ôtômat hữu hạn đoán nhận Ngôn ngữ chính quy

Ng Duc Thuan
Lý Thuyết Ngôn ngữ Hình thức & Ôtômat 12 Nguyễn Đức Thuần

Ch-ơng II

ôtômat hữu hạn
đoán nhận Ngôn ngữ chính quy

1.ôtômat hữu hạn
(Finite automata - Fa)

Ôtômát hữu hạn có thể xem nh- "máy trừu t-ợng". Chúng là một công cụ đoán
nhận một lớp các ngôn ngữ đơn giản gọi là chính qui.

2.1 ôtômát hữu hạn

2.1 Định nghĩa:

Ôtômát hữu hạn là bộ M = <ồ,Q,d, q
0
,F>, trong đó:
ồ : là tập hữu hạn khác rỗng các ký hiệu vào.
Q : là tập hữu hạn khác rỗng các trạng thái.
q
0
: là trạng thái đầu (q
0
ẻ Q)
F : là tập các trạng thái kết thúc (FQ)
d : đ-ợc gọi là hàm chuyển có dạng :

1. Nếu hàm chuyển là ánh xạ : d : Q x ồ đ Q, khi đó M đ-ợc gọi là
ôtômat đơn định ( Deterministic Finite Automata, viết tắt DFA).
2. Nếu hàm chuyển là ánh xạ : d : Q x ồ đ 2
Q
, khi đó M đ-ợc gọi là
ôtômat không đơn định ( Nondeterministic Finite Automata, viết tắt NDFA).

Ta có thể mô tả các b-ớc làm việc của 1 ôtômát hữu hạn M = <ồ,Q,d, q
0
,F>,khi
cho xâu vào w = x
1
x
2
x
n
ẻ ồ
*
nh- một máy, mà ph-ơng thức làm việc nh- sau:

Có một băng vào dùng để ghi xâu vào.
Có một đầu đọc, ở mỗi thời điểm có thể nhìn vào 1 ô ở băng vào.
Có một bộ điều khiển Q gồm một số hữu hạn trạng thái: ở mỗi thời điểm nó có
một trạng thái. ( Hình 2.1)

Băng vào
x
1
x
2

x
n-2

x
n-1

x
n



Bộ điều khiển


Hình 2.1 Các bộ phận của ôtômat hữu hạn

Khi bắt đầu làm việc máy ở trạng thái đầu q
0
và đầu đọc đang nhìn vào ô có ký
hiệu x
1
. Tiếp theo, máy chuyển từ trạng thái q
0
d-ới tác động của ký hiệu vào x
1
về trạng
q
Ng Duc Thuan

Lý Thuyết Ngôn ngữ Hình thức & Ôtômat 13 Nguyễn Đức Thuần

thái mới d(q
0
, x
1
) = q
1
ẻQ và đầu đọc chuyển sang một ô, tức nhìn vào ô ký hiệu x
2
. Sau
đó ôtômat M lại tiếp tục chuyển từ trạng thái q
1
nhờ hàm chuyển d về trạng thái mới:
q
2
= d(q
1
, x
2
) = d(d (q
0
, x
1
), x
2
) ẻQ.

Quá trình đó sẽ tiếp tục cho đến khi đầu đọc nhìn vào ký hiệu x
n

với trạng thái của
máy là q
n-1
= d(q
0
, x
1
x
2
x
n-1
).

Hàm chuyển lại đ-a máy từ trạng thái q
n-1
d-ới tác động của x
n
về trạng thái q
n
=
d(q
n-1
, x
n
) = d(q
0
, x
1
x
2

x
n-1
x
n
) ẻQ. Khi đó ôtômat dừng lại. Nếu q
n
ẻF thì ta nói rằng
ôtômat đã đoán nhận ra xâu w. Trong tr-ờng hợp ng-ợc lại, thì nói rằng ôtômát không
đoán nhận đ-ợc xâu w.

Tập L(M) = {w/ w ẻ ồ
*
mà d(q
0
, w)ẻ F} đ-ợc gọi là ngôn ngữ đ-ợc đoán nhận
bởi ôtômat M. Tập trạng thái Q trong quá trình tính toán đ-ợc coi nh- là bộ nhớ của một
ôtômat. Vì Q là hữu hạn nên M đ-ợc gọi là ôtômat hữu hạn.

2.2 ph>ơng pháp biểu diễn ôtômát hữu hạn

Cho Ôtômat thực chất là cho hàm chuyển của nó. Hàm chuyển có thể cho d-ới
dạng bảng chuyển, hoặc cho d-ới dạng đồ thị.
a. Ph0ơng pháp cho ôtômat bằng bảng chuyển:

Trạng
thái
Ký hiệu vào
x
1
x

2
x
n

q
1

q
2
q
3



q
k

d(q
1
, x
1
)
d(q
2
, x
1
)
d(q
3
, x

1
)


d(q
k
, x
1
)
d(q
1
, x
2
)
d(q
2
, x
2
)
d(q
3
, x
2
)


d(q
k
, x
2

)






d(q
1
, x
n
)
d(q
2
, x
n
)
d(q
3
, x
n
)


d(q
k
, x
n
)

Ví dụ 1: Xét ôtômat hữu hạn đơn định M = <ồ,Q,d, q
0
,F>, trong đó:
ồ = {0,1}, Q= {q
0
, q
1
, q
2
, q
3
}, F = {q
3
}
bảng chuyển cho bởi

Trạng thái

0 1
q
0
q
1
q
2
q
3

q
1

q
3

q
0
q
3
q
2
q
0

q
3
q
3

Ví dụ 2 : Giả sử xét các xâu w
1
= 10110, w
2
= 10011. Hỏi rằng ôtômat M có đoán
nhận các xâu đó hay không?

