ωαω
α
ω
ππ
−
−
−
−
−
==
∫
)(

)(
)(
1
2
1
2
1
)(
)](sin[
)(
)](sin[
)(
αω
αωω
α
αω
ππ
−
−
=
−
−
=
n
n
n
n
nh
c
ccc

lp
[2.1-4]
Theo [2.1-4], bộ lọc thông thấp lý tưởng pha tuyến tính có đặc tính xung hlp(n)
dạng hàm sin giảm dần về 0 khi n → ± ∞ . Tại n = 0 có :
ππ
ω
αω
αωω
c
c
cc
n
lp
n
lp
n
n
LimnhLimh
=






−
−
==
→→
)(

)](sin[
)()(
00
0
Đặc tính xung hlp(n) đạt cực đại tại n = 0 , và
0)( =nh
lp
tại các điểm
c
kn
ωπ
=
,
với k là số nguyên.
2.1.2 Bộ lọc thông cao lý tưởng
2.1.2.1 Định nghĩa : Bộ lọc thông cao lý tưởng có đặc tính biên độ tần số khi ω
∈ [-π , π ] như sau :
Bùi Công Quân Khoa Điện tử - viễn thông
14
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐH Công Nghệ - ĐH QG Hà Nội



−∈
∈−−∈
=
][0
][][1
)(
cc

cc
j
hp
ω,ωωKhi
,ωωω,Khi
e
H
ππ
ω
ω
vµ
[2.1-5]
Đồ thị đặc tính biên độ tần số của bộ lọc thông cao lý tưởng ở hình 2.2.

)(
ω
j
hp
eH
ω
-π -ωc 0 ωc π
Hình 2.2 : Đặc tính biên độ tần số của bộ lọc thông cao lý tưởng.
2.1.2.2 Các tham số thực của bộ lọc thông cao lý tưởng
- Tần số cắt : fc
- Dải thông : f ∈ [fc , ∞ ]
- Dải chặn : f ∈ [ 0 , fc ]
Bộ lọc thông cao lý tưởng cho tín hiệu số có phổ nằm trong dải tần f > fc đi
qua, chặn không cho tín hiệu trong dải tần f < fc đi qua.
2.1.2.3 Đặc tính xung hhp(n) của bộ lọc thông cao lý tưởng
Xét bộ lọc thông cao lý tưởng pha tuyến tính

αωωθ
−=)(
, đặc tính tần số của
nó có dạng :





−∈
∈−−∈
=
−
][0
][][
)(
cc
cc
j
j
hp
ω,ωωKhi
,ωωω,ωKhie
e
H
ππ
αω
ω
vµ
[2.1-6]

Vì dải thông và dải chặn của bộ lọc thông cao ngược với bộ lọc thông thấp, nên
có thể biểu diễn Hhp(ejω) qua Hlp(ejω) như sau :
)()(
1
ωω
j
lp
j
hp
ee
HH
−=
[2.1-7]
Theo [2.1-7] có thể tìm được đặc tính tần số của bộ lọc thông cao từ đặc tính
tần số của bộ lọc thông thấp có cùng tần số cắt.
Đặc tính xung hhp(n) của bộ lọc trên được xác định bằng IFT :
Bùi Công Quân Khoa Điện tử - viễn thông
15
1
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐH Công Nghệ - ĐH QG Hà Nội
[ ] [ ]
∫
−
−==
π
π
ωωω
ω
π
deeeIFTnh

njj
lp
j
hphp
HH
.)()()(
1
2
1
∫ ∫
− −
−
−=
π
π
ω
ω
ωαωω
ωω
ππ
c
c
deedenh
njjnj
hp
2
1
2
1
)(

c
c
njnj
hp
e
nj
e
jn
nh
ω
ω
αω
π
π
ω
α
ππ
−
−
−
−
−=
)(
)(
)(
1
2
11
2
1

)(
)](sin[
).sin(
)(
.
α
αω
ππ
π
−
−
−=
n
n
n
n
nh
c
hp

Hay :
)(
)](sin[
).sin(
)(
.
αω
αωω
ππ
π

−
−
−=
n
n
n
n
nh
c
cc
hp
[2.1-8]
Vì :
)(
.
).sin(
.
).sin(
00
01
n
n
n
nKhi
nKhi
n
n
δ
π
π

