Một số nghiệm soliton của các phương trình Yang-Mills và ứng dụng

i
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Những kết quả
nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ công
trình nào khác. Mọi bài báo đều được các đồng tác giả cho phép sử dụng.

Hà Nội, tháng 3 năm 2014
Giáo viên hướng dẫn Tác giả luận án


GS, TSKH. Nguyễn Viễn Thọ Nguyễn Quốc Hoàn

ii
Lời cảm ơn
Nhìn lại một khoảng dài, với hơn 5 năm trên trục thời gian. Thời khoảng
mà tôi đã nhận được những tình cảm tốt đẹp nhất từ các thầy cô, đồng
nghiệp, bạn bè và gia đình.
Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng tôn kính và sự biết ơn của tôi đến
GS.TSKH. Nguyễn Viễn Thọ - Một nhà khoa học nghiêm túc, thầy đã tận
tình dạy bảo và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Tôi xin tỏ lòng biết ơn đến thầy giáo Tô Bá Hạ, thầy đã nhiệt tình giúp
đỡ và động viên tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Bản luận án của tôi là lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô trong Viện
Vật lý Kỹ thuật, đặc biệt là các thầy, cô và các bạn ở Bộ môn Vật lý Lý
thuyết, Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội.
Những bản nhận xét rất tỉ mỉ của các thầy (cô) phản biện đã giúp tôi
hoàn thiện cuốn luận án này. Cá nhân tôi coi đó là những bài học quý báu
trong học tập và nghiên cứu. Tôi xin được gửi tới các thầy (cô) phản biện lời
cảm ơn chân thành nhất.
Nhân dịp này, tôi muốn gửi lời cảm ơn tới lãnh đạo và các đồng nghiệp

Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Giang - nơi tôi công tác, về những quan tâm, ủng
hộ và giúp đỡ quý báu.
Gia đình là điểm tựa vững chắc cho tôi, là nơi mà tôi có thể bày tỏ mọi
cảm xúc. Xin được gửi tới gia đình tôi lòng biết ơn sâu nặng và những tình
cảm không thể nói bằng lời.


Nguyễn Quốc Hoàn


iii
Mục lục
Lời cam đoan i
Lời cảm ơn ii
Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt vi
Danh mục các hình vẽ và đồ thị vii
MỞ ĐẦU 1
1 Lý do chọn đề tài 1
2 Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu 4
3 Phương pháp nghiên cứu 5
4 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án 5
5 Bố cục của luận án 7
1 SOLITON TOPO TRONG CÁC HỆ TRƯỜNG GAUGE ABEL VÀ PHI
ABEL 9
1.1 Hệ Yang-Mills không có trường Higgs: Nghiệm Wu-Yang 11
1.2 Hệ Yang-Mills-Higgs: Nghiệm monopole ’t Hooft-Polyakov và dyon
Julia – Zee 16
1.2.1 Nghiệm monopole 't Hooft-Polyakov 16
1.2.2 Nghiệm dyon Julia – Zee 19
1.3 Nghiệm soliton tới hạn, nghiệm Bogomolny-Prasad-Sommerfield

(BPS) 21
1.3.1 Nghiệm soliton tới hạn 21
1.3.2 Nghiệm Bogomolny-Prasad-Sommerfield (BPS) 23
1.4 Trường Yang-Mills trong không gian Euclide và nghiệm instanton 24

iv
1.5 Kết luận chương 1 26
2 NGHIỆM SOLITON CỦA HỆ YANG-MILLS VỚI NGUỒN NGOÀI
ĐỐI XỨNG TRỤC 27
2.1 Nguồn đối xứng xuyên tâm và đối xứng trục 27
2.1.1 Nguồn đối xứng xuyên tâm 28
2.1.2 Nguồn ngoài đối xứng trục 31
2.2 Phương pháp số tìm nghiệm của các phương trình trường cân bằng 32
2.3 Nghiệm phương trình Yang-Mills với hai nguồn điểm và chỉ số topo
cao 34
2.3.1 Phương trình trường và các ansatz đối xứng trục 34
2.3.2 Gián đoạn hóa hệ trường liên tục 35
2.3.3 Mô phỏng các nghiệm trường [III, IV] 37
2.3.4 Sự phân bố không gian của vector điện, từ trường phi Abel
[IV] 39
2.3.5 Sự phân bố không gian của mật độ năng lượng trường phi
Abel [III, IV] 41
2.4 Nghiệm dạng dây vortex: Nghiệm số và nghiệm giải tích 42
2.4.1 Giới thiệu về phương trình Yang-Mills với nguồn ngoài dạng
sợi dây 43
2.4.2 Nghiệm tĩnh của phương trình 44
2.4.3 Nghiệm sóng của phương trình [VI] 52
2.5 Kết luận chương 2 56
3 PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG CỦA HẠT MÀU TRONG
TRƯỜNG CHUẨN 58