Ng Duc Thuan
Lý Thuyết Ngôn ngữ Hình thức & Ôtômat 14 Nguyễn Đức Thuần

a. Dãy trạng thái của ôtômat M khi cho w
1

vào là :

w
1
= 1 0 1 1 0


q
0
đ q
2
đ q
0
đ q
2
đ q
3
đ q
3
ẻ F


Do đó, ôtômat M đoán nhận xâu w
1
= 10110.

b. Dãy trạng thái của ôtômat M khi cho w
2
vào là :

w
1
= 1 0 0 1 1


q
0
đ q
2
đ q
0
đ q
1
đ q
0
đ q
2
ẽ F


Do đó, ôtômat M không đoán nhận xâu w
2
= 10011.

Từ các ví dụ trên ta thấy quá trình đoán nhận một xâu nào đó đối với ôtômat M
đơn định là quá trình biến đổi trạng thái cuối cùng của ôtômat có phải là trạng thái kết
thúc hay không.

Thuật toán mô phỏng ôtômat hữu hạn đoán nhận xâu vào của ôtômat đơn định nh-
sau:

Input : - Một xâu w, kết thúc bởi ký hiệu hết dòng eol.
- Một ôtômat hữu hạn M với trạng thái ban đầu q
0
và tập trạng thái
kết thúc là F.
Output : - "True" nếu M đoán nhận đ-ợc xâu w
- "False" nếu M không đoán nhận xâu w.

Thuật toán:
Begin
S:=q
0
;
C:= ký tự đầu trong xâu w;
While C <> eol do
Begin
S:=
d
(S,C);
C:= ký tự tiếp trong w;
end;
If S in F then return (true)
else return(False);
End;
Ví dụ 3 : Cho ôtômat không đơn định = <ồ,Q,d, q
0
,F>, trong đó:
ồ = {0,1}, Q = {q
0

, q
1
, q
2
, q
3
}, q
0
là trạng thái đầu, F = {q
2
, q
4
} là tập các
trạng thái kết thúc.

Ng Duc Thuan
Lý Thuyết Ngôn ngữ Hình thức & Ôtômat 15 Nguyễn Đức Thuần

Hàm chuyển d : Qxồ đ 2
Q
đ-ợc cho ở bảng sau:

Trạng thái

Ký hiệu vào
0 1
q
0
{q
0,

,q
3
} {q
0
,q
1
}
q
1

ặ
q
2

q
2
q
2
q
2

q
3
q
4

ặ
q
4
q

4
q
3




Khi cho xâu vào là w = 01001 thì đối với máy M ta có cây đoán nhận xâu nh- sau:













Trong cây trên có một đ-ờng đi từ q
0
đến q
4
ẻ F nên xâu w
1
= 01001 là xâu đoán
nhận đ-ợc bởi máy M.

b. Ph0ơng pháp cho ôtômat bằng đồ thị chuyển:
Thông th-ờng để dễ hình dung hơn, ta th-ờng biểu diễn hàm chuyển d-ới dạng
một đồ thị định h-ớng, gọi là đồ thị chuyển nh- sau: Mỗi đỉnh của đồ thị t-ơng ứng với
một trạng thái. Nút đầu đ-ợc trỏ bởi một mũi tên, các đỉnh có trạng thái kết thúc đ-ợc
khoanh vòng tròn 2 lần. Nếu có d(q,a) = p thì có một cung đi từ đỉnh q đến đỉnh p, và
cung đó mang nhãn a.

Ví dụ 4 : Cho ôtômat không đơn định M= <ồ,Q,d, q
0
,F>, trong đó:
ồ = {0,1}, Q = {q
0
, q
1
, q
2
, q
3
}, q
0
là trạng thái đầu, F = {q
0
} là tập các
trạng thái kết thúc.

Trạng thái

0 1
q
0

q
1
q
2
q
3

q
2

q
3

q
0
q
1
q
1
q
0

q
3
q
2


q
0

q
0

q
0

q
0

q
3

q
1

q
3

q
0

q
0

q
3

q
1

q
4

q
4

ặ

ặ

ặ

Ng Duc Thuan
Lý Thuyết Ngôn ngữ Hình thức & Ôtômat 16 Nguyễn Đức Thuần

Lúc này, đồ thị chuyển sẽ có dạng nh- sau:












Chú ý : Định nghĩa ôtômat hữu hạn đơn định & không đơn định bằng hệ viết lại:

- Ta gọi Hệ viết lại ngầm định của Ôtômat hữu hạn đơn định (không đơn định):
M= <ồ,Q,d, q
0
,F>, là hệ viết lại RW = (V,P) nh- sau:
V = ồẩQ,
P gồm các sản xuất đ-ợc thành lập theo quy tắc:
Nếu có d(q,a) = p (hoặc d(q,a) = {p
1
,p
2
, p
m
}) trong đó p, q, p
i
ẻ Q và a ẻồ thì :
qa đ p là một sản xuất trong P (hay qa
đ
{p
1
p
2
p
3
p
n
})
Với các quan hệ suy dẫn , đã xác định ở ch-ơng I, hệ viết lại RW cho phép
biến đổi các hình trạng của Ôtômat hữu hạn. Ngôn ngữ đ-ợc đoán nhận bởi M là:

L = {w ẵ w ẻồ* và q
0
w

p với p ẻ F}.

2.3 sự t>ơng đ>ơng giữa Ôtômat hữu hạn đơn định và Ôtômat
hữu hạn không đơn định:

Theo định nghĩa của Ôtômat đơn định M và không đơn định N , nếu ký hiệu các
lớp ngôn ngữ đ-ợc đoán nhận bởi M và N t-ơng ứng là L(M) và L(N). Ta có định lý sau:

2.3.1 Định lý :
Lớp ngôn ngữ đoán nhận bởi ôtômát đơn định trùng với lớp ngôn ngữ đoán nhận
đ-ợc bởi ôtômat không đơn định.

