Ma trận nghịch đảo-hệ phương trình tuyến tính

www.hoasen.edu.vn

1
Linear Algebra
Chương 1
MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
TUYẾN TÍNH
www.hoasen.edu.vn

2
Linear Algebra
Nội dung
1.1 Khái niệm ma trận
1.1 Khái niệm ma trận
1.2 Các phép toán trên ma trận
1.2 Các phép toán trên ma trận
1.3 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận
1.3 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận
1.4 Ma trận nghịch đảo
1.4 Ma trận nghịch đảo
1.5 Giải hệ các phương trình tuyến tính
1.5 Giải hệ các phương trình tuyến tính
www.hoasen.edu.vn

3
Linear Algebra

Ta xét hệ phương trình:
2 3 8 2 3 8
5 7 1 5 7 1
x x y

y x y
+ =
      
= ⇔

     
+ =
      
Hệ phương trình trên có thể viết ở dạng
ma trận: A X=B. Câu hỏi đặt ra là X = ?
1.4 Ma trận nghịch đảo
www.hoasen.edu.vn

4
Linear Algebra
)0(.
1
1
≠===
−
abab
aa
b
x
1
.AX B X A B
−
= ⇔ =
1−
A

Xét phương trình: a x = b.
Ta có:
Tương tự lập luận trên thì liệu ta có thể có
như vậy là ma trận sẽ được định nghĩa
như thế nào?
1.4 Ma trận nghịch đảo ()
www.hoasen.edu.vn

5
Linear Algebra
bax
bax
baaxa
bxa
1
1
11
1
−
−
−−
=⇔
=⇔
=⇔
=
1 1
1
1
A X B
A A X A B

I X A B
X A B
− −
−
−
=
⇔ =
⇔ =
⇔ =
?
1
IAA =
−
Ta để ý:
Phải chăng
1.4 Ma trận nghịch đảo ()
www.hoasen.edu.vn

6
Linear Algebra
1.4 Ma trận nghịch đảo ()
A là ma trận vuông cấp n, nghịch đảo (
A là ma trận vuông cấp n, nghịch đảo (
inverse
inverse
) của
) của
ma trận A là ma trận cấp vuông cấp n, kí hiệu A
ma trận A là ma trận cấp vuông cấp n, kí hiệu A
-

-
1
1
, nếu thỏa mãn
, nếu thỏa mãn
A.A
A.A
-1
-1
= I = A
= I = A
-1
-1
A
A
với I = I
với I = I
n
n
là ma trận đơn vị cấp n.
là ma trận đơn vị cấp n.
A có nghịch đảo thì A được gọi là khả nghịch
A có nghịch đảo thì A được gọi là khả nghịch
(
(
invertible
invertible
)
)
Định nghĩa:

www.hoasen.edu.vn

7
Linear Algebra
1.4 Ma trận nghịch đảo ()
1.
1.
Nếu ma trận A có nghịch đảo là A
Nếu ma trận A có nghịch đảo là A
-1
-1
thì A
thì A
-1
-1
là
là
duy nhất
duy nhất
2.
2.
Nếu A, B là ma trận khả nghịch thì AB khả
Nếu A, B là ma trận khả nghịch thì AB khả
nghịch và (AB)
nghịch và (AB)
-1
-1
= B
= B
-1

-1
A
A
-1
-1
.
.
Định lý:
Chứng minh:…
www.hoasen.edu.vn

8
Linear Algebra
Nhận xét:
•
Tính khả nghịch chỉ có với ma trận vuông.
Tính khả nghịch chỉ có với ma trận vuông.
Tuy nhiên, không phải ma trận vuông nào
Tuy nhiên, không phải ma trận vuông nào
cũng khả nghịch
cũng khả nghịch
1.4 Ma trận nghịch đảo ()
www.hoasen.edu.vn

9
Linear Algebra
1.4 Ma trận nghịch đảo ()
1. Chứng minh các ma trận sau không có nghịch
1. Chứng minh các ma trận sau không có nghịch
đảo:

đảo:
2. Chứng minh
0 0
0 0
A
 
=
 
 
0 0
1 2
A
 
=
 
 
1
5 2 1 3
3 1 2 5
A
−
−
   
= =
   
−
   
Ví dụ:
www.hoasen.edu.vn


10
Linear Algebra
1.4 Ma trận nghịch đảo ()
3. Tìm nghịch đảo của các ma trận sau (dùng các
3. Tìm nghịch đảo của các ma trận sau (dùng các
phép biến đổi sơ cấp trên dòng cho ma trận A|I):
phép biến đổi sơ cấp trên dòng cho ma trận A|I):
2 1 0
4 1 3
3 1 2
A
 
 
= − − −
 
 
 
2 1 0
4 1 3
3
3 1
2
A
 
 
 
= − − −
 
 
 

 
Ví dụ:
www.hoasen.edu.vn

11
Linear Algebra
1.4 Ma trận nghịch đảo ()
Làm các bài tập từ 25 đến 35 trang 54; 41 đến
Làm các bài tập từ 25 đến 35 trang 54; 41 đến
44 trang 55 và 45, 47, 48 trang 56
44 trang 55 và 45, 47, 48 trang 56
www.hoasen.edu.vn

12
Linear Algebra
Một hệ m phương trình tuyến tính (
Một hệ m phương trình tuyến tính (
linear equation
linear equation
) của n
) của n
ẩn số x
ẩn số x
1
1
, x
, x
2
2
, …, x

, …, x
n
n
(m, n là số tự nhiên khác 0) có dạng:
(m, n là số tự nhiên khác 0) có dạng:
1.5 Giải hệ các phương trình tuyến $nh
Định nghĩa:
được gọi là hệ phương trình tuyến tính (system of linear
equations)
www.hoasen.edu.vn

13
Linear Algebra
1.5 Giải hệ các phương trình tuyến $nh ()
a
a
ij
ij
, b
, b
j
j
: thuộc tập số thực (phức)
: thuộc tập số thực (phức)
a
a
ij
ij
: hệ số
: hệ số

b
b
j
j
: hệ số tự do
: hệ số tự do
1, ; 1,i m j n= =
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2




n
n
m m mn m
a a a b
a a a b
a a a b
 
 
 
 
 
 
Ma trận bổ sung
www.hoasen.edu.vn

14

Linear Algebra
1.5 Giải hệ các phương trình tuyến $nh ()
Ví dụ: Cho hệ phương trình
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 4
2 3 5 2
2 3 5 1
2 3 4 0
1 2 3 4
3 8 5 3 2 3 8 5 3
0 4 2 7
4 2 7 9
x x x x
x x x x
A
x x x x
x x x
− + − =
− −

 

 
− − + + =
− −

 
→ =


 
+ − + = − −

 

− −
− + − =
 

Ma trận hệ số
2
0
2
9
B
 
 
 
=
 
−
 
 
Ma trận hệ
số tự do
1
2
3
4

x
x
X
x
x
 
 
 
=
 
 
 
Ma trận ẩn số
www.hoasen.edu.vn

15
Linear Algebra
Hệ phương trình trên còn được viết dưới dạng:
Hệ phương trình trên còn được viết dưới dạng:
AX = B
AX = B
được gọi là dạng ma trận của hệ đã cho.
được gọi là dạng ma trận của hệ đã cho.
1.5 Giải hệ các phương trình tuyến $nh ()
Ví dụ:
www.hoasen.edu.vn

16
Linear Algebra
Ví dụ:

2 7 1 9
3 1 4 0
5 9 2 5
x
y
z
     
     
− =
     
     
     
2 7 9
3 4 0
5 9 2 5
x y z
x y z
x y z
+ + =


⇔ − + =


+ + =

1.5 Giải hệ các phương trình tuyến $nh ()
www.hoasen.edu.vn

17

Linear Algebra
•
Các phép biến đổi tương đương hệ phương trình:
Các phép biến đổi tương đương hệ phương trình:
–
Nhân một số ( ) vào 2 vế của 1 phương
Nhân một số ( ) vào 2 vế của 1 phương
trình của hệ.
trình của hệ.
–
Đổi chỗ hai phương trình của hệ.
Đổi chỗ hai phương trình của hệ.
–
Nhân một số ( ) vào một phương trình rồi
Nhân một số ( ) vào một phương trình rồi
cộng vào PT khác của hệ.
cộng vào PT khác của hệ.
0
λ
≠
0
λ
≠
1
2 3 2
2 5
x y z
x y z
x y z
− + =