3.1 Hạt màu trong trường chuẩn  - Phương trình Wong 59
3.2 Suy rộng phương trình Wong cho trường chuẩn  và 
[V] 65

v
3.3 Đối xứng Lorentz địa phương và bài toán hạt trong trường hấp dẫn 74
3.4 Kết luận chương 3 76
4 THẾ HIỆU DỤNG VÀ QUỸ ĐẠO HẠT TRONG TRƯỜNG CHUẨN . 77
4.1 Hạt trong trường Wu-Yang 77
4.2 Hạt trong trường đơn cực 'tHooft-Polyakov và trường soliton BPS 84
4.2.1 Hạt trong trường gauge 'tHooft 84
4.2.2 Hạt trong trường soliton BPS 88
4.3 Chuyển động của hạt trong trường hấp dẫn với tiếp cận Yang-Mills . 93
4.3.1 Thế hiệu dụng trong chuyển động của hạt [V] 93
4.3.2 Quỹ đạo chuyển động của hạt [II, V] 98
4.4 Kết luận chương 4 99
KẾT LUẬN 100
Danh mục các công trình khoa học của tác giả có liên quan đến luận án 103
Tài liệu tham khảo 104
Phụ lục 111


vi
Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt

:
Mật độ Lagrangian



:
Tensor cường độ trường Yang-Mills dạng ma trận




:
Tensor cường độ trường Yang-Mills dạng thành phần



:
Thế Yang-Mills




:
Tensor cường độ trường gauge dạng thành phần



:
Vector màu



:
Đạo hàm hiệp biến




:
Đạo hàm phản biến







:
Mật độ dòng nguồn ngoài




:
Điện trường phi abel dạng thành phần




:
Từ trường phi abel dạng thành phần

:
Số topo

:

Mật độ năng lượng trường phi abel



:
4-xung lượng chính tắc



:
Spin đồng vị của hạt






:
Các vi tử phản Hermit của nhóm Lorentz



:
Hằng số cấu trúc của nhóm Lorentz






:
Cường độ trường của trường gauge Lorentz

:
Ma trận của phép quay các thông số không gian

:
Hàm ma trận của 



vii
Danh mục các hình vẽ và đồ thị
Hình 2.1
Thế phi Abel 

 với nguồn ngoài kỳ dị
38
Hình 2.2
Thế phi Abel 

 với nguồn ngoài kỳ dị
38
Hình 2.3
Sự phân bố không gian của điện trường phi Abel 



40
Hình 2.4

Sự phân bố của đường từ trường phi Abel của vector 


 với
nguồn ngoài kỳ dị
40
Hình 2.5
Sự phân bố không gian của mật độ năng lượng trường 

 với
nguồn ngoài kỳ dị
41
Hình 2.6
Sự biến thiên của năng lượng trường tổng cộng theo giá trị của tích
màu  với nguồn ngoài kỳ dị
42
Hình 2.7
Thế phi Abel 

 với nguồn ngoài dạng sợi dây
46
Hình 2.8
Thế phi Abel 

 với nguồn ngoài dạng sợi dây
47
Hình 2.9
Sự phân bố không gian của mật độ năng lượng trường 

 với

nguồn ngoài dạng sợi dây
47
Hình 2.10
Các hàm profile vortex tĩnh  và ; Mật độ tích màu  và
mật độ năng lượng  với nguồn ngoài dạng sợi dây
49
Hình 2.11
Sự biến thiên của năng lượng tổng cộng  vào tổng điện tích phi
Abel  với nguồn ngoài dạng sợi dây
52
Hình 4.1
Đường biểu diễn tổng moment quỹ đạo toàn phần 

 theo 
96
Hình 4.2
Đường biểu diễn thế hiệu dụng Schwarzschild-like  theo 
97
Hình 4.3
Đường cong thế hiệu dụng Yang-Mills tựa Schwarzschild, thế hiệu
dụng trong giới hạn Newton và thế hiệu dụng trong lý thuyết tổng
quát của Einstein theo 
98


1
MỞ ĐẦU
1 Lý do chọn đề tài
Lý thuyết trường gauge do Yang-Mills [
1

] đề xướng vào năm 1954. Ý
tưởng này dựa trên yêu cầu xây dựng các Lagrangian bất biến đối với các
phép biến đổi đối xứng nội tại. Ngày nay lý thuyết trường gauge Yang-Mills
đã được thừa nhận rộng rãi và là hình thức luận khung cho lý thuyết thống
nhất tương tác điện từ và tương tác yếu, cũng như cho sắc động lực lượng tử
của tương tác mạnh. Đầu tiên là sự khám phá của Glashow vào năm 1960 về
cách thức để thống nhất tương tác điện từ và tương tác yếu [
2
], với việc sử
dụng mô hình 



  nhưng chưa hoàn chỉnh về mặt vật lý vì các
lượng tử của trường này đều không có khối lượng. Năm 1967, Weinberg [
3
]
và Salam [
4
] đã kết hợp cơ chế Higgs [
5
,
6
,
7
] vào trong lý thuyết của
Glashow giúp cho việc sinh khối lượng các boson gauge, kết quả là đã xây
dựng thành công mô hình thống nhất tương tác điện - yếu, gọi là mô hình
Weinberg-Salam và cơ chế Higgs được cho là nguyên nhân tạo nên khối
lượng cho các hạt cơ bản. Sự thành công này đã thuyết phục hầu hết các nhà

Vật lý rằng lý thuyết gauge phi Abel về tương tác điện - yếu là một lý thuyết
vật lý khá hoàn hảo. Đặc biệt, sau khi tìm thấy dòng yếu trung hòa gây bởi
sự trao đổi  boson ở CERN năm 1973 [
8
,
9
,
10
], lý thuyết điện - yếu đã
được chấp nhận một cách rộng rãi và Glashow, Weinberg, Salam đã được
trao giải Nobel Vật lý năm 1979. Tiếp đó là những công trình xây dựng sắc
động lực học lượng tử (viết tắt là QCD) là lý thuyết về tương tác mạnh dựa
trên sự bất biến của phép biến đổi gauge đối với nhóm .
Ngày nay, hầu hết các thí nghiệm kiểm chứng về ba lực miêu tả bởi mô
hình chuẩn đều đúng như những dự đoán của thuyết này. Tuy nhiên, mô hình
chuẩn vẫn chưa là một thuyết thống nhất các lực tự nhiên một cách hoàn
toàn, do sự vắng mặt của lực hấp dẫn.