Chứng minh:
Theo định nghĩa của ôtômat đơn định & ôtômát không đơn định, dễ dàng nhận
thấy: lớp ngôn ngữ đoán nhận đ-ợc bởi ôtômat đơn định là lớp con của lớp ngôn ngữ đoán
nhận đ-ợc ôtômát không đơn định. ( L(M) L(N) ).

Ta chứng minh L(N) L(M). Thật vậy, giả sử p ẻồ
*
đoán nhận đ-ợc bởi ôtômát
không đơn định N = <ồ,Q,d,s
0
,F> hay p ẻ L(N).

Ta xây dựng ôtômát đơn định M = <ồ',Q',d',q
0

,F'> đoán nhận p nh- sau : ồ'=ồ, Q'
= 2
Q
, q
0
= {s
0
}; F' = {U QẵUầFạặ} còn d':Q'xồ đ Q' đ-ợc xác định nh- sau:

q
3

q
1

q
2

q
0

1

1

0

0

0

0

1

1

Ng Duc Thuan
Lý Thuyết Ngôn ngữ Hình thức & Ôtômat 17 Nguyễn Đức Thuần

"UẻQ, "xẻồ thì d'(U,x) =
qUẻ
U
d(q,x).
Với M định nghĩa nh- trên, thì ta có p ẻL(M) hay L(N) L(M). (đ.p.c.m)
Ví dụ 5: Cho Ôtômat không đơn định N = <ồ,Q,d, s
0
,F>, với ồ = {a,b}, Q ={s
0,
s
1
}, F = {s
1
}, hàm chuyển đ-ợc xác định : d: Qxồ đ 2
Q
đ-ợc cho bởi bảng chuyển sau:

Trạng thái Ký hiệu vào
a b
s

0
{s
0
, s
1
} s
1

s
1

ặ
{s
0,
s
1
}

Khi đó Ôtômat đơn định M t-ơng ứng với ôtômat không đơn định N đ-ợc xây
dựng nh- sau:

M = <ồ',Q',d',q
2
,F'>, với ồ' = ồ= {a,b}, Q' = {q
1
,q
2
,q
3
,q

4
} ở đây q
1
=ặ, q
2
= {s
0
},
q
3
= {s
1
}, q
4
= {s
0
, s
1
} còn F' = {q
3
, q
4
}.
Hàm chuyển d' cho d-ới bảng sau:

Trạng thái Ký hiệu vào
a b
q
1

ặ ặ
q
2
q
4
q
3

q
3

ặ
q
4

q
4
q
4
q
4



Ta có L(N) = L(M) hay N t-ơng đ-ơng với M.
Ví dụ 6:
- Xét Ôtômát không đơn định N có đồ thị chuyển nh- sau :

- Đồ thị chuyển của Ôtômát đơn định M t-ơng ứng là:










q
1

q
0

0,1

1

0

1

{q

1
}
{q
0
}

{q
0
, q
1
}
ặ
1

1

0

0

0,1

0,1

Ng Duc Thuan
Lý Thuyết Ngôn ngữ Hình thức & Ôtômat 18 Nguyễn Đức Thuần

Nhận xét: Theo định lý trên : Nếu ngôn ngữ L đ-ợc chấp nhận bởi ôtômat hữu
hạn không đơn định, thì tồn tại một ôtômát hữu hạn đơn định chấp nhận L.

2. Ôtômat hữu hạn và văn phạm chính qui:

2.4.1 Định lý : Nếu L là ngôn ngữ chính qui thì tồn tại một ôtômat hữu hạn không
đơn định chấp nhận L.

Chứng minh :
Giả sử L đ-ợc sinh ra bởi văn phạm chính qui G = <ồ, D,S,P>. Ta xây dựng
ôtômat hữu hạn không đơn định N = < ồ' ,Q, d, q
0
, F>, trong đó:

- ồ' = ồ, Q= D ẩ {E}, E ẽ ồẩD;
- q
0
= S
- d(E, a) = ặ, "a ẻồ
- d(B,a) chứa tất cả các trạng thái D sao cho B đaDẻP, thêm vào :
d(B,a) chứa E nếu Bđa ẻP.
-Nếu có S đe : d(B,a)={S}
F
E
ES
=
ỡ
ớ
ợ
{},
{,},

Ta chứng minh L(N) = L(G)=L.

* L(G)

L(N)
Lấy w = a
1
a
2
a
k
ẻ L và giả sử eạw, lúc đó tồn tại một suy dẫn trong G:
S a
1
A
1
a
1
a
2
A
2
a
1
a
2
a
k-1
A
k-1
a

1
a
2
a
k
.

ở đây A
1
, A
2
, , A
k-1
ẻD và do đó tồn tại một dãy qui tắc của p:
S đ a
1
A
1
; A
1
đ a
2
A
2
; ; A
k-1
đ a
k
.

Theo định nghĩa của d thì :
A
1
ẻd(S,a
1
); A
2
ẻd(A
1
,a
2
); ; A
k-1
ẻd( A
k-2
,a
k-1
); E ẻd( A
k-1
,a
k
);
Nh- vậy : E ẻ d(A,a
1
a
2
a
k
) hay w ẻ L(N);
Nếu w = e ẻ L thì trong G chứa S đ e và do đó S ẻ F. Trong tr-ờng hợp này

d(S,e) ={S} nên e ẻ L(N).

* L(N)

L(G)

Ng-ợc lại, Lấy w = a
1
a
2
a
k
ẻ L(N) và giả sử eạw, lúc đó tồn tại một dãy trạng
thái S, A
1
,

A
2
, ,A
k
, E sao cho:

A
1
ẻd(S,a
1
); A
2
ẻd(A

1
,a
2
); ; A
k-1
ẻd( A
k-2
,a
k-1
); E ẻd( A
k-1
,a
k
);

Theo định nghĩa của d ta lại có các qui tắc:
S đ a
1
A
1
; A
1
đ a
2
A
2
; ; A
k-1
đ a
k

.
Và do đó có dãy suy dẫn:
nếu P không chứa S đe
ng-ợc lại
Ng Duc Thuan
Lý Thuyết Ngôn ngữ Hình thức & Ôtômat 19 Nguyễn Đức Thuần

S a
1
A
1
a
1
a
2
A
2
a
1
a
2
a
k-1
A
k-1
a
1
a
2
a

k
.
hay w ẻ L(G);

Nếu w = e ẻ L(N) thì tồn tại qui tắc S đ e ẻP và do đó eẻL(G).