+ − =


+ + =

1
2 3 2
2 4 2 10
x y z
x y z
x y z
− + =


⇔ + − =


+ + =

2 4 2 10
1
2 3 2
x y z
x y z
x y z
− + =



⇔ + + =


+ − =

1.5 Giải hệ các phương trình tuyến $nh ()
www.hoasen.edu.vn

18
Linear Algebra
Xét hệ phương trình tổng quát sau:
1.5 Giải hệ các phương trình tuyến $nh ()
www.hoasen.edu.vn

19
Linear Algebra
Ta có ma trận bổ sung tương ứng
1.5 Giải hệ các phương trình tuyến $nh ()
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2




n
n
a
m m mn m
a a a b

a a a b
A
a a a b
 
 
 
=
 
 
 
www.hoasen.edu.vn

20
Linear Algebra
11 12 1 1 1
22 2 2 2
' ' ' ' '
0 ' ' ' '

'
0 0 ' ' '
0 0 0 0

0 0 0 0 0
r n
r n
r r r n r
a a a a b
a a a b
A

a a b
k
 
 
 
 
 
=
 
 
 
 
 
 
Bằng các phép BĐSC chuyển ma trận bổ sung
về dạng:
1.5 Giải hệ các phương trình tuyến $nh ()
www.hoasen.edu.vn

21
Linear Algebra
Ma trận A’ tương ứng cho ta hệ PTTT
11 1 12 2 1 1 1
22 2 2 2 2
1 2
' ' ' ' '
' ' ' '

' ' '
0 0 0 0

r r n n
r r n n
r r r r n n r
r n
a x a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x b
x x x x k

+ + + + + =

+ + + + =




+ + =


+ + + + + =

1.5 Giải hệ các phương trình tuyến $nh ()
www.hoasen.edu.vn

22
Linear Algebra
Khi đó ta có:
1. Nếu thì phương trình thứ (r +1) vô nghiệm
suy ra hệ phương trình vô nghiệm.
2. Nếu k = 0 thì hệ có nghiệm:

–
Nếu r = n (số ẩn) thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
–
Nếu r < n (số ẩn) thì hệ phương trình có vô số nghiệm,
phụ thuộc vào (n – r) tham số.
0k ≠
1.5 Giải hệ các phương trình tuyến $nh ()
www.hoasen.edu.vn

23
Linear Algebra
a. Khi r = n (số ẩn) thì hệ PT (II) viết dưới dạng:
11 1 12 2 1 1 1
22 2 2 2 2
' ' ' ' '
' ' ' '

' ' '

' '
r r n n
r r n n
rr r rn n r
nn n n
a x a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x b
a x b
+ + + + + =



+ + + + =




+ + =



=


1.5 Giải hệ các phương trình tuyến $nh ()
www.hoasen.edu.vn

24
Linear Algebra
b. Khi r < n ta chuyển (n – r) ẩn sang vế
phải của hệ
phương trình
phương trình ta được hệ PT sau:
Ta xem các ẩn ở vế phải là các tham số, sau đó
giải các ẩn còn lại theo các tham số đó.
11 1 12 2 1 1( 1) 1 1 1
22 2 2 2( 1) 1 2 2
( 1) 1
' ' ' ' ' '
' ' ' ' '

' ' ' '
r r r r n n
r r r r n n
r r r r r r r n n r
a x a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x b
+ +
+ +
+ +
+ + + =− − − +


+ + =− − − +




= − − − +

1.5 Giải hệ các phương trình tuyến $nh ()
www.hoasen.edu.vn

25
Linear Algebra
Ví dụ:
Ví dụ:
2 3 5 2 5 3
5 3 3 5
5 3 2(5 3) 7 1

5 3 5 3
7 1 6
5 3, 1 2
1
13
2 7
2
x y z x y z
y z y z
x z z x z
y z y z
x m x
y m m y
z m z
x
m y
z
− + = − = −
 
⇔
 
− + = − = −
 
= − + − = −
 
⇔ ⇔
 
= − = −
 
= − =

 
 
= − = ⇒ =
 
 
= =
 
=


= ⇒ =


=

1.5 Giải hệ các phương trình tuyến $nh ()