2
Mô hình chuẩn chứa cả hai loại hạt cơ bản là fermion và boson. Fermion
là những hạt có spin bán nguyên và tuân thủ theo nguyên lý loại trừ của
Wolfgang Pauli, nguyên lý cho rằng không có hai fermion nào có cùng trạng
thái lượng tử với nhau. Các hạt boson có spin nguyên và không tuân theo
nguyên lý Pauli. Khái quát hóa, fermion là những hạt vật chất còn boson là
những hạt truyền tương tác.
Trong mô hình chuẩn, thuyết điện từ - yếu (bao gồm cả tương tác yếu lẫn
lực điện từ) được kết hợp với thuyết sắc động lực học lượng tử. Tất cả những
thuyết này đều là lý thuyết gauge, trong đó đưa vào các boson trung gian như
là hạt truyền tương tác giữa các fermion. Hệ Lagrangian của mỗi tập hợp hạt
boson trung gian bất biến dưới một phép biến đổi gọi là biến đổi gauge, vì

thế các boson này còn được gọi là gauge boson.
Mô hình chuẩn và rất nhiều hướng mở rộng khác nhau đã cho phép mô
tả hiện tượng luận phong phú của tương tác hạt cơ bản. Cùng với việc khai
thác các ứng dụng hiện tượng luận về tương tác dựa trên các mô hình chuẩn,
một hướng nghiên cứu thu hút sự quan tâm lớn, đó là nghiên cứu các tính
chất cơ bản của lý thuyết Yang-Mills như là các hệ động lực học phi tuyến.
Vật lý toán phi tuyến là lĩnh vực được phát triển rất mạnh mẽ trong thời
gian gần đây. Các phương trình vật lý toán phi tuyến có nhiều tính chất rất
khác so với các phương trình vật lý toán tuyến tính thông thường. Một trong
những đặc điểm quan trọng là sự tồn tại các nghiệm soliton, có thể mô tả như
các sóng đơn lẻ dạng như bó sóng hoặc xung. Soliton bảo toàn dạng theo
thời gian và sự bảo toàn này liên quan đến bản chất topo của nghiệm, nghĩa
là các nghiệm được phân thành những lớp có topo khác nhau và đặc trưng
topo (chỉ số topo) của nghiệm là tích phân chuyển động.
Soliton là đối tượng được các nhà Vật lý thuộc nhiều lĩnh vực quan tâm:
Quang học phi tuyến, Vật lý hạt, Vũ trụ học và Vật lý chất rắn. Đối với lý
thuyết trường của các hạt cơ bản, điều hấp dẫn nhất là, ngay ở mức độ cổ
điển (chưa lượng tử hóa), hoặc ở gần đúng chuẩn cổ điển, các soliton của các
phương trình trường phi tuyến đã có dạng gần đúng như các hạt: Mật độ
năng lượng trường là hữu hạn, tập trung trong miền không gian và dịch
chuyển theo thời gian. Các nghiệm soliton của các lý thuyết trường phi tuyến

3
được nghiên cứu nhiều và có nhiều ứng dụng vật lý nhất phải kể đến là các
soliton của lý thuyết Skyrme (skyrmion), của lý thuyết Yang-Mills (nghiệm
Wu-Yang), Yang-Mills trong không gian Euclid (instanton), lý thuyết Yang-
Mills-Higgs (monopole ’t Hooft-Polyakov, soliton Bogomolny-Prasad-
Sommerfield), …. Các nghiên cứu theo hướng này hiện hiện vẫn đang được
tiếp tục phát triển và thu hút được sự quan tâm rộng rãi của các nhà Vật lý lý
thuyết. Tuy nhiên chúng là những nghiệm của các phương trình trường phi

tuyến nên hầu như không có phương pháp giải tổng quát mà phải sử dụng
các tính chất đối xứng của hệ vật lý và đưa vào các ansatz riêng để tìm
nghiệm cho từng trường hợp.
Trên thế giới, một số trung tâm mạnh về các vấn đề này có thể kể đến là
Đại học Princeton (Mỹ), Massachusetts (Mỹ), Viện Vật lý lý thuyết và thực
nghiệm (Nga), Cambridge (Anh), Durham (Anh), v.v
Các lý thuyết Yang-Mills, Yang-Mills-Higgs, lý thuyết hiện đang được
thừa nhận là sơ đồ khung nhất quán cho lý thuyết các hạt cơ bản. Liên quan
đến các lý thuyết Yang-Mills, còn được gọi là lý thuyết chuẩn (gauge
theories), trong nước có các nhóm nghiên cứu về các mở rộng khác nhau của
mô hình chuẩn và các hệ quả đối với hạt cơ bản theo hướng hiện tượng luận
và đã có nhiều kết quả mới được công bố. Gần nhất với hướng nghiên cứu
của đề tài luận án này – Nghiên cứu về nghiệm của các phương trình Yang-
Mills – Có tác giả Nguyễn Văn Thuận với đề tài luận án tiến sỹ “Nghiên cứu
nghiệm của các phương trình trường chuẩn Yang-Mills và ứng dụng vật lý
của chúng” – Trong đó, tác giả đã nghiên cứu về các nghiệm tĩnh với đối
xứng cầu của các phương trình Yang-Mills cổ điển với nhóm chuẩn 
và từ đó nghiên cứu về các ứng dụng có thể của các nghiệm cổ điển trong
các bài toán lượng tử.
Trong luận án này chúng tôi chọn đề tài “Một số nghiệm soliton của các
phương trình Yang-Mills và ứng dụng”. Nhằm nghiên cứu sâu hơn các
nghiệm soliton của các lý thuyết Yang-Mills và cả Yang-Mills-Higgs, tìm
thêm một số nghiệm mới và các ứng dụng mới. Các kết quả và nội dung mới
của chúng tôi về nghiên cứu nghiệm của các phương trình Yang-Mills so với
các kết quả của các tác giả đã công bố có thể nêu vắn tắt như sau:

4
(i) Chúng tôi nghiên cứu để tìm nghiệm của các phương trình Yang-
Mills cho bài toán có tính đối xứng trục - khi đó các hàm trường phụ thuộc
vào hai biến không gian là  và  (trường hợp đối xứng cầu thì các hàm

trường chỉ phụ thuộc một biến không gian, biến ). Đối với bài toán này
chúng tôi đã tìm được cả nghiệm số và nghiệm giải tích, đồng thời xây dựng
được bộ chương trình Fotran cho phép giải được các bài toán tương tự;
(ii) Tiếp theo, chúng tôi khảo sát tính chất các nghiệm thuộc các lớp với
chỉ số topo cao ();
(iii) Cùng với lý thuyết Yang-Mills đối với nhóm , xét lý thuyết
Yang-Mills đối với nhóm Lorentz , cũng là của  – nhóm
đẳng cấu địa phương  – và đề xuất tiệm cận Yang-Mills đối với bài
toán hạt trong trường hấp dẫn.
Tóm lại, trong lĩnh vực vật lý hạt cơ bản mà công cụ nghiên cứu là Lý
thuyết trường Yang-Mills, việc tìm nghiệm của các phương trình Yang-Mills
và phương trình Wong cũng như phương trình Wong tổng quát là lĩnh vực
còn nhiều vấn đề đang mở phải tiếp tục giải quyết. Với đề tài nghiên cứu đặt
ra, có thể nói đã tiếp cận được các vấn đề thời sự của lý thuyết trường lượng
tử hiện đại và hy vọng có đóng góp vào sự phát triển của hướng nghiên cứu
đã chọn.
2 Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu
a) Mục tiêu nghiên cứu
Nghiên cứu một số vấn đề lý thuyết của các hệ trường Yang-Mills như
các hệ động lực học phi tuyến, cụ thể là các nghiệm soliton của lý thuyết
Yang-Mills và Yang-Mills-Higgs thu được nhờ các ansatz khác nhau, nghiên
cứu các đặc trưng topo của nghiệm, tìm thêm một số nghiệm số và nghiệm giải
tích mới. Ứng dụng các nghiệm để khảo sát tương tác của hạt với trường
gauge bằng phương pháp chuẩn cổ điển, mở rộng các lý thuyết trường chuẩn
đối với các nhóm Unita để áp dụng vào các đối xứng không-thời gian và ứng
dụng để xây dựng cách tiếp cận Yang-Mills cho bài toán hạt trong trường
hấp dẫn.

5
b) Đối tượng nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu về các lớp nghiệm của các phương trình Yang-Mills,
Yang-Mills-Higgs và nghiên cứu chuyển động của hạt trong trường Yang-
Mills trong gần đúng cổ điển.
c) Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu các đối tượng trên trong phạm vi của nhóm đối xứng 
và nhóm đối xứng không-thời gian (nhóm Lorentz).
3 Phương pháp nghiên cứu
Trong lý thuyết trường lượng tử hiện đại, song song với kỹ thuật nhiễu
loạn và giản đồ Feynmann, tồn tại chiến lược giải khác, thay thế bài toán của
lý thuyết trường bằng một phiếm hàm Lagrangian hiệu dụng, rồi tìm nghiệm
của hệ phương trình vi phân đạo hàm riêng đó bằng cách suy ra từ phiếm
hàm này.
Sử dụng các ansatz, xây dựng mô hình tìm nghiệm, mô phỏng các
nghiệm tìm được về đặc điểm của trường Yang-Mills với một số dạng nguồn
ngoài ứng với các chỉ số topo khác nhau. Các bài toán lý thuyết trường nói
chung là dẫn đến các phương trình phi tuyến khá phức tạp. Tuy nhiên, bằng
cách khai thác triệt để tính đối xứng của các hệ vật lý và sử dụng phương
pháp số hoá để giải các phương trình, chúng tôi đã thu được một số kết quả
mới trong việc tìm và ứng dụng các nghiệm để làm sáng tỏ một số vấn đề
động lực học của các tương tác.
Tiếp theo, chúng tôi sử dụng ngôn ngữ toán học bó thớ cùng với việc
tham số hóa vector đối với nhóm  và tham số hóa vector phức đối với
nhóm Lorentz, từ đó xây dựng phương trình Wong tổng quát, rồi tìm nghiệm
của phương trình này để mô tả chuyển động của hạt trong trường hấp dẫn.
4 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án
Luận án nghiên cứu một số vấn đề lý thuyết của một số hệ trường Yang-
Mills xem như là hệ động lực học phi tuyến: các soliton topo của hệ Yang-