Vậy L(M) = L(G) = L. đ.p.c.m

Ví dụ 7: Xét G = < {a,b}, {S,A,B}, S, { S đaA, S đ bB, A đ aA, B đbB,
A đa, B đb}>

Xây dựng Ôtômat hữu hạn không đơn định thừa nhận L(G):

N= <{a,b}, {S,A,B,E}, d, S, {E}>
d(S,a) = {A} d(A,a) = {A,E}
d(S,b) = {B} d(A,b) = ặ
d(B,a) = ặ d(B,b) = {B,E}
d(E,a) = d(E,b) = ặ.











L(G) = {a

i
, b
j
, i,j 0 }

2.4.2 Định lý : Nếu ngôn ngữ L đ-ợc đoán nhận bởi 1 ôtômát hữu hạn đơn định
thì L là 1 ngôn ngữ chính qui.

Chứng minh :
Cho M = < ồ,Q, d, q
0
, F> là ôtômát hữu hạn đơn định chấp nhận L. Ta xây
dựng văn phạm chính qui sau :
G = <ồ, D,S,P>. ở đây:
S = q
0
;
D = Q;
P đ-ợc xác định nh- sau:
- Nếu có d(q, a) = p thì P chứa q đ ap
- Nếu có d(q, a) = p ẻF thì P chứa q đ a.

Ta sẽ chứng minh : L(G) = L - {e}

* Ta chứng minh L - {
e
}

L(G):
S

b

b

A

E

B

a

a

Ng Duc Thuan
Lý Thuyết Ngôn ngữ Hình thức & Ôtômat 20 Nguyễn Đức Thuần

Lấy w = a
1
a
2
a
k
ẻ L - {e} ta có :
d(q
0
, a
1
) = p

1

d(p
1
, a
1
) = p
2

. . . . . . . . . .
d(p
k-1
, a
k
) = p
k
ẻ F, và do đó trong P có các qui tắc:
q
0
đ a
1
p
1
, p
1
đ a
2
p
2
, , p

k-1
đ a
k

hay : q
0
a
1
p
1
a
1
a
2
p
2
a
1
a
2
a
k
.
Suy ra : w = a
1
a
2
a
k
ẻ L(G).

* Ta chứng minh L(G)

L - {
e
}:
Ng-ợc lại lấy w = a
1
a
2
a
k
ẻ L(G), lúc đó tồn tại dãy suy dẫn:
q
0
a
1
p
1
a
1
a
2
p
2
a
1
a
2
a

k

và nh- vậy: q
0
đ a
1
p
1
, p
1
đ a
2
p
2
, , p
k-1
đ a
k
là các qui tắc của P. Theo định
nghĩa của d ta có :
p
1
= d(q
0
, a
1
)
p
2
= d(p

1
, a
2
)
. . . . . . . . . .
p
k
=d(p
k-1
, a
k
)
và p
k
ẻ F, do đó w ẻ L(M)= L

Trong tr-ờng hợp eẻL, theo ch-ơng 1, ta có thể xây dựng đ-ợc G' sao cho:
L(G') = L(G) ẩ {e} = L .(đ.p.c.m)

Chú ý : L ngôn ngữ chính qui ị Ôtômát hữu hạn không đơn định

í ò

Ôtômát hữu hạn đơn định

2.4.3 Định lý : ( Định lý Pumping cho ngôn ngữ chính qui) Giả sử L là 1 ngôn ngữ
vô hạn đ-ợc đoán nhận bởi 1 ôtômat hữ- hạn đơn định thì tồn tại 1 số tự nhiên m sao cho
"w ẻL có ẵwẵm có thể phân tích d-ới dạng w=xyz, ở đây ẵxyẵÊ m, ẵyẵ 1 và "i0,
xy
i

z ẻL.

Chứng minh: Nếu L đ-ợc đoán nhận bởi 1 ôtômat hữu hạn đơn định (dfa):
M =< ồ ,{q
0
, q
1
, q
2
, , q
n
},d, q
0
, F>
Chọn m=n+1. "wẻL, ẵwẵ=k m, các trạng thái tham gia vào việc đoán nhận w có dạng:
q
0
, q
i
, q
j
, , q
j
, , q
r
, , q
r
, , q
f

(vì số trạng thái tham gia đoán nhận lớn hơn số trạng thái có đ-ợc của ôtômat nên có ít
nhất 1 trạng thái lặp)
Gọi x, y, z lần l-ợt là các xâu con của w mà:
d*(q
0
, x) = q
r

d*(q
r
, y) = q
r
{y là xâu con bé nhất của w thoả d*(q
r
, y) = q
r
}
d*(q
r
, z) = q
f

Ta có thể nhận thấy
Ng Duc Thuan
Lý Thuyết Ngôn ngữ Hình thức & Ôtômat 21 Nguyễn Đức Thuần

ẵxyẵÊ m=n+1, ẵyẵ 1
Từ đó suy ra:
d*(q
0

, xz) = q
f

d*(q
0
, xy
2
z) = q
f

d*(q
0
, xy
3
z) = q
f

Bằng qui nạp có thể chứng minh :
d*(q
0
, xy
i
z) =q
f
, "i 0. (đ,p.c.m)

2.4.4. Hệ quả : Tồn tại 1 ngôn ngữ PNC không đ-ợc đoán nhận bởi 1 ôtômat hữu
hạn không đơn định.
Chứng minh: Xét L = {a
n

b
n
, n > 0}, G = <{a,b}, {S}, {Sđ aSbẵab}>
L = L(G)
Nếu L là đ-ợc đoán nhận bởi 1 ôtômat hữu hạn đơn định ịL là ngôn ngữ chính quiịL
thoả định lý pumping:

w
i
= a
n
b
n
= xy
i
z , ẵxyẵÊ m, ẵyẵ=k 1

Chọn n > m ị y chỉ chứa toàn bộ ký tự a. Khia i=0, w
i
= a
n-k
b
n
ẽL ( mâu thuẩn).
Vì vậy L không là ngôn ngữ chính qui.