π
π
=⇒



≠
=
=
Nên có thể viết lại [2.1-8] dưới dạng :
)(
)](sin[
)(
)sin(
)()(
.
αω
αωω
δ
ω
δ
ππ
−
−
−=−=
n
n
n
n
n

nnh
c
ccc
hp
[2.1-9]
So sánh [2.1-9] với [2.1-4], có thể biểu diễn đặc tính xung hhp(n) của bộ lọc
thông cao qua đặc tính xung hlp(n) của bộ lọc thông thấp :
)()()( nhnnh
lphp
−=
δ
[2.1-10]
Theo [2.1-10] có thể tìm được đặc tính xung hhp(n) của bộ lọc thông cao từ đặc
tính xung hlp(n) của bộ lọc thông thấp có cùng tần số cắt ωc .
Đặc tính xung hhp(n) của bộ lọc thông cao lý tưởng là dãy chẵn, đối xứng qua
trục tung và đạt cực đại tại n = 0. Khi tần số cắt
N
c
π
ω
=
thì đặc tính xung hhp (kN)
= 0 tại các điểm n = kN, với k là số nguyên.
2.1.3 Bộ lọc dải thông lý tưởng
2.1.3.1 Định nghĩa : Bộ lọc dải thông lý tưởng có đặc tính biên độ tần số khi
ω ∈ [-π , π ] như sau :



−

−
=
∉−∉
∈−∈
]]0
]]1
)(
2121
2121
[[
[[
cccc
cccc
j
bp
ωωωωωωKhi
ωωωωωωKhi
,à,
,,
e
H
v
và
ω
[2.1-11]
Đồ thị đặc tính biên độ tần số của bộ lọc dải thông lý tưởng ở hình 2.3.
Bùi Công Quân Khoa Điện tử - viễn thông
16
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐH Công Nghệ - ĐH QG Hà Nội

)(
ω
j
bp
eH
ω
-π -ωc1 -ωc2 0 ωc1 ωc2 π
Hình 2.3 : Đặc tính biên độ tần số của bộ lọc dải thông lý tưởng.
2.1.3.2 Các tham số thực của bộ lọc dải thông lý tưởng
- Tần số cắt : fc1 , fc2
- Dải thông : f ∈ [fc1 , fc2 ]
- Dải chặn : f ∈ [ 0 , fc1 ] và [fc2 , ∞ ]
Bộ lọc dải thông lý tưởng cho tín hiệu số có phổ nằm trong dải tần fc1 < f > fc2
đi qua, chặn không cho tín hiệu ngoài dải tần đó đi qua.
2.1.3.3 Đặc tính xung hbp(n) của bộ lọc dải thông
Xét bộ lọc dải thông lý tưởng có pha tuyến tính
αωωθ
−=)(
, đặc tính tần số của
nó có dạng :



−
−
=
∉−∉
∈−∈
−
]]0

]]
)(
2121
2121
[[
[[
cccc
cccc
j
j
bp
ωωωωωωKhi
ωωωωωωKhi
,và,
,và,e
e
H
αω
ω
[2.1-12]
Có thể biểu diễn Hbp(ejω) qua đặc tính tần số Hlp1(ejω) và Hlp2(ejω) của các
bộ lọc thông thấp lý tưởng có tần số cắt ωc1 và ωc2 tương ứng :
)()()(
12
ωωω
j
lp
j
lp
j

bp
eee
HHH
−=
[2.1-13]
Theo [2.1-13] có thể tìm được đặc tính tần số của bộ lọc dải thông có tần số cắt
ωc1 và ωc2 , từ đặc tính tần số của hai bộ lọc thông thấp có tần số cắt ωc1 và ωc2
tương ứng.
Đặc tính xung hbp(n) của bộ lọc trên được xác định bằng IFT :
Bùi Công Quân Khoa Điện tử - viễn thông
17
1
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐH Công Nghệ - ĐH QG Hà Nội
[ ] [ ]
∫
−
−==
π
π
ωωωω
ω
π
deeeeIFTnh
njj
lp
j
lp
j
bpbp
HHH