6
Mills, Yang-Mills-Higgs, Yang-Mills với các nguồn màu ngoài, tương tác

của hạt với các đối tượng này. Những kết quả với ý nghĩa khoa học và thực
tiễn của luận án có thể tóm tắt như sau:
Chúng tôi đã xây dựng được thuật toán và lập chương trình giải phương
trình Yang-Mills  với nguồn ngoài dạng điểm, dạng sợi dây. Chương
trình cho phép tìm được nghiệm với chỉ số topo tùy ý. Với các nghiệm tìm
được, chúng tôi đã tính toán và vẽ tường minh điện trường, từ trường phi
Abel cũng như mật độ năng lượng với các chỉ số topo khác nhau. Từ đó giúp
ta hiểu rõ hơn về bức tranh tương tác của các hạt cơ bản.
Tìm được lớp nghiệm giải tích dạng vortex cho nguồn ngoài dạng sợi
dây. Đối với trường hợp nghiệm tĩnh đã chứng minh được hiện tượng rẽ
nhánh của đồ thị năng lượng phụ thuộc độ lớn tích màu. Tìm được nghiệm
phụ thuộc thời gian dạng sóng trụ và mang các đặc điểm như: có sự truyền
tải năng xung lượng, nhưng không phát xạ màu, do đó tích màu tổng cộng
của nguồn không đổi theo thời gian. Những nghiệm vortex này có thể giúp
cho việc nghiên cứu các loại vật liệu mới.
Đã tìm được hệ phương trình Wong mở rộng cho trường hợp hạt chuyển
động trong trường Yang-Mills của các nhóm  và . Dựa trên
phương trình này nghiên cứu bài toán chuyển động của hạt điểm trong
trường gauge đối với nhóm Lorentz, như là tiếp cận Yang-Mills cho bài toán
hạt trong trường hấp dẫn. Sự đóng góp này của luận án giúp cho việc liên kết
giữa lý thuyết Yang-Mills và lý thuyết hấp dẫn của Einstein, trong đó có so
sánh với lý thuyết hấp dẫn của Newton để đóng góp cho lý thuyết về sự
thống nhất các tương tác.
Các kết quả trên góp phần làm phong phú hơn các hiểu biết về cấu trúc
lý thuyết Yang-Mills, mà hiện nay đang được thừa nhận là lý thuyết đóng vai
trò nền tảng để xây dựng các mô hình lý thuyết mô tả các tương tác cơ bản
của tự nhiên.

7
5 Bố cục của luận án

Luận án gồm 4 chương, phần mở đầu, kết luận, danh mục các công trình
và phần phụ lục. Nội dung 4 chương cơ bản như sau:
 Chương 1. Soliton topo trong các hệ trường gauge Abel và phi Abel: Trong
chương này chúng tôi trình bày tổng quan về lý thuyết trường Yang-Mills
. Trong đó, giới thiệu các soliton topo là các nghiệm của các phương
trình Yang-Mills và Yang-Mills-Higgs như: Nghiệm Wu-Yang trong hệ
Yang-Mills không có trường Higgs; Với hệ Yang-Mills-Higgs, giới thiệu
nghiệm monopole ’t Hooft-Polyakov và nghiệm dyon Julia-Zee; Nghiệm
soliton tới hạn, nghiệm Bogomolny-Prasad-Sommerfield (BPS); Trường
Yang-Mills trong không gian Euclide và nghiệm instanton.
 Chương 2. Nghiệm soliton của hệ Yang-Mills với nguồn ngoài đối xứng
trục: Trong chương này chúng tôi trình bày về nguồn đối xứng xuyên tâm
và đối xứng trục, nghiên cứu về các ansatz để tìm nghiệm đồng thời giới
thiệu một số kết quả mới đã được công bố theo hướng nghiên cứu này;
Trình bày phương pháp mà chúng tôi đã áp dụng để tìm nghiệm và mô
phỏng một số kết quả mới đã tìm được từ phương pháp này cho bài toán về
nghiệm của phương trình Yang-Mills với hai nguồn điểm và nguồn ngoài
dạng sợi dây với nghiệm vortex.
 Chương 3. Phương trình chuyển động của hạt màu trong trường chuẩn:
Trong chương này chúng tôi chỉ ra cách suy ra phương trình chuyển động
của hạt màu trong trường chuẩn từ phương trình chuyển động của điện tích
trong trường điện từ của điện động lực cổ điển – phương trình Wong; Suy
rộng phương trình Wong cho trường chuẩn  và ; Nghiên
cứu bài toán chuyển động của hạt trong trường hấp dẫn đối với đối xứng
Lorentz địa phương; Sử dụng hình thức luận bó thớ để nghiên cứu động
lực học Lagrangian của hạt màu trong trường chuẩn .
 Chương 4. Thế hiệu dụng và quỹ đạo của hạt trong trường chuẩn: Trong
chương này chúng tôi trình bày việc nghiên cứu các kết quả đã được công
bố của một số tác giả. Đó là, bài toán về hạt trong trường Wu-Yang, bài

8
toán về hạt trong trường đơn cực ’t Hooft-Polyakov và trường soliton BPS.
Từ đó, giải bài toán về chuyển động của hạt trong trường hấp dẫn và so
sánh cách tiếp cận hấp dẫn của lý thuyết Yang-Mills với lý thuyết hấp dẫn
của Einstein và Newton.