Chú ý : Lớp ngôn ngữ chính qui và lớp nn PNC là phân biệt.

2.4.5 Một vài ví dụ minh hoạ:

a. Cho ồ = {a, b}. Chứng minh rằng
L = {ww
R
: w ẻồ *} không là ngôn ngữ chính qui.
Giả sử L là 1 ngôn ngữ chính qui ị thoả định lý pumping ị $m, ẵww
R
ẵ m ị
ww
R
= xy
i
z, ẵxyẵÊ m, ẵyẵ 1. Chọn m đủ lớn:
Xét w= a
m
b
m
ị ww
R
= aa a bb b bb b a aa

x y z
ị xy
i
z với i = 0, ww
R
= a
m-k
b
m
b

m
a
m
ẽ L (mâu thuẩn).
ị Vậy L không là ngôn ngữ chính qui.

b. Cho ồ = {a, b}. Chứng minh rằng
L = { w ẻồ * : n
a
(w) < n
b
(w)} không là ngôn ngữ chính qui.
Giả sử L là 1 ngôn ngữ chính qui ị thoả định lý pumping ị $m, ẵwẵ m ị
w = xy
i
z, ẵxyẵÊ m, ẵyẵ 1. Chọn n = m, và m đủ lớn
w = a a b b ị w
i
= xy
i
z ẻ L

x y z
Chọn i 2 ị xy
i
z ẻ L ị n
a
(w
i
) > n

b
(w
i
) (mâu thuẩn).
Vậy L không là ngôn ngữ chính qui. (đpcm)

3. Định lý Kleene

Ng Duc Thuan
Lý Thuyết Ngôn ngữ Hình thức & Ôtômat 22 Nguyễn Đức Thuần

2.5.1 Định lý : ặ và {e} là các ngôn ngữ chính qui (NNCQ)
Chứng minh : ặ đ-ợc đoán nhận bởi mọi Ôtômat có F = ặ.
{e} đ-ợc đoán nhận bởi Ôtômát hữu hạn
M = <{a},{q
0
, q
1
}, d, q
0
, {q
0
}>
với d(q
0
, a) = d(q
1
,a) = q
1
.

2.5.2 Định lý : Với w ẻồ*, thì {w} là NNCQ.
Chứng minh : Nếu w = e thì mệnh đề đã đ-ợc chứng minh.
- Nếu không w = a
0
a
1
a
n
trong đó a
0
, a
1
, , a
n
ẻồ, n 0
Xét Ôtômát không đơn định M = < ồ, {q
0
, q
1
, , q
n+1
}, d, q
0
, {q
n+1
}>, trong đó:
d(q
i
, a

i
) = {q
i+1
} với i = 0,1, ,n
d(q
i
, a) = ặ với a ẻ ồ - {a
i
}, i = 0,1, ,n
d(q
n+1
, a) = ặ với a ẻ ồ
Nh- thế thì L(M) = {w}.

2.5.3 Hệ quả : Mọi ngôn ngữ tạo nên từ các ngôn ngữ hữu hạn bằng cách áp dụng
một số hữu hạn lần l-ợt các phép hợp, ghép tiếp và * đều là NNCQ.
Chứng minh : Do hệ quả 1.8.1, 1.8.3, 1.8.4,

2.5.4 Định lý (Kleene) :Mọi NNCQ đều có thể nhận đ-ợc từ các ngôn ngữ hữu
hạn bằng cách áp dụng một số hữu hạn lần các phép hợp, ghép tiếp và *.

Chứng minh : Giả sử L đ-ợc đoán nhận bởi một Ôtômat hữu hạn đơn định
M = < ồ, {q
1
,q
2
, ,q
n
}, d, q
1

, F}
Để phân tích các bộ phận hợp thành L(M) ta đ-a ra định nghĩa sau:
Gọi R
ij
k
là tập mọi xâu dẫn trong M từ trạng thái q
i
đến trạng thái q
j
mà
không đi qua một trạng thái q
l
nào đó, với l > k ( l-u ý là i,j có thể > k).
Nói cách khác là :

R
ij
k
= { w ẵ q
i
w

q
j
và với mọi tiền tố v của w, v ạw, vạe thì q
i
v

q
l

với l Êk}
(2.5.4*)
Nh- vậyký hiệu: R
ij
n
= { w ẵ q
i
w

q
j
} , vì n là chỉ số cao nhất
nên: L(M) = R
ij
n
qF
j
ẻ
U


Vậy định lý đ-ợc chứng minh nếu ta chứng minh đ-ợc Bổ đề sau đây:

2.5.5 Bổ đề : Mỗi R
ij
k
đều có thể nhận đ-ợc từ các ngôn ngữ hữu hạn, bằng cách
áp dụng một số hữu hạn lần các phép hợp, ghép tiếp và *.