.)()()()(
12
2
1
∫∫
−
−
−
−
−=
1
1
2
2
2
1
2
1
)(
c
c
c
c
deedeenh
njjnjj
bp
ω
ω
ωαω
ω

ω
ωαω
ωω
ππ
)(
)](sin[
)(
)](sin[
)(

12
α
αω
α
αω
ππ
−
−
−
−
−
=
n
n
n
n
nh
cc
bp
[2.1-14]

)(
)](sin[
)(
)](sin[
)(
1
11
2
22
αω
αωω
αω
αωω
ππ
−
−
−
−
−
=
n
n
n
n
nh
c
cc
c
cc
bp

[2.1-15]
Hay :
)()()(
12
nhnhnh
lplpbp
−=
[2.1-16]
Theo [2.1-16] có thể tìm được đặc tính xung hbp(n) của bộ lọc dải thông theo
đặc tính xung hlp1(n) và hlp2(n) của các bộ lọc thông thấp có tần số cắt ωc1 và ωc2
tương ứng.
2.1.4 Bộ lọc dải chặn lý tưởng
2.1.4.1 Định nghĩa : Bộ lọc dải chặn lý tưởng có đặc tính biên độ tần số khi
ω ∈ [-π , π ] như sau :



−
−
=
∉−∉
∈−∈
]]
]]
)(
2121
2121
[[
[[
1

0
cccc
cccc
j
bs
ωωωωωωKhi
ωωωωωωKhi
,và,
,và,
e
H
ω
[2.1-17]
Đồ thị đặc tính biên độ tần số của bộ lọc dải chặn lý tưởng ở hình 2.4.
2.1.4.2 Các tham số thực của bộ lọc dải chặn lý tưởng
- Tần số cắt : fc1 , fc2
- Dải thông : f ∈ [ 0 , fc1 ] và [fc2 , ∞ ]
- Dải chặn : f ∈ [fc1 , fc2 ]
Bộ lọc dải chặn lý tưởng chặn không cho tín hiệu số có phổ nằm trong dải tần
fc1 < f > fc2 đi qua, cho tín hiệu số ngoài dải tần đó đi qua.

)(
ω
j
bp
eH
ω
-π -ωc1 -ωc2 0 ωc1 ωc2
Hình 2.4 : Đặc tính biên độ tần số của bộ lọc dải chặn lý tưởng.
Bùi Công Quân Khoa Điện tử - viễn thông

18
1
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐH Công Nghệ - ĐH QG Hà Nội
2.1.4.3. Đặc tính xung hbs(n) của bộ lọc dải chặn lý tưởng
Xét bộ lọc dải chặn lý tưởng pha tuyến tính
αωωθ
−=)(
, đặc tính tần số của nó
có dạng :



−
−
=
∈−∉
∈−∈
−
]]
]]
)(
2121
2121
[[
[[
0
cccc
j
cccc
j

bs
ωωωωωωKhi
ωωωωωωKhi
,,e
,,
e
H
vµ
vµ
αω
ω
[2.1-18]
Có thể biểu diễn Hbs(ejω) qua đặc tính tần số Hlp1(ejω) và Hlp2(ejω) của các
bộ lọc thông thấp lý tưởng có tần số cắt ωc1 và ωc2 như sau :
)()()(
12
1
ωωω
j
lp
j
lp
j
bs
eee HHH +−=
[2.1-19]
Theo [2.1-19] có thể tìm được đặc tính tần số của bộ lọc dải chặn có các tần số
cắt ωc1 và ωc2 từ đặc tính tần số của hai bộ lọc thông thấp có tần số cắt ωc1 và ωc2
tương ứng.
Biểu diễn Hbs(ejω) qua đặc tính tần số Hbp(ejω) của bộ lọc dải thông:

)()( 1
ωω
j
bp
j
bs
ee HH −=
[2.1-20]
Theo [2.1-20] có thể tìm được đặc tính tần số của bộ lọc dải chặn có các tần số
cắt ωc1 và ωc2 , từ đặc tính tần số của bộ lọc dải thông có tần số cắt tương ứng.
Đặc tính xung hbs(n) của bộ lọc trên được xác định bằng IFT :
[ ] [ ]
∫
−
+−==
π
π
ωωωω
ω
π
deeeeIFTnh
njj
lp
j
lp
j
bsbs
HHH
.)()()()(
12

1
2
1
∫∫∫
−
−
−
−
−
+−=
1
1
2
2
2
1
2
1
2
1
)(
c
c
c
c
deedeedenh
njjnjjnj
bs
ω
ω

ωαω
ω
ω
ωαω
π
π
ω
ωωω
πππ
1
1
2
2
)()(
)()(
)(
1
2
11
2
11
2
1
c
c
c
c
njnjnj
bs
e

nj
e
nj
e
jn
nh
ω
ω
αω
ω
ω
αω
π
π
ω
αα
πππ
−
−
−
−
−
−
+
−
−=
)(
)](sin[
)(
)](sin[

)sin(
)(
12
.
.
α
αω
α
αω
πππ
π
−
−
+
−
−
−=
n
n
n
n
n
n
nh
cc
bs
[2.1-21]

)]([
)](sin[

)(
)](sin[
.
).sin(
)(
1
11
2
22
αω
αω
π
ω
αω
αω
π
ω
π
π
−
−
+
−
−
−=
n
n
n
n
n

n
nh
c
cc
c
cc
bs
[2.1-22]
Hay :
)()()()(
12
nhnhnnh
lplpbs
+−=
δ
[2.1-23]
Bùi Công Quân Khoa Điện tử - viễn thông
19
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐH Công Nghệ - ĐH QG Hà Nội
Hoặc :
)()()( nhnnh
bpbs
−=
δ
[2.1-24]
Theo [2.1-23] có thể tìm được đặc tính xung hbp(n) của bộ lọc dải chặn khi biết
đặc tính xung hlp1(n) và hlp1(n) của các bộ lọc thông thấp tương ứng. Theo [2.1-24]
có thể tìm được đặc tính xung hbs(n) của bộ lọc dải chặn khi biết đặc tính xung hbp(n)
của bộ lọc dải thông tương ứng.
2.2 Tham số của các bộ lọc số thực tế

Tất cả các bộ lọc số lý tưởng có đặc tính biên độ tần số dạng chữ nhật, nên đặc
tính xung của chúng đều là dãy không nhân quả có độ dài vô hạn, vì thế không thể
thực hiện được các bộ lọc số lý tưởng.
Đặc tính biên độ tần số của bộ lọc số thực tế thường có độ nhấp nhô
trong dải thông và dải chặn, với hai biên là sườn dốc (xem hình 5.9) .
Hình 2.5 : Đặc tính biên độ tần số của một bộ lọc thông thấp thực tế.
Để đặc trưng cho bộ lọc thực tế, người ta sử dụng các tham số sau :
1. Loại bộ lọc : Thông thấp, thông cao, dải thông, dải chặn.
2. Tần số giới hạn dải thông ωc (hay fc ).
3. Tần số giới hạn dải chặn ωp (hay fp ).
4. Độ rộng dải quá độ ∆ω p = |ωp - ωc|(hay ∆fp ).
5. Độ nhấp nhô trong dải thông δ1. Trong dải thông, đặc tính biên độ tần
số H(ejω) phải thỏa mãn điều kiện :
(1 - δ1) ≤ H(ejω) ≤ (1 + δ1) [2.1-25]
6. Độ nhấp nhô trong dải chặn δ2. Trong dải chặn, đặc tính biên độ tần
số H(ejω) phải thỏa mãn điều kiện :
H(ejω) ≤ δ2 [2.1-26]
Bùi Công Quân Khoa Điện tử - viễn thông
20
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐH Công Nghệ - ĐH QG Hà Nội
Bộ lọc số thực tế có ∆ωp , δ1 và δ2 càng nhỏ thì đặc tính biên độ tần số
càng gần giống dạng chữ nhật, nên độ chọn lọc tín hiệu càng tốt.
2.3 Các bộ lọc thực tế
2.3.1 Bộ lọc đáp ứng xung hữu hạn FIR
2.31.1 Đặc tính xung h(n) của các bộ lọc số FIR pha tuyến tính
Các bộ lọc số FIR có đặc tính xung h(n) hữu hạn, nên hàm hệ thống là :
∑
−
=
−