9
Chương 1
1 SOLITON TOPO TRONG CÁC HỆ TRƯỜNG GAUGE
ABEL VÀ PHI ABEL
Một trong những đặc trưng cơ bản của điện động lực Maxwell là tính bất
biến gradient (gradient invariance). Nghĩa là, điện động lực sẽ bất biến nếu
thêm vào thế gradient một thế nào đó. Tuy nhiên, để tương tác của của vật
chất tích điện với trường điện từ, bảo đảm được tính bất biến gradient cho
trường điện từ, hàm sóng của hệ vật chất cũng phải chịu một phép biến đổi
pha với pha chính là hàm xác định phép biến đổi gradient của hàm thế. Phép
biến đổi xác định bởi cùng một hàm lên cả hàm sóng của vật chất lẫn thế của
trường điện từ được gọi là phép biến đổi chuẩn – phép biến đổi gauge (gauge
transformation). Như vậy, lý thuyết vật chất tương tác với trường điện từ
phải bất biến chuẩn (gauge invariant).
Tính chất này đã được tổng quát hóa cho cả tương tác yếu và tương tác
mạnh. Tính bất biến chuẩn sẽ dẫn đến sự tồn tại một thế vector có vai trò
tương tự như thế của trường điện từ, được gọi là thế chuẩn hay trường chuẩn
(gauge field). Nếu nhóm cơ bản để xây dựng trường chuẩn cho Điện động
lực là nhóm , và trường chuẩn tương ứng là thế điện từ, thì nhóm dùng
để xây dựng trường chuẩn cho tương tác yếu là nhóm  và trường
chuẩn tương ứng được gọi là trường Yang-Mills, còn cho tương tác mạnh sẽ
là nhóm , trường chuẩn tương ứng gọi là trường gluon.
Bằng cách lựa chọn nhóm chuẩn 





 




, các nhà vật lý lý
thuyết đã xây dựng được lý thuyết thống nhất cho tương tác điện từ - yếu
(mô hình Weinberg - Salam), còn nếu chọn nhóm chuẩn là 






10





 




, ta sẽ được lý thuyết thống nhất điện từ - yếu - mạnh (mô
hình chuẩn – Standard Model). Nếu thay nhóm chuẩn của mô hình chuẩn

bằng nhóm  ta sẽ được lý thuyết thống nhất lớn (Grand Unified
Theory).
Như vậy, mặc dù có tới bốn tương tác cơ bản, nhưng trừ tương tác hấp
dẫn, các tương tác còn lại đều được diễn tả thông qua một ngôn ngữ duy
nhất, đó là ngôn ngữ trường chuẩn. Do tính phổ quát của lý thuyết Yang-
Mills trong nghiên cứu vật lý hạt cơ bản mà dẫn đến việc tìm nghiệm của
phương trình này trong những mô hình vật lý khác nhau luôn là đề tài hấp
dẫn các nhà vật lý. Trong phần này ta sẽ điểm qua một số kết quả đã được
công bố của các tác giả về việc tìm nghiệm soliton của các phương trình
Yang-Mills và Yang-Mills-Higgs.
Soliton là những nghiệm của các phương trình trường cổ điển phi tuyến.
Chúng được cho là định xứ, có năng lượng hữu hạn và cấu trúc ổn định
giống như những đối tượng hạt thông thường. Những soliton và những đa
soliton (multi-solitons) sở dĩ có cấu trúc ổn định là do chúng mang tích topo
, đó là số nguyên đặc trưng cho hạt và chúng là đại lượng được bảo toàn.
Sự bảo toàn của  không phải do định lý Noether mà do cấu trúc topo của
soliton. Mỗi soliton được mô tả bởi tập hợp các tọa độ trong mô hình. Tập
hợp các tọa độ được coi như không gian moduli.
Bogomolny [
11
] đã chỉ ra rằng, trong các lý thuyết trường thì năng
lượng của soliton bị chặn dưới bởi một đa tích topo và dấu đẳng thức chỉ xảy
nếu như trường thỏa mãn trật tự đầu tiên PDE. Bởi vì phương trình
Bogomolny không chứa thời gian, những nghiệm của nó là những nghiệm
tĩnh. Hơn nữa, chúng là những nghiệm ổn định trong cấu trúc topo chúng có
năng lượng cực tiểu.
Nếu một đơn soliton có  tập hợp tọa độ thì  soliton sẽ có một không
gian moduli với  chiều. Đa tạp  chiều này có cấu trúc một ma trận, nó
mô tả những sự tương tác của các soliton. Đôi khi thế của trường cũng được
định nghĩa trên không gian moduli. Trong trường hợp không tồn tại thế,

11
không có lực tương tác giữa các soliton tĩnh và các tương tác bị chi phối bởi
dạng hình học của không gian moduli thì năng lượng tỉ lệ với số lượng các
soliton.
Những thí dụ về các soliton được các nhà vật lý quan tâm nhiều:
 Kinks với một chiều;
 Vortices trong lý thuyết gauge với trường Higgs của trường hợp
hai chiều [
12
];
 Lumps trong những lý thuyết trường vô hướng phi tuyến (-
models) với hai chiều [
13
];
 Monopoles trong ba chiều của những lý thuyết Gauge/Higgs [
14
,
15
];
 Solitons trong ba chiều -models (được biết đến như những
Skyrmion) [
16
,
17
];
 Instantons trong những lý thuyết thuần gauge của bốn chiều [
18
]
1.1 Hệ Yang-Mills không có trường Higgs: Nghiệm Wu-Yang