Chứng minh : từ định nghĩa (2.5.4*) ta thấy, nếu w ẻ R

ij
k
thì trong suy dẫn
q
i
w q
j
:
(1) hoặc là trong M suy dẫn trên không đi qua trạng thái q
k
, tức là w ẻ
1-k
ij
R .
(2) hoặc là M có (một số lần) đi qua q
k
. Nh- vậy w bị chia cắt thành nhiều đoạn:
Ng Duc Thuan
Lý Thuyết Ngôn ngữ Hình thức & Ôtômat 23 Nguyễn Đức Thuần

- một tiền tố thuộc
1-k
ik
R đ-a M từ q
i
đến q
k
lần đầu tiên.
- tiếp đến một số (có thể là không) các xâu con thuộc R
kk

k -1
, dẫn M từ q
k
,
không đi qua q
k
hoặc trạng thái nào khác có chỉ số cao hơn về q
k
.
- kết thúc bằng một hậu tố thuộc R
kj
k -1
, suy dẫn trong M từ q
k
về q
j
.
Từ nhận xét đó có thể biểu diễn R
ij
k
d-ới dạng đệ qui nh- sau:
R
ij
k
= R
ij
k -1
ẩ R
ik
k -1

( R
kk
k -1
)* R
kj
k -1


R
i j
0
=
ù
ợ
ù
ớ
ỡ
ẩ=
=
}{}),(/{
}),(/{
ed
d
ji
ji
qaqa
qaqa

Ta thấy R
i j

0
là hữu hạn. Vậy nhờ một phép quy nạp theo k, ta chứng minh đ-ợc
với mọi i,j, tập R
i j
k
thỏa mãn yêu cầu của bổ đề. (đ.p.c.m).


4. biểu thức chính quy

Định lý Kleene gợi ý cho ta một cách biểu diễn khác của các ngôn ngữ chính quy.
Đó là nhờ các biểu thức chính quy, mà ta định nghĩa nh- sau:

2.6.1 Định nghĩa:
Cho ồ là một bộ chữ. Một biểu thức chính quy(viết tắc là BTCQ) trên ồ là tập hợp
do nó chỉ định đ-ợc định nghĩa một cách đệ qui nh- sau:

1/ ặ là một biểu thức chính qui, và chỉ định tập rỗng
2/ e là một biểu thức chính qui, và chỉ định tập {e}
3/ Với mỗi a ẻồ thì a là một biểu thức chính qui, và chỉ định tập {a}.
4/ Nếu r và s là các biểu thức chính qui, lần l-ợt chỉ định các tập R và S, thì
(r+s), (rs), và (r*) là các biểu thức chính qui, và lần l-ợt chỉ định các tập R ẩ S,RS, và R*.

Khi viết một BTCQ, ta có thể bỏ qua một số vòng đơn, nếu ta phân biệt mức -u
tiên : * có -u tiên cao hơn ghép tiếp hoặc +, và ghép tiếp có -u tiên cao hơn +. Chẳng hạn,
((0(1*))+0) có thể viết thành 01* + 0. Ta cũng th-ờng viết tắt biểu thức rr* bởi r
+


Tập hợp đ-ợc chỉ định bởi một BTCQ r đ-ợc ký hiệu bởi L(r). Để cho tiện, đôi khi

nếu không thể có nhầm lẫn xảy ra, thì ta dùng r vừa để chỉ biểu thức chính qui, vừa để chỉ
tập hợp do nó chỉ định.

Ví dụ 8: - 00 là một biểu thức chính qui, chỉ định tập {00}
- Biểu thức (0+1)* chỉ định tập mọi xâu 0 và 1. ({0,1}*)
- Từ đó biểu thức (0+1)* 00(0+1)* chỉ định tập mọi xâu 0 và 1 có chứa ít
nhất một cặp 0 liền nhau.
- Biểu thức chính qui (1+10)* chỉ định tập mọi xâu 0 và 1, có ký tự 1 ở đầu
và không có 2 ký tự 0 liên tiếp. Để chứng minh điều đó, đầu tiên có thể qui nạp theo i
rằng (1+10)
i
không chứa 2 ký tự 0 liên tiếp. Sau đó chứng minh ng-ợc lại rằng cho 1 xâu
có ký tự 1 ở đầu, và không chứa 2 ký tự 0 liên tiếp, ta luôn có thể cắt xâu đó thành các xâu
nếu iạj
nếu i=j
Ng Duc Thuan
Lý Thuyết Ngôn ngữ Hình thức & Ôtômat 24 Nguyễn Đức Thuần

con 0 hay 10. Chẳng hạn, 1101011 đ-ợc cắt thành 1-10-10-1-1. Điều đó, chứng tỏ xâu
trên thuộc (1+10)
i
, trong đó i là số các ký tự 1.
- Biểu thức chính qui (0+e) (1+10)* chỉ định tập mọi xâu 0 và 1 không
chứa hai ký tự 0 liên tiếp.
- Biểu thức (0+1)*011 chỉ định tập mọi xâu 0,1 kết thúc bởi 011.
- Còn 0*1*2* chỉ định tập mọi xâu gồm một số ký tự 0, tiếp đến một số ký
tự 1, rồi đến một số ký tự 2.
- Biểu thức 00*11*22* chỉ định tập các xâu trong 0*1*2* trong đó 0,1,2
đều có mặt. Biểu thức đó th-ờng đ-ợc viết tắt là 0
+

1
+
2
+
.

Ví dụ 9: Cho Ôtômat hữu hạn không đơn định, chấp nhạn ngôn ngữ đ-ợc cho bởi
biểu thức chính qui sau:

(01*+02)1+(0+1)(220*1)*
Tr-ớc hết ta xây dựng các Ôtômát hữu hạn không đơn định d-ới đây:


a.


Ôtômat này chấp nhận ngôn ngữ đ-ợc ký hiệu bởi 01*



b.


Ôtômat nay chấp nhận ngôn ngữ đ-ợc ký hiệu bởi 02



c.

Ôtômát này chấp nhận ngôn ngữ đ-ợc ký hiệu bởi 0+1






d.



Ôtômát này chấp nhận ngôn ngữ đ-ợc ký hiệu bởi biểu thức 220*1

1

s
0

s
1

0

s
2

s
1

s
0

0

2

s
0

s
1

0

1

s
3

2

s
1

s
0

2

s
2

Ng Duc Thuan
Lý Thuyết Ngôn ngữ Hình thức & Ôtômat 25 Nguyễn Đức Thuần




e.