=
1
0
)()(
N
n
n
znhz
H
Vì đặc tính xung h(n) hữu hạn, nên bộ lọc FIR luôn ổn định, có nghĩa là tất cả
các điểm cực của hàm hệ thống H(z) nằm trong đường tròn đơn vị |z| = 1 . Đặc tính tần
số của bộ lọc số FIR :
)(
1
0
).().()(
ωθωωω
jj
n
njj
eeAenhe
N
H
−
−
=
−
==
∑
Trong chương này chỉ nghiên cứu các bộ lọc số FIR có pha tuyến tính :

αωωθ β
−=)(
[2.2-1]
Trong đó α và β là các hằng số, và α là thời gian truyền lan của tín hiệu qua bộ
lọc :
ω
ωθ
α
d
d )(
−=
[2.2-2]
Theo [2.2-2] tất cả các thành phần tần số của tín hiệu đi qua bộ lọc số FIR pha
tuyến tính đều bị giữ trễ như nhau, vì thế tín hiệu không bị méo dạng phổ.
Vì H(ejω) tuần hoàn với chu kỳ 2π nên chỉ cần nghiên cứu đặc tính biên độ tần
số H(ejω) và pha θ(ω) khi (-π ≤ ω ≤ π) hoặc (0 ≤ ω ≤ 2π).
Mặt khác, nếu bộ lọc số có đặc tính xung h(n) là dãy thực thì theo tính chất của
biến đổi Fourier có :
)()(
ωω
jj
ee
HH
−
=

và :
)()(
ωθωθ
−−=

Như vậy, H(ejω) là hàm chẵn và đối xứng, còn θ(ω) là hàm lẻ và phản đối
xứng. Vì thế, khi đặc tính xung h(n) là dãy thực thì chỉ cần nghiên cứu bộ lọc số trong
khoảng (0 ≤ ω ≤ π).
Bùi Công Quân Khoa Điện tử - viễn thông
21
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐH Công Nghệ - ĐH QG Hà Nội
Theo [5.2-1] , có hai trường hợp bộ lọc FIR pha tuyến tính :
1. β = 0 ⇒ θ(ω) = - αω
2. β ≠ 0 ⇒ θ(ω) = β - αω
2.3.1a Trường hợp β = 0 , θ(ω) = - αω
Khai triển công thức Euler, biểu diễn đặc tính tần số dưới dạng :
[ ]
).sin().cos().().()(
ωαωα
ωαωωω
jeAeeAe
jjjj
H
+==
−
).sin().().cos().()(
ωαωα
ωωω
jjj
ejAeAeH +=
[2.2-3]
Mặt khác có :
[ ]
∑∑
−

=
−
=
−
+==
1
0
1
0
).sin().cos().().()(
NN
nn
njj
njnnhenhe
H
ωω
ωω
∑∑
−
=
−
=
+=
1
0
1
0
).sin().().cos().()(
NN
nn

j
nnhjnnhe
H
ωω
ω
[2.2-4]
Từ [2.2-3] và [2.2-4] có :
∑
−
=
=
1
0
).cos().().cos().(
N
n
j
nnheA
ωωα
ω

∑
−
=
=
1
0
).sin().().sin().(
N
n

j
nnheA
ωωα
ω
Suy ra :
∑
∑
−
=
−
=
=
1
0
1
0
).cos().(
).sin().(
).(
N
N
n
n
nnh
nnh
tg
ω
ω
ωα
Vì sin0 = 0 và cos0 = 1 nên có thể viết lại biểu thức trên dưới dạng :