Phần này ta sẽ xem xét các nghiệm của phương trình Yang-Mills trong
không gian Minkowski. Phương trình chuyển động của lý thuyết thuần gauge
có dạng















(1.1)
nó bất biến dưới phép biến đổi của nhóm gauge . Các nghiệm của
phương trình này được biết đến đó là: nghiệm sóng phẳng phi Abel [
19
],
nghiệm monopole phi Abel, và một số các lớp nghiệm phức thu được từ các
lớp ansatz. Một nghiệm thực tiêu biểu trong không gian Minkowski đó là cặp
meron-phản meron. Hầu hết các nghiệm này đều mang tính thuần túy toán
học mà ít có ý nghĩa vật lý thực tế. Tuy vậy cũng có những nghiệm quan
trọng với ý nghĩa vật lý nhất định như nghiệm monopole Wu-Yang, nó được
coi là một dây các monopole tự do trong trường hợp phi Abel.

12
Nghiệm monopole Wu-Yang là nghiệm monopole tự do của lý thuyết
thuần . Nghiệm này đã được tìm ra đầu tiên bởi Wu và Yang [
20
] với
trường hợp 


 (sau đó được Jualia và Zee [
21
], Hsu và Mac [
22
] mở
rộng cho trường hợp 


) bằng cách đưa vào ansatz sau (gọi là ansatz
Wu-Yang)
























  






(1.2)
Thế các ansatz này vào (1.1), ta được hệ phương trình sau




































   







(1.3)
Phương trình (1.3) có hai nghiệm hằng là 







 và 








, chúng là những nghiệm vacuum với 


 (


 đối
với nghiệm thứ nhất, còn đối với nghiệm thứ hai 



là thế gauge thuần).
Nghiệm hằng số không tầm thường là





 




(1.4)
Khi 



, thì 




, ta có 



 trong đó  là những
hằng số. Với  thế gauge không triệt tiêu tại vô cùng 





 Dù
có sự đóng góp này của thế gauge nhưng nó có thể thay đổi bởi phép biến
đổi gauge. Vì vậy, với sự tương đương gauge, phương trình (1.4) chỉ còn lại




.
Để có cách nhìn tổng thể hơn và thuận lợi cho việc so sánh các nghiệm
của Wu-Yang trong hệ Yang-Mills không có trường Higgs này. Ta hãy chỉ ra
đây một tam tuyến Higgs mà Lagrangian của nó trong lý thuyết gauge 




được cho bởi






















 




(1.5)
ở đây

13









 





 








(1.6)









 







(1.7)

và thế Higgs là













 



 






(1.8)
chỉ số  là chỉ số  và  bất biến dưới phép biến đổi cục bộ
, còn cả 

và 



biến đổi như các biểu diễn phó. Mặt khác, thế
Higgs phải không triệt tiêu tại vô cùng còn thế năng phải triệt tiêu tại đó. Do
vậy, bất kể nghiệm vật lý nào cũng phải thỏa mãn














 



 
(1.9)
Điều này giống như việc phá vỡ đối xứng trong lý thuyết lượng tử, mà ở đó
mong muốn rằng vacuum có giá trị khác không





.
Bây giờ, ta sẽ nghiên cứu một Lagrangian của thế gauge thuần Yang-
Mills, có dạng


















 




(1.10)











(1.11)
Để thế năng tại vô cùng phải triệt tiêu, đòi hỏi







 
(1.12)
Từ sự tương ứng Julia-Zee [21], nếu chọn







 







(1.13)
thì nghiệm của lý thuyết thuần Yang-Mills (1.10) và nghiệm của lý thuyết
Yang-Mills-Higgs (1.5) sẽ giống nhau về mặt toán học.
Trở lại với vấn đề nghiệm Wu-Yang. Phương trình (1.13) cho ta thấy
rằng, bất kể nghiệm tĩnh nào của lý thuyết thuần  cũng có thể coi như
nghiệm của lý thuyết (1.5) mở rộng trong giới hạn nói trên. Do vậy mà

14
phương trình (1.4) cũng gợi ý một nghiệm tương tự như lý thuyết đó. Ansatz
thích hợp cho sự tương ứng này của phương trình (1.2) là












 













  






(1.14)
Phương trình chuyển động thu được từ Lagrangian (1.5) có dạng là













































 



 




(1.15)
Sử dụng các ansatz (1.14) ta được phương trình rút gọn của (1.15) thành



















 































   






(1.16)
phương trình này có dạng hoàn toàn tương tự như (1.3) khi 

.
Còn đối với trường hợp 

 thì phương trình này không còn
nghiệm hằng số nữa. Từ (1.16) ta tìm được




























 


















  











 



ở đây, ta sử dụng các ký hiệu











 









Với (1.15), phương trình thứ nhất ứng với trường hợp tầm thường khi ,
còn khi  thì nó trở thành














 

 




 


  





và phương trình thứ hai của (1.15) trở thành












  



 









15
Từ (1.16) ta thu được

  





 







Xuất phát từ phương trình (1.2) và (1.14) nên đôi khi người ta dùng thuật
ngữ “bán kính gauge”. Sự tương ứng mà ta đã chỉ ra ở đây là điều rất thuận
lợi cho việc tìm nghiệm của các phương trình chuyển động (1.3) và (1.16)
trong trường hợp thuần gauge.
Một loại gauge khác mà được gọi là “string gauge” hay “unitary gauge”,
với dạng biến đổi cục bộ 






