Ôtômát này chấp nhận ngôn ngữ đ-ợc ký hiệu bởi (220*1)*




f.






Ôtômat này chấp nhận ngôn ngữ đ-ợc ký hiệu 01*+02

g.





Ôtômat này chấp nhận ngôn ngữ đ-ợc ký hiệu bởi (01*+02)1








h.





2

s
2

S

3

S
0

S
1

0

0

S
2

S
1

S
0

2

2

1

0

S

2

S
1

S
0

S
3

S
4

0

0

1

2

1

1

S
1

S

0

S
3

S
2

0

1

2

1

2

0

Ng Duc Thuan
Lý Thuyết Ngôn ngữ Hình thức & Ôtômat 26 Nguyễn Đức Thuần

q
1
q
0

q
1

q
0

q
1
q
0

Ôtômát này chấp nhận ngôn ngữ đ-ợc ký hiệu bởi biểu thức
(0+1)(220*1)*











Từ các Ôtômat trên ta có thể xây dựng Ôtômat chấp nhận ngôn ngữ đ-ợc
ký hiệu bởi biểu thức chính qui sau:
(01*+02)1+(0+1)(220*1)*

2.6.2 Biểu thức chính qui& đồ thị chuyển ôtômat hữu hạn đơn định:
Một số đồ thị chuyểncủa ôtômat hữu hạn đơn định:
a. Ôtômat đoán nhận ặ

b. Ôtômat đoán nhận e
hoặc



c. Ôtômat đoán nhận {a}




d. Ôtômat đoán nhận r
1
+r
2





e. Ôtômat đoán nhận r
1
*




f. Ôtômat đoán nhận (a+b)*
hoặc

S
2

S
4

S
7

S
0

S
1

S
3

S
6

S
5

1

1

2

0

0

0

1

2

1

2

0

1

q
1
q
0

a
q
0
q
1

q
0

e

q
0
Ng Duc Thuan
Lý Thuyết Ngôn ngữ Hình thức & Ôtômat 27 Nguyễn Đức Thuần

q
1
q
0

q
0

g. Ôtômat đoán nhận r
1
*r
2
*






Ví dụ 10: 1. Xây dựng ôtômat hữu hạn đơn định ứng với biểu thức chính qui:

b(a+bb)*

Xét (a+bb)* :



Thay bb bởi




Vậy b(a+bb)* là :






2. Tìm Ôtômat đoán nhận L
1
= {awa : wẻ{a,b}*}






2.6.3 Các tính chất đại số của biểu thức chính qui:

Ta có thể chứng minh đ-ợc rằng : Cho r,s,t là các biểu thức chính qui, thì ta có các

đẳng thức sau, trong đó r = s có nghĩa L(r) = L(s).

(1) r+s = s+r (2) r+r = r
(3) r+(s+t) = (r+s)+t (4) r(st) =(rs)t
(5) r(s+t) = rs +rt (6) (r+s)t = rt+st
(7) re = er = r (8) ặr = rặ =ặ
(9) r+ặ = r (10) ặ* = e
(11) (e + r)* = r* (12) r+r* = r*
(13) (r*)* = r* (14) (r*s*)* = (r+s)*

Từ định nghĩa của biểu thức chính qui, và Do hệ quả 2.5.3, và định lý Kleene ta có thể
chứng minh các định lý sau:
q
0
q
1
q
0

r
1

q
2
q
1
q
0

b

1

q
2
b
1

q
1
q
2
Ng Duc Thuan
Lý Thuyết Ngôn ngữ Hình thức & Ôtômat 28 Nguyễn Đức Thuần


2.6.3 Bổ đề : Với mọi tập hữu hạn L ồ*, đều tồn tại một BTCQ mà tập nó chỉ
định là L.

2.6.4 Định lý : Một ngôn ngữ L đ-ợc chỉ định bởi một BTCQ khi và chỉ khi nó
đ-ợc đoán nhận bởi một Ôtômát hữu hạn.

Nói tóm lại : Các ngôn ngữ do BTCQ chỉ định và lớp các ngôn ngữ do Ôtômát h-u
hạn đoán nhận là một. Đó là lớp các NNCQ.


5. Cực tiểu hóa các Ôtômat hữu hạn

2.7.1 Định nghĩa : Cho M = < ồ,Q, d, q
0
, F> là Ôtômát hữu hạn đơn định, và q

1
,
q
2
là 2 trạng thái khác nhau. Ta nói rằng:

- Xâu u phân biệt các trạng thái q
1
, q
2
khi nếu (q
1
,u) (q
3
,e), (q
2
,u) (q
4
,e), và
có chỉ một trong các trạng thái q
3
, q
4
thuộc F.

- q
1
và q
2
là k- không phân biệt, ta ký hiệu q

1

k
q
2
, nếu không tồn tại xâu u, với
ẵuẵÊ k, sao cho q
1
và q
2
phân biệt.

- Các trạng thái q
1
và q
2
là không phân biệt, ta viết q
1
q
2
, nếu chúng là k-không
phân biệt, "k0 .
- Ôtômát M đ-ợc gọi làcực tiểu nếu trong Q không tồn tại các trạng thái không
đạt tới đ-ợc và không tồn tại bất cứ 2 trạng thái không phân biệt nhau.

Ví dụ 11: Xét Ôtômát đ-ọc biểu diễn bằng đồ thị chuyển sau:

Trong Ôtômát trên:
q
0
và q
3
là 1-không phân biệt
q
4
là trạng thái không đạt tới đ-ợc
Xâu b phân biệt các trạng thái q
0
và q
1

q
2
và q
5
là 0-không phân biệt.