∑
∑
−
=
−
=
+
=
1
1
1
1
).cos().()(
).sin().(
).(
0
N
N
n
n
nnhh
nnh
tg
ω
ω
ωα
Từ đây có 2 trường hợp, α = 0 là bộ lọc pha không, và α ≠ 0 .
Trường hợp α = 0 :
0
0

00
0
1
1
1
1
).cos().()(
).sin().().sin()(
).(
=
+
+
=
∑
∑
−
=
−
=
N
N
n
n
nnhh
nnhh
tg
ω
ωω
ω
Bùi Công Quân Khoa Điện tử - viễn thông

22
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐH Công Nghệ - ĐH QG Hà Nội
Tức là h(n) ≠ 0 khi n = 0, và h(n) = 0 với mọi n ≠ 0. Bộ lọc như vậy không có ý
nghĩ thực tế và không thể thực hiện được, vì tín hiệu truyền qua bộ lọc luôn bị giữ trễ,
cho dù thời gian giữ trễ là rất nhỏ.
Trường hợp α ≠ 0 :
0
1
0
1
0
).cos().(
).sin().(
).cos(
).sin(
).(
≠==
∑
∑
−
=
−
=
N
N
n
n
nnh
nnh
tg

ω
ω
ωα
ωα
ωα
Hay:
∑∑
−
=
−
=
=
1
0
1
0
).sin().().cos().cos().().sin(
NN
nn
nnhnnh
ωωαωωα
Vậy :
0
1
0
1
0
).sin().().cos().cos().().sin(
=−
∑∑

−
=
−
=
NN
nn
nnhnnh
ωωαωωα
Tiếp tục biến đổi lượng giác sẽ nhận được phương trình :

0
1
0
)(sin).(
=−
∑
−
=
N
n
nnh
αω
[2.2-5]
Phương trình dạng chuỗi Fourier trên có một nghiệm duy nhất tại :
2
1−
=
N
α
[2.2-6]

và :
)()( 1 nhnh N −−=
với
),(
10
−∈
N
n
[2.2-7]
Theo [2.2-7] , đặc tính xung h(n) của bộ lọc số FIR pha tuyến tính khi β = 0 là
dãy đối xứng.
- Khi β = 0 và N lẻ, gọi là bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 1.
- Khi β = 0 và N chẵn, gọi là bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 2.
2.3.1b Trường hợp β ≠ 0 , ϕ(ω) = β - αω
Bằng cách biến đổi tương tự như trường hợp trên, nhận được :
[ ]
0
1
0
)(sin)(
=−+
∑
−
=
N
n
nh
ωα
π
β

[2.2-8]
Phương trình dạng chuỗi Fourier trên có một nghiệm duy nhất tại :
Bùi Công Quân Khoa Điện tử - viễn thông
23
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐH Công Nghệ - ĐH QG Hà Nội
2
1−
=
N
α
;
2
π
β
±=
[2.2-9]
và :
)()( 1 nhnh N −−−=
với
),(
10
−∈
N
n
[2.2-10]
Theo [2.2-10] , đặc tính xung h(n) của bộ lọc số FIR pha tuyến tính trong
trường hợp β ≠ 0 là dãy phản đối xứng.
- Khi β ≠ 0 và N lẻ gọi là bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 3.
- Khi β ≠ 0 và N chẵn gọi là bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 4.
Nhận xét : - Bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 3 và loại 4 có đặc tính xung h(n)