(1.17)
ký hiệu 





là vector phương vị trong không gian gauge (được xác
định như hướng trong không gian ba chiều), tức là trên trục  thì tọa độ của
mỗi điểm là 






. Phép biến đổi này là không liên tục dọc theo phía âm
của trục . Những thế gauge unita 


thu được từ ansatz (1.2) hay (1.14) bởi
phép biến đổi (1.17) là






























  





















  























(1.18)
ở đây 

và 

là vector đơn vị trực giao với góc cực  và  trong 3-không

gian. Những thế 


và 


được xác định bởi hàm 



. Khi có phá vỡ đối
xứng tự phát thì 


là thành phần khối lượng của trường gauge. Nhưng 




16
thì không phụ thuộc vào 



hay 



mà nó được xác định bởi dạng của
ansatz (1.2).

Trở lại với nghiệm (1.4) ở trên, trong trường hợp string gauge nó trở
thành






































(1.19)
Với  đây là nghiệm đầu tiên được tìm ra bởi Wu và Yang vào năm
1968 [20] và đó chính là nghiệm monopole. Còn đối với  thì có thể coi
như là nghiệm dyon với điện tích trong lý thuyết  thuần
gauge.
1.2 Hệ Yang-Mills-Higgs: Nghiệm monopole ’t Hooft-Polyakov và
dyon Julia – Zee
Trong phần này ta sẽ xem xét một số nghiệm của lý thuyết gauge 
tương ứng với sự phá vỡ đối xứng gauge . Một trong số nghiệm nổi
tiếng thuộc lĩnh vực này của lý thuyết trường lượng tử là nghiệm monopole
của ’t Hooft-Polyakov.
1.2.1 Nghiệm monopole 't Hooft-Polyakov
’t Hooft [15] và Polyakov [
23
,
24
] đã tìm ra (một cách độc lập) nghiệm
monopole của lý thuyết gauge với tam tuyến Higgs. Đây là nghiệm không kỳ
dị và có năng lượng hữu hạn. Nó biểu diễn những trạng thái định xứ, mở
rộng và bền về topo.
Monopole chính là nghiệm của phương trình (1.16) cho trường hợp



 và .

17
Nhớ rằng, những nghiệm thu được từ việc sử dụng các ansatz Wu-Yang
(1968), đó là




 





















  






(1.20)
Trong giới hạn 

 và  với 

 xác định thì nó trở thành
nghiệm Prasad-Sommerfield (mà ta sẽ xét đến ở phần tiếp theo).
Bây giờ, ta hãy tìm hiểu để trả lời câu hỏi xem tại sao nghiệm này lại
được giải thích như một đơn cực? ’t Hooft và Polyakov đã độc lập tìm ra
nghiệm này nhưng lại có cách giải quyết vấn đề này theo các cách khác
nhau. Ở đây, ta chỉ xem xét cách giải quyết vấn đề của ’t Hooft. Theo đó,
’tHooft đã nghiên cứu vấn đề này như là một cách tiếp cận trường điện từ
trong phạm vi lý thuyết gauge với một tam tuyến Higgs (1.5) và đòi hỏi nó
phải hiển nhiên bất biến dưới phép biến đổi gauge . ’t Hooft đưa ra
một tensor bất biến gauge có dạng































(1.21)
phải thỏa mãn là một tensor trường điện từ. Tensor này được viết dưới dạng
khác tường minh hơn








 






















(1.22)
các ký hiệu được dùng ở đây là









 







(1.23)
Ở đây 

là thành phần không khối lượng của thế gauge 


, từ ansatz
(1.15) ta dễ thấy thỏa mãn 

 và do đó
































(1.24)

18

Đây là trường điện từ tĩnh của một điểm monopole với từ tích





(1.25)
Chính vì lẽ này mà nghiệm ’t Hooft-Polyakov được goi là nghiệm monopole.
Từ tích cực tiểu theo điều kiện lượng tử Dirac là  ( là đơn vị cơ
bản của điện tích). Như vậy monopole tích ’t Hooft-Polyakov có giá trị gấp
đôi giá trị cực tiểu này.
Tiếp theo, ta sẽ xem xét vấn đề tại sao đơn cực lại có năng lượng hữu
hạn mà theo Polyakov đây là một trong số vai trò nổi bật của nghiệm
monopole đối với lý thuyết gauge và trường Higgs.
Xét một tam tuyến Higgs mà không có trường gauge












 

















 




(1.26)
Sử dụng ansatz












(1.27)
cho trường Higgs đó, ta thu được phương trình chuyển động












 

 


(1.28)
Phương trình này có một nghiệm (ta không đưa ra biểu thức đầy đủ ở đây)
mà diễn tiến có dạng








 





 

 
(1.29)

   
(1.30)
Vì số hạng phi tuyến trong (1.29) là 

, do đó số hạng thế năng không
bị phân kỳ tại vô cùng. Mặc dù vậy, số hạng động năng lại phân kỳ tại đó.
Nghiệm năng lượng không xác định này (Polyakov gọi là quả cầu gai)
dường như bền về topo. Ta lý giải điều này theo phương pháp topo. Giá trị
biên 

 tương ứng với một ánh xạ từ một hình cầu ở vô cực lên