2.7.2 Bổ đề : Cho M = < ồ,Q, d, q
0
, F> là Ôtômát hữu hạn đơn định với n trạng
thái. Các trạng thái q
1
và q

2
là không phân biệt khi và chỉ khi chúng là (n-2)-không phân
biệt.
Chứng minh : Điều kiện cần là tầm th-ờng. Điều kiện đủ là tầm th-ờng khi F có
0 hoặc n trạng thái.
q
3

q
1

q
0

q
2

q
4

q
5

Ng Duc Thuan
Lý Thuyết Ngôn ngữ Hình thức & Ôtômat 29 Nguyễn Đức Thuần


Ta nhận thấy rằng, với các trạng thái bất kỳ q
1
và q

2
sẽ thỏa mãn:

1. q
1

0
q
2
khi và chỉ khi, nếu cả hai cùng thuộc hoặc không cùng thuộc F.
2. q
1

k
q
2
khi và chỉ khi, nếu q
1

k-1
q
2
và d(q
1
,a)
k-1
d(q
2
,a) ,"aẻồ.
Quan hệ

0
chia Q thành 2 lớp F và Q-F.
Nếu
k+1
ạ
k
thì
k+1
là mịn hơn, bởi vì nó chứa nhiều hơn ít nhất một lớp
t-ơng đ-ơng. Vì thế không có tập nào từ các tập F, Q-F chứa nhiều hơn n-1 trạng thái,
không thể tạo nên nhiều hơn lần l-ợt n-2 quan hệ mịn hơn
0
.
Nếu
k+1
=
k
với một k nào đó thì
k
=
k+1
=
k+2
=
k+3
=
Vì thế là quan hệ đầu tiên
k
sao cho
k

=
k+1


2.7.3 Thuật toán thu gọn Ôtômát hữu hạn đơn định:

Input : Cho Ôtômát hữu hạn đơn định M = <ồ, Q, d, q
0
, F>
Output : Ôtômát M' hữu hạn có số trạng thái bé nhất t-ơng đ-ơng M.

Thuật toán :
1. Tìm tất cả các trạng thái không đạt tới đ-ợc từ trạng thái q
0
và loại bỏ
chúng khỏi Q.

2. Theo bổ đề 2.7.2 tạo các quan hệ t-ơng đ-ơng

0
,

1
,

2
, cho tới khi
nào 2 quan hệ kề nhau bằng nhau. Giả sử

k

=

k+1
, Gọi

=

k


3. Tạo Ôtômát hữu hạn đơn định M' = <
ồ
,Q',
d
', q
0
', F'> :

a. Q' là tập các lớp t-ơng đ-ơng của quan hệ

.
b. Ký hiệu [q] là lớp t-ơng đ-ơng chứa trạng thái q. Sau đó thiết lập:


d
'([q], a) = [p], nếu
d
'(q,a) = p;
c. q
0

' = [q
0
]
d. F' = { [q]
ẵ
q
ẻ
F}

Ví dụ 11: Cho Ôtômát hữu hạn đơn định đ-ợc biểu diễn bởi đồ thị chuyển sau:









Các trạng thái không đạt tới cần đ-ợc loại bỏ là q
1
và q
6
.
Các lớp t-ơng đ-ơng cho trạng thái đạt tới đ-ợc là:

q
2

q

4

q
0

q
6

q
1

q
3

q
5

q
7

0

0

1

1

1

0

1

0

0

1

Ng Duc Thuan
Lý Thuyết Ngôn ngữ Hình thức & Ôtômat 30 Nguyễn Đức Thuần


0
: {q
0
, q
4
}, {q
2
, q
3
, q
5
, q
7
}

1
: {q
0
, q
4
},{q
2
, q
7
},{q
3
, q
5
}

2
: {q
0
, q
4
},{q
2
, q
7
},{q
3
, q
5
}

Vậy ta đặt =
2
. Khi đó Ôtômát M' có thể viết:

Q' = {[q
0
], [q
2
], [q
3
]}

Bảng trạng thái chuyển:


Trạng thái Ký hiệu vào
0 1
[q
0
] [q
0
] [q
3
]
[q
2
] [q
2
] [q
0

]
[q
3
] [q
3
] [q
2
]


q
0
' = [q
0
]
F = {[q
0
]}.

2.7.4 Định lý : Ôtômát M' đ-ợc tạo ra trên cơ sở thuật toán 2.7.3 có số trạng thái ít
nhát trong tất cả các Ôtômát đặc tả ngôn ngữ L(M).

Chứng minh : Ta giả sử là khẳng định trên không đúng, nghĩa là tồn tại một
Ôtômát M'' có số trạng thái ít hơn của M', nh-ng L(M'') = L(M').
Theo b-ớc 1 của thuật toán 2.7.3 tất cả trạng thái của M' là đạt tới đ-ợc. Vì M'' có
ít trạng thái hơn M' nên tồn tại các xâu u,v từ trạng thái q
0
' dẫn đến 2 trạng thái khác nhau,
nh-ng lại dẫn q
0

'' đến cùng một trạng thái, nghĩa là :

(q
0
',u)
M'
(q
1
', e), (q
0
',v)
M'
(q
2
', e), và q
1
' ạ q
2
'

(q
0
'', u)
M''
(q
2
'', e), (q
0
'', v)
M''

(q
2
'', e).

Bởi vì các xâu u,v suy dẫn trong M đến các trạng thái khác nhau ta ký hiệu là p,r.
Nghĩa là tồn tại xâu z, sao cho chỉ một trong các xâu uz hoặc vz thuộc L(M). Nh-ng các
xâu uz và vz lại phải dẫn trong Ôtômát M'' đến cùng một trạng thái ký hiệu là s, phải thỏa
mãn (q
2
'',z) (s,e). Nh-ng điều đó có nghĩa là, một trong các xâu uz, vz không thể thuộc
L(M'') mâu thuẩn với giả thiết L(M') =L(M''). (đ.p.c.m)