phản đối xứng.
- Tâm phản đối xứng của h(n) tại điểm n = α . Nếu N lẻ thì α là số nguyên và
tâm phản đối xứng của h(n) trùng với mẫu tại n = (N - 1)/2 và tại đó h(n) = 0. Còn nếu
N chẵn thì α là số thập phân và tâm phản đối xứng nằm giữa hai mẫu tại n = [(N/2) -
1] và n = (N/2).
Như vậy. có bốn loại bộ lọc số FIR pha tuyến tính θ(ω) = β -αω :
- Bộ lọc loại 1 : β = 0 , N lẻ, đặc tính xung h(n) đối xứng.
- Bộ lọc loại 2 : β = 0 , N chẵn, đặc tính xung h(n) đối xứng.
- Bộ lọc loại 3 : β = ± π/2 , N lẻ, đặc tính xung h(n) phản đối xứng.
- Bộ lọc loại 4 : β = ± π/2 , N chẵn, đặc tính xung h(n) phản đối xứng.
2.3.2 Đặc tính tần số của bộ lọc số FIR pha tuyến tính
Khi h(n) là dãy thực thì chỉ cần khảo sát đặc tính tần số H(ejω) của bộ lọc số
FIR pha tuyến tính trong đoạn ω ∈ [ 0 ÷ π ] .
2.2.2a Đặc tính tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 1
Bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 1 có θ(ω) = -αω và N lẻ, đặc tính tần số là :
αωωωω
jj
n
njj
eeAenhe
N
H
−
−
=
−
==
∑
).()()(
1

0
Vì N lẻ nên khai triển biểu thức trên thành tổng của ba thành phần :
Bùi Công Quân Khoa Điện tử - viễn thông
24
Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐH Công Nghệ - ĐH QG Hà Nội










+















+








=
∑∑
−
+
−
=
−
−
−
−
−
=
−
−
1
1
2
1
2
1
1

2
1
0
)()()(
2
1
N
N
N
N
n
nj
j
n
njj
enhehenhe
N
H
ω
ω
ωω
Đổi biến thành phần thứ 3, đặt
)(
1
nm
N
−
−=
=>
)(

1
mn
N
−
−=
,
khi






+=
−
1
2
1N
n
thì






−
−
=
1

2
1N
m
, khi
)(
1
−
=
N
n
thì
0
=
m
:










−+















+








=
∑∑
−
−
=
−−−
−
−
−
−
=

−
−
−
0
1
2
1
)1(
2
1
1
2
1
0
)()()( 1
2
1
N
N
N
N
m
mj
j
n
njj
emhehenhe N
N
H
ω

ω
ωω
Đảo chiều chỉ số và đổi lại biến của thành phần thứ 3 theo n :








−+














+









=
∑∑
−
−
=
−−−
−
−
−
−
=
−
−
−
1
2
1
0
)1(
2
1
1
2
1
0

)()()( 1
2
1
N
N
N
N
n
nj
j
n
njj
enhehenhe N
N
H
ω
ω
ωω
Vì bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 1 có
)()(
1
nhnh
N
−=
−
, nên :
[ ]
∑
−
−

=
−−−−
−
−
++






=
−
1
2
1
0
)1(
2
1
)()(
2
1
N
N
N
n
njnj
j
j

eenhehe
N
H
ωω
ω
ω
[2.2-11]
Trong đó :
[ ]








+=+






−
−
−







−
−






−
−
−−−−
njnjj
njnj
NNN
N
eeeee
2
1
2
1
2
1
)1(
ωωω
ωω
Hay :
[ ]













−
−
=+






−
−
−−−−
neee
N
N
N
j
njnj

2
1
.2 cos
2
1
)1(
ω
ω
ωω
Do đó :






−
−
−
−
=
−
−
∑













−
−
+






=
−
2
1
1
2
1
0
2
1
.cos)()(
2
1
.2
2

1
N
N
N
j
n
j
j
ennhehe
NN
H
ω
ω
ω
ω
Hay :






−
−
−
−
=























−
−
+






=
∑

−
2
1
1
2
1
0
2
1
.2
2
1
cos)()(
N
N
j
n
j
ennhhe
NN
H
ω
ω
ω
Đổi biến, đặt







−=
−
nm
N
2
1
=>






−=
−
mn
N
2
1
,
khi
0
=
n
thì







−
=
2
1N
m
, khi






=
−
−
1
2
1N
n
thì
1
=
m
, nhận được :
Bùi Công Quân Khoa Điện tử - viễn thông
25